高考数学二轮复习专题选讲
2024年高考数学大二轮专题复习+课件(全国卷题型版)
实和
设置 科技 发展 与进 步情 境
4.(2022·全国乙卷(理))嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续
进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星．为
研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 数列的
{bn}：b1＝1＋a11，b2＝1＋a1＋1 a12，b3＝1＋a1＋a12＋1 a13，…，
开篇
命题体现三 设置真实情境
通过设计生活实践情境和学习探索情境作为任务创设和基本知识能力 运用考查的载体，实现对学生学科基本概念、原理、技能和思维方法的考查 和选拔，未来高考命题中情境已经是命题的必备要素，没有情境的试题会越 来越少，通过情境设置考查学生的关键能力和核心素养，是当前高考改革以 及国际考试测量的基本方向，因此，“无情境，不命题；无情境，不教学”．
9－3 3
B． 2
C． 2
9－4 3 D． 2
设置情境
设置社会 经济发展 情境
真题体现
对应考点 点评分析
4.(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解
了北方一些地区水资源短缺问题，其中
从日常生活、生产
一部分水蓄入某水库．已知该水库水位
实践中广泛选材
为海拔 148.5 m 时，相应水面的面积为 140.0 km2；水位为海拔 157.5 m 时，相 应水面的面积为 180.0 km2.将该水库在
︵
的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是
︵
以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在AB上，
︵
CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值 s 的计算公式：s
＝AB＋CODA2.当 OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第4篇考前知识回扣易错提醒保分课件
5.判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数 的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运 算．
6.对于含有全称量词或存在量词命题的否定，要注意两个方面：一 是量词的改写；二是结论的否定.
第2讲 复数、平面向量
一、知识回扣
1.复数的相关概念及运算法则 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ①z是实数⇔__b_＝__0____； ②z是虚数⇔___b_≠_0____； ③z是纯虚数⇔___a_＝__0_且__b_≠_0____. (2)共轭复数 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数－z ＝a－bi.
中心
正弦函数 y＝sin x x＝π2＋kπ (k∈Z)
(kπ，0) (k∈Z)
余弦函数 y＝cos x
x＝kπ(k∈Z)
π2＋kπ，0 (k∈Z)
正切函数 y＝tan x
k2π，0 (k∈Z)
9.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)“五点法”作图 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π2，π，32π，2π，求出相应的 x 的值与 y 的值， 描点、连线可得． (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值 点作为解题突破口．
5.平面向量的数量积 (1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x_1x_2_＋__y_1_y2____________.
6.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔___x1_y_2_－__x_2y_1_＝__0____________. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔___x_1_x2_＋__y_1_y_2＝__0____________. 7.利用数量积求长度
高考数学新课标全国二轮复习课件9.选考部分1
F为这个椭圆的焦点,直线m为椭圆的准线,常数e为离心率).
(8)了解定理(5)③中的证明,了解当β无限接近α时,平面π的极限结果.
1.相似三角形的判定 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形
对应边的比值叫做相似比(或相似系数).
(2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构 成的三角形与原三角形相似. (3)判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. (4)判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形 的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形 相似. (5)判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的 两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例
①β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆. ②β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线. ③β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线.
(6)会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示,这两个球位于圆锥的内部,一个位于 平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥面均相切,其切点分别为 F,E)证明上述定理①的情形:当β>α时,平面π与圆锥的交线为椭圆.
考点1
考点2
考点1
考点2
变式训练1 在△ABC中,∠ACB=90°,AC长度为2,点D在BC边上,且CD长度为1.若∠CAD=∠B, 则BD的长度是多少?
解:依据题意作图如右图所示,可知tan∠CAD=tan∠B,
即2 = 1+������������ ,解得 BD=3.
