行列式经典例题

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行列式练习题及答案

一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 0000000010020001000 -= （）.（A ）!n （B ）!)1(2)1(n n n -- （C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（）个. （A ）4；（B ）2；（C ）6；（D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式：1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1．8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．ab b babb b a D n=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x D---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n 。

行列式练习题及答案

第1章行列式(作业1)一、填空题1. 设自然数从小到大为标准次序，则排列 1 3...(2n 1) 2 4 排列1 3 (2)1) (2n) (2n2)…2的逆序数为2. 在6阶行列式中， 3•所有n 元排列中，二、选择题1. 由定义计算行列式三、请按下列不同要求准确写出1.各项以行标为标准顺序排列; n 阶行列式D det(a j )定义式:四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n 2 n ，则此行列式的值等于多少？说明理由2 各项以列标为标准顺序排列；(A ) n! (B ) n 1 0 n(n1) 0n! 2.在函数 f (x) 中, (C) n (n 1)(n 2) (1) 2 33的系数是( n!(D ) (1)n(n°n! 1 (B ) 1 -1(A ) 1 3•四阶行列式的展开式中含有因子 (A ) 4;( B ) 2;(C ) 2 (D ) a 32的项，共有( (C ) 6;( D)8.)个. (2n)的逆序数为 _________823842831 a 56aga 65这项的符号为奇排列的个数共第1章行列式（作业2）1 1 12 x 2 23 2 32 3 151 9 x2、计算题2 13 4a1 0 0 1 .4 1 9162 .1 b 1 030 15 45 600 1 c1117 1 81 d3. D n、填空题 a 12 a 13 a 22 a 23a 32a 33a ii1 .右 D= a 2i a 314an2an 3a 12 a 134a 21 2a 21 3a 22 a 234a 31 2a 313a 32a 331,则 D i2.方程=0的根为X a ia2a n i i a i X a2 a n i i4. D n i a ia2X a n i ia ia2a3 X ia i a2a3 a n i5.计算n阶行列式D nx1 1 x1 2x2 1 x2 2X i nX2 n(n 2)。

线性代数行列式经典例题22998

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故011102120n n nD n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L 011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--L L M OL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式:=行列式即为y 2前的系数. 于是 =所以的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K解：方法1 递推法按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k x x x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x 1-n k n = x 1-n (1-n n xa + 21--n n x a +K +x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M M L=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+K +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4．计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋解方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立．当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6．计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+LL M M M L其中120n a a a ≠L ．解这道题有多种解法．方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ．方法2 升阶（或加边）法12111101*********1n na D a a +=++L L L M M M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L+1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。

行列式练习题及答案

一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 0000000100200100-= （）. （A ）!n （B ）!)1(2)1(n n n -- （C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x x x f 21123232101)(=中，3x 的系数是（）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（）个. （A ）4；（B ）2；（C ）6；（D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式：1．各项以行标为标准顺序排列； 2．各项以列标为标准顺序排列； 3．各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题1．8171160451530169144312----- 2．dc b a10011001101---3．abbba b bbaD n=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a xa a a a x a a a a x D---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n。

线性代数行列式经典例题22998

线性代数行列式经典例题例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式解方法1由题设知， an =0,a 〔2 1 , L,a1nn 1丄故0 1L n 10 1 L n 11L n2rir 111 L1D nMOi n ,n1,L ,2MOn 1 n2 L 011 L1n 1 n L L n 12L L1C j CnM O OL ( 1)n 12* 2(n 1)j 1,L ,n 1M0 2L 01其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行•第二步用的每列加第n 列.的充要条件是 a + b + c =0.证明：考察德蒙行列式=(a 一对o—1 L n 111 L 1 1 0L n 2r i r i 1 1 1 L 1 MOi 1,2,L ,n 1M On 1n 2 Ln 1n 2 L方法2 D n10 L 0 Cj G 12 L0 j 2,L ,nM On 12n 3 Ln 11)n 12n 2(n 1) =(例 2.设a , b , c 是互异的实数,证明:1 x行列式即为y 2前的系数•于是所以的充要条件是a + b + c = 0.x 10 K 0 x 1 K MM Ma na n 1a n 2K例3计算D n = 递推法按第 1 0 0 M x a i解：方法1列展开,D n = x D n 1 + (-1) a n =x D n 1+ a n 由于 D 1 = x + a 1, D 2 a 2a 1 2 1+ a n =x(x D n 2 +a n 1)+ a n =x D n 2 + n 1 n 2 a n 1x + a n = L = x D 1 + a 2 x + n n 1 + a n 1 x + a n = x a 1 x a n 1 x a n，第n 列的x n 1倍分别加到第1列上 01 0K C 1 XC 22 x x1 K D n0 0 x KMMMa n xa n 1a n 1a n 2K方法2第2列的x 倍，第3列的x 2倍, 0 0 0M x a 11 0 0 K 2C 1xC30 x 1 0K3 x 0 x 1 KMMMM2 a n xa n 1x a n 2a n 1a n 2a n 3K0 0 0 M x a 10 1x 1 O OfO按r n 展开1)n11 x 1x O Oxna 〔xa n 1x a n方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.1 c Gx 1c 3c2Xx 0 0x 0 0 MM0 0 x M-Cn a na n 1a na n 2a n 1按Cn 展开““ a n 1n 1 dnx k n = x ( —^7 +xa n 1 x0 0 0 M k na 2 + +a 1 +x)x按r n 展开1 方法4D n( 1)n1a nAMX0 K 0 0n 21 K0 0(1) a n1+M MM MK X 1X 1 K0 02 n0 X K0 0+ ( 1) (a 1 x)M M M M 0 0 L 0 X n 1 n=a n a n 1X L a 1X x=(-1) n 1 (- 1) n 1a n + (- 1) 0 K1 K 0+MM M0 KX1X1 K 0 0+ ( 1)2n 1a 20 X K 0 0M MM M0 K1(-1 ) n 2 a n 1X+ (-1) 2n 1(一 1) a 22 + (— 1) 2nn 1(a 1+x) xa n a n 1X L n 1 n a 1x x 例4.计算n 阶行列式: a Ea 2L a n D nqa 2b 2L a n M M Ma 1 a 2L a nb n(解采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素bbL b n 0)a 1,a 2,L , a * ,可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.1aa 2 La n1 a 1 a2 L a n 升阶0 a 1a 2 L a n2 r 13 r 11 bi 0 L 0 D n0 aa 2b 2 La n Lrn 1r11 0 b2 L 0 M MMMM M MMaa 2La nb n10 0Lb n彳a1La 1L1 —a 1a 2 a n 1bib 1q — C jb j i0 bi 0 L 0a 1a nj 2丄，n 1L=d b ? L b n (1Ln0 b 2 0b nMM MM0 0 Lb n例5.计算n 阶“三对角”行列式K 0 01K 0 0D n =0 1 + K 0 0M M MMM0 00 K 1解方法1递推法K 0 0按q 展开D n（)D n 1 ―1K 0M M MM MK 1(n 1)按口展开()D n 1 —D n 2即有递推关系式D n=( )D n1 — D n2(n 3)故D nD n1 =(D n 1D n 2 )可作为公式记下来.递推得到D n D n 1 = (D ni2D n 2)= ( D n 2 D n 3)a 1 x a 2D na 1 a 2 xM Ma 1 a 2L a nL a n n 1 /n =x (x ajMi 1 L an X这个题的特殊情形是n 2八=L= (D 2 D i )方法3在方法1中得递推公式D n = () D n 1 — Dn 22 2又因为当时 D 1= = ------------D nD n1n(2.1)由递推公式得D n D n 1 0 = ( D n 2n1)n2 .=aD n 2 +n 1nD 2=(而D 1 (D 2=ap a + B代入得D nD n 1(n当a B 时当a=B 时1K K 0 0 0 0D n = 01 +K0 0+M M MMMK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 MM MMM0 0 0 KK1K 0 0 1K 0 0 0 1K0 0 M M MMM0 0 0 KK10 0 K0 010 K0 0c aq 11K0 0 n =B i 2,L ,nM M MM M 10 0 K1n 1方法2把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式上式右端第一个行列式等于aD n 1，而第二个行列式于是得递推公式 D n D n 1 n ，已与(2.1)式相)2n 1 n 1于是猜想D n ------------------ ，下面用数学归纳法证明. 当n=1时，等式成立，假设当 n k 时成立. 当n=k+1是，由递推公式得D k 1 = () D k — Dk 1=(所以对于n N ，等式都成立例6.计算n 阶行列式:D na n其中a n 0 .方法2升阶(或加边)法D 3 =)(=()3-2(4 4a 2解这道题有多种解法. 方法1 化为上三角行列式其中b 1i 2 3i1 a 1 1L1&1c1 丁 C jb1 L1r i r 1a 1a 2aj0 a 22,L ,nM Oj 2,L ,nMOa 1a na n1n1na 1 1于是D na 〔 a ? a n 1i 1a ia ii 1D n. i n0 0方法由于因此升阶D n1c1cj 1aj1,2,L ,n 1递推法.a11r i「11 a 1 1 1 a 11 D n = a n D n 1a ja 2 M2,3,L , n 1a 10 M a 2 Ma 1a na na 2a n1 3ia 11 L 1 01 1 a2 L1 0M MM11L1 a n1 a 11 L 11 a 11 L 01 1 a 2L11 1 a2 L+MMM AM MM 1 1L111La nD n 改写为按c n 拆开L a 2 D na 2 M a^L a n 1 a 11 r i 「na 2M i 1L ，n 1111 L1L 3卫2 L L按c n 展开a n 1a n1为递推公式, a nD n 1而D 1D n =a nD n 1a 1 a 2 L a n 1=a 1a 2L a nD n 1a 1a 2La n 1D n 2=a 1a 2 L a na 1a 2L a n 2a n 1—=L L a nD1 1 1 11 1 =a〔a2 L 3n L = a〔a2 L a n 1 La1 a2 a n a1 a2 a n a〔a?。

行列式典型例题

行列式典型例题
目录
• 计算行列式 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的应用 • 特殊行列式
01
计算行列式
二阶行列式
总结词：二阶行列式是2x2矩阵的行列式值，计算方法为对角线元素乘积减去副对角线元素乘积。
|3 4|
示例：对于行列式|1 2|，其值为1*32*4=-5。
详细描述：对于二阶行列式，其一般形式为|a b|，计算公式为a*c-b*d，其中a、b、 c、d分别代表矩阵中的元素。
行列式与矩阵的逆和转置有关，它们都可以通过行列式进行计算或判断。
行列式有一些重要的性质，如交换律、结合律、分配律等，这些性质在矩阵运算中非常重要。
05
特殊行列式
对角线型行列式
总结词
对角线型行列式是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的行列式。
详细描述
对角线型行列式的值就是主对角线上的元素乘积，计算过程相对简单，因为除了主对角线元素外，其他元素都为零，所以可以直接将主对角线上的元素相乘得到结果。
04
行列式的应用
行列式在几何中的应用
线性变换
行列式可以表示线性变换前后的面积比，用于研究几何图形的变换性质。
Hale Waihona Puke 定向行列式可以用来确定定向，即方向和旋转顺序，对于三维空间中的向量场和曲线非常重要。
体积
行列式可以用来计算多面体的体积，特别是平行六面体的体积。
行列式在代数方程组中的应用
线性方程组
行列式的加法性质
总结词
行列式的加法满足分配律
详细描述
对于任何两个n阶方阵A和B，以及任意的常数c和d，有|cA + dB| = c|A| + d|B|。

