《复变函数与积分变换》
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
《复变函数与积分变换》课程简介及教学大纲
《复变函数与积分变换》课程简介及教学大纲课程代码：112000531课程名称：复变函数与积分变换/Function of a Complex Variable and interal transformation课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯等内容。
一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。
本课程主要讲授复变函数与积分变换的基本理论和方法。
通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯共七章。
第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数的概念。
难点：用复数方法表示平面区域、曲线。
第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。
2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
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§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
《复变函数与积分变换》PPT课件
z = z1 + t(z2 z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 z1 ),
(∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 z1 = t, z2 z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
浙江大学
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
复变函数与积分变换
贾厚玉 mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 Laplace变换 第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 z1 = (z2 z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1 3 1 + 3 i = + 2 2
3 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1 3 ′ z3 = i + 2 2
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 y2 ) + 2ixy
复变函数与积分变换知识点总结
复变函数与积分变换知识点总结本文主要介绍复变函数与积分变换的相关知识点，包括基本概念、公式、定理及其应用。
复变函数是数学中重要的一门学科，它涉及到多种数学领域，如数学分析、微积分、拓扑学、数论等，具有广泛的应用价值和重要性。
一、复变函数和复数复变函数是指将复数作为自变量和函数值的函数，也就是输出值为复数的函数。
在复平面上，复数可以表示为 x+yi 的形式，其中 x 和 y 分别表示实部和虚部，i 是虚数单位。
从图形上看，复数可以看成是在平面坐标系上的点，其中实部 x 对应水平方向，虚部 y 对应垂直方向。
二、重要公式和定理1. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ欧拉公式是复数理论中非常重要的公式，它表明了复数极坐标形式和直角坐标形式之间的关系。
欧拉公式常常被用来化简复数幂、求解复数方程等等。
2. 柯西-黎曼条件柯西-黎曼条件是指函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在某一点处可导的充分必要条件。
它包括两个部分：一是实部和虚部的偏导数存在且相等；二是实部和虚部的偏导数在该点处连续。
3. 洛朗级数洛朗级数是指将复变函数在一个环域上展开成为一定形式的级数，它可以看成是泰勒级数的一种推广形式。
洛朗级数可以用来处理复变函数的奇点、留数及边界值等问题。
4. 度量定理度量定理是指一个可积函数的形式化定义，它对于研究函数的特殊性质和进行积分变换有很重要的作用。
度量定理是复变函数理论中的一个基本定理，它可用来刻画单复变函数的局部和全局性质。
三、应用及例子复变函数和积分变换广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
其中，最为著名的应用包括热传导方程、电动力学、量子力学等等。
下面列举一些具体的例子：1. 应用于调制技术调制技术是指将信息信号通过某种方式转换成为载波信号，以达到传输信号的目的。
而在调制过程中，使用的正交变换中的基函数，就是一种特殊的复变函数。
2. 应用于信号处理信号处理是指对信号进行数字化、滤波、噪声抑制等一系列工作，以提高信号的质量和准确度。
高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案
⎝ 12
12 ⎠
6 2ei5π / 4 = 6 2⎜⎛ cos 5π + i sin 5π ⎟⎞ 。
⎝4
4⎠
15．若 (1+ i)n = (1− i)n ，试求 n 的值。
5
解 由题意即 ( 2eiπ / 4 )n = ( 2e−iπ / 4 )n , einπ / 4 = e−inπ / 4 ， sin n π = 0 ， 4
+
2kπ
= − arctan 5 + 2kπ, 3
k = 0,±1,±2,".
