高中数学人教A版必修五第二章数列 6

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高中数学第二章第1节《数列的概念》课件新人教A版必修5

3.写出下列数列的一个通项公式. （1）2，4 ，6 ，8 ，...
3 15 35 63 (2) 1, 3， 5，7 ， 9 ，...
2 4 8 16 (3)9，99，999，9999，...
(4) 3， 3， 1， 52， 1 33， ...
（5）0，1，0，1，0，1，…
本节课学习的主要内容有： 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式；
２.项数无限的数列叫做无穷数列。
1 , 例如，数列
1 , 1,1 ,1 , 2 345
思考：
思考1：数列 4，5，6，7，8，9，10；数列 10，9，8，7，6，5，4；是否相同？
思考2：数列中的数是否可以重复？如：数列－1，1，－1，1，···。
例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
本节课的能力要求是：会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式
P38 1,3,5
天每
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放孩
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是一
菊样
花，，有ຫໍສະໝຸດ 选的择孩在子
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➢ He who falls today may rise tomorrow.
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梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
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3.形如a,aa,aaa,aaaa, …,(a∈N*)等数列的通项
可统一写成
an
a(10n 9
1)
;
4.形如a，b，a，b，a，b，…的摆动数列可归
纳为一公式: ab( 1 )n `1(ab )

人教A版高中数学《高中数学第二章《数列》教材分析

人教A版高中数学《高中数学第二章《数列》教材分析》单元教材教学分析
学段及学科
高中数学
教材版本
人教A版
单元名称
《高中数学第二章《数列》教材分析》
单元教材主题内容与价值作用
主题内容:数列的概念和简单表示法、等差数列、等比数列
价值作用:承前启后的作用，过去学过的方程、函数等知识在本章得到延
伸，为高考数列求和作了铺垫。
第三课时：等比数列
第四课时：数列的通项公式和求和公式
说明
本章主要学习了数列的初步知识，包括数列的概念、表示和通项公式，等差数列和等比数列等。本章内容的呈现，充分考虑到学生的认知规律，在数列概念的呈现过程中，从学生最熟悉的例子入手，并通过旁白，鼓励学生自己举例，整个设计为学生和教师的积极活动提供了空间和可能。
单元目标
数列核心概念及思想方法的研究
重点、难点与关键
2.1节的重点是使学生理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，掌握数列的几种简单表示(图象、列表、通项公式)。难点是认识数列是.一类特殊的函数及根据数列前几项的特点，探索规律，写出数列可能的一个通项公式;根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，并归纳出通项公式。2.2节的重点是使学生掌握等差数列的概念及通项公式、等差中项，用通项验证数列{an}为等差数列，并能用来解决有关问题。难点是等差数列“等差”性的特点、等差数列性质的应用。2.3节的重点是使学生掌握等差数列的前n项和公式。难点是推导等差数列前n项和公式思路的获得。2.4节的重点是使学生掌握等比数列的概念、通项公式、等比中项、等比数列的性质。难点是等比数列的判定方法，等比数列性质的应用。2.5节的重点是使生掌握等比数列的前n项和公式及错位相减的思想。难点是用错位相减法推导等比数列前n项和公式思路的获得。

高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的等差中项是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…，那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23，解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*，所以 153 是所给数列的第 45 项．答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.

高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式人教A版必修5

(1)“基础”——数列{an}的第 1 项或前几项; (2)递推关系——数列{an}的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.如果两个条件缺一个,数列就不能确定. 2.数列递推公式的主要题型: (1)根据数列的递推公式和第 1 项(或其他项)求数列的前几项; (2)根据数列的递推公式求数列的通项公式.
第2课时数列的递推公式
课程目标
1.理解数列的函数特性,掌握判断数列增减性的方法. 2.知道递推公式是给出数列的一种形式. 3.能够根据递推公式写出数列的前几项.
学习脉络
递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或
前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列{an}的递推公式.用递推公式给出数列的方法叫做递推法.
又 a1=1,∴an=2n-1(n≥2).当 n=1 时,a1=1 也满足上式,故数列{an}的一个
通项公式为 an=2n-1,an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2>0,∴an+1>an.
∴数列{an}是单调递增数列.
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
探究四
探究一判断数列的单调性
数列的单调性一般要通过比较 an+1 与 an 的大小来判断,具体为: an+1-an>0⇔an+1>an⇔数列{an}单调递增;
an+1-an<0⇔an+1<an⇔数列{an}单调递减.
探究一
探究二
探究三
探究四

高中数学必修5 第二章数列知识整理

第二章数列2.1 数列1.数列（1）数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123,,,,,n a a a a ……，简记为{}n a 。

其中数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项。

注意：①数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

所以，数列的一般形式可以写成123,,,,n a a a a …，简记为{}n a 。

如：数列1，2，3，4，…，可以简记为{n}。

②数列中的数是按一定次序排列的。

因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列。

如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列。

③数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同。

因此，同一个数在数列中可以重复出现。

如：1,1,1,1,1,1,---…；2,2,2,2,2,…等。

④{}n a 与n a 是不同的概念。

{}n a 表示数列123,,,,,n a a a a ……，而n a 仅表示数列{}n a的第n 项。

⑤从映射函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数N +（或它的有限子集{1,2,3,,}n …）的数与自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里的函数是一种特殊函数：它的自变量只能取正整数，由于数列的值是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

