3.4.3直线与圆锥曲线的交点
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征3.4.3直线与圆锥曲线的交
||
1
=e= ,∴|MN|=2|MF|,
||
2
则
即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|,
当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时,|AM|+2|MF|取得最小值,
此时
2
2
yM=yA=√3,代入 + =1,
16 12
得 xM=±2√3,
由题意知点 M 在第一象限,∴M(2√3, √3).
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
一题多解
弦长问题
【例 3】
2
已知椭圆 C: 2
+
2
2 =1(a>b>0),直线 l 1: − =1 被椭圆 C
截得的弦长为 2√2,过椭圆 C 的右焦点且斜率为 √3的直线 l2 被椭圆
2
5
思维点拨:由直线l1方程的特点,知直线l1恰好过椭圆的两个顶点,即有
3.4.2
圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)
的共同特征
3.4.3 直线与圆锥曲线(yuán zhuī qǔ
xiàn)的交点
第一页，共31页。
学 习 目 标
思
1.通过例子,归纳出圆锥曲线的共
同特征.
2.理解并掌握圆锥曲线的共同特
征,感受圆锥曲线在解决实际问题
中的作用,进一步体会数形结合的
(3)直线l与双曲线没有公共点.
思维点拨:在解决直线与双曲线位置关系时,对消元后的方程的二次项系
数是否为零应分类讨论,且要结合判别式讨论.
第十二页，共31页。
高中数第三章圆锥曲线与方程4.24.3圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选修21
课堂小结 对直线与圆锥曲线位置关系的进一步理解 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看有三种：相离、相交和相 切.相离时，直线与圆锥曲线无公共点；相切时，直线与圆锥曲线有一个 公共点；相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线、抛物线 的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线 的对称轴平行时)或两个. (2)直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度看来(几何问题代数化)是直 线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相 交；一组解时，若化为x或y的方程，二次项系数非零，判别式为零时必 相切，若二次项系数为零，有一组解时必相交(代数结果几何化).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 已知双曲线的一个焦点为 F1(－ 3，0)，且渐近线为 y＝± 2x， 过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线交于 P1、P2 两点. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
解析答案
(2)过点B(1,1)，能否作直线l′，使l′与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且 B是线段Q1Q2的中点？请说明理由. 解 假设存在直线l′，同(1)可得l′的斜率为2，l′的方程为y＝2x－1.
高中数第三章圆锥曲线与方程4.24.3圆锥曲 线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件
北师大版选修21
学习 目标
1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单应用. 2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点 的距离与它到一条定直线 的距离之比为定值e.
当 0<e<1 时，该圆锥曲线为椭圆；
4.3直线与圆锥曲线的交点
4.3直线与圆锥曲线的交点学习目标：1.会求直线与圆锥曲线的交点坐标，会求与弦有关的简单问题（相交弦长、中点弦所在直线方程）.2.若已知直线与圆锥曲线的交点个数会求参数的取值范围学习重点：掌握利用对应方程解决直线与圆锥曲线交点的问题的方法.学习难点：理解解析几何中利用代数的方法解决几何问题的方法.自主学习1.两曲线的交点两条曲线C1 :f(x,y)=0, C2:g(x,y)=0.条件:若点M(x0,y0)是曲线C1与C2的一个交点.结论:点M(x0 ,y0)满足方程f(x,y)=0,也满足方程g(x,y)=0,从而,曲线C1与C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来,该方程组的任意一组实数解都对应着这两条曲线的坐标.2.如何判断直线与圆锥曲线的交点个数？合作探究探究一直线与圆锥曲线的公共点的坐标问题例1:给定椭圆方程22154x y+=，斜率为1的直线过其焦点F2(1,0)，直线与椭圆相交于A,B两点，求A与B的坐标. 延伸探究：（1)求AB的长度，AB的中点坐标(2)已知椭圆方程22154x y+=,求以点P(1,1) 为中点的弦所在的直线方程.探究二直线与圆锥曲线的公共点的个数问题例2 若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.变式训练：（1）若题目改为没有公共点，求a的取值范围（2）若题目改为有两个公共点，求a的取值范围探究三直线与圆锥曲线恒有公共点问题例3不论k为何值,直线y=kx+b 与椭圆22194y x+=总有公共点,求b的取值范围？课堂小结本节课你收获了什么？知识方面：思想方面：课后自测1.过点(0,1)的直线m与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则满足条件的直线m共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条2.直线l:y=kx+1与椭圆C:2215x ym+=恒有公共点,则实数m的取值范围是( )A.(0，1)B.[1，+∞）C.(5,+∞)D.[1,5)(5,)+∞3.已知双曲线221x y-=及直线y=kx-1,若双曲线与直线有交点，求k的取值范围.。
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题在解决与圆锥曲线相关的问题时，直线与圆锥曲线的交点是一个关键因素。
本文将介绍一些圆锥曲线解题的技巧，重点探讨如何通过直线与圆锥曲线的交点来解决问题。
一、直线与圆锥曲线的交点在解决圆锥曲线问题时，我们经常需要求解直线与圆锥曲线的交点。
求解这些交点能够帮助我们确定曲线的形状、性质以及其他重要参数。
接下来，我们将介绍两种常见的直线与圆锥曲线交点求解方法。
1. 利用代数方法求解交点一种常见的方法是通过代数方程求解直线与圆锥曲线的交点。
假设我们有一个圆锥曲线方程和一个直线方程，求解这两个方程的交点即可得到交点的坐标。
具体步骤如下：（1）将直线方程代入圆锥曲线方程，列出方程组。