（3）
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)
=
(3
+
4i)(2 − (2i)(−
5i)(− 2i)
2i)
=
(26
−
7i)(−
4
2i)
所以
= −7 − 26i = − 7 −13i
2
2
Re⎨⎧ (3
+
4i)(2
−
5i)⎫
⎬
=
−
7
，
⎩ 2i ⎭ 2
Im⎨⎧ ⎩
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎫
⎬ ⎭
=
−13
，
1
⎡ ⎢ ⎣
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎤
⎥ ⎦
=
−
7 2
+
l3i
(3 + 4i)(2 − 5i) = 5 29 ，
2i
2
Arg⎢⎣⎡ (3
+
4
《复变函数与积分变换》(西安交大_第四版)课后答案
5(x + 1) + 3(y − 3) + i[− 3(x + 1) + 5(y − 3)] 34 1 = [5x + 3y − 4] + i(− 3x + 5y − 18) = 1 + i 34
1 1 ( z + z ), Im( z ) = ( z − z ) 2 2i
w.
)
案
8 21 8 21 ⎛ ⎜ i − 4i + i ⎞ ⎟ = 1 + 3i ， | i − 4i + i |= 10 ⎝ ⎠
5
)
5
(
)
5
答
w.
（2）-1；
2i （5） ； −1+ i
案
网
⎛ i arg a ⎞ | z + a| = ⎜ e n ⎟ + |a|e i arg a = (1 + a )e i arg a = 1 + |a| ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
解： （1） i = cos
π i ⎛1 3⎞ π π⎞ ⎛ ⎜ ⎟ （3） 1 + i 3 = 2⎜ + i = 2⎜ cos + isin ⎟ = 2e 3 ； 2 ⎟ 3 3⎠ ⎝ ⎝2 ⎠
3 i iπ/2 3 i + , e = i ， ei i 5π/6 = − + 2 2 2 2 3 i 3 i − ， e i 3π/ 2 = − i ， e i11π/ 4 = − 。 2 2 2 2
（4） (1 − i )
1/ 3
1 3
⎡ ⎛ 1 i ⎞⎤ 3 ⎟ = ⎢ 2⎜ − ⎜ ⎟⎥ = 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2
(
2e −i π/ 4
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换复变函数(ComplexFunction)和积分变换(IntegralTransformation)是几何学、代数学、微积分学和数学物理学中常用的数学工具，它们通常用于分析几何图形和几何曲线，以及解决理论物理学方面的问题。
复变函数(Complex Function)指定义在复平面上的函数，它是根据一个指定的规则或者函数来构造那些在复平面上以曲线状表示的函数。
它们可以用于解决许多数学问题，包括求解几何图形的图形和椭圆的几何方程，以及求解数学物理学中的问题。
积分变换(Integral Transformation)是指应用积分原理对一个函数来变换的过程，它可以用来解决许多物理、几何或数学问题。
它可以将不定积分变换成定积分，或者将微分方程变换成可求的定积分。
积分变换的应用涉及不同的领域，如波动理论、热力学、质子-原子碰撞、财务学等。
复变函数和积分变换之间有着密切的联系，它们可以相互作用，从而解决结构更加复杂的问题。
举例来说，在数学物理学中，用复变函数分析几何图形和几何曲线，可以用积分变换将微分方程变换为可求的定积分。
复变函数和积分变换是多学科领域中常用的数学工具，它们可以极大地提高计算效率，减少人工参与，提高计算的准确度。
它们的应用越来越广泛，在解决复杂的几何、代数学和物理学问题上有着不可替代的作用。
因此，复变函数和积分变换的研究是一个非常重要的话题，有关研究论文将会对科学、工程技术和学科研究有着重要的意义。
研究可以围绕着复变函数和积分变换之间的联系、复变函数在几何图形和几何曲线分析中的作用以及积分变换在物理学和数学物理学中的应用等，继续深入地进行研究和探索。
综上所述，复变函数和积分变换是几何学、代数学、微积分学和数学物理学中重要的数学工具，它们对科学、工程技术和学术研究有着重要的意义，继续深入地研究和探索将会带来更多的新发现。
复变函数与积分变换(第一章)
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
两个复数相乘，积的模等于各复 数的模的积，积的幅角等于这两 个复数的幅角的和.
z1z2 rr 1 2 z1 z2
(6)简单曲线、光滑曲线
设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区 间[,]上连续，则由方程组 x x(t ) y y(t ) 或由复值函数 z (t ) x(t ) iy(t ) 定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为 曲线的参数方程.点A=z() 和B=z()分别称为曲线的 起点和终点.如果当 t1 , t2 [ , ], t1 t2 时，有 z(t1 ) z(t2 ) ， 称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线. z ( ) z ( ) 的简单曲线称为简单闭曲线.
