卢正新《随机过程》第五章 布朗运动与鞅-全
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
联合概率密度为:
其中
n
g(x1, x2 ,L xn;t1, t2 ,L tn ) p(xi xi1;ti ti1) i 1
1
x2
p(x;t)
2 t
exp
2t
13
证明:令Y1 B(t1),Yi B(ti1) B(ti ),1 i n,则
i
B(ti ) Yk k 1
由布朗运动性质,Y1,Y2 L Yn相互独立,Yi ~N (0, ti ti1),则
6
证: 1)充分性 若B(t),t 0是布朗运动,则其为正态过程。
设0 s t,则:
E B(s)B(t) E B(s)B(t) B(s) B(s) E B(s)B(t) B(s) E B(s)B(s) s
2)必要性,当B(t),t 0为正态过程,且 E B(s)B(t) min(s,t),则多s,t 0,有 E B(t) B(s) 0; E B(t) B(s)2 EB2(t) EB2(s) 2E B(t)B(s)
5
布朗运动定义2:随机过程{B(t),t≥0}为布朗运动,如果满足: 1)(正态增量)B(t)-B(s)~N(0,t-s) ; 2)(独立增量)B(t)-B(s)独立于过去的状态B(v),0≤v ≤ s; 3)(轨道连续) {B(t),t≥0}的轨道是t的连续函数。
注:并未强调B(0)=0,如果B(0)=x,可用B(t)-x进行变换。 定理:设{B(t),t≥0}是正态过程,轨道连续,B(0)=0,对任意的s, t>0,有EB(t)=0,E[B(s)B(t)]=min(s,t),则{B(t),t≥0}为布朗运动, 反之亦然。
一般情况下,有 x t 此时:
lim
t 0
DX
(t)
lim (x)2
t 0
t t
lim
t 0
2t
t t
2t
3
X(t)为独立同分布的随机变量之和,由中心极限定理,可得: 1)X(t)~N(0, σ2t);
随机游动的值在不相重叠的时间区段内相互独立,得 2)X(t)是独立增量过程;
在任一时间区间随机游动的值仅与时长有关,得 3)X(t)是平稳增量过程
布朗运动的轨道
从时刻0到时刻T对布朗运动的一次观察称为布朗运动在区间[0,T]上的一条轨 道或路径。
轨道的基本性质
1)是t的连续函数; 2)在任何点都不可微
定理:固定t 0,设0 t0 t0 L tn, = m1kaxn(tk -tk1),则有
n
lim
0 k 1
B(tk ) B(tk1) 2 t
4)B(t0 s) B(t0 ), 0 s t0, t0 0
9
1)B(t ) B( ),t 0, 0;
证:B(t)为正态过程,则B(t ) B( )为正态过程,且 B(0 ) B( )=0
对t 0,E B(t ) B( ) 0
对s,t 0,有
E B(t ) B( )B(s ) B( )
X (t) x X1 X 2 L
X
t t
,
其均值和方差为:
[]:向下取整运算
EX i
0,DX i
EX
2 i
1;EX
(t)
0,DX (T )
(x)2
t t
2
Δt和Δx的取值: 使得DX(t)在Δt和Δx趋于零时,极限有意义。 如: Δt = Δx,当Δt->0, DX(t)->0,则X(t)=0,a.s. 若取Δt = Δx3 ,当Δt->0, DX(t)->∞,不合理。
E
X n+1 | Yn L Y0
E Xn
Yn +1
n
| Yn L
Y0
X
n
E
Yn +1
n
| Yn L
Y0
X
n
E
Yn +1
n
Xn
n
f ( y1, y2 L yn )
i 1
2
1 (ti
ti 1 )
exp
2(ti
yi2 ti1)
由随机变量函数的概率密度公式,得:
g(x1, x2 L xn ;t1, t2 L tn ) f ( y1, y2 L yn ) J
1 0
1 1
J 1 1
L
1 0 1 1
J 1
B(t1) B(s1)与B(t2 ) B(s2 )独立,即B(t)为正交增量过程; 故B(t)为布朗运动。
推论:设{B(t),t≥0} 为布朗运动,则:
1)B(t ) B( ),t 0, 0;