（2）解方程组，求解交点坐标。
这种方法适用于各种类型的圆锥曲线，例如椭圆、双曲线和抛物线等。
2. 利用几何方法求解交点除了代数方法，我们还可以利用几何方法快速求解直线与圆锥曲线的交点。
以下是一些常见的几何方法：（1）切线法：对于一条切线，它与圆锥曲线相切于一个交点。
通过构造一条切线，我们可以找到直线与圆锥曲线的一个交点。
这种方法适用于某些特定的圆锥曲线，例如抛物线。
（2）平行线法：对于一条平行于坐标轴的直线，它与圆锥曲线相交于两个交点。
通过确定直线与圆锥曲线的一个交点，并利用平行线性质，我们可以求解另外一个交点。
这些几何方法能够有效地求解直线与圆锥曲线的交点，帮助我们更好地理解曲线的特点和性质。
二、应用案例分析接下来，我们将通过一些应用案例来展示如何利用直线与圆锥曲线的交点解决问题。
案例一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为x^2/16+y^2/9=1，要求椭圆的焦点坐标。
解析：椭圆的焦点是直线与椭圆的交点。
我们可以选择一条经过椭圆顶点的切线，找到切点作为一个焦点。
具体步骤如下：（1）求解椭圆的顶点坐标：将x=0代入椭圆方程，得到y=±3。
所以椭圆的顶点坐标为(0,3)和(0,-3)。
4.3直线与圆锥曲线的交点(教案 学案作业含答案)
4.3 直线与圆锥曲线的位置关系（两课时）教学目标：1．掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题;2．会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题;3．会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题 掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法;4．会用弦长公式|AB |=21k +|x 2－x 1|求弦的长．题型1：交点个数问题例1. 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？ 解： 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=13122y x ax y ⇒ (3－a 2)x 2－2ax －2＝0 ① 显然a 2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．若交点A 、B 在双曲线同支上，则方程①满足：⎪⎩⎪⎨⎧>->-+=∆0320)3(84222a a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-3366a a a 或⇒a ∈(－6，－3)∪(3，6) 若A 、B 分别在双曲线的两支上，则有：⎪⎩⎪⎨⎧<->-+0320)3(84222a a a ⇒a ∈(－3，3) 【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法。
反思1：直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程02=++c bx ax ，讨论∆及判别式a 得关于x 的方程02=++c bx ax 解析的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：(1)注意0=a 与0≠a 两种情况，只有0≠a 时，才可用判别式确定解的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 .（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切． 题型2：与弦中点有关的问题例2已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜消去y 00a ≠⎧⎨∆=⎩0,0.a b =⎧⎨≠⎩率之积为－2.(Ⅰ)求动点M 的轨迹方程;(Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程.【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设(,)M x y ， 因为2AM BM k k ⋅=-,:()22221x y x +=≠± (Ⅱ) 设1122(,),(,)C x y D x y 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11((,22C D ,其中点不是N ,不合题意，设直线l 的方程为11()2y k x -=-将1122(,),(,)C x y D x y 代入()22221x y x +=≠±得221122x y +=…………(1) 222222x y += (2)(1)-(2)整理得:12121212122()12()212y y x x k x x y y ⨯-+==-=-=--+⨯ 直线l 的方程为111()22y x -=-- 即所求直线l 的方程为230x y +-=解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11(,),(,2222C D -, 其中点不是N ,不合题意.故设直线l 的方程为11()2y k x -=-,将其代入()22221x y x +=≠±化简得222(2)2(1)(1)2022k kk x k x ++-+--=由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ⎧--+-->⎪⎪⎪-⎪+=-⎨+⎪⎪--⎪⋅=⎪+⎩,又由已知N 为线段CD 的中点,得122(1)222kk x x k -+=-+12=,解得12k =-, 将1k =-代入(1)式中可知满足条件.此时直线l 的方程为111()22y x -=--,即所求直线l 的方程为230x y +-=反思2：通过将C 、D 的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ 的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁练习： 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点，N 为弦AB 的中点.求直线ON （O 为坐标原点）的斜率ON K 。
4.3直线与圆锥曲线的交点
答案： 答案：D
1．弦长问题 ． 利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形， k不 利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不 不存在的情形 存在时，可直接求交点坐标再求弦长． 存在时，可直接求交点坐标再求弦长．
2．中点弦问题 ． 遇到中点弦问题常用“根与系数关系 或 点差法 点差法”求 遇到中点弦问题常用 根与系数关系”或“点差法 求 根与系数关系 解．在椭圆 直线的斜率k= 直线的斜率 中，以P(x0，y0)为中点的弦所在 为中点的弦所在 ；在双曲线 中，以 ；在抛物线
二、圆锥曲线的弦长问题 设直线l与圆锥曲线 相交于 两点， 设直线 与圆锥曲线C相交于 、B两点，A(x1，y1)， 与圆锥曲线 相交于A、 两点 ， B(x2，y2)，则弦长 ，则弦长|AB|＝ ＝ .
