第六章非平稳时间序列模型-1

■
均值是时间的函数，方差是常数。
把趋势平稳随机过程去掉趋势项，成为一 个平稳随机过程 。
■
带随机趋势的非平稳随机过程
一，随机游动（random walk) Yt = Yt-1 +t (1) 其中{t }是白噪声过程 。

许多金融市场行为类似一个随机游动，比如，今天 的股票价格等于昨天的股票价格加上一个随机震荡。
（1）没有常数的均值函数，图形不表现出 均值回复现象。 （2）方差不是常数，并且随着时间的增加 趋于无穷。 （3）自相关函数不衰减，样本有限时，样 本自相关函数衰减速度慢。 （4）预测的方差随步长的增加趋于无穷 。
带随机趋势的非平稳随机过程
二，带漂移的随机游动 Yt =+ Yt-1 +t 通过迭代得到 Yt = y0 +t+t +…+1 因此带常数项的随机游动既有确定趋势又 有随机趋势。
金融时间序列模型
第六章：非平稳时间序列模型
金融时间序列模型
6.1趋势平稳和单位根过程
平稳过程和非平稳过程的特点
平稳随机过程的定义：
EYt 2 EYt 2 E Yt 2 E Yt Ys ts t s，只与t s有关，与具体时刻 , s无关 t
单位根过程（Unit Root Process） 或差分平稳过程（Difference Stationary） Yt =+ut 其中{ ut }是平稳随机过程，称{Yt}是单位 根过程，或差分平稳过程。
单位根过程又称一阶单整过程，记为I（1），平 稳过程记为I（0）。类似，如果差分n-1次不稳，
许多经济变量的时间序列数据都有随时间增加 而增长的趋势，不具有均值回复的特性。如GDP
例如：
Yt c0 c1t ut
2
(1)
l
Yt c0 c1t c2t ... cl t ut (2)
势是确定性的，称为趋势平稳随机过程。
其中Ut 是平稳随机过程。该类模型认为趋

经济变量大部分情况是线性趋势，因此 趋势平稳过程常常有下面的定义：
单位根检验－DF,ADF，PP,KPSS 检验
单位根检验大部分以非平稳性为零假设。 其中KPSS以平稳为零假设。 单位根检验的判断方法是： 如果计算出的统计量的值小于临界值，则 拒绝零假设，该过程是（趋势)平稳过程; 否则不能拒绝零假设，该过程是单位根过程。
练习题：P297,1
(1 L)Yt (1 L) (1 L)t (1 L) (1 1 L q Lq ) (1 1 L p L )
p
t
(1 L)Yt
(1 L)(1 1 L q Lq ) (1 L)( 2 L) ( p L) (1 1 L q Lq )
自协方差与时刻有关， 自相关函数不衰减，样本有限时，样本自相关 函数衰减速度慢
2
随机游动 Yt = Yt-1 +t

(1)
预测
模型(1)在预测原点h的向前一步预测
ˆ Yh (1) E(Yh1 | Yh , Yh1 ,) Yh
ˆ Yh (2) E (Yh 2 | Yh , Yh 1 , ) E (Yh 1 | Yh , Yh 1 ,) E (Yh 1 h 2 | Yh , Yh 1 , ) ˆ E (Y | Y , Y ,) Y (1) Y
●
迭代上述模型，得到： Yt = y0 +t +…+1 性质 均值为常数：E(Yt)= y0 方差趋于无穷 Var(Yt)=Var(t +…+1)=t2
随机游动 Yt = Yt-1 +t
■
(1)
自协方差函数
E(Yt y0 )(Yt s y0 ) (t s) ts s (t s) / (t s)t t
差分n次平稳，则该过程为n阶单整，记为I（n）。
单位根过程例子
例子1，随机游动 Yt = Yt-1 +t 是单位根过程

