最新多面体与球的接切(1)课件PPT
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30
解法2 构造棱长为1的正方
体，如图。则A1、C1、B、D是 D 1 棱长为 2 的正四面体的顶点。
正方体的外接球也是正四面体 A 1
的外接球，此时球的直径
为 3，
S球=4(
3)2 2
3,
选A
D A
C1 B1
C B
31
（2）正四面体的切接问题 变式 3、在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2，
有下面的关系: r R2 d2
பைடு நூலகம்
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、 球与多面体的接、切
② S球面4R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接。球
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
例 2、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且
侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积
是
.
考点 2 构造法
变式 2、已知球 O 的面上四点 A、B、C、D， DA 平面ABC ， AB BC ， DA=AB=BC= 3 ，
DAB=600 ，E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC分布
沿 ED 、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P ，则
三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
A. 4 3 27
B.
6 2
C.
6
8
D.
6 24
考点 2 构造法
（1）“墙角”问题，首先研究几何体的形状， 在采用相应的解决方法
正方体的外接球
球直径等于正方体的（体）对角线
2R 3a
若正方体的棱长为a，则
3 a ⑴正方体的内切球直径＝ a ⑵正方体的外接球直径＝ 2 a ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
问题探究二 球与长方体又有哪些位置关系？
长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长分 、别 宽a为 、 、 b、 高 c，则 l a2b2c2 2R
学情分析
几何体外接球对于学生来说是一个难点，主要有 如下问题（1）图形不会画，（2）在画出图形的情况下， 不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
二、学习目标
掌握与球有关的切接问题的三种方法。
基础
课本导读
感悟教材 · 学与思
1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做___球_____, 半圆的圆心叫做球的_球__心___， 半圆的半径叫做球的__半_径__ 。
P
OK
A
C
H D
B
h 6a 3
r内
1 4
h
6 12
a
r外
3 4
h=
6a 4
r棱
1 2
正方体的棱长
= 2a 4
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
R2O O 12BO 22
思考：若正四面体 变成正四棱锥 ，方法是否有 变化？
R2O O 12BO 22
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 一定重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
28
（2）正四面体的切接问题 例 3 、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四
R2O O 12BO 22
2.球与正四面体的棱切问题
设棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.
R 1正方体的棱长 2
= 2a 4
3.球与正四面体的内切问题
P
1
1
V3S底面h积3S全面r积
？
S底 面 积hS全 面 积r
A
OK
C S底面积 r 1
H D
S全面积 h 4
B
r 1h 4
h 6a 3
r 6a 12
考点1 直接法
（1）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则
该球的表面积为
.
.
（2）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶
点上的三条棱长分别为1, 2,3 ，则此球的表面积为
.
考点1 直接法
变式 1、（1） 一个正方体的各顶点均在同一球的球面
上，若该正方体的表面积为 24 ，则该球的体积为
.
（2）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16
B. 20
C. 24
D. 32
核对变式1答案
• 问题探究三
• 随着球半径的逐渐减小，球与正四面体有 哪些特殊位置关系？
1、球与正四面体的外接问题
设棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
R 6a 4
多面体与球的接切(1)
高考导航
考纲要求
了解球的表面积和体积的计算公式
考情分析
立体几何在高考试卷中，基本上稳定在三道试题， 两小一大，共计 22 分.小题常考两种类型，一种主要 以三视图为载体，考查学生的空间想象能力，另一种 就是球的内容，属于中档题。2010 年位居在第十题， 11 年位居在第 15 题，12 年在 11 题位置，13 年位居在 第六题的位置，14 年未考查。
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
问题探究一
球心在正方体的中心，随着球的半径逐渐 增大，球与正方体有哪些特殊位置关系？
正方体 的内切、外接、棱切球
.r
a
正方体的内切球
球的直径等于正
方体棱长。2Ra
正方体的内切 球的半径是棱 长的一半
正方体的棱切球
球与正方体的棱相切
2R 2 a
切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
2、 球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是__圆__面___ ；
用一个平面去截球面， 截线是 ___圆______。
大圆--截面过___球__心__，半径等于球半径； 小圆--截面不过___球__心____
性质2: 球心和截面圆心的连线_垂__直_ 于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3
B. 4
C. 3 3 D. 6
解：设四面体为ABCD，O 1 为其外接
球心。球半径为R，O为A在平面BCD上
的射影，M为CD的中点。连结B O 1
S●
R t A 0 0 1 利 用 勾 股 定 理 解 得 RA●
R ●O 1
· ●O
●B
M
●
C
R 2 2 3 (2 3 R )2 ,解 得 R 2 3 ,所 以 S 球 4R 2 3.
