八年级数学(上册)《轴对称图形》经典例题含解析

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八年级数学(上册)《轴对称图形》经典例题含解析

《第2章轴对称图形》一、选择题1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A．B．C．D．3．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或174．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30° B．36° C．40°D．45°5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．46．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是（）A．BF=EF B．DE=EF C．∠EFC=45°D．∠BEF=∠CBE7．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A．（）n•75° B．（）n﹣1•65°C．（）n﹣1•75°D．（）n•85°8．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形9．如图是P1、P2、…、P10十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接P1P2、P1P10、P9P10、P5P6、P6P7，判断小玉再连接下列哪一条线段后，所形成的图形不是轴对称图形？（）A．P2P3 B．P4P5C．P7P8 D．P8P910．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4 B．C．3 D．2二、填空题11．下面有五个图形，与其它图形众不同的是第______个．12．如图，在2×2方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出方格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有______个．13．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是______．14．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=______°．15．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是______．16．如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=______°．17．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是______．18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为______．19．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有______种．20．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为______．三、解答题21．如图，在由边长为1的小正方形组成的10×10的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A，B，C，D分别在网格的格点上．（1）请你在所给的网格中画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l 对称；（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形A1B1C1D1的面积．22．如图，在△ABC中，∠C=90度．（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．23．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．24．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．25．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BD=CE，BE=CF，如果点G为DF的中点，那么EG与DF垂直吗？26．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD、AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′﹒（1）求证：△ABD≌△ACD′；（2）若∠BAC﹦120°，求∠DAE的度数．27．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．《第2章轴对称图形》参考答案与试题解析一、选择题1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2．一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论．故选C．【点评】此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注意培养．3．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16．综上所述，三角形的周长为16或17．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．4．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30° B．36° C．40°D．45°【考点】等腰三角形的性质．【分析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【考点】角平分线的性质．【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC•EF=×5×2=5，故选C．【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．6．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是（）A．BF=EF B．DE=EF C．∠EFC=45°D．∠BEF=∠CBE【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的三线合一得到BF=FC，根据直角三角形的性质判断A；根据直角三角形的性质判断B；根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质判断C，根据直角三角形的性质判断D．【解答】解：∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=FC，∵BE⊥AC，∴EF=BC=BF，A不合题意；∵DE=AB，EF=BC，不能证明DE=EF，B符合题意；∵DE垂直平分AB，∴EA=EB，又BE⊥AC，∴∠BAC=45°，∴∠C=67.5°，又FE=FC，∴∠EFC=45°，C不合题意；∵FE=FB，∴∠BEF=∠CBE；故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A．（）n•75° B．（）n﹣1•65°C．（）n﹣1•75°D．（）n•85°【考点】等腰三角形的性质．【专题】规律型．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A n为顶点的内角度数．【解答】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C==75°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；同理可得，∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．8．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】首先根据等边三角形的性质，得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，则∠BCE=∠ACD，从而根据SAS证明△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，BE=AD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点，得BP=AM，根据SAS证明△BCP≌△ACM，得PC=MC，∠BCP=∠ACM，则∠PCM=∠ACB=60°，从而证明该三角形是等边三角形．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠BCE=∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．又点P与点M分别是线段BE和AD的中点，∴BP=AM．∴△BCP≌△ACM．∴PC=MC，∠BCP=∠ACM．∴∠PCM=∠ACB=60°．∴△CPM是等边三角形．故选：C．【点评】三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用，本题结合三角形全等的知识，考查了等边三角形的性质．9．如图是P1、P2、…、P10十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接P1P2、P1P10、P9P10、P5P6、P6P7，判断小玉再连接下列哪一条线段后，所形成的图形不是轴对称图形？（）A．P2P3 B．P4P5C．P7P8 D．P8P9【考点】利用轴对称设计图案．【分析】利用轴对称图形的性质分别分析得出即可．【解答】解：由题意可得：当连接P2P3，P4P5，P7P8时，所形成的图形是轴对称图形，当连接P8P9时，所形成的图形不是轴对称图形．故选：D．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．10．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4 B．C．3 D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴=，∴CD=，BD=BC﹣CD=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，∴DM=，MB=BD﹣DM=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴=，∴BE===．故选B．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题11．下面有五个图形，与其它图形众不同的是第③个．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第①②④⑤个图形是轴对称图形，第③个不是．故答案为：③．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．12．如图，在2×2方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出方格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 5 个．【考点】利用轴对称设计图案．【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形进行画图即可．【解答】解：如图：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有△ABD、△BCD、△FBE、△HCE，△AFG，共5个．故答案为：5．【点评】本题考查轴对称图形的定义，以及利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．13．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 4 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=CD，∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作出图形并熟记性质是解题的关键．14．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= 15 °．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°﹣40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=65°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°，故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．15．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是9 ．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．故答案为：9．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．16．如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= 70 °．【考点】轴对称的性质；平行线的判定与性质．【专题】常规题型．【分析】先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．【解答】解：∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形，∴DB=DE，∵∠BDE=70°，∴∠ABD==55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，∴∠BAC=∠BAD=35°，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．故答案为：70．【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，判断出四边形BDEC是菱形并得到该图象关于直线AB成轴对称是解题的关键．17．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是40°．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，得到∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，结合图形计算即可．【解答】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴PA=PB，QA=QC，∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=40°，故答案为：40°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为60°或120°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】计算题；分类讨论．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；当高在三角形外部时，顶角是60°．故答案为：60°或120°．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．19．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有13 种．【考点】利用轴对称设计图案．【专题】压轴题．【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．【解答】解：如图所示：故一共有13做法，故答案为：13．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．20．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为8 ．【考点】等腰三角形的性质．【专题】应用题．【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为8．【点评】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．三、解答题21．如图，在由边长为1的小正方形组成的10×10的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A，B，C，D分别在网格的格点上．（1）请你在所给的网格中画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l 对称；（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形A1B1C1D1的面积．【考点】作图-轴对称变换．【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；（2）利用矩形的面积减去四个顶点上三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图所示．（2）S四边形A1B1C1D1=3×4﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×2=12﹣1﹣1﹣﹣2=．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．22．如图，在△ABC中，∠C=90度．（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】作图题．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线即可；（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．那么点P是∠B的平分线和线段AB的垂直平分线的交点．【解答】解：（1）（2）连接BP．∵点P到AB、BC的距离相等，∴BP是∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠PBC．又∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴∠A=∠ABP．∴．【点评】用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．23．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．24．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．【专题】开放型．【分析】（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，（2）先求出∠ABC=∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．【解答】解：（1）①②；①③．（2）选①③证明如下，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求∠ABC=∠ACB．25．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BD=CE，BE=CF，如果点G为DF的中点，那么EG与DF垂直吗？【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】连接DE，EF，易证△BDE≌△CFE，可得DE=EF，可证△DGE≌△FGE，可求得∠DGE=∠FGE=90°．【解答】解：连接DE，EF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE和△CFE中，，∴△BDE≌△CFE（SAS），∴DE=EF，在在△DGE和△FGE中，，∴△DGE≌△FGE（SSS），∴∠DGE=∠FGE，∵∠DGE+∠FGE=180°，∴∠DGE=∠FGE=90°，∴EG⊥DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证DE=EF是解题的关键．26．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD、AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′﹒（1）求证：△ABD≌△ACD′；（2）若∠BAC﹦120°，求∠DAE的度数．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质．【分析】（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可；（2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可．【解答】（1）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，∴AD=AD′，∵在△ABD和△ACD′中，∴△ABD≌△ACD′；（2）解：∵△ABD≌△ACD′，∴∠BAD=∠CAD′，∴∠BAC=∠DAD′=120°，∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，∴∠DAE=∠D′AE=∠DAD′=60°，即∠DAE=60°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、对称的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题型较好，难度适中．27．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【考点】几何变换综合题；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；多边形内角与外角．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）由EN∥AD和点M为DE的中点可以证到△ADM≌△NEM，从而证到M为AN的中点．（2）易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．（3）延长AB交NE于点F，易得△ADM≌△NEM，根据四边形BCEF内角和，可得∠ABC=∠FEC，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．【解答】（1）证明：如图1，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M为DE的中点，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∴．∴△ADM≌△NEM．∴AM=MN．∴M为AN的中点．（2）证明：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明：如图3，延长AB交NE于点F，∵AD∥NE，M为中点，∴易得△ADM≌△NEM，∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．∵AD∥NE，∴AF⊥NE，在四边形BCEF中，∵∠BCE=∠BFE=90°∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°∵∠FBC+∠ABC=180°∴∠ABC=∠FEC在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．。

部编数学八年级上册专题07轴对称及轴对称图形画法问题(解析版)含答案

2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题07 轴对称及轴对称图形画法问题一、选择题1.（2023深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．2. （2023广东省）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．符合轴对称图形的只有A选项，而B、C、D选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合；故选A．【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．3. （2023湖南湘潭）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（）A. 爱B. 我C. 中D. 华【答案】C【解析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．即将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形．4.（2023江苏连云港）在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.下列图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6. 下列图形中，对称轴最多是（）A. 等边三角形 B. 矩形C. 正方形D. 圆【答案】D【解析】因为等边三角形有三条对称轴；矩形有两条对称轴；正方形有四条对称轴；圆有无数条对称轴.一般地，正多边形的对称轴的条数等于边数．故选D.7. （2023山东聊城）如图，在直角坐标系中，ABC V 各点坐标分别为()2,1A -，()1,3B -，()4,4C -．先作ABC V 关于x 轴成轴对称的111A B C △，再把111A B C △平移后得到222A B C △．若()22,1B ，则点2A 坐标为（）A. ()1,5B. ()1,3C. ()5,3D. ()5,5【答案】B【解析】三点()2,1A -，()1,3B -，()4,4C -的对称点坐标为()12,1A --，()11,3B --，()4,4C --，结合()22,1B ，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可．【详解】∵三点()2,1A -，()1,3B -，()4,4C -的对称点坐标为()12,1A --，()11,3B --，()4,4C --，结合()22,1B ，∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，的故2A 坐标为()1,3．故选B ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键．8. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用轴对称图形的概念可得答案．A ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D ．是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．9.下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．A.不是轴对称图形，故A 错误；B.不是轴对称图形，故B 错误；C.是轴对称图形，故C 正确；D.不是轴对称图形，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．10.如图,△ABC 关于直线l 的对称图形是△DEF ，下列判断错误的是（）A. AB=DEB.BC ∥EFC.直线l ⊥BED.∠ABC=∠DEF 【答案】B【解析】轴对称图形的相关性质。

