吉林省长春市第二实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题
吉林省长春市吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)
吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学学科试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列函数中是增函数的为（ ）A. B. C. D.2. 命题“”的否定为（ ）A.B.C.D.3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知二项式系数和为256，则的展开式中常数项为（ ）A. 1120B. C. 70D. 5. 函数的图象大致是（ ）的()f x x=-()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2f x x=()f x =0m ∃∈N N m ∀∉N Nm ∀∈N N0m ∃∈N N0m ∃∉N N0x y >>11x y x y->-12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1120-70-()2221x xf x x--=-A. B.C. D.6. 原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：）A. 4小时B. 5小时C. 6小时D. 7小时7. 某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位的任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担任1号位或2号位，则不同的位置安排方式有（ ）A. 36种B. 42种C. 48种D. 52种8. 已知，是定义域为R 的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），lg20.3≈()f x ()g x ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--[)0,∞+3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭3222先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）A B. C. D. 10. 已知，且，则下列不等式成立的是（ ）A. B.C.D. 11. 已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________.13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数）.1A 2A B 13()5P A =11()50P B =()1950P B A =22()11P A B =0,0a b >>21a b +=18ab ≤218a b+≤≤3a b +≤()f x R 112f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x []0,1302f ⎛⎫⎪⎝⎭-<403f ⎛⎫>⎪⎝⎭(3)0f <202403f ⎛⎫>⎪⎝⎭{}{}22230,0,M x x x N x x ax x =--<=-<∈Z M N ⋂a W f (,)(1,2,...,8)i i W f i =f W kf cW =,c k ln i i x W =ln i i y f =8x =5y =821214ii y==∑ 7.4y bx=+ k µi y (1,2,...,8)i =µ()8210.28i ii y y =-≈∑2R ≈µ()()221211==-=--∑∑ni ii n ii y y R y y14. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是_____四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为．（1）求，的值；（2）乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望．16. 数列满足．（1）求通项公式；（2）若，求的前项和．17. 设函数两个极值点分别为．（1）求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.（1）若为的中点，证明：平面平面；（2）若，，线段上的点满足，且平面与平面，求实数的值.的的()f x R (2)2()f x f x -=[)2,0x ∈-()2(2)f x x x =-+[),x m ∈+∞3()4f x ≤m p ()01q p q <<<31015p q X X ()E X {}n a 321212222n n a a a a n -+++⋯+={}n a n nnb a ={}n b n n T ()21ln 2f x x x x ax =--()1212,x x x x <a ()12a x x λ<+λe 271828= ．P ABCD -ABCD AB CD P 90ABC ∠=︒PA PD AD ==PC PB =O AD POC ⊥ABCD 60CDA ∠=︒112AB CD ==PD M DM DP λ= PCB ACM λ19. 已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧）（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.C 22221x y a b+=0a b >>x C 0l 220x y +-=C A B ()2,3P C E F E P PE PF0l M EMA FMA ∠=∠M吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学学科试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】①. ②. 【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1），（2）分布列略，【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）【19题答案】【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）存，在(2,)+∞0.3-0.983[,)2+∞12p =35q =()72E X =2n n a =222n nn T +=-10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭(]0,22322143x y +=1,13PEPF ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭43,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
吉林省通化市集安综合高中2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试卷含答案
总分：120 分 时间：100 分钟 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分, 共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项 是符合题目要求的.
1、用反证法证明命题：“如果 a b 0 ，那么 a2 b2 ”时，假设的内容应是（ ）
A． a2 b2
2.C【解析】 z 12 12 2
3.B 【解析】由
，得 f’(x)=
4.B【解析】由 ＋ ＋p1＝1.得 p1＝ .
5.B【解析】 1 2i 1 i
1 2i1 i 1 i1 i
3i 2
，
故虚部为 1 2
6.D【解析】5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的 报名方法共有 25=32 种,选 D
所以 的分布列为
（8 分）
（2） 的数学期望： E 0 1 1 4 2 4 4 （10 分）. 9 9 93
18.解：
(1) f '(x) x ' e x x e x ' e x xe x （2分）
(2) k f '(1) 2e ,（4分） 当 x 1 时, y e （6分） 因此,这个函数的图象在点 x 1 处的切线方程是 y e 2e(x 1) （8分）
第五个等式为
．
三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 10 分, 共 40 分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程和演算步骤.
17、在两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的 1 个红球、2 个黄球．现分别从每一
个口袋中各任取 2 个球，设随机变量 为取得红球的个数.
（1）求 的分布列； （2）求 的数学期望 E .
【答案】13＋23＋33＋43＋53＋63 212 .
吉林省长春市第二实验中学2024_2025学年高二语文上学期期初考试试题
吉林省长春市其次试验中学2024-2025学年高二语文上学期期初考试试题考生留意：1．本试卷共18题，共150分，共4页。
考试时间120分钟。
考试结束后，只交答题卡。
2．客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。
第Ⅰ卷阅读题（共70分）一、文学类文本阅读(本题共3小题，15分)阅读下面的文字，完成1～3题。
亮丽家园[加拿大]爱丽丝•门罗花园宫的一切是如此的完备无瑕，每座房子的表情都傲慢地指出了这一点。
在新盖的大房子中间，常常还能望见另一种屋子，那就是老城区像富勒顿太太雾那样的老房子。
这些幸存下来的老房子阴沉沉的，被周困着，显示出岁月长短不同的沉积。
它们的无序和突兀、不协调的屋顶角度和斜坡，连露出某种近似原始的气息，与这些街道格格不入。
一群邻居家的士人坐在起居室里，还有一些男人也在。
玛丽知道她们在说富勒顿太太的房子。
她无望地看着窗户外头，或者盯着自己的膝盖，想方设法找出几句美丽的说明中止这个话题。
她没有胜利。
“要是我住她隔壁，”史蒂夫表情喻快而温顺，明显在期盼随后的笑声，“我把孩子带过去，让他们带上火柴。
”伊迪斯道，“敬爱的，你在开玩笑，我却努力做了点什幺，我给市政厅打过电话了。
我说，他们至少可以让她刷刷墙，或者把那些棚屋推掉一些。
”“还有那些鸡。
”贾妮•英奇说，“我的天哪，那个味道。
我知道我们住在边远地区，但怎么也没想到，我们隔壁就是家畜棚。
”“街对过可比住隔壁更糟糕。
我都纳闷，我们干吗费半天劲要景观窗。
”另一个女人说。
史蒂夫竞然说，“按规定市政厅得给我们修条路，她的房子正好挡在我们的必经之路上。
只要我们现在让市政厅通路，这样，她就得走。
这是法律。
”开心的笑声响起来。
玛丽开口之前，希望自己的声音听起来正常，既不要感情用事，也不要哆哆嗦嗉。
“不过，你们想没想过，她在这里住了很久了。
我们大部分人还没生出来的时候，她就已经住在这里了。
”她舍命地想找一些别的话，比现在这些话更有力、更理智的话，但她就是找不到一句。
2020-2021学年吉林省长春市第二实验中学高二下学期期末考试政治试题
吉林省长春市第二实验中学2020-2021学年高二下学期期末考试政治试题2021年7月本试卷分选择题和非选择题两部分共33题，共100分，共4页。
考试时间为90分钟。
考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷选择题一、选择题:本题共30小题，每小题2分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
“外滩大会”上，多款黑科技“闪亮登场”。
卫星遥感技术与农村贷款结合，“一眼看明”申贷者有多少资产；AI加快了保险理赔速度；智能理财AI让你免费拥有私人理财顾问；宠物鼻纹识别技术比你更快认出你家狗狗……当科技全方位融入我们的生活，生活会变得更加便利，但黑科技产品刚开始商用时价格也非常昂贵。
黑科技产品价格昂贵，是因为（）①黑科技产品投入大、成本高，因而价格昂贵②黑科技产品性能好、用途广泛，因而价值大③技术创造商品价值，黑科技产品技术含量高④黑科技产品往往比较稀缺，但能满足人们的特殊需要A．①②B．①④C．②③D．③④2.下图反映了供求关系变化与商品价格变化的关系,其中D为需求曲线,S为供给曲线,E为均衡点。
下列能导致均衡点发生如图变化的是( )①双十一购物节期间网店降价促销②实施供给侧改革,水泥产量下降③国内玉米大丰收,出口总量下降④钢铁投资增加,住房和铁路建设投资减少A.①②B.①③C.②④D.③④3.近年来,在网络直播、短视频平台上,一些“吃播”主播以挑战超出常人的食量来赚取眼球、吸引流量,这种哗众取宠的行为不仅伤害身体,也误导消费,造成严重浪费。
对此,商务部会同相关部门出台一系列绿色餐饮标准,制定、修订一批行业标准,整顿“吃播”乱象。
这一举措是为了( )①建立长效机制,合理利用有限资源②规范消费行为,培养理性消费观念③加强行业监管,限制网络主播行为④调整消费结构,营造厉行节约氛围A.①②B.①④C.②③D.③④5G大会于2020年11月26日在广州举行，全球5G领域的科学家、企业家和各界人士深入探讨5G发展趋势，推动5G更好融入千行百业，为促进经济复苏和民生改善注入新动力新动能。
吉林省长春市朝阳区吉林省第二实验学校2023-2024学年九年级数学下学期假期检测题
吉林省长春市朝阳区吉林省第二实验学校2023-2024学年九年级数学下学期假期检测题一、单选题1．某种速冻水饺适宜的储藏温度是182-±℃，以下四个冷藏柜的温度中，不适合储藏这种水饺的是（ ） A ．15-℃B ．17-℃C ．18-℃D ．20-℃2．近年来人们越来越关注健康，我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的衣物，每千克衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下，将0.000075用科学记数法表示为（ ） A ．0.75×10﹣4B ．7.5×10﹣4C ．75×10﹣6D ．7.5×10﹣53．如图，该几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．将不等式组26040x x -≤⎧⎨+>⎩的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA '、BB '的中点，只要量出A B ''的长度，就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C ．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D ．两点之间线段最短 6．图中表示被撕掉一块的正n 边形纸片，若a ⊥b ，则n 的值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．127．如图，用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）A ．AD AE =B ．AD DF =C ．DF EF =D ．AF DE ⊥8．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点A 在直线2y x =-+上运动．以A 为顶点在第一象限内作矩形ABCD ，使各边所在直线与坐标轴平行，且42AB BC ==，．若函数ky x=（0x >）的图象同时经过矩形顶点B 、D ，则k 的值为（ ）A ．89B ．43C ．329D ．4二、填空题9．因式分解：24a ab -=．10．若关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围 11．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34︒的斜坡，从A 滑行至B ，已知250AB =米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin340.56︒≈，cos340.83≈︒，tan340.67≈︒）12．如图，ABC V 和A B C ''△是以点C 为位似中心的位似图形，且A B C ''△和ABC V 的面积之比为1:4，点C 的坐标为 1,0 ，若点A 的对应点A '的横坐标为2-，则点A 的横坐标为．13．边长均为5的正五边形与一个正六边形按如图所示的方式拼接在一起，连接AB ，则以AO 为半径的A e 与六边形及AOB V 重叠部分图形的面积之和为（结果保留π）．14．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB 为20m ，顶点M 距水面6m （即6m MO =），小孔顶点N 距水面4.5m （即4.5m NC =，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF =m ．三、解答题15．化简求值：()()()22226a a a a +++--．其中12a =-．16．甲、乙两名大学生参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，他们将被随机分配到翻译(记为A )、导游(记为B )、礼仪(记为C )三个工作岗位，请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的概率．17．即将到来的2024年是中国农历甲辰龙年．某商场用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具，面市后供不应求，商场又用6600元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了3元．求商场购进第一批“小金龙”每件的进价．18．如图，在88⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，A 、B 、C 均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）．(1)将AC 绕着点C 顺时针旋转90︒，在图①中作出旋转后的对应线段CD ． (2)在图②中作线段AE ，使点E 在边BC 上，且25ABE ABC S S =V V ． (3)在图③中作ABC V 的角平分线BF ．19．在“双减”背景下，为丰富作业形式，提高学生阅读兴趣和实践能力，某校开展语文课本剧表演活动．为了解“学生最喜爱的课本剧”的情况，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“A （《卖油翁》），B （《木兰诗》），C （《愚公移山》），D （《屈原》），E （其他）”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图表．最喜爱的课本剧人数调查统计表根据以上信息，请回答下列问题： (1)表格中m n +=_________；(2)扇形统计图中D 选项对应的扇形的圆心角的度数为__________；(3)该校有3000名学生，根据抽样调查的结果，请估计该校最喜爱的课本剧是《卖油翁》的学生人数．20．在A B C D Y 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），90AEB CFD ∠=∠=︒．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)当5AB =，3tan 4ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，四边形AECF 的面积为．21．甲、乙两车同时从A 地出发沿同一线路前往B 地．甲车匀速行驶2小时后，收到紧急通知，立即提高速度匀速前往B 地（千米），比乙车提前1小时到达B 地，设甲、乙两车各自距A 地的路程为y （千米），乙车行驶的时间为x （时），y 与x 之间的部分函数图象如图所示．(1)乙车每小时行驶的路程为 千米；(2)补全甲车提高速度后的函数图象，并求出提高速度后甲车距A 地的路程y 与x 之间的函数关系式；(3)求甲、乙两车相遇时，甲车距A 地的路程．22．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边ABC D V ，是ABC V 外一点，连接AD CD BD 、、，若3035ADC AD BD ∠=︒==，，，求CD的长．（1）该小组在研究如图2中OMN OPQ ≌△△中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．解：如图3所示，以DC 为边作等边CDE V，连接AE ．∵ABC DCE △、△是等边三角形，∴60BC AC DC EC BCA DCE ==∠=∠=︒，，． ∴BCA ACD ∠+∠= A C D +∠， ∴BCD ACE ∠=∠， ∴BCD V ≌ ， ∴5AE BD ==．∵3060ADC CDE ∠=︒∠=︒，， ∴90ADE ADC CDE ∠=∠+∠=︒． ∵3AD =， ∴CD DE == ． 【尝试应用】（2）如图4，在ABC V 中，454ABC AB BC ∠=︒==，，以AC 为直角边，A 为直角顶点作等腰直角ACD V ，求BD 的长． 【拓展创新】（3）如图5，在ABC V 中，510AB AC ==，，以BC 为边向外作等腰120BCD BD CD BDC =∠=︒V ，，，连接AD ，则AD 的最大值为．23．如图，在Rt ABC △中，904cm 3cm ABC AB BC ∠=︒==，，，点P 从点C 出发，以1cm/s 的速度从点C 向点A 运动，过点P 作PM AB ⊥于点M PN BC ⊥，于点N ，作点A 关于直线PM 的对称点E ，连接PE ，交折线CB BA -于点D ，以PC 和PD 为邻边作平行四边形PCFD ，设点P 的运动时间为()s t （05t <<）(1)用含有t 的代数式表示线段BD 的长； (2)连接BF ，求线段BF 的最小值；(3)当平行四边形PCFD 与矩形PMBN 重叠部分为三角形时求t 的取值范围 (4)当直线DF 将四边形PMBN 的面积分成1:2两部分时，请直接写出t 的值．24．已知二次函数2y x bx c =-++（其中b 、c 为常数）经过点()3,0A ，对称轴为直线1x =，点P 在抛物线上，其横坐标为m ． (1)求该二次函数的解析式．(2)抛物线在P 、A 之间的函数部分（包括P 、A 两点）的最大值为4m -时，求出此时m 的值．(3)已知点,22m m B ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 关于点B 的对称点为点M ，以PM 为对角线构造矩形PQMN ，其中PQ x ⊥轴．①0m >，抛物线在矩形PQMN 内部的函数部分y 随x 的增大而增大或者y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围．②取线段MN 的中点记为R ，当矩形PQMN 与抛物线存在多个交点时，设其中一个交点为G （非点P ），当存在以Q N R G 、、、为顶点的四边形的面积与矩形PQMN 的面积比为716时，直接写出此时m 的值．。