全国高考数学二轮复习专题七系列4选讲第2讲不等式选讲学案理
第2讲 不等式选讲[考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．热点一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a . (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 (2018·湖南省长郡中学模拟)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|， 得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，由f (x )≥4－|x －4|，无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|， 得2x －6≥4，解得x ≥5.故不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)令h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a ，由|h (x )|≤2，当x ≤0或x ≥a 时，显然不成立． 当0<x <a 时，由|4x －2a |≤2， 解得a －12≤x ≤a ＋12.又知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)若函数g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12<x <1，3x ，x ≥1.由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，x ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f (x )≤3的解集为{}x |－1≤x ≤1.(2)由(1)知，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝32，g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019≥||2x －2 018－a －2x ＋2 019＝|a －1|， 则|a －1|≤32，解得－12≤a ≤52，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.热点二 绝对值不等式恒成立(存在)问题定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．例2 设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －a |(a >0)． (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f (x )≤32成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，由f (x )>8， 得|2x ＋1|＋|x －2|>8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －1>8或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <2，x ＋3>8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x ＋1>8，得x >3或x ∈∅或x <－73，所以x >3或x <－73，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－73∪(3，＋∞)． (2)因为∃x ∈R ，使得f (x )≤32成立，所以f (x )min ≤32.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1－a ，x ≥a ，x ＋a ＋1，－12<x <a ，－3x －1＋a ，x ≤－12，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12＋a ，所以12＋a ≤32，所以a ≤1.又a >0，所以实数a 的取值范围是(]0，1. 思维升华 绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式．(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值． (4)得结论．跟踪演练2 (2018·东北三省三校模拟)已知函数f (x )＝||2x ＋b ＋||2x －b . (1)若b ＝1，解不等式f (x )>4；(2)若不等式f (a )>||b ＋1对任意的实数a 恒成立，求b 的取值范围． 解 (1)当b ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|>4， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，4x >4⇒x >1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－4x >4⇒x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <12，2>4⇒x ∈∅，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)f (a )＝|2a ＋b |＋|2a －b |＝|2a ＋b |＋|b －2a |≥|(2a ＋b )＋(b －2a )|＝|2b |， 当且仅当(2a ＋b )(b －2a )≥0时，f (a )min ＝|2b |， 所以|2b |>|b ＋1|，所以(2b )2>(b ＋1)2， 即(3b ＋1)(b －1)>0，所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)．热点三 不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 例3 (2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋||x －3. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.(1)解 f (x )≤x ＋1，即|x －1|＋||x －3≤x ＋1. ①当x <1时，不等式可化为4－2x ≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵x <1，∴x ∈∅；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为2x －4≤x ＋1，解得x ≤5. 又∵x >3，∴3<x ≤5.综上所得，1≤x ≤3或3<x ≤5，即1≤x ≤5. ∴原不等式的解集为[]1，5. (2)证明 由绝对值不等式的性质，得|x －1|＋||x －3≥||(1－x )＋()x －3＝2，当且仅当(x －1)(x －3)≤0，即1≤x ≤3时，等号成立， ∴c ＝2，即a ＋b ＝2.令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m >1，n >1，a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝4， a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝()m －12m＋(n －1)2n＝m ＋n ＋1m ＋1n－4＝4mn ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1，当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立，∴原不等式得证．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练3 (2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|，M 为不等式f (x )<6的解集． (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，求证：|ab ＋1|>|a ＋b |.(1)解 f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|<6. 当x <－13时，f (x )＝－3x －1－3x ＋1＝－6x ，由－6x <6，解得x >－1，∴－1<x <－13；当－13≤x ≤13时，f (x )＝3x ＋1－3x ＋1＝2，又2<6恒成立， ∴－13≤x ≤13；当x >13时，f (x )＝3x ＋1＋3x －1＝6x ，由6x <6，解得x <1，∴13<x <1.