初中数学八年级上册轴对称练习题含答案

初中数学八年级上册轴对称练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中∠1叫做入射角，∠2叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（）A.A号袋B.B号袋C.C号袋D.D号袋2. 下面4个图案，其中是轴对称图形的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个3. 小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8:00的是( )A. B. C. D.4. 下列图案不是轴对称图形的是( )A. B.C. D.5. 从镜子中看到钟的时间是8点25分，正确的时间应是（）A.3点45分B.3点35分C.3点30分D.3点25分6. 如图，已知∠AOB=30∘，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，P1P2，设P1P2交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN．若PM=1，PN=2，MN=3，则OP1的长为（）A.4B.5C.6D.77. 一辆汽车车牌如图所示，则在正面看它在马路上水中的倒影为（）A.B.C.D.8. 到三角形三个顶点的距离相等的点是()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点9. 如图，在△ABC 中，∠B =70∘，DE 是AC 的垂直平分线，且∠BAD:∠BAC =1:3，则∠C 的度数为（）A.48∘B.3307º C.46∘D.44∘10. 如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线L 成轴对称，则下列结论中错误的是( )A.AB =A′B′B.∠B =∠B′C.AB // A′C′D.直线L 垂直平分线段AA′11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0, 8)，点B(6, 8)，若点P 同时满足下列条件：①点P 到A ，B 两点的距离相等；②点P 到∠xOy 的两边距离相等．则点P 的坐标为________.12. 如图，四边形ABCD 是轴对称图形，BD 所在的直线是它的对称轴，AB =3.1cm ，CD=2.3cm．则四边形ABCD的周长为________．13. 证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．.已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F.求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P证明：∵点P是AB边垂直平分线上的一点，∴ ________=________(________)．同理可得，PB=________.∴ ________=________（等量代换）．∴ ________（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________）∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且________.14. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为________度．15. 如图，已知CD垂直平分AB．若AC=4, AD=5，则四边形ADBC的周长是________．AB的长为半径作弧，两弧相16. 如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于12交于C，D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB=________．17. 如图，中，AB的垂直平分线交AC于点M，若，，，则的周长为________cm．18. 如图,在△ABC中,AB=AC, DE是AB的垂直平分线,△BCE的周长为24, BC=10则AB的长为________19. 如图，在一个规格为6×12（即6×12个小正方形）的球台上，有两个小球A，B．若击打小球A，经过球台边的反弹后，恰好击中小球B，那么小球A击出时，应瞄准球台边上的点________．（P1至P4点）20. 如图，在▱ABCD中，按如下顺序作图：①以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点F；DF长为半径画弧，两弧交于点G；②分别以点D，点F为圆心，大于12③连接DF，作射线AG，交DC于点E.则四边形ADEF是________形；若AD=5，DF=6，则AE=________.21. 如图，已知：△ABC中，试说明：(1)用尺规作图作出边AB、BC的垂直平分线并相交于点P（要求：不写作法，保留作图痕迹）(2)求证：P在AC的垂直平分线上．22. 如图，在△ABC中，AB>AC．(1)用尺规作图法在AB上找一点P，使得PB=PC．（保留作图痕迹，不用写作法）；(2)在(1)的条件下，连结PC，若AB=6，AC=4，求△APC的周长．23. 如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用三种方法在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形．24. 如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入哪一个球袋？说明理由．25. 如图，△ABC中，∠BAC=110∘，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．(1)求∠DAF的度数；(2)如果BC=10cm，求△DAF的周长．26. 如图，P为∠AOB内的一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1、P2，交OA于M，交OB于N，若P1P2=13cm，求△MNP的周长？27. 如图，已知△ABC≅△DEF，且A，B，D，E四点在同一直线上，(1)如图1，请你用无刻度的直尺作出线段BE的垂直平分线；(2)如图2，请你用无刻度的直尺作出线段AD的垂直平分线.28. 如图，下面是一些交通标志，你能从中获得哪些信息？29. 已知：直线a1，a2垂直相交于O，于两直线外一点P，求作点P关于直线a1的对称点P′，点P关于直线a2的对称点P″，试证明：OP′=OP″．30. 两个大小不同的圆可以组成如图中的五种图形，它们仍旧是轴对称图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么特点．31. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AD平分∠BAC交BC于点D．(1)求证：点D在AB的垂直平分线上；(2)若CD=2，求BC的长．32. 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为点E，交AB于点D，若CE=5，△ABC的周长为25，求△ADC的周长．33. 如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；（2）若∠MON＝30∘，求∠MAN的度数；（3）若∠MON＝45∘，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．34. 如图，△ABC的周长为20cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，若AE= 4cm，△ABD的周长为________cm．35. 指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．36. 如图的四个图案，都是轴对称图形，它们分别有着自己的含义，比如图(1)可以代表针织品、联通；图(2)可以代表法律、公正；图(3)可以代表航海、坚固；图(4)可以代表邮政、友谊等，请你自己也来设计一个轴对称图形，并请说明你所设计的轴对称图形的含义．37. 如图，已知：在△ABC中，AB，BC边上的垂直平分线相交于点P，求证：点P在AC的垂直平分线上．38. 如图所示，已知AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上的一点，问：BE与CE相等吗？请说明理由．39. 搜集各国的国旗标志，举出5个以上具有轴对称图形的标志，并画出它们所有的对称轴．40. 指出下列图形中的轴对称图形，是轴对称图形的指出对称轴．参考答案与试题解析初中数学八年级上册轴对称练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】生活中的轴对称现象【解析】根据图形画出图示可直接得到答案．【解答】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中，故选：C．2.【答案】B【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，观察可知前三个是轴对称图形，第四个不是轴对称图形.故选B.3.【答案】D【考点】镜面对称【解析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称．【解答】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左右翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时，6时的直线的对称点是4点，那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子，则应该在C和D选项中选择，而D更接近8点．【答案】A【考点】轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：由题A是中心对称图形不是轴对称图形，BCD是轴对称图形.故选A.5.【答案】B【考点】镜面对称【解析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻8点25分与3点35分成轴对称，所以此时实际时刻为3点35分．故选B．6.【答案】【考点】轴对称的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】A【考点】镜面对称【解析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片与A显示的图片成轴对称，所以在正面看它在马路上水中的倒影为A显示的图片．故选A．8.【答案】D【考点】根据：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【解答】到线段两个端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，由此可得出要到三角形三个顶点的距离相等的交点是三条边的垂直平分线的交点．故选：D9.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质【解析】由DE垂直平分AC可得∠DAC=∠DCA；∠ADB是△ACD的外角，故∠DAC+∠DCA=∠ADB又因为∠B=70∘⇒∠BAD=180∘−∠B−∠BAD，由此可求得角度数．【解答】解：设∠BAD为x，则∠BAC=3x，∵DE是AC的垂直平分线，∴∠C=∠DAC=3x−x=2x，根据题意得：180∘−(x+70∘)=2x+2x，解得x=22∘，∴∠C=∠DAC=22∘×2=44∘．故选：D．10.【答案】C【考点】线段的垂直平分线的性质定理的逆定理轴对称的性质线段垂直平分线的性质【解析】利用轴对称的性质对各选项进行判断．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线L成轴对称，∴AB=A′B′，∠B=∠B′，直线l垂直平分AA′．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】(3,3)【考点】线段垂直平分线的定义角平分线的定义【解析】性质解答即可．【解答】解：∵点A(0, 8)，点B(6, 8)，点P到A，B两点的距离相等，∴点P在线段AB的垂直平分线x=3上.∵点P到∠xOy的两边距离相等，∴点P在∠xOy的平分线上，∴点P的坐标为(3, 3).故答案为：(3,3).12.【答案】10.8cm【考点】轴对称的性质【解析】根据轴对称图形的性质得出AB=BC=3.1cm，CD=AD=2.3cm，进而求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB=3.1cm，CD=2.3cm，∴AB=BC=3.1cm，CD=AD=2.3cm，则四边形ABCD的周长为：3.1+3.1+2.3+2.3=10.8(cm)．故答案为：10.8cm．13.【答案】解：∵点P是AB边垂直平分线上的一点，∴ AP=BP(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)同理可得，PB=PC∴ PA=PC（等量代换）．)∴ P在AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且PA=PB=PC.故答案为:AP,BP,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;PC;PA,PC;P在AC的垂直平分线上,垂直平分线上;PA=PB=PC.【考点】线段垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质定理的逆定理【解析】根据线段垂直平分线的性质定理和逆定理即可解答本题.解：∵点P是AB边垂直平分线上的一点，∴ AP=BP(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)同理可得，PB=PC∴ PA=PC（等量代换）．)∴ P在AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且PA=PB=PC.故答案为:AP,BP,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;PC;PA,PC;P在AC的垂直平分线上,垂直平分线上;PA=PB=PC.14.【答案】100【考点】轴对称的性质【解析】根据轴对称的性质先求出∠C等于∠C′，再利用三角形内角和定理即可求出∠B．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠C=∠C′=30∘，∴∠B=180∘−∠A−∠C=180∘−50∘−30∘=100∘．故答案为：100．15.【答案】18【考点】线段垂直平分线的性质【解析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质.【解答】解：∵CD垂直平分AB，若AC=4，AD=5，∴AC=BC=4，AD=BD=5，∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=18．故答案为：18．16.【答案】5线段垂直平分线的性质作线段的垂直平分线【解析】根据线段垂直平分线的作法可知直线CD是线段AB的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质即可解决问题．【解答】解：由题意得，直线CD是线段AB的垂直平分线，∵点F在直线CD上，∴FA=FB，∵FA=5，∴FB=5．故答案为：5．17.【答案】12【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据线段垂直平分线的性质可得BM=AM=4cm，然后可得△MBC的周长．【解答】：AB的垂直平分线交AC于点M，BM=AM=4cmCM=3cm,BC=5cm∴△MBC的周长为：4+3+5=12(cm)故答案为：12．18.【答案】14【考点】线段垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质定理的逆定理【解析】根据“线段垂直平分线的性质定理”即可得到AE=EE，由于△BCE的周长为24，利用线段的等量代换即可得到|AC+BC的值；已知BC的长度，即可得到AC的长度，由于AB=AC，则问题得解．【解答】∼DE是AB的垂直平分线，AE=EE.△BCE的周长为24，BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=24BC=10AC=14.AB=ACAB=1A【答案】P2【考点】生活中的轴对称现象【解析】认真读题，作出点A关于P1P2所在直线的对称点A′，连接A′B与P1P2的交点即为应瞄准的点．【解答】如图，应瞄准球台边上的点P2．20.【答案】菱,8【考点】作线段的垂直平分线菱形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由①可知，AD=AF，由②可知，GD=GF，所以AE为线段DF的垂直平分线，则DE=EF，设AE与DF交于点O，∵ DE//AF，∴ ∠DEA=∠FAE.在△DOE和△FOA中，{∠DEA=∠FAE，DO=OF，∠DOE=∠FOA，∴ △DOE≅△FOA，∴ DE=AF，∴ 四边形ADEF是菱形；∵ AD=5，DF=6，∴ DO=3，∴ AO=√AD2−DO2=4，∴ AE=8.故答案为：菱；8.三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）(1)解：如图，P为所求作的点.(2)证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC，∴点P在AC的垂直平分线上．【考点】线段的垂直平分线的性质定理的逆定理作线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质【解析】(1)根据垂直平分线的作法得出即可；（2）可用作圆的方法作出线段AB、BC的垂直平分线；因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA=PB=PC 即可．【解答】(1)解：如图，P为所求作的点.(2)证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC，∴点P在AC的垂直平分线上．22.【答案】(2)∵ PB=PC，AB=6，AC=4，∴ △APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+PB=4+6=10．【考点】作线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：(1)答案如图所示．(2)∵ PB=PC，AB=6，AC=4，∴ △APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+PB=4+6=10．23.【答案】解：如图所示．【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念，先确定出不同情况的对称轴，然后补全小正方形即可．【解答】解：如图所示．24.【答案】解：该球最后将落入2号球袋．理由：球击到边框上一点，过这点和边框垂直的直线就是球击中边框前后路径的对称轴，如图所示，球击中边框反弹后的路径为虚线，最后指向2号袋．【考点】生活中的轴对称现象【解析】由已知条件，按照反射的原理画图即可得出结论．【解答】解：该球最后将落入2号球袋．理由：球击到边框上一点，过这点和边框垂直的直线就是球击中边框前后路径的对称轴，如图所示，球击中边框反弹后的路径为虚线，最后指向2号袋．25.解：(1)设∠B=x，∠C=y．∵∠BAC+∠B+∠C=180∘，∴110∘+∠B+∠C=180∘，∴x+y=70∘．∵AB，AC的垂直平分线分别交BA于E，交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．∴∠DAF=∠BAC−(x+y)=110∘−70∘=40∘．(2)∵AB，AC的垂直平分线分别交BA于E，交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴△DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10(cm)．【考点】线段垂直平分线的性质【解析】（1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA= FC，则∠EAD=∠B，∠FAC=∠C，得出∠DAF=∠BAC−∠EAD−∠FAC=110∘−(∠B+∠C)求出即可．（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+ DF=BC，即可得出答案．【解答】解：(1)设∠B=x，∠C=y．∵∠BAC+∠B+∠C=180∘，∴110∘+∠B+∠C=180∘，∴x+y=70∘．∵AB，AC的垂直平分线分别交BA于E，交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．∴∠DAF=∠BAC−(x+y)=110∘−70∘=40∘．(2)∵AB，AC的垂直平分线分别交BA于E，交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴△DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10(cm)．26.【答案】解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM=P1M，PN=P2N，∴△MNP的周长等于P1P2=13cm．【考点】轴对称的性质【解析】根据轴对称的性质可得PM=P1M，PN=P2N，从而求出△MNP的周长等于P1P2，从而得解．【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM=P1M，PN=P2N，∴△MNP的周长等于P1P2=13cm．27.【答案】解：(1)由图可得两个图形为全等三角形，并且为轴对称图形，则直线l即为所求，如图：(2)如图，直线l即为所求.【考点】作线段的垂直平分线【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由图可得两个图形为全等三角形，并且为轴对称图形，则直线l即为所求，如图：(2)如图，直线l即为所求.28.【答案】解：答案不唯一，(1)(2)(3)中的图案都是轴对称图形，(4)不是轴对称图形．【考点】生活中的轴对称现象【解析】根据图形中的几个交通标志的轴对称性可以作出判断，答案不唯一．【解答】解：答案不唯一，(1)(2)(3)中的图案都是轴对称图形，(4)不是轴对称图形．29.【答案】证明：如图，连接PP′、PP″、OP，∵P关于直线a1的对称点P′，∴OP′=OP，∵点P关于直线a2的对称点P″，∴OP″=OP，∴OP′=OP″．【考点】轴对称的性质【解析】作出图形，连接PP′、PP″、OP，根据轴对称的性质可得OP′=OP，OP″=OP，然后证明即可．【解答】证明：如图，连接PP′、PP″、OP，∵P关于直线a1的对称点P′，∴OP′=OP，∵点P关于直线a2的对称点P″，∴OP″=OP，∴OP′=OP″．30.【答案】解：它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线．【考点】轴对称图形【解析】根据每个圆都是轴对称图形，且对称轴是经过圆心的直线，则两个不是同心圆的圆组成的图形的对称轴是经过两个圆的圆心的直线．【解答】解：它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线．31.【答案】(1)证明：∵∠C=90∘，∠B=30∘，∴∠BAC=60∘，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30∘，∴∠B=∠BAD，∴DA=DB，∴点D在AB的垂直平分线上.(2)解：在Rt△ADC中，AD=2CD=4，∴BD=AD=4，∴BC=BD+CD=4+2=6．【考点】线段的垂直平分线的性质定理的逆定理含30度角的直角三角形线段垂直平分线的性质【解析】无无【解答】(1)证明：∵∠C=90∘，∠B=30∘，∴∠BAC=60∘，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30∘，∴∠B=∠BAD，∴DA=DB，∴点D在AB的垂直平分线上.(2)解：在Rt△ADC中，AD=2CD=4，∴BD=AD=4，∴BC=BD+CD=4+2=6．32.【答案】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BD=CD，BE=CE=5，∴BC=BE+CE=10，∵△ABC的周长为25，∴AB+AC=25−10=15，∴△ADC的周长为：AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=15．【考点】线段垂直平分线的性质【解析】由DE是BC的垂直平分线，即可求得BD=CD与BC的值，又由△ABC的周长为25，即可求得AB+AC的值，继而求得△ADC的周长．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BD=CD，BE=CE=5，∴BC=BE+CE=10，∵△ABC的周长为25，∴AB+AC=25−10=15，∴△ADC的周长为：AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=15．33.【答案】∵直线OM是AB的垂直平分线，∴MA＝MB，同理，NA＝NC，∵△AMN的周长为6，∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；∵∠MON＝30∘，∴∠OMN+∠ONM＝150∘，∴∠BME+∠CNF＝150∘，∵MA＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，同理，∠ANC＝2∠CNF，∴∠BMA+∠ANC＝300∘，∴∠AMN+∠ANM＝360∘−300∘＝60∘，∴∠MAN＝180∘−60∘＝120∘；由（2）的作法可知，∠MAN＝90∘，由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC设MN＝x，∴NA＝NC＝12−3−x＝9−x，由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+(9−x)2，解得，x＝5，即MN＝5．【考点】线段垂直平分线的性质【解析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA＝MB，NA＝NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；（3）根据（2）的解法得到∠MAN＝90∘，根据勾股定理列式计算即可．∵直线OM是AB的垂直平分线，∴MA＝MB，同理，NA＝NC，∵△AMN的周长为6，∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；∵∠MON＝30∘，∴∠OMN+∠ONM＝150∘，∴∠BME+∠CNF＝150∘，∵MA＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，同理，∠ANC＝2∠CNF，∴∠BMA+∠ANC＝300∘，∴∠AMN+∠ANM＝360∘−300∘＝60∘，∴∠MAN＝180∘−60∘＝120∘；由（2）的作法可知，∠MAN＝90∘，由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC设MN＝x，∴NA＝NC＝12−3−x＝9−x，由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+(9−x)2，解得，x＝5，即MN＝5．34.【答案】12【考点】线段垂直平分线的性质【解析】此题主要考查了线段的垂直平分线定理，三角形的周长公式，整体代入，解本题的关键是求出AB+BC的值.【解答】解：∵ DE是AC的垂直平分线，∴ AD=CD，AC=2AE，∵ AE=4cm，∴ AC=8cm，∴ △ABC的周长为20cm，∴ AB+BC+AC=20，∴ AB+BC=20−AC=12cm，∴ △ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=12cm，故答案为：12．35.解：【考点】生活中的轴对称现象【解析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．【解答】解：36.【答案】解：．（答案不唯一）．【考点】轴对称图形【解析】结合轴对称图形的概念进行解答即可．【解答】解：．（答案不唯一）．37.【答案】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．∴点P必在AC的垂直平分线上．【考点】线段垂直平分线的性质【解析】因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA是否等于PC即可．【解答】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．∴点P必在AC的垂直平分线上．38.【答案】解：连接BC，交AE于F，∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．同理，D点也在线段BC的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD是线段BC的垂直平分线．∵E是AD延长线上的一点，∴BE=EC．【考点】轴对称的性质【解析】根据垂直平分线的定义可分别判定：点A在线段BC的垂直平分线上，D点也在线段BC 的垂直平分线上，所以可推出AD是线段BC的垂直平分线．从而求得BE=EC．【解答】解：连接BC，交AE于F，∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．同理，D点也在线段BC的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD是线段BC的垂直平分线．∵E是AD延长线上的一点，∴BE=EC．39.【答案】解：秘鲁；圣卢西亚；法国；老挝．答案不唯一．【考点】生活中的轴对称现象【解析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．【解答】解：秘鲁；圣卢西亚；法国；老挝．答案不唯一．40.【答案】解：根据轴对称图形的定义可知：第一个、第二个、第四个图形都是轴对称图形．对称轴如图：【考点】生活中的轴对称现象【解析】根据轴对称图形的定义，即可作出判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：第一个、第二个、第四个图形都是轴对称图形．对称轴如图：。

苏科版八年级上册数学第二章轴对称图形含答案(满分必备)

苏科版八年级上册数学第二章轴对称图形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列命题是真命题的是（）．A.有两条边、一个角相等的两个三角形全等。