3 i 2eiπ / 6
复数乘法的几何意义
z1 r1 (cos1 i sin 1 ), z2 r2 (cos2 i sin 2 ).
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 ((cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r1r2 (cos(1 2 ) i sin(2 2 ))
a 0, ； (3) a ，则 a
a (4) a 0 ，则 ； 0
(5) , 的实部、虚部、幅角都无意义； (6)为了避免和算术定律相矛盾，对
0 , 0 , , 0
《复变函数与积分变换》(西安交大_第四版)课后答案
=
1 13
(3
−
2i)
所以
Re⎨⎧ ⎩3
1 +2
i
⎫ ⎬ ⎭
=
3 13
，
Im⎨⎧ ⎩3
1 + 2i
⎫ ⎬ ⎭
=
−
2 13
,
m 1 = 1 (3 + 2i) ， 1 = ⎜⎛ 3 ⎟⎞2 + ⎜⎛− 3 ⎟⎞2 = 13 ，
o 3+2i 13
3 + 2i ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ 13
Arg⎜⎛
网 c ⎝
2 ⎜⎜⎝⎛
1 −i 2
1 2
⎟⎟⎠⎞
= 2⎜⎛ cos π − isin π ⎟⎞
⎝4
4⎠
−i π
= 2e 4
( ) ( ) (( )) （6）
cos5ϕ + isin5ϕ cos3ϕ − isin3ϕ
2
=
3
ei5ϕ
2
/
e−i3ϕ
3 = ei10ϕ /e−i9ϕ = ei19ϕ
3
课后答案网
13．如果 z = eit ，试证明
（1） zn
+
1 zn
= 2cos nt
；
（2） zn − 1 = 2 i sin nt zn
解 （1） zn + 1 = eint + e−int = eint + eint = 2sin nt zn
（2） zn
−
1 zn
= eint
− e−int
= eint
− eint
答 w 证明：| z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) + (z1 − z2 )(z1 − z2 )
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。
对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。
教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。
并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。
并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。
本课程的具体教学目标如下：1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。
2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。
3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。
为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。
教学目标与毕业要求的对应关系：二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。
高等数学《复变函数与积分变换》(第五版)参考答案
高等数学《复变函数与积分变换》（第五版）参考答案目录第一章 (2)第二章 (3)第三章 (6)第四章 (8)第五章 (14)第六章 (16)第七章 (19)第八章 (23)第九章 (26)第一章1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）； 解： =（2） 解：2．将下列复数写成三角表示式。
1） 解：（2） 解： i ii i 524321----i i i i 524321----i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re 3)231(i +3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos333i 31-i 31-)35sin 35(cos2ππi +=i i+12i i +12)4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1） 解：（2）解：4．.设三点适合条件：=0是内接于单位圆=1的一个正三角形的项点。
证：因所以都在圆周又因=0则，所以也在圆周上，又所以以0，为顶点的三角形是正三角形，所以向量之间的张角是，同理之间的张角也是，于是之间的张角是，同理与，与之间的张角都是，所以是一个正三角形的三个顶点。
5．解方程i i 2332++-i i 2332++-2sin2cosππi i +==422i +-422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ321,,z z z 321z z z ++,1321===z z z 321,,z z z z,1321===z z z 321,,z z z ,11==z z 321z z z ++,321z z z -=+1321=-=+z z z 21z z +1=z ,12121==-+z z z z 211,z z z +211z z z +与3π212z z z +与3π21z z 与32π1z 3z 2z 3z 32π321,,zz z 013=+z6．试证：当时，则。
复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案
③解： 2 i 3 2i 2 i 3 2i 5 13 65 ．
2 i 3 2i 2 i 3 2i 2 i 3 2i 4 7i
2
2
2
2
2
的平方根. ⑴i 的三次根． 解：
3
并给出最后一个等式的几何解释． 证明： z w z 2Re z w w 在上面第五题 的证明已经证明了． 下面证 z w z 2Re z w w ． ∵ z w z w z w z w z w
π i 4
3 5i 1 3 . ; (2 i)(4 3i); 7i 1 i 1 i
1 i 3 ∴ Re 1, 2
④解： ∵
3
1 i 3 Im 0． 2
2 2 2 2 π π cos isin i i 2 4 4 2 2 2
π 4 映射成 w 平面内虚
5、Imz>1，且|z|<2． 解：表示圆盘内的一弓形域。
习题二
w z 1 z 下圆周 | z | 2 的像.
