中考二次函数压轴题解题技巧

中考二次函数压轴题———解题技巧

二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，我们的学生大

部分都难以在有限时间内完全解答出来，最主要的原因是对解题思路以及方向上没有做到大体的定位。经多番研究比

较，发现 26 题基本设有三小问，第一问基础为主（ 3 到 4 分），多为求解析式、坐标轴上坐标、系数、顶点，第二问为

中等档次（ 4 分），多以求线段长度类、面积类、三角形形状判断、四边形形状、全等、相似，第三问区分度较大，拉

开距离的小问（ 4 到 5 分），多以动点类结合，构成四边形、三角形，此问涉及面广，有多种情况。压轴题出题方向多

与几何图形紧密结合，出题范围广，但万变不离其宗，抓住其中关键性质，利用好代数式，80%的分值可以拿到手，现将压轴题的各种解法思路罗列出来，望各位同学有针对性的去查漏补缺，做到1得2拿3取半。

几个自定义概念：

①三角形基本模型：有一边在X 轴或 Y上，或有一边平行于X 轴或 Y轴的三角形称为三角形基本模型。

②动点（或不确定点）坐标“一母示” ：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标

表示出来，简称“设横表纵”。如：动点 P 在 y=2x+1 上，就可设P（ t, 2t+1 ） .若动点Ｐ在ｙ＝3x22x 1 ，则可设为P（，22t 10t t）当然若动点M 在 X 轴上，则设为（ t, 0） .若动点 M 在Ｙ轴上，设为，

③ 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动

三角形。

④动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。

⑤定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。

⑥定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：y 3x 6 。

⑦X 标， Y 标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x 标，纵坐标称为y 标。

⑧直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫

间接动点。动点坐标“表示”是针对直接动点坐标而言的。

1.求证“两线段相等”的问题：

借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；

然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离” ，还是“点线距离” ，再运用两点之间的距离公式或点到 x 轴（ y 轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。

２、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：

由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点

的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y 轴的线段长度计算公式y上 -y下或y1y2，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的

性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。

3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：

先用点斜式（或称K 点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最

后用中点坐标公式即可。x1

x

2 ,

y

1y2 22

4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题（考得比较少）：

（方法 1）先求出定直线的斜率（ k），由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式（注意该直线

与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率（k）相等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字

母 y 消掉，得到一个关于x 的的一元二次方程，由题有△= b2 -4ac=0（因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以 b2-4ac=0）从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出 x、y 的值，

1

（方法 2）该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，

从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标， 再

用点到直线的距离公式，求出其最大距离。

（方法 3）利用相似法，化归到某条与坐标轴平行的线段。 5. 常数问题：

（ 1）点到直线的距离中的常数问题：

“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个

固定常数”的问题：

先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

（ 2）三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面

积等于一个定常数”的问题：

先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

（ 3）几条线段的奇次幂的商为常数的问题：

用 K 点法设出直线方程， 求出与抛物线 （或其它直线） 的交点坐标， 再运用两点间的距离公式和根与系数的关系，把问题中的所有线段表示出来，并化解即可。

6. “在定直线（常为抛物线的对称轴，或x 轴或 y 轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之

和最小”的问题：最短路径问题

先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该

线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之 和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）

。

7.三角形周长的“最值 ( 最大值或最小值 ) ”问题：

① “在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）：

由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式计算）

，只需另两边的和最小即可。

②

“在抛物线上是否存在一点，使之到定直线的垂线，与

y 轴的平行线和定直线，这三线构成的动直角三角形

的周长最大”的问题（简称“三边均动的问题）

：

在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形，在动点坐标一表示后，运用

C 动 = 斜边

动 ，把动三

C 定 斜边 定

角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解。

8. 三角形面积的最大值问题：

① “抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）：

(方法 1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面

4 的方法，求出抛物线上的动点到该定

1 直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式

*底 * 高。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，

2

切点即为符合题意要求的点。

（方法 2）过动点向 y 轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型

1

（x

） 的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到

S

(y 上（动）-y 下（动）)

-x

动三角形

2

右（定） 左（定）

，转化为一个开

口向下的二次函数问题来求出最大值。

② “三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）

：

先把动三角形分割成两个基本模型的三角形

（有一边在 x 轴或 y 轴上的三角形， 或者有一边平行于 x 轴或 y 轴的三

角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在

x 轴或 y 轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平

行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的那一个三角形）

。利用相似三角形

的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。