B.等腰三角形的对称轴是底边上的中线。

C.全等三角形对应边上的中线相等。

D.有一个角是60°的三角形是等边三角形。

2、如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（）A.15°B.30°C.45°D.60°3、有一张平行四边形纸片ABCD，已知，按如图所示的方法折叠两次，则的度数等于（）A.55°B.50°C.45°D.40°4、到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条垂直平分线的交点5、在下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6、如图，在△ABC中，AB＞AC，分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD.若AB＝7，AC＝5，则△ACD的周长为（）A.2B.12C.17D.197、剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A. B. C. D.8、△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A.△ABC的周长B.△AFH的周长C.四边形FBGH的周长D.四边形ADEC的周长9、如图，C、D在以线段AB为直径的⊙O上，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）A.10°B.20°C.30°D.40°10、已知AB=8cm，小红在作线段AB的垂直平分线时操作如下：分别以A和B 为圆心，5cm的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求，根据此种作图方法所得到的四边形ADBC的面积是（）A.12cm 2B.24cm 2C.36cm 2D.48cm 211、如图，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为（）A.80°B.100°C.120°D.160°12、如图，把一矩形纸片OABC放入平面直角坐标系xoy中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，现将纸片OABC沿OB折叠，折叠后点A落在点A'的位置，若OA=1，OB=2，则点A'的坐标为（）A. B. C.（） D.（）13、将AD与BC两边平行的纸条ABCD按如图所示折叠，则∠1的度数为（）A.72°B.45°C.56°D.60°14、如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H交BE于G.下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝BG.其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、如图，等边的边长为3，点D在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：① 与可能相等；② 与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为.其中，正确结论的序号为（）A.①④B.②④C.①③D.②③二、填空题(共10题，共计30分)16、某同学从平面镜里看到镜子对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是________.17、如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，则可判定AB=AC的依据是________；18、如图，矩形ABCD中，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD=8，DC=6，则BE的长为________．19、在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，则折痕CE的长为________.20、已知点在直线上，点在直线上，与关于y轴对称．则和的交点坐标为________．21、如图，矩形纸片ABCD，AD=2AB=4，点F在线段AD上，将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形CDMN沿MN向上翻折，点C恰好落在线段BF的中点C'处，则线段MN的长为________．22、如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD＝CD，BD＝ED.若∠ABC＝54°，则∠E＝________°.23、如图，△ABC中，已知AB=5，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AC交AC于点E，若DE=2，则△ABC的面积为________．24、如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB=________．25、把一张长方形纸条按如图方式折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．27、如图，在长方形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，将AD沿AF折叠，使点D落在BC上的点E处.求BE及CF的长.28、作图题：（要求保留作图痕迹，不写作法）（1）作△ABC中BC边上的垂直平分线EF（交AC于点E，交BC于点F）；（2）连结BE，若AC=10，AB=6，求△ABE的周长．29、如图，在中，AB＝AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DE⊥AD.若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数.30、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC ＝3AD．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、B4、D5、A6、B7、D8、A9、B10、B11、B12、B13、C14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、。

秋八年级数学上册第二章《轴对称图形》典型题分类解析 (新版)苏科版-(新版)苏科版初中八年级上册数

第二章轴对称图形1．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为 ( )A．30° B．40°C．45° D．60°考点等腰三角形的性质．分析先根据等腰三角形的性质求出∠A DB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．解答解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°－∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C=1802ADC-∠=1801002-=40°．故选B．点评本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．2．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=°．考点等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质分析根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答解：∵DE垂直平分AB．∴AE=BE，∵BE ⊥AC ，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABE=45°，又∵AB=AC ，∴∠ABC =12(180°－∠BAC )=12(180°－45°)=67．5°，∴∠CBE =∠ABC －∠ABE =67．5°－45°=22．5°，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF ，∴BF=EF ，∴∠BEF =∠CBE =22．5°，∴∠EFC =∠BEF +∠CBE =22．5°+22．5°=45°．故答案为：45．点评本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE 是等腰直角三角形是解题的关键．3．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，若AD =6，DE =5，则CD 的长等于．考点勾股定理；直角三角形斜边上的中线分析由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC =2DE =10；然后在直角△ACD 中，利用勾股定理来求线段CD 的长度即可．解答解：如图，∵△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE =5，∴DE =12AC=5，∴AC =10．在直角△ACD 中，∠ADC =90°，AD =6，AC =10，则根据勾股定理，得CD=22AC AD -=22610+=8，故答案是：8．4．【问题情境】X老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C 作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得．PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；考点四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理专题压轴题探究型分析【问题情境】如下图②，按照小军、小俊的证明思路即可解决问题．【变式探究】如下图③，借鉴小军、小俊的证明思路即可解决问题．【结论运用】易证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，如下图④，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可．【迁移拓展】由条件AD·CE=DE·BC联想到三角形相似，从而得到∠A=∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM与△CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是△ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解决问题．解答【问题情境】证明：(方法1)连接AP，如图②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴12AB·CF=12AB·PD+12AC·PE．∵AB=AC，∴CF=PD+PE．(方法2) 过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②．∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD=∠FDG=∠FGP=90°．∴四边形PDFG是矩形．∴DP=FG，∠DPG=90°．∴∠CGP=90°．∵PE⊥AC，∴∠CEP=90°．∴∠PGC=∠CEP.∵∠BD P=∠DPG=90°．∴PG∥AB．∴∠GPC=∠B．∵AB=AC，∠B=∠ACB．∴∠GPC=∠ECP．在△PGC和△CEP中，PGC CEPGPC ECPPC CP∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△PGC≌△CEP．∴CG=PE．∴CF=CG +FG=PE+PD．【变式探究】证明：(方法1)连接AP，如图③．∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP－S△ACP，∴12AB·C F=12AB·PD－12AC·PE．∵AB=AC，∴CF=PD－PE．(方法2) 过点C作CG⊥DP，垂足为G，如图③．∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，∴∠CFD=∠FDG=∠DGC=90°．∴四边形CFDG是矩形．∴CF=GD，∠DGC=90°．∴∠CGP=90°．∵PE⊥AC，∴∠CEP=90°．∴∠CGP=∠CEP．∵CG⊥DP，AB⊥PD．∴∠CGP=∠BDP=90°,∴CG∥AB．∴∠GCP=∠B．∵AB=AC．∴∠B=∠ACB．∵∠ACB=∠PCE，∴∠GCP=∠ECP．在△CGP和△CEP中，90CGP CEPGCP ECPCP CP∠=∠=∠=∠=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩△CGP≌△CEP．∴PG=PE．∴CF=DG=DP－PG=DP－PE．【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．∵AD=8，CF=3，∴BF=BC－CF=AD－CF=5．由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．∴DF=5．∵∠C=90°，∴=4．∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．∴四边形EQCD是矩形．∴EQ=DC=4．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB．∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF．由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．∴PG +PH=4．∴PG+PH的值为4．点评本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．。

人教版八年级上册数学13.1 轴对称课后训练及答案解析

课后训练基础巩固1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是()．2．下列说法中错误的是()．A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等C．全等的三角形一定关于某条直线对称D．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B 的度数为()．A．48°B．54°C．74°D．78°4．从商场试衣镜中看到某件名牌服装标签上的后5位编码是，则该编码实际上是__________．5．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________．能力提升6．我国的文字非常讲究对称美，分析如图四个图案，图案________有别于其余三个图案()．7．如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图是()．8．(创新应用题)如图，把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量的存在这种图形变换(如图甲)．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对．．．称变换．．．过程中，两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()．A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行9.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点F，E，连接EF 交OA于N，交OB于M，EF＝15，求△PMN的周长．10．如图，将一张正六边形纸沿虚线对折3次，得到一个多层的60°角的三角形纸．用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线．(1)猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？(2)这个图形有几条对称轴？(3)如果想得到一个含有五条对称轴的图形，你应该取什么形状的纸？应该如何折叠？11．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．参考答案1．A点拨：只有A图沿中间竖直的一条直线折叠，左右两边能够重合，故选A.2．C点拨：虽然关于某条直线对称的两三角形全等，但全等的两三角形不一定关于某条直线对称，因而选C.3．B点拨：因为关于某直线对称的两图形全等，所以∠A＝∠A′＝78°，∠C′＝∠C＝48°，所以∠B＝54°，故选B.4．BA629点拨：假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到BA629，或将此图案从反面观察，也可得到BA629.5．6点拨：由△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可知BE＋BD－DE＝12①，由△EDC的周长为24可知CE＋CD＋DE＝24，由DE是BC边上的垂直平分线可知BE＝CE，BD＝CD，所以BE＋BD＋DE＝24②，②－①，得2DE＝12，所以DE＝6.6．D点拨：都是轴对称图形，但图案D有两条对称轴，其余三个图案都只有一条对称轴．7．D点拨：解决此类问题的基本方法是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”，从所给的最后图形作轴对称，题目折叠几次，就作几次轴对称，沿两条对角线所在直线画对称轴，只有D适合，故选D.8．B点拨：因为对称且平移，所以原有的性质已有变化，A、C、D都已不成立，只有B选项正确，故选B.9．解：∵点P与点E关于OB轴对称，∴CE＝CP，MC⊥PE.∴∠MCE＝∠MCP＝90°.在△MCE和△MCP中，∵,,,CE CPMCE MCP CM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MCE≌△MCP.∴MP＝ME，同理NP＝NF.∴MP＋MN＋NP＝ME＋MN＋NF＝EF＝15，即△PMN的周长是15.10．解：(1)轴对称图形．(2)至少有3条对称轴．(3)取一张正十边形的纸，沿它的通过中心的五条对角线折叠5次，得到一个多层的36°角的图形，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开就可以得到一个至少含五条对称轴的图形．11．解：DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线，∴BE＝AE，CG＝AG.∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7.答：△AEG的周长为7.。

初二数学上册：画轴对称图形经典例题(含答案)

初二数学上册：画轴对称图形经典例题（含答案）一、单选题1.下列剪纸图案中，能通过轴对称变换得到的有（C）2.下列说法错误的是（B）A．关于某直线对称的两个图形一定能完全重合B．全等的两个三角形一定关于某直线对称C．轴对称图形的对称轴至少有一条D．线段是轴对称图形3.如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（B）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋4.如图所示，在3×3的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有(C)A．3种B．4种C．5种D．6种解析：试题分析：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处故选C.考点：利用轴对称设计图案点评：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.在如上图由5个小正方形组成的图形中，再补上一个小正方形，使它成为轴对称图形，你有几种不同的方法(C)A．2种B．3种C．4种D．5种6.小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后把纸片展开，得到的图形应是（B）7.如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1，l2上）。

小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P 关于l1的对称点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……，如此继续，得到一系列点P1，P2，P3，…，。

若与P重合，则n的最小值是（B）A．5B．6C．7D．8二、填空题8.轴对称变换不改图形的形状和大小解析：试题分析：根据轴对称图形的性质即可得到结果。

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)

一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°D 解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．2．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴AE=BD ，即①正确；在△BCF 与△ACG 中，由①可知∠CBF=∠CAG ，又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF ≌△ACG(ASA)，∴AG=BF ，即②正确；在△DFC 与△EGC 中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．3．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 5．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180°D 解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 6．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．7．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．8．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°A解析：A【分析】根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键．二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A 1B 2//x 轴，∴∠A 1B 2B 1=∠OB 1D =30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O =60°，∴∠A 1B 1B 2=90°，∴A 1B 2=2A 1B 1=2，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ,则A 1B =12A 1B 2=1，即A 2的横坐标为12+1=2212-，过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，同理可得,A 2B 3=2A 2B 2=4,A 2C =12A 2B 3=2，即A 3的横坐标为12+1+2=3212-，同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-，由此可得,A n 的横坐标为212n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-，故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．12．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE 则此时AE ＋EF 的值最小AE ＋EF 的最小值＝HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析：4【分析】作A 关于CD 的对称点H ，由CD 是△ABC 的角平分线，得到点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A 关于CD 的对称点H ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 的面积为12，BC 长为6，∴AG ＝4，∵CD 垂直平分AH ，∴AC ＝CH ，∴S △ACH ＝12AC•HF ＝12CH•AG ， ∴HF ＝AG ＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．14．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α，在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°，解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°，故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时底边长=24-6-6=12（cm ）∵6+6=12故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时腰长=（cm ）解析：9【分析】分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm ），∵6+6=12，故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时，腰长=1(246)92⨯-=（cm ），由于6+9>9，故能构成三角形，故答案为：9．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答．16．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P （x-yy ）与点Q （-1-5）关于x 轴对称得x-y ＝-1y ＝5解得x ＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P （x-y ，y ）与点Q （-1，-5）关于x 轴对称，得x-y ＝-1，y ＝5．解得x ＝4，y ＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠___________CODAOB∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．18．如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N 为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M 与点M′关于OC 对称，OC 平分∠AOB ，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P 及点N 的位置是关键．19．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．20．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的解析：①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ，EF=EC ，从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DF ，EF=EC ，所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ，所以∠FBC 不一定等于∠FCB ，所以BF 与CF 不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，∴∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；故①正确；∴DE=DF+EF=BD+CE ，故②正确；∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；故③正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠FBC 不一定等于∠FCB ，∴BF 与CF 不一定相等，故④错误；由题意知，1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ =()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°,故⑤正确，故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动．（1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．解析：（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【分析】（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，∵三角形APQ 是等边三角形，,AP AQ ∴=∴102t t =-，解得103t =， ∴点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ．（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，102x x +=，解得：10x =．∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下：由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设APQ 是等腰三角形，∴AP AQ =，∴APQ AQP ∠=∠，∴APC AQB ∠=∠，∵ACB △是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACP △和ABQ △中，,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACP △≌ABQ △，∴CP BQ =，设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形，由题意得：10CP y =-，302QB y =-，∴ 10302y y -=-，解得：403y =， P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ，由403＜15， ∴ 403y =符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．23．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB，理由见解析【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【详解】（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠PMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出EF BC交AC于点F）BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作//（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，ABC 的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．解析：（1）AE＝BD；见解析；（2）成立；AE＝BD；见解析；（3）CD的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB＝30°，由DE＝CE，求出∠D＝∠ECB＝30°得到∠DEB＝30°，推出BD＝BE，根据AE＝BE证得结论；（2）过E作EF∥BC交AC于点F，得到△AEF是等边三角形，推出BE=CF，利用∠DBE＝∠EFC＝120°，∠BED＝∠ECF，证得△DEB≌△ECF（AAS），得到BD＝EF=AE；（3）作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，利用∠CEF＝∠EDB，EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，证得△CEF≌△EDB（AAS），得到BD＝EF＝2，求出CD＝BD－BC ＝1，同理可得CD＝3【详解】解：（1）AE＝BD；证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ，∴∠BED ＝∠ECF ，∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD ＝EF ，∴AE ＝BD ；（3）CD 的长为3或1如图2，作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF ＝AE ＝EF ＝2，∠BEF ＝60°，∴∠CEF ＝60°＋∠BEC ．∵∠EDC ＝∠ECD ＝∠B ＋∠BEC ＝60°＋∠BEC ，∴∠CEF ＝∠EDB ．又∵EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD ＝EF ＝2，∴CD ＝BD －BC ＝1，如图3，同理可得CD ＝3，综上所述，CD 的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AEM DEM ∠=∠．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明CAE BCF ∠=∠，再证明CAE BCF ≌△△，从而可得结论；（2）连接CM ，FM ，先证明ECM FBM ∠=∠，再证明CME BMF ≌△△，可得EM FM =，EMC FMB ∠=∠，再证明FME 是等腰直角三角形，可得45MED ∠=︒，从而可得结论．【详解】证明：（1）AE CD ⊥，BF CD ⊥，90AEC CFB ∴∠=∠=︒．90ACB ∠=︒，90BCF ACE ACE EAC ∴∠+∠=︒=∠+∠CAE BCF ∴∠=∠．CA BC =． ()CAE BCF AAS ∴≌△△．CE BF ∴=．（2）连接CM ，FM在Rt ABC △中，CA CB =，点M 是AB 的中点，90,ACB ∠=︒BM AM ∴=，CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45ACM BCM CBM CAM ∴∠=∠=∠=∠=︒，CM BM AM ==，由CAE BCF ≌△△可得：ACE CBF ∠=∠．,ACM ECM CBM MBF ∴∠+∠=∠+∠ECM FBM ∴∠=∠．又CE BF =，()CME BMF SAS ∴≌△△．EM FM ∴=，EMC FMB ∠=∠．90EMF FMB DME CME DME ∠=∠+∠=∠+∠=︒．FME ∴△是等腰直角三角形．45MED ∴∠=︒，90AED ∠=︒，45AEM DEM ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查的的三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．26．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．解析：（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0），如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．27．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．28．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．解析：（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论；（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =，从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，。

八年级数学上册第十三章《轴对称》经典测试卷(2)

一、选择题1．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，BE 交AC 于F ，若,9,6BE AC BF CF ===，则AF 的长度为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5B解析：B【分析】延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，证明()△△ACD GBD SAS ≅，根据全等三角形的性质可得到CAD G ∠=∠，AC=BD ，等量代换得到BE=BG ，再由等腰三角形的性质得到G BEG ∠=∠，推出EF=AF ，即可解决问题；【详解】如图，延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴CD=BD ，在△ACD 与△GBD 中，CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ACD GBDSAS ≅， ∴CAD G ∠=∠，AC=BD ，∵BE=AC ，∴BE=BG ，∴G BEG ∠=∠， ∵BEG AEF ∠=∠，∴AEF EAF ∠=∠，∴EF=AF ，∴AF CF BF AF +=-，即69AF AF +=-， ∴32AF =；故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 2．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（） A ． B ．C ．D ． D解析：D【分析】点D 到点A 、点B 的距离相等可知点D 在线段AB 的垂直平分线上，据此可得答案．【详解】解：∵点D 到点A 、点B 的距离AD=BD ，∴点D 在线段AB 的垂直平分线上，故选择：D ．【点睛】本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图．3．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()2021a b +的值为（） A ．1-B ．1C ．0D ．2021- A解析：A【分析】关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案．【详解】解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得a-1=2017，1-b=2020．解得a=2018，b=-2019，∴()()()202120212021=2018201911a b +-=-=- 故选：A ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，由此判断①正确；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，判断②正确；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断③正确；证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得到S △ACD =S △AED ，根据等底同高得到S △AED =S △BED ，即可得到:1:3DAC ABC S S =，判断④错误．【详解】解：由题意得：AD 是BAC ∠的平分线，故①正确；∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠BAC=60︒，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，∴60ADC ∠=︒，故②正确；过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠BAD=30B ∠=︒，∴AD=BD ，∴△ABD 是等腰三角形，∴AE=BE ，∴点D 在AB 的中垂线上，故③正确；∵AD 是BAC ∠的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，∠C=∠AED=90︒，又∵AD=AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴S △ACD =S △AED ，∵AE=BE ，DE ⊥AB ，∴S △AED =S △BED ，∴:1:3DAC ABC S S =，故④错误；故选：C ．．【点睛】此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．5．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④C解析：C【分析】根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°．【详解】解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠CEF ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，故①正确，在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，AE AF AB AG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确，∵CE ＝AE ，AE ＝AF ，∴CE ＝AF ，故③正确；∵AE ＝AF ，∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，∴∠AEF 不一定为60°，故④错误；故选C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.5C解析：C【分析】延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE=AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC=CE ，AE=BE=2BD ，根据AC=6，BC=4，即可推出BD 的长度．【详解】解：延长BD 与AC 交于点E ，∵∠A=∠ABD ，∴BE=AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD=∠ECD ，∴∠EBC=∠BEC ，∴△BEC 为等腰三角形，∴BC=CE ，∵BE ⊥CD ，∴2BD=BE ，∵AC=6，BC=4，∴CE=4，∴AE=AC-EC=6-4=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．7．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒C解析：C【分析】根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，∴DB=DC ，∴DBC C ∠=∠，∴ABD CBD C ∠=∠=∠，∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，解得：31C ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．9．如图，在ABC ∆中，5AC =，线段AB 的垂直平分线交AC 于点,D BCD ∆的周长是9，则BC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6B解析：B【分析】首先根据DE 是线段AB 的垂直平分线，可得AD ＝BD ，然后根据△BCD 的周长是9cm ，以及AD ＋DC ＝AC ，求出BC 的长即可．【详解】解：∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△BCD的周长是9cm，∴BD＋DC＋BC＝9（cm），∴AD＋DC＋BC＝9（cm），∵AD＋DC＝AC，∴AC＋BC＝9（cm），又∵AC＝5cm，∴BC＝9−5＝4（cm）．故选：B．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．=，则有（）10．如图，AC AD=，BC BDA．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．CD平分ACB∠D．AB垂直平分CD D解析：D【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【详解】=，∵AC AD=，BC BD∴AB垂直平分CD，故D正确，A、B错误，OC不平分∠ACB，故C错误，故选：D．【点睛】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．二、填空题-关于y轴的对称点，再将该对称点先向下11．平面直角坐标系xOy中，先作出点P (2,3)平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P1，称为完成一次图形变换，再将点P1进行同样的图形变换得到点P2，以此类推，则点P2020的坐标为___________．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成--解析：(2,2017)【分析】按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．【详解】-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-解：完成1次图形变换，点P (2,3)1=2，P1（0，2），完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-1=1，P2（-2，1），完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），……,完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．故答案为：（-2，-2017）．【点睛】本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．12．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为10，则此等腰三角形的面积为_________．25【分析】依据含30°角的直角三角形的性质即可得到该等腰三角形腰上的高再根据三角形面积计算公式进行计算即可【详解】解：如图所示AB=AC=10∠A＝30°过B作BD⊥AC于D∵∠A＝30°AB＝1解析：25【分析】依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到该等腰三角形腰上的高，再根据三角形面积计算公式进行计算即可．【详解】解：如图所示，AB=AC=10，∠A＝30°，过B作BD⊥AC于D，∵∠A＝30°，AB＝10，∴BD＝1AB＝5，2∴S △ABC ＝12AC ×BD ＝12×10×5＝25，故答案为：25．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，作出腰上的高并根据30°角求出高是解题关键．13．如图，点C 在DE 上，,,45B E AB AE CAD BAE ∠=∠=∠=∠=︒，则ACB =∠_____________．【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED 则可求得∠ACB=∠ADEAD=AC 再利用等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE 即∠BAC=∠DAE解析：67.5【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED ，则可求得∠ACB=∠ADE ，AD=AC ，再利用等腰三角形的性质可求得答案．【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ，∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE ，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△AED 中，B E AB AEBAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△AED （ASA ），∴AD=AC ，∠ACB=∠ADE ，∴∠ACD=∠ADC ，∵∠CAD=45°，∴∠ADC=67.5°，∴∠ACB=67.5°，故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．14．若点A （1＋m ，1﹣n ）与点B （﹣3，2）关于y 轴对称，则（m ＋n ）2020的值是_____．1【分析】直接利用关于y 轴对称点的性质得出横坐标互为相反数纵坐标相等进而得出答案【详解】解：∵点A （1+m1-n ）与点B （-32）关于y 轴对称∴1+m=31-n=2∴m=2n=-1∴（m ＋n ）202解析：1【分析】直接利用关于y 轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出答案．【详解】解：∵点A （1+m ，1-n ）与点B （-3，2）关于y 轴对称，∴1+m=3，1-n=2，∴m=2，n=-1，∴（m ＋n ）2020=（2-1）2020=1；故答案为：1．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 15．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E 交CD 于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 交BE 于点G ，考察下列结论：①AC BF =；②2BF CE =；③ADGE GHCE S S =四四边形边形；④DGF △为等腰三角形．其中正确的有___．①②④【分析】只要证明△BDF ≌△CDA △BAC 是等腰三角形即可判断①②正确作GM ⊥BD 于M 只要证明GH ＜DG 即可判断③错误证明可判断④正确【详解】解：①又又∴是等腰直角三角形在和中故①正确；②平分解析：①②④【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，即可判断①②正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断③错误，证明DGF DFG ∠=∠可判断④正确．【详解】解：①CD AB ⊥，90CDA BDF ∠∴∠==︒，18090DBF DFB BDF ︒∠+∠=-∠=︒，又BE AC ⊥，90BEA ∴∠=︒，18090DBF DAC BEA ∠+∠=-∠=∴︒︒，DAC DFB ∠=∠∴，又45ABC ∠=︒，18045DCB ABC BDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，∴BCD △是等腰直角三角形，BD CD ∴=，在ACD △和FBD 中，DAC DFB CDA BDF CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD FBD AAS ∴≅，AC BF ∴=．故①正确；②BE 平分ABC ∠，BE AC ⊥，ABE CBE ∴∠=∠，90BEA BEC ∠=∠=︒，∴在ABE △和CBE △中，ABE CBE BE BEBEA BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ASA ABE CBE ∴≅，AE CE ∴=，2AC AE CE CE ∴=+=，又AC BF =，2BF CE ∴=，故②正确；③如图所示，过G 作GM BD ⊥于点M ，H 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，DH BC ∴⊥，即90GHB ∠=︒，又BE 平分ABC ∠，GM BD ⊥，GM GH ∴=，又BD BH >，BDG BGH SS∴>，又ABE CBE ≅ ABE CBE S S ∴=，ABE BDG ADGE S S S ∴=-四边形，CBE BGH GHCE S S S =-四边形，ADGE GHCE S S ∴<四边形四边形，故③错误；④18090HBG BGH GHB ∠+∠=︒-∠=︒，18090DBF DFG BDF ∠+∠=︒-∠=︒，HBG DBF ∠=∠，BGH DFG ∴∠=∠，又BGH DGF ∠=∠，DGF DFG ∴∠=∠，DGF ∴为等腰三角形．∴综上，答案为①②④．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键．16．等腰三角形的周长为24，其中一边为6，则另两边的长分别为__________．【分析】题中没有指明长为的边长是腰还是底则分两种情况进行分析还应验证是否满足三角形的三边关系【详解】当腰长是时底边长不能构成三角形；当底长是时三角形的腰能构成三角形其他两边长为故答案为：【点睛】本题解析：9，9【分析】题中没有指明长为6的边长是腰还是底，则分两种情况进行分析，还应验证是否满足三角形的三边关系．【详解】当腰长是6时，底边长246612=--=，6、6、12不能构成三角形；当底长是6时，三角形的腰()24629=-÷=，6、9、9能构成三角形，其他两边长为9、9．故答案为：9，9．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目—定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．17．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ∠EAD=∠ECD=36°进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA 进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解【详解】∵AB解析：3a b +【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ，∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA ，进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解．【详解】∵AB=AC ，∠ABC=36°，∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC ＝108°，∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠EAD=∠ECD=36°，∴∠AEC=108°=∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝108°－36°＝72°∵∠BEA＝180°－∠AEC＝180°－108°＝72°即∠BAE＝∠BEA∴BA＝BE∵BE a=，EC b=，∴BA＝BE＝AC＝a∴△ABC的周长＝AB＋BE＋EC＋AC＝3a＋b故答案为：3a+b．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．18．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=24，点M，N在边OB上，PM=PN，若NM=6，则OM=______________．9【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角形POD中求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN 求出MD的长由OD-MD即可求出OM的长【详解】解：过P作PD⊥OB交OB 于点解析：9【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD即可求出OM的长．【详解】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，∵∠AOB=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=1OP=12．2∵PM=PN，PD⊥MN，∴MD=ND=1MN=3，2∴OM=OD﹣MD=12﹣3=9．故答案为：9．【点睛】本题考查的是含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键．19．如图，一棵大树在一次强台风中于距地面5米处倒下，则这棵树在折断前的高度为________米．15【分析】如图在Rt△ABC中∠ABC＝30°由此即可得到AB＝2AC而根据题意找到CA＝5米由此即可求出AB也就可以求出大树在折断前的高度【详解】如图在Rt△ABC中∵∠ABC＝30°∴AB＝2 解析：15【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，由此即可得到AB＝2AC，而根据题意找到CA＝5米，由此即可求出AB，也就可以求出大树在折断前的高度．【详解】如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∵CA＝5米，∴AB＝10米，∴AB＋AC＝15米．所以这棵大树在折断前的高度为15米．故答案为：15．【点睛】本题主要利用定理−−在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是______．10°【分析】设∠B＝∠C＝x∠CDE＝y分别表示出∠DAE构建方程解方程即可求解【详解】解：设∠B＝∠C＝x∠EDC＝y∵AD＝AE∴∠ADE ＝∠AED＝x＋y∵∠DAE＝180°−2（x＋y）＝解析：10°【分析】设∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y，分别表示出∠DAE，构建方程解方程即可求解．【详解】解：设∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，∵∠DAE＝180 °−2（x＋y）＝180 °−20 °−2x，∴2y＝20 °，∴y ＝10 °，∴∠CDE ＝10 °．故答案为：10°【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．三、解答题21．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________；（2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．解析：（1）图形见解析；B 1（3，2）；（2）见解析【分析】（1）分别找到A 、B 、C 点关于y 轴的对称点，然后连接即可；（2）找C 关于x 轴的对称点C′，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【详解】解：（1）111A B C △如图所示；根据图形可知B 1(3，2)，故答案为：(3，2)；（2）如图所示：找C 关于x 轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，CM C M '=，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【点睛】本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．22．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1,ABC 的三个顶点分别为()()4,3,3,()3,1,1A B C -．请在坐标系中标出,,A B C 三点，画出ABC ∆，并画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆，写出点111,,A B C 的坐标．解析：图见解析；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【分析】先在平面直角坐标系中画出,,A B C 三点，顺次连接即可；再按照轴对称的性质，画出它们的对称点即可．【详解】解：如图所示，111,ABC A B C ∆∆，即为所求；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中描点和画轴对称图形，关于y 轴对称点的坐标变化规律，解题关键是正确描点和画对称点．23．已知：如图，MON ∠为锐角，点A 在射线OM 上．求作：射线AC ，使得//AC ON ．小静的作图思路如下：①以点A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线ON 于点B ，连接AB ；②作MAB ∠的角平分线AC ．射线AC 即为所求的射线．（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：OA AB =，O ABO ∴∠=∠（__________）．MAB ∠是AOB 的一个外角，MAB ∴∠=∠_________+∠__________．12ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，12BAC MAB ∴∠=∠． ABO BAC ∴∠=∠．//AC ON ∴（__________）．解析：（1）见解析；（2）等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行【分析】（1）按照步骤作图即可；（2）由作法知，OA=AB ，AC 是∠MAB 的平分线，然后根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义说明即可．【详解】解：（1）作图如下：（2）证明：OA AB =，O ABO ∴∠=∠（等边对等角）．MAB ∠是AOB 的一个外角，MAB O ABO ∴∠=∠+∠12ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，12BAC MAB ∴∠=∠. ABO BAC ∴∠=∠.//AC ON ∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，作角的角平分线，以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 24．如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，求ACE ∠的度数．解析：15°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB 的度数，并证得 AD 是BC 的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质定理可得BE=CE ，再由等腰三角形的性质可求得∠ECB 的度数，即可求得结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，AD BC ⊥ ，∴60ACB ∠=︒，BD CD =，∴AD 是BC 的重直平分线，点E 在线段AD 上∴BE CE =．∵45EBC ∠=︒，∴45ECB EBC ∠=∠=︒，∴6045=15ACE ACB ECB ∠=∠-∠=︒-︒︒．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关的性质定理并能灵活应用所学知识是解题的关键．25．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．26．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，点E 在边AC 上，且,,BD CE BAD CDE =∠=∠ADE C ∠=∠．（1）如图1，求证：ADE ∆是等腰三角形，（2）如图2，若DE 平分ADC ∠，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE ∠相等的角（CDE ∠除外）．解析：（1）详见解析；（2）与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C【分析】（1）证明△ABD ≌△DCE ，推出AD=DE ，即可得到结论；（2）根据DE 平分∠ADC ，推出∠ADE=∠CDE=12∠ADC ，利用BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，得到∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，再由ADE C ∠=∠，得到∠C=CDE ∠．【详解】（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD ，∠BAD=∠CDE ，∴∠B=∠ADE ，∵∠ADE=∠C ，∴∠B=∠C ，在△ABD 和△DCE 中，BAD CDE B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△DCE ，∴AD=DE ，∴ADE ∆是等腰三角形；（2）∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE=12∠ADC ， ∵BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，∵ADE C ∠=∠，∴∠C=CDE ∠，∴与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定定理，角平分线的性质，三角形外角性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．27．在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．解析：（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②由“SAS”可证△ADB ≌△AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∵AB=AC ，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC ，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B=∠ACE ．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∵DAE BAC ∠=∠，∴DAB EAC ∠=∠，在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△≌△ADB AEC(SAS)， ∴ABD ACE ∠=∠，∵ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∴BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∴BAC BCE ∠=∠，即αβ=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．28．如图，在△ABC 中，AD 垂直平分BC ，E 是AB 边上一点，连接ED ，F 是ED 延长线上一点，连接CF ，若BC 平分∠ACF ，求证：BE ＝CF ．解析：证明见解析．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC ，证明△BDE ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得到BE=CF ．【详解】证明：∵AD 垂直平分BC ，∴AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵BC 平分∠ACF ，∴∠FCB ＝∠ACB ，∴∠ABC ＝∠FCB ，在△BDE 和△CDF 中，EDB FDC BD CDEBD FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BDE ≌△CDF （ASA ），∴BE ＝CF ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．。