综上，f (x )<6的解集M ＝{x |－1<x <1}． (2)证明()ab ＋12－(a ＋b )2＝a 2b 2＋2ab ＋1－(a 2＋b 2＋2ab )＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)． 由a ，b ∈M ，得|a |<1，|b |<1， ∴a 2－1<0，b 2－1<0， ∴(a 2－1)(b 2－1)>0， ∴||ab ＋1>|a ＋b |.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于 当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，(当且仅当a ＝b 时，等号成立) 因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4， 解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，解得x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.(当且仅当(2x －4)(2x ＋a )≤0时等号成立) 因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立， 所以(f (x )＋|x －2|)min <3， 所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1， 故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据 不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值． 解 (1)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可． 构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|， 则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4， 所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b 恒成立，求a ＋b 的最小值．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5. 2．(2018·全国Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4. 而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，当且仅当x ＋a 与2－x 同号时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．(2018·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f (x )＝|2x －4|＋|x ＋1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )≤9；(2)若方程f (x )＝－x 2＋a 在区间[0,2]上有解，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )≤9，即|2x －4|＋|x ＋1|≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，3x －3≤9或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，5－x ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－3x ＋3≤9，解得2<x ≤4或－1≤x ≤2或－2≤x <－1.∴不等式的解集为[－2,4]．(2)当x ∈[0,2]时，f (x )＝5－x .由题意知，f (x )＝－x 2＋a ，即a ＝x 2－x ＋5，x ∈[0,2]，故方程f (x )＝－x 2＋a 在区间[0,2]上有解，即函数y ＝a 和函数y ＝x 2－x ＋5的图象在区间[0,2]上有交点， ∵当x ∈[0,2]时，y ＝x 2－x ＋5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7， ∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 4．(2018·百校联盟TOP20联考)已知f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )≤4的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |恒成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时，由f (x )≤4，得2|x －1|－|x －2|≤4，当x ≤1时，由2(1－x )－(2－x )≤4，得－4≤x ≤1；当1<x <2时，由2(x －1)－(2－x )≤4，得1<x <2；当x ≥2时，由2(x －1)－(x －2)≤4，得2≤x ≤4.综上所述，f (x )≤4的解集为[－4,4]．(2)由不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |，得|2x ＋a |－|x －2|＋3|x －2|≥3a 2，即为|2x ＋a |＋|4－2x |≥3a 2，即关于x 的不等式|2x ＋a |＋|2x －4|≥3a 2恒成立，而|2x ＋a |＋|2x －4|≥|(2x ＋a )－(2x －4)|＝|a ＋4|，当且仅当(2x ＋a )(2x －4)≤0时等号成立，所以|a ＋4|≥3a 2，解得a ＋4≥3a 2或a ＋4≤－3a 2，解得－1≤a ≤43或a ∈∅. 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43. 5．(2018·上饶模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|.(1)求不等式f (x )≤8－|x －3|的解集；(2)若正数m ，n 满足m ＋3n ＝mn ，求证：f (m )＋f (－3n )≥24.(1)解 此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－2x －1＋(3－x )≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤3，2x ＋1＋(3－x )≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ x >3，2x ＋1＋x －3≤8，即不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，103. (2)证明 ∵m >0，n >0，m ＋3n ＝mn ，∴m ＋3n ＝13(m ·3n )≤13×(m ＋3n )24， 即m ＋3n ≥12，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ，m ＋3n ＝mn ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，n ＝2时取等号，∴f (m )＋f (－3n )＝|2m ＋1|＋|－6n ＋1|≥|2m ＋6n |，当且仅当(2m ＋1)(－6n ＋1)≤0，即n ≥16时取等号，又|2m ＋6n |≥24，当且仅当m ＝6，n ＝2时，取等号，∴f (m )＋f (－3n )≥24.B 组 能力提高6．(2018·榆林模拟)已知函数f (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＋a .(1)求不等式f (x )>a 的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )>a ，得|3x －1|>|2x ＋1|，不等式两边同时平方，得9x 2－6x ＋1>4x 2＋4x ＋1，即5x 2>10x ，解得x <0或x >2.所以不等式f (x )>a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)设g (x )＝|3x －1|－|2x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤－12，－5x ，－12<x <13，x －2，x ≥13，作出函数g (x )的图象，如图所示，因为g (0)＝g (2)＝0，g (3)<g (4)＝2<g (－1)＝3，又恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)<0，f (4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a <0，2＋a ≥0，故a 的取值范围为[)－2，－1.7．(2018·百校联盟TOP20联考)已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|.