行列式经典例题

线性代数大学-----行列式经典例题例1 计算元素为 aij = | i－j|的n 阶行列式.解方法1 由题设知，a=0，a12 1，,a1n n 1, ，故110 1 n 1 0 1 n 1Dn1 0 n2 r r i i1i n,n 1, ,21 1 1 n 1 n2 0 1 1 1 n 1 n n 1c cj nj 1, ,n 10 2 1n 1 n 2( 1) 2 (n 1)0 20 0 0 1其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．0 1 n 1 1 1 1方法 2 Dn1 0 n2 r ri i1i 1,2, ,n 11 1 1 n 1 n2 0 n 1 n 2 01 0 0c cj 1j 2, ,n1 2 0= n n n1 2( 1) 2 ( 1) n 1 2n 3 n 1例2. 设a, b, c 是互异的实数, 证明:的充要条件是 a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:内部资料个人复习资料线性代数=行列式即为 y2前的系数 . 于是=所以的充要条件是 a + b + c = 0.x 1 0 0 例 3 计算 D n =0 x1aaax ann 1n 21解：方法 1 递推法按第 1 列展开，有1 x1n 1D n = x D n 1+（－1）= x D n 1+ a na nx 1x1n 1由于 D 1= x + a 1 ，D 2x1 ax a21，于是 D n = x D n 1 + a n =x （x D n 2 +a n 1）+ a n =x 2 Dn +2a n 1x + a n = = x n 1 D 1 + a n 2 + + a 2 xn 1 D 1 + a n2 + + an x + a n = 1nn 1 x a x a x a 1 n 1 n 方法 2 第 2 列的 x 倍，第 3 列的 x2 倍，，第 n 列的 x n 1倍分别加到第 1 列上 01 0 0 c xc122xx 1 0Dnxaxaaax ann 1n 1n 21内部资料个人复习资料线性代数0 1 0 0 02c x c1 30 x 1 0 03x 0x 1 02a xa x a a a a x a n n 1 n 2 n 1 n 2 n 3 10 1x 11 按展开rn ( 1)n1 fn 1 f1x1= = x=f xx 1n 1n n 1x a x a x a1 n 1 n方法 3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n1c c2 1x1c c3 2xx 0 0 00 x 0 00 0 x 01c cn nx1a a an n 1 na a a kn n n n1 2 2x x x按c 展开nx n 1 k n = x n (1annx1+axnn12+ +a2x+a1 +x)= n 1 na a x a x xn n 1 11 0 0 0 按r 展开nn( 1) 1anx 1 0 0D 方法 4+ n0 0 x 1x 0 0 0 x 1 0 0n ( 1) 2an10 1 0 0+ + 2 1n a( 1)20 x 0 00 0 x 1 0 0 0 1x 1 0 0+ ( 1) ( )2n a x10 x 0 00 0 0 xn 1 n 1 n 2 n 2（－1）（－1）=（－1）a n +（－1）a n 1x内部资料个人复习资料线性代数+ +（－1）2n（－1）a1 2 xn 2 +（－1）2n( a1 +x) x1 +x) xn 1= n 1 na a x a x xn n 1 1例4．计算n 阶行列式：a b a a1 12 nDn a a b a1 2 2 n ( b1b2 b n 0)a a a b1 2 n n解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a a a ，可在保持1, 2, , n原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1 a a a1 2 n 1 a a a1 2 n升阶0 a b a a1 12 nr r2 1r r3 11 b 0 01D 0 a a b an 1 2 2 n r rn 1 1 1 0 b 020 a a a b1 2 n n 1 0 0 bn1c c 1jbj 1j 2, ,n 1 1a a1 1b b1 1b 010 b2a a a1 2 n= b b b1 2 na a1 n(1 )b b1 n0 0 0 bn这个题的特殊情形是a x a a1 2 nDn a a x a1 2 n =nn 1x ( x a )ii 1a a a x1 2 n可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式0 0 01 0 0D n = 0 1 0 0＋0 0 0 1内部资料个人复习资料线性代数解方法 1 递推法．0 0 0 0D n 按c 展开1 ( ) Dn 1 —10 00 0 0 1(n 1)按r 展开1( ) D n 1 － D n 2即有递推关系式 Dn= ( ) D n 1 － D n 2 (n 3)故D D ＝(D n 1 D n 2 )n n 1递推得到 D D ＝(D n 1 D n 2 ) ＝n n 1 2(D n D n )2 3＝＝( )n 2 D D2 1而D1 ( ) ，D2 ＝α+1βαβ＝αβ+2 2，代入得 1D Dn nnnD D （2.1）n n 1由递推公式得n D D ＝n n 1n 1 n ( D )n 2＝α 2 D n＋2 n 1 n＝n n 1 n 1 n ＝＋＋＋＝nβ(n1 n－αβ－αn1)α11，当，当αβ时α＝β时方法 2 把D n 按第 1 列拆成 2 个n 阶行列式D n =0 0 01 0 00 1 0 0＋＋0 0 01 0 00 1 0 0 0 0 0 10 0 00 0 0 1上式右端第一个行列式等于αD n ，而第二个行列式1内部资料个人复习资料线性代数0 0 01 0 00 1 0 0 c aci i1i 2, ,n0 0 0 01 0 0 00 1 0 0n=β0 0 00 0 0 10 0 0 1于是得递推公式nD D ，已与（ 2.1）式相同．n n 1方法 3 在方法 1 中得递推公式D n = ( ) D n 1 － D n 22 2又因为当时 D 1 = =3 3D =2 12( ) =2 2= 0D 3 =1=3( ) -2 ( )0 14 4= ( ) 2 2( ) =n 1 n 1于是猜想D，下面用数学归纳法证明．n当n=1 时，等式成立，假设当n k 时成立．当n=k+1 是，由递推公式得D k 1 = ( ) D k － D k 1k 1 k 1 k k k 2 k 2= ( )—=所以对于n N ，等式都成立例6．计算n阶行列式：1 a 1 11Dn 1 1 a 121 1 1 an内部资料个人复习资料线性代数其中a1a2 a n 0 ．解这道题有多种解法．方法 1 化为上三角行列式Dnr ri 1i 2, ,n1 a 1 11a a1 2ac c11 jajj 2, ,nb1 1a2a a1 n0 a n其中b 1 a a1 1n1ai 2 ia11n1ai i1，于是 Dna a a1 2 n1n1ai 1 i．方法 2 升阶（或加边）法1 1 1 1 1 1 1 10 1 a 1 11升阶r r1i 1 a 0 01D 0 1 1 a 1n 2 i 2,3, ,n 1 1 0 a 020 1 1 1 an1 0 0 a nn11 1 1 1i 1 j1a c c1 j 1a na 1 j1a a a 11 2 nj 1,2, ,n 1 a ai i12an方法 3 递推法．将D改写为n1 a 1 1 01Dn1 1 a 1 021 1 1 an1 a 1 111 a 1 01按c 拆开n 1 1 a 12 +1 1 a 021 1 1 1 1 a n1 a 1 11 a 1由于1 1 a 12r ri ni 1, ,n 1a2 a a a1 2 n 1 1 1 1 1 1 1内部资料个人复习资料线性代数1a10111a02按c展开na Dn n111a n因此D=a n D n1a1a2a n1为递推公式，而D11a1，于是nD=a n D n1a1a2a n1=a1a2a n nD1n1a a a a 12n1n=a1a2a nD11n2a a a a a12n2n1n==a1a2a n D111a a a12n=a1a2a n1111a a a12n内部资料个人复习资料。