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典题(含答案解析)

一、选择题1．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（）A ．8B ．8或10C ．12D ．10 2．已知123n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．如图，点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，//OD AB 交BC 于点D ，//OE AC 交BC 于点E ，若ODE 的周长为9cm ，那么BC 的长为（）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm 4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40 5．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.56．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S =．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒8．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（）．A ．12︒B ．14︒C ．16︒D ．18︒9．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（）A ．30°B ．32°C ．36°D ．42°10．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（）A ．58B ．45C ．35D ．1211．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是（）A ．B ．C ．D ．12．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°14．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．已知等边△ABC 的边长为6，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G ．当G 与D 重合时，AD 的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．17．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．18．如图，ABC 中，AB BC =，点D 在线段BC 上（不与点,B C 重合）．作法如下：①连接AD ，作AD 的垂直平分线分别交直线,AB AC 于点,P Q ，连接,DP DQ ，则APQ DPQ △≌△；②过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，在线段AC 上截取AQ ，使AQ DP =，连接,PQ DQ ，则APQ DQP △≌△；③过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，连接PQ ，则APQ DQP △≌△；④过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，在直线AB 上取一点P ，连接DP ，使DP AQ =，连接PQ ，则APQ DPQ △≌△．以上说法一定成立的是__________．（填写正确的序号）19．如图，30MON ∠=︒，点1234,,,A A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，且112223334,,A B A A B A A B A △△△，…均为等边三角形，以此类推，若11OA =，则202120212022A B A △的边长为_______．20．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．21．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是________．22．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．23．如图，在△ACB 中，∠ACB ＝∠90°，AB 的垂直平分线DE 交AB 于E ，交AC 于D ，∠DBC ＝30°，DC ＝4cm ，则D 到AB 的距离为________cm ．24．如图，在ABC 中，AB=AC ，40A ∠=，CD //AB ，则BCD ∠的度数是______°．25．如图，在ABC 中，30EFD ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则B 的度数为______．26．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．三、解答题27．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________；（2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．28．如图，网格中小正方形的边长为1，（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1（其中A 1、B 1、C 1分别为A 、B 、C 的对应点）；（2）△ABC 的面积为；点B 到边AC 的距离为；（3）在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小，若存在，请直接写出MA ＋MB 的最小值；若不存在，请说明原因29．如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD 是高，E 是AB 上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交AC 于点F ，连接EF ，交AD 于点G ．（1）若6AB =，2AE =，求线段AF 的长；（2）求证：AGF AED ∠=∠．30．如图，在ABC ∆中，,AB AC =过点A 作//AD BC 交ABC ∠的平分线BD 于点D ，求证：AC AD =．。

八年级数学上册《第十三章轴对称》练习题及答案

八年级数学上册《第十三章轴对称》练习题及答案学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列4个时刻中，是轴对称图形的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个3．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列图形均为表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC 与A B C '''关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列结论中错误的是（）A ．AA P '△是等腰三角形B ．MN 垂直平分AA '，CC ' C ．△ABC 与A B C '''面积相等D ．直线AB 、A B ''的交点不一定在MN 上6．如图，在△ABC 纸片中，△ABC =90°，将其折叠，使得点C 与点A 重合，折痕为DE ，若AB =3cm ，AC =5cm ，则△ABE 的周长为（）A ．4 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在格点上，如果将△ABC 先沿x 轴翻折，再向右平移3个单位长度，得到△A ′B ′C ′，那么点B 的对应点B ′的坐标为（）A ．（2，﹣3）B ．（4，3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（4，0）8．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．线段9．如图，ABC ∆中40A ∠=︒，E 是AC 边上的点，先将ABE ∆沿着BE 翻折，翻折后ABE ∆的AB 边交AC 于点D ，又将BCD ∆沿着BD 翻折，点C 恰好落在BE 上，此时82CDB ∠=︒，则原三角形的B 的度数为( )A ．57︒B ．60︒C ．63︒D ．70︒10．ABC ∆和A B C '''∆关于直线l 对称，若ABC ∆的周长为12cm ，则A B C '''∆的周长为（）A ．24cmB ．12cmC ．6cmD ．6cm11．如图，边长为a 的等边△ABC 中，BF 是AC 上中线且BF ＝b ，点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ADE ，连接EF ，则△AEF 周长的最小值是（）A ．12a 23+bB ．12a +b C ．a 12+b D ．23a二、填空题12．线段是轴对称图形，它的一条对称轴是_______________，线段本身所在的直线也是它的一条对称轴． 13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形△沿x 轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A 1（0，2）变换到点A 2（6，0），得到等腰直角三角形△；第二次滚动后点A 2变换到点A 3（6，0），得到等腰直角三角形△；第三次滚动后点A 3变换到点A 4（10），得到等腰直角三角形△；第四次滚动后点A 4变换到点A 5（0），得到等腰直角三角形△；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．14．轴对称图形的性质：（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________．（2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______________．15．如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B'处，B'C交AD于点E，若△1＝25°，则△2的度数为_____．⨯的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形16．如图，在34组成轴对称图形，选择的位置共有______处．三、解答题17．如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A'，AA'的延长线交BC于点G．(1)求证：DE A F '∥；(2)求证：2A C A B '='．18．已知二次函数21312y x x =-+， (1)若把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，求所得图象的函数表达式．(2)若把它的图象绕它的顶点旋转180°，求所得图象的函数表达式．(3)若把它绕x 轴翻折，求所得图象的表达式．19．你设计的游戏一游戏规则：游戏背后的数学原理：游戏操作后同组学生的评价：20．数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）参考答案：1．C【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴对各选项一一进行分析即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.解决轴对称图形的关键是寻找对称轴．2．B【分析】根据轴对称图形的概念分别对各个图形进行判断即可.【详解】解：第1个，不是轴对称图形，故本选项不合题意；第2个，是轴对称图形，故本选项符合题意；第3个，是轴对称图形，故本选项符合题意；第4个，不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查轴对称图形，能根据轴对称的概念找出图形的对称轴是解决此题的关键.3．D【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．B【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180 ，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；D、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则此项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．5．D【分析】根据轴对称的性质即可解答．'''关于直线MN对称，P为MN上任意一点，【详解】解：由题意△ABC与A B C△对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，'=，△PA PA△是等腰三角形，选项A正确，不符合题意；△AA P'△轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分，△MN垂直平分AA'，CC'，选项B正确，不符合题意；△轴对称图形对应的角、线段都相等，△△ABC与A B C'''是全等三角形，面积也必然相等，选项C选项正确，不符合题意；△直线AB、A B''关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．△选项D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，轴对称图形对应的角、线段都相等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．6．C【分析】先利用勾股定理求出BC，利用折叠得出AE=CE，然后△ABE的周长转化为AB+BC即可．【详解】解：△ABC纸片中，△△ABC=90°，AB=3cm，AC=5cm，△BC4=cm，△△DEC沿DE折叠得到△ADE，△AE=CE，△△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm．故选C．【点睛】本题考查勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长，掌握勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长是解题关键．7．A【分析】根据轴对称的性质和平移规律求得即可．【详解】解：由坐标系可得B（﹣1，3），将△ABC先沿x轴翻折得到B点对应点为（﹣1，﹣3），再向右平移3个单位长度，点B的对应点B'的坐标为（﹣1+3，﹣3），即（2，﹣3），故选：A．【点睛】此题考查了翻折变换的性质、坐标与图形的变化--对称和平移，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．8．C【分析】根据等腰三角形、等边三角形、正方形、线段的轴对称性质，依次解题．【详解】A、等腰三角形1条对称轴；B、等边三角形3条对称轴；C、正方形有4条对称轴；D、线段2条对称轴．故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形的对称轴，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．C【分析】由折叠可得，△BDG＝△BDC＝82°，△ABE＝△A'BE＝△A'BG，依据△BDG是△BDF是外角，即可得到△DBA＝△BDG﹣△A＝82°﹣40°＝42°，进而得到原三角形的△B为63°．【详解】解：如图，由折叠可得，△BDG＝△BDC＝82°，△ABE＝△A'BE＝△A'BG，△△BDG是△BDA是外角，△△DBA＝△BDG﹣△A＝82°﹣40°＝42°，△△ABE＝△DBE＝21°，△△ABG＝3×21°＝63°，即原三角形的△B为63°，故选：C．【点睛】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形外角性质的应用，能够根据折叠的性质发现△FBE＝△ABE＝△ABG是解答此题的关键．10．B【分析】根据关于成轴对称的两个图形是全等形和全等三角形的性质填则可．【详解】△△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，△△ABC△△A′B′C′，△△A′B′C′的周长为12，故填12.【点睛】本题考查轴对称的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和全等三角形的性质.11．B【分析】先证明点E在射线CE上运动，由AF为定值，所以当AE+E F最小时，△AEF周长的最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E'，此时AE+FE的最小值为MF，根据等边三角形的判定和性质求出答案．【详解】解：△△ABC、△ADE都是等边三角形，△AB=AC，AD=AE，△BAC=△DAE=60°，△△BAD=△CAE，△△BAD△△CAE，△△ABD=△ACE，△AF=CF，△△ABD=△CBD=△ACE=30°，△点E在射线CE上运动（△ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E'，此时AE+FE的值最小，此时AE+FE=MF，△CA=CM ，△ACM =60°，△△ACM 是等边三角形，△△ACM △△ACB ，△FM=FB=b ，△△AEF 周长的最小值是AF+AE+EF =AF+MF =12a +b ，故选：B ．【点睛】此题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，图形中的动点问题，正确掌握各知识点作轴对称图形解决问题是解题的关键．12．线段的垂直平分线【详解】分析：线段的对称轴为线段的中垂线．详解：线段是轴对称图形，它的一条对称轴是线段的垂直平分线，线段本身所在的直线也是它的一条对称轴．点睛：本题主要考查的是轴对称图形的对称轴，属于基础题型．这个题目的关键就是理解轴对称图形的性质．13．22020【分析】根据A 1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形△）的面积，根据A 2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形△）的面积，…，同理，确定规律可得结论．【详解】△点A 1（0，2）， △第1个等腰直角三角形的面积=1222⨯⨯=2， △A 2（6，0），△第2=△第2个等腰直角三角形的面积=12⨯=4=22，△A4（10，，△第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，△第3个等腰直角三角形的面积=1442⨯⨯=8=32，…则第2020个等腰直角三角形的面积是20202；故答案为：20202．【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.14．垂直平分线垂直平分线【解析】略15．50°【分析】根据折叠的性质可得△BCE的度数，再由矩形对边平行的性质即可求得△2的度数．【详解】由折叠的性质得：△ACE=△1=25°△△BCE=△1+△ACE=50°△四边形ABCD是矩形△AD△BC△△2=△BCE=50°故答案为：50°【点睛】本题考查了矩形的折叠，掌握矩形的性质及折叠的性质是关键．16．7【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有△下1；△下2；△中3；△中4；△上5；△上6；△上7．如图：选择的位置共有7处．故答案为：7．【点睛】掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．17．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）设DE 与AG 的交点为O ，根据题意可得AE EF BF ==，AO A O '=，即可求证；（2）先证明ADE BAG ∆≅∆，可得AE BG =，DEA AGB ∠=∠，从而得到DEF A FB A GC ∠=∠='∠'，再过点B 作BH AG ⊥，连接A D '，可得AO BH =，再由DE A F BH ∥∥，可得AO A O A H '=='，从而得到45BA F ∠='︒，再根据四边形的性质可得135AA C ∠='︒，从而得到45CA G ∠='︒，可证得△A FB '∽△A GC '，从而得到A C CG A B BF=''，再根据AE BG =，可得2GC BF =，即可求证．（1）证明：设DE 与AG 的交点为O ，E ，F 为边AB 上的两个三等分点，AE EF BF ∴==，AA DE '⊥，点A 关于DE 的对称点为A '，AO A O '∴=，//DE A F '∴；（2）解：AA DE '⊥，90AOE DAE ABG ∴∠=︒=∠=∠，90ADE DEA DEA EAO ∴∠+∠=︒=∠+∠，ADE EAO ∴∠=∠，在ADE ∆和BAG ∆中，90ADE EAOAD AB DAE ABG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ADE BAG ASA ∴∆≅∆，AE BG ∴=，DEA AGB ∠=∠，A GC DEF '∴∠=∠，△DE A F '∥，DEF A FB A GC ∴∠=∠='∠'，如图，过点B 作BH AG ⊥，连接A D '，ADE BAG ∆≅∆，DE AG ∴=，ΔΔADE BAG S S =， ∴1122DE AO AG BH ⨯⨯=⨯⨯，AO BH ∴=，BH AG ⊥，DE AG ⊥，A F AG '⊥，△DE A F BH ∥∥， ∴AO OA AHAE EF BF =''=，又AE EF BF ==，AO A O A H ='∴='，BH A H ∴='，45HBA BA H ∴∠=︒∠'='，45BA F ∴='∠︒，点A 关于DE 的对称点为A '，DA DA ∴='，DA DA DC '∴==，DAA DA A ∴∠='∠'，DCA DA C ∠='∠'，360ADC DAA DA A DA C DCA ∠+∠+∠+∠+∠=''︒''，236090AA C ∴∠=︒-'︒，135AA C ∴='∠︒，45CA G ∴='∠︒，CA G FA B ∴∠='∠'，又A GC A FB ∠='∠'，∴△A FB '∽△A GC '， ∴A C CG A B BF=''， AE BG =，AB BC =，BE GC ∴=，2BE BF =，2GC BF ∴=， ∴2A C A B''=， 2A C A B ''∴=．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识，求出45FA CA B G ∠'∠='=︒是解题的关键．18．(1)213422y x x =-+ (2)21382y x x =-+- (3)21312y x x =-+-【分析】（1）先将二次函数化为顶点式，然后根据平移规律即可得出答案．（2）将图象绕顶点旋转180︒，则顶点不变，开口向下，据此可直接得出答案．（3）将图象绕x 轴翻折，此时二次函数横坐标不变，纵坐标变为相反数，由此可得出答案． (1)2211731(3)222y x x x =-+=--，∴向右平移1个单位，向下平移3个单位得:2217113(13)3(4)2222y x x =----=--213422x x =-+．(2)2211731(3)222y x x x =-+=--， ∴二次函数顶点坐标为7(3,)2-，12a =，将图象绕顶点旋转180︒，则顶点不变为7(3,)2-，开口向下12a =-， 217(3)22y x ∴=---=21382x x -+-． (3)将图象绕x 轴翻折，此时二次函数横坐标不变，纵坐标变为相反数，所以2211(31)3122y x x x x =--+=-+-．【点睛】本题考查二次函数的性质及函数平移翻折的规律，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．19．见解析【分析】先设计一个游戏规则，再利用整式的加减进行计算说明游戏背后的数学原理，最后得到同组学生的评价．【详解】解：游戏规则：组员把自己的年龄加上10，结果乘以10，再减去10，再减去自己的年龄，结果除以9，将自己计算的结果告诉组长，组长就知道你的实际年龄．游戏背后的数学原理：设自己的年龄为x ，根据题意可得：10(10)10109x x x +--=-，这说明结果总比自己的年龄大小10，所以组长只需要将计算结果加上10，就等于组员的年龄，游戏操作后同组学生的评价：这类游戏规则的设计使得计算的结果为常数或含有未知数的较为简单的代数式．【点睛】本题考查了列代数式及整式的加减，解决本题的关键得到相应的代数式，找到数学的联系．20．见解析【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义画出图形即可【详解】解：如下图所示：【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，中心对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。