1．过原点的直线l与双曲线 ．过原点的直线 与双曲线 线l 的斜率的取值范围是
有两个交点， 有两个交点，则直 ( )
易证. （1）联立方程消元利用 ）联立方程消元利用Δ>0易证 易证 （2）结合条件分析出 ） 易求. 易求
1．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线 ： ．已知直线 ＝ ＋ 与抛物线C： 与抛物线 y2＝8x相交于 、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2 相交于A、 两点 为 的焦点 两点， 的焦点． 相交于 ＝ |FB|，则k＝ ， ＝ ( )
等
∴ 答案： 答案：4a
= 4a.
5．若直线mx＋ny＝4和圆 ：x2＋y2＝4没有公共点，则过 ．若直线 ＋ ＝ 和圆 和圆O： 没有公共点， 没有公共点 点(m，n)的直线与椭圆 ， 的直线与椭圆 ________． ． 解析：由已知可得 点在椭圆内， 解析：由已知可得m2＋n2<4，又(m，n)点在椭圆内，故必 ， ， 点在椭圆内 个交点． 有2个交点． 个交点 答案： 答案：2 的交点个数为
4.3直线与圆锥曲线的交点
直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法:
判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置关系时,通常将直线 l 的方程
Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 r 的方程 F(x,y)=0.消去 y(也可
以消去
x)得到一个关于变量
x(或变量
y)的方程,即
������������
时,若 r 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平线的对称轴的位置关系是平行.
2.直线与双曲线有一个公共点时,应注意区分是交点还是切点;直线与 双曲线有两个公共点时,应注意是在一支上有两个交点,还是在两支上各有 一个交点.主要是运用数形结合,判断直线的斜率 k 存在与否及找出 k 与渐
+ ������������ + ������ = ������(������,������) = 0,
0,消去
y 得 ax2+bx+c=0.
(1)当 a≠0 时,则有 Δ>0,直线 l 与曲线 r 相交;Δ=0,直线 l 与曲线 r 相
切;Δ<0,直线 l 与曲线 r 相离.
(2)当 a=0 时,即得到一个一次方程,则 l 与 r 相交,且只有一个交点,此
思考 3 如何解决弦长问题?
提示:连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,设弦 AB 两端 点的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为 k,则|AB|= 1 + ������2|x1-x2|=
1 + ������2· (������1 + ������2)2-4������1������2 = 1 + ���1���2|y1-y2|.
3.4.3直线和圆锥曲线的交点(1)
小结：
1 判别式法求直线和椭圆的关系， 将两个方程式联立．
消去y则得到关于x的一元二次方程 Ax Bx C 0 算 △＞０：相交于两点； 判 △＝０：相切； 别 △＜０：相离． 式
2
2 弦长公式：| AB |
1 k | x1 x2 |
2
作业：
P89 习题3-4 第3,7题
25 x 32mx 16m 144 0
2 2
576 25 m 2
所以：m 5 或 m 5 时，l 与 c 相离；
m 5
时，l 与 c 相切；
5 m 5 时，l 与 c 相交；
归纳：
判别式法求直线和椭圆的关系，将两 个方程式联立．
消去y则得到关于x的一元二次方程 Ax Bx C 0
8 3 两交点坐标为A0， 1，B ， 5 5
8 3 8 2 AB 0 1 5 5 5
2
2
总结：直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦 AB两端 点坐标为（x1, y1 ）、（x2, y2），则有弦长公式：
Байду номын сангаас
| AB | ( x1 x2 ) ＋( y1 y2 )
2
2
y1 y2 2 ( x1 x2 ) [1 ( ) ] x1 x2
2
( x1 x2 ) (1 k ) 1 k |x1 x2|
2 2 2
1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2 2
练习2 给定椭圆方程
x2 y2 1 5 4
，斜率
2
算 判 别 式
△＞０：相交于两点； △＝０：相切；
直线与圆锥曲线的交点
§4.3直线与圆锥曲线的交点问题：1. 直线与圆有哪些位置关系？其判定方法是怎样的？2．如何求直线与圆的交点坐标？直线与圆锥曲线的交点一、求直线与圆锥曲线的公共点的坐标问题例1已知过点（0,1）且斜率为1的直线与椭圆2244x y += 相交于A 、B 两点，求A 、B 两点的坐标.问题1如何求弦长AB ？小结：（1）求直线与圆锥曲线的交点一般是把直线方程和圆锥曲线方程联立解方程组即可；（2）求直线被圆锥曲线所截得的弦长，方法一：求出交点，再利用两点间的距离公式求；方法二：利用弦长公式.练习：过双曲线22136x y-=的右焦点2F，倾斜角为30 的直线交双曲线于A、B两点，求弦长AB.二、直线与圆锥曲线的公共点的个数问题例2 已知直线l：2y x m=+，椭圆C：22142x y+=，试问当m取何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个不同的公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？小结：直线与圆锥曲线交点个数的判定问题：判断直线l与圆锥曲线C的交点个数时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程f(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程．即(,)0A xB y Cf x y++=⎧⎨=⎩，消去y后，得ax2＋bx＋c＝0.(注意：若f(x，y)＝0表示椭圆，则方程中a≠0)，为此有：(1)若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是拋物线时，直线l与拋物线的对称轴平行(或重合)．此时直线与圆锥曲线只有一个交点（注意：当直线l与双曲线的渐近线重合时，没有交点）.(2)若a≠0，Δ＝b2－4ac，①Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点；②Δ＝0时，直线与圆锥曲线只有一个交点；③Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有交点．练习：已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，问当k 为何值时，直线l 与抛物线（1）只有一个公共点？（2）有两个公共点？（3）没有公共点？三、直线与圆锥曲线恒有公共点问题例3 若直线1y kx =+与交点在x 轴上的椭圆2215x y m +=总有公共点，求m 的取值范围.练习：直线3y x =+与曲线2||194y x x -=（ ）A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点。
圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件ppt
坐标．
1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离 与到定直线的距离的比值是常数e.
