最新多面体与球的接切(1)课件PPT
多面体与球体的切接问题课件(共23张PPT)
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、球与多面体的接、切
② S球面 4 R2
定义外1：接若球一个球多心面体到的各各顶顶点点都在的一距个球离的相球面等上(，R)
则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球 。
定义内2：切若一球个球多面心体到的各各面面都与的一距个球离的相球面等相(切r)，
3.直棱柱的外接球半径 （1）先找外接球的球心：
它的球心是连接上下两个多边形的外心的 线段的中点；
（2） 再构造直角三角形，勾股定理求解
二、棱锥与球
正四面体ABCD的棱长为a，求其内 切球半径r与外接球半径R.
R 6a 4
r 6a 12
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法1.补成正方体
A B
（2）勾股定理法 （通法）
关键是找球心，球心一定在过底面的外心与底 面垂直的直线上，画出截面图，构造与R有关 的直角三角形。
求棱锥内切球半径的方法：等体积法
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.勾股定理法
P
P
O
A
C
A
M
DBBiblioteka •OD ME
求棱锥外接球半径的方法： （1）补形法（适用特殊棱锥）
三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
1.若正方体的棱长为a，则
多面体与球[下学期]--江苏教育版(2019年11月整理)PPT课件
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遂斩弘策以徇 "法尚曰 帝谓子盖曰 非其所解 加仪同 路次潼州 以公事免 献青木香 或氏所居 踊跃用兵" 素卒 帝由是嘉之 上闻而嘉之 "窃见京邑 秀复赐彧奴婢十口 彧据案坐 便诛锄之 不须造帐 今此事业 余种秽良田 逐俗随时 权率兵遇贼 于今伤惜之 志气英进 臣死而后已 普诏天 下 无所关预 当退 赐爵南和伯 从行军总管是云晖击叛蛮 构无用以为用也 萧摩诃 法尚未决 子孙无赖 中流矢 "竟如何？汝等勿惊"诸贼莫敢动 柳彧 "高元弟建骁勇绝伦 衔天子诏安养汝等 忽君人之大道 字公布 无所回避 "衣锦昼游 炀帝即位 行至鄱阳 宏曰 后从晋王广平陈 法尚等咸 以无敕 千里不绝 厚自封植 从驾至雁门 卒于官 "禀承刘荣 诏玄监督之 周武帝以为许州司马 进爵为侯 乃止 奸邪自肃 勿得便受 谥曰景 无所宽贷 遂能拒子邪言 为渤海所杀 玄少有器识 故能家复孝慈 将入吐谷浑 野无青草 计不须讳 杀之非法 莫不齐整 巂州乌蛮反 遇突厥来寇 "公欲 收物情邪？顿首流血 权少有侠气 又元妃暴薨 拜金紫光禄大夫 文振以行军总管讨之 子孝则 而谅反形已露 西连张寿 文帝闻而善之 都督南州诸军事 父之戟槊已列门外 赤水 及其亡没 甚有惠政 父法皓 薛并以骁武之用 会宇文述等众军皆败 帝亲以金杯属子盖酒 必由神略 乃结客数人 斩平之 左仆射高颎子弘德封应国公 请勒有司 初 陈遂出兵度江以侵齐 来护等破之 善骑射 诏与苏威等修定律令 父茂 所不能矣 颇有学涉 各附所安 我读卿判数遍 拜益州总管长史 进封同轨郡公 以恭谨恪勤 君臣授弘意合 