(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ；（3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（）．①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝EDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,3-，点P 在x 轴上，且使AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数为（）．A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是（）A ．84︒B ．82︒C ．81︒D ．78︒6．如图，已知ABC ∆中，,AB AC =点,D E 是射线AB 上的两个动点(点D 在点E 的右侧)．且,CE DE =连结CD ，若ACE x ∠=，BCD y ∠=．则y 关于x 的函数关系式是（）A ．()900180y x x =-<<︒B ．()101802y x x =<<︒C ．()39001802y x x =-<<︒ D ．()201803y x x =<<︒ 7．如图，长方形ABCD 沿直线EF 、EG 折叠后，点A 和点D 分别落在直线l 上的点A '和点D 处，若130∠=︒，则2∠的度数为（）A．30°B．60°C．50°D．55°8．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2019=（）A．22017B．22018C．22019D．220209．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，AC AD=，BC BD=，则有（）A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．CD平分ACB∠D．AB垂直平分CD11．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（）A ．125B ．95C ．85D ．7512．如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 的垂直平分线EF 交AB 于点D ，连接CD ，如果CD ＝6，那么AB 的长为（）A ．6B ．3C ．12D ．4．5二、填空题13．如图，点CD 在线段AB 的同侧，CA =6，AB =14，BD =12，M 为AB 中点，∠CMD =120°．则CD 的最大值为____．14．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．15．如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．16．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD ＝80°，AB ＝AD ＝DC ，则∠C ＝________17．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．18．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，……按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=___________．19．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果9cm AC =，那么AD = ___________cm ．20．如图，一棵大树在一次强台风中于距地面5米处倒下，则这棵树在折断前的高度为________米．三、解答题21．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________；（2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．22．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．23．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．（1）若7AC BC ==，求DE 的长；（2）求证：BE CD BC +=．24．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点,A C 的坐标分别为()()3,5,0,3.A C -（1）请在如图所示的网格内作出平面直角坐标系并作出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆ （2）写出点1B 的坐标并求出111A B C ∆的面积．25．已知：(0,1),(2,0),(4,4)A B C -．（1）在图中所示的坐标系中描出各点，画出ABC ，并求ABC 的面积．（2）若ABC 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以1-，在同一坐标系中描出对应的点A '，B '，C '，并依次连结这三个点得A B C '''，并写出ABC 与A B C '''有怎样的位置关系？26．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，Rt △ABC 的每个顶点都在格点上，利用网格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）画△ABC 的角平分线CD 交AB 于点D ；（2）画AB 边的垂直平分线l 交直线CD 于点P ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由作图易判断射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线，CDP 为等边三角形，由它们的性质逐项判断即可．【详解】由作图（1）（2）可知OC=OD ，CP=DP ，∴射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线．∴即=AOP BOP ∠∠，CD OP ⊥，故③④正确；由作图（2）可知CP=CD=DP ，即CDP 为等边三角形，又∵CD OP ⊥，∴CP=2CQ ，故②正确；若//CP OB ，则=CPO BOP ∠∠，又∵=AOP BOP ∠∠，∴=CPO AOP ∠∠，∴OC=PC ，故只有当OC=PC 时，//CP OB ，故①错误．综上，正确的有②③④．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键．2．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°，①正确；∴∠CAD=∠BAD=∠B，∴AD=BD，AD=2CD，②正确；∴BD=2CD，③正确；根据已知不能推出CD=DE，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．3．C解析：C【分析】以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点．【详解】解：如图所示：点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，故选：C．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．4．B解析：B【分析】根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AE＝12AC，又因为BF＝AC所以CE＝12AC＝12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．故①正确；连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∵CE＝AE，∴AE＜BG．故②错误．在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC，∴CE ＝12AC ＝12BF ， ∴2CE ＝BF ；故③正确；由③可得△DFB ≌△DAC ．∴BF ＝AC ；DF ＝AD ．∵CD ＝CF +DF ，∴AD +CF ＝BD ；故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．5．A解析：A【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC 的度数，进而求出∠CDE 的度数．【详解】解：∵OC=CD=DE ，∴∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，∴∠ODC=24°，∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．6．B解析：B【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE 和∠D=∠DCE=y+∠BCE ，由三角形的外角性质得出∠ABC=∠D+∠BCD ，即x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，得出y 关于x 的函数关系式．【详解】解：∵AB AC =，ACE x ∠=，∴ ∠ACB=∠ABC=x+∠BCE ，∵CE DE =，BCD y ∠=∴∠D=∠DCE=y+∠BCE ，∵ ∠ABC 是△BCD 的一个外角，∴∠ABC=∠D+∠BCD ，即 x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ， ∴()101802y x x =<<︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据折叠的性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，根据12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒得到2(12)180∠+∠=︒，即可求出答案．【详解】解：由折叠得：∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，∵12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒，∴2(12)180∠+∠=︒，∴260∠=︒故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠是解题的关键．8．B解析：B【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及a 2=2a 1，得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16a 1=16，进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1=2，a3=4a1=22，a4=8a1=32，a5=16a1=42，，以此类推：a2019=22018．故选：B．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16…进而发现规律是解题关键．9．B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．10．D解析：D【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【详解】∵AC AD=，BC BD=，∴AB垂直平分CD，故D正确，A、B错误，OC不平分∠ACB，故C错误，故选：D．【点睛】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．11．A解析：A【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC5=，根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，AE⊥BD，∴△ABC的面积：12AB•AC＝12BC•AE，∴5AE＝12，∴AE＝125．故选：A．【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．12．C解析：C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DB=6，则∠DCB=∠B，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，从而∠A=∠ACD，DA=DC=6，则AB=AD+DB便可求出．【详解】∵EF是线段BC的垂直平分线，DC =6，∴DC=DB=6，∴∠DCB=∠B，又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴DA=DC=6，∴AB=AD+DB=6+6=12．故选：12．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，熟记性质是解题的关键．二、填空题13．25【分析】作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B证明△AMB为等边三角形在根据两点之间线段最短即可解决问题【详解】解：作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B如下图所示：∴∠1=解析：25【分析】作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，证明△A’MB’为等边三角形，在根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，如下图所示：∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠CMD=120°，∴∠2+∠3=60°，即∠A’MB’=120°-60°=60°，又M为AB的中点，∴AM=MA’=MB’=MB ，∴△A’MB’为等边三角形，∴A’B’=AM=7，由两点之间线段最短可知：CD≤CA’+A’B’+B’D=CA+AM+BD=6+7+12=25，故答案为：25．【点睛】本题主要考查了几何变换之折叠，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是作点A 关于CM 的对称点A’，作点B 关于DM 的对称点B’，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．14．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．15．【分析】根据由沿AD 对称得到进而表示出最后求周长即可【详解】由沿AD 对称得到则E 与C 关于直线AD 对称∴如图连接由题意得∴当P 在BC 边上即D 点时取得最小值12∴周长为最小值为故答案为:20【点睛】本题解析：【分析】根据ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称,得到AE AC =，进而表示出PB PE PB PC BC ，最后求PEB ∆周长即可．【详解】ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称得到，则E 与C 关于直线AD 对称，5AE AC ==，∴1358BE AB AE =-=-=，如图,连接PC ，由题意得PC PE =，∴12PB PE PB PC BC ，当P 在BC 边上，即D 点时取得最小值12，∴PEB ∆周长为PE PB BE ，最小值为12820+=．故答案为:20．【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．16．25°【分析】先根据AB=AD 利用三角形内角和定理求出∠B 和∠ADB 的度数再根据三角形外角的性质即可求出∠C 的大小【详解】解：∵AB=AD ∴∠B=∠ADB ∵∠BAD=80°∴∠B=∠ADB==50°解析：25°【分析】先根据AB=AD ，利用三角形内角和定理求出∠B 和∠ADB 的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C 的大小．【详解】解：∵AB=AD ，∴∠B=∠ADB ，∵∠BAD=80°，∴∠B=∠ADB =180802︒︒-=50°， ∵AD=DC ，∴∠C=∠ACD ，∴∠C=12∠ADB=25°，故答案为：25°．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．17．【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC＝108°由线段垂直平分线的性质可得AE=CE∠EAD=∠ECD=36°进而根据角的和差可得∠BAE＝∠BEA进而可得BA＝BE ＝AC然后问题可求解【详解】∵AB+解析：3a b【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE，∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE＝∠BEA，进而可得BA＝BE＝AC然后问题可求解．【详解】∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC＝108°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠EAD=∠ECD=36°，∴∠AEC=108°=∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝108°－36°＝72°∵∠BEA＝180°－∠AEC＝180°－108°＝72°即∠BAE＝∠BEA∴BA＝BE∵BE a=，EC b=，∴BA＝BE＝AC＝a∴△ABC的周长＝AB＋BE＋EC＋AC＝3a＋b故答案为：3a+b．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．18．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O依此类推即可得到结论【详解】解：∵B1A2＝B1B2∠A1B1O＝α∴∠A2B2Oα同理∠A3B3O∠A2B2Oα∠A4B4Oα∴∠AnBnOα解析：512α．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 2B 2O ，依此类推即可得到结论．【详解】解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，∴∠A 2B 2O 12=α，同理∠A 3B 3O 12=∠A 2B 2O 212=α， ∠A 4B 4O 312=α， ∴∠A n B n O 112n -=α， ∴∠A 10B 10O 95221αα==．故答案为：512α．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．19．6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°进而得AD=BD 设AD=BD=x(cm)列出关于x 的方程即可求解【详解】∵在中∴∠ABC=60°∵BD 平分∴∠ABD=∠CBD=30°∴∠ABD=∠A ∴AD解析：6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°，进而得AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，列出关于x 的方程，即可求解．【详解】∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴∠ABC=60°,∵BD 平分ABC ∠，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A ，∴AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm ，∴CD=(9-x)cm ，∴912x x -=，即：x=6， ∴AD =6．故答案是：6【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．20．15【分析】如图在Rt △ABC 中∠ABC ＝30°由此即可得到AB ＝2AC 而根据题意找到CA ＝5米由此即可求出AB 也就可以求出大树在折断前的高度【详解】如图在Rt △ABC 中∵∠ABC ＝30°∴AB ＝2解析：15【分析】如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，由此即可得到AB ＝2AC ，而根据题意找到CA ＝5米，由此即可求出AB ，也就可以求出大树在折断前的高度．【详解】如图，在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ，∵CA ＝5米，∴AB ＝10米，∴AB ＋AC ＝15米．所以这棵大树在折断前的高度为15米．故答案为：15．【点睛】本题主要利用定理−−在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．三、解答题21．（1）图形见解析；B 1（3，2）；（2）见解析【分析】（1）分别找到A 、B 、C 点关于y 轴的对称点，然后连接即可；（2）找C 关于x 轴的对称点C′，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【详解】解：（1）111A B C △如图所示；根据图形可知B 1(3，2)，故答案为：(3，2)；（2）如图所示：找C 关于x 轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，CM C M '=，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【点睛】本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．22．（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23．（1） 3.5DE =；（2）见解析．【分析】（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．【详解】（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=AB=7，又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴11=3.5,=3.522==AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，∵∠A=60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE=AE=3.5；（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵BF=BF∴△EBF ≌△HBF （SAS ），∴∠EFB=∠HFB=60°．∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，∴∠CBD+∠BCE=60°，∴∠BFE=60°，∴∠CFB=120°，∴∠CFH=60°，∵∠BFE=∠CFD=60°，∴∠CFH=∠CFD=60°，∵CF=CF ，∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．∴CD=CH ，∵CH+BH=BC ，∴BE+CD=BC ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（1）见解析；（2）()11,1B ；面积4【分析】（1）根据A ，C 两点的坐标确定坐标系，分别作出A ，B ，C 关于y 轴对称的对应点A 1，B 1，C 1′即可；（2）由平面直角坐标系可得B 1的坐标，运用分割法可得111A B C ∆的面积．【详解】解：（1）如图所示，（2）点1B 的坐标为（1，1）111A B C ∆的面积=11134122324222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ =12-1-3-4=4【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．25．（1）图见解析，3；（2）ABC与A B C'''关于x轴对称【分析】（1）根据点坐标确定其在坐标系中的位置，顺次连线即可得到ABC，利用割补法求面积；（2）根据点A、B、C纵坐标都乘以1-，得到对应的点A'，B'，C'的坐标，再确定各点位置，即可得到两个三角形的关系．【详解】（1）如图，ABC即为所求，111451245(15)23222ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=；（2）∵(0,1),(2,0),(4,4)A B C-，∴A'（0，-1），B'（2,0），C'（4,4），∴ABC与A B C'''关于x轴对称．．【点睛】此题考查点坐标的确定，坐标与图形，图形的变换关系，正确根据点的坐标确定其在直角坐标系中的位置是解题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）取格点T，连接CT交AB于点D，线段CD即为所求．（2）取格点G，R，作直线GR交直线CT于点P，点P即为所求．【详解】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）如图，直线l即为所求．【点睛】本题考查作图的应用与设计，线段的垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。

人教五四学制版八年级上册数学第二十章轴对称含答案(满分必刷)

人教五四学制版八年级上册数学第二十章轴对称含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（）A.3 cmB.4 cmC.5 cmD. cm2、下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）A. B. C. D.3、将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”.假如“筝形”下个定义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是（）A.有两组邻边相等的四边形称为“筝形”B.有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”C.两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”D.以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”4、在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为（）A.（﹣1，﹣2）B.（1，2）C.（2，﹣1）D.（﹣2，1）5、已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则△ABC的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A.12B.14C.15D.12或157、已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A.8或10B. 8C.10D.6或128、如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（）A.甲、乙都正确B.甲、乙都错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确9、一个等腰三角形的底角为70°，则它的顶角为（）A.100°B.140°C.50°D.40°10、妈妈问小欣现在几点了，小欣瞧见了镜子里的挂钟如图所示（分针正好指向整点位置），她就立刻告诉了妈妈正确的时间，请问正确的时间是（）A. 点分B. 点分C. 点分D. 点分11、如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为( )A.12B.9C.8D.612、如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使，连接DE.若，则∠E的度数是（）A.65°B.60°C.50°D.40°13、如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD 上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°14、点关于x轴对称的点的坐标为（）A. B. C. D.15、下列图形中，可近似看成轴对称图形的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线DE交BC于点E，连接AE，若∠BAC＝100°，则∠AEC的大小为________度．＞0）与抛物线17、如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a1＜0）都经过y轴正半轴上的点A．过点A作x轴的平行（a2线，分别与这两条抛物线交于B、C两点，以BC为边向下作等边△BCD，则△BCD的面积为________．18、如图，把长方形ABCD沿直线EF对折，折痕为EF，对折后的图形EB’G F 的边FG恰好经过点C，若，则=________.19、如果，等腰△ABC中，AB=5，BC=4，边AB的垂直平分线交边AC于点E，那么△BCE的周长等于________20、如图，P是等边△ABC内的一点，PA=2cm，PC=3cm，AC=4cm，若将△ACP绕点A按逆时针方向旋转到△ABP′，则PP′=________．21、如图，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝________cm.22、如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为________.23、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为________．24、如图，延长正方形的边到，使，则________度.25、一块三角形材料如图所示，∠A＝∠B＝60°，用这块材料剪出一个矩形DEFG，其中，点D，E分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积s与x之间的函数解析式是s＝﹣ x2+ x，则AC的长是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．27、如图，中，．(Ⅰ)作图：在CB上截取，连接AD，过点D作，垂足为E；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(Ⅱ)求的度数．28、如图，△ABC中，AB=AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上，求证：NB=NC．29、如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于E交BC边延长线于F，AE=1.求BF的长.30、如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以A、B为圆心，以相等长度（大于AB的长度）为半径画弧，得到两个交点M、N，作直线MN分别交AC、AB于E、D两点，连接EB，若∠EBC=28°，求∠A的度数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B3、D4、A5、D6、C7、C8、D9、D10、D11、B12、A13、C14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、30、。

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典练习(含答案解析)

