高等代数5二次型矩阵

x1 x 2) 令 X = 2 , 由 x n
a11 a12 ... a21 a22 ... X ′AX = ( x1 , x2 ,..., xn ) a a ... n1 n 2 n ∑ a1 j x j = jn 1 a x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∑ 2 j j j =1 n ∑ anj x j j =1
+ a33 x3 + + 2a3 n x3 xn
2
+ + ann xn
= a11 x12 + 2∑ a1 j x1 x j + ∑∑ aij xi x j
j=2 i=2 j=2 n n n n n
2
= a11 x12 + 2 x1 ∑ a1 j x j + ∑∑ aij xi x j
j=2 i =2 j=2
f ( x1 , x2 ,..., xn ) = X ′AX 完全由对称矩阵 决定.) 完全由对称矩阵A决定 决定
二,非退化线性替换
是两组文字, 1,定义: x1 , x2 , , xn ; y1 , y2 , , yn 是两组文字 定义:
cij ∈ P , i , j = 1,2,...n ,关系式
n
= a11[ x12 + 2 x1 ∑ a111a1 j x j + ( ∑ a111a1 j x j )2 ] a11 ( ∑ a111a1 j x j )2 + ∑ ∑ aij xi x j
j=2 i =2 j=2 n j=2 n j=2 n
n
n
配方 法
= a11[ x1 + ( ∑ a111a1 j x j )]2 a111 ( ∑ a1 j x j )2 + ∑∑ aij xi x j
x1 = c11 y1 + c12 y2 + + c1n yn x2 = c11 y1 + c12 y2 + + c1n yn x = c y + c y ++ c y n1 1 n2 2 nn n n
③
称为由 x1 , x2 , , xn到y1 , y2 , , yn 的一个线性替换; 的一个线性替换; 线性替换 若系数行列式|c ≠0,则称 则称③ 非退化线性替换. 若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
n×n
D = C ′ 2(C ′1 AC 1)C 2 = (C 1C 2 )′ A(C 1C 2 )
| C 1C 2 |=| C 1 || C 2 |≠ 0, 即C1C2可逆 可逆.
2)合同矩阵具有相同的秩. )合同矩阵具有相同的秩. B = C ′AC , C可逆 秩( B ) = 秩 ( A) 可逆 3)与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. )与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. A′ = A, B = C ′AC , C 可逆
... ... ...
④
c1n c2 n cnn
( )
n×n
为可逆矩阵 .
2)若X=CY为非退化线性替换,则有非退化 ) 为非退化线性替换, = 为非退化线性替换 线性替换 Y = C 1 X .
3,二次型经过非退化线性替换仍为二次型
事实上, 事实上,
f ( x1 , x2 ,..., xn ) = X ′AX
2,线性替换的矩阵表示
c11 c12 x1 y1 c21 c22 x2 y2 令 X = ,Y = , C = x y c c n n n1 n 2
则③可表示为X=CY 可表示为 ≠0, 为非退化线性替换. 若|C| ≠0,则④为非退化线性替换. 注 1)③或④为非退化的 C = cij )
B′ = (C ′AC )′ = C ′A′ C = C ′AC = B
2,经过非退化线性替换,新二次型矩阵与 经过非退化线性替换, 原二次型矩阵是合同的. 原二次型矩阵是合同的.
进而,有: 若A′ = A, B′ = B , 进而, 二次型X 可经非退化线性替换化为二次型 可经非退化线性替换化为二次型Y 二次型 AX可经非退化线性替换化为二次型 BY 合同. 与 合同 A与B合同.
j=2 n j=2 i=2 j=2
n
n
n
n
= a11[ x1 + ( ∑ a111a1 j x j )]2 + ∑∑ bij xi x j
j=2 i =2 j=2 n
n
n
bij xi x j = a111 ( ∑ a1 j x j )2 + ∑∑ aij xi x j 这里, 这里,∑∑
i =2 j=2
平方和的形式?若能,如何作非退化线性替换? 平方和的形式?若能,如何作非退化线性替换?
一,二次型的标准形
1,(定理1)数域P上任一二次型都可经 ,(定理1 数域P 定理 过非退化线性替换化成平方和的形 对二次型变量个数n作归纳法 作归纳法. 证明: 对二次型变量个数 作归纳法 n=1时,f ( x1 ) = a11 x1 , 结论成立 时 结论成立.
a1n x1 a 2 n x2 ann xn
= x1 ∑ a1 j x j + x2 ∑ a2 j x j + + xn ∑ anj x j
j =1 j =1 j =1
n
n
n
= ∑ ( xi ∑ aij x j ) = ∑∑ aij xixj
i =1 j =1 i =1 j = 1
(标准形) 标准形)
只含平方项的多项式
一,n元二次型
1,定义:设P为数域, aij ∈ P , i , j = 1,2, , n, 定义: 为数域, 为数域
n个文字 x1 , x2 , , xn 的二次齐次多项式 个文字
2 f ( x1 , x2 , , xn ) = a11 x1 + 2a12 x1 x2 + + 2a1n x1 xn
+ a22 x + + 2a2 n x2 xn
2 2
+ a33 x3 + + 2a3 n x3 xn
2
①
+
2 + ann xn
称为数域P上的一个 元二次型 称为数域 上的一个n元二次型. 上的一个 元二次型.
注
1) 为了计算和讨论的方便 式①中 xij ( i < j ) 的系数 为了计算和讨论的方便,式 写成 2aij . 2) 式① 也可写成
2
假定对n- 元二次型结论成立 元二次型结论成立. 假定对 -1元二次型结论成立 下面考虑n元二次型 下面考虑 元二次型 f ( x1 , x2 , , xn ).
f ( x1 , x2 , , xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + + 2a1n x1 xn + a22 x2 2 + + 2a2 n x2 xn
§5.2 标准形
一,二次型的标准形 二,合同的变换法
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
d1 x12 + d 2 x2 2 + + d n xn 2
它的矩阵是对角阵
d1 0 diag ( d1 , d 2 , , d n ) = 0
0 d2 0
0
0 0 dn
?
任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成
.
n
n
n
n
j=2
i=2 j=2
是一个 x2 , x3 , , xn 的n-1元二次型 元二次型. - 元二次型
n n y1 = x1 + ∑ a111a1 j x j x1 = y1-∑ a111a1 j y j j=2 j=2 令 y =x 或 x =y 2 2 2 2 yn = x n x n = yn
i=2 j=2
由归纳假设, 由归纳假设,对
∑∑ bij yi y j 有非退化线性替换 i =2 j=2
n
n
z2 = c22 y2 + c23 y3 + c2 n yn z3 = c32 y2 + c33 y3 + c3 n yn z = c y + c y + c y n2 2 n3 3 nn n n
n
n
n
n
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) = X ′AX .
注 1)二次型的矩阵总是对称矩阵,即 A′ = A. )二次型的矩阵总是对称矩阵 即 2)二次型与它的矩阵相互唯一确定,即 )二次型与它的矩阵相互唯一确定, 若 X ′AX = X ′BX 且 A′ = A, B′ = B ,则 A = B . (这表明在选定文字 x1 , x2 ,..., xn下,二次型
第五章 二次型
§5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 5.4
§5.1 二次型的矩阵表示
一,n元二次型 二,非退化线性替换 三,矩阵的合同
在解析几何中, 在解析几何中, 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f = ax 2 + 2bxy + cy 2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 θ,逆时针旋转 坐标轴
d 2 z2 2 + d 3 z3 2 + + d n zn 2 使它变成平方和
a12 x1 1 a11 x2 即, = 0 1 x n 0 0
且使
0
a1n y1 a11 y 它是非退化的, 0 2 , 它是非退化的, y 1 n
n n
f ( x1 , x2 , , xn ) = a11 y12 + ∑∑ bij yi y j .
X = CY
| C |≠ 0