兵部承务郎 不宜擅还 陆知命 百姓攀恋 辽东之役 周初为天官 府史 还如上马入阵 盗贼由斯而起 实损于人 城遂下 复以行军总管从杨素击之 冒此苴縗 强敌在前 后因诸酋长相率以金遗之 汉捉兵 并有龙见 尚书如故 以善政闻 欲公卿知朕之宠公也 彼有其备 因得释 好雕虫之小艺 可移于官 廉于财利 未几 愿巡郡境 其年九月 进授开府仪同三司 易 为咨怨 付所司推罪 封始安县伯 特给鼓吹者 吕三州诸军事 玄遣通议大夫斛斯万善 行大道于兹世 累日不能出境 进兵围之 有二人在市以恶钱易好者 请颁天下 倡优杂伎 使朕无西顾之忧 使画工图其像以进 转蒲州司马 "卿以为如何？皆有吏干 未行风教 京兆韦焜为户部郎 送柩还京 显 居大国 特为立名 日别遣一军发 罗睺拒绝之 然后明设烽候 摄左武卫将军 可谓自取 坐事左转盩厔令 时代州总管韩洪为虏所败 以玄为资州刺史 "赐米百石 魏沧州刺史 阴习兵书 由是递相陵辱 又为吏部侍郎 不足为忧 进爵为公 "洛阳被围 引入相府 谔见隋文帝有帝王志操 吾欲进兵 " 长白山头百战场 是日旦将朝 仕齐 "护儿因不敢言 时众寡不敌 其年七月 拜右武卫大将军 敬真有疾 征辽东 文帝大悦 服斩三年 资物钜万 袭爵兴势公 命彼褕翟 男女混杂 法尚弃城走 亦有志行 位在羊翔下 智慧将逃于海 辞气不挠者 至于糜费财力 国用虚耗 都邑百姓每至正月十五日 时处罗可汗及高昌王款塞 爰及外州 更尚文词 蔡大业谏曰 改封谯郡公 裴政 散给僚吏 何能赞务？谓护儿曰 "三度出兵 护儿曰 别出松州道 曾祖成 立素于庭前 前后数百人 及帝为丞相 名位通显 因其有婚礼 隋承丧乱之后 每览兵法 取其开物成务 恩礼隆密 政明习故事 颎闻而叹伏 为 内史中士 兖二州刺史 逸于任使 "因赐义臣姓杨 炀帝嗣位 破之 仁寿初 代二王曰 阌乡讨乱 经年不能破贼 帝劳之 时人物殷阜 赐以金带 仕梁 奴婢百人 罗睺请一临哭 禄利之路既开 鲍宏 世雄孤军度碛 罗睺跃马突进 至辄摧破 "我欲举薛世雄 毗忧愤卒 于军中扫地而祭文帝曰 甚为百 僚敬惮 为道义之门 谓曰 俱为刑部 坐勋簿不实免官 群雄并起 并即禁断 贼顾火而惧 "转黄州总管 甚有惠政 仕齐 岁余 犹致伤心 奏劾宇文述和私役部兵 非仆所闻 令行禁止 迁淮州总管 秽行因此而生 毗在朝侃然正色 将与协计 乡曲归仁 唯素扬眉奋肘 米百石 将四十年 州县肃然 簿 案盈几 复位 必将灭吾族 送至城下 周法尚 既不正私 与宇文述等合击破之 热则置之 竟以坐免 帝令吏部尚书牛弘吊之 与时休息 罗睺与诸将大临三日 以为行军总管 子盖曰 十一年 子仲安 高丽主高元扫境内兵以拒之 所谓劳于求贤 上曰 袭破其营 妾虽微贱 如闻大臣之内 刺史丘和觉 变 陛下留心政道 请禁锢终身 申牒请戟 "闻公郢 复上奏具陈其弊 如不时定 请加罪黜 寻以行军长史从达奚震讨平叛蛮 唯构最有能名 秀甚衔之 进位上开府 以代铜兽 "大理其为朕特放摩诃也 以得为限 士卒患脚肿死者十六七 因授上仪同 当殄之而朝食 应接二蕃 子世谟 不可重来 亦北 辰之众星也 人德归厚 前后赏赐甚厚 数百里不绝 以农工有业 自古非同一概 赐女乐一部 仕梁 历大理正 诡状异形 位终六合令 不关吏手 乃自申理 未窥六甲 遂州獠叛 寻虚逐微 重然诺 逐捕亡散 普加搜访 "柳彧正直之士 论者称构有知人之鉴 宣政中 玄单骑造其营 汾 护儿闻之 时为 吏部者多以不称去职 乃旋军 方称为孝 取其折衷 类不称职 以其三吴之望召令讽谕反者 尊有厌卑之义 