2022-2023学年吉林省长春市高中高二下学期第二学程考试数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省长春市高中高二下学期第二学程考试数学试题一、单选题1．如图所示的Venn 图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若A B A B ⊗，，则（ ）{}21,,4A x x n n n ==+∈≤N {}2,3,4,5,6,7B =A B ⊗=A ．B ．C ．D ．{}2,4,6,1{}2,4,6,9{}2,3,4,5,6,7{}1,2,4,6,9【答案】D 【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂A A B ⋃A B ⋂.A B ⊗【详解】由韦恩图可知，，()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂因为，，{}{}21,,41,3,5,7,9A x x n n n ==+∈≤=N {}2,3,4,5,6,7B =则，，因此，.{}1,2,3,4,5,6,7,9A B = {}3,5,7A B = {}1,2,4,6,9A B ⊗=故选：D.2．过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）()()ln f x x =-A ．B ．C ．D ．y x =-2e y x=-1e y x=-e y x=-【答案】C【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.【详解】因为，所以，()ln()f x x =-()1f x x '=设所求切线的切点为，则，00(,())x f x ()001f x x '=由题知，，解得，所以切线斜率为，()00000ln ()1x f x x x x -==0e x =-()1e e k f '=-=-故所求切线方程为.1e y x=-故选：C.3．已知变量y 与x 之间具有线性相关关系，根据变量x 与y 的相关数据，计算得则y 关于x 的线性回归方程为（ ）77772111128,1078,140,4508ii ii i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,.ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑A ．B ．ˆ7126y x =-ˆ7126yx =+C ．D ．ˆ5121yx =+ˆ5121yx =-【答案】B【分析】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解.ˆˆ,b a 【详解】由题中的数据可知，4,154x y ==所以.7172217450874154196714071628ˆ7i ii ii x y xyb xx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑所以.15474126ˆˆa y bx =-=-⨯=所以y 关于x 的线性回归方程为.ˆˆˆ7126ybx a x =+=+故选：B.4．据统计，某工厂所生产的一类新型微电子芯片的厚度X （单位：）服从正态分布，μm (),4N μ且. 如果芯片的厚度高于，那么就带要对该芯片进行复检. 若该工()()25311P X P X ≥+≥=32μm 厂此芯片日产量平均为10000片，那么每天需要进行复检的产品大约有（ ）（附：若X （单位：）服从正态分布，则，μm ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-<≤+=，.）()220.9545P X μσμσ-<≤+=()330.9973P X μσμσ-<≤+=A ．228件B ．455件C ．1587件D ．3173件【答案】A【分析】根据正态分布的对称性，即可求得的值和，从而求出10000片中每天需要进μ()32P X ≥行复检的产品.【详解】因为，所以，()()25311P X P X ≥+≥=()()()3112525P X P X P X ≥=-≥=<即与关于对称，则，25X =31X =X μ=2531282μ+==因为，所以，又因为，24σ=2σ=232μσ+=()()()1223222P X P X P X μσμσμσ--<<+≥=≥+=10.95452-=，所以件，10.95452-=0.02275=100000.02275227.5228⨯=≈所以每天需要进行复检的产品大约有件，228故选：A.5．已知是定义在R 上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则()f x ()f x ()'f x ()'cos f x x≥的解集为（ ）()sin f x x≥A ．B ．C ．D ．[)π,-+∞[)π,+∞π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)0,∞+【答案】D【分析】根据函数的单调性求解.【详解】令函数，则，()()sin g x f x x=-()()''cos g x f x x=-因为 所以. 是增函数，()'cos f x x ≥，()()0g x g x '≥，因为是奇函数，所以，，()f x ()00f =()()00sin 00g f =-=所以的解集为，即≥的解集为；()0g x ≥[)0,∞+()f x sin x [)0,∞+故选：D.6．，当时，都有，则实数的最大值为（ ）[]12,1,e x x ∀∈12x x <()1122lnx a x x x <-aA ．B ．CD ．121e 1e【答案】B 【分析】依题意对，当时恒成立，，1122ln ln x ax x ax -<-[]12,1,e x x ∀∈12x x <()ln h x x ax=-，则问题转化为在上单调递增，求出函数的导函数，则在上恒成立，[]1,e x ∈()h x []1,e ()0h x '≥[]1,e 参变分离可得的取值范围，即可得解.a 【详解】因为，当时，都有，[]12,1,e x x ∀∈12x x <()1122lnx a x x x <-即，即，1212ln ln x x ax ax -<-1122ln ln x ax x ax -<-令，，则恒成立，()ln h x x ax =-[]1,e x ∈()()12h x h x <即在上单调递增，()ln h x x ax=-[]1,e 又，所以在上恒成立，()1h x ax '=-()10a x h x =-≥'[]1,e 所以在上恒成立，因为在上单调递减，1a x ≤[]1,e ()1g x x =[]1,e 所以，所以，即实数的最大值为.()()min 1e e g x g ==1e a ≤a 1e 故选：B7．某市环保局举办“六·五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是．现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用表示获奖的人数，那13ξ么（ ）()()E D ξξ+=A ．B ．C ．D ．224225104225815112225【答案】A【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解.【详解】设印有“环保会徽”图案的卡片有张，则“绿色环保标志”图案的卡片有张，n 10n -由题意可知，所以从盒中抽取卡片两张获奖的概率为，2210C 16C 3n n ⇒==22104221010C C 2C C 15n -==由于服从二项分布，即，所以，ξ24,15B ξ⎛⎫~⎪⎝⎭()()221322444151515225E D ξξ+=⨯+⨯⨯=故选:A 8．已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒()22ln f x ax x x=-+12,x x ()()1212f x f x x x t+<++成立，则实数t 的范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[)1,-+∞[)5,-+∞[)22ln 2,-+∞[)1ln 2,-+∞【答案】B 【分析】恒成立，等价于恒成立.由()()1212f x f x x x t+<++()()()1212t f x f x x x >+-+有两个不同的极值点结合韦达定理可得，其中()f x ()()()1212f x f x x x +-+21ln 2a a =---，后构造函数，利用导数求出其最值即可得答案.102a <<()211ln 202h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭【详解】因为不等式恒成立，所以恒成立．()()1212f x f x x x t+<++()()()1212f x f x x x t+-+<.()()22210-+'=>ax x f x x x 因为函数有两个不同的极值点，()22ln f x ax x x=-+12,x x 所以方程有两个不相等的正实数根，于是有，解得．22210ax x -+=1212Δ48010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩102a <<则()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦.21ln 2a a =---设，，故在上单调递增，()211ln 202h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭()220-'=>a h a a ()h a 102a <<故，所以．又注意到满足题意，因此实数t 的范围是． ()152⎛⎫<=- ⎪⎝⎭h a h 5t >-5t =-[)5,-+∞故选：B【点睛】关键点睛：本题涉及恒成立问题与由函数极值点求参数范围，难度较大.本题所涉字母较多，关键为找到间的关系，得到关于a 的表达式.12,,ax x ()()()1212f x f x x x +-+二、多选题9．下列各结论正确的是（）A ．“”是“”的充要条件0xy >0xy >B ．2C ．命题“”的否定是“”21,0x x x ∀>->21,0x x x ∃≤-≤D ．“一元二次函数的图象过点”是“”的充要条件2y ax bx c =++()1,00a b c ++=【答案】AD【详解】根据符号规律可判断A ；根据基本不等式成立条件以及利用单调性求最值可判断B ；根据全称命题否定形式可判断C ；结合二次函数图象与性质可判断D.【分析】解：⇔，故A 正确;0xy >0x y >，令，则，y 3t =≥1y t t =+且在区间上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，最小值为，故B 错误；)[3,∞+110333+=命题“”的否定是“”，故C 错误；21,0x x x ∀>->21,0x x x ∃>-≤一元二次函数的图象过点显然有，反之亦可，故D 正确.2y ax bx c =++()1,00a b c ++=故选：AD10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，3%15%25%．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列60%A =i B =i (1i =23)结论正确的有（ ）A ．B ．()0.03P A =31()1ii P B ==∑C ．D ．12()()P B A P B A =123()()(|)P B A P B A P B A +=【答案】BC【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．【详解】对于A ：因为，故A 错误；()0.050.150.030.250.030.600.033P A =⨯+⨯+⨯=对于B ：因为，故B 正确；13Σ()0.150.250.601i i P B ==++=对于C ：因为，111()(|)0.050.155(|)()0.03322P B P A B P B A P A ⋅⨯===，222()(|)0.030.255()()0.03322|P B P A B P B A P A ⋅⨯===所以，故C 正确；12()()P B A P B A =对于D ：由上可得，125()()11P B A P B A +=又因为，故D 错误，333()(|)0.030.606(|)()0.03311P B P A B P B A P A ⋅⨯===故选：BC ．11．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法()01p p ≤≤()f p 中正确的是（ ）A ．三局就结束比赛的概率为B ．的常数项为3()331p p +-()f p C ．函数在上单调递减D ．()f p 10,2⎛⎫⎪⎝⎭13328f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A 选项；进而求出期望值X X ，即可判断BCD 选项.()f p 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为，X X 3,4,5所以，()()3331P X p p ==+-，()()()3131334C 1C 1P X p p p p ==-+-，()()22245C 1P X p p ==-因此三局就结束比赛的概率为，则A 正确；()331p p +-故()()()()()332313122334314C 1C 15C 1f p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦，432612333p p p p =-+++由知常数项为3，故B 正确；()03f =由，故D 正确；111133361232168428f ⎛⎫=⨯-⨯+⨯+=⎪⎝⎭由，()()()322243663321441f p p p p p p p =-++=---'，所以，01p ≤≤ 22441(21)20p p p --=--<令，则；令，则，∴()0f p '>102p ≤<()0f p '<112p <≤则函数在上单调递增，则C 不正确.()f p 10,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：ABD.12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）e ()xx f x =-()ln g x x x =-A ．在上是增函数(ln )f x (1,)+∞B ．，不等式恒成立，则正实数a 的最小值为1x ∀>()2()f ax f lnx ≥2eC ．若有两个零点，，则()g x t=1x 2x 122x x +<D ．若，且，则的最大值为()()12(2)f x g x t t ==>210x x >>21ln t x x -1e【答案】ABD 【分析】A 选项，由题，，判断在上的单调性即可；()()ln ln f x x x g x =-=()1,x ∈+∞()g x ()1,+∞B 选项，由单调性，；()f x ()()22max 2ln ln ln x f ax f x ax x a x ⎛⎫≥⇔≥⇒≥ ⎪⎝⎭C 选项，由有两个零点，，构造函数应用极值点偏移可解；()g x t=1x 1x D 选项，因，及在上单调递增，结合B 选项分析可判断选项.()()1232，f g <<()()f xg x ，()1,+∞【详解】对于A 选项，，.()()ln ln f x x x g x =-=()1,x ∈+∞又当时，，则在上是增函数，故A 正确；()1,x ∈+∞()1110x g x x x -'=-=>()ln f x ()1,+∞对于B 选项，时，，又为正实数，所以，又时，，1x >2ln 0x >a 0ax >0x >()e 10x f x '=->所以在单调递增，故，即.()f x ()1,+∞()()22ln ln f ax f x ax x ≥⇔≥max 2ln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，知，所以在上递增，在上递减，所以()2ln xx x ϕ=()222ln x x x ϕ-'=()x ϕ()1,e ()e,+∞，()()max 2e e x ϕϕ==得正实数的最小值为，故B 正确；a 2e 对于C 选项，有两个根，，等价于函数有两个零点，.()g x t=1x 2x ()g x t -1x 2x 注意到，则在上单调递减，在上单调递增，()111x g x t x x -'⎡⎤-=-=⎣⎦()g x t -()0,1()1,+∞因函数有零点，则.()()1101g x t g t t t ⎡⎤-=-=-<⇒>⎣⎦m i n 设，1201x x <<<令，，()()()2h x g x g x =--()0,1x ∈因为，()()()2h x g x g x '''=+-所以，()()()()()22111222x x x h x g x g x x x x x ----'''=+-=+=--当时，，单调递减；01x <<()0h x '<()h x 所以在上单调递减，所以，即当时，，()h x ()0,1()()10h x h >=01x <<()()2g x g x >-由题意，，，且在上单调递增，()()()2112g x g x g x =>-21x >121x ->()g x ()1,+∞所以，即．故C 错误；212x x >-122x x +>对于D 选项，由AB 选项分析可知，在上单调递增，()()f xg x ，()1,+∞又，，()()()122f x g x t t ==>()()11233ln 32e ，fg =-<=-<则.由，即，即有，2131x x >>>()()12f x g x =12ln 1222e ln e ln x x x x x x -=-=-()()12ln f x f x =又，在上单调递增，所以，即，所以121ln 1x x >>，()f x ()1,+∞12ln x x =12e x x =，1211ln ln ln e x t t tx x x t ==--其中.由B 选项分析可知，，其中时取等号，则，2t >2ln 2e x x ≤e x =1211ln ln ln 1e e x t t t x x x t ==≤--其中时取等号，所以，故D 正确.e x =21max ln 1et x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，常利用分离参数法将问题转化为求最值.对于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量.三、填空题13．花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________．【答案】/350.6【分析】使用条件概率进行计算即可.【详解】设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”，A =B =则积事件“两束花都是郁金香”，AB B ==事件中样本点的个数为，A ()222322C C C 5n A =++=积事件中样本点的个数为，AB ()23C 3n AB ==∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为.()()()35n AB P B A n A ==故答案为：.3514．若两个正实数x ，y恒成立，则实数m的取值1+=26m m >-范围是____________．【答案】28m -<<的最小值，进而求解即可.2616m m-<【详解】由于，所以,0,0x y >>88=≥+取等号，故，解得，64,4x y ⇒==2616m m -<28m -<<故答案为：28m -<<15．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_____.3()3f x x x =-2(,8)a a -a 【答案】[)2,1-【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解.3()3f x x x =-【详解】，令得，2()33f x x '=-()0f x '=1x =±时，时，，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞()0f x '>(1,1)x ∈-()0f x '<所以在和上单调递增，在上单调递减，()f x (,1)-∞-(1,)+∞(1,1)-若函数在上有最小值，则其最小值必为，3()3f x x x =-2(,8)a a -(1)f 则必有且，解得，21(,8)a a ∈-3()3(1)2f a a a f =-≥=-21a -≤<故答案为：.[)2,1-16．已知是函数在其定义域上的导函数，且，，若函数()f x '()f x ()()1e xf x f x +'-=()21e f =在区间内存在零点，则实数m 的取值范围是______．()()()()2ln 20e x mf x g x mx x m =-+->()0,∞+【答案】[)1,+∞【分析】先根据及得到，利用同构得到()()1e xf x f x +'-=()21e f =()1e xf x x +=有解，构造，得到，故()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦()e 1=--t g t t ()0min e 10g t =-=，参变分离得到在有解，令，求导得到其单调性，()1ln 0x mx -+=1e x m x -=()0,x ∈+∞()1e x h x x -=极值和最值情况，得到答案.【详解】，所以，()()1ex f x f x +'-=()()e e xf x f x '-=故，所以，为常数，()e e x f x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()e e x f x x c =+c 因为，又，故，()21e f =()e 1ef c =+0c =所以，()1e xf x x +=若在区间内存在零点，()()()()2ln 20e x mf x g x mx x m =-+->()0,∞+则在区间内存在零点，()12e ln 20e x x m mx x x +-+-=()0,∞+整理得，()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦设，则，()e 1=--t g t t ()e 1t g t '=-令得，当时，，单调递增，()0g t '=0=t 0t >()0g t '>()e 1=--t g t t 当时，，单调递减，0t <()0g t '<()e 1=--t g t t 所以在处取得极小值，也是最小值，，()e 1=--t g t t 0=t ()0min e 10g t =-=故时，成立，()1ln 0x mx -+=()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦即存在，使得有解，即有解，()0,x ∈+∞()1ln 0x mx -+=1e x m x -=令，则，()1e x h x x -=()()12e 1x x h x x --'=当时，，当时，，1x >()0h x '>01x <<()0h x '<故在上单调递减，在上单调递增，()1e x h x x -=()0,1()1,+∞故在处取得极小值，也是最小值，()1e x h x x -=1x =又，故，()11h =()1h x ≥所以，故实数m 的取值范围.m 1≥[)1,+∞故答案为：[)1,+∞【点睛】方法点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数()f x ()f x '的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若，则构造，()()0f x f x +'>()()e x g xf x =⋅若，则构造，()()0f x f x '->()()x f x g x =e 若，则构造，()()0f x xf x '+>()()g x xf x =若，则构造.()()0f x xf x '->()()f xg x x =四、解答题17．设等比数列的前项和为，公比，.{}n a n n S 1q >2316,84a S ==(1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和为.{}n n a +n n T 【答案】(1)；4nn a =(2).214423n n n n T ++-=+【分析】（1）利用基本量法，即可求解.（2）利用分组求和即可求解.【详解】（1）解：，解得，121111684a q a a q a q =⎧⎨++=⎩11644()144a a q q =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或舍；4n n a ∴=（2）1231424344nn T n =++++++++ 1231234444nn =+++++++++(1)4(14)214n n n +-=+-.214423n n n n T ++-∴=+18．民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．“编织巧手”非“编织巧手”总计年龄40岁≥19年龄＜40岁10总计40(1)请完成答题卡上的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“编织巧手”与“年22⨯0.010α=龄”是否有关；(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．参考公式：，其中．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.841 6.6357.879【答案】(1)填表见解析；认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010(2)815【分析】（1）根据题意补全列联表，计算，并与临界值对比分析；2χ（2）先根据分层抽样求各层的人数，结合古典概型分析运算.【详解】（1）年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．列联表如下：“编织巧手”非“编织巧手”总计年龄40岁≥19524年龄<40岁61016总计251540零假设为：“编织巧手”与“年龄”无关联．0H 根据列联表中的数据，经计算得到，()220.010401910657.111 6.63524162515x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此0.010α=0H 推断犯错的概率不大于0.010．（2）由题意可得这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4．从这6人中随机抽取2人的情况有种，2615C =其中符合条件的情况有种，1142C C 8=故所求概率．815P =19．已知函数()322f x x ax b=-+(1)当时，求的极值；3a =()f x (2)讨论的单调性；()f x(3)若，求在区间的最小值.0a >()f x []0,1【答案】(1)，()f x b=极大值()1f x b=-+极小值(2)当时的单调增区间为，，单调减区间为；0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时在R 上单调递增；0a =()f x 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()3min 2,3,0327a b a f x a b a -+≥⎧⎪=⎨-+<<⎪⎩【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；（2）求导函数，分，，讨论可得结果；()2(3)f x x x a '=-0a >0a =a<0（3）结合（2）的结论，分、两种情况讨论，分别求出函数的最小值.3a ≥0<<3a 【详解】（1）当时定义域为R ，3a =()3223f x x x b=-+且，()()26661f x x x x x '=-=-所以当或时，当时，0x <1x >()0f x ¢>01x <<()0f x '<所以在处取得极大值，在处取得极小值，()f x 0x =1x =即，；()()0f x f b ==极大值()()11f x f b==-+极小值（2）函数定义域为R ，则，()322f x x ax b=-+()()26223f x x ax x x a '=-=-令，解得或，()0f x '=0x =3ax =①当时，则当或时，，0a >0x <3ax >()0f x ¢>当时，，03ax <<()0f x '<所以的单调增区间为，，单调减区间为；()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当时，恒成立，所以在R 上单调递增；0a =()0f x '≥()f x③当时，当或时，，当时，，a<03a x <0x >()0f x ¢>03ax <<()0f x '<所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为；0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时在R 上单调递增；0a =()f x 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为，0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，即时在上单调递减，13a≥3a ≥()f x []0,1所以在上的最小值为，()f x []0,1()()min 12f x f a b ==-+若，即时，在单调递减，在单调递增，013a <<0<<3a ()f x 0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在的最小值为，()f x []0,1()3min327a a f x b⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭所以.()3min2,3,0327a b a f x a b a -+≥⎧⎪=⎨-+<<⎪⎩20．某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”.参赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名得0分，每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于6分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰.“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失败者则被淘汰.已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第三名、第四名的概率均为；1316甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为.23(1)求甲获得参加“挑战答题”活动资格的概率.(2)“挑战答题”活动规则如下：参赛者从10道题中随机选取5道回答，每道题答对得1分，答错得0分.若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的10道题中只有3道题甲不能正确回答，记甲在“挑战答题”中累计得分为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.【答案】(1)2881(2)分布列见解析；72【分析】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，由题意确定的可能取值，求出每个值对应的概ξξ率，即可得答案.（2）确定随机变量X 的所有可能取值，求得每个值对应概率，可得分布列，即可求得数学期望.【详解】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，则甲在“四人赛”中累计得分不低于6分包含了ξ或或或.9ξ=8ξ=7ξ=6ξ=；311(9)327P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭；223111(8)C 339P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭；3211331111(7)C C 3636P ξ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32313311111111(6)A C 33636354P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯++⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以甲在“四人赛”中累计得分不低于6分的概率，1111111427965427P =+++=故甲能进入“挑战答题”活动的概率.1214228327381P P =⨯=⨯=（2）随机变量X 的所有可能取值为，2345,,,；；3237510C C 1(2)C 12P X ===2337510C C 5(3)C 12P X ===；.1437510C C 5(4)C 12P X ===57510C 1(5)C 12P X ===所以X 的分布列如下表所示：X2345P112512512112所以.15517()2345121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21．已知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点2222:1(0)x y E a b a b +=>>E 到其中一个焦点的距离的最小值为1.(1)求椭圆的方程；E (2)设直线交于两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四(:0l y kx m k =+≤≤E ,M N O OM ON 边形在椭圆上，求的取值范围.,OMPN P E OP【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程，结合可解；222a b c =+（2）设，利用韦达定理结合四边形为平行四边形可的点P 坐()()()112200,,,,,M x y N x y P x y OMPN 标，然后结合点P 在椭圆上可解.【详解】（1）由题可知12221a b a c ⎧⨯⨯⨯=⎪⎨⎪-=⎩，1ab a c ⎧=⎪⇒⎨-=⎪⎩所以，即，()22212a a c -=()212a a c +=所以，2(2a a 1)12-=所以，因为，()()222360a a a -++=0a >所以2，所以=a 1,c b ==所以椭圆的方程为：.E 22143x y +=（2）联立，消去，化简整理得：，22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2223484120k x kmx m +++-=需满足，()())222222Δ6443441248(340k m k mk m =-+-=+->设，由韦达定理可()()()112200,,,,,M x y N x y P x y 知：.122834km x x k +=-+则以为邻边作平行四边形，,OM ON OMPN 则，()()1122,,OP OM ON x y x y =+=+()0120121228,34km x x x y y y k x x k ∴=+=-=+=++26234mm k +=+由于点在椭圆上，所以，P C 2200143x y +=即()()2222222161213434k m m k k +=++化简得：，经检验满足22434m k =+(2Δ4834k =+-)20m >又OP =====由于，2034315k k ≤≤∴≤+≤所以，213543k ≤+1≤所以231934435k ≤-≤+OP ≤≤所以的取值范围为.OP 22．已知函数.()()ln 1f x x x x λ=--(1)当时，，求的取值范围；1x ≥()0f x ≥λ(2)函数有两个不同的极值点（其中），证明：()()()21g x f x x xλλ=-+-12,x x 12x x <；12ln 3ln 4x x +>(3)求证：.()*1111ln21232n n n n n +++⋯+<∈+++N 【答案】(1)(],1-∞(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由，利用导数研究函数单调性，转化为当，恒成立问题；()10f =1x ≥()0f x '≥（2）函数极值点，是的两个零点，要证，等价于证，()g x 12,x x ()g x '12ln 3ln 4x x +>12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+通过换元，构造函数，利用导数研究单调性可证.（3）由（1）可知，则有，类似于数列求和的裂项相消法可1ln x x x ->11x n =+()1ln 1ln 1n n n <+-+证.【详解】（1）函数，，且，()()ln 1f x x x x λ=--()ln 1f x x λ'=+-()10f =①当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立；1λ≤1x ≥()0f x '≥()f x ()0f x ≥②当时，令，得，1λ>()ln 10f x x λ+'=-=1ex λ-=当时，此时单调递减，故，不满足题意；)11,ex λ-⎡∈⎣()0f x '≤()f x ()()10f x f ≤=综上可知：.1λ≤即的取值范围为.λ(],1-∞（2）由，故，()()()221ln g x f x x x x x x xλλλλ=-+-=-+-()ln 121ln 2g x x x x xλλ-='=+--因为函数有两个不同的极值点（其中），故.12,x x 12x x <1122ln 2,ln 2x x x x λλ==要证：，只要证：.12ln 3ln 4x x +>()1212124ln 3ln 2623x x x x x x λλλ<+=+=+因为，于是只要证明即可.120x x <<12423x x λ>+因为，故，1122ln 2,ln 2x x x x λλ==1212ln ln 2x x x x λ-=-因此只要证，等价于证，121212ln ln 43x x x x x x ->-+()1212124ln 3x x x x x x -<+即证，令，等价于证明，12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+12(01)x t t x =<<()41ln 3t t t -<+令，()()()()()22224119116109ln (01),3(3)(3)(3)t t t t t t t t t t t t t t t t ϕϕ----+'=-<<=-==++++因为，所以，01t <<()0t ϕ'>故在上单调递增，所以，得证.()t ϕ()0,1()()10t ϕϕ<=（3）由（1）可知当时，，故，1x >()()ln 10f x x x x =-->1ln x x x ->令，所以，所以，11x n =+111ln 111n n n n n ⎛⎫+>= ⎪++⎝⎭()1ln 1ln 1n n n <+-+，ln2ln ln2n n =-=所以.1111ln21232n n n n +++⋯+<+++【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
吉林省长春市实验中学2023-2024学年高二下学期第一学程考试(4月)数学试题(解析版)
长春市实验中学2023-2024学年高二下学期第一学程考试数学试卷考试时间： 120 分钟 分值： 150 分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1. 下列求导正确的是（ ）A. ，则B. ，则C. ，则D.，则【答案】C 【解析】【分析】根据基本初等函数求导公式、求导法则及复合函数求导逐项判断即可.【详解】对于A ，，则，故A 不正确；对于B ，，则，故B 不正确；；对于C ，，则，故C 正确；对于D ，，则，故D 不正确.故选：C.2. 已知，若，则等于（ ）A. B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值.【详解】，y =y '=1ln2y =2y '=22cos sin y x x =-2sin 2y x '=-ln x y x=2ln 1x y x '-=12y x ==1212x y -'==1ln2y =0y '=22cos sin cos 2y x x x =-=2sin 2y x '=-ln x y x=21ln x y x -'=()ln f x x x =()02f x '=0x 2e eln 22ln 2()02f x '=0x ()()()ln ln ln ln 1f x x x x x x x x ''='+='=+因为，所以，解得.故选：B.3. 函数的单调递增区间为（ ）A. B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用导数求函数的单调递增区间.【详解】函数，定义域为，，，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：B4. 设是函数的两个极值点，若，则（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果.【详解】由题意得，又是函数的两个极值点，则是方程的两个根，故，又，则，即，则，()02f x '=0ln 12x +=0e x =22ln y x x =-(),1-∞()0,1()1,e ()1,+∞22ln y x x =-()0,∞+22222x y x x x-'=-=0'>y 01x <<22ln y x x =-()0,112,x x ()321f x x ax x =+++1232x x +=-=a ()2321x ax f x =++'12,x x 12,x x 23210x ax ++=121221,33a x x x x +=-=1232x x +=-1232x x =--()12221323x x x x =--=213x =-则，所以，解得，此时.故选：C ．5. 函数，则（ ）A. B. C D. 关系不确定【答案】C 【解析】【分析】求得，结合导数符号，即可求得的单调区间,进而可判断结果.【详解】解：由已知可得，令，解得．当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增．因为，所以.故选：C6. 用0，1，2，3，4组成无重复数字的三位偶数有（ ）A. 24个 B. 30个C. 40个D. 48个【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分在个位与不在个位种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分种情况讨论：.的11x =-1212133a x x +=--=-2a =2443140∆=-⨯⨯=>()1ex xf x a b =-<<，()()f a f b =()()f a f b <()()f a f b >()f x '()f x '()f x ()()2e e 11e e ex xxx x x x x x f x '''---=-=-=()0f x '=1x =(),1x ∞∈-()0f x '<()1,x ∞∈+()0f x '>()f x (),1∞-()1,∞+1a b <<()()f a f b >0022①在个位，在剩下的个数字中任选个，安排在百位、个位，有种选法，②不在个位，需要在、中选个，个位有种选法，不能在首位，则首位有种选法，则十位有种选法，此时有种选法，则一共可以组成个无重复数字的三位偶数.故选：B ．7. 已知函数，，及其导函数的图象如图所示，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据给定的图象，由，可得，由时可得函数的单调性，进而确定以及的图象，然后求解即可.【详解】由图象可知，而，所以，则，当时，，则函数在上单调递增，因此最大值为的函数图象为的图象，即，04224A 12=0241203323318⨯⨯=121830+=()()sin f x A x ωϕ=+()0,0πωϕ><<()f x ()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()00f >0A >π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x ()f x ()f x '()0sin 0f A ϕ=>0πϕ<<sin 0ϕ>0A >π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭1()f x 1A =由函数，所以，由图可知的最大值为，则，即，由，得，即，，又，所以当时，，所以函数的解析式为.故选：.8. 若，则函数的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】对比选项可知，由题意，（）是函数的零点，（）都是函数的极值点，由此可以排除A ，C ；进一步对和0的大小关系分类讨论，得出函数在处附件的增减变换情况即可.【详解】对比各个选项可知，由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点，令，可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A ，C ；()()sin f x x ωϕ=+()()cos f x x ωωϕ'=+()f x '22ω=()()sin 2f x x ϕ=+π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ2π62k ϕ+=+Z k ∈0πϕ<<0k =π3ϕ=()f x ()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C a b >()2()y a x a x b =--0a ≠x a =x b =a b >()()2y a x a x b =--1223a b x b x +=<=a b >()2()y a x a x b =--a x b =0a ≠x a =x b =a b >()()2y a x a x b =--()()()()()23202y a x b x a x b a x b a x a b '=---+=---=1223a bx b x a +=<=<a b >1x 2x ()2()y a x a x b =--若，则函数的图象形状为增减增，具体为在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B 符合；若，则函数的图象形状为减增减，具体为在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D 不符合．故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）A. 有两个极值点B. 有三个零点C. 直线是曲线的切线D. 满足【答案】ABD 【解析】【分析】对求导，求出函数极值点和极值，即可判断A ，B ；利用导函数求出导数值为时的的值，即可确定切线斜率为的切点坐标，即可确定过该点的切线方程，即判断C ；根据解析式秋求解，从而得，即可判断D ．【详解】因为，则，令，得，解得，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，的0a >()()2y a x a x b =--()()2y a x a x b =--(),b -∞2,3a b b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2,3a b +⎛⎫+∞⎪⎝⎭a<0()()2y a x a x b =--()()2y a x a x b =--(),b -∞2,3a b b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2,3a b +⎛⎫+∞⎪⎝⎭3()31f x x x =-+()f x ()f x 3y x =-()f x ()y f x =()()2f x f x +-=()f x 3-x 3-()f x -()()f x f x +-3()31f x x x =-+2()33f x x '=-()0f x '=2330x -=1x =±1x <-1x >()0f x '>11x -<<()0f x '<()f x (,1)-∞-(1,)+∞(1,1)-()f x =1x -1x =且，，图象如图所示：故有两个极值点，三个零点，故A ，B 正确；令，则，且，故函数在处的切线斜率为，此时切线方程为，即在处的切线方程为，故C 错误；又，则，所以，故D 正确．