(1)解不等式f (x )>2|x |；(2)若f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2(a >0，b >0，c >0)对任意x ∈R 恒成立，求证：ab ·c <7232. (1)解 由f (x )>2|x |，得x 2＋|x －2|>2|x |，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x 2＋x －2>2x 或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，x 2＋2－x >2x或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋2－x >－2x ，解得x >2或0<x <1或x ≤0，即x >2或x <1.所以不等式f (x )>2|x |的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)证明 当x ≥2时，f (x )＝x 2＋x －2≥22＋2－2＝4； 当x <2时，f (x )＝x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥74， 所以f (x )的最小值为74. 因为f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意x ∈R 恒成立，所以a 2＋2b 2＋3c 2≤74. 又a 2＋2b 2＋3c 2＝a 2＋c 2＋2(b 2＋c 2)≥2ac ＋4bc ≥42abc 2，且等号不能同时成立，所以42abc 2<74，即ab ·c <7232. 8．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于 |x ＋1|－|x |≥12. ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12， 解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12， 解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵a ∈[0,1]，∴f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，∴f (x )max ＝a ＋1－a .对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14. ∴当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g (a )单调递增，当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，g (a )单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1时，g (a )min ＝1，∴b 的取值范围为(－∞，1]．。
高考数学二轮专题复习：选修系列
选修系列【考纲解读】1.了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定及性质定理；会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
2.了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影;会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).3.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;能在极坐标系中及极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程；理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。
5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程及参数的意义;能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.7.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程；了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用。
8.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：+≤+.①a b a b-≤-+-.②a b a c c b9.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：+≤+≥-+-≥;;.ax b c ax b c x a x b c10.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．11.了解矩阵的概念、常见的平面变换；理解二阶矩阵与平面向量、矩阵的复合与乘法、二阶逆矩阵及特征值、特征向量.【考点预测】高考对本部分知识的考查比较基础,其中含绝对值的不等式是考查的重点;几何证明多为初中直线和圆相关命题的证明;坐标系和参数方程主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化；矩阵与变换主要考查矩阵的基本运算.目前各省自主命题,选做的难度不大,均为基础性题目,所以复习时要以课本为主,熟练掌握基本运算.【要点梳理】1.相似三角形的判定及性质，是几何证明的基础，常常利用相似三角形的性质找出几何图形中等量关系，列方程计算。
高考数学二轮复习专题选讲
高考数学二轮复习专题选讲数列一.考试内容与要求1．考试内容数列、等差（比）数列的定义、性质的应用及其通项公式、前n项和公式.2．考试要求知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列的通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的递推公式写出数列的前几项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力.二．热点透视1．命题热点纵观近几年的全国数学高考试题，数列约占总分的10%—15%，考查的重点是等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，主要考察学生的运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，在选择、填空题中，突出了“小、巧、活”的特点；解答题以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容。
试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本数学方法。
2．考查热点回顾过去，展望未来，数列在今后高考中，仍将以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式的综合应用，更要特别重视数列的应用性问题。
三、本专题计划四课时课时一等差数列与等比数列一、 教学目标、重点、难点：1、掌握等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和公式、中项、性质，并能在解题中灵活运用。
2、注重等差数列与等比数列的区别和联系，类比与转化。
3、重视数列的相关运算经验与技巧的总结并练好运算基本功。
二、 训练反馈：1．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方程bx 2－2ax+c=0（ ） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根2．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）A ．7)1(p a +B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p pa +-+D ．()()[]p p pa +-+1183．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,012211==-+-+-m m m m S a a a ，则m 等于（ ）A ．38B ．20C ．10D ．94．数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n ∈N*满足以下运算性质：（1）2*2=1，（2）（2n+2）*2=3（2n*2）.则2n*2用含n 的代数式表示为 .5．设数列｛n a ｝，｛n b ｝分别为正项等比数列，T n ，R n 分别为数列｛lg n a ｝与｛lg n b ｝的前n 项和，且12+=n n R T nn ，则log 5b 5a 的数值为 ．二、典型例题：例1：设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{}n S n的前n 项和，求n T例2：（本小题满分12分）假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： （Ⅰ）每年年末．．．．加1000元； （Ⅱ）每半年．．．结束时加300元。