可以将序号为横坐标，相应的像为纵坐标，通过描点画图来表示一个数列，从数列的图像表示可以直观的看出数列的变化情况。

（2）数列的分类①按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列。

项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。

②按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《第二章数列》归纳整合

网络构建
专题归纳
解读高考
高考真题
3 且 Sn＝ (an－1)(n∈N*)，【例4】设 Sn 为数列{an}的前 n 项的和， 2 求数列{an}的通项公式． 3 解：∵Sn＝ (an－1)， 2
3 ∴当 n＝1 时，S1＝a1＝ (a1－1)，解得 a1＝3. 2 3 3 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)，得 2 2 an ＝3， an－1 ∴数列{an}是以 3 为公比的等比数列，且首项 a1＝3. 故数列的通项公式为 an＝3n(n∈N*)．
网络构建专题归纳解读高考高考真题
1 1 1 1 【例5】求数列 2 ，4 ，6 ，…，2n＋ n＋1的前 n 项和 Sn. 4 8 16 2 1 1 1 1 解 Sn＝2 ＋4 ＋6 ＋…＋2n＋ n＋1 2 4 8 16
1 1 1 1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋22＋23＋24＋…＋ n＋1 2
1 1n 21－ n2n＋2 2 2 ＝＋ 2 1 1－ 2 1 1 ＝n(n＋1)＋－ n＋1. 2 2
网络构建专题归纳解读高考高考真题
1 2 n 【例6】在数列{an}中，an＝n＋1＋n＋1＋…＋n＋1，又 2 bn＝，求数列{bn}的前 n 项的和． a n· an＋1 1 n 解 an＝ (1＋2＋…＋n)＝， 2 n＋1
形式均可用累乘法．
(5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式) 若由已知条件直接求an较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．
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专题归纳
解读高考
高考真题
【例1】已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2且a1＝2，求an. 解 ∵a2－a1＝3×1＋2， a3－a2＝3×2＋2， a4－a3＝3×3＋2， … an－an－1＝3×(n－1)＋2，以上各项相加，得 an－a1＝3[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋2(n－1)