故选：ABD ．10. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，(1)3f -=()11f =-()f x ()f x 2333x -=-0x =(0)1f =()f x 0x =3-13y x -=-()f x 0x =31y x =-+x ∈R 3()31f x x x -=-++()()2f x f x +-=()f x '()f x 0x >()()0f x xf x '->11224f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11224f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212f f ⎛⎫>⎪⎝⎭()1212f f ⎛⎫>⎪⎝⎭()()f xg x x=0x >()g x ()0,∞+()()f xg x x =0x >()()()20xf x f x g x x '-'=<()g x ()0,∞+对于AB 选项，，即，可得，A 错B 对；对于CD 选项，，即，D 对，C 无法判断.故选：BD.11. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）A. 当时，有唯一极小值B. 存在定直线始终与曲线相切C. 存在实数，使为增函数D. 存在实数，使为减函数【答案】ABD 【解析】【分析】通过判对函数求导，结合零点存在性定理判断A ；由题意可知，，恒成立，即可求出切线方程，进而判断B ，由B 中结论，可判断C ；当时，可利用导数判断出为减函数，可判断D .【详解】对于A ，当时，，定义域为，所以，令，则，由得或，由得，所以在上单调递减，在和上单调递增，又，，，所以在中存在唯一点，使，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一极小值，故A 正确；1124g g ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112424f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11224f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()112g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭()1212f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()222e xf x ax x x =-+-1a =()f x a ()f x a ()f x ()01f '=-()02f =12a =-()f x 1a =()()222e xf x x x x =-+-R ()2e 1xf x x '=-()2e 1xg x x =-()()22e xg x x x '=+()0g x '><2x -0x >()0g x '<20x -<<()g x ()2,0-(),2-∞-()0,∞+()24210eg -=-<()010g =-<()1e 10g =->()0,10x ()00g x =0x x <()0f x '<0x x >()0f x ¢>()f x ()0,x -∞()0,x +∞()f x对于B ，，所以，因为，，所以存在定直线与曲线相切，故B 正确；对于C ，由B 可知，不论为何值，恒成立，故不能为增函数，故C 错误；对于D ，当时，，令，，令，则所以当，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当，在上单调递减，当，，且，所以恒成立，故，所以，当，为减函数，故D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题，(4)考查数形结合思想的应用三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()()222e xf x ax x x =-+-()()222e 1xf x ax a x '⎡⎤=+--⎣⎦()01f '=-()02f =2y x =-+a ()01f '=-()f x 12a =-()213e 12xf x x x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭()213e 12xh x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()2143e 2x h x x x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭()0h x '=4x =-±4x <--()0h x '<()h x (,4-∞--44x --<<-+()0h x '>()h x (44--4x>-+()0h x '<()h x ()4-++∞x →-∞()0h x <(((2414434e 102h -⎡⎤-+=----+-<⎢⎥⎣⎦()0h x <()0f x '<12a =-()f x12. 曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】利用切线方程的公式：，代入切点求解即可.【详解】，，曲线在点处的切线方程为：，化简得【点睛】本题考查切线方程的公式，属于简单题.13. 甲乙丙丁四人排成一排照相，要求甲乙两人相邻，有______种排法【答案】12【解析】【分析】把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，用捆绑法求解即可【详解】因为甲、乙两人相邻，所以把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，和丙丁2人进行全排列有种排法，再考虑甲乙之间的顺序有种排法，所以共有种，故答案为：12.14. 已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可.【详解】因为函数，所以，令，由题意得在上2个解，，故，解得：；3()ln f x x x =+(1,1)430x y --=000'()()y y f x x x -=-21'()3f x x x=+'(1)4f =3()ln f x x x =+(1,1)14(1)y x -=-430x y --=33A 22A 3232A A 12=2()ln(1)f x x a x =++12x x ，a 102a <<a 2()ln(1)f x x a x =++222()1x x af x x '++=+2()22g x x x a =++()0g x =(1,)-+∞1x 2x Δ480(1)0a g =->⎧⎨->⎩102a <<故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 圆锥的底面半径和高都为1，圆柱内接于圆锥（即圆柱下底面在圆锥的底面内）.（1）求圆柱的侧面积的最大值；（2）求圆柱体积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用平行成比例得到，再利用基本不等式即可得解；（2）将圆柱体积转化为的表达式，再利用导数即可得解.【小问1详解】圆锥的底面半径和高都为1，圆柱内接于圆锥，设底面半径为，高为．记与圆柱的上底面交于点，连接、，则，所以，即，整理可得.时，等号成立，即，所以圆柱的侧面积，因此当时，圆柱的侧面积取最大值.【小问2详解】由（1）知，，圆柱的体积，则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，102a <<π24π271R H +=R R H PA C 1O C OA 1//O C OA 11PO O C PO OA=111H R -=1R H +=1R H =+≥12R H ==14RH ≤1π2π2π42S RH =≤⨯=12R H ==π21R H +=()2223ππ1ππV R H R R R R ==-=-()22π3ππ23V R R R R ='=--203R <<0V '>213R <<0V '<()V R 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当时，，因此，当时，圆柱的体积取得最大值.16. 设，函数的单调增区间是．（1）求实数a ；（2）求函数的极值．【答案】（1）2（2）极小值为，极大值为0.【解析】【分析】（1）因为函数的单调增区间是，所以的解集为，由此可求参数的值.（2）求导，分析函数的单调性，可求函数的极值.【小问1详解】函数的定义域为：且因为函数的单调增区间是，所以的解集是.所以方程的解是，，所以.【小问2详解】当时，令，则或当变化时，，的变化情况如下表：x1f '(x )+023R =()22max 214π1ππ3327V R R ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭23R =4π2713()ln 122f x a x x x =+-+()y f x =1(,1)3()f x 22ln 3-()f x 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '>1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭a ()0,+∞()22213321222a x ax f x x x x -+-=--='()y f x =1(,1)323210x ax -+->1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭23210x ax -+-=13112133a +=⇒2a =2a =()0f x '=13x =1x =x ()f x ()f x '1(0,)3131(,1)3(1,)+∞-0-f (x )↘极小值↗极大值↘当时，有极小值；当时，有极大值.17. 已知函数在时有极大值.（1）求的值；（2）若在的最大值为32，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函数在时有极大值.得讨论解得;（2）由函数的单调性求得上的最大值，再结合题设求解即可.【小问1详解】函数，，由函数在处有极大值.得，即：，所以：或，当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，此时，为极大值，符合题意.当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增；此时，为极小值，与题设矛盾.所以.【小问2详解】由（1），得；由，得：，或；13x =()f x 11312ln 13322f ⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭22ln 3-1x =()f x ()1312ln11022f =+-+=()()2f x x x c =-2x =c ()f x [1,)x k ∈-k 6c =(2,8]k ∈()()2f x x x c =-2x =(2)0f '=c [1,)x ∈-+∞()()2f x x x c =-()2234f x x cx c =-+'()()2f x x x c =-2x =(2)0f '=21280c c -+=2c =6c =6c =()()()232436326f x x x x x =-+=--'2x <()0f x '>()f x 26x <<()0f x '<()f x (2)f 2c =()()()2384322f x x x x x =-+=--'223x <<()0f x '<()f x 2x >()0f x '>()f x (2)f 6c =()()()232436326f x x x x x =-+=--'(2)0f '=2x =6x =当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，单调递增，此时，极大值为，极小值为，且，因为在的最大值为32，所以所求的取值范围为，即.18 已知.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求得.分，，三种情况讨论，进而求得函数的单调区间;（2）分,两种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解.【小问1详解】，当时，，或，即或，当时，，，在上单调递增；当时，，当或时，，当时，，所以在递增，在递减，在递增.当时，，当或时，，当时，，.2x <()0f x '>()f x 26x <<()0f x '<()f x 6x >()0f x '>()f x (2)32f =(6)0f =(8)32f =()f x [1,)x k ∈-k 28k <≤(2,8]k ∈()()21e 21e 22x x f x a a x =-++0a >()0f x ≤a []ln 21,0-()()()e 1e 2x x f x a =--'102a <<12a =12a >()f x 0a ≤0a >()f x ()()()e 1e 2x x f x a =--'0a >()=0f x '1e =x a e =2x 1ln x a=ln 2x =12a =1ln ln 2x a==()0f x '≥()f x (),∞∞-+102a <<1ln ln 2x a=>ln 2x <1ln x a >()0f x '≥1ln 2ln x a <<()0f x '<()f x (),ln 2∞-1ln 2,lna ⎛⎫ ⎪⎝⎭1ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭12a >1ln ln 2x a=<1ln x a<ln 2x >()0f x '≥1ln ln 2x a <<()0f x '<所以在递增，在递减，在递增.【小问2详解】当时，，，当时，，当时，，所以在递增，在递减.∴，由可得，，解得：.若，则取，有，与已知矛盾.综上，实数的取值范围为.19. 已知函数在点处的切线方程为（1）求；（2）求的单调区间；（3）求使成立的最小整数.【答案】（1） （2）在上单调递增（3）【解析】()f x 1,lna ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1ln ,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()ln 2,∞+0a ≤()()()e 1e 2x x f x a =--'()=0f x 'ln 2x =ln 2x <()0f x '≥ln 2x >()0f x '<()f x (),ln 2∞-()ln 2,∞+()()max ln 222212ln 2222ln 2y f a a a ==-++=--+()0f x ≤222ln 20a --+≤ln 210a -≤≤()()21e 21e 22x x f x a a x =-++()222211211e 222x a a a x a a a ++⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭()2221121e 222x a a a x a a ++⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭0a >()2214a x a +>()0f x >()0f x ≤a []ln 21,0-()()ln f x x a x bx =++()()1,1f 260x y --=,a b ()f x ()22f x x m ≤+m 52,2a b ==-()f x (0,)+∞3-【分析】（1）求得，结合，列出方程，即可求解；（2）由（1）知，令，求得，求得的单调性和，即可求解；（3）根据题意转换为，令，结合，得到成立，再由时，转化为，设，利用导数求得函数的单调性，解得，即可求解.小问1详解】解：由函数，可得因为函数在点处的切线方程为，可得，即且，解得.【小问2详解】解：由（1）知且，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，，即，则，所以函数在上单调递增.【小问3详解】解：由不等式，即，令，又由，可得，当时，，单调递减；【()ln x a f x x b x +=++'()()151,122f f '==-()2ln 342x x x f x x '-+=()2ln 34x x x x ϕ=-+()2ln 1x x ϕ='-()x ϕ()min 0x ϕ>()22f x x m -≤()25(2)ln 22g x x x x x =+--132g ⎛⎫<- ⎪⎝⎭3m ≥-3m =-3ln 22x x ≤-()3ln 22t x x x =-+()0t x <()()ln f x x a x bx =++()ln x af x x bx +=++'()f x ()()1,1f 260x y --=()()151,122f f '==-()1112f a b +'=+=()512f b ==-52,2a b ==-()252ln 34ln 22x x x xf x x x x +-+=+='-0x >()2ln 34x x x x ϕ=-+()2ln 1x x ϕ='-12(0,e )x ∈()0x ϕ'<()x ϕ12(e ,)x ∞∈+()0x ϕ'>()x ϕ12e x =()1122min (e )42e 0x f ϕ==->()0x ϕ>()0f x '>()f x (0,)+∞()22f x x m ≤+()22f x x m -≤()()2252(2)ln 22g x f x x x x x x =-=+--()(1)ln ,0m x x x x =-->()111xm x x x '-=-=(0,1)x ∈()0m x '<()m x当时，，单调递增，又因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，可得，则，所以成立（必要性）；下面证明：时，恒成立，当时，可得，即，因为，上式等价于，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以时，不等式恒成立，综上可得，实数的最小值为.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．(1,)x ∈+∞()0m x '>()m x ()10m =()()10m x m ≥=1ln x x -≥0x =111ln1222<-=-1517517ln 32224224g ⎛⎫⎛⎫=-<--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3m ≥-3m =-25(2)ln 232x x x x +--≤-3m =-25(2)ln 232x x x x +--≤-253(2)ln 23(2)(222x x x x x x +≤+-=+-20x +>3ln 22x x ≤-()3ln 2,02t x x x x =-+>()1122x t x x x'-=-=1(0,)2x ∈()0t x '>()t x 1(,)2x ∈+∞()0t x '<()t x ()111ln 0222t x t ⎛⎫≤=+< ⎪⎝⎭3m =-()22f x x m ≤+m 3-。
吉林省长春市市第二实验中学高二物理上学期期末试题带解析
吉林省长春市市第二实验中学高二物理上学期期末试题含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. 水波通过小孔发生了一定程度的衍射，为使衍射现象更明显，可以A．增大小孔的尺寸，同时增大水波的频率B．增大小孔的尺寸，同时减小水波的频率C．缩小小孔的尺寸，同时增大水波的频率D．缩小小孔的尺寸，同时减小水波的频率参考答案：D2. 关于交流电的下列说法正确的是（）A．在一个周期内交流电的方向只改变一次。
Ｂ．交流电器设备上标出的电压和电流值都是指有效值。
Ｃ．某正弦交流电压的最大值为311V，则该交流电压最小值为－311V。
Ｄ．用交流电流表和交流电压表测交流电流或电压时，应测得交流电流或电压的最大值。
参考答案：B3. 汤姆孙通过对阴极射线的研究发现了电子．如图所示，把电子射线管（阴极射线管）放在蹄形磁铁的两极之间，可以观察到电子束偏转的方向是（）A. 向下B. 向上C. 向左D. 向右参考答案：A 试题分析：磁场方向从左到右，带负电的电子束从负极到正极，所以根据左手定则可得离子束受到向下的洛伦兹力作用，故A正确考点：考查了洛伦兹力方向的判断4. (单选)如图所示，平行板电容器两极板与电源两极相连．为电流表，若将电容器的两极板靠近，则在这一过程中: ( )A. 中有电流，方向是a→b．B. 中有电流，方向是b→a．C. 电容器两极板的带电量减小．D. 电容器两极板间的场强减小．参考答案：A5. 如图所示，水平桌面上放一闭合铝环，在铝环轴线上方有一条形磁铁.当条形磁铁沿轴线竖直向下迅速移动时，下列判断中正确的是（）A.铝环有收缩趋势，对桌面压力减小B.铝环有收缩趋势，对桌面压力增大C.铝环有扩张趋势，对桌面压力减小D.铝环有扩张趋势，对桌面压力增大参考答案：B二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共计16分6. 如图所示，光滑水平面上滑块A、C质量均为m=1kg，B质量为M=3kg．开始时A、B静止，C以初速度v0=2m/s滑向A，与A碰后C的速度变为零，A向右运动与B发生碰撞并粘在一起，则：A与B碰撞后的共同速度大小为．参考答案：0.5m/s．【考点】动量守恒定律．【分析】碰撞过程遵守动量守恒，对整个过程，运用动量守恒定律求出它们的共同速度．【解答】解：以A、B、C组成的系统为研究对象，以C的初速度方向为正方向，对整个过程，由动量守恒定律得：mv0=（M+m）v共；解得，A与B碰撞后的共同速度大小为：v共=0.5m/s故答案为：0.5m/s．7. 在某一电场中的P点放入一个带电荷量为的负电荷，所受电场力大小为，方向水平向左。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020学年吉林省实验中学高二下学期期末考试地理试题
【解析】
【3题详解】
该地窗户朝南，当阳光如③所示射入窗户时，正午太阳高度最小，是冬至日，太阳直射南回归线。北半球纬度越高，白昼越短，A对。北京正值昼短夜长时期，B错。我国恰好是一年中气温最低的月份，C错。北极圈出现极夜现象，D错。
【4题详解】
当阳光如②所示射入窗户时，是二分日，太阳直射赤道。若此时北京时间为10时，则该地的地方时是12点，经度每15°时间相差一小时，东边的时间早，该地经度是150°E，C对。A、B、D错。
读世界某区域某月盛行风示意图，回答下列问题。
17. 图中①②③④四地中，气压最高的是
A. ①B. ②C. ③D. ④
18. 图示月份
A. 东北平原小麦收获
B. 开普敦气候炎热干燥
C. 是南极地区臭氧空洞最大 季节
D. 塔里木河流量最大
【答案】17. A 18. B
【解析】
主要考查气压中心的季节分布。旨在考查学生的读图分析能力和知识的运用能力。
【点睛】本题考查太阳光照图的判读。题1根据图甲进行推断；题2根据Q点推出M点的地方时，从而计算出昼长。
下图为某地昼长年内变化曲线图。读图完成下面小题。
7. 该地的纬度是（ ）
A. 90°NB. 66°34′NC. 90°SD. 66°34′S
8. 关于地球上昼夜现象的说法正确的是（ ）
A. 夏至日，地球上昼半球大于夜半球B. 冬至日，极圈以内全部是极昼
下图是“某年 4 月份的某日天气系统的垂直剖面图”，其中甲(110°E、40°N)、乙(120°E、45°N)是近地面的两地点。
读图完成下列问题。
21. 下图中能正确表示控制甲、乙两地的天气系统的是( )