2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方 程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．
[例 1] 曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它 到直线 l：x＝156的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2) 在曲线求一点 P 使|PF|＝5.
∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16. 两式相减，得(x12－x22)＋4(y21－y22)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴xy11－ －yx22＝－4yx11＋＋yx22＝－12，即 kAB＝－12. ∴所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
当 P 点的纵坐标(横坐标大于零)与 A 点的
纵坐标相同时，|PA|＋d 最小，如图． 把 y＝2 代入1x62 ＋1y22 ＝1，
得
x＝4 3
6(负值舍之)，即
4
P
3
6，2为所求的点.
[例2]
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆
x2 5
＋
y2 m
＝1
总有公共点，求m的取值范围．
[思路点拨] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，把 A，B 两点的坐标代 入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线 AB 的斜 率，从而可求直线 AB 的方程，再联立方程求得 A、B 的坐标，根 据两点间的距离公式求|AB|.
[精解详析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在椭
第3章 §4 4.2~4.3 直线与圆锥曲线的交点
4．2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲线的交点学习目标 1.了解圆锥曲线的共同特征.2.会求曲线的交点.3.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定.4.理解弦长公式及其求解应用．知识点一 圆锥曲线的共同特征——统一定义圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e .当0＜e ＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线；当e ＞1时，圆锥曲线是双曲线．此即为圆锥曲线的统一定义．知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线M 的方程为f (x ，y )＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消去y ，可得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时有：(2)当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0只有一个解，即直线与圆锥曲线只有一个公共点，此时该直线与圆锥曲线不是相切，而是相交． 知识点三 两曲线的交点已知两条曲线C 1，C 2的方程分别为F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，则点P 0(x 0，y 0)是C 1，C 2的交点⇔⎩⎪⎨⎪⎧F (x 0，y 0)＝0，G (x 0，y 0)＝0.方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同的交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点．1．平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的集合是圆锥曲线．(×)2．对于双曲线x 225－y 29＝1，右支上的点满足“平面内到定点F (4,0)与到定直线l ：x ＝254的距离的比等于45”左支上的点不满足．(×)3．若直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与圆锥曲线必相切．(×) 4．直线与椭圆有一个公共点的充要条件是它们组成的方程组有唯一解．(√)类型一 圆锥曲线共同特征的应用例1 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (c,0)，离心率e ＝ca ，点A 在椭圆上，d 为点A 到定直线l ：x ＝a 2c 的距离．求证：|AF |d ＝e .考点 圆锥曲线定义的应用 题点 圆锥曲线定义的应用证明 设点A (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点，|AF |d＝m (m ＞0)，则(x －c )2＋y 2⎪⎪⎪⎪x －a 2c ＝m ，两边平方整理得(1－m 2)x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫2c －2a 2m 2c x ＋⎝⎛⎭⎫a 4m 2c 2－c 2，比较椭圆方程b 2x 2a 2＋y 2＝b 2的各项系数，得2c －2a 2m 2c ＝0，所以m 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2， 因为m ＞0，所以m ＝c a ，即|AF |d＝e .反思与感悟 圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线(定点不在定直线上)的距离之比是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线方程．跟踪训练1 (1)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．则动点M 的轨迹C 的方程为________．(2)已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，其上一点P 满足|PF 1|＝5|PF 2|，则点P直线x ＝165的距离为________．考点 圆锥曲线定义的应用题点 用定义判断曲线类型或求方程 答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)85解析 (1)如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意知，d ＝2|MN |， 由此得|4－x |＝2(x －1)2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，所以动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8， 又|PF 1|＝5|PF 2|，得|PF 2|＝2，设点P 到直线x ＝165的距离为d ，则|PF 2|d ＝c a ＝54，得d ＝85. 类型二 直线与圆锥曲线的位置关系例2 已知双曲线C ：x 24－y 2＝1和定点P ⎝⎛⎭⎫2，12，过点P 可以作几条直线与双曲线只有一个公共点？考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线公共点个数问题解 当过P 点的直线l 斜率存在时，y －12＝k (x －2)，与x 24－y 2＝1联立消去y ，得(1－4k 2)x 2－k (4－16k )x －(16k 2－8k ＋5)＝0.(*)①当1－4k 2＝0，即k ＝±12时，(*)式变为一元一次方程，解得x ＝52或x ＝136，l 与双曲线分别交于⎝⎛⎭⎫52，34和⎝⎛⎭⎫136，512，此即直线过点P 且平行于渐近线的情形． ②当1－4k 2≠0，由Δ＝0，得k ＝58，此时l ：y －12＝58(x －2)，交点为⎝⎛⎭⎫103，43.