行列式典型例题

下面讨论行列式的计算方法: 行列式计算的基本方法是利用行列式的性质,将行列式化成特殊的行列式,再求值.常用方法有:降阶法、递推法、折项法、加边法等. 1 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 2 ri r2 2 2 2 2 i2 例6 2 2 3 2 0 0 1 0 2 2 2 n 0 0 0 0 n2
1
-2
.
解
方法一:由行列式的定义 f ( x) 2 x ( x) x 2 x 3 x 2 x 2 x3 x
方法二:按第一行展开,得 f ( x) 2 x
【评注】方法一适用简单情形,方法二适用较复杂情形. 1 1 设 1 1 1 1 左边 1 1 1 1 1 x 1 1 1 2 3 2 4 15 1 x 2 x3 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 2 5 1 2 4 8 0 ,求该方程的根. 4 15 0 2 5 12 x 2 x3 1 x x 2 x3 1 8 0 ,即 27 x3
xn
bn
xn
4.与分块矩阵相联系的准三角行列式
Am * O Bn AB Am O * Bn
;
O Bn
Am *
(1) mn A B
* Bn
Am O
.
二. 典型例题
2x 1 2 1 x ,则 x3 的系数是 x
例1
设 f ( x) x x
x 1 2 2 x 4
例5
设 f ( x) 2
,证明 f ( x) 0 有小于 1 的正根.
3 x2 4 x
证且
方法一: f ( x) 是 x 的多项式,则 f ( x) 在[0，1]上连续,在（0，1）内可导,

高等代数《行列式》部分习题及解答

高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列）例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。

行列式的例题

行列式的例题一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明2221112222221111112c b a c b a cb ab a ac c b b a a c c b ba a c cb =+++++++++证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得22222111112222211111b a ac c b a a c c b a a c cb a ac b b a a c b ba a cb +++++++++++++=左2222111122221111b a ac b a a c b a a c a a c b a a c b aa cb +++++++= 222111222111b ac b a c b a c a c b a c b a c b += 222111222111a cb ac b ac ba cb ac b ac b += 2221112a c b a c b a c b ==右2．计算n 阶行列式n n n n nn n b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++=212221212111解：当n=1时，D 1=a 1+b 1 ，当n=2时，D 2=（a 1+b 1）（a 2+b 2）-（a 1+b 2）（a 2+b 1） =（a 1-a 2）（b 1-b 2）当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即011113131312121212111=---------+++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n n n综上所述⎪⎩⎪⎨⎧≥=--=+=3,02),)((1,212111n n b b a a n b a D n 。

3． n 阶行列式D 中每一个元素a ij 分别用数b i-j (b≠0)去乘得到另一个行列式D 1 ，试证明D 1=D 。

行列式典型例题

可作为公式记下来．例 2.3 计算 n 阶行列式：
2
1 + a1
1
⋯
1
Dn =
1 ⋮ 1
1 + a2 ⋯ 1 ⋮ ⋮ 1 ⋯ 1 + an
其中 a1a2 ⋯ an ≠ 0 ．解这道题有多种解法．方法 1 化为上三角行列式
ri − r 1
Dn =
i = 2,⋯,n
1 + a1 − a1 ⋮ − a1
1
1
1
1
1
a b c d D5 = a 2 b 2 c 2 d 2 a3 b3 c3 d 3 a4 b4 c4 d 4
x x2 x3 x4
D5 按第 5 列展开得到的是 x 的 4 次多项式，且 x 3 的系数为
A45 = ( −1)4+5 D = −D
又利用计算范得蒙行列式的公式得
D5 = (b − a )(c − a )(d − a )(x − a ) (c − b )(d − b )(x − b ) (d − c)( x − c)( x − d )
a a
(−1)2 n+1
0 n −1
而
(−1)
n +1
最后列展开
=
⋱
= −a n−2
a
0 n −1
a n−2
Dn = a ⋅ a n −1 - a n− 2 = a n - a n − 2
方法 4 利ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式
A O = A B． O B
将最后一行逐行换到第 2 行，共换了 n − 2 次；将最后一列逐列换到第 2 列，也共换了 n − 2 次．
a1
r i −r n i =1,⋯, n−1