A. B.
2021-2022学年吉林省长春市第二中学、东北师大附中高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年吉林省长春市第二中学、东北师大附中高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．集合{}Z 04P x x =∈≤<，{}216M x x =≤，则P M ⋂=（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2,3,4C ．{}04x x ≤<D ．{}04x x ≤≤【答案】A【分析】求出集合P 、M ，利用交集的定义可求得结果.【详解】{}{}Z 040,1,2,3P x x =∈≤<=，{}{}21644M x x x x =≤=-≤≤，因此，{}0,1,2,3P M ⋂=. 故选：A.2．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1n n S a n =-+∈N ，则10S =（ ）A ．552B ．511512C ．511512-D ．10231024【答案】D【分析】令1n =可求得1a 的值，当2n ≥时， 由1n n S a =-+可得111n n S a --=-+，两式作差推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出10a 的值，即可得解. 【详解】当1n =时，1111a S a ==-+，可得112a =， 当2n ≥时， 由1n n S a =-+可得111n n S a --=-+， 上述两个等式作差可得1n n n a a a -=-+，可得112n n a a -=， 所以，数列{}n a 是首项为12，公比也为12的等比数列，则91010111222a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，因此，1010110231110241024S a =-+=-=. 故选：D.3．两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）A ．74、75B ．52、53C ．47、48D ．38、39【答案】C【分析】计算出靠近左侧窗口的座位号、靠近右侧窗口的座位号所形成的等差数列的通项公式，逐项判断可得出合适的选项.【详解】由题意可知，靠近左侧窗口的座位号形成以1为首项，公差为4的等差数列{}n a ， 则()14143n a n n =+-=-，则{}n a 各项均为奇数， 令4347k a k =-=，解得252k =，不合乎题意； 靠近右侧窗口的座位号形成以4为首项，公差为4的等差数列{}n b ，则()4414n b n n =+-=，则{}n b 各项均为4的倍数，令448n b n ==，可得12n =， 故只有C 选项合乎题意. 故选：C.4．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，则（ ）A ．()()()161718f f f <-<B ．()()()181617f f f <<-C ．()()()161817f f f <<-D ．()()()171618f f f -<<【答案】D【分析】推导出函数()f x 是周期函数，且周期为8，以及函数()f x 在区间[]22-,上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出()16f 、()17f -、()18f 的大小关系. 【详解】由题意可知()()()84f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期函数，且周期为8， 则()()160f f =，()()171f f -=-，()()182f f =，因为奇函数()f x 在区间[]0,2上是增函数，则该函数在区间[]2,0-上也为增函数，故函数()f x 在区间[]22-,上为增函数，所以()()()102f f f -<<，即()()()171618f f f -<<.故选：D.5．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买8克黄金，售货员先将4克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将4克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际得到的黄金（ ） A ．等于8克 B ．大于8克 C ．小于8克 D ．不能确定【答案】C【分析】设天平的左右臂长分别为,m n (m n ≠)，第一次加黄金x 克，第二次加黄金y 克，则根据物理知识可得4m xn =，4my n =，根据基本不等式可得8x y +>克.【详解】设天平的左右臂长分别为,m n (m n ≠)，第一次加黄金x 克，第二次加黄金y 克， 则根据物理知识可得4m xn =，且(4)(4)y m x n +=+，即4my n =，所以444()48m n m n x y n m n m +=+=+≥⨯，当且仅当m n =时等号成立， 因为m n ≠，所以等号不成立，所以8x y +>克. 故选：C6．市场上某种商品由三个厂家同时供应，甲厂家的供应量是乙厂家的2倍，乙、丙两个厂家的供应量相等，且甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为2％，2％，4％，则市场上该商品的次品率为（ ）． A ．0.035 B ．0.05C ．0.025D ．0.075【答案】C【分析】利用条件概率公式和全概率公式即可求得市场上该商品的次品率. 【详解】设1A ，2A ，3A 分别表示取到甲、乙、丙厂家的产品，B 表示取到次品， 由题意得()10.5P A =，()()230.25P A P A ==，()10.02P B A =，()20.02P B A =，()30.04P B A =，由全概率公式得()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.50.020.250.020.250.040.025=⨯+⨯+⨯=故选：C7．已知函数()213,222,x x x af x x x a ⎧--+≤⎪=⎨⎪->⎩无最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()1,0-C ．()0,∞+D ．(),1-∞-【答案】D【分析】根据题意作出函数()f x 的图象，根据二次函数的性质，数形结合判断临界点即可求解.【详解】解：由题可知，当x a ≤时，213()22f x x x =--+，其对称轴为1x =-，当1a ≥-时，函数213()22f x x x =--+有最大值为(1)2f -=，当1a <-时，函数213()22f x x x =--+有最大值为213()22f a a a =--+，当x a >时，()2f x x =-，在(,)a +∞单调递减，故()()2f x f a a <=-，因为函数()f x 无最大值，故当1a ≥-时，需满足22a <-，解得1a <-，不符合题意， 当1a <-时，需满足213222a a a --+<-，解得1a <-，3a >（舍去）.综上，实数a 的取值范围是(,1)-∞-. 故选：D.8．已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】D【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-， 设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->， 故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>， 所以115sin cos 55>，故c a >综上，c a b >> 故选：D. 二、多选题9．相关变量x ，y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点()1021,，根据剩下数据得到线性归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r ．则（ ）A ．12r r =B ．12r r <C ．12r r >D ．()12,1,0r r ∈-【答案】CD【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断即可.【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以1r ，20r <． 因为剔除点()1021,后，剩下点的数据更具有线性相关性，2r 更接近1， 所以2110r r -<<<． 故选：CD ．10．在二项式6332x x 的展开式中，正确的说法是（ ）A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是164C ．第4项二项式系数最大D ．奇数项二项式系数和为32【答案】BCD【分析】利用二项式展开式通项可判断A 选项；利用各项系数和可判断B 选项；利用二项式系数的性质可判断C 选项；求出奇数项的二项式系数和可判断D 选项.【详解】二项式63312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()62633166311C C 22k kk kkk k T x xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于A 选项，令6203k-=，可得3k =，故常数项是第4项，A 错； 对于B 选项，各项的系数和是6111264⎛⎫-= ⎪⎝⎭，B 对；对于C 选项，展开式共7项，第4项二项式系数最大，C 对； 对于D 选项，奇数项二项式系数和为5232=，D 对. 故选：BCD.11．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1、2、3、4、5，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．()124P X == B ．()()3P X k P X =≤=()1,2,3,4,5k = C ．()2E X = D ．()1D X =【答案】ABD【分析】设1Y X =-，则1~4,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别计算出概率，计算出方差后可判断各选项．【详解】设1Y X =-，依题意，1~4,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，对于A 选项，()()4141121C 24P X P Y ⎛⎫====⋅= ⎪⎝⎭，A 对；对于B 选项，()()()41411C 1,2,3,4,52k P X k P Y k k -⎛⎫===-== ⎪⎝⎭， 由二项式系数的性质可知()14C 1,2,3,4,5k k -=中，24C 最大，则()()()31,2,3,4,5P X k P X k =≤==，B 对；对于C 选项，()()114132E X E Y =+=⨯+=，C 错；对于D 选项，()()21412D X D Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，D 对.故选：ABD.12．若存在λ，μ使得()222121212x x x x x x λμ++≥+对于任意非负实数12,x x 恒成立，则下列选项正确的是（ ） A ．若0λ=，则μ的最大值为12B ．若0λ>，则μ的最小值为-1C ．“μ的最大值为1”的充要条件是“2λ≥”D ．若4λ=-，则μ的最大值为12-【答案】ACD【分析】根据题意，分离参数μ，即122112212x x x x x x x x λμ++≤++，设12212x x t x x =+≥，即212t λμ-≤++，对于不同的λ值，逐项进行分析即可.【详解】解：对于A ，当0λ=时，原式等价于2221212()x x x x μ+≥+，若12,x x 至少有一个等于0，则不等式2221212()x x x x μ+≥+对任意非负实数12,x x 恒成立的充要条件是1μ≤，若12,x x 均非零，即120,0x x >>，则2221212()x x x x μ+≥+，即12221221221212122122x x x x x x x x x x x x x x μ++≤=++++，设12212x x t x x =+≥，此时1221122121222x x x x t x x t t x x +==-++++的值域为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以，综上12μ≤，μ的最大值为12，故A 项正确. 对于B ，若0λ>，则原式()222121212x x x x x x λμ++≥+对任意0μ≤恒成立，此时μ可取任意负数，故B 项错误；对于C ， 若12,x x 至少有一个等于0，则不等式2221212()x x x x μ+≥+对任意非负实数12,x x 恒成立的充要条件是1μ≤，若12,x x 均非零，则222121212()x x x x x x λμ++≥+，即1222121221221212122122x x x x x x x x x x x x x x x x λλμ++++≤=++++， 设12212x x t x x =+≥，此时1221122121222x x x x t x x t t x x λλλ+++-==+++++，当2λ≥时，值域为21,14λ-⎛⎤+ ⎥⎝⎦，故μ的最大值为1， 当2λ<时，值域为21,14λ-⎛⎤+ ⎥⎝⎦，故μ的最大值为2114λ-+<，故C 项正确； 对于D ，由C 项可知，当4λ=-时，μ的最大值为21142λ-+=-，故D 项正确.故选：ACD. 三、填空题13．某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()2950,25N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过950小时的概率为______．【答案】380.375【分析】根据正态分布可得个电子元件的使用寿命超过950小时的概率为12P =，利用独立事件的乘法公式即可求解.【详解】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(950,25)N 得：三个电子元件的使用寿命超过950小时的概率为12P =， 设A ={超过950小时时,元件1、元件2至少有一个正常},B ={超过950小时时,元件3正常}，C ={该部件的使用寿命超过950小时}则21()1(1),()2P A P P B =--=， ∵事件,A B 为相互独立事件，事件C 为,A B 同时发生的事件,∴313()()()()428P C P AB P A P B ===⨯=.故答案为：38.14．已知,x y 之间具有线性相关关系，若通过10组数据()(),1,2,,10i i x y i =得到的回归方程为ˆ 2.15yx =-+，且10120i i x ==∑，则101i i y ==∑__________. 【答案】8【分析】依据回归方程ˆ 2.15yx =-+过点(),x y ，即可求得101i i y =∑的值. 【详解】依题意知，20210x ==，因为回归方程为ˆ 2.15yx =-+， 所以可以计算出 2.150.8y x =-+=，所以101100.88.i i y ==⨯=∑ 故答案为：815．不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式0ax cbx c+≤-的解集为______． 【答案】()[),48,-∞+∞【分析】根据20ax bx c ++>的解集求出a b c 、、的关系，再化简不等式0ax cbx c+≤-，求出它的解集即可．【详解】解：因为20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则0a <，且对应方程的根为-2和4， 所以242b a -=-+=，248ca=-⨯=-，且0a <， 不等式0ax c bx c+≤-可化为8028ax a ax a -≤-+,则8028x x -≤-+，即804x x -≤-， 解得4x <或8x ≥． 故答案为()[),48,-∞+∞．16．已知函数()f x 的定义域和值域均为()0,+∞，()f x 的导函数为fx ，且满足()()()23f x f x f x '<<，则()()20212022f f 的范围是______．【答案】32e ,e --（） 【分析】构造函数23()()(),()e e x xf x f xg xh x ==，利用导数可得22021220223202132022(2021)(2022)(2021)(2022),e e e e f f f f ⨯⨯⨯⨯<>，即可求解.【详解】解：令23()()(),()e ex x f x f x g x h x == ，则23()2()()3()()0,()0e e x xf x f x f x f xg xh x --'=='''><22021220223202132022(2021)(2022)(2021)(2022),e e e ef f f f ⨯⨯⨯⨯∴<> 23,(2021)(2021)e e ,(2022)(2022)f f f f --∴<>即()()20212022f f 的范围是32e ,e --（）. 故答案为：32e ,e --（） 四、解答题17．已知函数()()24ln 1f x ax x =-+，a 为常数．(1)若()f x 在1x =处有极值，求实数a 的值；(2)若()f x 在[]2,3上是减函数，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1a = (2)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由已知可得()10f '=，可求得a 的值，再利用导数分析函数()f x 的单调性，可得结果；（2）由题意可知()4201f x ax x '=-≥+对任意的[]2,3x ∈恒成立，由参变量分离法可得()21a x x ≥+，即可求得实数a 的取值范围.【详解】(1)解：函数()()24ln 1f x ax x =-+的定义域为()1,-+∞，()421f x ax x '=-+， 由题意可得()1220f a '=-=，解得1a =，所以，()()24ln 1f x x x =-+，()()()2124211x x f x x x x -+'=-=++， 当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 所以，函数()f x 在1x =处取得极小值，合乎题意. 综上所述，1a =.(2)解：由题意可知()4201f x ax x '=-≥+对任意的[]2,3x ∈恒成立，则()21a x x ≥+，因为函数()21y x x =+在[]2,3上单调递减，故21233a ≥=⨯. 故实数a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18．在等差数列{}n a 中，62210a a -=，且前5项和515S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设12nin i i T a ==∑，求n T ．【答案】(1)n a n =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法可求得n T .【详解】(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则62151291051015a a a d S a d -=+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==，()11n a a n d n ∴=+-=.(2)解：由题意可得1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，①则()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅，②①-②可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，因此，()1122n n T n +=-⋅+.19．政府为了吸收更多对环境保护的投入资金，拟发行“稳健型”和“风险型”两种投资债券，根据长期收益率市场预测，投资“稳健型”债券的年收益()y f x =与投资额x 成正比，其关系如图1，投资“风险型”债券的年收益yg x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2．(1)分别写出两种债券的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)某企业预计拿出40万元资金，全部用于这两种债券投资，请问如何分配资金投入能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108f x x x =≥，())102g x x x =≥ (2)投资“稳健型”债券36万元，投资“风险型”债券4万元，年收益最大为5.5万元. 【分析】（1）设函数解析式()1f x k x =，()g x k x =1x =即可求出12,k k 的值，即可得函数解析式；（2）设投资“稳健型”债券x 万元，则投资“风险型”债券40x -万元，年收益为y 万元，则()(40)y f x g x =+-，代入解析式，换元求最值即可.【详解】(1)解：依题意：可设()()10f x k x x =≥，())0g x k x x =≥， ∵()1118f k ==，()2112g k ==，∴()()108f x x x =≥，())102g x x x ≥. (2)解：设投资“稳健型”债券产品x 万元，则投资“风险型”债券为()40x -万元，年收益为y 万元， 依题意得：()()40y f x g x =+-， 即)14004082x y x x =-≤≤，令40t x =- 则240x t =-，0,210t ⎡∈⎣，则24082t ty -=+()2111282t =--+，0,210t ⎡∈⎣， 所以当2t =，即36x =万元时，收益最大，max 5.5y=万元.故投资“稳健型”债券36万元，投资“风险型”债券4万元，年收益最大为5.5万元. 20．北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯；制成石墨烯发热膜．从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B 材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．(1)根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据0.01α=的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关；单位：次A材料B材料合计试验成功试验失败合计(2)研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为12，第三环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元．试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．【答案】(1)列联表见解析，认为试验结果与材料有关(2)石墨烯发热膜的定价至少为2.2万元/吨，才能实现预期的利润目标 【分析】（1）由题中数据列出列联表，计算卡方后判断（2）分析X 的取值后，由概率的乘法公式计算，得出分布列后求数学期望，确定售价 【详解】(1)根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下： 单位：次零假设为0H ：试验结果与材料无关．计算可得()220.01100452030512 6.63575255050x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯，依据0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为试验结果与材料有关． (2)设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为X 万元． 易知X 的可能取值为0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5．()2021210C 236P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2121210.1C 233P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2221210.2C 236P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2021110.3C 2312P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2121110.4C 236P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2221110.5C 2312P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，则X 的分布列为修复费用X 的期望()11111100.10.20.30.40.50.263612612E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以石墨烯发热膜的定价至少为0.211 2.2++=万元/吨，才能实现预期的利润目标． 21．某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A ，B ，C 三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A 桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B 桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C 桶，奖励游客面值90元的景区消费券； 投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．(1)向A 桶投球3次，每次投进的概率为p ，记投进2次的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；(2)游客甲投进A ，B ，C 三桶的概率分别为000133,,21020p p p ，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由． 【答案】(1)023=p (2)游客甲选择向B 桶投球更有利；理由见解析【分析】（1）根据概率公式求得概率()f p ，利用导数求得最大值点0p ； （2）求出游客投进A ，B ，C 三桶纯收入的期望，比较可得．【详解】(1)3次向A 桶投球投进2次的概率()()22323C 133f p p p p p =-=-+．2()96=-'+f p p p ．令()0f p '=，得23p =． 