人教课标版高中数学必修5《第二章数列》知识概述

1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。

教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。

作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。

等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。

与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。

最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。

2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。

教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。

随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。

通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。

三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。

教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。

通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。

教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。

人教A版高中数学高二版必修5教师用书第二章数列

知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求数列的概念与递推公式1.了解数列的概念,体会数列是一种特殊函数,能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式2.类比函数理解数列的几种表示方法(列表、图象、通项公式等),能根据项数多少、数列的性质对数列分类3.了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据递推公式写出数列的前几项,能求某些数列的通项公式1.本章学习应使学生认识到数学来源于生活实际,生活中又充满了数学,数学中有无穷的奥秘.学会从生活实际中发现数学规律,体会数学美,体验探索的乐趣.了解我国数学家对数列的贡献,培养学生的爱国热情.通过了解数学家对数列问题锲而不舍的探索过程,培养学生学习数学的兴趣2.养成收集资料、自主探索、合作交流的习惯,提高数学建模能力,提高应用意识和实践能力3.进一步体会从特殊到一般,由已知到未知,从有限到无限的认识事物的规律,养成既大胆猜想又严格证明的科学精神等差数列1.掌握等差数列和等差中项的概念,会用定义判定数列是否是等差数列2.掌握等差数列的通项公式及推导方法,会应用直线、一次函数等有关知识研究等差数列的性质,能熟练运用通项公式求有关的量:a1,d,n,a n,S n3.掌握等差数列的前n项和公式及推导方法,能熟练运用通项公式、前n项和公式,对于a1,d,n,a n,S n中已知三个量求另外两个量;能灵活运用公式解决与等差数列有关的综合问题;能构建等差数列模型解决实际问题等比数列1.掌握等比数列和等比中项的概念,能利用定义判定数列是否是等比数列2.掌握等比数列的通项公式及推导方法,能类比指数函数利用等比数列的通项公式研究等比数列的性质,能熟练运用通项公式求有关的量:a1,q,n,a n,S n3.掌握等比数列的前n项和公式及推导方法,能熟练运用通项公式、前n项和公式,对于a1,q,n,a n,S n中已知三个量求另外两个量;能灵活运用公式解决有关等比数列的综合问题;能构建等比数列模型解决实际问题等差数列与等比数列的综合应用1.能通过类比、转化等方法解决与等差数列、等比数列有关的一些问题2.能用等差数列、等比数列的知识解决实际问题数列是高中数学的主干知识之一,是衔接初等数学与高等数学的桥梁,其中等差、等比数列是最重要、最基本的两种特殊数列,包含的主要内容有等差、等比数列的概念、判定、通项公式、前n项和公式、性质、简单应用等.在教学过程中应注意以下几点:1.注重基础,要求学生熟练掌握两类数列的通项公式、求和公式等,能灵活应用数列的性质.2.授课时有意识地总结一些常用的解题方法:通项公式的求法,等差、等比数列的判定,常用的求和方法等.3.强化训练,提升学生的计算能力,数列的很多题目计算量比较大,等比数列运算中常常会综合指数幂的运算等,这些都要求学生多加训练.4.强化思想方法的应用,本章用得较多的有函数与方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想等.5.在平时的练习中,要注意引导学生对一些易错点多总结,如在利用等比数列求和公式时要注意公比为1的情况,数列求和中对项数的确定等.第1课时数列的概念与简单表示法1.掌握数列、数列中的项、数列的通项公式等概念,能根据数列的前几项求数列的通项公式.2.能根据数列的通项公式求数列中的指定项.3.掌握数列的一些简单性质以及递增数列、递减数列等概念.4.了解递推公式是给出数列的一种方法,会根据递推公式写出数列的前几项.重点:由数列的前几项写出其通项公式.难点:理解数列是一种特殊的函数.小明妈妈从小明1周岁开始在每年的生日这天都要给小明测出身高,并按时间顺序记录下来,得到一列数.日常生活中你还能举出这样的例子吗?问题1:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.数列中排在第n位的数称为这个数列的第n项,记为a n.问题2:(1)数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,…,a n,…,简记为{a n}.(2)如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的通项公式.(3)数列的分类分类标准名称含义例子数列按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,…,10无穷数列项数无限的数列1,4,9,…,n2,…按项的变递增数列自第二项起,每一项大2,4,6,8,…化趋势于它的前一项的数列递减数列自第二项起,每一项小于它的前一项的数列1,,,,…常数列各项都相等的数列2,2,2,…摆动数列自第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列1,-2,3,-4,…问题3:数列概念的本质:从映射、函数的观点来看,数列也可以看作是一个定义域为正整数集(N*)或它的有限子集({1,2,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.数列的通项公式a n就是相应函数的解析式f(n).问题4:数列中的项与集合中的元素相比较,有哪些异同?在世界数学史上,对数列的讨论具有悠久的历史.中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等,都曾经研究过数列,中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子算经》《张邱建算经》等,对等差数列和等比数列都列举过计算的例子,说明中国古代对数列的研究做出过一定的贡献.1.已知数列{a n},a n=(n∈N*),那么是这个数列的第()项.A.9B.10C.11D.12【解析】由=可解得n=10或n=-12(舍去),所以n=10.【答案】B2.图中表示的1,4,9,16,…这样的数称为正方形数.那么第n个正方形数为().A.nB.n(n+1)C.n2D.n2+1【解析】各正方形数依次构成一个数列,记作{a n},则a1=1=12,a2=4=22,a3=9=32,a4=16=42,所以第n 个正方形数为a n=n2.【答案】C3.已知数列的前四项是3,5,9,17,则该数列的第5项是.【解析】归纳前四项可得a1=21+1,a2=22+1,a3=23+1,a4=24+1,所以第5项为a5=25+1=33.【答案】334.已知数列{a n}中,a n=n+3(n∈N*,n≤7),试用图象表示出这个数列.【解析】如图所示.根据数列的前几项归纳数列的通项公式写出下面各数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数.(1)1,2,3,4;(2),-1,,-,;(3)9,99,999,9999.【方法指导】根据给定的项,写出数列的一个通项公式,关键是找到n与a n的关系.例如:(1)中的各项可分别写为1+,2+,3+,4+,这样就很容易得出其通项公式;(2)中注意正负号如何调整;(3)中的各项可分别写为101-1,102-1,103-1,104-1.【解析】(1)a n=n+;(2)a n=(-1)n+1;(3)a n=10n-1.【小结】解决此类题目时要把握好以下几个方面:①当给定的项由几部分组成时,我们可以“各个击破”,同时也要注意各部分之间的联系;②正负号可利用(-1)n或(-1)n+1来调整;③熟练掌握常见数列的通项公式,比如:1,2,3,4,…;2,4,6,8,…;1,4,9,16,…;2,4,8,16,…它们的通项公式可以分别为a n=n,a n=2n,a n=n2,a n=2n.根据数列的通项探究数列的项数列{a n}中,已知a n=(n∈N*).(1)写出a10,a n+1,;(2)79是否是数列中的项?若是,是第几项?【方法指导】分别用10,n+1,n2替换通项公式中的n求解出数列中的a10,a n+1,项,再令a n=79求解出n的值进行判断.【解析】(1)∵a n=(n∈N*),∴a10==,a n+1==,==.(2)令79=,解方程得n=15或n=-16,∵n∈N*,∴n=15,即79为该数列的第15项.【小结】该题考查数列通项的定义,判断数列项的归属,由通项公式可以求得数列中的任意一项,也可以由确定性判断一个数是不是数列中的项,判断时假设此数为数列中的第n项,代入通项公式求解n,若求得结果为正整数,则是数列中的项,否则不是.