高考数学二轮复习选择题解法理 名师精编课件(全国通用)
根据一次函数的性质，结合选项可知，选项 B 正确． 答案：B
例 2－2(2015· 浙江卷)存在函数 f(x)满足：对于任意 x∈R 都有( A．f (sin 2x )＝sin x C．f (x 2＋1)＝|x ＋1| B．f (sin 2x )＝x 2＋x D．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
x，0<x≤1， (方法 2)由(0，2)上的函数 y＝f(x)的图象可知 f(x)＝ 1，1<x<2.
当 0<2－x<1 即 1<x<2 时，f(2－x)＝2－x； 当 1≤2－x<2 即 0<x≤1 时，f(2－x)＝1.
－1，0<x≤1， ∴y＝－f(2－x)＝ x－2，1<x<2，
x2 x3 2 8 x－ －2＝ .选 C. －21－ 4 dx＝ 12 3
答案：C
方法二
特例法(特值法)
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个 选项进行检验，从而作出正确的判断．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特 殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． 例 2－1(2014· 郴州二模)已知定义在区间(0，2)上的函数 y＝f(x)的图象如图 所示，则 y＝－f(2－x)的图象为( )
)
分析：根据题目特点，可采用取特殊值法求解． 解析：取 x ＝0， 项 A 错误； 取 x ＝0，π，可得 f (0)＝0，f (0)＝π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选 项 B 错误； 取 x ＝1，－1，可得 f (2)＝2，f (2)＝0，这与函数的定义矛盾，所以选项 C 错误； 取 f (x )＝ x ＋1，则对任意 x ∈R，都有 f (x 2＋2x )＝ x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，所 以选项 D 正确． 答案：D π ，可得 f (0)＝0，f (0)＝1，这与函数的定义矛盾，所以选 2
高考数学二轮专题复习 专题7.24课件
（2x－1）2－（2x－1）（x－1），2x－1≤x－1 f(x)＝（x－1）2－（2x－1）（x－1），2x－1＞x－1
f(x)＝t2 有两个不同的根，故 y＝h(x)有 5 个零 点．
(ⅱ)当|c|<2 时，f(t)＝c 有三个不同的根 t3，t4， t5，
满足|ti|<2，i＝3，4，5， 而 f(x)＝ti(i＝3，4，5)有三个不同的根， 故 y＝h(x)有 9 个零点． 综上所述，当|c|＝2 时，函数 y＝h(x)有 5 个零 点；
②当 x∈(1，2)时，f′(x)>0，于是 f(x)是单调增 函数．
又∵f(1)－d<0，f(2)－d>0，y＝f(x)－d 的图象 不间断，所以 f(x)＝d 在(1，2)内有唯一实根．
同理，f(x)＝d 在(－2，－1)内有唯一实根． ③当 x∈(－1，1)时，f′(x)<0，于是 f(x)是单调 减函数． 又∵f(－1)－d>0，f(1)－d<0， y＝f(x)－d 的图象不间断， ∴f(x)＝d 在(－1，1)内有唯一实根．
因此，当|d|＝2 时， f(x)＝d 有两个不同的根 x1，x2 满足|x1|＝1， |x2|＝2； 当|d|<2 时，f(x)＝d 有三个不同的根 x3，x4， x5， 满足|xi|<2，i＝3，4，5. 现考虑函数 y＝h(x)的零点： (ⅰ)当|c|＝2 时，f(t)＝c 有两个根 t1，t2， 满足|t1|＝1，|t2|＝2，而 f(x)＝t1 有三个不同的 根，
高考数学二轮复习课件及重点知识串讲 (28)
第2轮 · 数学(文科)
第一篇 二轮专题突破
(2)结论：当a＜1时，函数g(x)有且仅有一个零点． 理由如下：由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程xex－a＝x2， 显然x＝0为此方程的一个实数解，所以x＝0是函数g(x)的一个零点. 当x≠0时，方程可化简为ex－a＝x.设函数F(x)＝ex－a－x， 下： x F′(x) F(x) (－∞，a) － ↘ a 0 极小值 (a，＋∞) ＋ ↗
第2轮 · 数学(文科)
第一篇 二轮专题突破
[技法总结] 1．利用导数解决不等式恒成立问题的常用方法 (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
(2)函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值(最值)； 第三步：构建不等式求解．
第2轮 · 数学(文科)
第一篇 二轮专题突破
②当 a＞2 时，令 g′(x)＝0 得 x1＝a－1－ a－12－1，x2＝a－1＋ a－12－1． 由 x2＞1 和 x1x2＝1 得 x1＜1，故当 x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)单调递 减，因此 g(x)＜0． 综上，a 的取值范围是(－∞，2]．
第2轮 · 数学(文科)
第一篇 二轮专题突破
[变式提升]
2．(2018·锦州联考)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)． (1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在[－2,1]上的最大 值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．
第2轮 · 数学(文科)
第一篇 二轮专题突破
最新高考数学二轮复习解题思维提升专题选讲系列训练手册
专题17 选讲系列【训练目标】1、掌握极坐标与直角坐标的转换公式及意义；掌握直线，圆，椭圆，双曲线的参数方程，能熟练的将参数方程转化为普通方程；2、理解参数方程中参数的几何意义，并能利用参数解决简单的问题；3、掌握极坐标中极径的几何意义，能正确使用它来求线段长度；理解极角的含义；4、掌握极坐标与参数方程和解析几何的综合问题。
5、理解绝对值的含义，能解简单的绝对值不等式；6、掌握几何意义法解绝对值不等式；能正确的将绝对值函数化为分段函数，并根据分段函数解不等式；7、掌握绝对值的三角不等式；理解恒成立问题和存在性问题；8、初步掌握综合法和分析法证明不等式。
【温馨小提示】高考中极坐标与参数方程、绝对值不等式的解法及性质一般放在试卷的最后一题，二选一，共10分，属于容易题，必拿分题。
题目的类型并不多，平时做题时多总结即可。
【名校试题荟萃】1、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩（t为参数）.在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线。
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; （2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.【答案】（1），（2）【解析】（1）由3,{1,x ty t=-=+消去t得,所以直线l的普通方程为.由, 得.将代入上式,得曲线C的直角坐标方程为,即.所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为法2:设与直线l 平行的直线为,当直线l '与圆C 相切时,得,解得0b =或4b =-（舍去）, 所以直线l '的方程为0x y +=.所以直线l 与直线l '的距离为.所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2、在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：（θ为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：．（1）写出曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求使MN 最小时M 点的坐标． 【答案】（1）， （2）此时，，结合可解得：，，即所求M 的坐标为．3、在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：，2C ：．