一、选择题1．如图，在等腰三角形ABC 中，,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，已知6,2AC DE ==，则BC 的长为（）A ．13B ．32C ．40D ．20 2．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ；（3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③ 3．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（） A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°或20° 4．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（）．A ．6B ．8C ．10D ．115．下列命题中，假命题是（） A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形C ．相等的两个角是对顶角D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形6．下列命题正确的是（）A ．全等三角形的对应边相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个全等三角形一定成轴对称D ．所有等腰三角形都只有一条对称轴 7．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（）A ．不变B ．一直变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大 10．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④ 11．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法比较1S 、2S 的大小关系 12．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 13．下列图案中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．14．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则EBQ ∠=（）A ．65︒B ．60︒C ．56︒D ．50︒15．如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧交BC 于点D ，再分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，如果AB ＝3，AC ＝4，那么线段AE 的长度是（）A ．125B ．95C ．85D ．75二、填空题16．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．17．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ，AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ，10,3BC EF ==，则AEF 的周长是________．18．如图，在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，其中点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①ACE DBC ∠=∠；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④BD CE =．一定正确的是______．19．如图，∠MON=30°，点123A A A 、、…在射线ON 上，点123B B B 、、…在射线OM 上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为1a ，第2个等边三角形的边长记为2a ，以此类推．若11OA =，则2021a =____．20．如图30AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上一点，//PD OA 交OB 于点D ，PE OA ⊥于E ，6cm OD =，则PE =________．21．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．22．如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．23．如图，在ABC 中，30EFD ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则B 的度数为______．24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=36°，AD 、CE 是△ABC 的两条角平分线，BD=5，P 是AD 上的一个动点，则线段BP ＋EP 最小值的是____________．25．已知，点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称，则2a b +___________． 26．如图，在ABC 中，12 cm AB AC ==， 6 cm BC =，D 为AC 的中点，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A B C --的方向运动，设运动时间为t ，当过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，当其中一部分是另一部分的2倍时，t =_________．三、解答题27．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动．（1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．28．已知，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，连接,AC BD ，判断,AC BD 的位置关系，并加以证明．29．如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，求ACE ∠的度数．30．如图：已知ABC 中AB AC =：（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．。

八年级数学上册第十三章轴对称经典大题例题(带答案)

八年级数学上册第十三章轴对称经典大题例题单选题1、如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（）A．在∠B的平分线与DE的交点处B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处答案：C分析：根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，则水池修建的位置应该为P点．故选：C．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM=1，则PM+PN的最小值为（）A．3B．2√3C．3.5D．3√3答案：A分析：作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+ PN的最小值．解：如图所示，作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，∴PN+PM=PN+PM′，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，此时，∵Rt△AM′N中，∠A=30°，∴M′N=12AM′=12(7−1)=3，∴PM+PN的最小值为3，故选择A．小提示：本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3、若点P (a +1,2−2a )关于x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范围为（）A ．a >−1B ．a <1C ．−1<a <1D ．a <−1答案：C分析：根据关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出对称点，再由第四象限内点的坐标符号为（+，-），据此列不等式解答．解：∵点P (a +1,2−2a )关于x 轴的对称点坐标为（a +1，2a -2），且在第四象限，∴a +1>0，且2a -2<0，解得-1<a <1，故选：C ．小提示：此题考查了轴对称的性质，各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标符号特点是解题的关键．4、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知AB =AC =3,BC =4，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么CF 的长度是（）A ．2B ．127或2C ．127D ．125或2答案：B分析：分两种情况：若∠BFD=∠C或若∠BFD=∠A，再根据相似三角形的性质解题∵△ABC沿EF折叠后点C和点D重合，∴FD=CF，设CF=x，则FD=CF=x,BF=4−x，以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD=∠C，则BFBC =FDAC，即4−x4=x3，解得x=127；②若∠BFD=∠A，则BFAB =FDAC，即4−x3=x3，解得x=2．综上，CF的长为127或2，故选：B．小提示：本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5、如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF=8，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5答案：C分析：根据等腰三角形的性质可得CD=BD，从而得到S△ABC=2S△ABD，从而得到12AC⋅BF=2×12AB⋅DE，即可求解．解：∵AB=AC,AD⊥BC，∴CD=BD，∴S△ABC=2S△ABD，∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S△ABC=12AC⋅BF,S△ABD=12AB⋅DE，∴12AC⋅BF=2×12AB⋅DE，∵BF=8，∴DE=4．故选：C小提示：本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41°B．42°C．43°D．44°答案：B分析：设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．小提示：本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．7、如图，在△ABC中，∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．①③D．②③④答案：B分析：证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．解：∵△ABC中，AD，BE分别为B C、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=1AC，2∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜8、如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm答案：B分析：根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．∵△ABC是等边三角形，∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=12AC=12×4=2cm，∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．小提示：本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．9、如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2=15，则△PMN的周长为（）A．16B．15C．14D．13答案：B分析：根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义，求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．解：∵点P关于OB、OA的对称点P1，P2，∴P1M=PM，P2N=PN，∴△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，∵P1P2=15∴△PMN的周长为15．故选：B．小提示：本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．10、△ABC为等边三角形，点E为边AB的中点，点Q为边BC上一动点，以EQ为边作等边△EQF（点F在EQ 的右侧），连接AF、FC，点P在射线CB上，且满足PE=EQ，有以下四个结论①∠FQC＝∠QEB；②FQ＝FC；③PB+QC=AE；④当AF⊥AB时，BC＝4PB，其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，根据三角形内角和定理和平角的定义得出∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，进而可得∠FQC＝∠QEB，故①正确；根据点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，可得AE＝EB＝BH＝HC，△EBH是等边三角形，然后求出PB＝HQ即可得出PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；通过证明△PEH≌△FEH可得∠EHP＝∠EHF＝60°，求出∠EHF＝∠CHF，再证△EHF≌△CHF，求出FC ＝EF即可得出FQ＝FC，故②正确；当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误．解：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，∵△ABC为等边三角形，△EQF为等边三角形，∴∠EQF＝∠EBQ＝60°，∵∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，∴∠FQC＝∠QEB，故①正确；∵EG⊥BC，PE=EQ，∴PG＝GQ，∵点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，∠ABC＝60°，∴AE＝EB＝BH＝HC，∴△EBH是等边三角形，∵EG⊥BH，∴BG＝GH，∴PB＝HQ，∴PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；∵EG⊥BC，PE=EQ，△EBH是等边三角形，∴∠BEG＝∠HEG，∠PEG＝∠QEG，∠BEH＝∠EHB＝60°，EH＝EB，∴∠PEB＝∠QEH，∵在等边三角形△EQF中，∠FEQ＝60°，EF＝EQ＝FQ，∴∠PEH＝∠FEH，PE＝FE，又∵EH＝EH，∴△PEH≌△FEH（SAS），∴∠EHP＝∠EHF＝60°，∴∠FHC＝60°，即∠EHF＝∠CHF，∵AE＝EB＝BH＝HC，EH＝EB，∴EH＝HC，又∵HF＝HF，∴△EHF≌△CHF（SAS），∴FC＝EF，∴FQ＝FC，故②正确；④∵BH＝CH，BG＝GH，BP＝HQ，∴当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误；综上，正确的有3个，故选：C．小提示：本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键．填空题11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若CD=1，则AD的长为________．答案：2分析：根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=∠A=30°，求得∠CBD=30°，即可求出答案．解：∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠CBD=30°，∵CD=1，∴AD=BD=2CD=2，所以答案是：2．小提示：此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．12、在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有________个，按对称轴条数由多到少排列是_______________．答案： 5 圆、正六边形、五角星、等边三角形、锐角分析：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，进行求解即可．解：锐角时轴对称图形，对称轴为1条；五角星是轴对称图形，对称轴有5条；等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条；圆是轴对称图形，对称轴有无数条；正六边形是轴对称图形，对称轴有6条，所以答案是：5；圆，正六边形，五角星，等边三角形，锐角．小提示：本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13、如图，在ΔABC中，AB=7cm，BC=5cm，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上的任意一点，则ΔBCF周长的最小值是________cm．答案：12分析：当F点于D重合时，ΔBCF的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出ΔBCF的周长．∵DE垂直平分AC，∴点C与A关于DE对称，∴当F点于D重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），∴ΔBCF的周长为：CΔBCF=BD+CD+BC，∵DE是垂直平分线，∴AD=CD，又∵AB=7cm，∴BD+AD=BD+CD=7cm，∴CΔBCF=7+5=12cm，所以答案是：12．小提示：本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键．14、如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE=108°，则图1中的∠DEF的度数是______．答案：24°##24度分析：先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得a的值．∵AD∥BC，∴设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2a，图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2a﹣a＝108°．解得a＝24°．即∠DEF＝24°，所以答案是：24°．小提示：本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．15、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=_________°．答案：30分析：根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.解：∵EF垂直平分BC，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.所以答案是：30.小提示：本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.解答题16、如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）：(1)画出△ABC中BC边上的高AD；(2)画出先将△ABC向左平移5格，再向下平移2格后的△A1B1C1；(3)画一个△BCP（要求各顶点在格点上，P不与A点重合），使其面积等于△ABC的面积．并回答，满足这样条件的点P共______个．答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；2分析：（1）根据三角形高的定义求解可得；（2）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）过点A作平行于BC的直线，同样结合网格的特点在直线BC的另一侧也可以找出符合条件的格点P，共（1）解：如图：作BF⊥BC，再过A点作BF的平行线，交BC于点D，（2）解：如图：（3）解：如图符合条件的格点共有4个，小提示：本题用到的知识点为：三角形一边上的高为这边所对的顶点向这边所引的垂线段，对称的性质；图形的平移要归结为各顶点的平移，平行线间距离处处相等．17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．答案：见解析分析：连接AD，首先根据垂直平分线的性质得到∠DAB=∠B=30°，然后根据AB=AC，求出∠B=∠C=30°，∠DAC=90°，最后根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可证明出CD=2BD．证明：连接AD，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B，又∵∠B=30°，∴∠DAB=30°，又∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，∴∠DAC=90°，又∵∠C=30°，∴CD=2AD，又∵AD=BD，∴CD=2BD．小提示：此题考查了等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是连接AD求出∠DAB=∠B=30°．18、如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D．求证：∠2=∠1+∠C．答案：见解析分析：延长AD交BC于点F，由BE是角平分线、AD⊥BE可知△ABF是等腰三角形且∠2＝∠AFB，根据∠AFB＝∠1＋∠C可得证．证明：如图，延长AD交BC于点F，∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，∴AB=FB，∴∠2=∠AFB，∵∠AFB=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C．小提示：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．。

人教版八年级上册数学第十三章轴对称含答案(完美版)

人教版八年级上册数学第十三章轴对称含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连接EC，则△CDE的周长为（）A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm2、如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）A.8B.4C.12D.163、已知：如图，直线与轴、轴分别交于，两点，两动点，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度从、两点同时出发向点运动（运动到点停止）；过点作交抛物线于、两点，交于点，连结、．若抛物线的顶点恰好在上且四边形是菱形，则、的值分别为（）A. 、B. 、C. 、D.、4、甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．A.黑（3，7）；白（5，3）B.黑（4，7）；白（6，2）C.黑（2，7）；白（5，3）D.黑（3，7）；白（2，6）5、如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D 是BC的中点，BE，CF交于点M，如果CM=4，FM=5，则BE等于( )A.14B.13C.12D.116、在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点I，边AB和AC的垂直平分线交于点O，若∠BIC＝90°+ θ，则∠BOC＝（）A.90°﹣θB.2θC.180°﹣θD.以上答案都不对7、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，若∠BDC=120°，则∠A的度数为（）A.110°B.60°C.80°D.100°8、下列图形中，是轴对称图形的个数是（）．A.1个B.2个C.3个D.4个9、把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC，CD，则△BCD是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.任意三角形10、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.11、如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是( )A.∠B=48°B.∠AED=66°C.∠A=84°D.∠B+∠C=96°12、如图，O是等边△ABC内一点，OA=6，OB=8，OC=10，以B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论：①△BO′A 可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；②连接OO′，则OO′=8；③∠AOB=150°；④其中正确的有（）A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④13、下列命题中：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；④有一个角是60°的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（）A.2B.3C.4D.514、如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y＝的图象经过点B，则下列关于m，n2的关系正确的是（）A.m＝nB.m＝﹣nC.m＝﹣nD.m＝﹣3n15、下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠BAD=120°，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点C作CF∥AE，交AD于点F，则四边形AECF的面积为________．17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD=12cm，则BC的长为________ cm．18、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是________．19、如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF的度数为________．20、如图，已知在中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是________ ．（只需填上一个正确的条件）21、如图，中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接若，，则的周长为________.22、点A(2，－3)关于x轴对称的点的坐标是________．23、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是________24、如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连结CD.请回答：若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为________.25、如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在中，，点在边上，且，连接，若，求的度数．27、以给出的图形“○,○,△,△, ”(两个相同的圆、两个相同的等边三角形、两条线段)为构件,各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形或中心对称图形.举例:如图,左框中是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗?请在右框中画出与之不同的图形.28、已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G 不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证：DG=2PC；②求证：四边形PEFD是菱形；（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．29、作图题：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．①在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1并写出A1， B1， C1的坐标；②在y轴上画出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）③求△ABC的面积．30、若等腰三角形一腰上的中线把三角形分为两个周长为 15cm和 18cm的三角形，且该中线长6cm，请画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的底边长.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)2、A3、A4、C5、C6、B7、D8、D9、B10、C11、B12、B13、A14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。

人教版八年级数学上册轴对称图形(含答案)

轴对称图形一、选择题1.如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）A.10：05B.20：01C.20：10D.10：022.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC3.如下图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A.①B.②C.⑤D.⑥4.将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是( ）5.在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个6.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题7.如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个．8.如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有______种．9.如图是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是10.若点A(1﹣m，6)与B(2+n，6)关于某坐标轴对称，则m﹣n= .三、作图题11.如图，在平面直角坐标系中，(1）描出A(－ 4，3）B(－1，0）C(－2，3）三点．(2）△ABC的面积是(3）作出△ABC关于x轴的对称图形．12.在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为；（4）求△ABC的面积．参考答案1.答案为：B2.C3.答案为：B4.答案为：B.5.C6.B7.答案为：4．8.答案为：4．9.答案为：4:40.10.答案为：3.11. (1）如图所示；(2）3；(3）如图所示12.解：（1）B 点关于y 轴的对称点坐标为：（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（3）在（2）的条件下，A 1的坐标为：（3，4）；故答案为：（3，4）；（4）△ABC 的面积为：2×3﹣×2×2﹣×1×1﹣×1×3=2．。