当20,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当2,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<．∴()f p 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，∴所以()f p 的最大值点023=p ．(2)由（1）得游客甲投进A ，B ，C 三桶的概率分别为111,,3510．设投进A 桶的纯收入为X 元，1210()10(10)333=⨯+-⨯=-E X ；设投进B 桶的纯收入为Y 元，14()50(10)255=⨯+-⨯=E Y ；设投进C 桶的纯收入为Z 元，19()80(10)11010=⨯+-⨯=-E Z ； 因为()()()<<E X E Z E Y所以游客甲选择向B 桶投球更有利．22．已知函数()()1ln f x a x x x =-+，a ∈R ． (1)若()212e 1e ef '=-++，求函数()f x 的单调区间： (2)当1≥x 时，()1e xf x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由()212e 1e ef '=-++可求得a 的值，再利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的单调增区间和减区间；（2）令()()()11e 1ln e x x g xf x a x x x --=-=-+-，1≥x ，只需()max 0g x ≤，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()g x 的单调性，验证()0g x ≤对任意的1≥x 能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】(1)解：因为()()1ln f x a x x x =-+，该函数的定义域为()0,∞+，()()1ln 1a x f x a x x-'=++， 所以，()()2e 112e 1211e e e ea a f a a -=++=-++'=-+，解得1e a =. 此时()ln 1111ln 1e e e e x x f x x x x -⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭， 令()1ln 1e t x x x=++-，其中0x >，()2110t x x x '=+>，所以，函数()t x 在()0,∞+上单调递增，且10e t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当10e x <<时，()0t x <，则()0f x '<；当1ex >时，()0t x >，则()0f x '>.所以，函数()f x 的减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)解：令()()()11e 1ln e x x g xf x a x x x --=-=-+-，1≥x ，只需()max 0g x ≤，可得()()11ln 1e x a x g x a x x --'=++-，1≥x ， 记()()11ln 1e x a x h x a x x--=++-，1≥x ，则()1211e x h x a x x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，1≥x ， ①当0a ≤时，()0h x '<，则函数()()h x g x '=在[)1,+∞上为增函数， 所以，()()10g x g ''≤=，所以，函数()g x 在[)1,+∞上为减函数，所以，()()10g x g ≤=，此时当1≥x 时，()1e xf x -≤恒成立；②当102a <≤时，令()()p x h x '=，则()12312e 0x p x a xx -⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，故函数()h x '在[)1,+∞上单调递减，所以，()()1210h x h a ''≤=-≤，同①可知，当1≥x 时，()1e xf x -≤恒成立；③当12a >时，由②可知，函数()h x '在[)1,+∞上为减函数，所以，()()1210max h x h a ='-'=>，构造函数()1ex m x x -=-，其中x ∈R ，则()1e 1x m x -'=-，当1x <时，()0m x '<，此时函数()m x 单调递减，当1x >时，()0m x '>，此时函数()m x 单调递增，所以，()()10m x m ≥=，则1e x x -≥，所以，()1221111e x h x a a x x x x x -⎛⎫⎛⎫'=+-≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，()21111114442041641648h a a a a a a a ⎛⎫'≤+-=+-<+-< ⎪⎝⎭， 所以，存在()01,4x a ∈使得()00h x '=，当01x x <<时，()0h x '>，此时函数()()h x g x '=在()01,x 上单调递增， 此时()()10g x g ''>=，则函数()g x 在()01,x 上单调递增， 此时()()10g x g >=，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，注意到()10g =，转化为端点效应问题，只需分析函数的单调性即可.。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期学科竞赛数学试题
吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高二上学期学科竞赛数学试题一、单选题1．直线0x y +=的倾斜角为（ ） A ．45oB ．45-oC ．60oD ．135o2．若方程2242x y x y a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,5)-∞-B ．(5,)-+∞C ．(,0)-∞D ．(0,+∞)3．直线30x y -+=被圆22240x y x y ++-=所截得的弦长为（ ） AB ．C ．5D ．104．已知直线l 经过两条直线1l ：2x y +=，2l ：21x y -=的交点，且l 的一个方向向量为()3,2v =-r，则直线l 的方程为（ ） A ．2310x y -+= B ．2350x y +-= C ．3250x y --=D ．2310x y +-=5．若椭圆C ：22196x y +=的两个焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12=PF ，则12F PF ∠=（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．已知点()23A -，，()32B ，，过点()02P -，的直线l 与线段AB 有公共点，若点()3Q m ，在直线l 上，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]1524⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U ，， B ．1524⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C ．1524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．1524⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，7．已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．12B ．11C ．10D ．98．若圆()2221:(1)(2)0C x y r r ++-=>上恰有2个点到直线:43100l x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞B ．()5,+∞C ．()3,5D ．[]3,5二、多选题9．已知直线()()()12:4340,:21250l x y l m x m y m m -+=+-+++=∈R ，下列选项正确的是（ ）A ．过点()1,2-且垂直于直线1l 的直线方程为3450x y +-=B ．直线2l 过定点()3,1-C ．当1m =时，12l l ⊥D ．当2m =时，12l l //10．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左、右两焦点分别是1F 、2F ，其中122F F c =.过左焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点.则下列说法中正确的有（ ）A ．2ABF △的周长为4aB ．若AB 的中点为M ，AB 所在直线斜率为k ，则22OM c k k a⋅=-C ．若AB 的最小值为3c ，则椭圆的离心率13e =D ．若2123AF AF c ⋅=u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率的取值范围是12⎤⎥⎣⎦11．已知曲线E 的方程为22x y x y +=+，则（ ）A ．曲线E 关于直线y x =对称B ．曲线E 围成的图形面积为π2+C ．若点()00,x y 在曲线E 上，则0x ≤D ．若圆()2220x y r r +=>能覆盖曲线E ，则r三、填空题12．已知圆C ：()()22230x y r r -+=>和圆D ：22870x y y +-+=内切，则r =．13．如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22:144y x C m m m +=>-，点(2,)A -是椭圆内一点，()0,2B -，若椭圆上存在一点P ，使得8PA PB +=，则m 的取值范围是；当m 取得最大值时，椭圆的焦距为.四、解答题15．（1）已知点()()2,16,3A B --,，求线段AB 的垂直平分线的方程； （2）求经过点()3,2P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.16．已知圆221:230C x y x +--=与圆222:4230C x y x y +-++=相交于A 、B 两点. (1)求公共弦AB 所在直线方程；(2)求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程.17．如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用圆形纸片按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是O ，在圆内（除去圆心）取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过F ； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．这些折痕围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸，如图所示．(1)以FO 所在的直线为x 轴，FO 的中点M 为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；(2)求经过点F ，且与直线FO 夹角为π4的直线交椭圆于C ，D 两点，求OCD V的面积． 18．如图，已知圆O ：224x y +=和点()6,8A ，由圆O 外一点P 向圆O 引切线PQ ，Q 为切点，且有PQ PA = .（1）求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么样的几何图形? （2）求PQ 的最小值；（3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程. 19．已知F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点，MF 的最大值为2OM OF =时，MOF △的面积为12.(1)求ba的值；(2),A B 为椭圆的左､右顶点，点P 满足3AP PB =u u u r u u u r，当M 与,A B 不重合时，射线MP 交椭圆C于点N ，直线,AM BN 交于点T ，求ATB ∠的最大值.。
2024-2025学年吉林长春市吉林省第二实验高新学校中学部八年级(上)第一次质检数学试卷(含答案)
2024-2025学年吉林省第二实验高新学校中学部八年级（上）第一次质检数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数是无理数的是( )D. 3A. 3.14159B. 0C. 2272.下列计算中，正确的是( )A. x⋅x3=x3B. (x3)2=x5C. x3÷x=x2D. (xy2)3=xy63.下列命题中，是假命题的是( )A. 同位角相等，两直线平行B. 直角三角形的两个锐角互余C. 全等三角形的对应角相等D. 三个角分别相等的两个三角形全等4.已知x2+(k−1)xy+4y2是一个完全平方式，则k的值是( )A. 5B. 5或−3C. −3D. ±45.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( )A. AF=BFACB. AE=12C. ∠DBF+∠DFB=90°D. ∠BAF=∠EBC6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AB=4，BD=5，若点P是BC边上的动点，则线段DP的最小值为( )A. 2.4B. 3C. 4D. 57.常见的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方.在“(a3⋅a2)2=(a3)2(a2)2=a6⋅a4=a10”的运算过程中，依次运用( )A. ④③①B. ④③②C. ③④①D. ③④②8.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2 B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为( )A. 6B. 12C. 32D. 64二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：a5÷a3⋅a2=______．10.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件______．11.若m、n满足3m−n−4=0，则8m÷2n=______．12.已知(x3+2x2−x)÷(ㅤ)=x，则括号内的式子是______．13.已知实数a，b满足a2+b2=40，ab=12，则a−b的值为______．14.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF//BC交AB于点E，交AC于点F，过∠A；③点O到△ABC各边的点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+12mn.其中，正确的是______.(只填写序号)距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12三、解答题：本题共8小题，共64分。
吉林省长春市第二实验中学2022-2023学年高三上学期期末考试文综试题
长春二实验中学2023届高三年级期末文科综合能力测试2023.1.10本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共45题，共300分，共10页。
第Ⅰ卷本卷共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
帕米尔高原位于天山、昆仑山、喀喇昆仑山、喜马拉雅山、兴都库什山交会处，地质结构复杂，但在波斯语中意为“平顶屋”。
下图示意帕米尔高原地质构造。
据此完成1～2小题。
1. 慕士塔格山的形成过程是（）A. 地层断裂—垂直抬升—水平褶皱—板块挤压B. 地壳下沉—形成断层—板块碰撞—地壳抬升C. 地壳抬升—形成断层—板块碰撞—水平收缩D. 板块挤压—水平褶皱—地层断裂—垂直抬升2. 与塔里木盆地相比，帕米尔高原缺乏新生代地层，可能是由于（）①久经外力侵蚀②经过断裂下沉③未经历水平挤压④未能接受沉积A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④无花果主要生长于热带、亚热带、温带地区，秋末修剪，初春萌芽，初夏成熟。
我国北方地区种植无花果多采用拱棚多层膜覆盖技术（下图）。
拱棚多层膜覆盖技术稳定了无花果的产量，但在某些方面影响了无花果的品质。
据此完成3～4小题。
3. 我国北方地区种植无花果多采用拱棚多层膜覆盖技术，主要是为了（）A. 防止土壤干燥B. 减轻低温冻害C. 减少病虫侵袭D. 预防杂草入侵4. 越冬时，拱棚最常用的通风方法是（）A. 晴天白天，开启顶部放风口B. 阴天白天，开启顶部放风口C. 晴天夜晚，开启底部放风口D. 阴天夜晚，开启底部放风口呼图壁河流域位于天山北坡中段，河源源峰海拔约5292米。
预估未来呼图壁河流域将表现为气温显著升高、降雨缓慢增加、降雪明显减少的趋势。
下图示意呼图壁河流域各径流的多年平均月补给率。
据此完成5～6小题。
5. 影响呼图壁河流域春季径流变化的主导因素是（）A. 下渗B. 降水C. 气温D. 蒸发6. 预估未来呼图壁河流域（）A. 总径流将缓慢减少B. 降雨径流显著减少C. 融雪径流显著增加D. 春季峰值流量下降四川省地处青藏高原东缘，地貌东西差异较大，西部多为海拔3000米以上的高原、山地，东部为盆地、丘陵，海拔多在3000米以下。
2021-2022学年吉林省长春市第二实验中学高二下学期开学考试物理试题(Word版)
长春市第二实验中学2021-2022学年高二下学期开学考试物理试卷第Ⅰ卷：选择题（共计48分）一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分。
1～9题为单选题，给出的四个选项中，只有一个选项正确；10～12为多选题，给出的四个选项中，有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
） 1. 第一个发现并总结“磁生电”是一种在变化、运动的过程中才能出现的效应的科学家是（ ）A. 法拉第B. 奥斯特C. 楞次D. 麦克斯韦 2. 下列选项中能产生感应电流的是（ ）A. 图甲中使导体棒AB 以平行于磁感线竖直向下运动B. 图乙中使条形磁铁插入或拔出线圈C. 图丙中开关保持断开，将小螺线管A 从大螺管B 中拔出D. 图丙中开关保持闭合，A ，B 螺线管相对静止一起水平桌面上平移3. 如图所示的电路中，两个定值电阻的阻值12R R 。
闭合开关S 后，理想电流表示数为I ，理想电压表示数为U 。
若滑动变阻器R 3的滑片由a 端向b 端缓慢滑动，则在此过程中（ ）A. I变小B. U变大C. UI一定减小D. UI可能不变4. 小明观察到一个现象：当汽车的电动机启动时，车灯会瞬时变暗。
汽车的电源、车灯、电动机等元件连接的简化电路如图所示。
已知汽车电源电动势为12.5V，内阻为0.05Ω。
车灯接通、电动机未启动时，电流表示数为10A；车灯接通、电动机启动时，电流表示数达到50A，电动机线圈电阻为0.05Ω。
不计车灯电阻的变化。
下列说法正确的是（）A. 电动机未启动时，车灯的功率为125WB. 电动机启动时，流过电动机的电流为40AC. 电动机启动时，其输出功率为420WD. 电动机启动时，电源输出的功率为500W5. 静电喷涂被广泛用于各种表面处理技术中，相比传统的喷涂技术，其具备生产效率高，劳动条件好，易于实现半自动化或自动化，适于大规模流水线作业，其原理如图所示。
涂料雾化装置为负电极，接电源负高压，被涂物为正电极，通常接地。
2021届高二新题数学人教A版2019专题01空间向量与立体几何(选择题、填
2021届高二新题数学人教A版2019专题01,空间向量与立体几何（选择题、填空题）（9月解析版）题专题01空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单选题1．（江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，11AA，则直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为A．63B．102C．155D．105【答案】D【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解析】以D点为坐标原点，以1,,DADCDD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),ABCC(0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BCACA C为平面11BBDD的一个法向量．1410cos,558BCAC．直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为105.故选D．【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．2．（广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC 与BD的交点为O，点M在BC上，且2BMMC，则下列向量中与OM相等的向量是A．172263ABADAA B．151263ABADAA C．112263ABADAA D．111263ABADAA【答案】C【分析】在平行六面体ABCDABCD中，根据空间向量加法合成法则，对向量OM进行线性表示即可【解析】因为2BMMC，所以23BMBC，在平行六面体ABCDABCD中，OMOBBM"23OBBC"12()23DBADAA"12()()23ABADADAA 112263ABADAA，故选C【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题.3．（河南省驻马店市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）若两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，则1l和2l的位置关系是A．平行B．相交C．垂直D．不确定【答案】A【分析】由212v，可知两直线的位置关系是平行的【解析】因为两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，所以212v，即2与1v共线，所以两条不重合直线1l和2l的位置关系是平行，故选A【点睛】此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题.4．（河南省商丘市回民中学2019-2020学年高二期末考试数学（理）试题）已知向量1,1,01,0,2ab，且2kabab与互相垂直，则k的值是A．75B．2C．53D．1【答案】A【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果.【解析】因为1,1,01,0,2ab，，所以1ab，25ab，，又2kabab与互相垂直，所以20kabab，即22220kakababb，即4250kk，所以75k;故选A【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.5．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）,,abc为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是A．,,aabab B．,,bababC．,,cabab D．,,2ababab【答案】C【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A,B,D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 选项中的向量不共面【解析】对于A，因为()()2ababa，所以,,aabab共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为)()2ababb(，所以,,babab共面，不能构成基底，排除B，对于D，312()()22ababab，所以,,2ababab共面，不能构成基底，排除D，对于C，若,,cabab共面，则()()()()cababab，则,,abc共面，与,,abc为空间向量的一组基底相矛盾，故,,cabab可以构成空间向量的一组基底，故选C【点睛】此题考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决此题的关键，属于基础题.6．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末（重考卷）数学试题）点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为A．(－1，2，3)B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，－3)D．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy平面对称的点的,xy坐标不变，只有z坐标相反．【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为(1,2,)3．故选D．【点睛】本题考查空间直角坐标系，考查空间上点关于坐标平面对称或关于坐标轴对称问题，属于简单题．7．（河南省开封市第二十五中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系Oxyz中，记点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点B，则OB A．5B．10C．13D．14【答案】B【分析】求出B点坐标，然后计算OB．【解析】点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点(1,0,3)B，则2210310OB．故选B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．8．（浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试题）在正方体1111ABCDABCD 中，异面直线AC与1BD所成的角为A．6B．4C．3D．2【答案】D【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与1BD所成的角.【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），AC＝（﹣1，1，0），1BD＝（﹣1，﹣1，﹣1），设异面直线AC与B1D所成的角为，则cos ＝11||||||ACBDACBD＝0，＝2.异面直线AC与B1D所成的角为2.故选D.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．