易知当过P 点的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝2，交点为(2,0)，所以过P 点有四条直线与双曲线只有一个公共点．反思与感悟 对于直线与双曲线、抛物线位置关系判定时，要注意对消元之后所得二次方程的二次项系数是否为零进行讨论．跟踪训练2 设直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个公共点，求k 的取值范围． 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0，由于方程(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0有两个不相等的正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＞0，－2k1－k 2＞0，－51－k2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－52＜k ＜52，k ＞1或－1＜k ＜0，k ＞1或k ＜－1，解得1＜k ＜52. 即k 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k | 1＜k ＜52. 类型三 两曲线的交点问题例3 求曲线2y 2＋3x ＋3＝0与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0的公共点． 考点 曲线的交点的问题 题点 求交点解 由⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＋3x ＋3＝0， ①x 2＋y 2－4x －5＝0， ②得2x 2－11x －13＝0，即(2x －13)(x ＋1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝132.将x ＝－1代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.将x 2＝132代入①，方程无解．所以两曲线只有一个公共点(－1,0)．反思与感悟 求解曲线的交点问题，可转化为求解方程组问题，解方程组时注意变形的等价性．跟踪训练3 (1)已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅(2)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________． 考点 曲线的交点问题 题点 求交点答案 (1)A (2)[1，2)解析 (1)满足题意的图像如图所示，y ＝x ＋a 的斜率为1，要使y ＝a |x |和y ＝x ＋a 有两个交点，y ＝a |x |的斜率a ＞1.(2)方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0)，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1(y ≥0).消去x ，得2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与C 有两个公共点，等价于此方程是有两个不等的非负实数解，可得⎩⎨⎧Δ＝4b 2－8(b 2－1)＞0，y 1＋y 2＝b ＞0，y 1y 2＝b 2－12≥0，解得1≤b ＜ 2.方法二 在同一直角坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，可得b 的取值范围为1≤b＜2.1．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．－5＜m ＜5B ．m ＜－5，或m ＞ 5C ．m ＜ 5D ．－5＜m ＜ 5答案 D解析 将y ＝x ＋m 代入x 24＋y 2＝1，有5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－80(m 2－1)＞0，得m 2＜5， ∴－5＜m ＜ 5.2．已知点M 到定点F (2,0)的距离和它到定直线l ：x ＝18的距离的比是常数13，设点M 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 考点 圆锥曲线定义的应用 题点 用定义判断曲线类型或求方程 答案 B解析 设M 到l 的距离为d ，由题意得|MF |d ＝13＜1，故M 的轨迹C 为椭圆．3．一圆过两椭圆x 29＋y 24＝1与x 24＋y 29＝1的交点，则该圆的方程是________．考点 曲线的交点问题 题点 求交点 答案 x 2＋y 2＝7213解析 将两椭圆方程相加，得x 2＋y 2＝7213.4．已知曲线C ：y 2＝2x ，若C 上存在相异两点关于直线l ：y ＝m (x －2)对称，则实数m 的取值范围是________． 考点 圆锥曲线性质的应用 题点 圆锥曲线性质的应用 答案 (－2，2)解析 方法一 如图．当m ＝0时，直线l ：y ＝0恰好是抛物线的对称轴，满足题设条件．当m ≠0时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线上关于直线l 对称的两点， 则P ，Q 的中点是M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.设直线PQ 的方程是y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1m x ＋b ，y 2＝2x ，消去x ，得y 2＋2my －2mb ＝0.(*)∵方程(*)有两个不相等的实根， ∴Δ＝4m 2＋8mb ＞0，即m 2＋2mb ＞0.① 又y 1＋y 2＝－2m ，x 1＋x 2＝2mb －m (y 1＋y 2)＝2mb ＋2m 2， ∴M (mb ＋m 2，－m )．由点M 在直线l 上，得－m ＝m (mb ＋m 2－2)， 即b ＝1－m 2m.②将②代入①，得m 2＜2，解得－2＜m ＜2，且m ≠0. 综上可知，m 的取值范围是(－2，2)． 方法二 (点差法)当m＝0时，符合题意．当m≠0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2x上关于直线l对称的两点，线段AB的中点M的坐标为(x0，y0)．∵点A，B在抛物线上，∴y21＝2x1，y22＝2x2.将两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，即2y0(y1－y2)＝2(x1－x2)，∴y1－y2x1－x2＝1y0(x1≠x2)．又∵直线AB⊥l，∴k AB·k l＝－1，∴1y0·m＝－1，即m＋y0＝0.①又∵点M在直线l上，∴y0＝m(x0－2)．②由①②，得点M的坐标为(1，－m)．∵A，B为抛物线上的两点，∴点M在抛物线的内部，∴m2＜2，解得－2＜m＜2，且m≠0.综上可知，所求m的取值范围是(－2，2)．在解决圆锥曲线上两点关于直线对称的问题时，这两点的连线就是圆锥曲线的弦，先求弦中点的轨迹方程，然后联立直线方程，求得中点坐标的表达式，再由中点在曲线内部构造出不等式，最后得出答案．处理有关弦的中点轨迹的问题时，常设出弦的中点和端点的坐标，根据端点既在曲线上又在直线上这一条件，结合中点坐标公式，寻找中点和端点坐标之间的联系，其中用端点的坐标表示直线的斜率是常用方法．一、选择题1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题 答案 B解析 点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x 轴平行． 2．方程(x －1)2＋(y －1)2＝|x ＋y ＋2|表示的曲线是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．线段考点 圆锥曲线定义的应用 题点 用定义判断曲线类型或求方程 答案 B 解析 因为(x －1)2＋(y －1)2＝|x ＋y ＋2|，所以(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋2|2＝2＞1.