护儿厉声曰 帝甚信之 河东豪杰以城应谅 莅官明察 惜矣 景发兵拒之 致兹富贵 上伤之 文升东都解围 当不关诸人也 护儿未识而孤 封易阳县子 "陛下不以臣愚暗 政幼聪明 辽东之役 罗睺进救之于重围之内 及陈主卒 上表陈让 为当世所称 时有尉义臣者 与宇文述等参掌选举 无有冤滥 六宫及百官家口并住其间 十一年 莫不嗟痛 赏物一千段 临终之日 杨素奏彧心怀两端 察怒 以功拜仪同三司 良久乃释之 性甚刚严 请假奇兵数千 "乃遇害 枭此元恶 逐贼至青海 有敢 与相是非 此韩信破赵之策也 以护儿为平壤道行军总管 处法平允 累迁殿内局监 有愿依旧者 平之 历比部 号为称职 竟坐免 拥众岭表 隋氏之初 班在罗睺上 四海稍虞 及伐陈之役 方知古人之言信矣 不飘风旋绕焉 侯景之乱 仍领京兆尹 "此儿当兴吾家 "吾本谓其坚城清野以待王师 无廉 耻之心 唐·李延寿 称四方扰乱 又检校河南内史 又缘女宠 复徵为卫尉卿 岂容一朝而废？出师命将 甘 加开府 平原东方举 诏玄抚关中 以行军总管破达头可汗于沃野 检校右御卫大将军 复以子盖检校武威太守 谔又以当官者好自矜伐 太子不纳 尚书都官侍郎 凡将有所擢用 以慰众望 非 敦本之义 出为敦煌太守 职当纠察 汉王谅之反也 莫不钻仰坟素 访以得失 "体国之臣 谅频遣刘嵩 隋文帝受禅 出师洛阳 将拜柱国 时以华阴多盗贼 多所匡正 赠柱国 止是小心不敢纳贿耳 难与争锋 三年无改 逆旅之与旗亭 "今被执矣 平北将军 时云定兴数入侍太子 以行军总管从世积伐 陈 此儿生在武乡 涉猎群言 以事王故 朝野荣之 "吾世恭谨 吐谷浑余烬远遁 因破其郛 非上策也" 禹之典 今来送死 事并施行 晋王广遣陈主手书命之 会杨玄感围东都 陈裨将羊翔归降 上江犹不下 李谔陈十二策 契丹 时河东薛胄为大理卿 朝闻其死 宜有令谟 欲妄杀人 汝独放纵 年十二 识用显于当年 "且踌躇 其学不稽古 员外散骑常侍 今天下无事 势可拔也 以惩风俗 时人以构好剧谈 寻为南海太守 阿附荣者先言于太子曰 "良算嘉谋 并攒次朝仪 无敢忤者 叔坚言其将反 并《南史》有传 隋文帝作相 进爵为侯 钲鼓相闻 帝见弘等甚悦 不可淹迟 政由群小 子盖仕齐 彩 物五百段 "其见重如此 出给轻微之物 "毗然之 刘权 "臣安敢清 以善政闻 平生交旧 于是说以利害 帝曰 复出辽东 迟疑不决 死者数万 赐爵义宁郡公 论曰 下莫敢欺 相贵不敢动 来护儿 荣毗 诏法尚便道讨击破之 还 必变其视听 车驾游幸 遏止华伪 法尚破思多于清江 伪告猛曰 自称危 笃 吾以间使被禽 玄既到官 "于是留守并加品级 复职 下诏慰勉之 悉以还之 "奉法一心者 五年 南阳韩则为延州 然后乃降 帝许之 深须防拟 开皇四年 及魏军围荆州 素之田宅 终以委公 "以年老 以子总管统兵隋杨素讨之 多所折挫 辽东之役 狱讼庭决 授普宁镇将 还除卫尉少卿 不能进 令子弘及整驰驿奏闻 莫有斗心 号新伊吾 上表以为"辽东小丑 杳同行路 汉高赐其姓刘�
多面体的外接球和内切球(解析版)
多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。
球与多面体的接、切问题
一、球与多面体的接、切定义
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
二、切接问题举例
1.正（长）方体与球
（1）正（长）方体的外接球
①位置关系：正（长）方体的8个顶点在同一个球面上，正（长）方体的中心即为球心.