w u iv 则
π ,0 r 2 4 映成了 w 平面 π 0 4,0 . 2 上扇形域，即
i (2) 记 w e ，则
ie2
i
π
③解： 1 eiπ eπi
2 ④解： 8π 1 3i 16π π . 3
z z z w w z w w z zw z w w z w
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《复变函数与积分变换》期末复习题2009-6-22一、判断题1. 若{z n }收敛，则{Rez n }与{Imz n }都收敛. ( T )2. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( F )3. 若f (z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f . ( F )4．复数484z +=i 的模|z|＝8。
( T ) 5．设100i)(1z +=，则Imz ＝0。
( T ) 6．设z=i 2e +，则argz ＝1。
( T ) 7．f （z ）的可导处为0。
( T )8．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰+c )dz z z 1(=4πi 。
( T )9．幂极数∑∞=1n nn z n n!的收敛半径为e 。
( T ) 10．函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++在点z=0处的留数为6。
( T ) 11.cos z 与sin z 在复平面内有界。
( F )12.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
( T ) 13.若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。
（ T ） 14.若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。
（ F ） 15.若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ F ） 16.若)(lim 0z f zz →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ F ）17.若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数。
（ T ） 18.如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f zz →一定不存在。
（ F ）19.非周期函数的频谱函数呈连续状态。
（ T ） 20.位移性质表明，一个函数乘以指数e at 后的拉氏变换等于其像函数作位移a 。
（ T ）21. 若f (z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f (z)在z 0解析。
( F ) 22. 若f (z)在区域D 内解析，且f ’(z )≡0，则f (z) ≡C （常数）。
( T ) 23. 若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f (z)的可去奇点。
( F )24. 若f (z)在区域D 内解析，则|f(z)|也在D 内解析。
（ F ） 25. 若()f z 在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰dz z f C。
( T ) 26.sin 1()z z C ≤∀∈。
（ F ）27. 如果0z 是()f z 的本性奇点，则0lim ()z z f z →一定不存在 。
( T ) 28. 若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数。
( T )29. 若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析。
（ F ） 30. 如果函数()f z 为整函数，且存在实数M ，使得Re ()f z M <，则()f z 为一常数。
（ F ） 二、单项选择题1．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ D ）A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 2．复数i 3e +对应的点在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-c n a z z f 1)()(等于（ D ）A ．)()!1(2)1(a f n i n ++πB ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a if n π D ．)(!2)(a f n i n π4．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ B ） A ．一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点5．下列映射中，把角形域4argz 0π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ C ）A ．1-z 1z w 44+=B ．1z 1z w 44＋－=C ．iz i z w 44＋－= D ．i -z i z w 44+=6. 复数i 258-2516z =的辐角为（ B ）A ．arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 217. 设z=cosi ，则（ A ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π8. 函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03argz 0<<<z π＜映射成W 平面上的区域（ A ）A ．4||,032argz 0<<<w π＜ B ．4||,03argz 0<<<w π＜ C ． 2||,032argz 0<<<w π＜ D ．2||,03argz 0<<<w π＜9. 