所以由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．3．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，直线l ：9x ＋y －5＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点，点P 为弦AB的中点，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，192 C ．(1，－4)D ．(－1,14)考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，把y ＝5－9x 代入y 29＋x 2＝1，整理得45x 2－45x ＋8＝0，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝5－9x 1＋5－9x 2＝1. 故x ＝x 1＋x 22＝12，y ＝y 1＋y 22＝12，因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.4．若椭圆上的点P 到一个焦点的距离最小，则点P 是( ) A ．椭圆短轴的一个端点 B ．椭圆长轴的一个端点 C ．不是椭圆的顶点 D ．以上都不对考点 有关圆锥曲线的性质的应用 题点 圆锥曲线性质的简单应用 答案 B5．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题 答案 D解析 当x ≤0时，曲线方程可化为x 24＋y 29＝1，即椭圆在y 轴左侧的部分；当x ＞0时，曲线方程可化为y 29－x 24＝1，即双曲线在y 轴右侧的部分，如图可知直线y ＝x ＋3与曲线有三个交点．二、填空题6．曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋2有________个公共点． 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题 答案 1 解析 y ＝1－x 2可化为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其图形为上半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切．7．已知斜率为1的直线过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长是________．考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题题点 直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题答案 85解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，得5x 2－83x ＋8＝0. 设A ()x 1，y 1，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85. |AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·64×325－325＝85. 8．直线y ＝kx ＋1与曲线mx 2＋5y 2＝5m (m ＞0)恒有公共点，则m 的取值范围是________． 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题答案 [1，＋∞)解析 将y ＝kx ＋1代入mx 2＋5y 2＝5m ，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0对k ∈R ，总有实数解．所以Δ＝20m (m －1＋5k 2)≥0对k ∈R 恒成立．因为m ＞0，所以m ≥1－5k 2恒成立，所以m ≥1.即m 的取值范围为[1，＋∞)．9．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离是3，则|OM |＝________.考点 有关圆锥曲线的性质的应用题点 圆锥曲线性质的简单应用答案 2 3解析 由题意知该抛物线为开口向右的抛物线，设其方程为y 2＝2px (p ＞0)．点M 到焦点的距离为2＋p 2＝3，p ＝2. 故抛物线方程为y 2＝4x ，M 的坐标为(2，±22)，所以|OM |＝22＋(±22)2＝2 3.10．将双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴、虚轴互换，所得双曲线方程为x 2b 2－y 2a2＝1(a ＞0，b ＞0)，我们称这两个双曲线是互为共轭的双曲线，若两个共轭双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝________. 考点 有关圆锥曲线的性质的应用题点 圆锥曲线性质的简单应用答案 1 解析 因为e 1＝c a ，e 2＝c b， 所以e 21＝c 2a 2，e 22＝c 2b 2. 故1e 21＋1e 22＝a 2＋b 2c2＝1. 三、解答题 11．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在关于直线l ：y ＝kx ＋4对称的点，求实数k 的取值范围． 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题解 当k ＝0时，显然不成立．当k ≠0时，设A ，B 为双曲线上关于直线l 对称的两点，如图．由l ⊥AB ，可设直线AB 的方程为y ＝－1kx ＋b ，代入3x 2－y 2＝3中，得 (3k 2－1)x 2＋2kbx －(b 2＋3)k 2＝0.显然3k 2－1≠0，∴Δ＝(2kb )2－4(3k 2－1)·[－(b 2＋3)k 2]＞0，即k 2b 2＋3k 2－1＞0.①由根与系数的关系，得线段AB 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－kb 3k 2－1，3k 2b 3k 2－1. ∵点M 在直线l 上，∴3k 2b 3k 2－1＝－k 2b3k 2－1＋4，即k 2b ＝3k 2－1.② 把②代入①，得k 2b 2＋bk 2＞0，解得b ＞0或b ＜－1，∴3k 2－1k 2＞0或3k 2－1k 2＜－1， 即|k |＞33或－12＜k ＜12且k ≠0. 综上，k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－33∪⎝⎛⎭⎫33，＋∞∪⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12. 12．已知直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆C ：x 2＋2y 2＝2交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的长轴长和焦点坐标；(2)若|AB |＝423，求t 的值． 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题题点 直线与圆锥曲线相交与弦有关的问题解 (1)因为x 2＋2y 2＝2，所以x 22＋y 2＝1. 所以a ＝2，b ＝1，所以c ＝1，所以长轴长2a ＝22，焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝x ＋t ， 消元化简得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝16t 2－12(2t 2－2)＝24－8t 2＞0，x 1＋x 2＝－4t 3，x 1x 2＝2t 2－23，所以|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2324－8t 2， 又因为|AB |＝423， 所以2324－8t 2＝423，解得t ＝±1，满足Δ＞0. 所以t ＝±1.13．