2)
1
B(t ), t
0,
0;
3)tB(1t ),t 0,其中tB(1t ) t0 0;
第五章:布朗运动与鞅
❖ 布朗运动的定义与基本性质 ❖ 鞅的定义与例
1
随机游动与布朗运动
考虑在直线上的无限随机游动:质点每经过Δt时间,随机地以概 率p=0.5向右移动Δx>0;以概率q=0.5向左移动Δx,且每次移动相 互独立。令
1,第i次质点向右移动 Xi -1,第i次质点向左移动
则质点在时刻t的位置X(t)可表示为:
16
博弈问题解答:
解:用Yn , n 1表示每次博弈的输赢,则Yn为独立同分布的随机
变量,P{Yn 1} P{Yn 1} 0.5。Yn 1表示赢,Yn -1为输。 博弈者的下注策略依赖于前面的博弈结果,可用
bn bn (Y1L Yn1),n 2来描述 bn为第n次的赌注,若赢则获利bn,输则输掉bn 设X 0为博弈者的起始赌资,则第n次博弈后的赌资为:
4
布朗运动定义1:随机过程{W(t),t≥0},如果满足: 1)W(0)=0; 2)W(t)是独立、平稳增量过程; 3)对任意t>0,W(t)服从正态分布N(0, σ2t)。
则称{W(t),t≥0}为维纳过程,或称为布朗运动(B(t), t≥0 )。 如果σ=1,称为标准布朗运动。 一般布朗运动可用{W(t)/σ,t≥0}变换成标准布朗运动,后面我们 假定都是标准布朗运动。
多维随机变量函数的概率密度:
设X X1, X 2 L X n为n维随机向量,f (x1x2 K xn )为其概率密度,
设Yi gi (x1x2 K xn ) (i 1, 2K n)是X的函数,且存在唯一的反函数
xi hi ( y1 y2 K yn ),如果gi、hi有连续偏导数,则Y Y1,Y2 L Yn的
n
X n =X 0 biYi i 1
则第n 1次博弈后,其平均赌资为:
E
X n1 | Y1 L Yn
E
X
0
n1
bi yi
i 1
| Y1L
Yn
E X n bn1Yn1 | Y1L Yn
E X n | Y1L Yn bn1E Yn1 | Y1L Yn
X n bn1E Yn1 X n
n
解:1)E | X n | | Yk | ,n 1, 2L k 1
E X n+1 | Yn L Y0 E X n Yn+1 | Yn L Y0
X n E Yn+1 | Yn L Y0 X n E Yn+1 X n
n
2)E | X n | | Yk | ,n 1, 2L k 1
a.s.
思路:
n
1)
lim E
0 k 1
B(tk ) B(tk1) 2 t
2)
lim
0
E
n k 1
B(tk )
B(tk 1 )
2
t
2
0
15
鞅的定义与例
博弈问题:博弈者进行一序列博弈(轮盘赌),每次博弈输和赢的概率相同, 每次的下注额自定。问博弈者采用何种下注方式赢面大? 定义:随机过程{Xn,n≥0}称为关于{Yn,n≥0}的下鞅,如果对n≥0, Xn是 {Y0, …,Yn}的函数,EXn<∞,且E[Xn+1| Y0, …,Yn] ≥Xn。 定义:随机过程{Xn,n≥0}称为关于{Yn,n≥0}的上鞅,如果对n≥0, Xn是 {Y0, …,Yn}的函数,EXn<∞,且E[Xn+1| Y0, …,Yn] ≤Xn。 若 {Xn,n≥0}同时是关于{Yn,n≥0}的上鞅和下鞅,则称之为关于Yn的鞅。 鞅描述的是“公平”的博弈,下鞅和上鞅则是“有利”和“无利”的博弈。
PB(1) 0, B(1) B(2) B(1) 0
PB(1) 0, B(2) B(1) B(1)
0 PB(2) B(1) xf (xHale Waihona Puke Baidudx
0
(x) f (x)dx
0
(x) f (x)dx
0 (x) f (x)dx
(x)d(x)
0
1 1 2
ydy
3 8
B(1) ~ N (0,1) B(2) B(1) ~ N (0,1) (x x) ( f (x) f (x))
min(t , s ) min(t, s)
例:设{B(t),t≥0} 为标准布朗运动,计算P{B(2) ≤ 0}及P{B(t) ≤ 0, t=1,2} 。
解:B(2) ~ N (0, 2) P{B(2) 0} 0.5,则