求数列中的最大项已知数列{a n}的通项公式为a n=-n2+7n-50,求数列{a n}中的最大项.【方法指导】由通项公式可知a n是关于n的二次函数,求二次函数最值可采用配方法,此时要注意其中自变量n为正整数.【解析】∵a n=-(n-)2-,∴数列{a n}中的最大项是-.[问题]上述解法正确吗?[结论]错误,在数列{a n}中,n∈N*,故n不能等于.于是,正确的解法如下:(法一)a n=-n2+7n-50=-(n-)2-,其对称轴为n=,所以当n=3或4时,a n取得最大值,为a3=-32+7×3-50=-38,a4=-42+7×4-50=-38.(法二)设数列{a n}中第n项最大,则即解得所以当n=3或4时,a n取得最大值,且最大项为a3=a4=-38.【小结】法一中的关键是配方,障碍点在于n的取值是,还是3,4,或者是3,4中的一个.法二中的关键是不等式组的建立,思维障碍点在于解得后如何处理.求下列数列的一个通项公式:(1)1+,1-,1+,1-,…;(2),,,,,….【解析】(1)a n=1+(-1)n-1.(2)a n=.设数列,,2,,,…,则4是这个数列的().A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项【解析】此数列即为,,,,,…通项公式为a n=,令4=,得n=11,∴选C.【答案】C数列{a n}中,a n=n-,求数列{a n}的最大项和最小项.【解析】由题意得a n=n-=-,∴数列{a n}是递增数列,∴数列{a n}的最小项为a1=1-,没有最大项.1.1,,,,…的一个通项公式a n等于().A. B.C.D.【解析】若把换成,同时首项1换成,规律就明显了.其一个通项应该为:a n=.【答案】C2.数列{a n}中,a n=-2n2+16n+3,则其中最大项为().A.a3B.a4C.a1D.a10【解析】a n=-2(n-4)2+35,故当n=4时,a n取最大值.【答案】B3.已知数列1,,,,…,,…,则3是它的第项.【解析】∵a n=,由=3,得n=23,∴3是该数列第23项.【答案】234.已知数列{a n}的通项公式为a n=.(1)求这个数列的第10项;(2)是不是该数列中的项?为什么?【解析】(1)当n=10时,a10==.(2)设是该数列中的第m项,则=,得9m2-303m+100=0,即m=或m=,均不是正整数.故不是数列{a n}中的项.(2013年·陕西卷)观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.【解析】根据等式两边的规律可知:第n个等式为(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).【答案】(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)1.数列{a n}的通项公式a n=,则-3的项数为().A.3B.5C.9D.10【解析】a n==-,所以令-=-3,所以n=9.【答案】C2.数列,-,,-,…的一个通项公式是().A.a n=(-1)n+1B.a n=(-1)nC.a n=(-1)n+1D.a n=(-1)n【解析】数列,-,,-,…的前四项正负相间隔,奇数项为正,偶数项为负,所以第n项的符号为(-1)n+1,分母为2n,分子为奇数,所以选C.【答案】C3.已知数列{a n}的通项公式a n=n2-4n-12(n∈N*),则(1)这个数列的第4项是;(2)这个数列从第项起,以后各项都为正数.【解析】(1)a4=42-4×4-12=-12;(2)a n=(n+2)(n-6),当n≥7时,a n>0.【答案】-1274.已知数列{a n}的通项公式为a n=n(n+2),问:(1)80、90是不是该数列的项?如果是,是第几项?(2)从第几项开始,该数列的项大于10000?【解析】(1)令n(n+2)=80,得n1=8,n2=-10(舍),∴80是数列的第8项.令n(n+2)=90,此方程无正整数解,∴90不是该数列的项.(2)∵a99=99×101<10000,而a100=100×102>10000,又该数列为递增数列,∴从第100项开始,该数列的项大于10000.5.若数列{a n}的通项公式a n=,记f(n)=2(1-a1)(1-a2)…(1-a n),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)等于().A.B.C.D.【解析】f(1)=2(1-a1)==,f(2)=2(1-)(1-)==,f(3)=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2(1-)(1-)(1-)==,可猜测f(n)=.【答案】C6.数列,,,,…,有序数对(a,b)可以是().A.(21,-5)B.(16,-1)C.(-,)D.(,-)【解析】由数列的前4项可归纳出数列分母的通项公式为n(n+2),∴a+b=15;分子的通项公式为,∴==,解得∴选D.【答案】D7.已知数列{a n}的通项公式是a n=,那么这个数列是数列(填“递增”或“递减”).【解析】∵a n+1-a n=-=>0,∴a n+1>a n,数列{a n}为递增数列.【答案】递增8.根据下面数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1),,,,,…;(2)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;(3)2,-6,12,-20,30,-42,….【解析】(1)a n=;(2)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,∴a n=n+;(3)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,…,∴a n=(-1)n+1n(n+1).9.数列{a n}中,a n=3n2-28n+1,则a n取最小值时n的值为.【解析】a n=3n2-28n+1=3(n-)2-,∴n=5时,a n取最小值.【答案】510.数列{a n}中,a n=.(1)求这个数列的第50项;(2)求证:a n∈(0,1);(3)在区间(,)内有无数列的项?若有,有几项?若无,说明理由.【解析】(1)∵a n==,∴a50=.(2)∵a n==1-,n∈N*,又0<<1,∴a n∈(0,1).(3)由<a n<,得<<.∴解得1<n<,∴当且仅当n=2时,在区间(,)内有数列中的一项.第2课时递推公式与数列的函数思想1.了解递推公式是给出数列的一种方法,会根据递推公式写出数列的前几项.2.了解数列的表示法,会用通项公式、列表法、图象法、递推公式法表示数列.3.掌握数列是特殊的函数,能够运用函数的观点认识数列.重点:根据递推公式写出数列的前几项和利用函数的观点认识、解决数列问题.难点:利用函数的观点解决数列中的单调性和最值问题.多米诺骨牌是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌.玩时将骨牌按一定间距排列成行,轻轻碰倒第一枚骨牌,其余的骨牌就会产生连锁反应,依次倒下.问题1:如果数列{a n}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子a n=f(a n-1)来表示,那么这个公式叫作这个数列的递推公式.问题2:由递推公式求数列的每一项,需知数列的第一项或前两项.问题3:数列的表示方法有通项公式、列表法、图象法、递推公式.问题4:从函数角度,数列可以看作是一个定义域是正整数集N*(或它的有限子集)的数从小到大依次取值时对应的一列函数值.如果能用解析式表示出来,就是数列的通项公式,也就是第n 项a n与项数n之间的函数关系.函数可以研究函数的单调性和最值等性质,数列也可以研究单调性与最值.公元1202年,一位意大利比萨的商人斐波拉契(Fibonacci,约1170-1250年)在他的《算盘全书》中提出过一个“养兔问题”:某人买回一对小兔,一个月后小兔长成大兔.再过一个月,大兔生了一对小兔,以后,每对大兔每月都生一对小兔,小兔一个月后长成大兔,根据这个规律依次写出每个月的兔子对数的总数,即:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,….这就是著名的斐波拉契数列.1.已知数列{a n}的图象在函数y=的图象上,当x取正整数时,则其通项公式为().A.a n=(x∈R)B.a n=(n∈N*)C.a n=(x∈N)D.a n=(n∈N)【解析】数列{a n}对应的点列为(n,a n),即有a n=(n∈N*).【答案】B2.已知数列{a n}的首项a1=1,且满足a n+1=a n+,则此数列的第三项是().A.1B.C.D.【解析】∵a1=1,a n+1=a n+,∴a2=a1+=1,a3=a2+=,故选C.【答案】C3.数列{a n}中,a1=1,a n=+1,则a4= .【解析】a2=+1=1+1=2,a3=+1=,a4=+1=+1=.【答案】4.数列{a n}中,已知a n=2n+1-3.(1)写出a3,a4;(2)253是否是数列的项?如果是,是第几项?【解析】(1)a3=13,a4=29.(2)令2n+1-3=253,则2n+1=256,∴n+1=8,∴n=7,∴253是第7项.根据递推公式求数列的项已知在数列{a n}中,a1=1,a2=3,a n=a n-1+(n≥3),则a5等于().A. B.C.4 D.5【方法指导】根据已知项和给定的递推关系式逐项写出即可.【解析】根据递推公式可得:a3=a2+=4,a4=a3+=,a5=a4+=.【答案】A【小结】充分利用递推关系,由a1、a2,先依次求出a3、a4,再求出a5.周期变化的数列探究对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),n∈N*,依照下表:x12345f(x)54312(1)求a2,a3,a4;(2)求a2015.【方法指导】数列作为特殊的函数,可利用函数方法来解.【解析】(1)a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2.(2)由(1)知a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=f(2)=4,…,该数列是周期为4的周期数列,所以a2015=a3=5.