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围．考点 有关圆锥曲线的性质的应用题点 圆锥曲线性质的简单应用解 (1)由点F 在直线l 上，得|F A |＝|FB |，得A ，B 两点到抛物线的准线的距离相等，因为抛物线的准线与x 轴平行，所以上述条件等价于y 1＝y 2，即x 21＝x 22，所以(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0，因为x 1≠x 2，所以当且仅当x 1＋x 2＝0时，直线l 经过抛物线的焦点F .(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意，得l 的方程为y ＝2x ＋b .则过点A ，B 的直线方程可设为y ＝－12x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－12x ＋m ，化简得2x 2＋12x －m ＝0， 所以x 1＋x 2＝－14. 因为A ，B 为抛物线上不同的两点，所以上述方程的判别式Δ＝14＋8m ＞0， 即m ＞－132. 设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m . 又点N 在直线l 上，所以116＋m ＝－14＋b ， 于是b ＝516＋m ＞516－132＝932， 所以l 在y 轴上的截距的取值范围为⎝⎛⎭⎫932，＋∞.四、探究与拓展14．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2,4b 2]，则该椭圆离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，53 C.⎣⎡⎦⎤53，32 D.⎣⎡⎭⎫32，1 考点 有关圆锥曲线的性质的应用题点 圆锥曲线性质的简单应用答案 C解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由对称性知矩形中心在原点，且两组对边平行于x 轴，y 轴，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x ，y )(x ＞0，y ＞0)，S 矩形＝4xy ＝2ab ⎝⎛⎭⎫2x a ·y b ≤2ab ⎝⎛⎭⎫x 2a 2＋y 2b 2＝2ab ∈[3b 2,4b 2]， 所以3b 2≤2ab ≤4b 2，即12≤b a ≤23， 所以e 2＝c 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎣⎡⎦⎤59，34， 故e ∈⎣⎡⎦⎤53，32. 15．如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)． (1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题题点 直线与圆锥曲线的公共点个数问题解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2. 因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k 2·1＋k 2.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.因为k 1≠k 2，k 1，k 2＞0，所以1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，所以⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)．① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a 2＞2，又a ＞1，所以a ＞ 2.因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤ 2.由e＝ca＝a2－1 a，得所求离心率的取值范围为0＜e≤2 2.。
3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点》课件(北师大版选修2-1)
共点，显然①、②均不适合，因为椭圆上的点(x,y)中 |x|≤5,|y|≤4. 而直线y=x,y=2x+1与椭圆均有二个交点.
答案：③④
x 2 y 2 (a>b>0)，点F为其右焦点，离心 4.(15分)已知椭圆 2 + 2 =1 a b 2 c ,点A在椭圆上，d为点A到定直线l:x= a 的距离. 率e= c a AF
直线l与双曲线C:
(1)无公共点； (2)有一个公共点； (3)有两个不同的公共点. 【解析】由 y=kx+1 3x2-y2=3消去y整理得 (3-k2)x2-2kx-4=0
①
当3-k2≠0时，Δ=（-2k）2+16(3-k2)=12(4-k2)
7.(2010·郑州高二检测)已知双曲线的中心在原点，右顶点
m 点的直线斜率为 2 ，则 的值为(
(A) 2
2
2 (B) 2 3 3
n
) (D)
3 2
(C)1
【解题提示】设出A、B坐标，代入方程作差即可.
【解析】
3.下列四条直线： ①l1:y=2；②l2:y=x+ 1 ；③l3:y=2x-1；④l4:y=x+1.与抛物线 y2=2x相交的是( (A)③ (B)④ )
一、选择题（每题5分，共15分） 1.(2010·嘉兴高二检测)若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，
x 2 y2 + 的交点个数为( =1 9 4
则过点P(m,n)的直线与椭圆
(A)至少1个 (B)2个
)
(C)1个
(D)0个
直线与圆锥曲线的交点知识讲解
直线与圆锥曲线的交点课题直线与圆锥曲线的交点设计：宁勇强审核：包科领导： 2020年6月2日学习目标：理解曲线交点的概念，会通过联立方程求解的办法求曲线的交点，会用设而不求的方法解决有关直线与圆锥曲线交点的综合问题。
导读曲线的公共点分交点和切点两种，都可以通过联立方程求解的方法求出公共点，但更多的时候交点是不必求出的，只要把由交点引起的问题予以解决即可，这就需要解析几何中一种非常重要的处理办法：设而不求。
（1）曲线0(=,xg的交点问题，可以通过讨论方程组的)yf与0)(=,xy解来解决。
也就是说两条曲线的交点问题与完全等价。
（2）交点问题一般有“定性、定量、定点”三个层次。
“定性”讨论有没有公共点，“定量”讨论有几个公共点，“定点”要求出公共点的坐标。
第三层次的问题求出方程组的解即可，第二层次的问题只要判断出方程组的解的个数即可，而第一层次的问题只需知道方程组有解与否。
（3）交点问题其实就是位置关系问题。
直线与圆的位置关系有，，三种，由几何条件确定，结论是：。
如果用代数方法确定，首先联立直线与圆的方程，接着消元得一元二次方程，判别式为△，则结论是： .直线与椭圆的位置关系可类似这里的第二种方程讨论。
另外，画图是讨论位置关系的一种非常有效的方法。
（4）如果问题只是与交点有关，那么可以只设出交点的坐标，通过整体代入解决问题而不具体求点的坐标，这种方法在解析几何中称“设而不求”。
它往往需要中收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除点坐标、韦达定理和弦长公式、斜率公式等来配合。
常用的方法有“k 参数法”（也可称之为设代法）和“点差法”。
（5）曲线上两点间的线段称为弦。
弦长当然可用两点的距离公式来求。
斜率为k 的弦可用如下公式求弦长：｜AB ｜＝||11||1212212y y kx x k -+=-+， 其中 21221214)(||x x x x x x -+=-， 21221214)(||y y y y y y -+=-.自学检测：1.直线0=-y x 与曲线2222=+y x 的交点坐标是 ，所得弦长为 .2.过P(0，2)的直线与曲线12+=x y 有 个交点.3.已知过P(0，2)的直线l 与曲线2222=+y x 相切，则l 的方程为 .4.过点（-1，1）与曲线x y 42=有一个公共点的直线有 条。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.3直线与圆锥曲线的交点2121数学
求k的取值范围.