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《第2 章轴对称图形》一、选择题1 ．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2 ．一张菱形纸片按如图1、图2 依次对折后，再按如图3 打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案）是（A．B．C．D．．已知等腰三角形的两边长分别为5 和6，则这个等腰三角形的周长为（）317或16 C ．17 D．16 ．A．11 B．如图，在△ABC 中，AB=AC ，且 D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为（）4A．30 °B．36 °C ．40 °D．45 °5 ．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E，BC=5 ，DE=2 ，则△BCE 的面积等于（）A．10 B．7C ．5D．4）6 ．如图，△ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB ，BE⊥AC ，AF ⊥BC ，则下面结论错误的是（....A ．BF=EFB．DE=EFC ．∠EFC= 45 °D．∠BEF=∠CBE7 ．如图，在第1 个△A BC 中，∠B=30 °，AB=CB ；在边 A B 上任取一点D ，延长CA 到A ，21111使 A A =A D ，得到第 2 个△A A D；在边 A D 上任取一点E，延长 A A 到A ，使A A =A E，211122221323得到第 3 个△ A A E，?按此做法继续下去，则第n 个三角形中以 A 为顶点的内角度数是（）n23n1n1nn﹣﹣．（ D ）°B．（）?75 °?65 °°?85 ）A ．（?75）．（CAE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE （∠ACE ＜120 8 ．如图，在线段°），点P 与点M 分）别是线段BE 是（和AD 的中点，则△CPMA ．钝角三角形B．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形9 ．如图是P 、P 、?、P 十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接PP、211012所形成的图形P P、PP、P 、P P，判断小玉再连接下列哪一条线段后，P7691016105）（不是轴对称图形？A ．PP B．P P C ．P P D．PP97883245....10．如图 1 ，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC 上取一点D，连结AD ，使得∠DAC= ∠ACD ．如图3 ，将△ACD沿着AD 所在直线折叠，使得点C 落在点 E 处，连结BE，得到四边形ABED ．则BE ）的长是（A．4B．C ．3D．2二、填空题11．下面有五个图形，与其它图形众不同的是第______个．12．如图，在2×2 方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC ，请你找出方格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有______个．13．如图，△ABC 中，∠C=90 °，∠BAC 的平分线交BC 于点 D ，若CD=4 ，则点 D 到AB 的距离是______ ．14．如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE=40 °则，∠DBC=______°．....15．如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过点O 作DE∥BC ，分别交AB、AC 于点D、E．若AB=5 ，AC=4 ，则△ADE 的周长是______．16．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ，∠BDE=70 °，则∠CAD=______°．17．如图，∠BAC=110 °，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 的度数是______．18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30 °，则它的顶角为______．19．在4×4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有______ 种．20．如图，∠AOB 是一角度为10 °的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG 、GH?，且OE=EF=FG=GH ?，在OA 、OB 足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为______．三、解答题....21．如图，在由边长为1 的小正方形组成的10 ×10 的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD 在直线l 的左侧，其四个顶点分别在网格的格点上．，D A ，B，C（1）请你在所给的网格中画出四边形A B C D ，使四边形 A B C D 和四边形11111111关于直线ABCD l对称；（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形A BC D 的面积．111122．如图，在△ABC 中，∠C=90 度．（1）用圆规和直尺在AC 上作点P，使点P 到A 、B 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）当满足（1）的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求∠ A 的度数．23．如图，在△ABC 中，DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于M 、N 两点，DM 与EN 相交于点F．（1）若△CMN 的周长为15cm ，求AB 的长；（2）若∠MFN=70 °，求∠MCN 的度数．....24．如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AC ，AB 上，BD 与CE 交于点O ，给出下列三个条件：①∠EBO= ∠DCO ；②BE=CD ；③OB=OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E，F 分别在边AB ，BC ，AC 上，且BD=CE ，BE=CF，如果点G 为DF 的中点，那么EG 与DF 垂直吗？26．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是BC 边上的点，连接AD 、AE，以△ADE 的边AE 所在直线为对称轴作△ADE 的轴对称图形△AD′E，连D接′C，若BD=CD ′﹒（1）求证：△ABD ≌△ACD′；（2）若∠BAC ﹦120 °，求∠DAE 的度数．27．如图，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD= ∠BCE=90 °，点M 为DE 的中点，过点 E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N ．1），求证：M 为AN 的中点；（1）当A ，B，C 三点在同一直线上时（如图（2）将图 1 中的△BCE 绕点 B 旋转，当），求证：△2 ACNA ，B，E 三点在同一直线上时（如图为等腰直角三角形；....（3）将图1 中△BCE 绕点 B 旋转到图 3 位置时，（ 2 ）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．....《第 2 章轴对称图形》参考答案与试题解析一、选择题1 ．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．【解答】解： A 、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2 ．一张菱形纸片按如图1、图2 依次对折后，再按如图3 打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案）是（A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论．故选C．....【点评】此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注意培养．），则这个等腰三角形的周长为（和63 ．已知等腰三角形的两边长分别为517或A．11B．16C ．17 D．16【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义 6 【分析】分列式计算即可得解．，566、、【解答】解：①6 是腰长时，三角形的三边分别为能组成三角形，=6+6+5=17周长；，、 5 ②6是底边时，三角形的三边分别为6、5能组成三角形，=6+5+5=16周长．．1716 或综上所述，三角形的周长为．D故选【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．）的度数为（，则∠ B AB=BD BC AB=AC 4 ．如图，在△ABC 中，，且D 为上一点，CD=AD ，°°．°36 C 40 D．45 ．°．A 30 B【考点】等腰三角形的性质．，180 的关系，利用三角形的内角和是°，求∠ B C B=2 ∠CAD=2 BAD=2 【分析】求出∠∠∠，AB=AC 【解答】解：∵，∠B=∴∠CAB=BD ，∵....，∠BDA ∴∠BAD=，CD=AD ∵，∴∠C= ∠CAD°，C=180 ∠∠CAD+ ∠B+∵∠BAD+°，∴5∠B=180°B=36 ∴∠．故选：B∠【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2关系． C ∠B=2 ∠CAD=2，，DE=2 BC=5 BE 5 ．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，平分∠ABC ，交CD 于点E，）的面积等于（则△BCE4D．5 710B．C ．．A【考点】角平分线的性质．，根据角平分线的性质求得 F BC 【分析】作EF⊥于，然后根据三角形面积公式求得即可．EF=DE=2， F BC 【解答】解：作EF⊥于⊥，ED AB，EF BC ，⊥平分∠∵BE ABC，∴EF=DE=2= BC? EF= ∴S，××52=5 BCE△．C故选【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．），⊥AF AC ⊥BE，（BC ，则下面结论错误的是AB 垂直平分，AB=AC 中，△．如图，6 ABC DE....A ．BF=EFB．DE=EFC ．∠EFC=45 °D．∠BEF=∠CBE【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的三线合一得到BF=FC ，根据直角三角形的性质判断A ；根据直角三角形的性质判断B；根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质判断C ，根据直角三角形的性质判断．D【解答】解：∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=FC ，∵BE⊥AC ，∴EF= BC=BF ，A 不合题意；∵DE=AB ，EF= BC ，不能证明DE=EF，B 符合题意；∵DE 垂直平分AB ，∴EA=EB ，又BE⊥AC ，∴∠BAC=45 °，∴∠C=67.5 °，又FE=FC，∴∠EFC=45 °，C 不合题意；∵FE=FB，∴∠BEF=∠CBE；故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7 ．如图，在第1 个△A BC 中，∠B=30 °，AB=CB ；在边 A B 上任取一点D ，延长CA 到A ，21111使 A A =A D ，得到第 2 个△A A D；在边 A D 上任取一点E，延长 A A 到A ，使A A =A E，211221213232得到第 3 个△ A A E，?按此做法继续下去，则第n 个三角形中以 A 为顶点的内角度数是（）n23....nn1n1﹣﹣n．（?75°D ?65°C ．（）A ．（）?75°B．（）°?85）【考点】等腰三角形的性质．【专题】规律型．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的1n 个三角形中以性质分别求出∠DA A ，∠EA A 及∠FA A 的度数，找出规律即可得出第为顶A 322134n点的内角度数．【解答】解：∵在△CBA 中，∠B=30 °，AB=CB ，11°，C==75 ∴∠BA 1∵AA=A D，∠BA C 是△AA D 的外角，221111∴∠DA A=∠BAC= ×75 °；121同理可得，23°，75 （）×）×75 °，∠FAA =（EA A∠=4323n1﹣×75 °．）为顶点的内角度数是（n 个三角形中以 A ∴第n．C故选：DA A，∠EA A 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠2321的度数，找出规律是解答此题的关键．A FA 及∠348 ．如图，在线段AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE （∠ACE ＜120 °），点P 与点M 分）别是线段BE 和AD 的中点，则△CPM 是（....A ．钝角三角形B．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】首先根据等边三角形的性质，得出AC=BC ，CD=CE ，∠ACB= ∠ECD=60 °，则∠BCE=∠ACD ，从而根据SAS 证明△BCE≌△ACD ，得∠CBE= ∠CAD ，BE=AD ；再由点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，得BP=AM ，根据SAS 证明△BCP ≌△ACM ，得PC=MC ，∠BCP= ∠ACM ，则∠PCM= ∠ACB=60 °，从而证明该三角形是等边三角形．【解答】解：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∠ACB= ∠ECD=60 °．∴∠BCE= ∠ACD ．∴△BCE ≌△ACD ．∴∠CBE= ∠CAD ，BE=AD ．又点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，∴BP=AM ．∴△BCP ≌△ACM ．∴PC=MC ，∠BCP= ∠ACM ．∴∠PCM= ∠ACB=60 °．∴△CPM 是等边三角形．故选：C．【点评】三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用，本题结合三角形全等的知识，考查了等边三角形的性质．9 ．如图是P 、P 、?、P 十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接PP、211012所形成的图形PP P、PP、P 、P ，判断小玉再连接下列哪一条线段后，P7961011065）（不是轴对称图形？A ．PP B．P P C ．P P D．PP97883245....【考点】利用轴对称设计图案．【分析】利用轴对称图形的性质分别分析得出即可．时，所形成的图形是轴对称图形，P，PP P P，【解答】解：由题意可得：当连接P874253时，所形成的图形不是轴对称图形．当连接PP98．D故选：【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．，2上取一点D，在底边BC ，．如图10 1 ，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=4BC=7．如图连结处，连 E 落在点沿着，使得∠AD DAC= ∠ACD ．如图 3 ，将△ACD AD所在直线折叠，使得点C）结BE，得到四边形的长是（ABED ．则BE 23．D．．．A4BC【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．即可解决问题．=、，只要求出BM BD MBE ABD 【分析】只要证明△∽△，得，【解答】解：∵AB=AC，C ∴∠ABC= ∠，∠ACD DAC= ∵∠，∴∠ABC DAC= ∠，∵∠CC= ∠，∴△CAD ∽△CBA，=∴，∴=，，CD=∴﹣BD=BC CD=，∠∠DAM= ∵∠DAC= ADB ∠ADM= ，∠DBA，∽△ADM ∴△BDA....∴=，即=，∴DM=，MB=BD﹣DM=，∵∠ABM= ∠C= ∠MED ，∴A、B、E、D 四点共圆，∴∠ADB= ∠BEM，∠EBM= ∠EAD= ∠ABD ，∴△ABD ∽△MBE，∴=，∴BE===．故选B．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题11．下面有五个图形，与其它图形众不同的是第③个．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第①②④⑤个图形是轴对称图形，第③个不是．....故答案为：③．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．12．如图，在2×2 方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC ，请你找出方格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有5个．【考点】利用轴对称设计图案．【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形进行画图即可．【解答】解：如图：与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形有△ABD 、△BCD 、△FBE、△HCE ，△AFG ，共 5 个．故答案为：5．【点评】本题考查轴对称图形的定义，以及利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．13．如图，△ABC 中，∠C=90 °，∠BAC 的平分线交BC 于点 D ，若CD=4 ，则点 D 到AB 的距离是4．【考点】角平分线的性质．....【分析】过点 D 作DE⊥AB 于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD ，即可得解．，于点E【解答】解：如图，过点D 作DE⊥AB的平分线，BAC ∵AD 是∠∴DE=CD ，∵CD=4 ，DE=4 ．∴4．故答案为：【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作出图形并熟记性质是解题的关键．°．DE AB=AC ，垂直平分AB ，已知∠ADE=40 °则，∠DBC=15ABC 14．如图，在等腰三角形中，【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．°，根据三角形内角和定理和等∠ABD=50 AD=BD 【分析】根据线段垂直平分线求出，推出∠A=，即可得出答案．腰三角形性质求出∠ABC垂直平分DE 【解答】解：∵，ABAD=BD ，∠°，AED=90 ∴ABD A= ∴∠∠，∵∠ADE=40 °，°=50 °，40 A=90 ∴∠°﹣∴∠A=50 ABD= ∠°，∵，AB=AC∴∠=65 ）A °﹣∠180 C= ∠ABC= （°，....∴∠DBC= ∠ABC ﹣∠ABD=65 °﹣50 °=15 °，故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．15．如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过点O 作DE∥BC ，分别交AB、AC 于点D、E．若AB=5 ，9．AC=4 ，则△ADE 的周长是【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC 中，∠ B 与∠ C 的平分线交于点O ，过点O 作DE∥BC ，易证得△DOB 与△EOC是等腰三角形，即DO=DB ，EO=EC ，继而可得△ADE 的周长等于AB+AC ，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC 中，∠ B 与∠ C 的平分线交于点O ，∴∠DBO= ∠CBO ，∠ECO= ∠BCO ，∵DE∥BC ，∴∠DOB= ∠CBO ，∠EOC= ∠BCO ，∴∠DBO= ∠DOB ，∠ECO= ∠EOC ，∴OD=BD ，OE=CE ，∵AB=5 ，AC=4 ，∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4 =9．故答案为：9．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB 与△EOC 是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．16．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ，∠BDE=70 °，则∠CAD=70°．....【考点】轴对称的性质；平行线的判定与性质．【专题】常规题型．【分析】先证明四边形BDEC 是菱形，然后求出∠ABD 的度数，再利用三角形内角和等于180 °求出∠BAD ，然后求解即可．BAC= ∠BAD 的度数，然后根据轴对称性可得∠【解答】解：∵CD 与BE 互相垂直平分，∴四边形BDEC 是菱形，∴DB=DE ，∵∠BDE=70 °，∴∠ABD==55 °，∵AD ⊥DB，∴∠BAD=90 °﹣55 °=35 °，根据轴对称性，四边形ACBD 关于直线AB 成轴对称，∴∠BAC= ∠BAD=35 °，∴∠CAD= ∠BAC+ ∠BAD=35 °+35 °=70 °．故答案为：70．【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，判断出四边形BDEC 是菱形并得到该图象关于直线AB 成轴对称是解题的关键．17．如图，∠BAC=110 °，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 的度数是40 °．【考点】线段垂直平分线的性质．....【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C 的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB ，QA=QC，得到∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，结合图形计算即可．【解答】解：∵∠BAC=110 °，°，∠C=70 ∴∠B+∵MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，∴PA=PB ，QA=QC ，∴∠PAB= ∠B，∠QAC= ∠C ，∴∠PAB+ ∠QAC= ∠B+ ∠C=70 °，∴∠PAQ= ∠BAC ﹣（∠PAB+ ∠QAC ）=40 °，故答案为：40 °．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30 °，则它的顶角为60 °或120 °．【考点】等腰三角形的性质．【专题】计算题；分类讨论．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是120 °；当高在三角形外部时，顶角是60 °．60 °120或°．故答案为：【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120 °一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．19．在4×4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与13 种．其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有....【考点】利用轴对称设计图案．【专题】压轴题．【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．【解答】解：如图所示：做法，故一共有13．13故答案为：【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：AOB 20．如图，∠是一角度为10 、EF足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数FG 、OB 、OA OE=EF=FG=GH ?，且GH?，在．8为【考点】等腰三角形的性质．【专题】应用题．....【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE 相等，∠AOB=10 °，∴∠GEF= ∠FGE=20 °，?从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10 °，第二个是20 °，第三个是30 °，四个是40 °，五个是50 °，六个是60 °，七个是70 °，八个是80 °，九个是90 °就不存在了．所以一共有8 个．故答案为8 ．【点评】此题考查了三角形的内角和是180 度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．三、解答题21．如图，在由边长为1 的小正方形组成的10 ×10 的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD 在直线l 的左侧，其四个顶点分别在网格的格点上．，D C A ，B，（1）请你在所给的网格中画出四边形A B C D ，使四边形 A B C D 和四边形11111111关于直线ABCD l对称；（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形A BC D 的面积．1111【考点】作图-轴对称变换．【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；（2）利用矩形的面积减去四个顶点上三角形的面积即可．【解答】解：（ 1 ）如图所示．....（2）S =3 ×4﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×2 A1B1C1D1四边形2﹣1﹣=12 ﹣1﹣=．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．22．如图，在△ABC 中，∠C=90 度．（1）用圆规和直尺在AC 上作点P，使点P 到 A 、B 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）当满足（1）的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求∠ A 的度数．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】作图题．【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可；（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．那么点P 是∠ B 的平分线和线段AB 的垂直平分线的交点．【解答】解：（1 ）....（2）连接BP．∵点P 到AB 、BC 的距离相等，∴BP 是∠ABC 的平分线，∴∠ABP= ∠PBC ．又∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴PA=PB ，∴∠A= ∠ABP ．∴．。

八年级数学(上册)《轴对称图形》经典例题含解析