【小结】通过求数列的前几项,发现规律,找到周期是本题的关键.求数列的最大项已知数列{a n}的通项a n=(n+1)()n(n∈N*),试问该数列{a n}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的系数;若没有,请说明理由.【方法指导】数列中寻找最大项,就要判断数列的单调性,判断数列的单调性可以借助函数的单调性判断,也可以只需连续前后两项进行比较,可以用作差法,也可以用作商法判断.【解析】(法一)∵a n+1-a n=(n+2)()n+1-(n+1)·()n=()n·,∵当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n,当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.∴该数列中有最大项为第9项,且a9=10×()9.(法二)∵a n=(n+1)()n>0,∴=[(n+2)()n+1]÷[(n+1)()n]=.显然当n<9时,有a n+1>a n,当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.∴该数列中有最大项为第9项,且a9=10×()9.[问题]上述解法正确吗?[结论]忽略了n=9时的情况,a9=a10,则最大项为第9、10项.于是,正确解答如下:(法一)∵a n+1-a n=(n+2)()n+1-(n+1)·()n=()n·,当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴该数列中有最大项为第9、10项,且a9=a10=10×()9.(法二)∵a n=(n+1)()n>0,∴=[(n+2)()n+1]÷[(n+1)()n]=.令10(n+2)=11(n+1),得n=9.显然n<9时,有a n+1>a n;当n>9时,有a n+1<a n.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴该数列中有最大项为第9、10项,且a9=a10=10×()9.【小结】判断数列的单调性可以借助基本函数的单调性,也可以比较连续两项的大小关系.在比较连续两项之间的大小关系时,关键是不等式组或的建立,要注意等号是否成立,即两项有无可能相等.数列{a n}的首项和递推公式分别是a1=0,a n+1=a n+(2n-1)(n∈N*),求其通项公式.【解析】令n=1,2,3,4,得a1=0,a2=a1+1=1=12,a3=a2+3=4=22,a4=a3+5=9=32,a5=a4+7=16=42,可归纳出a n=(n-1)2.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=,求a2013的值.【解析】∵a1=2,a n+1=,∴a n+2====-,于是a n+4=-=a n.∴{a n}为周期数列,周期T=4.又a1=2,a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,∴a2013=a4×503+1=a1=2.已知a n=n×0.8n(n∈N*).(1)判断数列{a n}的单调性;(2)求数列{a n}的最大项.【解析】(1)∵a n+1-a n=×0.8n(n∈N*),∴n<4时,a n<a n+1;n=4时,a4=a5;n>4时,a n>a n+1.即a1,a2,a3,a4单调递增,a4=a5,而a5,a6…单调递减.(2)由(1)知,数列{a n}的第4项和第5项相等且最大,最大项是=.1.数列{a n}中,a n+2=a n+1-a n,a1=2,a2=5,则a2015的值是().A.-2B.2C.-5D.5【解析】因为a n+2=a n+1-a n,a1=2,a2=5,所以a3=3,a4=-2,a5=-5,a6=-3,a7=2,a8=5,利用数列的周期为6,a2015=a6×335+5=a5=-5.【答案】C2.已知数列{a n},a n=2n2-10n+3,它的最小项是().A.第一项B.第二项C.第三项D.第二项或第三项【解析】a n=2n2-10n+3=2(n-)2-,而2和3与的距离相等,故最小项是第二项或第三项.【答案】D3.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1-a n=(-1)n,则a100= .【解析】由a1=1,得a2=a1-1=0,a3=a2+1=1,a4=a3-1=0,由此可归纳:a2n=0,∴a100=0.【答案】04.若数列{a n}满足a1=,a n=1-(n≥2且n∈N*),求a2015.【解析】a1=,a n=1-(n≥2且n∈N*),令n=2,则有a2=-1;令n=3,a3=2;令n=4,a4=;令n=5,a5=-1;….所以{a n}是以3为最小正周期的数列.则a2015=a671×3+2=a2=-1.(2011年·浙江卷)若数列{n(n+4)()n}中的最大项是第k项,则k= .【解析】设a n=n(n+4)()n,a n+1=(n+1)(n+5)·()n+1,若=>1,则n2>10,即当n≥4,a n≥a n+1;同理得n≤3时,有a n≤a n+1,a3==,a4=,因此第4项最大,k=4.【答案】41.在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是().A. B. C. D.【解析】由已知得a n=1+,∴a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=3,a5=1+=,∴=×=.【答案】C2.设数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n+3,则a4等于().A.30B.35C.37D.40【解析】a2=2a1+3=7,a3=2a2+3=17,a4=2a3+3=37.【答案】C3.已知数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(n+1),则a1+a2+a3+…+a10= .【解析】由a n=(-1)n(n+1),得a1+a2+a3+…+a10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5.【答案】54.已知数列{a n}的通项a n=(a,b,c均为正实数),比较a n与a n+1的大小关系.【解析】∵a n==(a,b,c均为正实数),f(n)=是减函数,∴a n=是增函数,∴a n<a n+1.5.在数列{a n}中,已知a1=1,且当n≥2时,a1a2…a n=n2,则a3+a5等于()A.B.C.D.【解析】a3==,a5==,∴a3+a5=.【答案】B6.若a n=,则a n与a n+1的大小关系为().A.a n>a n+1B.a n<a n+1C.a n=a n+1D.不能确定【解析】a n==,易知a n是关于n的增函数,故a n<a n+1.【答案】B7.数列{a n}满足a n+1=若a1=,则a20的值为.【解析】逐步计算,可得a1=,a2=-1=,a3=-1=,a4=,a5=-1=,…,这说明数列{a n}是周期数列,且T=3,所以a3×6+2=a2=.【答案】8.设函数f(x)=log2x-log x4(0<x<1),数列{a n}的通项a n满足f()=2n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明:数列{a n}是递增数列.【解析】(1)由已知得log2-lo4=2n,即a n-=2n,变形整理得-2na n-2=0⇒a n=n±,又0<x<1,所以0<<1,故a n<0,所以a n=n-.(2)因为a n=n-=-单调递增,所以数列{a n}是递增数列.9.已知数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N*,且n≤20),则数列{a n}的最小项为第项.【解析】可结合函数f(x)==1+,作出f(n)=a n=的图象,观察知数列{a n}的最小项为a3.【答案】310.已知数列{a n}的通项公式为a n=试判断该数列是递增数列还是递减数列,并证明你的结论.【解析】数列{a n}为递增数列.证明:当n≥2时,a n+1=(n+2)+log2(),a n+1-a n=1+log2().显然log2()>0,故a n+1>a n.又a2=3+log2=log2>log2=,∴a2>a1,∴{a n}是递增数列.第3课时等差数列的概念及其性质1.理解等差数列、公差、等差中项的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式,灵活运用通项公式求解计算,做到“知三求一”.重点:等差数列的概念和通项公式.难点:等差数列通项的求法及其应用.《蒙学诗》一去二三里,烟村四五家,亭台六七座,八九十枝花.它的意思是:我到外面游玩,不知不觉离家已有两、三里地,看到不远处的小村庄里,有四、五户人家已经冒起了炊烟.我信步走来,又看到路边有六、七处精美的亭阁楼台,独自静静观赏,才发现身边的树枝上挂着……八朵、九朵,哦,不,十朵花,真是赏心悦目!这首五言绝句是描写风景的优美.它把“一”到“十”的数字嵌入诗中,组合成一幅静美如画的山村风景图,质朴素淡,令人耳目一新.问题1:(1)等差数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差.(2)等差中项的概念:如果a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.其中A= .问题2:等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d ,如何推导的?(法一)归纳猜想:根据等差数列的定义,将{a n}中的每一项都用a1和d表示出来.a2= a1+d ;a3=a2+d= a1+2d ;a4=a3+d= a1+3d ;…;a n= a1+(n-1)d .(法二)累加法:将各式相加可得a n-a1=(n-1)d,故a n= a1+(n-1)d .问题3:根据等差数列的概念,如何判断数列的单调性,如何判断一个数列是否为等差数列?等差数列满足a n-a n-1=d(d为常数,n≥2)或a n+1-a n=d(d为常数,n∈N*).