第十一页，共十三页。
谢谢 各位指导! (xièxie)
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
学习目标。2.若已知直线与圆锥曲线的交点个数会求参数的取值。交点的问题的方法(fāngfǎ).。合作探究一 直线 与圆锥曲线的公共点的坐标问题。延伸探究：（1)求AB的长度，AB的中点坐标。探究二直线与圆锥曲线的公共点的个 数问题。2)若f(x,y)=0是双曲线时，。2.直线l:y=kx+1与椭圆C:。谢谢各位指导
0：有两个不同的交点 0：有一个交点
则a≠0
0：无交点
第八页，共十三页。
归纳 小结 (guīnà) 2)若f(x,y)=0是双曲线时，
10若a=0，直线(zhíxiàn)l与双曲线的渐近线平行
20若a≠0，设Δ=b2-4ac 3)f(x,y)=0是抛物线时,
0：有两个不同的交点 0：有一个交点 0：无交点
学习 目标 (xuéxí)
1.会求直线(zhíxiàn)与圆锥曲线的交点坐标，会求与弦有关的
简单问题（相交弦长、中点弦所在直线(zhíxiàn)方程）.
2.若已知直线与圆锥曲线的交点(jiāodiǎn)个数会求参数的取 值
范围.
学习重点：掌握利用对应方程解决直线与圆锥曲线
交点的问题的方法.
学习难点：理解解析几何中利用代数的方法解决
延伸探究：（1)求AB的长度，AB的中点坐标 (2)已知椭圆 x 2 y 2 1,求以点P(1,1) 为中点的弦
54
所在的直线方程.
第三页，共十三页。
探究(tànjiū)二直线与圆锥曲线的公共点的个数问题
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k 0 △ 16(2k2 k 1) 0
1 k 0, 或0 k 1 2
⑶没有公共点
k 0 △ 16(2k 2
k
1)
0综上所述
当k 1,或k 0,或k 1 时,直线与抛物线只有一个公共点; 2
当1 k 0或0 k 1 时,直线与抛物线有两个公共点; 2
y
将x0
y02 64
代入得：
d
y02 16
3y0 46 5
y02
48
y0 16 80
46
,
(
y0
R)
.
OF x
当y0 24时, dmin 2 此时P(9,24)
另解：设直线4x 3y m 0与抛物线相切
y2 4x
64x 3y
m
0
y2 16
3
y
m
0
由 0得 : m 36
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实 数k的取值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点;
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?
解：直线l的方程为y 1 k(x 2).
由方程组
y
1 y2
k
(x 4x
2)
•
可得 ky2 4 y 4(2k 1) 0
⑴只有一个公共点
k 0,或
k 0 △ 16(2k2 k 1) 0
k 1,或 k 0,或 k= 1
2
⑵有两个公共点
通法
直线与抛物线位置关系 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
数形结合
不平行
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与双曲线的位置关系
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
Y
O
X
相交:两个交点 相切:一个交点 相离:0个交点
当k 1或k 1 时,直线与抛物线没有公共点。 2
2、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线 Ｌ:4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.
解：直线与抛物线无交点设抛物线上一点P(x0.y0 )，
则y02 64x0
d | 4x0 3y0 46 | 4x0 3y0 46
16 9
5
相交:一个交点
Y
O
X
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
= 1消去y，得:(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
通法
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1：直线y=kx+1与椭圆 x2 y2 1
5m
求m的取值范围。
恒有公共点,
解法一：
y kx 1
解
:
x2
5
y2 m
1
(m 5k 2 )x2 10kx 5 5m 0
△ （10k）2 4(m 5k 2（) 5 5m） 0 m2 (5k 2 1)m 0
m 0,5k 2 1 m恒成立， 1- m 0m 1,且m 5
例1：直线y=kx+1与椭圆 x2 y2 1
5m
求m的取值范围。
恒有公共点,
解法二直线y kx1恒过定点（0,1）， 且与椭圆总有公共点， 定点必在椭圆上或或者椭圆内 0 1 1,m 1且m 5
m
例 6 已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过定点 P(2,1) , 斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 y2 4x :⑴只有一个公
(2)有两个公共点;
(3)只有一个公共点;
(4)交于异支两点；
(5)与左支交于两点.
练习1.过点P(1,1)与双曲线
x2 y2 1 9 16
交点的 直线 共有_______4条.
只有
一个
Y
（1，1）
变式:将点P(1,1)改为 1.A(3,4) 2.B(3,0) 3.C(4,0) 4.D(0,0).答案又是怎样的?
。
O
X
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
3.4.3直线与圆锥曲线的交点
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
通法
直线与椭圆的位置关系