（完整版）行列式练习题及答案

（完整版）行列式练习题及答案一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 00000010020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-= （）. （A ）!n（B ）!)1(2)1(n n n --（C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（）个. （A ）4；（B ）2；（C ）6；（D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式：1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1． 8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．abbb a b b b a D n ΛΛΛΛΛΛΛ=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛ。

行列式典型例题

按第1列展开，并把每列的公因子 (ai a1) 提出，就有
1 11
(a2 a1)(a3 a1)(an a1)
a2
a3 an
a n2 2
a n2 3
a n2 n
n-1阶范德蒙行列式
Vn (a2 a1)(a3 a1)(an a1) (ai a j ) 2 jin
(ai a j ). 1 jin
一个5元排列也不能组成，
故 D5 0.
Dn
1 [(x 2
a)n
(x
a)n ]
（2）
例5
计算n阶行列式
x a aa
a x aa
Dn a a x a
a a ax
解法1 化为三角行列式
此题的特点与§2例6相同. 把各行都加到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a，得
1 1 11
a x aa
Dn [x (n 1)a] a a x a
0
1
(n 1)
n
1
ai
i1 ai xi
a1 a1 x1
a2 a2 x2
a3 a3 x3
an an xn
0
1
0
0
0
0
n
(ai xi )
i 1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
n
(ai
i 1
xi )(1)n (1
n i 1
ai ) ai xi
n
( xi ai )(1
i 1
0
0
0
0
x2 a2
0
0
0
0
x3 a3

行列式试题及答案

第一章行列式试题及答案一选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n(D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλ2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k+1(k 2) (C) 2k(k2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺=+++111222c bc acbc b ab acaba ( ) (A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ1二填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式；
5．利用数学归纳法计算行列式；
6．利用递推公式计算行列式；
7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式；
8．利用加边法计算行列式；
9．综合运用上述方法计算行列式.
1.3 例题分析
例 1.1 排列 14536287 的逆序数为 ( )
(A) 8 (B) 7
+L + a2n xn MMM
=
b2
⎪⎩an1 x1 + an2 x2 + L + ann xn = bn
的系数行列式 D
≠
0 ，则方程组有唯一解 x1
=
D1 D
（
i=1，2，…，n），其中 Di 是 D 中第 i
列元素（即 xi 的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．
2．如果线性齐次方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0．同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
于是 A31 + A32 + A33 = 0， A34 + A35 = 0．
12345
12345
11122
11122
A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 3 2 1 4 6 r4 + r2 3 2 1 4 6 = 0
）， x 3 的系数为（
）．
3 2x 1