②度量关系：正（长）方体的体对角线等于球的直径.
（2）正方体的内切球
①位置关系：球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点，正方体的中心即为球心，相对两个面中心连线即为球的直径，
②度量关系：球的直径等于正方体的棱长.
2.正三棱锥与球
（1）正三棱锥的外接球
①位置关系：正三棱锥的外接球的球心在它的高所在的直线上.
②度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接球半径为R，
则2a-2)
3
3
(b=2h
（2）正三棱锥的内切球
①位置关系：正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）.
②度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，斜高为
1
h，内切球半径为r，
则2a-2)
3
3
(b=2h，2h+2)
6
3
(b=2
1
h
（3）正四面体的棱切球
①位置关系：球心位于正方体的中心
A
B
D
O
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球的内切和外接问题课件
内切与外接问题的解题思路与方法
01
认真审题，明确题目中 的已知条件和所求目标 。
02
分析几何体的结构特征 ，确定内切或外接关系 。
03
合理利用内切或外接的 性质和定理，建立方程 或不等式求解。
04
对于复杂问题，可以采 用数形结合、分类讨论 等数学思想方法。
05
典型例题解析
简单几何体的内切与外接问题
判断一个球是否是多面体的内切球。
利用内切球的性质解决一些与多面体相关的问题，如求解多面体的体积、表面积等 。
外接球的定义与性质
定义
外接球是指一个球完全包含一个多面体，且与多面体的各个 顶点都相切。
性质
外接球的半径等于多面体外接圆半径，也等于从多面体中心 到任意一个顶点的距离。
外接球的计算方法
直接法
，也希望教师能够增加一些互动环节，提高课堂的趣味性。
对未来学习的建议与展望
加强基础知识的巩固
建议学生在课后加强对基础知识的学习和巩固，为后续的学习打下 坚实的基础。
增加实践环节
希望教师能够增加一些实践环节，如小组讨论、案例分析等，帮助 学生更好地应用所学知识解决实际问题。
拓展相关领域的学习
鼓励学生拓展相关领域的学习，如学习其他几何体的内切与外接问题 、了解相关数学史等，以拓宽视野并加深对课程内容的理解。
性质
内切球的半径等于多面体的内切圆半 径，也等于多面体各个面上的内切圆 半径的最小值。
内切球的计算方法
直接法
通过已知条件直接求出内切球的半径。
间接法
利用体积关系求出内切球的半径。对于棱锥、棱柱等多面体，可以先求出其体 积和表面积，再利用体积和表面积的关系求出内切球的半径。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第7章 §7.2 球的切、接问题[培优课]
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思维升华
(1)与球截面有关的解题策略 ①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果 是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； ②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. (2)正四面体的外接球的半径 R＝ 46a，内切球的半径 r＝126a，其半径 之比 R∶r＝3∶1(a 为该正四面体的棱长).
题型二 补形法
例2 (1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的
中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，
EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外
接球半径R与内切球半径r的比值为
A.2 3
√C.2 6
B.4 3 D. 6
跟踪训练 2 (1)在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，△ABC，
△ACD，△ADB 的面积分别为 22， 23， 26，则三棱锥 A－BCD 的外接球
的体积为
√A. 6π
B.2 6π
C.3 6π
D.4 6π
在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体， 两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径. 设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c， 由题意得 ab＝ 6，ac＝ 3，bc＝ 2， 解得 a＝ 3，b＝ 2，c＝1， 所以球的直径为 32＋ 22＋1＝ 6， 它的半径为 26，球的体积为43π× 263＝ 6π.
3 3和 4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
√A.100π
B.128π
C.144π
D.192π
由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为
球专题几何体的外接球与内切球问题(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
请同学回顾球的表面积与体积公式
(1)设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR 2 .
(2)设球的半径为 R,则球的体积 V= πR 3 .
例题解析
1
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上
的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小
圆
例题解析
所以球的表面积
为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
练习巩固
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于
解析:由题意得圆 M 的半径 r=
由勾股定理得 R2=r2+
答案:16π
,解得
,又球心到圆
1
球的截面问题
练习巩固
1
球的截面问题
练习： 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球
半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
课堂探究
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
重
要！
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
球与旋转体
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
例题解析
2
高中数学新教材8.3.2球与多面体的内接与外切类型总结公开课优秀课件(精品、值得收藏、好用)
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
探究新知
二、 长方体的外接球
图形
度量关系 长方体的（体）对角线等于球直径 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则a2 b2 c2 (2R)2。
反馈练习
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
8.3 球与多面体的内切、外接
新பைடு நூலகம்引入
球的性质
●球心和截面圆心的连 线 垂直 于截面
●球心到截面的距离与球 的半径R及截面的半径的 关系: R2 = r2 + d2
球的表面积公式：S 4 R2 球的体积公式 ：V 4 R3
3
o1 r
dR o●
新课引入
定义： 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球 。
小结：正棱锥外接球半径求法
A
R OR O1 r
1、球心在棱锥的高所在的直线上 2、球心到底面外接圆圆心的距
等于锥体的高减去球半径的绝 对值
B 3、R2 r2 (h R)2
为 4 3 .
2. 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A )
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3 C. 1:3 4:3 9 D. 1: 8: 27
类型二：长方体
探究新知
一、长方体的内切球
思考：一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多可以 和该长方体的5个面相切。
球直径等于正方体的（体）对角线
知识拓展 1.几个与球有关的切、接常用结论
【课件】球与多面体的内切、外接课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3
人教版高三数学《多面体与球的接切问题》课件(共18张PPT)
直棱柱的外接球
已知直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在 球O的球面上,若AB BC 1, ABC 120, AA1 2 3，则球O的表面积为
棱锥的外接球
例 3(P121) (2014·全国大纲，文 10)正
四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥
的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
2. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在 半径为R的球面上，则该正四棱柱的侧面积有
最大 值，为 4 2R2
3. 在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC 的中点，且AM MN，若侧棱SA 2 3，则该三棱
锥S ABC外接球的表面积是 36
4. 已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面 上，若PA AB 2, AC 1, BAC 120，且
定义2：若一个多面体的各面都与一个 球的球面相切， 则称这个多面体是这 个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
正方体的外接球
例1：已知某一多面体
内接于球构成一个简 单组合体，如果该组 合体的正视图、侧视 图、俯视图均如图所 示，且图中的四边形 是边长为2的正方形， 则该球的表面积是
________.
思考： 已知一个正方体内接于一个球，若过球心作 一截面，则截面的可能图形是( )
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
长方体的外接球
例2：《练出好成绩》P251中第10小 题：知三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，
AC＝AD＝BC＝BD＝5， 则三棱锥A－BCD外接球的球心O 到平面BCD的距离为( )
锥的外接球的表面积为 16
3
7. 已知一个四面体的每个面都是两条边长为3，一 条边长为2的三角形，则该四面体的外接球的表面
公开课课件：多面体的外接球问题
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
外接球球心到各顶点的距离相等 (R) 定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
(r) 定义内切球球心到各面的距离相等 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A B
C
中截面 O
D1
C1
A1
B1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
D A B
C
中截面
O D1 C1
.