（浙江省绍兴市鲁迅中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，长方体1111ABCDABCD中，14AAAB，2AD，E、F、G分别是1DD、AB、1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成角的余弦值是A．0B．105C．22D．155【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示1,AEGF，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【解析】如图12,0,40,0,2,2,2,0,0,4,2AEFG，所以12,0,2,2,2,2AEGF所以异面直线1AE与GF所成角的余弦值110AEGFAEGF故选A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.10．（吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是A．(－3,4，－10)B．(－3,2，－4)C．311(,,)222D．(6，－5,11)【答案】A【解析】A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(023,122,324)(3,4,10)，选A.11．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）若向量,ab的坐标满足2,1,2ab，4,3,2ab，则ab等于A．5B．5C．7D．1【答案】B【分析】直接利用向量的关系式，求出向量a、b的坐标，再根据向量数量积运算公式求解即可.【解析】因为2,1,2ab，4,3,2ab，两式相加得22,4,0a，解得1,2,0a，3,1,2b，所以1321025ab，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本运算，数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题.12．（上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题）在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，若,ABaADb,1AAc，则与BM相等的向量是A．1122abc B．1122abc C．1122abc D．1122abc 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，用,,abc作基底表示BM即可得解.【解析】根据空间向量的线性运算可知11BMBBBM11112AABD1111112AABAAD112AAAB AD因为,ABaADb,1AAc，则112AAABAD1122abc即1122BMabc，故选D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.13．（黑龙江省海林市朝鲜族中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P关于xOy面对称的点的坐标是（）A．(1,3,5)B．(1,3,5)C．(1,3,5)D．(1,3,5)【答案】C 【解析】1,3,5P关于xOy面对称的点为1,3,514．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）如图，空间四边形OABC中，,,OAaOBbOCc，且2OMMA，BNNC，则MN A．221332abc B．111222abc C．211322abc D．12 1232abc【答案】C【分析】根据MNONOM，再由2OMMA，BNNC，得到2211,3322aOMOAONOBOCcb，求解.【解析】因为MNONOM，又因为2211,3322aOMOAONOBOCcb，所以211322MNabc.故选C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）设,xyR，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2)axy，,cacb P，则||ab A．22B．10C．3D．4【答案】C【分析】根据,cacb P，结合向量的坐标运算可求得参数,xy的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解【解析】,241,2,(1,2,1)bcyyb P，,ac214+ 20,acx1x，(1,1,1),(2,1,2)aab，222||2(1)23ab，故选C.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题16．（河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在正方体1111ABCDABCD中，MN，分别为AD，11CD的中点，O为侧面11BCCB的中心，则异面直线MN与1OD所成角的余弦值为()A．16B．14C．16D．14【答案】A【分析】以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出1MNOD，的坐标，由数量积求夹角公式求解．【解析】如图，以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD 所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则1100,012,121,002MNOD，，，，，，，，，11,1,2,1,2,1MNOD．则11111cos,666MNODMNODMNOD．异面直线MN与1OD所成角的余弦值为16,故选A．【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．17．（新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）长方体1111ABCDABCD中12,1ABAAAD，E为1CC的中点，则异面直线1BC与AE所成角的余弦值为A．1010B．3010C．21510D．31010【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，1BC＝(－1,0,2)，AE＝(－1，2,1)．cos〈1BC，AE〉＝＝3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.18．（湖北省黄石市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C （－1，3，1），则A．AB与AC是共线向量B．AB的单位向量是1,1,0C．AB与BC夹角的余弦值是5511D．平面ABC的一个法向量是1,2.5【答案】D【分析】分别根据两个向量的坐标运算，单位向量的定义和两向量的夹角公式，及法向量的求法，逐一判定，即可得到答案.【解析】由题意，对于A中，2,1,0,1,2,1ABAC，所以ABAC，则AB与AC不是共线向量，所以不正确；对于B中，因为2,1,0AB，所以AB的单位向量为255,,055或255,,055，所以是错误的；对于C中，向量2,1,0,3,1,1ABAC，所以55cos,11ABBCABBCABBC，所以是错误的；对于D中，设平面ABC的一个法向量是,,nxyz，因为2,1,0,1,2,1ABAC，所以200200xynABxyznAC，令1x，所以平面ABC的一个法向量为125n，，，所以是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两个向量的夹角公式以及共线向量的定义和平面法向量的求解，其中解答中熟记向量的基本概念和向量的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）如图，平行六面体中1111ABCDABCD中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，则对角线1BD的长为A．1B．2C．3D．2【答案】B【分析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，利用空间向量的加法运算得到11BDBABBBC，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，由2211BDBABBBC222111222BABBBCBABBBCBABBBC求解.【解析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，所以111111cos120,11cos6022BABBBABCBCBB，所以11BDBABBBC，所以2211BDBABBBC，222111222BABBBCBABBBCBABBBC，113+22+2222，所以12BD，故选B【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，2BCBD，AB与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD 的距离为A．32B．233C．55D．255【答案】D【分析】首先以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，BAt=，根据AB与平面ACD所成角的正切值为12得到2t，再求B到平面ACD 的距离即可.【解析】以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt=，0t，0,0,0B，2,0,0C，0,2,0D，()0,0,At.()0,0,ABt=-，()2,0,CAt=-，()2,2,0CD=-.设平面ACD的法向量,,nxyz，则20220nCAxtznCDxy，令1x，得1y，2zt，故21,1,nt.因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为12，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为55.即2255211ABnABntt，解得2t.所以平面ACD的法向量21,1,2n，故B到平面ACD 的距离为22551112ABndn.故选D【点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题.21．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学试题）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M为棱1CC 的中点，则直线1BM与平面11ADM所成角的正弦值是A．215B．25C．35D．45【答案】B【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2ADMB11(1,0,0)AD，11(0,1,)2DM，11(1,0,)2MB设平面11ADM的法向量为(,,)mxyz则1110=01002xADmyzDMm令1y可得2z，所以(0,1,2)m设直线1BM与平面11ADM所成角为，1112sin5552mMBmMB故选B【点睛】本题考查了空间中的角线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.22．（四川省叙州区第二中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（文）试题）一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是0,0,0，1,2,0，0,2,2，3,0,1，则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为A．3B．52C．2D．72【答案】A【解析】根据平行投影的知识可知:该四面体中以yOz平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.23．（四川省内江市2020届高三高考数学（理科）三模试题）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，BAC＝90，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A．16+8B．32+16C．32+8D．16+16【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线BD和1AB所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.【解析】设D在底面半圆上的射影为1D，连接1AD交BC于O，设1111ADBCO.依题意半圆柱体底面直径4,,90BCABACBAC，D为半圆弧的中点，所以1111,ADBCADBC且1,OO分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO，则1OO与上下底面垂直，所以11,,OOOBOOOAOAOB，以1,,OBOAOO为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为0hh，则12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,BDhABh，所以12,2,,2,2,BDhABh，由于异面直线BD和1AB 所成的角的余弦值为23，所以212212388BDABhBDABhh，即2222,16,483hhhh.所以几何体的体积为2112442416822.故选A【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.24．（吉林省长春市2020届高考数学二模试卷（文科））在正方体1111ABCDABCD中，点E，F，G分别为棱11AD，1DD，11AB的中点，给出下列命题：①1ACEG；②//GCED；③1BF平面1BGC；④EF和1BB成角为4.正确命题的个数是A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【解析】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，12,0,0,0,2,2,2,1,2ACG，10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0CEDBFB.①，112,2,2,1,1,0,2200ACEGACEG，所以1ACEG，故①正确.②，2,1,2,1,0,2GCED，不存在实数使GCED，故//GCED不成立，故②错误.③，112,2,1,0,1,2,2,0,2BFBGBC，1110,20BFBGBFBC，故1BF平面1BGC不成立，故③错误.④，11,0,1,0,0,2EFBB，设EF和1BB成角为，则1122cos222EFBBEFBB，由于0,2，所以4，故④正确.综上所述，正确的命题有2个.故选C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.25．（浙江省台州市书生中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）如图，三棱锥VABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则cos的最大值是A．33B．23C．53D．63【答案】D【分析】连接BE，以E为原点，EB 为x轴，EC为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC的一个法向量m，平面VEF的一个法向量n，利用cosmnmn即可求解.【解析】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，则RtABCRtVAC，所以VAVCBABC设2VAVCBABCVB，由E为线段AC的中点，则2VEBV，由222VEBEVB，所以VEEB，以E为原点，EB为x轴，EC为y 轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则0,2,0C，2,0,0B，0,0,2V，设,2,0Fxx，0,2,2VC，2,0,2VB，0,0,2EV，,2,2VFxx，设平面VBC的一个法向量111,,mxyz，则00mVCmVB，即1111220220yzxz，令11x，则11y，11z，所以1,1,1m.设平面VEF的一个法向量222,,nxyz，则00nEVnVF，即222220220zxxxyz，解得20z，令21y，则221xx，所以21,1,0nx，平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则22cos22232mnxmnxx，将分子、分母同除以1x，可得2222322226626xxxx令2226626632fxxxx，当22x时，min3fx，则cos的最大值为：2633.故选D【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.26．（陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PMPN的取值范围为A．0,4B．0,2C．1,4D．1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO，根据正方体的特点可确定PO的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.【解析】设正方体内切球的球心为O，则1OMON，2PMPNPOOMPOONPOPOOMONOMON，MN为球O的直径，0OMON，1OMON，21PMPNPO，又P在正方体表面上移动，当P为正方体顶点时，PO最大，最大值为3；当P为内切球与正方体的切点时，PO最小，最小值为1，210,2PO，即PMPN的取值范围为0,2.故选B.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.27．（河南省新乡市2020届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题）连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x，y，z，那么点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为A．427B．7216C．1172D．16【答案】B【分析】根据空间中两点间的距离公式结合古典概型的概率公式，即可得出答案.【解析】点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3，则2223xyz，即2229xyz连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有666216个其中(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1),(2,1,2)满足条件则点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为7216P故选B 【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用，涉及了空间中两点间距离公式的应用，属于中档题.28．（浙江省2020届高三下学期强基联考数学试题）已知非负实数x，y，z满足01xyz，则有序实数对,,xyz围成几何体的体积为A．12B．13C．16D．以上都不对【答案】C【分析】由已知条件可知有序实数对围成几何体为三棱锥，由棱锥体积公式可得结果.【解析】若01x，01y，01z，则有序实数对,,xyz围成几何体是棱长为1的正方体1111ABCDABCD,若非负实数x，y，z满足01xyz，有序实数对,,xyz围成几何体为三棱锥111BDCD,则111111=111=326BDCDV，故选C【点睛】本题考查空间向量和锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和分析推理能力，属于中档题.29．（浙江省舟山中学2020届高三下学期6月高考仿真模拟数学试题）在正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB上，满足2AEEB，点F为线段AC上的动点.设直线DE与平面DBF所成的角为，则A．存在某个位置，使得DEBF B．存在某个位置，使得4FDB C．存在某个位置，使得平面DEF平面DACD．存在某个位置，使得6【答案】C【分析】设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.【解析】如下图所示，设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，则3,1,03A、23,0,03B、3,1,03C、260,0,3D、31,,033E，设3,,03F，其中11，对于A选项，若存在某个位置使得DEBF，3126,,333DE，3,,0BF，1103DEBF，解得3，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，若存在某个位置使得4FDB，326,,33DF，2326,0,33DB，22212cos,2323DFDBDFDBDFDB，该方程无解，B选项错误；对于C选项，设平面DAC的一个法向量为111,,mxyz，326,1,33DA，326,1,33DC，由111111326033326033mDAxyzmDCxyz，取11z，得22,0,1m，设平面DEF的一个法向量为222,,nxyz，3126,,333DE，326,,33DF，由22222231260333326033nDExyznDFxyz，取46y，则2262,46,31n，若存在某个位置，使得平面DEF平面DAC，则2190mn，解得31,17，合乎题意，C选项正确；对于D选项，设平面DBF的一个法向量为333,,uxyz，2326,0,33DB，326,,33DF，由333332326033326033uDBxzuDFxyz，令z，则2,6,u，若存在某个位置，使得6，即22612131sincos,6227272363uDEuDEuDE，整理得254120，162400，该方程无解，D选项错误.故选C.【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.30．（浙江省杭州市2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，直三棱柱111ABCABC的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱11BC 上靠近1C点的三分点，M是棱1CC上的动点，则二面角AFME的正切值不可．．能．是A．3155B．2155C．6D．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角AFME的余弦值，进而求得二面角AFME的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【解析】取BC 的中点O，连接OA，根据等边三角形的性质可知OABC，根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则0,33,0,1,0,2AF，设3,0,02Mtt.则1,33,2,2,0,2AFFMt.设平面AMF的一个法向量为,,mxyz，则3320220mAFxyzmFMxtz，令1y，得633363,1,66tmtt.平面FME的一个法向量是0,1,0n，所以22216cos,28120252633363166mntmnmnttttt，所以2sin,1cos,mnmn222710821628120252tttt，所以二面角AFME的正切值为22sin,271082166cos,mnttfttmn211540216 2766tt.因为02t，所以111466t，216125405结合二次函数的性质可知当1165t时，ft有最小值为11315540216272555；当1166t时，ft有最大值为11540216276366，所以315,65ft，所以二面角AFME的正切值不可能是2155.故选B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、多选题31．（辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）若1,,2a，2,1,1b，a与b的夹角为120，则的值为（A．17B．－17C．－1D．1【答案】AC【分析】求出ab，以及,ab，代入夹角公式cos,ababab即可求出.【解析】由已知224ab，22145,4116ab，241cos120256abab，解得17或1，故选AC.【点睛】本题考查向量夹角公式的应用，是基础题.32．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末数学试题）对于任意非零向量111,,axyz，222,,bxyz，以下说法错误的有()A．若ab，则1212120xxyyzz B．若//abrr，则111222xyzxyz C．121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxyD．若1111xyz，则a为单位向量【答案】BD【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A、C选项的正误；利用空间共线向量的坐标表示可判断B选项的正误；利用空间向量模的坐标公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.【解析】对于A选项，因为ab，则1212120abxxyyzz，A选项正确；对于B选项，若20x，且20y，20z，若//abrr，但分式12xx无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxy，C 选项正确；对于D选项，若1111xyz，则2221113a，此时，a不是单位向量，D选项错误.故选BD.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及空间共线向量的坐标表示和数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.33．（江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知向量abbcac，3,0,1b，1,5,3c，下列等式中正确的是A．abcbc B．abcabc C．2222abc abc D．abcabc【答案】BCD【分析】根据坐标求出3030abacbc，根据向量的运算法则即可判定.【解析】由题3030bc，所以0abbcac0,0abcbc不相等，所以A选项错误；0abcabcabbcabac，所以abcabc，所以B选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，所以C选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，即22abcabc，abcabc，所以D选项正确.故选BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.34．（江苏省连云港市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知点P是△A BC所在的平面外一点，若AB＝(﹣2，1，4)，AP＝(1，﹣2，1)，AC＝(4，2，0)，则A．APABB．APBPC．BC＝53D．AP//BC【答案】AC【分析】根据向量的定义，平行，垂直和模长的定义可以对每个选项逐个判断，进而得出答案。