解法2 构造棱长为1的正方
体，如图。则A1、C1、B、D是 D 1 棱长为 2 的正四面体的顶点。
正方体的外接球也是正四面体 A 1
的外接球，此时球的直径
为 3，
S球=4(
3)2 2
3,
选A
D A
C1 B1
C B
31
（2）正四面体的切接问题 变式 3、在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2，
有下面的关系: r R2 d2
பைடு நூலகம்
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、 球与多面体的接、切
② S球面4R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接。球
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
例 2、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且
侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积
是
.
考点 2 构造法
变式 2、已知球 O 的面上四点 A、B、C、D， DA 平面ABC ， AB BC ， DA=AB=BC= 3 ，
DAB=600 ，E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC分布
沿 ED 、 EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P ，则
三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
A. 4 3 27
B.
6 2
C.
6
8
D.
6 24
考点 2 构造法
（1）“墙角”问题，首先研究几何体的形状， 在采用相应的解决方法
正方体的外接球
球直径等于正方体的（体）对角线
2R 3a
若正方体的棱长为a，则
3 a ⑴正方体的内切球直径＝ a ⑵正方体的外接球直径＝ 2 a ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
问题探究二 球与长方体又有哪些位置关系？
长方体的外接球
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长分 、别 宽a为 、 、 b、 高 c，则 l a2b2c2 2R
学情分析
几何体外接球对于学生来说是一个难点，主要有 如下问题（1）图形不会画，（2）在画出图形的情况下， 不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
二、学习目标
掌握与球有关的切接问题的三种方法。
基础
课本导读
感悟教材 · 学与思
1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做___球_____, 半圆的圆心叫做球的_球__心___， 半圆的半径叫做球的__半_径__ 。
P
OK
A
C
H D
B
h 6a 3
r内
1 4
h
6 12
a
r外
3 4
h=
6a 4
r棱
1 2
正方体的棱长
= 2a 4
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
R2O O 12BO 22
思考：若正四面体 变成正四棱锥 ，方法是否有 变化？
R2O O 12BO 22
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 一定重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
28
（2）正四面体的切接问题 例 3 、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四
R2O O 12BO 22
2.球与正四面体的棱切问题
设棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.
R 1正方体的棱长 2
= 2a 4
3.球与正四面体的内切问题
P
1
1
V3S底面h积3S全面r积
？
S底 面 积hS全 面 积r
A
OK
C S底面积 r 1
H D
S全面积 h 4
B
r 1h 4
h 6a 3
r 6a 12
考点1 直接法
（1）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则
该球的表面积为
.
.
（2）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶
点上的三条棱长分别为1, 2,3 ，则此球的表面积为
.
考点1 直接法
变式 1、（1） 一个正方体的各顶点均在同一球的球面
上，若该正方体的表面积为 24 ，则该球的体积为
.
（2）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16
B. 20
C. 24
D. 32
核对变式1答案
• 问题探究三
• 随着球半径的逐渐减小，球与正四面体有 哪些特殊位置关系？
1、球与正四面体的外接问题
设棱长为a的正四面体的外接球的半径R.
R 6a 4
多面体与球的接切(1)
高考导航
考纲要求
了解球的表面积和体积的计算公式
考情分析
立体几何在高考试卷中，基本上稳定在三道试题， 两小一大，共计 22 分.小题常考两种类型，一种主要 以三视图为载体，考查学生的空间想象能力，另一种 就是球的内容，属于中档题。2010 年位居在第十题， 11 年位居在第 15 题，12 年在 11 题位置，13 年位居在 第六题的位置，14 年未考查。
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
问题探究一
球心在正方体的中心，随着球的半径逐渐 增大，球与正方体有哪些特殊位置关系？
正方体 的内切、外接、棱切球
.r
a
正方体的内切球
球的直径等于正
方体棱长。2Ra
正方体的内切 球的半径是棱 长的一半
正方体的棱切球
球与正方体的棱相切
2R 2 a
切点：各棱的中点。 球心：正方体的中心。 直径： “对棱”中点连线 球的直径等于正方体一个面上的对角线长
2、 球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是__圆__面___ ；
用一个平面去截球面， 截线是 ___圆______。
大圆--截面过___球__心__，半径等于球半径； 小圆--截面不过___球__心____
性质2: 球心和截面圆心的连线_垂__直_ 于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3
B. 4
C. 3 3 D. 6
解：设四面体为ABCD，O 1 为其外接
球心。球半径为R，O为A在平面BCD上
的射影，M为CD的中点。连结B O 1
S●
R t A 0 0 1 利 用 勾 股 定 理 解 得 RA●
R ●O 1
· ●O
●B
M
●
C
R 2 2 3 (2 3 R )2 ,解 得 R 2 3 ,所 以 S 球 4R 2 3.