行列式典型例题

第二讲行列式综合训练第一部分注意R-行，C-列例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零．n D =11a a解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．n D 11c nc a-⋅=101a aa a-=11()n a aa--=n a -2n a-方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．n D n 1r r -=111aaa -- 1nc c +=111a a a +-=na -2n a-方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式（直接展开）．n D 1c 展开=1n a aa -+11010(1)0n n aa +--而 110010(1)0n n aa +--最后列展开=21(1)n +-2n aa - =2n a -- n D =1n a a -⋅-2n a -=n a -2n a -方法4 利用公式A O OB=A B ．性质行列式中两行或者两列互换,行列式的值只改变一个符号.将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．n D =2(2)(1)n --11a aa=11a a2n a a -=na -2n a-方法5 利用公式A O OB=A B ．例2.2 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+(120n b b b ≠ )解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1211212212100n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001001nna a ab b b ---1112,,1jj c c b j n -+=+=11121112100000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)n n na ab b b b b +++ 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+其中120n a a a ≠ ．解这道题有多种解法．方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111na a a a a +--112,,j ja c c a j n+==21100nb a a其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ ．方法2 升阶（或加边）法121111011101110111n n a D a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=1211111001001na a a ---11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n =按c 拆开12111111111a a +++1211011011n a a a ++由于12111111111a a ++ 1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=1211011011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+ 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+ =12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭ =12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭例２.4 设343123211211)(------=x x x x x x x f ，证明存在),1,0(∈ζ使0)(='ζf .证因为()f x 是关于x 的二次多项式多项式,在[]1,0上连续,(0,1)内可导,且0331221111)0(=------=f ,101(1)1110121f =-=-由罗尔定理知,存在)1,0(∈ζ,使0)(='ζf .例2.5 计算D =222244441111ab c d a b c d a b c d ．解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．D 2433221r a r r ar r ar ---=222222222111100()()()0()()()b ac ad ab b ac c ad d a b b a c c a d d a ---------1c 展开=()()()b ac ad a ---222111()()()b c d b b a c c a d d a +++ 3r 拆开=()()()b a c a d a ---（333111bc d b c d +222111a bc d b c d ）其中333111b c d b c d 23221r b r r br --=222211100()()c bd b c c b d d b ---- =()()c bd b --11()()c c bd d b ++=()()c b d b --[()()]d d b c c b +-+由于222111bc d b c d 是范德蒙行列式，故222111b c d b c d =()()()c b d b d c ---D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c --- 方法2 D 213141c c c c c c ---=222222244444441000ab ac ad aa b a c a d a a b a c a d a --------- 1r 展开=()()()b ac ad a ---222222111()()()()()()b ac ad a b a b a c a c a d a d a +++++++++ 2131c c c c --=()()()b ac ad a ---221()()b a c b d b b a b a x y+--++ 1c 展开=()()()b ac ad a ---c b d b xy--其中222()()x c b a b c ac bc ab =-+++++，222()()y d b a b c ad bd ab =-+++++D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c ---=()a b c d +++()()()a b a c a d ---()()()b c b d c d ---方法3 用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在D 中添加3次幂的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：5D =22222333334444411111a b c d x a b c d x a b c d x a b c d x 5D 按第5列展开得到的是x 的4次多项式，且3x 的系数为4545(1)A D D +=-=-又利用计算范得蒙行列式的公式得5D =()()()()b a c a d a x a ----()()()c b d b x b ---()()()d c x c x d ---=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -[()()()()]x a x b x c x d ----=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -43[()]x a b c d x -++++ 其中3x 的系数为()()()b a c a d a ----()()c b d b --()d c -()a b c d +++由3x 的系数相等得：D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c ---巧妙解法例2.6 设4322321143113151||-=A ，计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ? 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解直接求代数余子式的和工作量大．可将414243A A A A +++改写为4142431111A A AA ⋅+⋅+⋅+⋅，故A 41 + A 42 + A 43 + A 44 1111321143113151-=1602102310121000-==41602(1)023012+--=62100320261=-- 例2.7 求解方程:11111111()01121111(1)x f x x n x -==---解方法1()f x 12,,i r r i n-==111100000100(2)x x n x-=---=)2()1()1(1+----n x x x n由题设知0)2()1()1()(1=+---=-n x x x x f n所以2,,1,0121-===-n x x x n 是原方程的解.方法2 由题设知,当2,,2,1,0-=n x 时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此)(x f 可写成)2()1()(+--=n x x Ax x f于是原方程0)2()1()(=+--=n x x Ax x f 的解为:2,,1,0121-===-n x x x n例2.8 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=011111111n ----1,,1j n c c j n +=-=1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---=12(1)2(1)n n n ----例2.9 计算行列式221111220000000b d b d c a c a D =．解方法1 按第一列展开：1121120000a c D a d b b =-0000111122b d c a c d =111122b d c ab a -111122b d c a c d=（22b a -111122b d c a c d ）=（22b a -）22c d （11b a -）11c d方法2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：11232311(1)a c D d b +++=-2222a c db =（11b a 11dc -）（22b a 22d c -）例2.10 计算2n D =1111nnnna b a b c d c d，其中未写出的元素都是0．解方法1 利用公式A O OB=A B ．采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作22n -次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作22n -次相邻对换），得到2n D =2(22)(1)n --1111111100000n n n n n n n n a b c d a b a b c d c d ----=2D 2(1)n D -=()n n n n a d b c -2(1)n D -=()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c -----2(2)n D -= =()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c ----- 1111()a d b c -=1()ni i i i i a d b c =-∏方法2 利用行列式展开定理进行求解．2n D 1r 展开=11111111n n nn n na b a b a c d c d d ----+12(1)nn b +-111111110n n n n na b a b c d c d c ----上面第1个行列式是A O OB的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以2n D =2112222(1)n n n n n n n a d D b c D -+----=()n n n n a d b c -2(1)n D - = =1()ni i i i i a d b c =-∏例2.11 计算5100011000110001100011a a aa D a a a a a ---=------．解方法１采用递推的方法进行求解．5D 125c c c ++=1000010001100011011a a aa a a aaa-------- 1c 展开=1001100110011a a a a a a a -------+51000100()(1)110011a a a a a a aa+------- 即 51454()(1)D D a a +=+--， 41343()(1)D D a a +=+--，31232()(1)D D a a +=+--， 221D a a =-+故 234551D a a a a a =-+-+-方法2 采用降阶的方法进行求解．