当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列;当d=0时,数列为常数列.要判断一个数列是否为等差数列,只需判断a n-a n-1=d(d为常数,n≥2)或a n+1-a n=d(d为常数,n∈N*)是否成立.问题4:(1)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2a n=a n-1+a n+1(n≥2).推广:若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N*).(2)等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d 中一共涉及了四个量,用方程的观点来看,如果三个量已知,就可求出剩余的一个未知量,即“知三求一”.(3)用函数的观点来认识等差数列的通项公式,可以发现点(n,a n)分布在一次函数的图象上,结合函数性质可认识数列的增减性.公元前1世纪的《周髀算经》将日行轨道按季节不同分成七个同心圆,称为“七衡图”.已知内衡直径a1=238000里,两衡间距为=19833万里,则其余各衡的直径依次为a2=a1+d,a3=a1+2d,…,a7=a1+6d.显然,从中可归纳出一般等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d.1.已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为().A.2B.3C.-2D.-3【解析】依题意可得a n+1-a n=-2或a2-a1=(3-4)-(3-2)=-2.【答案】C2.已知等差数列{a n}中,首项a1=4,公差d=-2,则数列{a n}的通项公式是().A.a n=4-2nB.a n=2n-4C.a n=6-2nD.a n=2n-6【解析】通项公式a n=a1+(n-1)d=4+(n-1)(-2)=6-2n.【答案】C3.与的等差中项是.【解析】因为=2-,=-(+2),由等差中项的定义可知,与的等差中项是[(2-)-(2+)]=-.【答案】-4.已知等差数列的前三项为3,7,11,求该数列的第4项和第10项.【解析】根据题意可知:a1=3,d=7-3=4,∴该数列的通项公式为:a n=3+(n-1)×4,即a n=4n-1(n∈N*),∴a4=4×4-1=15,a10=4×10-1=39.求等差数列的通项已知等差数列{a n}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{a n}的通项公式.【方法指导】根据给定的a3a7=-16,a4+a6=0,可以得到关于a1和d的方程组,通过解方程组可得其通项公式.【解析】设{a n}的首项为a1,公差为d,则即解得或故数列的通项公式为a n=-8+2(n-1)=2n-10或a n=8-2(n-1)=-2n+10.【小结】本题体现了方程(组)的思想,这种思想在数列中经常用到.紧紧把握住等差数列的基本量(首项a1和公差d)是解决此类问题的关键.等差数列的判断已知数列{a n}的通项为a n=lg3n,试判断该数列是否为等差数列.若是,其公差是多少?【方法指导】可以利用等差数列的定义来证明,看a n+1-a n是否等于一个与n无关的常数.【解析】a n=lg3n=n lg3,则a n+1-a n=(n+1)lg3-n lg3=lg3,是常数.故数列{a n}是等差数列,公差为lg3.【小结】判断或证明一个数列为等差数列,主要是利用等差数列的定义,确定a n+1-a n是一个与n 无关的常数.等差数列的实际应用《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为().A.1升B.升C.升D.升【方法指导】设出等差数列{a n}的基本量,将所给条件用基本量表示,利用基本量法求解.【解析】设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由题意得即解得所以a5=a1+4d=.【答案】B【小结】求解此类问题的关键是把实际问题转化为等差数列问题,利用等差数列的定义、通项公式设出基本量a1和d,解方程即可.在等差数列{a n}中,已知a1+a6=12,a4=7.(1)求a9.(2)求此数列在[101,1000]内共有多少项.【解析】(1)设{a n}的首项为a1,公差为d,则则∴a9=a1+8d=1+8×2=17.(2)a n=1+(n-1)×2=2n-1,令101≤2n-1≤1000,则51≤n≤500.5,故共有450项.已知数列{a n}中,a1=,数列a n=2-(n≥2,n∈N*),数列{b n}满足b n=(n∈N*),求证:数列{b n}为等差数列.【解析】因为b n===,而b n-1=,所以b n-b n-1=-=1(n≥2,n∈N*),故数列{b n}是首项为-,公差为1的等差数列.夏季高山上的温度从山脚起,每升高100m,降低0.7℃,已知山顶处的温度是14.8℃,山脚处的温度为26℃,求此山相对于山脚处的高度.【解析】因为每升高100m温度降低0.7℃,所以该处温度的变化是一个等差数列问题.山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项a n=14.8,所以26+(n-1)(-0.7)=14.8,解之可得n=17,此山的高度为(17-1)×100=1600(m).答:此山相对于山脚处的高度是1600m.1.lg(-)与lg(+)的等差中项为().A.0B.lgC.lg(5-2)D.1【解析】等差中项为===0.【答案】A2.等差数列的相邻四项是1,a,-7,b,那么a、b的值分别是().A.3,-11B.-3,-11C.-3,11D.3,11【解析】根据等差中项的定义得a==-3,-14=a+b=-3+b,∴b=-11.【答案】B3.已知数列{a n}为等差数列,a3=,a7=-,则a15的值为.【解析】设{a n}的首项为a1,公差为d,则解得所以a15=+(15-1)×(-)=-.4.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次.奥运会如果因故不能进行,届数照算.(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;(2)2008年北京奥运会是第几届?2050年举行奥运会吗?【解析】(1)由题意知:举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,4为公差的等差数列,∴a n=1896+4(n-1)=1892+4n(n∈N*).(2)令a n=2008,则2008=1892+4n,得n=29,故2008年北京奥运会是第29届奥运会.令a n=2050,则2050=1892+4n,无正整数解,故2050年不举行奥运会.(2013年·广东卷)在等差数列{a n}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= .【解析】设公差为d,则a3+a8=10⇒2a1+9d=10,而3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.【答案】201.在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为().A.5B.6C.8D.10【解析】由等差中项的定义得a1+a9=2a5,所以a5=5.【答案】A2.在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10等于().A.12B.14C.16D.18【解析】设等差数列{a n}的公差为d,由a2=2,a3=4,得解得∴a10=a1+(10-1)×d=9d=18.【答案】D3.若2、a、b、c、9成等差数列,则c-a= .【解析】设等差数列2,a,b,c,9的公差为d,则9-2=4d,∴d=,c-a=2d=2×=.【答案】4.已知数列{a n}满足a1=,且当n>1,n∈N*时,有=.(1)求证:数列{}为等差数列;(2)试问a1a2是否是数列{a n}中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.【解析】(1)当n≥2时,由=得,a n-1-a n-4a n-1a n=0,两边同除以a n a n-1得,-=4,即-=4对任意n>1且n∈N*成立,∴{}是以=5为首项,d=4为公差的等差数列.(2)由(1)得,=+(n-1)d=4n+1,∴a n=.∴a1a2=×=.设a1a2是数列{a n}的第t项,则a t==,解得t=11∈N*,∴a1a2是数列{a n}的第11项.5.在x和y(x≠y)两数之间插入n个数,使它们与x,y组成等差数列,则该数列的公差为().A. B.C. D.【解析】由题意知x和y分别为该数列的第1项和第n+2项,则该数列的公差d==.【答案】B6.已知{a n}为等差数列,若a3+a4+a8=9,则a5等于().A.-3B.2C.3D.-2【解析】由a3+a4+a8=3a5知a5=3,∴选C.【答案】C7.已知{}是等差数列,且a4=6,a6=4,则a10= .【解析】-=-=2d,即d=.所以=+4d=+=,所以a10=.【答案】8.已知a,b,c成等差数列,那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列?【解析】成等差数列,证明如下:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,∴a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),∴a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.9.数列{a n}中,各项均为正数,且满足a n+1=a n+2+1,a1=2,则数列{a n}的通项公式为.【解析】由a n+1=a n+2+1得a n+1=(+1)2,∵{a n}各项均为正数,∴=+1,∴-=1,∴{}为等差数列,∴=+(n-1)×1,∴a n=(n+-1)2.【答案】a n=(n+-1)210.已知数列{a n}是等差数列(a k与公差d均不为0).(1)求证:k取任何正整数,方程a k x2+2a k+1x+a k+2=0都有一个相同的实根.。