PB(t) 0,t 1, 2 PB(1) 0, B(2) 0
概率密度函数为:
g( y1 y2 K
yn
)
f 0
(
x1x2
K
xn )
J
若y1y2 K yn是gi (i 1, 2K n)的值域
xi hi ( y1 y2 K yn )
x1
y1
J K
xn
y1
x1 K y2 KK xn K y2
x1
yn
K
xn
yn
定理:设B(t),t 0为标准布朗运动,令x0 0,t0 0,则 当B(0) 0时,对0 t0 t1 L tn,B(t1), B(t2 ),L B(tn )的
t s min(s, t) t s 即 B(t) B(s) ~ N (0, t s )
而对s1 t1 s2 t2,有
E B(t1) B(s1)B(t2 ) B(s2 ) t1 t1 s1 s1 0
即B(t1) B(s1)与B(t2 ) B(s2 ); 由正态过程性质(独立即相关)知:
E X mk | Ym L Y0 X m 2)EX n E E( X n | Y0 ) EX 0
18
例:独立随机变量之和与积
1)设Y0=0,{Yn, n≥0}是独立的中心化随机变量序列, E|Yn|<∞,定义 X0=0,则Xn =Y1+…+Yn是鞅;
2)设Y0=0,{Yn, n≥0}是随机变量序列, E|Yn|<∞, EYn= μn≠0, n≥1, 定义X0=0,则Xn =Y1Y2…Yn/ μ1 μ2… μn是鞅。
定理:设{Xn,n≥0}是关于{Yn,n≥0}的鞅,则 1)对任意的0<m<n,有E[Xn| Ym, …,Y0] =Xm ; 2)对任意n,EXn=EX0
证: 1)用归纳法,当n - m 1时,即n=m+1时,显然成立。 设n - m k时成立,则
E X mk1 | Ym L Y0 E E X mk1 | Ymk L Y0 | Ym L Y0
其中
n
g(x1, x2 ,L xn;t1, t2 ,L tn ) p(xi xi1;ti ti1) i 1
1
x2
p(x;t)
2 t
exp
2t
13
证明:令Y1 B(t1),Yi B(ti1) B(ti ),1 i n,则
i
B(ti ) Yk k 1
由布朗运动性质,Y1,Y2 L Yn相互独立,Yi ~N (0, ti ti1),则
6
证: 1)充分性 若B(t),t 0是布朗运动,则其为正态过程。
设0 s t,则:
E B(s)B(t) E B(s)B(t) B(s) B(s) E B(s)B(t) B(s) E B(s)B(s) s
2)必要性,当B(t),t 0为正态过程,且 E B(s)B(t) min(s,t),则多s,t 0,有 E B(t) B(s) 0; E B(t) B(s)2 EB2(t) EB2(s) 2E B(t)B(s)
5
布朗运动定义2:随机过程{B(t),t≥0}为布朗运动,如果满足: 1)(正态增量)B(t)-B(s)~N(0,t-s) ; 2)(独立增量)B(t)-B(s)独立于过去的状态B(v),0≤v ≤ s; 3)(轨道连续) {B(t),t≥0}的轨道是t的连续函数。
注:并未强调B(0)=0,如果B(0)=x,可用B(t)-x进行变换。 定理:设{B(t),t≥0}是正态过程,轨道连续,B(0)=0,对任意的s, t>0,有EB(t)=0,E[B(s)B(t)]=min(s,t),则{B(t),t≥0}为布朗运动, 反之亦然。
一般情况下,有 x t 此时:
lim
t 0
DX
(t)
lim (x)2
t 0
t t
lim
t 0
2t
t t
2t
3
X(t)为独立同分布的随机变量之和,由中心极限定理,可得: 1)X(t)~N(0, σ2t);
随机游动的值在不相重叠的时间区段内相互独立,得 2)X(t)是独立增量过程;
在任一时间区间随机游动的值仅与时长有关,得 3)X(t)是平稳增量过程
布朗运动的轨道
从时刻0到时刻T对布朗运动的一次观察称为布朗运动在区间[0,T]上的一条轨 道或路径。
轨道的基本性质
1)是t的连续函数; 2)在任何点都不可微
定理:固定t 0,设0 t0 t0 L tn, = m1kaxn(tk -tk1),则有