5D 12(1)r a r +-=2210011000110001100011a a a a a a a a a a a -+---------213(1)r a a r +-+=232301011000110001100011a a a a a a a a a a a a a-+--+--------2314(1)r a a a r +-+-=23423400111000110001100011a a a a a a a a a a a a a a a-+-+-+---------23415(1)r a a a a r +-+-+=23450001110001100011011a a a a a a a a aa a a-+-+---------1r 展开=2345514(1)(1)(1)a a a a a +-+-+-⋅--=23451a a a a a -+-+-例2.12 证明D n =121100010nn n xx a a a x a ----+=111n n n n x a x a x a --++++证方法1 递推法按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n11111n xxx-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是 D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n= = x1-n D 1+ a 2x2-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，，第n 列的x 1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=2112110010000n n n n x x x a xa a a x a -----++213c x c +=32121231010000100010n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++= =111x fx--- n r =按展开1(1)n f+-1111n xxx----=f其中111n n n n f a a x a x x --=++++或 D n21123n nc xc x c x c -++++=122110000100001n n x xfa a a x a -----+1=按c 展开1(1)n f +-1111n x xx----=11(1)(1)n n f +---=f其中111n n n n f a a x a xx --=++++方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=1122000000000n n nnn n nx x xa a a a a a k xx x ---+++n =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n x a + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x)=111n n n n a a x a x x --++++方法4 n r n D =按展开1(1)n n a +-1000100001x x --- +21(1)n n a +--0000100001x x -- + +212(1)n a --1000000001x x --+21(1)()n a x -+100000000x x x-=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+ +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n n n n a a x a x x --++++ 例2.13 计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++＋解方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入上式得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝＝n α＋1n αβ-＋＋1n nαββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋000100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式000100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==000100001000001ββββ=βn于是得递推公式1n n n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33 D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立．当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立．第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．例2.14 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为123A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中(1,2,3)i A i =是A 的第i 行, 则行列式312122A A A A -=______.解312122A A A A -=312122A A A A -=3212A A A =12322||4A A A A -=-=例2.15 判断题(1) 若B A ，是可乘矩阵，则=AB B A ．（） (2) 若B A ，均为n 阶方阵，则A B A B -=-．（）解 (1) 错误，因为B A ，不一定是方阵，即不一定有对应的行列式．(2) 错误，例如取3003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2002B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15A B A B -=≠-=．例2.16 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证 ||||)1(||||||,A A A A A A A n T T -=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.例2.17 （数四，01，3分）设矩阵111111111111kk A k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()R A =3，则k = 解由于111111111111k k A k k =124r r r ++=3333111111111k k k k k k k++++=1111111(3)111111k k k k +=11110100(3)00100001k k k k -+-- =3(3)(1)k k +-由()R A =3，知A =0，而1k =时，()R A =1，故必有3k =-．例2.18 若B A ，，C 均为3阶可逆方阵，1-=A ，2=B ，计算C B A C T 211)(2--．解 C B A C T 211)(2--=23112T C A BC -- =223112TC A BC-=22312A B=2例2.19 设3阶方阵B A ，满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B 以及行列式B ，其中101020201A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．解由E B A B A =--2，得E A B E A +=-)(2，即 ()()A E A E B A E +-=+由于 201030202A E ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭，180A E +=≠ 001010200A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭，20A E -=≠ 111()()()()B A E A E A E A E ---=-++=-1001001/2010010200100--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以2/1||=B ．例2.20 设A 为3阶方阵，A =2，求1*1()32A A --的值．解方法1 化为关于*A 的形式进行计算．利用公式111()A A λλ--=，*1A A A-=，1n A A -*=有1*1()32A A --=1*23A A --=**23A A A -=**3A A -=*2A -=3*(2)A -=23(2)A -=32-方法2 化为关于1A -的形式计算．利用公式111()A A λλ--=，*1A A A -=，1A -=1A，有 1*1()32A A --=1123A A A ---=14A --=3(4)-1A=32- 例2.21 （数四，98，3分）设B A ，均为n 阶方阵，A =2，B =-3，求1*2-B A 的值．解 1*2-BA =1*2-BA n =n21-n AB1⋅=n 212-n 31-=3212--n 例 2.22 若21321,,,,ββααα都是4维列向量，且4阶行列式n =3221,,,αβαα，m =1321,,,βααα，计算4阶行列式32112,,,αααββ+的值．解如果行列式的列向量组为n ααα,,,21 ，则此行列式可表示为n ααα,,,21 ，利用行列式的性质，有=+21123,,,ββααα3211,,,αααβ+3212,,,αααβ=1231,,,αααβ--3221,,,ααβα=1231,,,αααβ-+1223,,,ααβα=n m -例2.23 计算行列式OB AO B A ，，||||，其中12112(1)121121n n x n x n A x n n x n n -+⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪=⎪+- ⎪ ⎪+-⎝⎭， 100002000010000B n n ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭解 ||A =12112(1)121121n n x n xn x n n x n n-+-++-+-12,,121000000i r r i nn n xx x x x x x-=-+-=--1,,1n j c c j n +=-=(1)121200000000n n n x x x x +-+这是逆对角的上三角行列式，所以(1)12(1)(1)()2n n n n n A x x --+=-+ 又!||n B =，故12)1(!)2)1(()1(2-+-++-=n n n n x n x n n O B A O ．注这里用了公式：若A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则O AB O=(1)mn -A B ．例2.24 若A 为n 阶方阵，E 为单位矩阵，满足TAA E =，0A <，求 A E +．解方法1 由TAA E =有A E +=T A AA +=()T A E A +=()T A E A +=A ()TE A +=A E A +=A A E +即(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．方法2 因为 ()T A E A +=T T AA A +=TE A +=A E +即 A E +A =A E +有(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．方法 3 由TAA E =知矩阵A 为正交矩阵，即T AA =1，2A =1，又因为0A <，所以有1A =-，故A E +=A 1E A -+=TE A -+=E A -+即2A E +=0，A E +=0．例2.25 若A 为n 阶正定矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明A E +的行列式大于1．证方法1 因为A 为正定矩阵，因此所有的特征值大于零．设A 的n 个特征值为1,1,2,,i i n λ== ，且0i λ>，由特征值的性质知，A E +的n 个特征值为1,1,2,,i i n λ+= ，于是1(1)(1)1n λλ++> ．方法2 因为正定矩阵是对称矩阵，因此A 可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵P 有11n P AP λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（0,1,2,,i i n λ>= ）即 11n A P P λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111n A E P P PP λλ--⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭ =1111n P P λλ-+⎛⎫⎪ ⎪⎪+⎝⎭A E +=1111n PP λλ-++=1(1)(1)1n λλ++>例2.26 设11112222a a A nn n n a +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭ ，求A 解利用特征值法进行求解，即利用公式12n A λλλ= ．11112222aa A nn n n a +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭ =100000000a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ +11112222a nn n n a ⎛⎫ ⎪+⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭= =11112222aE n n n n ⎛⎫ ⎪⎪+ ⎪⎪⎝⎭矩阵11112222n n n n⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭的秩为1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为11122nna a aλ=++ =(1)2n n+，23nλλλ====0所以A特征值为(1),,,2n na a a++ ，故A=1(1)[]2nn na a-++．21。