设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ A ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 10．映射2z z w 2+=下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ A ） A ．21|1z |>+ B ．21|1z |<+ C ．21|z |> D ．21|z |<11．设w=Ln(1-i),则Imw 等于（ B ）A ．4π－ B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－C ．4πD ． 1,0,k ,42k ±=+ππ12．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz1)(等于（ C ）A ．1B ．2πiC ．0D ．iπ21 13．z=-1是函数41)(z zcot +π的（ C ） A ．3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点14．下列积分中，积分值不为零的是（ D ）A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周｜其中B ．5|zC dz,e cz =⎰为正向圆周｜其中C ．1|z C dz,sinz zc =⎰为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1-z cosz c =⎰为正向圆周｜其中15．设 ()t t f sin =，则 ()t f 的Laplace 变换为 ( A )A ．112+s B. 21s C ．s1D. 0 三、填空题 1.=+z z 22cos sin__1_______.2.幂级数∑∞=0n n nz 的收敛半径为_____1_____.3.=)0,(Re n z ze s ___ 1(1)!n -_____，其中n 为自然数.4．复数484z +=i 的模|z|＝______8_______________。
5．f （z ）的可导处为______________0_________________。
6．设C 为正向圆周|z －i|=21,则积分⎰c 2zdz i)-z(z e π=______－2π(π+i)_____________。
7．函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z 15+++++ 在点z=0处的留数为______6__________。
8．=i 3 （ ),2,1,0(3ln 2 ±±=+-k ei k π ）.9．幂级数∑∞=+0)1(n n n z i 的收敛半径为 （22）.10. 设 (),00,⎩⎨⎧<>=-t t e t f t 则()t f 的Fourier 变换为（ωi +11）. 11.23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= ______1______________. 12.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz __ 211i n n π=⎧⎨≠⎩ ___.（n 为自然数） 13.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有___ z i =±_______. 14.若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim ___1ei -+_______15．若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .∞16．设z=i 2e +，则argz ＝__________1__________________。
17．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰+c )d z z z1(=________4πi ___________________。
18．幂极数∑∞=1n nnz nn!的收敛半径为_______e_______________。
19. 函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++ 在点z=0处的留数为______6__________。
20. 函数1w z=将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线____12u =_____. 21.函数z sin 的周期为___2k π，()k z ∈________.22. 设1-=ze ，则___=z .(21)z k i π=+23.zzsin 的孤立奇点为______0__ . 24．设100i)(1z +=，则Imz ＝____0_________________。
25．方程Inz=i 3π的解为_____),3i (121z +=或3i e π____________________。
26．设C 为正向圆周|ζ |=2，⎰=c d z -3sinf(z)ζζπ，其中|z|<2，则f ′(1)=__i,33π或3cos 3i 2πππ⋅__。
27.若11sin(1)1n n z i n n=++-，则lim n n z →∞=____ie_____.28.设2()1ze f z z =-，求Re ((),)s f z ∞.=___________________。
29.]0,1sin [Re zs =（ 1 ）.30.设 (),000,⎩⎨⎧<>=-t t e t f t 则()t f 的Fourier 变换为（ωi +11）. 四、计算题 1．计算积分⎰+=c dz |z |zz I 的值，其中C 为正向圆周|z|=2。
解1：⎰⎰⎰+⋅==+c- c )d isin 2i(cos 2cos 2Rezdz 21dz |z |z z ππθθθθ i 4)d cos2(14iπθθπ=+=⎰。
解2：⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c 20 i i -i d 2ie 22e 22e dz |z |z |z |z πθθθθ i 40)2i(2ππ=+＝。