n
lim
0 k 1
B(tk ) B(tk1) 2 t
4)B(t0 s) B(t0 ), 0 s t0, t0 0
9
1)B(t ) B( ),t 0, 0;
证:B(t)为正态过程,则B(t ) B( )为正态过程,且 B(0 ) B( )=0
对t 0,E B(t ) B( ) 0
对s,t 0,有
E B(t ) B( )B(s ) B( )
X (t) x X1 X 2 L
X
t t
,
其均值和方差为:
[]:向下取整运算
EX i
0,DX i
EX
2 i
1;EX
(t)
0,DX (T )
(x)2
t t
2
Δt和Δx的取值: 使得DX(t)在Δt和Δx趋于零时,极限有意义。 如: Δt = Δx,当Δt->0, DX(t)->0,则X(t)=0,a.s. 若取Δt = Δx3 ,当Δt->0, DX(t)->∞,不合理。
E
X n+1 | Yn L Y0
E Xn
Yn +1
n
| Yn L
Y0
X
n
E
Yn +1
n
| Yn L
Y0
X
n
E
Yn +1
n
Xn
n
f ( y1, y2 L yn )
i 1
2
1 (ti
ti 1 )
exp
2(ti
yi2 ti1)
由随机变量函数的概率密度公式,得:
g(x1, x2 L xn ;t1, t2 L tn ) f ( y1, y2 L yn ) J
1 0
1 1
J 1 1
L
1 0 1 1
J 1
B(t1) B(s1)与B(t2 ) B(s2 )独立,即B(t)为正交增量过程; 故B(t)为布朗运动。
推论:设{B(t),t≥0} 为布朗运动,则:
1)B(t ) B( ),t 0, 0;
2)
1
B(t ), t
0,
0;
3)tB(1t ),t 0,其中tB(1t ) t0 0;
第五章:布朗运动与鞅
❖ 布朗运动的定义与基本性质 ❖ 鞅的定义与例
1
随机游动与布朗运动
考虑在直线上的无限随机游动:质点每经过Δt时间,随机地以概 率p=0.5向右移动Δx>0;以概率q=0.5向左移动Δx,且每次移动相 互独立。令
1,第i次质点向右移动 Xi -1,第i次质点向左移动
则质点在时刻t的位置X(t)可表示为:
16
博弈问题解答:
解:用Yn , n 1表示每次博弈的输赢,则Yn为独立同分布的随机
变量,P{Yn 1} P{Yn 1} 0.5。Yn 1表示赢,Yn -1为输。 博弈者的下注策略依赖于前面的博弈结果,可用
bn bn (Y1L Yn1),n 2来描述 bn为第n次的赌注,若赢则获利bn,输则输掉bn 设X 0为博弈者的起始赌资,则第n次博弈后的赌资为:
4
布朗运动定义1:随机过程{W(t),t≥0},如果满足: 1)W(0)=0; 2)W(t)是独立、平稳增量过程; 3)对任意t>0,W(t)服从正态分布N(0, σ2t)。
则称{W(t),t≥0}为维纳过程,或称为布朗运动(B(t), t≥0 )。 如果σ=1,称为标准布朗运动。 一般布朗运动可用{W(t)/σ,t≥0}变换成标准布朗运动,后面我们 假定都是标准布朗运动。
多维随机变量函数的概率密度:
设X X1, X 2 L X n为n维随机向量,f (x1x2 K xn )为其概率密度,
设Yi gi (x1x2 K xn ) (i 1, 2K n)是X的函数,且存在唯一的反函数
xi hi ( y1 y2 K yn ),如果gi、hi有连续偏导数,则Y Y1,Y2 L Yn的
n
X n =X 0 biYi i 1
则第n 1次博弈后,其平均赌资为:
E
X n1 | Y1 L Yn
E
X
0
n1
bi yi
i 1
| Y1L
Yn
E X n bn1Yn1 | Y1L Yn
E X n | Y1L Yn bn1E Yn1 | Y1L Yn
X n bn1E Yn1 X n
n
解:1)E | X n | | Yk | ,n 1, 2L k 1
E X n+1 | Yn L Y0 E X n Yn+1 | Yn L Y0
X n E Yn+1 | Yn L Y0 X n E Yn+1 X n
n
2)E | X n | | Yk | ,n 1, 2L k 1
a.s.