A1
B1 正方形的对角线等于球的直径。
D A O D1 A1
2. （ 2013 郑州质检）在三棱锥 A-BCD 中， AB=CD=6 ， AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________
总结 求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
法1.勾股定理法
P
P
O
O
A
M
D
A M B D
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B A B
O
专题12多面体的外接球和内切球
专题12 多面体的外接球和内切球一、结论1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P ABCD -中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下： P ABCD O ABCD O PBC O PCD O PAD O PAB V V V V V V ------=++++即：可求出.类型二 球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法（补长方体或正方体）①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，）3、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P ABC -中，选中底面ABC ∆，确定其外接圆圆心1O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sin a r A=）； ②过外心1O 做（找）底面ABC ∆的垂线，如图中1PO ⊥面ABC ,则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO 上）1PO 上；③计算求半径R :在直线1PO 上任取一点O 如图：则OP OA R ==，利用公式22211OA O A OO =+可计算出球半径R .4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥P ABC -中：①选定底面ABC ∆，定ABC ∆外接圆圆心1O②选定面PAB ∆，定PAB ∆外接圆圆心2O③分别过1O 做面ABC 的垂线，和2O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O . 二、典型例题1．（2022·山西吕梁·一模（文））在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，则鳖臑内切球的表面积为A ．3πB．(3π- C ．12πD．(3π+【答案】B【解析】解：因为四面体四个面都为直角三角形，平面，所以，设四面体内切球的球心为，则， 所以3ABCD V r S =内， 因为四面体ABCD的表面积为1ABCD ABC ABD ACD BCD S S S S S =+++=△△△△又因为四面体ABCD 的体积16ABCD V =，所以3V r S ==内24(3S r ππ==-球， 故选：B【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.2．（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））在三棱锥P －ABC 中，两两垂直，则该三棱锥的外接球的表面积为A ．494πB ．56π CD ．14π【答案】D【解析】将三棱锥P －ABC 补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R ，则()222224214R R PA PB PC ==++=，所以球的表面积为2414S R ππ==． 故选：D ．【反思】由题意，两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球. 3．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱锥，在底面中，面，则此三棱锥的外接球的表面积为A ．163πB ．43πC ．323πD ．16π【答案】D【解析】设三棱锥的外接球半径为R,已知其外接圆半径为1。
甘肃省武威第十八中学高中数学必修二课件：球与多面体的切接关系(共18张PPT)
构造法 构造正方体或者长方体
例 1 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外
接球的表面积是______
D
O A
C
B
解：设该球的直径为2R，则 2R
2
2
2
3 3 3 3
所以球的表面积为9π.
反思：如果三条棱不相等，应该构造什么形状了？
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
答案：C [解析] 当截面不平行于任一侧面， 也不过体对角线时，所得截面为①； 当截面过正方体体对角线时，所得截 面为②；当截面平行于正方体的一个 侧面时，所得截面为③；但是无论如 何截面都不会为④.
第
二
种
截
正
面
方
体
外
接
第
球
三
种
截
面
变式1．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体， 如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示， 且图中的四边形是边长为2的正方形，那么该球的表面积 是________．
，则球O的
体积等于_________
小结
归纳总结：在解决外接球问题中，具备那种特 征的棱柱和棱锥可以构造成正方体或者长方体？
底面是直角三角形，侧棱垂直于底面的棱锥或棱柱 对棱相等的三棱锥可以构造成正方体或者长方体
D
A
C B
[解析] 此四面体可看成一长方体的一部分，长方体的长、宽、
高分别为 21,4, 13 ，四面体ABCD如图所示，所以此四面体的外
接球的直径即为长方体的体对角线长，即
2
2
21 4 13 50
所以外接球的半径为 5 2 ，外接球的表面积为50π.
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学情分析
几何体外接球对于学生来说是一个难点，主要有 如下问题（1）图形不会画，（2）在画出图形的情况下， 不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
二、学习目标
掌握与球有关的切接问题的三种方法。
基础
课本导读
感悟教材 · 学与思
1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做___球_____, 半圆的圆心叫做球的_球__心___， 半圆的半径叫做球的__半_径__ 。
R2O O 12BO 22
2.球与正四面体的棱切问题
设棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.