2019-2020学年吉林省长春市农安县高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年吉林省长春市农安县高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}1,0,1A =-，{}22xB x =>，则AB =（ ）A ．φB ．{}1-C ．{}1,0-D ．{}0,1【答案】A【解析】先求出集合B ，再由交集的定义求解即可. 【详解】由22x >可得：1x >，所以{}1B x x =>，所以A B φ⋂=. 故选：A . 【点睛】本题考查交集的求法，考查指数不等式的求解，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.2．若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 取值范围是（ ）A ．[]2,2- B ．(2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,2)- 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知210x ax ++≥对于x R ∈恒成立，所以240a ∆=-≤，所以[]2,2a ∈-.故选A.【考点】1、函数定义域；2、不等式恒成立.3．在下列函数中，是偶函数,且在01（，）内单调递减的是 A ．2x y = B ．1y x=C ．lg y x =D ．cos y x =【答案】D【解析】先判断奇偶性，然后再判断单调性 【详解】对于A ，2xy =不是偶函数，故排除 对于B ，1y x=不是偶函数，故排除 对于C ，y lgx =不是偶函数，故排除对于D ，y cosx =是偶函数，且在()01，内单调递减，符合题意故选D 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，只需按照题意结合概念即可判断，较为基础． 4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱【答案】A【解析】试题分析：因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A. 【考点】空间几何体的三视图.5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】B【解析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6．直线31=-+的倾斜角为（）y xA．30B．60C．120D．150【答案】C【解析】根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角.【详解】-，故倾斜角为120∘.依题意可知直线的斜率为3故选：C.【点睛】本题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题.7．阅读下边的流程图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是（）A．32、21、75 B．21、32、75C．75、21、32 D．75、32、21【答案】C【解析】程序执行，输出的a的值是原来c的值，输出的b的值是原来a的值，输出的c的值是原来b的值.所以输出的结果为75,21,32.应选C8．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A．45B．54C．90D．126【答案】C【解析】由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．【详解】解：A种型号产品所占的比例为31 3575=++，118905÷=，故样本容量n=90．故选C．【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．9．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生体重(单位：kg)的数据进行整理后分为五组，并绘制出频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25，0.20，0.10，0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级男生的总数和体重正常的频率分别为( )A．1000，0.50B．800，0.50C．800，0.60D．1000，0.60【答案】D【解析】由题易知第二组的频率为0.40, 高三年级男生的总数为4000.4＝1000人,由图像可得到体重在55 kg和65 kg之间的频率为0.60.【详解】由题易知第二组的频率为1－(0.25＋0.20＋0.10＋0.05)＝0.40，故高三年级男生的总数为4000.4＝1000，体重在55 kg和65 kg之间的频率为0.40＋0.20＝0.60.故答案为D.【点睛】这个题目考查了条形分布直方图的应用，频率的计算；因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.10．在区间[2,7]-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13B ．59C ．79D ．89【答案】B【解析】根据2log 10x -≥求出x 的范围，再由区间长度比即可得出结果. 【详解】区间[]2,7-的长度为()729--=；由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈，区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =.故选B. 【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型. 11．将函数1sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到图象对应的解析式为（ ） A ．1sin2y x = B ．12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【详解】 将函数1sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移3π个单位，得1sin sin 23326x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：D.12．设0a >，0b >3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4C ．1D ．14【答案】B【解析】利用等比中项的性质结合指数运算可计算得出1a b +=，再将代数式+a b 与11a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得11a b+的最小值. 【详解】3是3a 与3b 的等比中项，则23333a b a b+⋅===，1a b ∴+=，0a >，0b >，所以，()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，11a b+的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解代数式的最小值，同时也考查了等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题.二、填空题13．已知直线l 经过点()7,1且斜率为1，则直线l 的方程为______． 【答案】60x y --=【解析】由直线方程的点斜式列方程，整理即可． 【详解】因为直线l 经过点()7,1且斜率为1，所以直线l 的方程为：()17y x -=-，整理得：60x y --=. 所以直线l 的方程为：60x y --=. 【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，属于基础题．14．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0>ω）的部分图象如图所示，则()12f π的值是____．2 【解析】由图2A =，又7212123πππ+=⨯，∴()212f π= 点睛：()sin()f x A x ωϕ=+中图象也可利用“五点法”作出，解题时其图象常常与“五点”联系，如相邻两个最大值点与最小值点的中点一定是零点，本题利用此法易得结论．15．||1,||2,a b a b ==⊥，则|2|a b += __________． 17【解析】将|2|a b +平方后再开根号，然后代入||1,||2,=0a b a b ==⋅即可求解出结果. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=， 所以22222441401617a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯+17【点睛】本题考查根据向量的数量积、模长计算和向量的模长，难度较易.求解(),ma nb m n R +∈，一般采用先平方再开根号的方式进行求解.16．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝5，则a 7＋a 8等于________. 【答案】9【解析】设出公差d ，由题设条件建立方程求出首项与公差，再求a 7+a 8的值 【详解】 设公差为d ，则 ∵a 1+a 2=3，a 3+a 4=5 ∴2a 1+d=3，2a 1+5d=5∴d=12，即得a 1=54， ∴a 7+a 8=2a 1+13d=2×54+13×12=9故答案为：9． 【点睛】本题考查等差数列的性质，用的是最基本的定义法，是一个适用范围较广的方法，学习时不光要掌握好技巧性强的方法也应该对通法熟练掌握，以备性质遗忘时用通法解题．三、解答题17．已知指数函数f （x ）的图像经过点P （3，8）. （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若()()2223125f x x f x x -+>+-，求x 的取值范围. 【答案】（1）()2xf x =（2）x <2，或x >3【解析】把点P 代入指数函数解析始中，即可求得底数a ，再根据指数函数的单调性，求解x 的取值范围 【详解】设指数函数()xf x a =,因指数函数f （x ）的图像经过点P （3，8），则：3(3)8f a ==，即：2a =,故函数f （x ）的解析式：()2x f x =由（1）知：()2x f x =，所以：f(x)在R 上为单调递增函数 若()()2223125f x x f x x -+>+-，则()()22223125,560xx x x x -+>+--+>整理：x解得：32x x ><或故：x 的取值范围：32x x ><或 【点睛】本题考查指数函数的性质，及利用单调性求变量的取值范围18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，又CD ＝6，AB ＝AD ＝PD ＝3，E 为PC 中点．（1）求证：BE ∥平面PAD ； （2）求异面直线PA 与CB 所成角． 【答案】（1）证明见解析（2）60°【解析】（1）取PD 的中点F ，连接,EF AF ，通过证明四边形ABEF 为平行四边形，来证得//BE AF ，由此证得//BE 平面PAD .（2）取CD 中点G ，连接,AG PG ，通过证明//AG BC 判断出PAG ∠（或其补角）为异面直线PA 与CB 所成的角，然后由等边三角形的性质求得PAG ∠的大小. 【详解】（1）取PD 的中点为F ，连接EF ，AF ， 则在△PCD 中，12EF CD EF CD =且， 由已知12AB CD AB CD =且，∴AB ∥EF 且AB ＝EF ， ∴四边形ABEF 为平行四边形，∴BE ∥AF ，而AF ⊂平面ADP ，BE ⊄平面P AD ， ∴BE ∥平面ADP ．（2）取CD 中点G ，连接AG 、PG ，∴AB ∥GC 且AB ＝GC ，∴ABCG 为平行四边形， ∴BC ∥AG ，∴∠P AG （或其补角）为P A 与CB 所成角， 由题意得32PA AG PG ===，∴∠P AG ＝60°， ∴P A 与CB 所成角为60°．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．已知圆C 经过点()0,1，且圆心为()1,2C . （1）写出圆C 的标准方程；（2）过点()2,1P -作圆C 的切线，求该切线的方程.【答案】(1) ()()22122x y -+-=(2) 切线方程为7150x y --=或10x y +-= 【解析】（1）可先求出圆的半径，后写出圆C 的标准方程；(2) 设过点()2,1P -的切线方程为()12y k x +=-即210kx y k ---=，可得：=k 的值，可得答案.【详解】 解：（1）由已知：r ==所以圆C 的标准方程为：()()22122x y -+-=（2）由题意知切线斜率存在，设过点()2,1P -的切线方程为()12y k x +=-即210kx y k ---=，=于是有：2670k k --=，解得7k =或1k =- 故：所求切线方程为7150x y --=或10x y +-= 【点睛】本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系、点到直线的距离等，综合性大. 20．设函数()2cos(2)3f x x x π=++.（1）求函数的单调递增区间； （2）求在[0,]2π上函数的值域．【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）先利用三角恒等变换的公式将()f x 化简，然后采用整体替换的方法求解出()f x 的单调递增区间； （2）先求解出26x π+的范围，然后结合函数分析出()f x 的最值，从而值域可求.【详解】（1）因为1()2cos 22cos 2sin 23226f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈所以,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 所以()()max min 71sin1,sin262f x f x ππ====-，取最大值时6x π=，取最小值时2x π=，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角函数性质与三角恒等变换的综合应用，难度一般.求解三角函数单调区间的常用方法是整体替换法：利用正、余弦函数的单调区间求解出复合型三角函数的单调区间.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，222a b c bc =++. （1）求A 的值；（2）若45,B a ==，求b 的值. 【答案】（1）120；（2）8.【解析】（1）根据余弦定理，结合表达式222a b c bc =++即可求得cosA 的值，根据三角形中角的取值范围即可求得A ．（2）根据正弦定理，代入即可求得b 的值． 【详解】（1）由222a b c bc =++得222b c a bc +-=-，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===- ，∵00180A <<,∴120A =； (2)由（1）知120A =，∵045,B a ==由正弦定理sin sin a bA B=得0sin 8sin sin120a B b A ====.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的简单应用，注意三角形中角的取值范围，属于基础题． 22．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =,且1241,1,1a a a +++成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设*11,n n n b n N a a +=∈,求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)*31,n a n n N =-∈; (2) 2(32)n nS n =+.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ,根据题意，求解3d =，即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得11111[]33132n n n b a a n n +==--+，利用裂项相消法，即可求解.【详解】(1)设数列{}n a 的公差为d ,则()*21,n a n d n N =+-∈.由1241,1,1a a a +++成等比数列,得()()()2214111a a a +=++ 即()()23333d d +=+,得0d = (舍去)或3d =.所以数列{}n a 的通项公式为*31,n a n n N =-∈(2)因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎡⎤===-⎢⎥-+-+⎣⎦所以()111111111111...325358331323232232n nS n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项相消法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.。
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所求不同的录取方法数 （种）
故选：C
【点睛】
本题考查了分步计数原理，应用乘法原理结合排列组合公式求总计数，属于简单题
6．A
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，得到 ，根据对数的运算，结合对数的函数的单调性和性质，得到 ，即可求解.
【详解】
根据指数函数的性质，可得 ，
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）பைடு நூலகம்不等式 的解集；
（2）若 对 恒成立，求 的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
解不等式求得集合 ，然后由集合运算的定义计算．
【详解】
因为 ， ，所以 .
故选：D．
【点睛】
本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题关键．
2．A
【解析】
【分析】
12．B
【解析】
【分析】
利用导数求得函数 的最大值和最小值，不等式不最大值－最小值 ，由此可得 的范围．
【详解】
因为 ，所以 ，
当 时，对任意的 ， ， ，恒有 ；
当 时，对任意的 ， ， ，恒有 .
所以 在 是单调递增的，
那么对任意的 ， ，不等式 恒成立，只要 ，
， .
所以 ，即 .
故选：B．
【点睛】
（2）若 为真命题，且 为假命题，求 的取值范围.
18．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 的值域为集合 .集合 ，且 ，求 的取值范围.
19．无论是公立企业，还是私立企业，全体员工创造的总价值是其生存、发展、壮大的法宝之一.市场环境下的激烈竞争，导致企业之间生死角逐，商业朋友往往建立在“利益”之上.不久前，某企业领导对企业的未来深谋远虑，并进行广泛接地气式企业调研，发现某企业员工月人数 （单位：人）与创造的月价值 （单位：万元）如下表：
3．已知 ，复数 ，若 的虚部为1，则 （ ）
A．2B．-2C．1D．-1
4． 的二项展开式中 的系数是（）
A．15B． C．-15D．
5．若将4个学生录取到北京大学的3个不同专业，且每个专业至少要录取1个学生，则不同的录取方法共有（）
A．12种B．24种C．36种D．72种
6．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
17．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）分 和 两种情况讨论即可；
（2）因为 为真命题，且 为假命题，所以分 真 假或 假 真两种情况，分别解出即可.
【详解】
（1）当 时， 不恒成立，不符合题意；
当 时， ，解得
综上所述， .
（2） ， ，则 .
因为 为真命题，且 为假命题，所以 真 假或 假 真，
吉林省长春市第二实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．设集合 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．“ ， 或 ”的否定是（）
A． ， 且 B． ， 且
C． ， 或 D． ， 或
A． B． C． D．
13．已知复数 ，则 的共轭复数为__________.
14．函数 的图象在 处的切线方程为__________.
15．设 ，若 的概率为0.4，则 的概率为__________.
16．若函数 恰有 个零点，则 的取值范围为__________．
17．已知 ， ， ， .
（1）若 为真命题，求 的取值范围；
当 真 假时，有 即 ；
当 假 真时，有 则 无解.
综上所述 .
【点睛】
由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．
18．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
本题考查不等式恒成立问题，解题时把问题转化为求函数的最大值和最小值即可得．考查了学生的分析问题解决问题的能力，转化与化归能力．
13．
【解析】
【分析】
由复数的平方求得 后可得其共轭复数．
【详解】
∵ ，∴ 的共轭复数为 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查复数的乘方运算，共轭复数的定义，属于简单题．
14．
【解析】
11．D
【解析】
【分析】
由函数 关于直线 对称，得到函数 为偶函数，再由题设条件，得到 的最小正周期为2，即可求解.
【详解】
由函数 的图象关于直线 对称，
所以 的图象关于直线 对称，即 为偶函数，
因为 ，所以 ， ，
可得 ，那么 的最小正周期为2，
所以 ， ， .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中熟练应用函数的对称性，以及函数的周期性的判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有 名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；
（2）已知该厂现有 名维修工人．
（ⅰ）记该厂每月获利为 万元，求 的分布列与数学期望；
（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘 名维修工人？
21．已知 ，函数 .
令 ，则 ，所以 的系数为 .
故选：D
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式系数的计算，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
由题意知可用分步计数方法：把4个学生分成3组，然后把3组学生分配到3个不同专业即可求得不同的录取方法数
【详解】
据题意知，应用分步计数法
1、把4个学生分成3组，有一个组有2个人，另外两组各有1个人： 种
根据对数的运算，可得 ， ，
再结合对数的函数的单调性和性质，可得 ，即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质，以及指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7．B
【解析】
【分析】
利用函数的单调性求出命题 ： ，命题 ，从而p是q的必要不充分条件．
（1）根据奇函数定义求解析式；
（2）首先令 ，求得 在 的范围，再利用奇函数性质求得 在 上的值域 ，分类讨论解一元二次不等式，得集合 ，最后由子集定义得出结论．
【详解】
（1）当 时， .所以 ，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，
所以函数 的解析式为
（2）令 ，当 时， ，则当 时， 可写为 ，所以 ，
根据全称量词命题的否定是存在量词命题即得答案.
【详解】
由题意，命题“ ， 或 ”的否定是
“ ， 且 ”.
故选：A.
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
3．B
【解析】
，所以 ， ．故选B．
4．D
【解析】
【分析】
先求得二项式展开式的通项公式，进而求得 的系数
【详解】
的二项展开式中的第 项 .
由 是定义在 上的奇函数.得集合 ，
集合 .
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，不符合题意.
因为 ，所以 或
解得 .
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查求与指数函数有关的值域问题，考查集合的包含关系，求函数值域时利用换元法和奇函数的性质求解可以更加简便．解含参数的一元二次不等式时一般需要分类讨论．
A． B． C． D．
9．函数 的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
【详解】
据题意知，所求概率 .
故选：B.
【点睛】
本题考查古典概型的概率求解，属基础题.
9．C
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图像.
【详解】
当 时， ，则 ，
由于 恒成立，故 ，函数 在区间 上单调递增，据此排除选项D；
当 时， ，则 ，
由于 恒成立，故 ，函数 在区间 上单调递减，据此排除选项AB；
【详解】
解： 函数 在 上是增函数， ，
：函数 在 是增函数， ，
是q的必要不充分条件．故选B．
【点睛】
本题考查命题真假的判断以及充要条件的判断，考查函数的性质基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
8．B
【解析】
【分析】
求得从15个球中任取2个的所有可能性，以及满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得结果.
（1）若 为 上的单调递增函数，求 的取值范围；
（2）若 有不大于0的极小值，求 的取值范围.
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，点 ，直线 过点 且曲线 相交于 ， 两点，设线段 的中点为 ，求 的值.
15．0.9
【解析】
【分析】
由正态分布曲线的对称性求概率．
【详解】
∵ ，