（1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：13422=+y x ，当2k θπ≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：，当2k θπ=+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ； （或曲线2C ：）4、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-=-=ty tx 27（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 的交点为Q B A ,,是曲线C 上的动点，求ABQ ∆面积的最大值．【答案】（1），（2）2【解析】 （1）由⎩⎨⎧+-=-=ty tx 27消去t 得，所以直线l 的普通方程为，由＝，得，化为直角坐标方程得：，所以曲线C 的直角坐标方程为.5、已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于.A B 两点，且||AB =l 的倾斜角α的值.【答案】（1） （2）【解析】（1）由θρcos 4=得.∵∴曲线C 的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程代入圆的方程化简得. 设A ,B 两点对应的参数分别为21,t t ，则21,t t 是上述方程的两根，则有. ∴∴∵[)πα，0∈∴.6、已知直线l的参数方程为1422x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程；（2）若直线与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值．【答案】 （1），（2）（2）将π6θ=代入曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=得ρ= ∴A点的极坐标为π6⎫⎪⎭． 将π6θ=代入直线l 的极坐标方程得，解得ρ=∴B点的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AB =7、平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()20M ,，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求MA MB ⋅． 【答案】 （1），22y x =（2）将其代入曲线C 的直角坐标方程可得，设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '． 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=． ∴．8、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos φ，y ＝asin φ（φ为参数，实数a ＞0），曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φ，y ＝b ＋bsin φ（φ为参数，实数b ＞0）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0≤α≤π2与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|＝4.（1）求a ，b 的值；（2）求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值． 【答案】（1）1，2 （2）42＋4化为普通方程为x 2＋（y －b ）2＝b 2，展开可得极坐标方程为ρ＝2bsin θ， 由题意可得当θ＝π2时，|OB|＝ρ＝4，∴b ＝2.（2）由（Ⅰ）可得C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝4sin θ. ∴2|OA|2＋|OA|·|OB|＝8cos 2θ＋8sin θcos θ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＋4 ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋4， ∵2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋4的最大值为42＋4， 当2θ＋π4＝π2，θ＝π8时取到最大值.9、已知函数．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围． 【答案】（1） （2）[]5,1-．【解析】 （1）当1a =时，，①当2x ≤-时，，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤， 综上所述，不等式的解集为．（2）∵，∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤， ∴a 的取值范围为[]5,1-． 10、已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1） 解集为（2） 实数的取值范围是.（2）设，则.因为当且仅当时取等号，所以.因为函数的值域为，所以有解，即.因为，所以，即.所以实数的取值范围是11、已知不等式的解集为． （1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）12、已知函数．（1）当时，求的解集；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，由，可得，①或②或③解①得：解②得：解③得：综上所述，不等式的解集为（2）若当时，成立，即故即对时成立故13、已知函数．（1）解不等式（2）若对任意的，任意的，使得成立，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）或14、已知（1）当a ＝—1，b ＝2时，解不等式f （x ）≥0； （2）若存在a ，b 的值，使不等式m 成立，求实数m 的最小值．【答案】（1） （2）-2【解析】 （1），解得． （2）由得，故，当且时取等号． 故．∴m 的最小值为．15、设，.（1）若的最大值为，解关于的不等式；（2）若存在实数使关于的方程有解，求实数的取值范围．【答案】 （1）； （2）16、在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=,曲线C 与曲线D 关于极点对称．（1）以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线D 的极坐标方程；（2）设P 为曲线D 上一动点,记P 到直线3sin -=θρ与直线2cos =θρ的距离分别为1d ,2d ，求1d +2d 的最小值． 【答案】（1） （2）【解析】 （1）设是曲线上任意一点,则关于原点的对称点在曲线上，且，将代入得， 则，即曲线的极坐标方程为。
高考数学复习讲座(二轮和三轮)】
315
337
乙
316
343
318
356
318
7 8 7 8
5 5 3
9 5 7
3 5 4 3 4 5 4
1 0 2 1 0 3 1 2
27 28 29 30 31 32 33 34 35
4 2 4
5 6
7
2 0 1 3 6
3 2 3
5 2 6
5 4 7
6 7
8 9
8
2.大题考什么 古典概型和几何概型（07年文考）， n次独立重复试验及二项分布（07年理 考），抽样方法和平均数及古典概型 （08年文考），离散型随机变量的概率 分布、均值、方差（08年理考）；分层 抽样、频率分布表及直方图、平均数、 相互独立事件同时发生的概率（09年文 理考）；独立性检验分析（10年文理 考）；频率分布表、互斥事件有一个发 生的概率、均值（11年文理考）.
1.小题考什么 方差（07年文理考）；茎叶图 （08年文理考）；散点图（09年文理 考）；加法原理和乘法原理、有序排 列和无序组合（07、08、09年理考）； 几何概型（10年文理考）；n次独立重 复试验及二项分布的均值（10年理 考）；二项式定理（11年理考）；古 典概型（11年文理考）.
根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ①______________________________________________________ ②______________________________________________________
09年
2.运算 8.共线 5.条件 15分 1.交集 3.运算 5.垂直 9.共线 5.条件 25分
高中总复习二轮文科数学精品课件 专题8 选修4系列 8.2 不等式选讲(选修4—5)
当-1<a<3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.
所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
.
命题热点三
不等式的证明
【思考】 不等式证明的常用方法有哪些?
例3(2022全国甲,文23)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:
即ac+4bc≤1(当且仅当a=b=c时,等号成立).