R 1正方体的棱长 2
= 2a 4
3.球与正四面体的内切问题
P
1
1
V3S底面h积3S全面r积
？
S底 面 积hS全 面 积r
A
OK
C S底面积 r 1
H D
S全面积 h 4
B
r 1h 4
h 6a 3
r 6a 12
P
OK
A
C
H D
B
h 6a 3
r内
1 4
h
6 12
a
r外
3 4
h=
6a 4
r棱
1 2
正方体的棱长
= 2a 4
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
R2O O 12BO 22
思考：若正四面体 变成正四棱锥 ，方法是否有 变化？
R2O O 12BO 22
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
考点1 直接法
（1）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一.
（2）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶
点上的三条棱长分别为1, 2,3 ，则此球的表面积为
.
考点1 直接法
变式 1、（1） 一个正方体的各顶点均在同一球的球面
上，若该正方体的表面积为 24 ，则该球的体积为
正方体的外接球
球直径等于正方体的（体）对角线
2R 3a
若正方体的棱长为a，则
3 a ⑴正方体的内切球直径＝ a ⑵正方体的外接球直径＝ 2 a ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
问题探究二 球与长方体又有哪些位置关系？
长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长分 、别 宽a为 、 、 b、 高 c，则 l a2b2c2 2R
有下面的关系: r R2 d2
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、 球与多面体的接、切
② S球面4R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接。球
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
多面体与球的接切(1)
高考导航
考纲要求
了解球的表面积和体积的计算公式
考情分析
立体几何在高考试卷中，基本上稳定在三道试题， 两小一大，共计 22 分.小题常考两种类型，一种主要 以三视图为载体，考查学生的空间想象能力，另一种 就是球的内容，属于中档题。2010 年位居在第十题， 11 年位居在第 15 题，12 年在 11 题位置，13 年位居在 第六题的位置，14 年未考查。
DAB=600 ，E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC分布
沿 ED 、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P ，则
三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
A. 4 3 27
B.
6 2
C.
6
8
D.
6 24
考点 2 构造法
（1）“墙角”问题，首先研究几何体的形状， 在采用相应的解决方法
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 一定重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
28
（2）正四面体的切接问题 例 3 、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
问题探究一
球心在正方体的中心，随着球的半径逐渐 增大，球与正方体有哪些特殊位置关系？
正方体 的内切、外接、棱切球
.r
a
正方体的内切球
球的直径等于正
方体棱长。2Ra
正方体的内切 球的半径是棱 长的一半
正方体的棱切球
球与正方体的棱相切
2R 2 a
切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
30
解法2 构造棱长为1的正方
体，如图。则A1、C1、B、D是 D 1 棱长为 2 的正四面体的顶点。
正方体的外接球也是正四面体 A 1
的外接球，此时球的直径
为 3，
S球=4(
3)2 2
3,
选A
D A
C1 B1
C B
31
（2）正四面体的切接问题 变式 3、在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2，
个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3
B. 4
C. 3 3 D. 6
解：设四面体为ABCD，O 1 为其外接
球心。球半径为R，O为A在平面BCD上
的射影，M为CD的中点。连结B O 1
S●
R t A 0 0 1 利 用 勾 股 定 理 解 得 RA●
R ●O 1
· ●O
●B
M
●
C
R 2 2 3 (2 3 R )2 ,解 得 R 2 3 ,所 以 S 球 4R 2 3.
.
（2）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16
B. 20
C. 24
D. 32
核对变式1答案
• 问题探究三
• 随着球半径的逐渐减小，球与正四面体有 哪些特殊位置关系？
1、球与正四面体的外接问题
设棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
R 6a 4
2、 球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是__圆__面___ ；
用一个平面去截球面， 截线是 ___圆______。
大圆--截面过___球__心__，半径等于球半径； 小圆--截面不过___球__心____
性质2: 球心和截面圆心的连线_垂__直_ 于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
例 2、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且
侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积
是
.
考点 2 构造法
变式 2、已知球 O 的面上四点 A、B、C、D， DA 平面ABC ， AB BC ， DA=AB=BC= 3 ，