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

数列知识点总结一、等差数列与等比数列等差数列等比数列定义a n 1 - a n =d a n 1=q(q 0)通项公式递推公式中项前 n 项和性质a na n = a 1 +（ n-1 ） da n = a 1 q n 1 (q 0)a n = a n 1 +d, a n = a m +(n-m)da n = a n 1 qa n = a m q nma b推广： A= a n k a n k （ n,kG 2ab 。

推广：G= a n k a n k （ n,kA=+22 ;n>k>0 ）。

任意两数 a 、c 不一定N+有等比中项，除非有 ac ＞ 0，则等比中N ;n>k>0 ）项一定有两个n（ a 1 + a n ）S n =a 1 (1 q n )S n =1 q2S n =n a 1 +n(n 1)dS n =a 1 a n q21 q（ 1）若 m n p q ，则 a m a n a p a q ；（1）若m np q ，则（2）数列 a2n 1, a 2n, a2n 1 仍为等差数a m ·a n a p ·a q列，S n ，S 2 nS n ， S 3 n S 2 n ⋯⋯ 仍为等差数（ 2）S n ，S 2n S n ，S 3nS 2n ⋯⋯ 仍列，公差为 n 2d ；为等比数列 ,公比为 q n（3）若三个成等差数列，可设为a d ， a ， a d（ 4）若 a n ，b n 是等差数列，且前 n 项和分别a m S2 m 1为 S n ， T n ，则T 2 m 1b m（ 5） a n为等差数列S n an 2bn（ a ， b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数）（ 6） d=a ma n(m n)m n(7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列二、求数列通项公式的方法1、通项公式法：等差数列、等比数列2、涉及前ｎ项和 S n 求通项公式，利用a n 与 S n 的基本关系式来求。

人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结

②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地，我们称为数列的前项和，用表示，即
二、等差数列与等比数列
已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数分别为，，，其中为公比。
若已知四个数成等比数列及这个四个数的积时，一般不设为，，，，因为这种设法使得四个数的公比为，就漏掉了公比为负数的情形，造成漏解。
2、求数列最大（小）值的方法
一般方法——解不等式；或
特别地，若为等差数列，为它的前n项的和时，求的最大（小）值可以利用①二次函数的性质；② 中项的符号。
3、求数列通项的常用方法
①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；
②公式法：利用求通项公式
③根据递推公式求通项公式：
（1）迭代法：对于形如型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使与初始值 (或 )建立联系的方法就是迭代法．
（2）累加法：形如的递推公式可用求出通项；
①
②
③
①
②
③
4、等差（比）数列的通项公式
①
②
③ ，其中、是常数
①
②
③
5、性质1
在等差数列中，若已知与，其中，则该数列的公差。
若等比数列中，公比是，则。
6、性质2
在等差数列中，若且、、、，则。
特别地、在等差数列中，若且、、，则。
在等比数列中，若（，，，），则。

【精编】人教A版高中数学必修五课件数列求和课件-精心整理

Sn 2n1 n 2
二、分组求和法
• 数列{ an }非等差、等比等可以直接求和的数列但可以拆分成一些特殊数列的和（差）的形式,则可以分组求和再相加（减）
如：an (n 1)2
bn

2n

3
( 1 )n1 2
例 3、求数列的前 n 项和：
11
1
1 1, a 4, a2 7, , an1 3n 2 ，…
3n2 n

S
n

2

3n2 2
n

a
a
a
1
1
n
(a 1) (a 1)
三、倒序相加求和法
• 若数列{ an}中首末两项相加和为定值，或者与首末两项等距的项之和相等，则可用倒序相加法求和.
例 4.cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°= 0
数列求和
一、直接套用公式
等差数列求和公式：
Sn

n(a1 2
an )

na1

n(n 1) 2
d
等比数列求和公式：
Sn

na1 a1 (1
q
n) 源自1qa1 anq 1q
(q 1) (q 1)
常用求和公式补充：
12 22 32 ... n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
例5.
四、错位相减法
若数列{ an}由一个等差数列和一个等比数列之积构成，则可用错位相减法求和
如：an

n( 1 )n 2

高中数学教案：必修5第二章教学设计(新人教A版)