预测演练•巩固提升
1.(2022广西桂林阳朔中学模拟)已知函数f(x)=|x+3|,g(x)=|2-x|.
(1)求不等式f(x)+g(x)≤6的解集;
(2)设h(x)=f(x)-g(x),x1,x2∈R,求h(x1)-h(x2)的最大值.
解:(1)依题意,|x+3|+|2-x|≤6,
2
2
(0<x<1)的最小值为
1-
1.
题后反思 基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用,
运用基本不等式时应注意其条件(一正、二定、三相等).
对点训练4已知函数f(x)=x2+|x-2|.
(1)解不等式f(x)≤2|x|;
(2)若f(x)≥a2+4b2+5c2-
1
对任意x∈R恒成立,证明ac+4bc≤1.
则当 x≤-3
7
时,-(x+3)+(2-x)≤6,解得- ≤x≤-3;
2
当-3<x<2 时,x+3+2-x≤6,所以-3<x<2;
当 x≥2 时,x+3+x-2≤6,解得
2021-2022年高考数学二轮复习专题11选讲部分精品教学案文
2021年高考数学二轮复习专题11选讲部分精品教学案文一．考场传真1. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科】如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .2. 【xx年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科】若，则.3.【xx年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科】在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于 .4.【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】在平面直角坐标系中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆右顶点，则常数 .5.【xx 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 文科】在实数范围内，不等式的解集为___________.6.【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）文科】如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D.（Ⅰ）证明：DB=DC ；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径.7.【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】 在直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点A 在直线上.（Ⅰ）求的值及直线的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C 的参数方程为，试判断直线l 与圆C 的位置关系.8.【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】已知函数（I ）()=244;a f x x ≥--当时，求不等式的解集（II ）()(){}222|12,x f x a f x x x +-≤≤≤已知关于的不等式的解集为二．高考研究选修4-1 几何证明选讲选修4-2 矩阵与变换选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲一．基础知识整合1.几何证明选讲部分，需要核心关注与圆有关的比例线段、圆幂定理的应用及推理论证，于是相似三角形与圆内接四边形是主要的转换形式。
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高考数学二轮复习专题选讲数列一.考试内容与要求1．考试内容数列、等差（比）数列的定义、性质的应用及其通项公式、前n项和公式.2．考试要求知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列的通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的递推公式写出数列的前几项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力.二．热点透视1．命题热点纵观近几年的全国数学高考试题，数列约占总分的10%—15%，考查的重点是等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，主要考察学生的运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，在选择、填空题中，突出了“小、巧、活”的特点；解答题以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容。
试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本数学方法。
2．考查热点回顾过去，展望未来，数列在今后高考中，仍将以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式的综合应用，更要特别重视数列的应用性问题。
三、本专题计划四课时课时一等差数列与等比数列一、 教学目标、重点、难点：1、掌握等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和公式、中项、性质，并能在解题中灵活运用。
2、注重等差数列与等比数列的区别和联系，类比与转化。
3、重视数列的相关运算经验与技巧的总结并练好运算基本功。
二、 训练反馈：1．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方程bx 2－2ax+c=0（ ） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根2．某人为了观看20XX 年奥运会，从20XX 年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到20XX 年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）A ．7)1(p a + B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p p a+-+ D ．()()[]p p pa+-+118 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,012211==-+-+-m m m m S a a a ，则m 等于（ ）A ．38B ．20C ．10D ．9 4．数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n ∈N*满足以下运算性质：（1）2*2=1，（2）（2n+2）*2=3（2n*2）.则2n*2用含n 的代数式表示为 . 5．设数列｛n a ｝，｛n b ｝分别为正项等比数列，T n ，R n 分别为数列｛lg n a ｝与｛lg n b ｝的前n 项和，且12+=n n R T n n ，则log 5b 5a 的数值为 ．二、典型例题：例1：设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{}nS n的前n 项和，求n T例2：（本小题满分12分）假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： （Ⅰ）每年年末．．．．加1000元； （Ⅱ）每半年．．．结束时加300元。