思路:
n
1)
lim E
0 k 1
B(tk ) B(tk1) 2 t
2)
lim
0
E
n k 1
B(tk )
B(tk 1 )
2
t
2
0
15
鞅的定义与例
博弈问题:博弈者进行一序列博弈(轮盘赌),每次博弈输和赢的概率相同, 每次的下注额自定。问博弈者采用何种下注方式赢面大? 定义:随机过程{Xn,n≥0}称为关于{Yn,n≥0}的下鞅,如果对n≥0, Xn是 {Y0, …,Yn}的函数,EXn<∞,且E[Xn+1| Y0, …,Yn] ≥Xn。 定义:随机过程{Xn,n≥0}称为关于{Yn,n≥0}的上鞅,如果对n≥0, Xn是 {Y0, …,Yn}的函数,EXn<∞,且E[Xn+1| Y0, …,Yn] ≤Xn。 若 {Xn,n≥0}同时是关于{Yn,n≥0}的上鞅和下鞅,则称之为关于Yn的鞅。 鞅描述的是“公平”的博弈,下鞅和上鞅则是“有利”和“无利”的博弈。
PB(1) 0, B(1) B(2) B(1) 0
PB(1) 0, B(2) B(1) B(1)
0 PB(2) B(1) xf (xHale Waihona Puke Baidudx
0
(x) f (x)dx
0
(x) f (x)dx
0 (x) f (x)dx
(x)d(x)
0
1 1 2
ydy
3 8
B(1) ~ N (0,1) B(2) B(1) ~ N (0,1) (x x) ( f (x) f (x))
min(t , s ) min(t, s)
例:设{B(t),t≥0} 为标准布朗运动,计算P{B(2) ≤ 0}及P{B(t) ≤ 0, t=1,2} 。
解:B(2) ~ N (0, 2) P{B(2) 0} 0.5,则
PB(t) 0,t 1, 2 PB(1) 0, B(2) 0
概率密度函数为:
g( y1 y2 K
yn
)
f 0
(
x1x2
K
xn )
J
若y1y2 K yn是gi (i 1, 2K n)的值域
xi hi ( y1 y2 K yn )
x1
y1
J K
xn
y1
x1 K y2 KK xn K y2
x1
yn
K
xn
yn
定理:设B(t),t 0为标准布朗运动,令x0 0,t0 0,则 当B(0) 0时,对0 t0 t1 L tn,B(t1), B(t2 ),L B(tn )的
t s min(s, t) t s 即 B(t) B(s) ~ N (0, t s )
而对s1 t1 s2 t2,有
E B(t1) B(s1)B(t2 ) B(s2 ) t1 t1 s1 s1 0
即B(t1) B(s1)与B(t2 ) B(s2 ); 由正态过程性质(独立即相关)知:
E X mk | Ym L Y0 X m 2)EX n E E( X n | Y0 ) EX 0
18
例:独立随机变量之和与积
1)设Y0=0,{Yn, n≥0}是独立的中心化随机变量序列, E|Yn|<∞,定义 X0=0,则Xn =Y1+…+Yn是鞅;
2)设Y0=0,{Yn, n≥0}是随机变量序列, E|Yn|<∞, EYn= μn≠0, n≥1, 定义X0=0,则Xn =Y1Y2…Yn/ μ1 μ2… μn是鞅。
定理:设{Xn,n≥0}是关于{Yn,n≥0}的鞅,则 1)对任意的0<m<n,有E[Xn| Ym, …,Y0] =Xm ; 2)对任意n,EXn=EX0
证: 1)用归纳法,当n - m 1时,即n=m+1时,显然成立。 设n - m k时成立,则
E X mk1 | Ym L Y0 E E X mk1 | Ymk L Y0 | Ym L Y0