简单的论述哈密顿原理

简单的论述哈密顿原理

摘要：证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性，从不同角度论述了哈密顿原理的含义。

关键词：哈密顿原理，拉格朗日函数，变分，拉格朗日方程

1.引言

哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一，但它不是一个独立原理，它可已从其他原理推导出来，因而可以从不同角度说明它的物理含义。一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和，然后再求从位形1即(到位形2，即(之间或时间至

之间的作用量得出，最后变换成，并没有说明最后一步为

什么要那样做，也没有说明那样做的意义。本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。

2.理论

2.1变分运算与积分运算次序的可交换性

假定变量由一个或一组函数的选取而确定，则变量称

为函数的泛函，记作［］。泛函由n个函数的形式确定，是函数的“函数”。泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。下面举例说明，如图1中有，两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度由下式确定，即

显然，依赖于函数的选取，若函数的形式发生变化，则曲线的形状随

之变化，曲线的长度也随之变化。长度就是的

泛函。

下面证明变分运算与积分运算顺序的可交

换性，该泛函只依赖一个函数，即

自变量为的函数表示为。函数的变分是函数的微变量，它与函数的微分有本质有本质的不同，函数的微分，粗略的讲，它是由自变量的变化引起的。而函数的变分不是因为自变量的变化，它是来自函数形式的变化引起，这种由于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分，记作。与函数临近但形

式与不同的函数有许多。

假设这些函数可以表示为如下的形式：

其中是非常小的参数，是任意给定的可微函数，因时，函

数形式的变化决定于上式的第二项。因此函数的变分写成

引入（2）式的记法（1）可记为

被积函数的形式是已知的，积分的上下限是固定的。当函数

的形式上发生变化时，泛函就会发生变化，这种由于函数形式的变化引起泛函的变化就为泛函的变分，记作。现将被积函数

在处展开，并只保留线性部分，

注意的变分不包含（3）式中的最后一项，因

是由于处于自变量地位的的形式变化引起的，而不是因为x变化引起的，故泛函的变分为

而

上式积分变量为，变分是由的形式变化引起，因此积分变量与变分无关时，积分次序与变分次序可以交换。

哈密顿原理的数学表达式为

在（4）中代表体系的拉格朗日函数，其表达式为，即体系的动能和势

能之差，哈密顿称为作用函数，它的量纲为功和时

间的乘积，单位为。当它表示为端点时间和位置的函

数时，也叫主函数，并以S表示。如图2所示，满足约

束许可条件的轨道有许多条。其中实线为真实轨道，而

虚线为真实轨道附近只满足约束所许可的条件，图2只画了一条。原理的含义为在约束所许可的许多条可能轨道中真实轨道的作用函数的变分为零。此原理给出了在卫星1即(到位形2，即(之间真实轨道

必须满足的条件就是哈密顿原理。

哈密顿原理是在拉格朗日方程

的两端同乘以然后对从1到S求和

再对（6）从到积分，即

因为

把（8）代入（7）式得

利用初始条件知（9）式左边第一项为零，从而有

因为（5）式中积分变量为t，而变分是由L的形式变化引起，积分变量与

变分无关，所以积分与变分的次序可以交换，即可得到（4）的结果。对于哈密顿原理的判断：保守的，完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定性。即对于真实运动来讲，主函数的变分等于零卖。从数学角度结果无可非议，但大部分教材并没有说明为什么要这样做，也没有说明哈密顿原理的物理含义，下面将从不同角度说明讨论保守，完整体系哈密顿原理的必然性和深刻含义。

2.2从不同角度理解哈密顿原理

2.2.2从对拉格朗日方程的二次积分意义角度理解

众所周知，拉格朗日函数它是体系的动能和势能之差，它是体系

的一个特性函数，表征者约束，运动状态，相互作用等性质。它的表达式中只含有广义速度，广义坐标和时间，即

(

（１１）式可以看作拉格朗日方程的第一积分或首次积分。而

可以看作拉格朗日方程的二次积分，积分的最终形式为

（１３）式的C为积分常数。式实际上就是蕴含体系运动规律的轨道方程，那么就在位形１和位形２之间从众多约束所许可的可能轨道中挑选出真实轨道

必有，即真实轨道只有一条，所以真实轨道方程的变分为零。也就

是（４）式所示的哈密顿原理的数学表达式。而且还可以把上式写成微分形式，因为对给定的体系，选定的广义坐标和给定的位形拉格朗日函数的吗形式唯一，故哈密顿原理的变分形式可表示为。

2.2.2从虚功角度理解

拉格朗日方程（５）式的左端每一项的量纲都为广义力，其意义为体系在主动力和惯性力的作用下，在非惯性系中作惯性运动或保持相对平衡。给（５）式的左端每一项乘以即（６）式，求出从位形１变化到位形２或体系从时刻

到时刻过程中总的加权（时间为权）虚功，即作用量。若总的虚作用量为零，说明体系仍处于相对平衡，它所走的轨道为实际轨道。否则，说明体系的轨道就不是真实轨道。换句话说，要让体系运动的轨道为实际轨道，则在任何时间间隔内对体系的虚作用量必须为零。

2.2.3从达朗伯－拉格朗日方程的变形结果理解

达朗伯－拉格朗日方程

记

从而有

对于保守系来说，其中主动力为保守力或有势力，所以上式的左边可表示为