请你选择。
（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？例3： 已知等差数列}{n a 的首项为a ，公差为b ；等比数列}{n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，+∈N b ，且32211a b a b a <<<<． （1）求a 的值；（2）若对于任意+∈N n ，总存在+∈N m ，使n m b a =+3，求b 的值；（3）在（2）中，记}{n c 是所有}{n a 中满足n m b a =+3， +∈N m 的项从小到大依次组成的数列，又记n S 为}{n c 的前n 项和，n T }{n a 的前n 项和，求证：n S ≥n T )(+∈N n ．等差数列与等比数列巩固与练习1．一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折（即沿对边中点的连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为（ ）A 18,8a bB ．164,64a b C ．1128,128a b D ．1256,256a b 2.等差数列{}m a 中共有n 2项，其中奇数项之和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n 则该数列的公差为（ ）A ．3 B.－3 C.－2 D.－13、三个数,,a b c 成等比数列，若有1a b c ++=成立，则b 的取值范围是 （ ） A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)11,00,3⎛⎤- ⎥⎝⎦4．等差数列{}n a 的前n 项和记作S n ，若1542a a a ++的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ） A ．S 7 B ．S 8C ．S 13D ．S 155．已知数列{}n a 满足：*11214,()3n n a a a n N +==-∈，则使20n n a a +<成立的n 的值是 ．6．若数列}{n a ，)(*N n ∈是等差数列，则有数列)(*21N n na a ab nn ∈+++=也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列}{n C 是等比数列，且)(0*N n C n ∈>，则有=n d __________)(*N n ∈也是等比数列．7．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，n a 是n S 与—3的等差中项，求证：数列{}n a 成等比数列，并求通项公式n a 。
8．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且1,a 3,a 9a 成等比数列，255S a =（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若数列{}n b 满足211n n n n n b a a +++=求数列{}n b 的前99项的和。
等差数列与等比数列参考答案训练反馈:1． A 2.D 3.C 4. 3n —1 5.919典型例题：例1：解：7111517627 221514 115752S a d a d S a d ⨯⎫=+=⎪=-⎧⎪⇒⎬⎨⨯=⎩⎪=+=⎪⎭∴2(1)152222n n n S n n n -=-+=-设1522n n S b n n ==- 可证{}n b 为等差数列 215(2)1922244n n n T n n -+-==- 例2：解：设方案一第n 年年末加薪a n ，因为每年末加薪1000元，则a n =1000n ；设方案二第n 个半年加薪b n ，因为每半年加薪300元，则b n =300n ；(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S 10=a 1＋a 2＋……＋a 10=55000元。
方案2共加薪T 20=b 1＋b 2＋……＋b 20=20×300＋3002)120(20⨯-⨯=63000元；(2)设在该公司干n 年，两种方案共加薪分别为：S n =a 1＋a 2＋……＋a n =1000×n ＋10002)1(⨯-n n =500n 2＋500nT 2n =b 1＋b 2＋……＋b 2n =2n ×300＋3002)12(2⨯-⨯n n =600n 2＋300n令T 2n ≥S n 即：600n 2＋300n>500n 2＋500n ，解得：n ≥2，当n=2时等号成立。
∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。
例3：解：（1）∵ b a ab b a a 2+<<+<，a ，+∈N b ，∴ ⎩⎨⎧+<<+.2，b a ab ab b a ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<->.121b b a b b a ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+<-+>.122111b a b a ，∴ ⎩⎨⎧<>41a a ，． ∴ a ＝2或a ＝3（a ＝3时不合题意，舍去）． ∴a ＝2．（2）b m a m )1(2-+=，12-⋅=n n b b ，由n m b a =+3可得12)1(5-⋅=-+n b b m ． ∴ 5)12(1=+--m b n ．∴ b ＝5（3）由（2）知35-=n a n ，125-⋅=n n b ， ∴ 32531-=-=-⋅n n m b a ． ∴ 3251-=-⋅n n C ． ∴ n S nn 3)12(5--=，)15(21-=n n T n ． ∵ 211==T S ，922==T S ． 当n ≥3时，]121212[52---=-n n T S nn n ]12121)11[(52---+=n n n]12121)1[52321---++++=n n C C C n n n 0]121212)1(1[52=----++>n n n n n ．∴ n n T S >． 综上得 n n T S ≥)(+∈N n 巩固与练习1． C 2.B. 3.D 4．C 5.21 6. nn C C C 217.解：依题意得32n n s a -=∴23n n S a =+ ① 1123n n S a ++=+ ② ②—① 1122n n n a a a ++=- 12n n a a +=∵11123a S a ==+ ∴130a =-≠∴0n a ≠ ∴12n na a += ∴数列{}n a 成等比数列公比为2，通项公式为132n n a -=-⋅8.设数列{}n a 公差为(0)d d 〉∵139,,a a a 成等比数列 ∴2319a a a =)2()21121d a a d a +=+（ d a d 12=∵0d ≠ ∴1a d = ① ∵255S a = ∴211545(4)2a d a d ⨯+⋅=+ ② 由①②得： a 1= 53 d=53 ∴333(1)555n a n n =+-⨯=（2）221251339(1)(1)55n n n n n b n n n n ++++==⋅+⋅+2511(1)91n n =+-+12399b b b b ∴++++251111199(1)()()922399100⎡⎤=+-+-++-⎢⎥⎣⎦=41111课时二用函数观点看数列一、教学目标、重点、难点：1、 数列是一种特殊的函数。