一阶差分 Yt t 是平稳的
AR(1)： t xt 1 et 如果 1, 我们说存在单位根 x
■一阶差分
xt ( 1) xt 1 et xt 1 et

带随机趋势的非平稳随机过程
随机游动 Yt = Yt-1 +t

(1)
把随机游动看成一个特殊的AR(1)模型，那 么 Yt-1 的系数是1，这不满足AR(1)模型平稳 性的条件。从而，随机游动序列不是弱平稳 的，称之为单位根非平稳时间序列。
一阶差分 Yt 为平稳 时间序列。 单位根过程
带随机趋势的非平稳随机过程
|
i 0

t ~ WN (0, 2 )
i
|
预测上该类模型特点： 3）长期预测趋于无条件均值， 4）预测方差随着预测步长增加，但有界。 5）t时刻的扰动带来的影响随着时间的增加逐渐趋于0.
Yt s s 0 as s t
趋势平稳随机过程(TS) Trend-Stationary Stochastic Process
Yt t ( L) t
其中


E( )
2 t
i
是白噪声过程， ( L) i Li t i 0
2

|
i 0
|
TS特点
以模型 Yt c0 c1t ut
(1) 为例：
2 2
E(Yt ) c0 c1t
Var(Yt ) E(Yt c0 c1t )
平稳随机过程的特点
（1）不同时刻，均值相同；围绕常数的长期均 值波动，称为均值回复（Mean Reversion）。 （2）方差有界并且不随时间变化是常数。在每 一时刻，对均值的偏离基本相同，波动程度大 致相等。

线性平稳ARMA模型，可以表述成下面的
MA() 表达式：
Yt t t 1 t 1 ,
t
• 2 L) ( p L) (
t
从而差分序列平稳，所以例子2中的序列是单位根过程。
对非平稳序列差分，只要进行一次或多次差分就可以 转化为平稳序列。差分的次数称为阶数。
■单位根过程例子：
令 Wt (1 L)d Yt , Wt 是一个ARMA(p,q)过程。
( L)Wt ( L) t
h 1 h h 1 h
h
对任意的预测步长l>0,都有
ˆ Yh (l ) Yh 故随机游动不是均值回转的
可验证向前l步预测误差
ˆ eh (l ) Yhl Yh (l ) h1 hl
从而
Var(eh (l ) l
2
预测的方差随步长的增加趋于无穷
不平稳随机过程的特点
H0 : 1
xt
■单位根检验：
or
H0 : 0
xt
■如果H0为真， t
x et 是平稳的，此时
是二阶单整的，
x t 是一阶单整的，记为I(1)
■如果
x t要差分两次才平稳，则 x t
记为I(2)
例子2：趋势平稳过程 Yt t at

at
表述为 ARMA(p,q)过程
过程 {Yt } 被称为自回归-求和-滑动平均过程，记为 ARIMA(p,d,q). d是差分的次数，d通常小于3. 求和的含义指ARIMA过程可以表示成ARMA过程的和

例3一个ARIMA(1,1,1)过程如下：
(1 L)(1 L)Yt (1 L) t
令 Wt (1 L)Yt , 因此 Wt 是如下ARMA过程：
1.趋势平稳随机过程只有确定趋势；而单位根过 程具有随机趋势，有时也有确定趋势。 2.趋势平稳随机过程去掉趋势项平稳，单位根过 程差分后平稳。 3.趋势平稳随机过程方差是常数，均值是时间的 函数；单位根过程方差是时间的函数。
4，趋势平稳过程对冲击的反应是暂时 的，二单位根过程对冲击的反应是长久的。 5，趋势平稳随机过程长期预测与初始值无 关，预测方差有界；单位根过程长期预 测与初始值有关，并且预测均方差趋于 无穷。
即
p
( L)at ( L) t
(1 1 L p L )at (1 1 L q Lq ) t
如果 ( z ) 0 的根都在单位圆外，则 平稳随机过程。
ut 是
如果 ( z ) 0 的根有一个等于1，其他的都在单位 圆外，进行一次差分：
(1 L)Wt (1 L) t
W (Y
i 1 i i 1
t
t
i
Yi 1 ) Yt Y0
假设Yt 0, 则
W
i 1
பைடு நூலகம்
t
i
Yt
即一个ARMA过程求和可以得到一个ARIMA过程。 易知ARIMA(1,1,1)过程是单位根过程
两种非平稳随机过程的区别