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大学——行列式经典例题例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式解方法1由题设知， an =0,a 〔2 1 , L,a1nn 1丄故0 1L n 10 1 L n 11L n2rir 111 L1D nMOi n ,n1,L ,2MOn 1 n2 L 011 L1n 1 n L L n 12L L1C j CnM O OL ( 1)n 12* 2(n 1)j 1,L ,n 1M0 2L 01其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行•第二步用的每列加第n 列.证明：考察范德蒙行列式：=(a 一②o -打)3 -刃3 一(匚-y)1 L n 111 L1 1 0Ln 2r i r i 1 1 1 L1MOi 1,2,L ,n 1M On 1n 2Ln 1n 2 L方法2 D nCj qj 2,L ,n例2. 11 M n 1设a ,0 L 2 L O 2n 3 Lb ,c 是互异的实数=0=(1)n 12n 2(n 1)的充要条件是a + c =0.=-1 ■■■■ J J - I .■- ■ ■ J I .1 1 1a b c行列式云即为y2前的系数•于是1 1 1a b c口m ={a-b)[a - e)(b-c){a-\-b-\-c)=0所以的充要条件是a + b + c = 0.例3计算Da n 1 a n 2 a i解：方法1递推法按第列展开,D n = x D n 1 + (-1) a n由于D1 = x + a1，D221+ a n=x(x D n 2+a n 1) + a n=x D n 2+ a2 a1n 1a n 必+ a n = L = x D 1+ an2Xn+ a n 1x + a n =xna〔x L a n 1x a n方法2第2列的x倍，第3列的x 倍, ，第n列的x n1倍分别加到第1列上q XC2D na n xa n 1 a n 1 a n 2 K x a1=(-1)x0 K 0 0x1 K 00 01 K, .、2n 1x K++ ( 1) a 2M MM MM MM M 00 K x 10 K1x1 K 0 0v \0 x K0 0x)MMM M 10 0 L0 xK 00 1 x 1n (-1)(-1)1Xn 2a n + ( 1)2n (a 1n 1a n + 2(-1)n 2 (1) anC | x 2C 3a n xa n 1a n 2 a n 1an a n 3a i按*展开1)n1n n 1x a 1XL a n 1X a n方法利用性质, 将行列式化为上三角行列式.1C 2C 1x1 C 3C2xD nL1Cn $x按J 展开=a na na na n 13n_ -2xk nk n = xa n 1X方法按r n 展开D n1)n1(a n 1 n x+jx+x)na xn(-1)2n1(— 1) a 2x n2n , . n 1+ (— 1) ( a 1+x) xa nb n解采用升阶（或加边）法•该行列式的各行含有共同的元素b n这个题的特殊情形是可作为公式记下来.例5.计算n 阶“三对角”行列式K 0 01K 0 0 D n =0 1 +K0 0M MMMMa n a n 1X L a 1X n 1例4.计算 n 阶行列式:D na 1 Ma 2 a 2b 2 Ma n a n Ma 2 原行列式值不变的情况下，增加一行一列, 简后出现大量的零元素. 适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化升阶 D n1 a0 a 1 b|a 2a n ai1 C icj 2,L,n 1a 2a 2b 2 M a n a n M L rn 1ria 2b 1a 1b1a n a 2b 2 Mb na n=db 2L a 1 bi 0 b n (1a 2 0a n 0b 2M31b 1b nb nD na 1 x a 2 a n a 1 M a 2M a n M =x1(xaja 1a 2a n0 0上式右端第一个行列式等于aD n 1，而第二个行列式1 D n = 01 M M 00 K 0K 0 + K 0 MM0 K 11 M 0 0K 0 0 K 0 0 K 0 0 M M M0 K 0K1由递推公式得2 ,=aD n 2 +方法2把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式按q 展开D n()D n 1 —按^展开()D n 1 —即有递推关系式 D n = (0 K0 01K0 0M M MMM0 K1(n 1)D n 2)D n 1 一D n 2(n 3)递推得到D nD n (D nD n 2)=2(D nD n 3)(D 2DJ而D 1 (D 2 =a+a+代入得D nD n 1D nD n(2.1)D nD n 11)n+ n1 + +当a=B 寸解方法1递推法.故 n D n 1・12)D n(D n 1 n 1—a=3 1=(所以对于n N ，等式都成立例6. 计算n 阶行列式:a 2 Ma nK 0 00 0 K0 01K 0 010 K0 01 K 0 0 c aq 11K0 0 MM M M Mi 2,L ,nM M MM M 00 0 K0 0 K10 K1已与 2.1 ）式相同.1nD n D nn于是得递推公式方法3 在方法中得递推公式)D n 1D n又因为当 D i =D 2=()2=()3-2于是猜想D n)(2)=1-,下面用数学归纳法证明.当n=1时，等式成立，假设当当n=k+1是，由递推公式得时成立.)D kD k1D n其中6a2L a n 0 .解这道题有多种解法.方法1化为上三角行列式1 a1 1 L 1 a1C1 _C jb 1 L 1ri H a1 a2 a j 0 a2D ni 2,L ,n M O j 2,L ,n M Oa1 a n 0 a nn1a11n1i 1 a i ，于是D n a&L a n 1n其中b 1 a i a i方法i 2 a i i 1 a i升阶（或加边）升阶D na11Mr ia2M2,3,L,na1Ma n1C1a-Cj11,2,L ,n 1a ja1a2a n方法3递推法•将D n改写为1 a1 1 L 1 1 a2 LM M1 1 L1 0 1 0 M 1 a n由于a2M1 a ia n111 a1111 a2LL+M M M M1 1 1 L a n1 a1 1 L按cn拆开1 1 a2 LM M1 1 L1 a1 1 L 1a11 1 a2L 1 r i R a2M M M /|i 1,L ,n 11 1 L 1 1 1 L 1a t a? L a n 11 a11 a2 L 0 按入展开M 9n D n1因此D n=3n D n 1 a n 1为递推公式，而D1D n =a n D n 1 a1 a2 L a n 1 = a1a2L a na nD n 2D n 1a1a2L a n 1 a n a1a2L a n 2 a n 1—=L L a nD a1 1a2—=a1a2L a n 丄丄a〔a?。