数学 5 第二章数列一、课程要求数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。

在本模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

1、了解数列的概念，概念2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。

3、探索并掌握等差数列的前n 项和公式，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系。

4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。

5、探索并掌握等比数列的前n 项和公式，体会等比数列的前n 项和公式与指数型函数之间的关系。

6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

二、编写意图：1、数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。

2、本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。

编写中体现了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。

3、教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。

4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。

如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。

5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。

三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约 12 课时2.数列的概念与简单表示法约2课时12.2 等差数列约2课时2.3 等差数列的前 n 项和约 2 课时2.4 等比数列约 2 课时2.5 等比数列的前 n 项和约 2 课时问题与小结约 2 课时四、评价建议1、重视对学生数学学习过程的评价关注学生在数列知识学习过程中，是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式人教A版必修5

2.等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这三个数满足关系式 ab=G2.
思考 1 若 G2=ab,则 a,G,b 一定成等比数列吗?
提示:不一定.因为若 G=0,则 a,b 中至少有一个为 0,使 G2=ab,根据等比数列的定义,a,G,b 不成等比数列.当 a,G,b 全不为零时,若 G2=ab,则 a,G,b 成
探究四
探究二等比中项的应用
若 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项,此时 G=± ��. 注意:(1)在 a,b 同号时,a,b 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. (2)在一个等比数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项. (3)“a,G,b 成等比数列”等价于“G2=ab”(a,b 均不为 0),可以用它来判断或证明三个数成等比数列. 同时还要注意到“a,G,b 成等比数列”与“G= ��”不是等价的.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)∵a1=-1,an=3an-1-2n+3,∴a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.
下面证明{an-n}是等比数列:
��+1-(n + ��-n
1)
=
3��-2(n
+ 1) + ��-n
是等比数列. (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列

高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第二课时数列的性质和递推公式课件新人教A版必修5

当 an1 >1 时,数列{an}是递减数列. an
对于任意 n(n∈N*),若 an≠0,则当 an1 =1 时,数列{an}是常数列. an
(2)利用数列的图象直观地判断.
5.周期数列的概念对于摆动数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,…,我们视察后可以发现,数列的项1,1 重复出现 , 用公式表示为 an=an+2. 若记 f(n)=an, 则可以表示为 f(n)= f(n+2),即数列中的项循环出现,我们称此类数列为周期数列. 周期数列的递推公式的一般情势为an+k=an(n∈N*,k∈N*,k≥2),如数列1,2, 3,1,2,3,1,2,3,…是周期为3的周期数列,满足an+3=an(n∈N*). 6.判断周期数列的方法要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列,主要方法是通过递推公式求出数列的若干项,视察得到规律或由递推公式直接发现规律.
解:(1)因为 an+1-an= 1 = 1 - 1 ,所以 a2-a1= 1 =1- 1 ;
n(n 1) n n 1
1 2 2
a3-a2= 1 = 1 - 1 ;a4-a3= 1 = 1 - 1 ;
23 2 3
34 3 4
…
an-an-1= 1 = 1 - 1 ; (n 1)n n 1 n
以上各式累加得,an-a1=1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 =1- 1 .所以 an+1=1- 1 ,所以 an=- 1 .
②作商法:即作商 an1 (务必要确定 an 的符号)后与 1 比较对于任意 n(n∈N*),若 an>0, an
则当 an1 >1 时,数列{an}是递增数列; an

高中数学人教A版必修5第二章求数列通项公式的方法总结

n ( n −1)
所以数列{an}的通项公式为 an = 3 2n−1 5 2 n!.
三、待定系数法适用于 an+1 = qan + f (n)
分析：通过凑配可转化为 an+1 + 1 f (n) = 2[an + 1 f (n)] ;
解题基本步骤：
1、确定 f (n)
2、设等比数列an + 1 f (n) ，公比为 2
n
两边分别相加得 an+1 − a1 = f (n) k =1
例 1 已知数列{an}满足 an+1 = an + 2n +1，a1 = 1，求数列{an}的通项公式。
解：由 an+1 = an + 2n +1得 an+1 − an = 2n +1 则
an = (an − an−1) + (an−1 − an−2 ) + + (a3 − a2 ) + (a2 − a1) + a1 = [2(n −1) +1] + [2(n − 2) +1] + + (2 2 +1) + (21+1) +1 = 2[(n −1) + (n − 2) + + 2 +1] + (n −1) +1 = 2 (n −1)n + (n −1) +1 2 = (n −1)(n +1) +1 = n2
3、列出关系式 an+1 + 1 f (n) = 2[an + 1 f (n)] 4、比较系数求 1 ， 2
5、解得数列an + 1 f (n) 的通项公式 6、解得数列an 的通项公式例 4 已知数列{an}中， a1 = 1, an = 2an−1 +1(n 2) ，求数列an 的通项公式。

人教版高中数学必修五-等比数列课件 (2)

为公比的等比数列，
4
an 1,
其通项公式为a
a n 1
4
3
1
4
4
3 ( 1 )n1 3( 1 )n .
44
4
第二章数列
【典例】(12分)等比数列{an}的前三项的和为168，a2-a5 =42，求a5，a7的等比中项.
【审题指导】题目中给出了等比数列前三项的和以及a2a =42，由此列出方程组解得公比和首项a1，利用定义求a ，
第二章数列
4．若{an}为等比数列，且a1·a9＝64，a3＋a7＝20，求a11. 解析： ∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64，又∵a3＋a7＝20， ∴aa73＝＝146，或aa73＝＝41.6，当a3＝4，a7＝16时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝5，∴q4＝4，当a3＝16，a7＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝54，∴q4＝14， ∴a11＝a1q10＝a3q8＝64或1.
正确说法的个数为（）
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
第二章数列
【解析】选C.其中正确的为③，④；①，②中不能保证各项及公比不为0,所以错误.
第二章数列
2.等比数列{an}中，２a4＝a6-a5，则公比是( )
(A)0
(B)１或2
(C)-1或2
(D)－1或-2
【解析】选C.由已知得２＝ 2 ，所以＝-1或2.
第二章数列
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
第二章数列
1.下面有四个结论：
①由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定