对经济数学中需求价格弹性与总收益关系的一点见解

需求价格弹性是刻划当商品价格变动时, 需求变动的强弱. 由于需求函数
Q f ( p ) 为单调递减函数, 为了用正数表示需求弹性, 于是用需求函数相对变
化率的相反数来定义需求价格弹性, 记为 , 即需求函数 Q f ( p ) 的弹性函数 为
dQ p p 。总收益或市场销售总额 R 是商品价格 p 与销售 f ' ( p) dp f ( p ) f ( p)
此式反映的是边际收益与需求价格弹性的关系, 通过对此关系的分析可进一步 反映总收益与需求价格弹性的关系。 二、分析需求价格弹性与总收益关系 关于需求弹性与总收益的关系为许多学者所关注， 关于总收益与需求弹性的 关系为许多学者所关注,赵树嫄先生主编的教材[1]及高鸿业先生主编的教材[2] 均讨论过该问题。 教材[1]的分析为: (1)若 1 , 需求变动的幅度小于价格变动的幅度. 此时 R ' 0 , 总收益 R 递增, 即价格上涨, 总收益增加, 价格下跌, 总收益减少。 (2)若 1 , 需求变动的幅度大于价格变动的幅度, 此时 R ' 0 , 总收益 R 递减, 即价格上涨, 总收益减少, 价格下跌, 总收益增加。 (3)若 1 ,需求变动的幅度等于价格变动的幅度, 此时 R ' 0 , 总收益 R 取 得最大值。 教材[2]的分析为: (1)若 1 , 商品为缺乏弹性商品, 提价会使总收益增加, 减价会使总收益 减少。 (2)若 1 , 商品为富有弹性商品, 减价会使总收益增加, 提价会使总收益 减少。 (3) 若 1 商品为单位弹性商品, 总收益保持不变。 通过对比， 教材[1]和教材[2]分析中的结论 （1） 、 （2） 相同且叙述是正确的， 但对于结论（3）却各有偏差。
Ey E x f ( x) y ' Ex Ex y
它反映随 x 的变化 f ( x) 变化幅度的大小, 也就是 f ( x) 对 x 变化反应的强烈 程度或灵敏度. 而 f ( x) 在 x x0 处的弹性 变时， f ( x) 改变
E f ( x0 ) %。 Ex E f ( x0 ) 的经济意义是:当 x 产生 1%改 Ex
c 事实上，教材[1]在（3）中分析忽略了需求价格函数为 Q 和 Q e p 这两 p
1
种特殊情况。 对于 Q
c dQ p c p ， ( 2 ). 1 ，而 由 R ' f ( p )(1 ) 可得 p dp f ( p ) p c/ p
R ' 0 ，但此时 R ' 0 只是只是总收益 R 取得最大值的必要条件。 这是因为: R pQ p. c c c （常数） , 因此称 Q 为不变弹性曲线。 p p
在市场经济管理工作中, 进行定量分析常用的函数有需求函数与总收益函 数.设 p 表示商品的价格, Q 表示需求量, 则 Q f ( p ) 称为需求函数.。 一般说来, 商品价格低, 需求量大; 商品价格高, 需求量小, 因此需求函数
Q f ( p ) 为单调减少函数. 因而 Q f ( p ) 的反函数 p f 1 (Q ) 也称为需求函数.
在 1 时 R e 取得最小值而不是最大值。 教材[2]在（3）中分析更是把特殊需求价格函数 Q
c 当做一般的需求函数 p
去对待了，, 当需求函数不是 Q
1
c 时,（3）中的结论不一定成立.，例如前面 p
提到的 Q e p 。当然，更容易找到 1 ， R ' 0 时， R 取最大值的例子。 综上所述，关于需求价格弹性与总收益关系的分析中的第（3）点应表述为： 即当 1 时, 需求变动的幅度等于价格变动的幅度, 此时 R ' 0 , 总收益可取 得最大值、最小值或保持不变。 参考文献: 〔1〕 赵树嫄.经济应用数学基础〔M〕.中国人民大学出版社,1999. 〔2〕 高鸿业.西方经济学〔M〕.中国经济出版社,1998.
1 p
对于 Q e ，显然是价格 p 的单调减少函数, p 0 ,此时商品的需求点弹性
dQ p 1 p 1 函数 e p ( 2 ) 1 易知其值域为(0,+∞),即 可以小于 1、 dp f ( p ) p p ep
1
大于 1 也可以等于 1,易得 p
1
1

，该商品的销售总收益 R p.Q p.e p e .
1ຫໍສະໝຸດ Baidu

构
成了以 为自变量在(0,+∞)内有定义的函数。 由
dR 1 1 e . 2 .e 0 1 d dR 0 ， R 关于 单调减少。 d
显然当 1 时 ,即
当 1 时,
dR 0 ,即 R 关于 单调增加。 d
量 Q 的乘积, 即 R p.Q pf ( p ) 。 总收益的绝对变化率 （导数） 称为边际收益,
则边际收益为: R ' ( pf ( p ))' f ( p ) pf ' ( p ) f ( p )(1 f ' ( p )
p ) f ( p )(1 ) f ( p)
对经济数学中需求价格弹性与总收益关系的一点见解 方壮英 （广东工业大学华立学院 数学教研组 广州增城 511325）
摘要 本文就经济数学中需求弹性和总收益之间的关系比较有关学者的
结论提出自己的一些见解。 关键词 弹性 总收益
一、概念综述 在当代西方经济学中，对需求弹性和总收益之间的关系作了较为系统的论 述，但其中仍有一些值得商榷的地方，为说明缘由，我们先了解需求弹性函数和 总收益函数的概念。 在经济数学中我们称函数的绝对变化率为边际函数——导数, 称函数的相对变化率为弹性函数, 而弹性函数等于边际函数与平均函数之比. 通常函数 y f ( x ) 的弹性函数记为: