浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期高考适应性考试数学试卷答及答案解析.

合集下载

浙江省2020届高三数学4月高考适应性测试卷附答案详析

第______项.
16．设实数 x 、 y 满足条件 3x y 0 、 x y 2 ，则可行域面积为______， xy 最大值为______.
17．已知三角形 ABC 的外接圆半径为1，外接圆圆心为 O ，且 O 点满足 2OA 3OB 4OC 0 ，则
cos ACB ______， AB OA ______.
8．已知
x
0
，则
x
9 x
3
x
25 x
5
的最小值为(
)
A．12 15
B． 48
793
C．
16
D． 60
9．如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1, 4 的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两
3
个球分别与截面相切于 EF ，则截面所表示的椭圆的离心率为( )
（注：在截口曲线上任取一点 A ，过 A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点 B, C ，由相切的几何性质可知，
浙江省 2020 届高三数学 4 月高考适应性测试卷
一、单选题
1．已知 x, y R ，设集合 A x y ln 1 x2 ， B y y ln 1 x2 ，则 ðRB A ( )
A． 0,1
B． , 1
C． 0,1
D． , 1
2．下列通项表达式中能表达数列 i,1, i, 1,i,1, i, 1......的是( )
A． in
B． in
C． i3n
D． i3n
3．某几何体三视图如图所示（单位：cm），其左视图为正方形，则该几何体的体积（单位：cm3）是( )
A． 24 8 3
B． 24 16 3
4．以下说法正确的是（）

2104宁波高三二模答案

51宁波市2020学年第二学期高考适应性考试高三数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9.答案：A由图可知，若0a ≥，则[()]0f f x =得()1f x =，此时仅有2个零点，不符；若0a <，则()1f x =或()f x a =，而()f x a =恰有1根，故()1f x =恰有2个根，则214a <，得20a −<<．10．答案：C由题得2211243k k k k x x x x −−+=++，累加得()22022202212202122...32022x x x x x +=++++⨯故()212202120221 (160672)x x x x +++=+−，2022x 为偶数当2022177x +=时，122021...x x x +++最小为69．数列()75k x k k =≤，()7676,k x k k =≥为偶数，()7976,k x k k =−≥为奇数符合要求．二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分. 11.5,1− 12.6,8π13. 8,8 14. 222,22−− 15. 1050 16．2717．65216．根据几何意义，结合等和线性质，最大值为37222+=17．设00,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则00,22x c bx B a −⎛⎫⎪⎝⎭，根据OB a k b =−，得20a x c =，故,,2b OA a OB AB ===2a b b a +−=−解得e =三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解：（Ⅰ）由BA C BA B A B A B A B A B A sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 1tan tan 1⋅=⋅⋅+⋅=⋅⋅+=+又B C b c sin sin 22=，得21cos =A ，故3π=A --------------6分（Ⅱ）由已知可得{a +b +c =10a 2=b 2+c 2−bc -------8分消去a ，可得010020203=+−−c b bc得bc c b bc 40)(201003≥+=+（当且仅当c b =时取等号）解得10≥bc （舍）或310≤bc -------12分故9100≤bc ，则ABC ∆面积的最大值为3925. --------------14分19．解：（Ⅰ）由题得CD ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，则CD BF ⊥-----2分又BF AC ⊥， ----------4分故BF ⊥平面DCF ，从而DF FB ⊥． -------6分（Ⅱ）设2CD =，以F 为原点，FA 为x 轴正半轴，FB 为y 轴正半轴，53建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0,0A，()B ，()1,0,2D −，()1,0,4E故()FB =，()1,0,2FD =−，则平面BDF 的一个法向量为()2,0,1n = -----10分又()1,BE =，设BE 与平面BDF 所成角的为θ，则3sin 55BE nBE nθ⋅===⋅ 即BE 与平面BDF 所成角的正弦值为35．-----------15分 20．解（Ⅰ）由11=a 及)(*1N n a a S n nn ∈=+λ，得λ12=a ，113+=λa又}{n a 为等差数列，解得21,1==λd ，则n a n = --------------6分（Ⅱ）由n a n)21()21(−=−，得])21(1[31n n T −−−= ---------8分由1|2|≤−n pT 恒成立，可得3])21(1[3131≤−−−≤⇒≤≤n n p pT 恒成立由23)21(143≤−−≤n ，得0<p ，有32334331≤⋅−≤⋅−≤p p 则可得实数p 的取值范围为]4,6[−−．-----------15分 21.解：（Ⅰ）由题得11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故21114m +=，243m =，54椭圆C 的方程为22314x y +=． -----------------5分（Ⅱ）设()1,0F c −，()2,0F c =，则221m c =+()111111121121111133266BOF G OF G OBBOF AOF AOBS S SSSS S cy cy c y y =++=++=−++−()1223c y y =−，()2122133ABOS S c y y ==− -----------9分则112212245,33S y y S y y −⎡⎤=∈⎢⎥−⎣⎦，得1212,2y y ⎡⎤∈−−⎢⎥⎣⎦设:l x ty c =+，联立椭圆方程222:1x C y m+=，得()222210t m y tcy ++−=由韦达定理得12222tc y y t m −+=+，12221y y t m −=+，-----------12分则()21212211252,22y y y yy y y y +⎡⎤+=−∈−−⎢⎥⎣⎦22224102t c t m ≤≤+，()22289m t m −≤对t 恒成立，故2890m −≤，1m <≤-----------------15分 22.解：（Ⅰ） 11,a x a a f xx axx a x0x 且xa -----------1分①0a ，0fx，f x 单调递增；-----------2分②1a ，1110x f xx a x，f x 单调递减；-----------4分③10a ，01a a a ，,1a x a a 时0,fxf x 单调递减；55,1a xa 时0,fx f x 单调递增. -----------------6分（Ⅱ）设22ln1ln ln 1a x a xx g x e f x e a x a a a，0x .则0a .若0lim 1ln 0x g x a a ，则由图象的连续性知，必存在区间0,使得0g x 与题意矛盾,则0lim 1ln 0x g x a a，所以01a .220axa g xa e x x a，.2420axa gx a e x a，所以g x 单调递增.①若1a ，20lim 1=0x g x a ，0g x恒成立.所以0lim 1ln 0x g xg xa a ，符合.② 若01a ，20lim 10x g x a ，x时g x 且g x 单调递增.则存在唯一00,x ，使得00g x ，且00,xx 时0g x，g x 单调递减；0,+x x 时0g x ，g x 单调递增.所以20minln ln 1a x g x g x e a x aa由22000a x a g x a e x a可得201ax e a x a且200ln ln a x x aa所以33400min0011+ln ln 1=+ln ln 1g xa x a a a a x a a a a a a x a a x a3440012.ln ln 1=2ln ln 1a x aa a a a a a a a a a x a323=1ln 110a a a a a a a a（由不等式ln 1xx 可得）所以01a 时符合. 综上0,1a. -----------------15分。

【精品解析】2020年宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题

2020年宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题一、单选题1．在ΔABC 中,若c 2=a 2+b 2+ab ,则∠C =（） A ．60∘B ．90∘C ．150∘D ．120∘2．已知，1,1x y >>，且ln 1ln x y ，，成等比数列，则xy 有（）AB ．最大值2eC ．最小值2eD ．最大值e3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”取意于《孙子算经》中记载的算筹，古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，依此类推.例如3266用算筹表示就是T ≡⊥则7239用算筹可表示为（）A ．B ．C ．D ．4．复数12ii- (i 为虚数单位)的虚部是( ) A ．15iB ．15-C ．15i -D ．155．若数列{a n }，{b n }的通项公式分别是20192020(1)(1)2n n n n a a b n++-=-=+，，且a n ＜b n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．12,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6．定义在[,)t +∞上的函数()f x ，()g x 单调递增，()()f t g t M ==，若对任意k M >，存在()1212,x x x x <，使得()()12f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在[,)t +∞上的“追逐函数”.若2()f x x =，则下列四个命题：①()21x g x =-是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”；②若()ln g x x m =+是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”，则1m =；③1()2g x x=-是()f x 在[1,)+∞上的“追逐函数”；④当m 1≥时，存在t m ≥，使得()21g x mx =-是()f x 在[,)t +∞上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知m ，n 为异面直线，直线 l m ，则l 与n （）A ．一定异面B ．一定相交C ．不可能相交D ．不可能平行8．设命题 2:()ln 21p f x x x mx =+-+在(0,)+∞上单调递增，命题:4q m <，则p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知集合2{|20}A x x x =-<， (){|log 1}B x y x ==-，则A B =（）A ．0,B ．1,2C ．2,D ．,010．如图，正方形.1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P ，Q 分别在直线11AB,A D 上，M 是线段PQ 的一个三等分点(靠近点P ).若||2PQ ≤，则||AM 的取值范围是（）A ．2[3B ．1[3C ．113[,]39D ．12[,]33二、双空题11．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的表面积是____，体积是____12．若888018(1)(1)x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+，则0a =_____；2468a a a a +++=_______．13．已知()113cos ,cos 714ααβ=-=，且02πβα<<<，则tan2α=_______________，角β=_______________.14．某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有__________种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有__________种不同的排法．（用具体数字作答）三、填空题15．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20cm ，则扇形的周长为___cm. 16．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面是边长为4的菱形，60ABC ∠=，ACBD O =，11AC AO ⊥，则三棱锥1A ABD -的外接球的表面积为________.17．在四棱锥P ABCD -中，PAB 是边长为ABCD 为矩形，2AD =，PC PD ==若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____．四、解答题18．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 作一条直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 作直线l ：2a x c=的垂线，垂足依次为S ，T ．试问：直线PT 与QS 是否交于定点?若是，求出该定点的坐标，否则说明理由．19．设函数()12ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e g x x =.（1）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若在[]1,e 上至少存在一个0x ，满足()()00f x g x >，求实数a 的取值范围. 20．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，P 为1BB 上一点，1APC 为等腰直角三角形.（1）证明P 为1BB 的中点；（2）证明：平面1APC ⊥平面11ACC A ；（3）求直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值21．一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机的选取两张标签. （1）若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率；（2）若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字至少有一个为5的概率. 22．已知数列{}n a 的前n 项和2*19()88n S n n n N =+∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令1116(1)(1)n n n b a a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n T.【答案与解析】1．D根据余弦定理，即可求出结果. 因为c 2=a 2+b 2+ab ，所以，由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=−ab 2ab =−12，因此∠C =120∘. 故选D本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型. 2．C由题意利用等比数列的性质可得ln ln 1x y =，利用基本不等式，可得2ln ln ln ln 2x y x y ⎛⎫ +⎪⎝⎭≤，再根据对数运算性质，可求出xy 的最小值，从而得出结论． ∵1,1x y >>，且ln ,1,ln x y 成等比数列，ln ln 1x y ∴=；又()22ln ln ln ln ln 24xy x y x y +≤=⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2ln 4xy ≥，即ln 2xy ≥，即2xy e ≥，当且仅当x y e ==时等号成立，则xy 有最小值为2e .故选：C ．本题主要考查等比数列的性质，对数的运算性质，基本不等式的应用，属于基础题． 3．C由算筹含义直接求解由题意，根据古代用算筹来记数的方法，个位，百位，万位上的数用纵式表示，十位，千位，十万位上的数用横式来表示，比照算筹的摆放形式答案：C本题容易，只需找出规律即可求解. 4．D 试题分析：(12)(12)2112(12)(12)(12)(12)55i i i i i i i i i i i ++===-+--+-+ 注意弄清概念，复数(,)a bi a b R +∈的虚部是b 而不是bi .本题易错选A . 考点：复数的运算及基本概念 5．C分n 为奇数偶数两种情况各自求出对应的a 的取值范围，再综合到一起即可．解：当n 为奇数时，a n =-a ，b n =2+1n，∴b n >2； ∵a n ＜b n 对任意n ∈N *恒成立 ∴-a ≤2，即a ≥-2；当n 为偶数时，a n =a ，b n =2-1n，且当n 增加时，b n 增加； ∴（b n ）min =2-12=32； ∵a n ＜b n 对任意n ∈N *恒成立 ∴a ＜32．综上可得：-2≤a ＜32．故选:C ．本题主要考查分类讨论思想在数列中的应用，以及数列与不等式的综合，属于基础题目． 6．B根据4个命题，依次求出M ，解方程求得x 1，x 2，运用函数的单调性和特殊值法，判断是否存在x 1＜x 2，即可得到结论．对于①，易得M ＝1，∀k ＞1，有1x 222x =-1＝k ，即为1x =，2x ＝log 2（k +1），当k ＝100log 2（k +1），即不存在1x ＜2x ．对于②，()()111m f g M ====，得m=M ＝1，只需检验m=1时，是否符合题意， ∀k ＞1，有1x 2＝1+ln 2x ＝k ，即为1x =，2x ＝e k ﹣1，e k ﹣1⇔k ＜e 2k ﹣2，由x ＞1时，x ﹣e 2x ﹣2的导数为1﹣2e 2x ﹣2＜0，即有x ＜e 2x ﹣2，则存在1x ＜2x ；∴m=1满足题意对于③，易得M ＝1，∀k ＞1，有1x 2＝221x -=k ，即为1x =，212x k=-，当k ＝4，不存在1x ＜x 2．对于④，由题意()()22mt 1f t g t M t ====-，又1m ≥时，存在t m ≥，取此时2M t =，且k>2t , 有1x 222m 1x =-＝k ，即为1x =，212k x m +=，令g （k ）12k m +=212k m-，k>2tt >， ∴g （k ）在（2t ∞+，）单调递减，∴g （k ）<g （2t ）=22t 12m t m--,又, ∴g（2t ）=0，即g （k ）<0，∴1x <2x ，故f （x ）在[1，+∞）上的“追逐函数”有②④ 故选B ．本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的单调性的运用，以及特殊值的运用，考查判断能力，属于中档题和易错题． 7．D先假设l 与n 平行，从而推出矛盾，再将m ，n 放置在正方体中用特例进行逐一判断. 解：若//l n ，因为直线 lm ，则可以得到 nm ，这与m ，n 为异面直线矛盾，故l 与n 不可能平行，选项D 正确，不妨设,m n 为正方体中的棱，即m 为棱AB ，n 为棱FG ，。

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学仿真试卷(有答案解析)

A. sinx
B. cosx
C. sin2x
D. cos2x
3. 满足线性约束条件
，的目标函数 z=x+y 的最大值是（）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
4. 如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A.
B.
C. 4
D.
5. 某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 θ=∠AOP，练车时间为 t，则函数 θ=f（t）的图象大致为（）
出答案．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能力．属于中档题．
5.答案：D
解析：【分析】根据视角 θ=∠AOP 的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．【解答】解：根据小车从点 A 出发的运动轨迹可得，视角 θ=∠AOP 的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选：D．
且项数为偶数，设 n=2k，k∈N*，等差数列的公差设为 d，不妨设
，
则 a1＜0，d＞0，且 ak+1≤0，ak-1＜0 即 ak≤-1，由 ak+1-1≥0，则-1+kd≥ak+kd≥1，即 kd≥2，即有 d≥2，则|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-ak+ak+1+…+a2k
解析：【分析】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，考查了三角函数的奇偶性，为中档题．分别把四个选项中的值代入 f（x）·sinx，逐一进行验证即可．【解答】解：若 f（x）=sinx，则 f（x）·sinx=sin2x 为偶函数，不符合题意；

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(3月份)(带答案)

2020 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（3 月份）题号得分一二三总分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1. 设集合 A={1，2，3，4}，B={x∈N|-3≤x≤3}，则 A∩B=（）A. {1，2，3，4}B. {-3，-2，-1，0，1，2，3，4}C. {1，2，3}D. {1，2}2. 双曲线的渐近线方程是（）A. 2x±y=0B. x±2y=03. 已知公差不为零的等差数列{an}满足值为（）C. 4x±y=0D. x±4y=0，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则的A.B.C.D.4. “a＞0”是“”的（）A. 充分而不必要条件 C. 充要条件B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数的图象可能是（）A.B.C.D.6. 某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下：ξ 78910P x 0.1 0.3 y已知 ξ 的数学期望 E（ξ）=8.9，则 y 的值为（）A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.27. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，CC1=2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为（）A. 2B.C.D. 1第 1 页，共 14 页8. 对于定义域为 R 的函数 f（x），若存在非零实数 x0，使函数 f（x）在（-∞，x0）和（x0，+∞）上与 x 轴都有交点，则称 x0 为函数 f（x）的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（）A. f（x）=2x-x2B. f（x）=x2+bx-2（b∈R）C. f（x）=1-|x-2|D. f（x）=x-sinx9. 已知是平面内三个单位向量，若，则的最小值（）A.B.C.D. 510. 已知数列{an}满足 2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），则（）A. a5≤4a2-3a1B. a2+a7≤a3+a6C. 3（a7-a6）≥a6-a3D. a2+a3≥a6+a7二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）11. 设 i 为虚数单位，给定复数，则 z 的虚部为______，|z|=______．12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，表面积是______．13. 已知 x，y 满足条件则 2x+y 的最大值是______，原点到点 P（x，y）的距离的最小值是______ 14. 小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过 45 元的方法有种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，刚好是 50 元的概率为15. 在△ABC 中，∠BAC=120°，AD 为∠BAC 的平分线，AB=2AC，则 =______．16. 若函数在上有零点，则的最小值为17. 如图，椭圆的离心率为 e，F 是 Γ 的右焦点，点 P 是 Γ 上第一象限内任意一点，，，若 λ＜e，则 e 的取值范围是______．第 2 页，共 14 页三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）18. 已知函数．（Ⅰ）求函数 f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 中的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若求 a2+c2 的取值范围．，且，19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PC 垂直平面 ABCD，AB⊥AD，AB∥CD， PD=AB=2AD=2CD=2，E 为 PB 的中点．（Ⅰ）证明：平面 EAC⊥平面 PBC；（Ⅱ）求直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值．20. 在数列{an}中，a1=1，a2=3，且对任意的 n∈N*，都有 an+2=3an+1-2an．（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，记数列{bn}的前 n 项和为 Sn，若对任意的 n∈N*都有，求实数 m 的取值范围．第 3 页，共 14 页21. 已知椭圆的焦点坐标为 F1（-1，0），F2（1，0），过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q 两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则△F1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．22. 已知函数 f（x）=x2e3x （Ⅰ）若 x＜0，求证：f（x）＜（Ⅱ）若 x＞0，恒有 f（x）≥（k+3）x+2lnx+1，求实数 k 的取值范围2020 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（3 月份）答案和解析【答案】1. C2. B3. A4. C5. D6. C7. D8. D9. A10. C11. 212. 144-12π 168+6π13. 614. 3215. 316. -17. （0， ]第 4 页，共 14 页18. 解：（Ⅰ）==所以，解得，k∈Z．所以函数 f（x）的单调递增区间为，k∈Z（Ⅱ）因为，所以．所以．又因为，所以 3=a2+c2-ac，即 a2+c2=3+ac．而 a2+c2≥2ac，所以 ac≤3，即 a2+c2≤6．又因为 a2+c2=3+ac＞3，所以 3＜a2+c2≤6．19. （Ⅰ）证明：PC⊥平面 ABCD，故PC⊥AC．………………（2 分）又 AB=2，CD=1，AD⊥AB，所以 AC=BC= ．故 AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC．………………（4 分）所以 AC⊥平面 PBC，所以平面 ACE⊥平面PBC． …………………………（6 分）（Ⅱ）解：PC⊥平面 ABCD，故 PC⊥CD．又 PD=2，所以 PC= ． …………（8 分）在平面 ACE 内，过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．由（Ⅰ）知平面 ACE⊥平面 PBC，所以 PF 垂直平面 ACE．由面积法得：即．…………（10 分）又点 E 为 AB 的中点，．所以．……………………………………（12 分）又点 E 为 AB 的中点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等．连结 BD 交 AC 于点 G，则 GB=2DG．所以点 D 到平面 ACE 的距离是点 B 到平面 ACE 的距离的一半，即．所以直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为．……………………（15 分）另解：如图，取 AB 的中点 F，如图建立坐标系．因为 PD=2，所以．所以有：C（0，0，0），D（0，1，0），，A（1，1，0），B（1，-1，0），． …………（9 分）．，．第 5 页，共 14 页设平面 ACE 的一个法量为 =（x，y，z），则取 x=1，得 y=-1，．即=．…………（13 分）设直线 PD 与平面 AEC 所成角为 θ，则 sinθ=|cos＜， =． …………（15分）20. 解：（Ⅰ）由 an+2=3an+1-2an 可得 an+2-an+1=2（an+1-an）． ………………（2 分）又 a1=1，a2=3，所以 a2-a1=2．所以{an+1-an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．…………………（3 分）所以．…………………（4 分）所以 an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n=2n-1．…………（7 分）（Ⅱ）因为==．………（9 分）所以 Sn=b1+b2+…+bn= （12 分）又因为对任意的 n∈N*都有，所以=．………恒成立，即，即当 n=1 时，．………（15 分）21. 解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得 c=1,由|PQ|=3，可得 =3，又 a2-b2=1，解得 a=2，b= ，故椭圆方程为=1,（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨令 y1＞0，y2＜0，设△F1MN 的内切圆的半径为 R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此内切圆面积最大，R 就最大，此时也最大，由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my-9=0，得则令 t=，，则 t≥1，，=，第 6 页，共 14 页则，令 f（t）=3t+ ，则 f′（t）=3- ，当 t≥1 时，f′（t） 0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有 f（t）≥f（1）=4，≤3，即当 t=1，m=0 时，≤3，=4R，∴Rmax= ，这时所求内切圆面积的最大值为 π．故直线 l 方程为：x=1，△F1MN 内切圆面积的最大值为 π.22. 证明：（Ⅰ）∵函数 f（x）=x2e3x，∴f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．由 f′（x）＞0，得 x＜- 或 x＞0；由 f′（x）＜0，得-，∴f（x）在（-∞，- ）内单调递增，在（- ，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，∴f（x）的极大值为 f（- ）= ，∴当 x＜0 时，f（x）≤f（- ）= ＜ = ．解：（Ⅱ）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令 g（x）=，x＞0，则 g′（x）=，令 h（x）=x2（1+3x）e3x+2lnx-1，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增，且 x→0+时，h（x）→-∞，h（1）=4e3+2lnx-1， ∴存在 x0∈（0，1），使得 h（x0）=0， ∴当 x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当 x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是 g（x0）=，∵h（x0）=+2lnx0-1，得=，令=t0，则 2lnx0+3x0=lnx0，且 φ（1）=0，∴t=1，∴g（x0）==，∴实数 k 的取值范围是（-∞，0]．【解析】1. 【分析】可解出集合 B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．【解答】解：B={0，1，2，3}；第 7 页，共 14 页∴A∩B={1，2，3}．故选：C．2. 【分析】本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐进方程．属于基础题．渐近线方程是 -y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线．【解答】解：双曲线其渐近线方程是 -y2=0整理得 x ±2y=0．故选：B．3. 解：公差不为零的等差数列{an}满足，∴=a1（a1+3d），解得 a1=-4d， ∵Sn 为数列{an}的前 n 项和，∴==．故选：A．由公差不为零的等差数列{an}满足，利用等差数列的通项公式列方程求出a1=-4d，由此能求出的值．本题考查等差数列的前 3 项和公式和前 1 项和的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 解：由 a＞0，得 a+ ≥2 =2 ，是充分条件，由 a+ ≥2 ，得：a＞0，故 a＞0”是“”的充要条件，故选：C．根据充分必要条件的定义结合不等式的性质判断即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．5. 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系，根据函数零点判断函数的正负是解决本题的关键．判断函数 f（x）的奇偶性，结合图象的对称性以及函数在 x 轴右侧的函数零点判断函数的正负进行判断即可【解答】解：f（-x）=ln（-x+）cos（-2x）=lncos2x=-ln（x+）cos2x=-f（x），则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A，B，第 8 页，共 14 页令得或,所以 x 轴右侧的零点为，在上取，则，排除 C，故选：D．6. 解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9 解得 y=0.4．故选：C．根据分布列的概率之和是 1，得到关于 x 和 y 之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于 x 和 y 的关系式，联立方程，解出要求的 y 的值．本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题．7. 解：如图：连接 AC，交 BD 于 O，在三角形 CC1A 中，易证 OE∥C1A，从而 C1A∥平面 BDE， ∴直线 AC1 与平面 BED 的距离即为点 A 到平面 BED 的距离，设为 h，在三棱锥 E-ABD 中，VE-ABD= S△ABD×EC= × ×2×2× =在三棱锥 A-BDE 中，BD=2 ，BE= ，DE= ，∴S△EBD= ×2 ×=2∴VA-BDE= ×S△EBD×h= ×2 ×h=∴h=1 故选：D．先利用线面平行的判定定理证明直线 C1A∥平面 BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题8. 解：满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点即可．A．f（x）=2x-x2 的两个零点为 2，4，当 x0=3，在（-∞，3）和（3，+∞）上与 x 轴都有交点，满足条件． B．判别式△=b2+8＞0 恒成立，即抛物线与 x 轴恒有两个交点，在两个零点之间的任何一个 x0 都是“界点”． C．由 1-|x-2|=0 得|x-2|=1，得 x-2=1 或 x-2=-1，即 x=3 或 x=1，函数有两个零点 1，3，存在“界点”． D．函数 f（x）的导数 f′（x）=1-cosx≥0，即函数 f′（x）在 R 上是增函数，不可能存在两个零点，不存在“界点”．故选：D．满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点即可．结合条件判断函数的零点个数即可．本题主要考查函数零点个数的判断，结合满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点是解决本题的关键．第 9 页，共 14 页9. 解：根据题意设 =（1，0）， =（0，1），对应的点 C 在单位圆上，（ +2 ）2-（2 + ）2=3 2-3 2=0，所以| +2 |=|2 + |，|2 + |+|3 +2 - |表示 C 点到点（-2，0）和（3，2）的距离之和，过点（-2，0）和（3，2）的直线为 2x-5y+4=0，原点到直线 2x-5y+4=0 的距离为= ＜1，所以与单位圆相交，所以|2 + |+|3 +2 - |的最小值为点（-2，0）和（3，2）之间的距离，即．故选：A．，所以可以把他们当成平面直角坐标系的基向量．| +2 |=2| + |，由阿波罗尼斯圆的性质，可以转化为| +2 |=|2 + |．本题考察平面向量的坐标运算，用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论、解析几何中直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．10. 解：∵2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），∴an-an-1≤an+1-an， ∴a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6， ∴a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6），即 3（a7-a6）≥a6-a3，故选：C．由已知可得 a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6，则 a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6），答案可求．本题考查数列递推式，考查不等式的性质，是中档题．11. 解：=（1+i）（2 1+i）=2（i 1+i）=-2+2i，则 z 的虚部为 2，|z|==2 ．故答案为：2，2 ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，其表面积 S=2×6×6+4×4×4-9π+ ×6π×5=168+6π，几何体的体积为：=144-12π．故答案为：144-12π；168+6π．由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，利用公式求解即可．本题考查的知识点是由三视图求表面积，根据已知中的三视图分析出几何体的形状，是解答的关键．13. 解：作出 x，y 满足条件的可行域如图：第 10 页，共 14 页目标函数 z=2x+y 在的交点 A（2，2）处取最大值为 z=2×2+1×2=6．原点到点 P（x，y）的距离的最小值是：|OB|= ．故答案为：6；；画出约束条件表示的可行域，判断目标函数 z=2x+y 的位置，求出最大值．利用可行域转化求解距离即可．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．14. 【分析】本题考查概率的求法，考查分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 8 种情况：①6 张全取；②1 张 10 元 3 张 20 元；③2 张 10 元 2 张 20 元；④3 张 10 元 1 张 20 元；⑤2 张 20 元 1 张 10 元；⑥3 张 20 元；⑦3 张 10 元 2 张 20 元；⑧2 张 10 元，3 张 20 元．由此能求出现从中掏出纸币超过 45 元的方法总数；小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，基本事件总数N= =15，刚好是 50 元包含的基本事件个数 M= =3，由此能求出刚好是 50 元的概率．【解答】解：小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 8 种情况： ①6 张全取；②1 张 10 元 3 张 20 元；③2 张 10 元 2 张 20 元； ④3 张 10 元 1 张 20 元；⑤2 张 20 元 1 张 10 元；⑥3 张 20 元；⑦3 张 10 元 2 张 20 元； ⑧2 张 10 元，3 张 20 元． ∴现从中掏出纸币超过 45 元的方法有n= + + + + + +=32．小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，基本事件总数 N= =15，刚好是 50 元包含的基本事件个数 M= =3，∴刚好是 50 元的概率 P= = = ．故答案为：32；．15. 解：设 AC=x，则 AB=2x，在三角形 ABC 中由余弦定理得 BC2=x2+（2x）2-2•x•2x•cos120°=7x2，∴cosC== ，∴sinC= ，∴sin∠ADC=sin（60°+C）=sin60°cosC+cos60°sinC=．在△ADC 中由正弦定理得，∴，∴AD= x= × = ，故答案为：3．设 AC=x 后，用余弦定理求出 BC，再求出 cosC，sinC，sin∠ADC，接着在△ADC 中用正第 11 页，共 14 页弦定理得 AD= AB，则 AB=3AD．本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦，属中档题．16. 【分析】本题考查二次函数的零点问题解法，注意运用判别式大于等于 0，端点处的函数值的符号，结合配方法，考查运算能力，属于中档题．由题意可得△≥0，f（-1）≤0 或 f（1）≤0，化 a2-3b 为 a 的式子，由二次函数的最值求法，可得最小值．【解答】解：函数在[-1，1]上有零点，可得△≥0，即（a+ ）2≥4b，且 f（-1）f（1）≤0，即（ -a+b）（ +a+b）≤0；或 f（-1）≥0，f（1）≥0，-1＜- ＜1，即 a-b≤ ，a+b≥- ，-7＜a＜5．即有 a2-3b≥a2-= [（a-1）2- ]≥ ×（- ）=- ，当且仅当 a=1 时，取得最小值- ，故答案为：- ．17. 解：设直线 OP 的方程为 y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得 P（，），，可得 Q（，），由，可得 kFQ=- ，即为=- ，化为 λ=＜e= ，可得＜2+k2，对 k＞0 恒成立，由 2+k2＞2，可得 a2≤2b2，即为 a2≤2（a2-c2），可得 c≤ a，即 0＜e≤ ，故答案为：（0， ]．设直线 OP 的方程为 y=kx（k＞0），代入椭圆方程求得 P，Q 的坐标，由向量数量积为 0 的等价条件可得 OP，FQ 的斜率之积为-1，整理，结合恒成立解法可得 a，b 的关系，可得所求离心率的范围．第 12 页，共 14 页本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的范围，考查直线方程和椭圆方程联立，化简整理的运算能力，属于中档题．18. （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求 f（x）=，利用正弦函数的单调性即可求解．（Ⅱ）由已知可求，求得，利用余弦定理，基本不等式可求 ac≤3，可得 a2+c2≤6，根据 a2+c2=3+ac＞3，即可得解其取值范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，余弦定理，基本不等式等知识在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．19. （Ⅰ）证明 PC⊥AC，AC⊥BC．推出 AC⊥平面 PBC，即可证明平面 ACE⊥平面 PBC．（Ⅱ）过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．说明 PF 垂直平面 ACE．通过点 E 为 AB 的中点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等．连结 BD 交 AC 于点 G，则 GB=2DG．转化求解即可．另解：建立坐标系．求出平面 ACE 的一个法量，利用空间向量的数量积求解直线 PD 与平面 AEC 所成角即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20. （Ⅰ）通过 an+2=3an+1-2an 可得 an+2-an+1=2（an+1-an）．推出{an+1-an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列然后求解通项公式．（Ⅱ）因为=，利用裂项消项法，求解数列的和，然后求解m 的范围．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．21. 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R 就最大是关键．（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得 c=1，由|PQ|=3，可得 =3，又 a2-b2=1，由此可求椭圆方程；（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨 y1＞0，y2＜0，设△F1MN 的内切圆的径 R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线 l 的方程为 x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．22. （Ⅰ）求出 f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．从而 f（x）在（-∞，- ）内单调递增，在（- ，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，进而 f（x）的极大值为 f（- ）= ，由此能证明当 x＜0 时，f（x）＜．（Ⅱ）k≤，x＞0，令 g（x）=，x＞0，则 g′（x）=，令 h（x）=x2（1+3x）e3x+2lnx-1，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增，推导出存在 x0∈（0，1），使得 h（x0）=0，g（x）在（0，+∞）上的最小值是 g（x0）=，由此能求出实数 k 的取值范围．第 13 页，共 14 页本题考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求不地，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考运算求解能力，是中档题．第 14 页，共 14 页。

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(3月份)(带答案)

浙江省宁波市2020届高三适应性考试(二模)数学试题含答案

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次
的概率
Pn(k)=
C
k n
pk
(1－p)n-k
(k
=
0,1,2,…,
n)
．
第Ⅰ卷（选择题部分，共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
的平面角.
11 分
在△BMN 中，BM=MN= 2 ，BN=1，则 BG= 7 ； 8
在△BQN 中， BH BN 2
4 .
55
13 分
所以 sin BGH BH
32 4
70 ，即二面角 A-MN-B 的正弦值是 4
70 .
BG 35 35
35
方法二：以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 B（0,0,0），
浙江省宁波市 2019-2020学年第二学期高考适应性考试
数学试卷
说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式
柱体的体积公式：V=Sh，其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高；
锥体的体积公式：V= 1 Sh，其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高；
的渐近线方程是 ▲ ．
15. 某会议有来自 6 个学校的代表参加，每个学校有 3 名代表.会议要选出来自 3 个不同学
校的 3 人构成主席团，不同的选取方法数为 ▲ ．
16.
函数
f
(x)
3x , 3
log 1

2020届高三数学下学期适应性考试试题含解析

【详解】由，所以函数在上为奇函数，可排除B；
当时，，可排除A；
由可得时，函数单调递增,且，故可排除D。
故选：C。
【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了三角函数性质、三角恒等变换的应用，属于基础题.
8.现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，擦出点数大于2的人去打乒乓球。用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为( ）
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理,由题意得，代入韦达定理可求得的值，即可得出点的坐标。
【详解】由题意可知直线斜率存在，设直线的方程为，
设点、、 ,
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去并整理得，
由韦达定理得 , ，
【答案】-192
【解析】
【分析】
令求得参数，然后写出二项展开式的通项公式,由的指数为5得项数，从而其系数．
【详解】由题意，在中令，得，因为，所以 ,
所以 ,令得，
所以的系数为．
故答案为：－192．
【点睛】本题考查二项式定理,掌握二项展开式通项公式是解题关键．赋值法求展开式中系数和是解题基础．
当数列为递减数列时，如:数列的通项为，
此时不成立，即充分性不满足；
当成立时，有，
两边平方可得：即有，
因此数列为递减数列成立，
所以“数列为递减数列”是“ ”的必要不充分条件
故选：B
【点睛】本题考查了递减数列概念以及判断充分条件,必要条件，属于一般题。
3.已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线所夹的锐角为（）

浙江省宁波市镇海中学2024届高三下学期适应性测试数学试卷

浙江省宁波市镇海中学2024届高三下学期适应性测试数学
试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．下列选项中正确的有（）
A ．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r 的值越接近于1
B ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
C ．已知随机变量X 服从正态分布()22,,(4)0.8N P X s <=，则(24)0.2
P X <<=D ．若数据1216
21,21,,21x x x ++¼+的方差为8，则数据1216,,,x x x ¼的方差为2
10．设抛物线24y x =，弦AB 过焦点F ，过A ，B 分别作拋物线的切线交于Q 点，则下列结论一定成立的是（）
四、解答题
15．已知函数()e1
x
=--.
f x ax
．C
【分析】由题意可得数列{a ()2103n n n nS -=，设()f x =解.
{}a
n
a
c
n
j j
i n ö÷ø。

浙江省镇海中学2020届高三下学期3月模拟测试数学试卷及答案word

镇海2020年3月高考模拟测试数学试题卷第1卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．设集合{}1,2,3,4A =，{}33B x x =∈-≤≤N |，则A B =I （） A ．{}1,2,3,4 B ．{}3,2,1,0,1,2,3,4--- C ．{}1,2,3D ．{}1,22．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（） A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．40x y ±=D ．40x y ±=3．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足2314a a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则31S S 的值为（） A ．94B ．94-C ．32D ．32-4．设a R ∈，则“0a >”是“2a a+≥ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数(ln cos 2y x x =⋅的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的数学期望()8.9E ξ=，则y 的值为（） A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.87．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（）A ．1BCD ．28．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在()0,x -∞和()0,x +∞上与x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（） A ．()22xf x x =-B ．()()22f x x bx b R =+-∈C ．()12f x x =--D ．()sin f x x x =-9．已知r a ，r b ，r c 是平面内三个单位向量，若⊥r ra b ，则232c b c +++-r r r r r a a 的最小值（）ABCD ．510．已知数列{}n a 满足112n n n a a a -+≤+（*n ∈N ，2n ≥），则（） A ．52143a a a ≤-B ．2736a a a a +≤+C ．()76633a a a a -≥-D ．2367a a a a +≥+ 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．设i 为虚数单位，给定复数()41i 1iz +=+，则z 的虚部为________，z =________．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．13．已知x ，y 满足条件0,40,10,x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2x y +的最大值是________，原点到点(),P x y 的距离的最小值是________．14．小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有________种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为________．15．在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，2AB AC =，则ABAD=________． 16．若函数()213f x x a x b ⎛⎫=+++⎪⎝⎭在[]1,1-上有零点，则23a b -的最小值为________． 17．如图，椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为e ，F 是Γ的右焦点，点P 是Γ上第一角限内任意一点，()0OQ OP λλ=>u u u r u u u r，0FQ OP ⋅=u u u r u u u r ，若e λ<，则e 的取值范围是Γ．三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．（本小题满分14分）已知函数()sin cos 222x x x f x ⎫=+⎪⎭．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，若()f B =b =22ac +的取值范围．19．（本小题满分15分）如图，四棱锥P ABCD -中，PC 垂直平面ABCD ，AB AD ⊥，AB CD ∥，222PD AB AD CD ====，E 为PB 的中点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面（Ⅱ）求直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值．20．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，11a =，23a =，且对任意的*n ∈N ，都有2132n n n a a a ++=-．（Ⅰ）证明数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12nn n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意的*n ∈N 都有1n n S m a ≥+，求实数m 的取值范围．21．已知椭圆的焦点坐标为()11,0F -，()21,0F ，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且3PQ =，（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，则1F MN V 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由． 22．（本题15分）已知函数()23e xf x x =．（Ⅰ）若0x <，求证：()19f x <；（Ⅱ）若0x >，恒有()()32ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围．镇海2020年3月高考模拟测试数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．B ； 7．A ； 8．D ； 9．A ； 10．C ．9．提示：设(),x y =r c ，()1,0a =r ，()0,1b =r ，则221x y +=，从而232+++-=r r r r r a c a b c==≥=二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．2， 12．14412π-，1686π+；13．6； 14．32；15；15．3； 16．13-； 17．⎛ ⎝⎦17．提示：设OF c =，(),P x y ，FOQ θ∠=，则()2cos ,cos sin Q c c θθθ，由()0OQ OP λλ=>u u u r u u u r ，得2cos cos sin ,c c P θθθλλ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得2422222222cos cos sin c c c a b a θθθλ+=<，化简得()2222cos 0901cos b a θθθ>︒<<︒+恒成立，由此得2212b a ≥，即222a c ≥，故0,2e ⎛∈ ⎝⎦．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．解：（Ⅰ）())21sin cos 1cos sin 2222x x x f x x x =+=-+πsin 3x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………3分所以πππ2π2π232k x k -+<-<+，解得π5π2π2π66k x k -+<<+，k Z ∈．所以函数()f x 的单调递增区间为π5π2π,2π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，Z k ∈………………7分（Ⅱ）因为()πsin 3f B B ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以π3B =．………………9分又因为b =223a c ac =+-，即223a c ac +=+．而222a c ac +≥，所以3ac ≤，即226a c +≤．………………12分又因为2233a c ac +=+>，即226a c +≤．………………14分 19．（Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABCD ，故PC AC ⊥．又2AB =，1CD =，AD AB ⊥，所以AC BC ==故222AC BC AB +=，即AC BC ⊥．所以AC ⊥平面PBC ，所以平面ACE ⊥平面PBC ．………………6分（Ⅱ）解：PC ⊥平面ABCD ，故PC CD ⊥．又2PD =，所以PC =．………………8分在平面ACE 内，过点P 作PF 垂直CE ，垂足为F ．由（Ⅰ）知平面ACE ⊥平面PBC ，所以PF 垂直平面ACE ．………………10分由面积法得：即12CE PF PC BC ⋅=⋅．又点E 为AB的中点，122CE PB ==．所以5PF =．………………12分又点E 为AB 的中点，所以点P 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等．连结BD 交AC 于点G ，则GB =2DG ．所以点D 到平面ACE 的距离是点B 到平面ACE 的距离的一半，即12PF ．所以直线PD 与平面AEC所成角的正弦值为1220PFPD =．………………15分另解：如图，取AB 的中点F ，如图建立坐标系．因为2PD =，所以CP =()0,0,0C ，()0,1,0D，(P ，()1,1,0A ，()1,1,0B -，11,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．………………9分(0,1,PD =u u u r ，()1,1,0CA =u u u r，11,,222CE ⎛=-⎝⎭u u u r 设平面ACE 的一个法量为(),,n x y z =，则0,022x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取1x =，得1y =-，z =即1,1,n ⎛=- ⎝⎭．………………13分设直线PD 与平面AEC 所成角为θ，则sin cos ,n PD θ=<>==u u u r ．………………15分 20．解：（Ⅰ）由2132n n n a a a ++=-可得()2112n n n n a a a a +++-=-．………………2分又11a =，23a =，所以212a a -=．所以{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．………………3分所以12nn n a a +-=．………………4分所以()()21211122221nnn n n a a a a a a -=+-++-=++++=-L L ．………………7分（Ⅱ）因为()()()()()()11112121211212121212121n n n n n n n n n n b ++++---===-------．………………9分所以122231111111212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 11121n +=--．………………12分又因为对任意的*n ∈N 都有1n n S m a ≥+，所以11112121n n m +≤----恒成立，即1min 1112121n n m +⎛⎫≤-- ⎪--⎝⎭，即当1n =时，13m ≤-．………………15分 21．（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由焦点坐标可得1c =，由3PQ =，可得223b a=，解得2a =，b =22143x y += （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨10y >，20y <，设1F MN ∆的内切圆的径R ，则1F MN ∆周长48a ==，()111142F MN S MN F M F N R R ∆=++= 因此1F MN S ∆最大，R 就最大，()12121212AMNS F F y y y y =-=-, 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，得1y =，2y =，则()121212AMNS AB y y y y ∆=-=-=t =，则1t ≥，则221212134313AMNt S m t t t∆===+++，令()13f t t t =+，令()13f t t t=+，当1t ≥时，()f t 在[)1,+∞上单调递增，有()()l 4f t f ≥=，1233AMN S ∆≤=，即当1t =，0m =时，1233AMN S ∆≤=，4AMN S R ∆=，∴max 34R =，这时所求内切圆面积的最大值为9π16．故直线l ：1x =，AMN ∆内切圆面积的最大值为9π16． 22．（本题15分）已知函数()23e xf x x =．（Ⅰ）若0x <，求证：()19f x <；（Ⅱ）若0x >，恒有()()32ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围．解析：（Ⅰ）因为()23e x f x x =，所以()()32332e 3e 32e x x xf x x x x x '=+=+从而()f x 在2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在()0,+∞内单调递增，故()f x 的极大值为22439e f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以当0x <时，()2244139e949f x f ⎛⎫≤-=<= ⎪⨯⎝⎭．（Ⅱ）由()23e 32ln 1xx k x x ≥+++得，()23e 32ln 10x x x x k x x---≤>令()()23e 32ln 10x x x x g x x x---=>，则()()()23213e 2ln 10x x x x g x x x ++-'=>，令()()2313e 2ln 1xh x x x x =++-，则可知函数()h x 在()0,+∞上递增，且0x +→时，()h x →-∞，()314e 2ln110h =+->，从而存在()00,1x ∈，使得()00h x =，所以当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在()0,+∞上的最小值为()03200000e 32ln 1x x x x g x x ---=由()()032000013e2ln 10x h x x x x =++-=，得032012ln e 13xx x x -=+，022000012ln e 13x x x t x -==+，则0002ln 3ln x x t +=，且()00012ln 13x t x -=+，两式相加可得()00002ln 13130t t x x ++--=，记()()002ln 1313t t t x x ϕ=++--，则()t ϕ在()0,+∞上单调递增，且()10ϕ=，所以1t =，从而()03200000000e 32ln 113310x x x x x x g x x x ----+-===，所以实数k 的取值范围为(],0-∞．。

2020年5月宁波市二模数学试题(含答案)

22．（本题满分 15 分）已知实数 a 0 ，函数 f (x) ln | ax | x 1 . a
（Ⅰ）证明：对任意 a (0, ) ， f (x) 3a 5 恒成立； 2
（Ⅱ）如果对任意 x (0, ) 均有 f (x) x a ，求 a 的取值范围. xa
高三数学试卷 6—6
则实数 t 的取值范围是 ▲ ．
17. 已知矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，动点 M、N 分别在射线 CB、CD 上运动，且满足
1
1
1．对角线 AC 交 MN 于点 P，设 AP xAB y AD ，则 x y 的最大值是
CM 2 CN 2
▲．
高三数学试卷 6—4
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分 14 分）已知△ABC 中角 A、B、C 所对的边分别是 a, b, c ，
c,
b2 a
，作 MH
PQ
于
H
，则 PMH
45
.
故
cos PMH
c b2
ac b2
2 ，e2 2
2e 1 0 ，解得 0 e
6 2
2
，选 A.
a
10. 提示：不妨设 A1,0,0, B0,1,0, C0,0,1, S1,1,1 ， AP AS,0 1.
则 sin 1
42
的渐近线方程是 ▲ ．
15. 某会议有来自 6 个学校的代表参加，每个学校有 3 名代表.会议要选出来自 3 个不同学
校的 3 人构成主席团，不同的选取方法数为 ▲ ．
16.
函数
f
(x)
3x , 3

2020届浙江省宁波市高三下学期高考适应性考试(二模)数学试题

2020届浙江省宁波市高三下学期高考适应性考试(二模)数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}1,1,2B =-，则()() UUA B =U 痧（）A ．{}1,1-B ．{}2,3-C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,0,2,3-2．已知复数z 是纯虚数，满足()12z i a i -=+（i 为虚数单位），则实数a 的值是（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知实数,x y 满足约束条件1435x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是（）A ．6B ．152C ．172D ．2534．已知ABC V 中角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ，则“2222a b c +=”是“ABC V 为等边三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知随机变量X 的分布列是（）其中26a b a ≤≤，则()E X 的取值范围是（） A ．4,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．21,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．15,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．14,39⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．函数21cos 21x x y x +=⋅-的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．7．设,a b ∈R ，无穷数列{}n a 满足：1a a =，211n n n a a ba +=-+-，*n ∈N ，则下列说法中不正确的是（）A ．1b =时，对任意实数a ，数列{}n a 单调递减B ．1b =-时，存在实数a ，使得数列{}n a 为常数列C ．4b =-时，存在实数a ，使得{}n a 不是单调数列D ．0b =时，对任意实数a ，都有201820202a >-8．若正实数x 、y 满足x -=x 的取值范围是（）A ．[]4,20B ．[]16,20C ．(]2,10D ．(2,9．点M 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点，与y 轴相交于,P Q ，若MPQ V 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．,22⎛ ⎝⎭D ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10．在四面体S ABC -中，点P 在线段SA 上运动（不含端点）.设PA 与平面PBC 所成角为1θ，PB 与平面SAC 所成角为2θ，PC 与平面ABC 所成角为3θ，则（） A ．213θθθ<< B ．231θθθ<<C ．312θθθ<<D ．321θθθ<<11．()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则实数a =______，该展开式中常数项为______.12．一个四面体的三视图如图所示（单位cm ），则该四面体体积（单位cm 3）为______，外接球的表面积（单位cm 2）为______.13．已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则T =______，()f x 的单调递减区间是______.14．已知过抛物线()21:20C y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于,A B两点，其中(4,A ，双曲线()22222:10,0y x C a b a b-=>>过点,A B ，则p 的值是______，双曲线2C 的渐近线方程是______.15．某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表.会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为______.16．函数()123,013log ,132x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()22g x x x =-，若()()y g f x t =-恰有3个零点，则实数t 的取值范围是______.17．已知矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，动点M 、N 分别在射线CB 、CD 上运动，且满足22111CM CN+=.对角线AC 交MN 于点P ，设AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的最大值是______.18．已知ABC V 中角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ,且)2cos cos cos a A c B b C =+.(1)求A 的值；(2)若1a =且sin cos B C +=求ABC V 的面积.19．已知三棱柱111ABC A B C -中，M 、N 分别是1CC 与1A B 的中点，1ABA △为等边三角形，1CA CA =，112A A A M BC ==.（Ⅰ）求证：//MN 平面ABC ；（Ⅱ）（i ）求证：BC ⊥平面11ABB A ；（ii ）求二面角A MN B --的正弦值.20．已知正项数列{}n a 的首项11a =,其前n 项和为n S ,且n a 与1n a +的等比中项是数列{}n b 满足：122...2nn n a b b b a ++++=. (1)求23,a a ,并求数列{}n a 的通项公式； (2)记n c =*n ∈N ,证明：12...21n c c c ⎛+++< ⎝. 21．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的焦点12F F的距离为过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于,A B 两点，且1AB =. （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若存在实数t ，使得经过相异两点()24,P t t h +和()22,Q t t h ++的直线交椭圆Γ所得弦的中点恰为点Q ，求实数h 的取值范围.22．已知实数0a ≠，函数()ln ||1f x ax =+. （Ⅰ）证明：对任意()0,a ∈+∞，()532f x a ≤-恒成立；（Ⅱ）如果对任意()0,x ∈+∞均有()x af x x a-≤+，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】【分析】首先分别求出 U A ð， U B ð，再求()() U UA B U 痧即可.【详解】{2,2,3}U A =-ð， {2,0,3}U B =-ð，()() {2,0,2,3}U UA B =-U 痧.故选：D 【点睛】本题主要考查集合的补集和并集的运算，属于简单题. 2．C 【解析】【分析】由题意设(z bi b R =∈且)0b ≠，转化条件得2b bi a i +=+，进而可得2b a b =⎧⎨=⎩，即可得解.【详解】设(z bi b R =∈且)0b ≠，则()()112z i bi i b bi a i -=-=+=+，所以2b ab =⎧⎨=⎩，解得2a =.故选：C. 【点睛】本题考查了纯虚数的概念、复数的运算与复数相等的条件，属于基础题. 3．C 【解析】【分析】由题意画出可行域，转化目标函数为3y x z =-+，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图阴影部分所示：目标函数3z x y =+可转化为3y x z =-+，上下平移直线3y x z =-+，数形结合可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 取得最大值，由435x y y x +=⎧⎨=-⎩可得点97,44A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以max 97173442z =⨯+=. 故选：C. 【点睛】本题考查了简单的线性规划，属于基础题. 4．B 【解析】【分析】举反例分析充分性,再直接推理必要性再判断即可. 【详解】当3,4,a b c ===,满足ABC V 三边关系与2222a b c +=,但ABC V 不为等边三角形.当ABC V 为等边三角形时, 2222a b c +=成立.故“2222a b c +=”是“ABC V 为等边三角形”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意推导或者举出反例证明充分性与必要性.属于基础题. 5．B 【解析】【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得1130026a b a b a b a⎧++=⎪⎪⎪≥⎨⎪≥⎪≤≤⎪⎩，进而可得2192b ≤≤，由离散型随机变量期望公式即可得解. 【详解】由题意可得1130026a b a b a b a⎧++=⎪⎪⎪≥⎨⎪≥⎪≤≤⎪⎩，解得2192b ≤≤，所以()1222102,33393E X a b b b b ⎡⎤=-+⨯+=-+=-∈-⎢⎥⎣⎦. 故选：B. 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与期望公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 6．A 【解析】【分析】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，由()()f x f x -=-可排除B 、D ；由当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，可排除C ；即可得解.【详解】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，则()()()1121212cos cos cos 1211212xx x x x xf x x x x f x --+++-=-⋅=⋅=⋅=----，所以函数()f x 为奇函数，可排除B 、D ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，21021xx +>-，所以()0f x >，故排除C.故选：A. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题. 7．D 【解析】【分析】当1b =时，由2110n n n a a a +-=--<可判断A ；当1b =-时，由21n n n a a a =---可得1n a =-，即1a =-时，数列{}n a 为常数列，可判断B ；当0a =、4b =-时，由213a a a <<可判断C ；若0b =，可得210n na a +<-≤，进而可得()20182018222202021a a a <-=---，即可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，当1b =时，211n n n a a a +=-+-，则2110n n n a a a +-=--<即1n n a a +<，所以对于任意实数a ，数列{}n a 单调递减，故A 正确；对于B ，当1b =-时，211n n n a a a +=---，若1n n a a +=，则21n n n a a a =---即1n a =-，当1a =-即11a =-时，数列{}n a 为常数列，故B 正确；对于C ，当0a =、4b =-时，2141n n n a a a +=---，10a =，21a =-， 32a =，213a a a <<，故数列{}n a 不是单调数列，故C 正确；对于D ，当0b =时，211n n a a +=--，所以210n n a a +<-≤，所以241n n a a +>，241n n a a +-<-，所以()201820182242220202019201821a aaaa <-<-<⋅⋅⋅<-=---，当21a =时，201822018202022a <-<-，故D 错误.故选：D. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 8．C 【解析】【分析】因为正实数x 、y 满足x -有意义，可得20x y -≥.利用换元法，令t =0t >)，将x -=22420x x --=，结合方程的根的特征，即可求得答案.【详解】Q 正实数x 、y 满足x -=Q 有意义，则20x y -≥——①令t =0t >)，将t 代入①可得：22t x ≤，结合0t >解得：0t <≤将x -= 整理可得：2442x x y x y π-+=-故：22420x x --=——②将t =225420t xt x x -+-=这是一个关于t 的一元二次方程，则方程有两个正根(含相等)()()222121620201205x x x t t x x ⎧∆=--≥⎪⎨=->⎪⎩解得：210x <≤ 故(]2,10x ∈ 故选：C 【点睛】本题解题关键是利用还原法，将所给等式转化一元二次方程，利用一元二次方程知识求解变量的范围，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 9．A 【解析】【分析】因为圆M 与x 轴相切于焦点F ，不妨设(,)M c y ，则(因为相切，则圆心与F 的连线必垂直于x 轴)，根据题意画出大致图象，根据几何关系求得PN ，NQ ，根据PMQ ∠为钝角，则45PMN QMN ︒∠=∠>，结合已知，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】Q 圆M 与x 轴相切于焦点F ，∴不妨设(,)M c y ，则(因为相切，则圆心与F 的连线必垂直于x 轴)根据题意画出大致图象：M 在椭圆上，则2b y a=或()2222b y a b c a =-=+∴圆的半径为2b a过M 作MN y ⊥轴与N ，则,PN NQ MN c ==PN NQ ∴==Q PMQ ∠为钝角，则45PMN QMN ︒∠=∠>即PN NQ MN c =>=∴c >，即4222b c c a ->得()222222ac c a ->，即2222222a c c e c -+>可得：22140e e -+> 即：42410e e -+> 即：()22230e -->即：221)e e -<<<故：22e <02e ∴<<e ⎛∴∈ ⎝⎭选故：A. 【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率范围问题，解题关键是掌握椭圆离心率定义，要注意椭圆的离心率范围是：01e <<，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．D 【解析】【分析】不妨设()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()1,1,1S ，AP AS λ=u u u r u u u r，01λ<<，然后算出1sin n PA n PA θ⋅==⋅r u u u rr u u u r，2sin θ=，3sin θ=即可. 【详解】不妨设()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()1,1,1S ，AP AS λ=u u u r u u u r，01λ<<所以()()0,1,10,,AP AS λλλλ===u u u r u u u r，所以()1,,P λλ所以()()()0,,,1,1,,1,,1PA PB PC λλλλλλ=--=---=---u u u r u u u r u u u r设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r则有00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即()()()()1010x y z x y z λλλλ-+-+-=⎧⎪⎨-+-+-=⎪⎩，即()12y zx y λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以可取()12,1,1n λ=-r所以1sin n PA n PA θ⋅==⋅r u u u r r u u u r ，同理可得2sin θ=，3sin θ=因为()22244333370λλλλλλ++--+=+>>所以123sin sin sin θθθ>>，故123θθθ>>，故选：D 【点睛】对于选择题，特殊化处理是解答本题的关键. 11．1 10 【解析】【分析】由()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2求出1a =，然后写出()521x -的展开式的通项即可算出答案. 【详解】因为()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2 所以令()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭中的1x =可得12a +=，所以1a = 因为()521x -的展开式的通项为()()()5551552112,0,1,2,3,4,5rrrrrr r r T C x C x r ---+=-=-=所以()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为()44511210C ⨯⨯-⨯=故答案为：1，10 【点睛】本题考查的是二项式定理的相关知识，属于基础题. 12．6 34π 【解析】【分析】根据三视图画出原图，由此计算出几何体的体积，并计算出外接球的表面积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四面体1A BCD -，将其放置在长方体1111ABCD A B C D -中，所以几何体的体积为11114336332BCD S AA ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.四面体1A BCD -的外接球即长方体1111ABCD A B C D -的外接球，外接球的直径为1AC ==22114342AC AC πππ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：（1）6；（2）34π.【点睛】本小题主要考查由三视图求几何体的体积，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题. 13．23π()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】根据()f x 的对称性和T 的范围，求得,,T ωϕ，根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递减区间. 【详解】由于()f x 的最小正周期,2T ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0>ω，所以2,242πππωω⎛⎫∈⇒<< ⎪⎝⎭. 由于()f x 图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，所以11224,,42k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧+=⎪⎪∈⎨⎪-+=+⎪⎩，两式相加得()1122,,22k k k k Z πϕπ=++∈，由于02πϕ<<，02ϕπ<<，所以224ππϕϕ=⇒=.则11141,44k k k Z ππωπω=⇒=-∈+，结合24ω<<可得3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为23T π=. 由3232242k x k πππππ+≤+≤+，解得225312312k k x ππππ+≤≤+，所以()f x 的减区间为()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：（1）23π；（2）()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查根据三角函数的对称性、周期性求参数，考查三角函数单调区间的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 14．4y = 【解析】【分析】根据A 点坐标求得p ，由此求得抛物线方程，进而求得B 点坐标，将,A B 坐标代入双曲线的方程，由此求得,a b ，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】由于A 在抛物线1C 上，所以(2244p p =⋅⇒=.所以抛物线方程为28y x =，其焦点坐标为()2,0，所以直线AB的方程为())02242y x x =-=--.由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩221x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩(1,B -. 将,A B 坐标代入双曲线2C 的方程得222232161811a b a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b ==，所以双曲线的渐近线方程为525a y x x xb =±=±=±.故答案为：（1）4；（2）y = 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的渐近线方程，属于中档题. 15．540 【解析】【分析】根据分步计数原理以及组合数的计算，求得不同的选取方法数. 【详解】第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有3620C =；第二步，从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有33327⨯⨯=；根据分步计数原理可知，总的方法数有2027540⨯=种. 故答案为：540. 【点睛】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题. 16．[]1,10 【解析】【分析】设()m f x =，则()g m t =.由()f x 图像知，要使得恰有三个零点，则方程()g m t =存在两个实根12,m m ，满足113m ≤<，23m =或者113m ≤<，221m -≤<，结合()g x 的性质，得110t ≤≤. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示. 设()m f x =，则()g m t =.由()f x 图像知，要使得恰有三个零点，则方程()g m t =存在两个实根12,m m ，满足“113m ≤<，23m =”或者“113m ≤<，221m -≤<”.由于()()2221g x x x x x =-=-，所以()g x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上递减，在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，两个零点为1210,2x x ==，最小值为1148g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于()()()210,11,315g g g -===.所以实数t 的取值范围是110t ≤≤，即[]1,10 故答案为：[]1,10 【点睛】本小题主要考查函数零点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 17．85【解析】【分析】由条件可知2222CM CN CM CN +=⋅，故MN CM CN =⋅，则点C 到MN 的距离为1，即1CP ≥，故4AP ≤，则852AP x y +=≤.【详解】由于22111CM CN+=，所以2222CM CN CM CN +=⋅，所以222MNCM CN =⋅，所以MN CM CN =⋅，所以点C 到MN 的距离为1，所以1CP ≥，而5AC ==，所以4AP ≤，设CAB α∠=，则34sin ,cos 55αα==，所以sin ,cos x AB y AD AP AP αα⋅⋅==，则15x y AP ==. 则21185555AP x y AP AP +=+=≤. 故答案为：85【点睛】本小题主要考查向量在几何计算中的运用，属于中档题.18．(1)6A π= (2)ABC S =V 【解析】【分析】(1)根据正弦定理边化角,再利用三角恒等变换以及三角函数值求解A 即可.(2)利用6A π=与内角和的关系,将sin cos 2B C +=化简成关于角C 的表达式,再利用三角恒等变换结合三角形内角的范围求解即可. 【详解】(1)由)2cos cos cos a A c B b C =+,)2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+故()2sin cos A A B C =+即2sin cos A A A =,∵sin 0A ≠,∴cos A =,而()0,A π∈,∴6A π=.(2)由sin cos B C +=6A π=得sin cos 6C C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭,3cos 2C C +=32C π⎛⎫+=⎪⎝⎭,5(0,)6C π∈,∴536C ππ+=,2C π=,3B π=. 故sin sin b a B A =,即sin 21sin 2a Bb A===又2C π=,故1122ABC S =⨯=V . 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理进行边角互化求解角度的问题,同时也考查了三角恒等变换在解三角形中的运用.属于中档题.19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（i ）见解析（ii【解析】【分析】（Ⅰ）由//MP BC 推出//MP 平面ABC ，由//PN AB 推出//NP 平面ABC ，则平面//PMN 平面ABC ，由MN ⊂平面PMN 即可得证；（Ⅱ）（i ）勾股定理证明AB BC ⊥、1A B BC ⊥，即可推出BC ⊥平面1ABA ；（ii ）建立空间直角坐标系，求出平面AMN ，平面BMN 的法向量代入121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅u r u u ru r u u r u r u u r 即可求得两向量夹角的余弦值，再求出正弦值即可. 【详解】（Ⅰ）取1BB 中点P ，连接MP ，则//MP BC ，因为BC ⊂平面ABC ，MP ⊄平面ABC ，所以//MP 平面ABC ，因为N 、P 分别11,A B BB 的中点，所以11//PN A B ，又11//A B AB ，所以//PN AB ，因为AB Ì平面ABC ，PN ⊄平面ABC ，故//NP 平面ABC ，因为NP MP P ⋂=，NP ⊂平面PMN ，MP ⊂平面PMN ，于是平面//PMN 平面ABC ，又MN ⊂平面PMN ，所以//MN 平面ABC . （Ⅱ）（i ）不妨设1BC =，则112A A A M ==.依题意111CA CA C A ==，故1A M 为等腰11ACC △底边上的中线，则11A M CC ⊥.于是11AC AC ===因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，同理22211A B BC A C +=，则1A B BC ⊥，又1AB A B B ⋂=，AB Ì平面1ABA ，1A B ⊂平面1ABA ，所以BC ⊥平面1ABA .（ii ）方法一：因为BC ⊥平面1ABA ，AN ⊂平面1ABA ，所以AN BC ⊥，因为1ABA △为等边三角形且N 为1A B 的中点，所以1AN BA ⊥，又1BC BA B =I ,BC ⊂平面1A BC ，1BA ⊂平面1A BC ，所以AN ⊥平面1A BC ，因为AN ⊂平面AMN ，故平面AMN ⊥平面1A BC .设1A C AM Q =I ，则QN 为平面AMN 与平面1A BC 的交线.过B 作BH QN ⊥于点H ，则BH ⊥平面AMN .又过B 作BG MN ⊥于点G ，则MN ⊥平面BGH ，BGH ∠即为二面角A MN B --的平面角.在BMN △中，BM MN ==1BN =，则BG =；在BQN △中，BH BN ==所以sin 35BH BGH BG ∠===，即二面角A MN B --.方法二：以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0B，()A -，1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,1M，1,22NM ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，()2,AM =u u u ur ，()1,0,1BM =u u u u r . 设平面AMN 的法向量()1111,,n x y z =u r ，平面BMN 的法向量()2222,,n x y z =u u r.由11111111102220x y z n NM n AM x z ⎧⎧-+=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪+=⎩u v u u u u v u v u u u u v，可取()1n =u r ；由222222210220n NM x y z n BM x z ⎧⎧⊥-+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪+=⎩u u v u u u u v u u v u u u u v，可取21,1n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u r .于是121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 所以二面角A MN B --35=.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定及证明，二面角的求法，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20．(1)22a =,33a =,()*n a n n =∈N . (2)见解析【解析】【分析】(1)由题可得12n n n S a a +=,再根据通项与前n 项和的关系求得递推公式22n n a a +-=,再根据12,a a 的值求解通项即可.(2)根据通项与前n 项和的关系求出{}n b 的通项公式,再代入可得n c =再利用裂项放缩法或者利用数学归纳法证明即可. 【详解】(1)依题意,12n n n S a a +=由1122a a a =,()12232a a a a +=得22a =,33a =.于是有12n n n S a a +=,1122n n n S a a +++=,两式相减可得()1122n n n n a a a a +++=-. 约去正项1n a +可得22n n a a +-=.又11a =,22a =,所以{}n a 是以1为首项,1为公差的等差数列. 故()*n a n n =∈N . (2)依题意()12211 (22222)n n n a n b b b a n n ++++===-++, 当2n ≥时,12111 (21)n b b b n -+++=-+, 两式相减即得()()1111212n b n n n n =-=++++. 另外113126a b a ==亦符合上式,所以()()112n b n n =++()*n ∈N.n c ===证一：22n c <==所以12...21...21n c c c ⎡⎤⎛⎛+++<+++=-⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦. 证二：（1）1n =时命题成立.（2）假设n k =时命题成立,即12...21k c c c ⎛+++< ⎝那么1211...212121k k k c c c c c ++⎛⎛⎛++++-<+- ⎝⎝⎝22==0=<即当1n k =+时命题也成立.综合（1）（2）对任意*n N ∈命题均成立. 【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前n 项和的关系求得递推公式与通项公式的方法,同时也考查了数列不等式的问题,包括裂项放缩以及数学归纳法的应用.属于难题.21．（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）1h ≤<【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意得到2222213b a a b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩，解得答案.（Ⅱ）计算直线l 的方程22t y x h t =+-，联立方程得到()2221h t t -<+，利用点差法得到()11t h t+=-+，故1h ≥，0t <，变换得到()()2120h t h +-<，解得答案. 【详解】（Ⅰ）根据题意：2c =221ba =，即2222213b aa b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩，解得2a =，故1b =，椭圆Γ的方程为2214x y +=.（Ⅱ）过P 、Q 两点的直线l 的斜率为2222t t t t -=-，直线l 的方程22t y x h t =+-，代入2214x y +=可得()222240x tx h t ⎡⎤++--=⎣⎦，整理可得()()()2222214410tx t h t x h t ⎡⎤++-+--=⎢⎥⎣⎦，依题意()()()2222221616110th t t h t ⎡⎤∆=--+-->⎢⎥⎣⎦，即()2221h t t -<+.① 若设直线l 交椭圆Γ于点()11,x y ，()22,x y ，则依题意有()212222221t h t x x t t --+==++，经整理可得()211t h t +=-+，0t ≠，即()11t h t+=-+.②由题意1t ≠，故由②可知()(]()1,22,h -+∈-∞-+∞U ，再结合①可知：若0t >，3h <-，则()()()222222223331h t t t t t ->--=+>+>+，不成立；故1h ≥，0t <，将②代入①消去2t ，可得()()()22111h t h t ++<-+，再次将②代入①，可得()()()2111h h t h t +-<-+，即()()2120h t h +-<.又1h ≥，0t <，故解得1h ≤<【点睛】本题考查了椭圆方程，求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力，利用点差法是解题的关键.22．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）(]0,1 【解析】【分析】（Ⅰ）求导得到函数()()()23max 4ln 41ln 43ln 1f x f aa a ==-=+-，故只需证5ln 43ln 132a a +-≤-，设()33ln 3ln 42a a a ϕ=-++，求导得到()max 3ln 42a ϕ=-，得到证明.（Ⅱ）对任意()0,x ∈+∞有意义，0a >，令1x =可得111ln 1aa a a-+≤++，所以01a <≤，再证明对任意(]0,1a ∈，任意()0,x ∈+∞，不等式恒成立，考虑关于a 的函数()()1ln x am a xa a x a-=+--+，根据其单调性得到()11ln 01x n x x x -=+-≤+，计算函数单调性得到证明. 【详解】（Ⅰ）易知()f x 的定义域为()0,+?，若()0,a ∈+∞，则()()ln 1f x ax =+， ()112f x x a ⎫'==⎪⎭，则()f x 在()20,4a单调增，在()24,a +∞单调减，所以()()()23max 4ln 41ln 43ln 1f x f a a a ==-=+-.要证()532f x a ≤-恒成立，只需证5ln 43ln 132a a +-≤-. 令()33ln 3ln 42a a a ϕ=-++，()0,a ∈+∞.()131a aϕ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在()0,1上单调递增，在()1,+?上单调递减，故()()max 31ln 42a ϕϕ==-，由于3ln 402-<， ∴()0a ϕ≤，即()532f x a ≤-恒成立.（Ⅱ）()x a f x x a -≤+，即1ln ||x aax a x a-+≤++.（*） 1°（*）对任意()0,x ∈+∞有意义，当x →+∞时，1ln ||ax +→+∞，∴0a >； 2°若（*）对任意()0,x ∈+∞恒成立，则01a <≤. 特别地，在（*）中令1x =可得111ln 1aa a a-+≤++，故122ln 01a a a +--≤+. 注意到()122ln 1h a a a a =+--+在()0,a ∈+∞单调增，且()10h =，所以()0h a ≤当且仅当01a <≤.3°下面证明：对任意(]0,1a ∈，任意()0,x ∈+∞，不等式（*）恒成立. 首先，将正实数x 给定，考虑关于a 的函数()()1ln x am a xa a x a-=+--+，注意到()()122ln xm a xa a x a =+-+在(]0,1a ∈单调增，故()()111ln 1x m a m x x -≤=+-+. 下面只需说明：()11ln 01x n x x x -=+≤+对于()0,x ∈+∞恒成立即可. 显然()10n =，故只需说明()n x 在()0,1单调增，在()1,x ∈+∞单调减.()()())()222221112121x x n x x x x x ++'==++当1x >)()533122222211121x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++>+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()0n x '<；当01x <<时，())5312222222222112121x x x x x x x x x +=+++>++>++=+，故()0n x '>.因此()n x 在()0,1单调增，在()1,x ∈+∞单调减. 综上可知，实数a 的取值范围是(]0,1. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，先算后证是解题的关键.。

宁波市镇海中学2024届高三下学期适应性测试数学试卷(解析版)

浙江省宁波市镇海中学2024届高三下学期适应性测试数学试卷说明:本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上. 一、单选题:本大题共8小题，毎小题5分，共40分.1. 设集合{}21{|,3}x P x Q x x x =>=∈≤Z ∣，，则P Q 的子集个数是（）A. 3B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】化简集合,P Q ，求出P Q 判断子集个数.【详解】{}{}210xPx x x =>=> ，{}{}Z,33,2,1,0,1,2,3Q x x x =∈≤=−−−，{}1,2,3P Q ∴∩=，所以P Q 的子集个数为328=个.故选：C.2. 已知复数i(,R z a b a b =+∈，i 为虚数单位)，若1z =且i 1z −=，则2i z −= （） A. 2B.C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据复数的模求出,a b ，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】由1z =且i 1z −=，得()2222111a b a b += +−=，解得21234b a= =，则2i z −故选：B.3. 已知ABC 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP mAB AC =+，则AP AB ⋅=（） A.29B.19C.23D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意得89AP mAB AN =+，由,,P B N 三点共线求得19m =，利用向量数量积运算求解. 【详解】13AN NC =，14AN AC ∴=，且2899AP mAB AC mAB AN =+=+ ，而,,P B N 三点共线，819m ∴+=，即19m =， 1299AP AB AC ∴=+ ，所以o12122cos 6099999AP AB AB AC AB ⋅=+⋅=+×=. 故选：A.4. 已知数列{}n a 满足点(),n n a 在直线21133y x =−上，{}n a 的前n 项和为n S ，则n nS 的最小值为（） A. 47− B. 48−C. 49−D. 50−【答案】C 【解析】【分析】由题意可得数列{}n a 是等差数列，根据等差数列的求和公式求出n S ，从而可得()2103n n n nS −=，设()()()21003x x f x x −=>，利用导数研究其单调性，结合n ∗∈N 即可求解.【详解】因为数列{}n a 满足点(),n n a 在直线21133y x =−上，所以21133n a n =−. 因为()()121121121233333n n a a n n n − −=−−−−=≥ ，所以数列{}n a 是首项为1211333a =−=−，公差为23的等差数列，所以()()()11023233n n n n n S n −−=−+×=，则()2103n n n nS −=. 设()()()21003x x f x x −=>，则()()13203f x x x ′=−，当200,3x∈ 时，()0f x ′<；当20,3 ∈+∞x 时，()0f x '>，所以()f x 在200,3上单调递减，在20,3+∞上单调递增. 又n ∗∈N ，()()()()226473648,74933f f ×−×−==−==−，所以()min 49f n =−，即n nS 的最小值为49−. 故选:C.5. 已知棱长为1的正方体1111,,ABCD A B C D M N −分别是AB 和BC 的中点，则MN 到平面11A C D 的距离为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】延长MN 交DC 延长线于点Q ，连接11,A Q C Q ，由几何关系证明MN 到平面11A C D 的距离即点Q 到平面11A C D 的距离，再由等体积法1111Q A DC A QDC V V −−=求出结果即可；【详解】延长MN 交DC 延长线于点Q ，连接11,A Q C Q ，AC ，因为,M N 分别是AB 和BC 的中点，则//MN AC ，由正方体的性质可得11//AC AC ，所以11//MN AC ，又11AC ⊂平面11A CD ，MN ⊄平面11A C D ，所以//MN 平面11A C D ，所以MN 到平面11A C D 的距离即点Q 到平面11A C D 的距离，设为h ，则1111Q A DC A QDC V V −−=，因为正方体的棱长为1，所以32DQ =，1111A D DC AC ===，所以111111133A DCDQC S h S A D ⋅=⋅，即21113113322h h ×=××××⇒=，故选：C.6. 已知函数()()2122()2cos sin 21(0)f x x x f x f x x ωωω=+−>==−的最小值为2π3，则ω=（）A.12B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】先由二倍角的余弦公式，辅助角公式化简()f x ，再由sin y x =与12y =相交的两个交点的最近距离为5ππ2π663−=，结合1212min min ππ2π222443x x x x ωωω +−+=−=解出即可.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω=+−=+=+，因为()()12f x f x ==，所以12ππ1sin 2sin 2442x x ωω+=+=，因为当[]0,2πx ∈时，1sin 2x =对应的x 的值分别为π5π,66，所以sin y x =与12y =相交的两个交点的最近距离为5ππ2π663−=，又12x x −的最小值为2π3，所以1212min minππ2π222443x x x x ωωω +−+=−=，即2π2π12332ωω×⇒，故选：A.7. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c −，点A ，B 在C 上，直线1F A 倾斜角为π3，且122F A F B = ，则C 的离心率为（）A.13B.C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】由椭圆焦半径公式求出12,F A F B ，结合条件列式运算得解. 【详解】根据题意，12//F A F B ，所以直线2F B 的倾斜角为π3，由椭圆焦半径公式得2122b F A a c =−，2222π2cos3b b F B ac a c ==++，122F A F B =，122F A F B ∴=，即()222a c a c +=−，化简得23a c =，23e ∴=. 故选：D.8. 己知12ln 312ln5ln 2,,23225a b c =+=+=+，则（） A. c b a >> B. b a c >>C. a b c >>D. a c b >>【答案】B 【解析】【分析】构造()()()ln 10f x x x x =+−>，利用导数证明()()ln 10x x x +<>，代入13x =可比较,a b 大小，根据对数函数的性质可判断,a c 的大小，从而可求解.【详解】设()()()ln 10f x x x x =+−>，则()11011xf x x x−=−=+′<+，的所以()f x 在()0,∞+上单调递减，所以()()00f x f <=，所以()()ln 10x x x +<>，所以11ln 133+< ，即41ln 33<，所以12ln 2ln 33<+，即1ln 3ln 262<+，所以12ln 3ln 2232+<+，即a b <. 由2532<，可得ln 25ln 32<，即2ln 55ln 2<，即2ln 5ln 25<，所以12ln 51ln 2252+<+，即c a <. 综上所述，b a c >>. 故选:B.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.9. 下列选项中正确的有（）A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r 的值越接近于1B. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C. 已知随机变量X 服从正态分布()22,,(4)0.8N P X σ<=，则(24)0.2P X <<= D. 若数据121621,21,,21x x x ++…+的方差为8，则数据1216,,,x x x …的方差为2 【答案】BD 【解析】【分析】由线性相关系数的性质可得A 错误；由残差图的意义可得B 正确；由正态分布的对称性可得C 错误；利用方差的性质可得D 正确；【详解】A ：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r 的值越接近于1，故A 错误；B ：在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故B 正确；C ：由随机变量X 服从正态分布()22,,(4)0.8N P X σ<=，所以根据正态分布的对称性可得()()(24)420.80.50.3P X P X P X <<=<−≤=−=，故C 错误； D ：设数据1216,,,x x x …的方差为m ，因为数据121621,21,,21x x x ++…+的方差为8，所以228m ×=，解得2m =，故D 正确；故选：BD.10. 设抛物线24y x =，弦AB 过焦点F ，过A ，B 分别作拋物线的切线交于Q 点，则下列结论一定成立的是（）A. 存在点Q ，使得0QA QB ⋅>B. QF 的最小值为2C. 2QA AF AB =⋅D. ABQ 面积的最小值为4【答案】BCD 【解析】【分析】设()()1122:1,,,,AB l xty A x y B x y =+,联立直线AB 和抛物线的方程，得12124,4y y t y y +==−,根据导数的几何意义求出,QA QB 的方程，可得()1,2Q t −，QF AB ⊥，再逐项判断即可.【详解】易知()1,0F ，准线方程为=1x −，设()()1122:1,,,,AB l x ty A x y B x y =+, 由241y xx ty = =+，消去x 可得2440y ty −−=,()()22Δ441416160t t =−−××−=+>，则12124,4y y t y y +==−. 不妨设A 在第一象限，因为24y x =，则y =,则12122y x −=⋅⋅′ 则QA的方程为)11y y x x −=−，即()1112y y x x y −=−，即211122y y y x x −=−，即111422y y x x x −=−，即1122y y x x =+. 同理可得QB 的方程为2222=+y y x x . 联立11222222y y x x y y x x =+=+ ，可得12121422y y x y y y t==− + ==，即()1,2Q t −, 则Q 在抛物线的准线=1x −上. 又22QF tk t ==−−，所以1QF AB k k ⋅=−，即QF AB ⊥. .对于A ，因为12122241QA QBk k y y y y ⋅=⋅==−，所以QA QB ⊥，即0QA QB ⋅=，故A 错误；对于B ，设准线=1x −与x 轴交于点H ，因为Q 在抛物线的准线=1x −上，所以2QF HF ≥=，即QF 的最小值为2，故B 正确；对于C ，因为QA QB ⊥，QF AB ⊥，所以Rt AQB ∽Rt AQF △，所以AQ AF ABAQ=，即2QA AF AB =⋅，故C 正确；对于D，()241AB t ===+.设Q 到直线AB 的距离为d ,则d =, 所以()214142QAB S AB d t =⋅=+≥ ，当且仅当0=t 时取等，故ABQ 面积的最小值为4，故D 正确. 故选:BCD.【点睛】关键点睛：已知切点()00,M x y 和抛物线()220y px p =>，则抛物线在()00,M x y 处的切线方程为()00y yp x x =+；已知切点()00,M x y 和抛物线()220x py p =>，则抛物线在()00,M x y 处的切线方程为()00x xp y y =+.11. 已知数列{}n u ，其前n 项和为n S ，若存在常数0M >，对任意的*n ∈N ，恒有1121n n n n u u u u u u M +−−+−++−≤ ，则称{}n u 为B −数列.则下列说法正确的是（）A. 若{}n u 是以1为首项，(|q |1)q ＜为公比的等比数列，则{}n u 为B −数列B. 若{}n u 为B −数列，则{}n S 也为B −数列C. 若{}n S 为B −数列，则{}n u 也为B −数列D. 若{}{},n n a b 均为B −数列，则{}n n a b ⋅也为B −数列【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据题意可得1n n u q−=，利用B −数列的定义求解判断；对B ，举反例()*1N nu n =∈不合题意；对C ，根据条件得12n n u u u M ++++≤ ，结合B −数列的定义和绝对值三角不等式可判断；对D ，由数列{}{},n n a b 是B −数列，可得11n a M a ≤+，21n b M b ≤+，结合绝对值三角不等式可证112112n n n n a b a b K M K M ++−≤+，得解.【详解】对于A ，1n n u q−=，于是()1111n n n n n u u q qq q −−+−=−=−，()()0111121n n n n n u u u u u q q q q −+−∴−+−++−+++()11111n q qq qq−−=−⋅<−−，故A 正确；对于B ，若()*1N nu n =∈，显然数列{}nu 是B −数列，nSn =，但1121n n n n S S S S S S n +−−+−++−=，所以数列{}n S 不是B −数列，故B 错误；对于C ，因为数列{}n S 是B −数列，所以存在正数M ，对于任意的*N n ∈，有1121n n n n S S S S S S M +−−+−++−≤ ，即12n n u u u M ++++≤ ，所以112112122n n n n n n u u u u u u u u u u +−+−+−++−≤++++12112222n n u u u u M u +≤++++=+ ，所以数列{}n u 是B −数列，故C 正确；对于D ，若数列{}{},n n a b 是B −数列，则存在正数12,M M ，对任意的*N n ∈，有11211n n n n a a a a a a M +−−+−++−≤ ，11212n n n n b b b b b b M +−−+−++−≤ ，因为1122111211n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a −−−−=−+−++−+≤−+−+11M a ≤+，同理可得21n b M b ≤+，记111K M a =+，221K M b =+，则有111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b b a a a b b +++++++++−=−+−≤−+−21112112n n n n K a a K b b K M K M ++≤−+−≤+，所以数列{}n n a b ⋅也是B −数列，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题是新定义问题的求解，关键是理解新定义，将新定义问题转化为熟悉的问题来进行求解.三、填空题:本大题共3小题，每题5分，共15分.答案填在题中的横线上.12. 已知双曲线22122:1x y C a b −=的离心率2e =，则双曲线22222:1y x C a b−=的渐近线方程为____________.【答案】y x = 【解析】【分析】由双曲线22122:1x y C a b−=的离心率2e =可得到b =，再由焦点在y 轴上的渐近线方程为ay x b=±求出即可. 【详解】因为双曲线22122:1x y C a b−=的离心率2e =，所以2223c e b a b a ===⇒=⇒=，又双曲线22222:1y x C a b−=，所以渐近线方程为ay x x b =±，故答案为：y x =. 13.已知圆锥的轴截面面积为____________. 【答案】2 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h，可得hr =312722R h h −=+，设()312722f h h h −=+，利用导数判断单调性求出最值.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h，则hr =，设圆锥的外接球的半径为R ，则无论球心O 在圆锥内还是圆锥外，都有()222R R h r =−+，则22433271272222r h h R h h h h −++===+，设()312722f h h h −=+，则()()()()24444933181812222h h h h f h h h h−++−−=−==′，当03h <<时，()0f h ′<，()f h 单调递减，当3h >时，()0f h ′>，()f h 单调递增，()()min 32f h f ∴==故答案为：2.14. 面积为1的ABC 满足,2AB AC AD =为BAC ∠的内角平分线且D 在线段BC 上，当边BC 的长度最㛒时，ADAC的值是____________.【解析】【分析】设AC m =，BAD CAD α∠==，由1ABC S =△得2sin 21m α=，且23sin AD m α=，进而4cos 3m AD α=，在ABC 中，由余弦定理结合基本不等式求得BC的最小值时，cos α=，从而.得到答案.详解】设AC m =，BAD CAD α∠==，则1π0,22BAC α=∠∈，从而tan 0α>，因为2112sin 2sin 22ABC S m m m αα==⋅⋅⋅= ，又11312sin sin sin 222ABC ABD ADC S S S m AD m AD m AD ααα==+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ ，所以2sin 21m α=，且23sin AD m α=，从而222sin 24cos 3sin 3sin 3m mAD m m αααα===，在ABC 中，由余弦定理得，()222222254cos 2422cos 254cos 2sin 2m BC m m m m m m m αααα−=+−⋅⋅⋅=−=()()2222225sin cos 4cos sin 54cos 29sin cos sin 22sin cos 2sin cos αααααααααααα+−−−+==91tan 322tan αα=+≥=，当且仅当91tan 22tan αα=即1tan 3α=时，等号成立，所以当BC1tan 3α=，此时cos α=所以4cos 43cos 3m AD AC m αα===..【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用余弦定理求出BC 的表达式，并结合条件和基本不等式得到BC 的最小值时的条件.四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15. 已知函数()e 1x f x ax =−−.【（1）讨论()f x 的单调性;（2）若对任意的0,()0x f x ≥≥恒成立，求a 的范围. 【答案】（1）答案见解析（2）1a ≤ 【解析】【分析】（1）求导后分0a ≤和0a >讨论导数的正负即可；（2）当0x =时，代入函数求出R a ∈，当0x >时，分离参数并构造函数()e 1x g x x−=，求导后再次构造函数()()1e 1xh x x =−+，再求导分析单调性，最终求出()min g x 即可；【小问1详解】()e x f x a ′=−，当0a ≤时，()0f x ′>恒成立，故()f x 在R 上单调递增，当0a >时，令()0f x ′=，解得ln x a =，所以当()ln ,x a ∞∈+时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当(),ln x a ∞∈−时，()0f x ′<，()f x 单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在()ln ,a ∞+上单调递增，在(),ln a ∞−上单调递减；【小问2详解】当0x =时，()0e 010f x −−，符合题意，此时R a ∈；当0x >时，因为()0f x ≥恒成立，即e 1x a x−≤恒成立，令()e 1x g x x −=，则()()21e 1x x g x x−′+=，再令()()1e 1xh x x =−+，则()e 0xh x x ′=>恒成立，则()h x 在()0,∞+单调递增，所以()()00h x h >=，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以当0x >时，()0min 00e 1e e lim lim 111x x x x a g x x →→−≤====，所以1a ≤16. 在空间四边形ABCD中，2,AB BC BD AC AD DC ======（1）求证:平面ADC ⊥平面ABC ;（2）对角线BD 上是否存在一点E ，使得直线AD 与平面ACE 所成角为30°.若存在求出BEED的值，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，BEED=. 【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连,DO BO ,可证明,AD CD DO AC ⊥⊥，DO OB ⊥，根据线面垂直与面面垂直的判定定理即可证明；（2）以O 为原点，,,OB OC OD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出AD与平面ACE 法向量n 的坐标，根据sin 30AD nAD n⋅°=⋅即可求解.【小问1详解】取AC 的中点O ，连,DO BO ,因为2,AC AD DC ===,AD CD DO AC ⊥⊥，且1DO =.又2AB BC AC ===，则BO AC ⊥，且BO =.又BD =，则222BDDO BO =+，则DO OB ⊥. 因为,,AC OB O AC OB ∩=⊂平面ABC ，所以DO ⊥平面ABC . 因为DO ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABC . 【小问2详解】易知,,OB OC OD 两两垂直，以O 为原点，,,OB OC OD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，的则()())0,0,0,0,1,0,O A B−,()()0,1,0,0,0,1C D ,则)1DB =− .设),0,DE DB λλ==−，则),0,1Eλ−+.则)(),0,1,0,1,0OE OCλ=−+=.设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，则()100n OEx z n OC y λ ⋅=+−+= ⋅==，令1x λ=−，则,0z y，即()n λ=− .又()0,1,1AD = ,所以sin 30°即12=，即22210λλ+−=，解得λ=或λ=，因为DE DB λ=，所以()DE DE EB λ=+ ,所以()1BE DE λλ=−，所以1BE BE EDDEλλ−===故BEED=. 17. 镇海中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n 次传球后球在甲手中的概率为np ，1,2,3,n =（1）写出1p ，2p ，3p 的值;（2）求1n p +与n p 的关系式()*Nn ∈，并求np;（3）第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为X ，求X 的期望.【答案】（1）10p =，212p =，314p =；（2）11122n n p p +=−+，1111332n n p −=−×−；（3）4 【解析】【分析】（1）分析传球的情况，写出1p ，2p ，3p 的值；（2）分析传球1n +次时的情况，得到1n p +与n p 的关系式，利用待定系数法，构造新数列，求出新数列的通项公式，从而得到n p 的通项公式；（3）分析传球两次结束的情况，以及传球两次后求回到甲手中的情况，列出关系式，求出()E X . 【小问1详解】传球一次，球一定不在甲手中，所以10p =；传球两次，球在甲手中时，有两种情况，甲→乙→甲，甲→丙→甲，所以21111122222p =×+×=；传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为12，此时传给甲的概率为12，所以3111224p =×=.【小问2详解】传球1n +次时球在甲手中，说明传球n 次时球不在甲手中，概率为1n p −，此时，传球给甲的概率为12，所以有11(1)2n n p p +=−，所以11122n n p p +=−+，所以1111323n n p p + −=−−，因为11133p −=−，所以数列13n p−是首项为13−，公比为12−的等比数列，所以1111332n n p −−=−×−，1111332n n p −=−×−，故1n p +与n p 的关系式为11122n n p p +=−+，1111332n n p − =−×−.【小问3详解】X 的最小取值为2，表示传球2次后，球连续两次不在甲手中，有两种情况，甲→乙→丙，甲→丙→乙，所以()11111222222P X ==×+×=，若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，所以有()()()()()2222E X P X E X P X ==++⋅>，即()()()112222E X E X =×++×，解得()4E X =，所以X 的期望为4.18. 已知12(2,0),(2,0),(1,0),(1,0)A B F F −−，动点P 满足34PA PB k k ⋅=−，动点P 的轨迹为曲线1,PF τ交τ于另外一点2,Q PF 交τ于另外一点R .（1）求曲线τ的标准方程; （2）已知1212PF PF QF RF +是定值，求该定值;（3）求PQR 面积的范围.【答案】（1）()221043x y y +=≠（2）103（3）PQR S ∈ 【解析】【分析】（1）设点P 的坐标，由题意可得点P 的恒纵坐标的关系，即可得到曲线的标准方程；（2）设直线PQ 和直线PR 的方程，然后与椭圆的方程联立，即可得到,Q R 的坐标关系，进而可得1212PF PF QF RF +为定值；（3）由题意可得12PQR PF F S S 的比值，由题意可得PQR 面积的表达式，再由函数的单调性，即可得到结果.【小问1详解】令(),P x y 且2x ≠±，因为34PA PB k k ⋅=−，所以3224y y x x ⋅=−+−，整理可得()221043x y y +=≠，所以τ的标准方程为()221043x yy +=≠.【小问2详解】设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，设直线PQ 和直线PR 的方程分别为1x my =−，1x ny =+，联立直线PQ 与椭圆方程221143x my x y =−+= ，整理可得()2234690m y my +−−=，则012643m y y m +=+，012943y y m =−+，联立直线PR 与椭圆方程221143x ny x y =+ += ，整理可得()2234690n y my ++−=，可得022643n y y n +=−+，022934y y n =−+，又因为001x my =−，001x ny =+，所以01001012233y y x m y y y ++=−=−⋅，所以01012233y y x y +=−−，即0012533y x y =−−，同理可得02003012233y y x n y y y +−==⋅，02022233y y x y +=−，即0022533y x y =−，所以120000121212103PF PF y y y y QF RF y y y y +=+=−+= . 设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，设12,PQ PF PR PF λµ==，则有()()101011x x y y λλλ =−− =− ，又()()220022001(1)43111(2)43x y x y λλλ += −−− +=， ()()()2112λ×−−可得()2020021282425x x x λλλλλλ−−+=−⇒=+，同理可得002825x x µ−=−，所以1200122525111011333PF PF x x QF RF λµ+−+=+=+=−−−.【小问3详解】不妨设00y >，于是1212121sin 21sin 2PQRPF F PQ PR QPR S PQ PR S PF PF PF PF QPR λµ⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠ ，因此2000120002000282816125225254PQRx x x S F F y y y x x x λµ+−−=⋅⋅=⋅⋅=⋅+−− ，又因为220413y x=−，所以22000022004416934252743416PQR y y S y y y y −−+=⋅=⋅−−+ ，设()20002092716y f y y y +=⋅+，(0y ∈，则()00002200117117116271627y f y y y y y=+=+ ++，(0y ∈， ()()()()242000000222200117162732117256100838881016271627y y y y y f y y y +−×−+=+=>++′，所以()0f y在(单调递增，则PQR S ∈ . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了椭圆中的定值问题与椭圆中的三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于设出直线方程与椭圆方程联立，表示出三角形面积公式，代入计算. 19. 已知无穷数列{}()*0,n n a a n ≠∈N，构造新数列(){}1na 满足()11nn n a a a +=−，(){}2n a 满足()()()2111n n na a a +=−，...，(){}k n a 满足()()()()11*12,k k k n n n a a a k k −−+=−≥∈N ，若(){}k n a 为常数数列，则称{}n a 为k 阶等差数列；同理令()11n nn a b a +=，()()()1211n n n b b b +=，...，()()()()1*112,k k n n k nb b k k b −+−=≥∈N ，若(){}k n b 为常数数列，则称{}n a 为k 阶等比数列.（1）已知{}n a 为二阶等差数列，且11a =，24a =，()22n a =，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 为k 阶等差数列，{}n b 为一阶等比数列，证明：{}n an b 为1k +阶等比数列；（3）已知23814n nn n d −+−=，令{}n d 的前n 项和为n S，n n m T ==，证明：2n T <.【答案】（1）2n a n =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据二阶等差数列的定义求解；（2）先确定{}n a 是k 阶等差数列的充分必要条件，再对已知条件进行转化即可；（3）先用数学归纳法证明2114n n n S −=+，再利用该结果证明结论；或者先用导数方法证明2114n nn S −=+，再利用该结果证明结论. 【小问1详解】由()22n a =知()()1112n n a a +=−，故可设()12n a n c =+.所以12n n n c a a +=−+，故()()()()()11212...1111n a c a n n c a n n n =++++−+−=+−+−.从而212a a c =++，代入11a =，24a =可得1c =，所以()()2111n a n n n n =+−+−=. 故{}n a 的通项公式为：2n a n =.【小问2详解】先证明2个引理.引理1：对任意非负整数i ，存在(),0,1,...,1i m p m i ∈=+R ，使得11,10n i i mi mj m j pn −+==∑∑对任意n 正整数成立，这里约定10ij j==∑.证明：用数学归纳法证明该结论. 当0i =时，有111n i j j n −==−∑，取0,10,01p p =−=即可，故结论成立；假设结论对0,1,2,...,1i −成立，则()()()()()1111111111111...n n i i i i i i u u nu uu u u u −−+−++==++−=++++++∑∑.故可设()()11111111...1n i i i i u ni u q u q u −+−−==++++++∑，这就得到111111121211111111...11n n n n n ii i i i i u u u u u u n q u q u q u i −−−−−+−−−−==== =−−−−−− +∑∑∑∑∑121111,22,11,00,000011...1i i i m m m m i i m i i m m m m m m m n q p n q p n q p n q p n i −+−−−−==== −−−−−− +∑∑∑∑. 所以取,111i i p i +=+，()(),11,22,00,1...1,2,...,1i m m m m m m m m p q p q p q p m i i −−−−=−+++=+，(),011,022,000,011 (1)i i i i i p q p q p q p i −−−−=−−−−−+即可，这得到结论对i 成立. 由数学归纳法即知引理1成立.引理2：{}n a 是k 阶等差数列的充分必要条件是n a 能够表示为关于n 的至多k 次的多项式形式，即()()1101101...,,...,,kk nk k k k a p n p n p n p p p p p −−=+−+++∈R . 证明：我们对k 使用数学归纳法. 当1k =时，结论显然成立；对1k >，假设结论对1k −成立，考虑k 的情形：一方面，如果0kin i i a p n ==∑，则有 ()()()11110000001101C C C C kki k i k k iij j jjjjj j nn n i i i iii ii i i i j i j j i kj i j a a a p n n p n p np n p n −−−+=====≤<≤==+−+−=∑∑∑∑∑∑∑∑.故由于结论对1k −成立，知(){}1na 是1k −阶等差数列，所以{}na 是k 阶等差数列；另一方面，如果{}na 是k 阶等差数列，则(){}1na 是1k −阶等差数列.故由于结论对1k −成立，知(){}1na 的通项公式具有形式()101k i ni i aq n −==∑.故()()1111111111111111100111n n n k k n k n iii n j j i i i j j j i i j j i j a a a a a a a q ja q j a q j −−−−−−−−+=========+−=+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑.据引理1可知，每个11n ij j−=∑都可以表示为11,10n i i m i mj m j pn −+==∑∑的形式，故{}1111,1,,0001,00max 0,1k i kk mmmn i i m i i m i i m i m m i i k m i m a a q p n a q p n q p n −+−==≤≤+≤<==− =+=+=∑∑∑∑∑. 综上，结论对k 成立. 由数学归纳法知引理2成立. 回到原题.由于{}n b 为一阶等比数列，故1n n b b +恒为常值，设1n nb q b +=，则n n b A q =⋅. 为使1n nb b +有意义，必有,A q 不为零.所以n n na ana n A b q=⋅.由于{}n a 为k 阶等差数列，故由引理2，可设0kin i i a p n==∑.取010k p p +==就有101kk iin iii i a p n p n +====∑∑，11101kk i i n ii i i na p n pn ++−====∑∑，所以由引理2可知{}n a 和{}n na 都是1k +阶等差数列.设()0n nn a c b =，()()()()1111,2,...i i n n i nc i c c −+−==，()0n nd na =，()()()()1111,2,...i i i n n n d i d d −−+−==，则()1k n a +和()1k n d +都是常值.而归纳即知()()()i i n n i d na c A q =⋅，故()()()111k k nn n a k d c A q +++=⋅是常值，从而{}n an b 为1k +阶等比数列.【小问3详解】方法一：用数学归纳法证明：2114n nn S −=+. 当1n =时，由2111381111144S d −+−−====+知结论成立；对2n ≥，假设结论已对n 1−成立，即()2111114n n n S−−−−=+，则()()22222111141438138111114444n n nn n nnn n n n n n n S S d −−−−−−−+−−+−−=+=++=+=+. 所以结论对n 也成立.综上，对任意的正整数n ，都有2114n n n S −=+.故12nnn n nnmm m m m m mT ==<∑. 这就得到1112222nn nn m m m m m m m m mT ===−<=∑∑∑11122nnm mm m m m −==−∑∑1110222nn m m n m m m m n −−==−−∑∑11111222nn m m n m m m m n −−==−=−−∑∑11122n m nm n−=−∑ 121222nn n=−−< . 方法二：对正整数n ，根据等比数列求和公式有()111nn k k x xx x +=−=−∑.两边同时求导，得()()111111nnn kk k k n x x x kx−==−+=−+−∑∑.所以()()11111nnn kk k k x n xx x x kx +==−+=−+−∑∑.再次求导，得()()2211111111nnn nnkkkk k k k k n x x kx kx x kx −====−+=−−−+−∑∑∑∑.所以()()212111121nnnn kkk k k k x n xx x x kx x k x +===−+=−−+−∑∑∑.从而当01x <<时，分别由上面的式子可以得到：111n nkk x x x x +=−=−∑； ()()()()112121111111111nn nknn n n k k k x x n x x n x x n x nx x kx x x x x x +++==−−++−++−++−=⋅=⋅=−−−∑∑； ()212111121nnn kknk k k k x n xx x x kx k x x+===−+++=−∑∑∑()()()121212112111n n n n x n x nx x x x n x x x x x x++++−++−−++⋅+⋅−−=−()()()()()()()()2211123111211n n n n x x n x x x x x x x n x nx x ++++−−++−−+−++=−()()()()()22212233232322331221122121n n n n n n n x n x x n x x n x x x x x x n x nx x +++++++−+−+++−++−−++−++=−()()()2212223312211n n n x x n x n n x n x x ++++−+++−−=−.所以2211113811384444nn n nn k k k kk k k k k k k k S ====−+−==−+−∑∑∑∑ ()2222123121321112211111444444444438111111444n n n n n n n n n n n n++++++++−++−+−−+−=−⋅+⋅− −−−()222212312116411221128114119444449444344n n n n n n n n n n n n ++++++ ++−+ =−+−+−+−+−−2235216416499949494n n +−⋅−⋅+⋅2114n n −=+.故12211122222222112nnnnnn n n m n m m m m m n n m n T ++=+−++===<===−<−∑. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于基于等差数列和等比数列的新定义，理解新定义的本质方可解决问题.。

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={3,2,1,0}，B ={−1,0,1}，则A ∩B =( )A. {1,0}B. {2,1,0}C. {3,2,1}D. {2,1}2. 已知函数f(x)=axsinx +xcosx(a ∈R)为奇函数，则f(−π3)=( )A. −π6B. −√3π6C. π6D. √3π63. 已知x ，y 满足{x ≥1x +y ≤4ax +by +c ≤0且目标函数z =2x +y 的最大值为7，最小值为1，则a+b+ca = ( )A. 2B. 1C. −1D. −24. 如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )A. 32B. 3C. 23D. 435. 函数f(x)=xx 2+1的图象大致是( )．A.B.C.D.6. 将函数f (x )=cos (4x −π3)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图像，则g(x)的最小正周期是( )A. π2 B. π C. 2π D. 4π7. 在△ABC 中，已知|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2B. −2C. 2√3D. −2√38. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，P 是第一象限C 上的点，Q 为第二象限C 上的点，O 是坐标原点，若OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. [2,2√3)D. (√3,2)9. 函数f(x)=e x sin x 在区间[0,π2]上的值域为( )A. [0,e π2]B. (0,e π2) C. [0,e π2) D. (0,e π2] 10. 设数列{a n }的通项公式为a n =2n −7(n ∈N ∗)则|a 1|+|a 2|+⋯+|a 7|=( )A. 7B. 0C. 18D. 25二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11. 已知复数z 满足(1+2i )z =3−4i ，i 为虚数单位，则z 的虚部是________，|z |=________． 12. 已知随机变量X 的分布列如表：若EX =2，则a =_____．13. 已知ab >0 , a +b =5，则2a+1+1b+1的最小值为__________．14. 若(2x +1x )n 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为______．15. 已知椭圆C ：x 216+y 2b 2=1(4>b >0)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，若P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2面积为______16. 2019年国际篮联篮球世界杯于8月31日到9月15日在8个城市的场馆举行，甲、乙、丙、丁四位同事拟购票去看比赛，该比赛的某购票点为他们提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若甲没有银联卡，乙只带了现金，丙、丁用哪种方式结账都可以，甲、乙、丙、丁购票后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有________种．17.在四面体P−ABC中，若PA=3，PB=4，PC=5，底面△ABC是边长为2√3的正三角形，O为△ABC的中心，则∠PAO的余弦值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，C−A=π2，sinB=13．(1)求sin A的值；(2)设AC=√6，求△ABC的面积．19.如图，平面ABCD⊥平面CDEF，且四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，∠BAD=∠CDA=90∘,AB=AD=DE=12CD，M是线段DE上的点，满足DM=2ME．(1)证明：BE//平面MAC；(2)求直线BF与平面MAC所成角的正弦值．20.已知数列{a n}为等差数列，a2=5，a6=13，{b n}为等比数列，b2=a4，b n+1=3b n．(1)求通项公式a n，b n；(2)求{a n⋅b n}前n项和S n．21.在平面直角坐标系xOy中，P(x0,y0)(y0≠0)是椭圆C：x22λ2+y2λ2=1(λ>0)上的点，过点P的直线l的方程为x0x2λ2+y0yλ2=1．(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)当λ=1时，设直线l与x轴、y轴分别相交于A，B两点，求△OAB面积的最小值；(Ⅲ)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点Q与点F1关于直线l对称，求证：点Q，P，F2三点共线．22.已知函数f(x)=(ax+1)lnx−x2+1．(1)令g(x)=f′(x)，判断g(x)的单调性；(2)当x>1时，f(x)<0，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的交集运算，根据集合A，B，得到其交集，属于基础题．【解答】解：由题意可得：A∩B={0,1}．故选A．2.答案：A解析：【分析】本题考查了正弦、余弦函数，函数的奇偶性，属于基础题．利用函数的奇偶性可求出a的值，进而可得答案．【解答】解：因为f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，所以，即，所以a=0，所以，所以．故选A．3.答案：D解析：【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．【解答】解：由题意得：目标函数z=2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A(1,−1)，B(3,1)，∴直线AB的方程是：x−y−2=0，∴则a+b+ca=−2．故选D．4.答案：A解析：【分析】本题考查了空间几何体的三视图以及三棱锥的体积公式，属于基础题.如图所示：三棱锥N−B1MB即为所求三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求得其值．【解答】解：如图所示：正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为3，M，N分别为AB，DD1的三等分点，且BM=D1N=1.三棱锥N−B1MB即为所求三棱锥，V=13×(12×1×3)×3=32，故选A．5.答案：A解析：【分析】本题考查由解析式选择函数的图象，解题关键是研究函数的性质，如单调性、奇偶性等，研究图象的特殊点，函数的值正负及变化趋势．【解答】解：由f(x)=xx2+1，当x >0时，f(x)>0，x <0时，f(x)<0，只有A 符合．故选A ．6.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数图像的伸缩变换．【解答】解：由题意得g (x )=cos (12×4x −π3)=cos (2x −π3)，∴T =2π2=π．故选B ．7.答案：B解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−π3)=2×2×(−12)=−2 故选B直接利用向量的数量积的定义即可求解本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，属于基础试题8.答案：B解析：【分析】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及双曲线的性质．【解答】解：由已知F (c,0),P (x 1,y 1)，因为OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量加法的平行四边形法则，QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0F ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q (−x 1,y 1) 所以(2x 1,0)=(c,0)，2x 1=c,x 1=c2，因为P 是第一象限C 上的点，所以x 1>a, 即c2>a,所以e =ca >2．故选B ．9.答案：A解析：【分析】利用导数判断函数f(x)在[0,π2]上是增函数，由此能求出函数f(x)=e x sinx在区间[0,π2]上的值域．【解答】解：∵f(x)=e x sinx，∴f′(x)=e x(sinx+cosx)，∵x∈[0,π2]，∴f′(x)>0，∴f(x)在[0,π2]上是增函数，∴f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(π2)=eπ2．∴函数f(x)=e x sinx在区间[0,π2]上的值域为[0,eπ2].故选A．10.答案：D解析：解：∵数列{a n}的通项公式为a n=2n−7(n∈N∗)，∴由a n=2n−7≥0，得n≥72，∴|a1|+|a2|+⋯+|a7|=−a1−a2−a3+a4+a5+a6+a7=−(2×1−7)−(2×2−7)−(2×3−7)+2×4−7+2×5−7+2×6−7+2×7−7=25．故选：D．|a1|+|a2|+⋯+|a7|=−a1−a2−a3+a4+a5+a6+a7，由此能求出结果．本题考查数列的前7项的绝对值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的通项公式的合理运用．11.答案：−2；√5解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的虚部，再由复数模的公式求|z|．【解答】解：由(1+2i)z=3−4i，得z=3−4i1+2i =(3−4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−2i，∴z的虚部是−2，|z|=√5．故答案为−2；√5．12.答案：0解析：【分析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学期望等知识，属于基础题，先根据概率和=1求出b，然后根据EX=2，可求出a．【解答】解：根据题意可知13+b+16+14=1，解得b=14，所以EX=13a+14×2+16×3+14×4=2，解得a=0，故答案为0．13.答案：3+2√27解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于一般题．由已知得a+1+b+1=7，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为ab>0 , a+b=5，所以a+1+b+1=7，a>0，b>0所以2a+1+1b+1=17(a+1+b+1)(2a+1+1b+1)=1(3+2(b+1)+a+1)≥17(3+2√2(b+1)a+1×a+1b+1)=3+2√27，当且仅当a+1=√2(b+1)时取等号，所以2a+1+1b+1的最小值为3+2√27．故答案为3+2√27．14.答案：1120 解析：【分析】本题考查二项式系数的性质，熟练掌握二项展开式的通项是关键，是基础题．由已知求得n值，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴(2x+1x )n=(2x+1x)8，其展开式的通项T r+1=C8r⋅(2x)8−r⋅(1x)r=28−r⋅C8r⋅x8−2r，令8−2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为T5=24⋅C84=1120．故答案为1120．15.答案：4解析：【分析】本题考查了椭圆的定义、勾股定理、三角形的面积计算公式，属于中档题．先根据离心率求出b，c，设|PF1|=m，|PF2|=n.在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得m2+n2=(2c)2，利用椭圆的定义可得m+n=2a，联立解得mn即可．【解答】解：椭圆C：x216+y2b2=1(4>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，∴e2=c2a2=1−b2a2=1−b216=(√32)2，∴b2=4，∴c=2√3，∴|F1F2|=2c=4√3，设|PF1|=m，|PF2|=n．在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得m2+n2=(2c)2=48，又|PF1|+|PF2|=2a，∴m+n=8．则mn=(m+n)2−(m2+n2)2=8．∴△F1PF2的面积S=12mn=4．故答案为：4．16.答案：26解析：【分析】本题主要考查分类计数原理，考查排列与组合的应用，属于中档题．根据题意结账方式可分为三3类：第一类，当甲、丙、丁都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金，其余2人有A22=2(种)结账方式，当甲选择支付宝时，丙、丁可以银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式，即2+5=7(种)结账方式；第二类，当甲、丙、丁都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现时，其余2人有A22=2(种)结账方式，当甲选择微信时，丙、丁可以是银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式，即2+5=7(种)结账方式；第三类，当甲、丙、丁都不选银联卡时，若有人使用现金，则有C31A22′=6(种)结账方式;若没有人使用现金，则有C32A22=6(种)结账方式，故有6+6=12(种)结账方式，再根据分类计数原理相加即可得结果．【解答】解：甲没有银联卡，乙只带了现金，丙、丁用哪种方式结账都可以，可分为三3类，第一类，当甲、丙、丁都不选微信时，则甲有2种选择： ①当甲选择现金，其余2人有A22=2(种)结账方式; ②当甲选择支付宝时，丙、丁可以银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式．综上，有2+5=7(种)结账方式，第二类，当甲、丙、丁都不选支付宝时，则甲有2种选择： ①当甲选择现时，其余2人有A22=2(种)结账方式; ②当甲选择微信时，丙、丁可以是银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21=5(种)结账方式．综上，有2+5=7(种)结账方式．第三类，当甲、丙、丁都不选银联卡时，若有人使用现金，则有C31A22′=6(种)结账方式;若没有人使用现金，则有C32A22=6(种)结账方式，故有6+6=12(种)结账方式，根据分类计数原理可得共有7+7+12=26(种)结账方式．17.答案：136解析：【分析】本题考查了空间线线角的计算，重点考查了余弦定理的应用，属于中档题．【解答】解：如图：在△ABC中，连接AO并延长交BC于D，∵O为△ABC的中心，∴AD为BC边上的中线，又AB=BC=AC=2√3，∴AD=3．在△PBC中，∵PB=4，PC=5，BC=2√3，由余弦定理，在△PDC中，由余弦定理=52+(√3)2−2×5×√3×2120√3=352，在△PAD中，由余弦定理，故答案为136．18.答案：解：(1)因为C−A=π2且C+A=π−B，所以A=π4−B2，所以，即，又sinA>0，所以sinA=√33；(2)由题意可知A为锐角，故，又，∴A>B，则B为锐角，，由正弦定理得ACsinB =BCsinA，所以BC=AC·sinAsinB=3√2，又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√33×2√23+√63×13=√63，所以．解析：【分析】本题考查了正弦定理、三角形面积公式和两角和与差的三角函数公式，是中档题．(1)要求sin A 的值，应该用题目中的已知条件，将A 表示出来，可以得到A =π4−B2，进一步可以求出sin A ；(2)已知AC 的长度，可以根据正弦定理求出BC 的长度，再根据三角形面积公式，即可求得答案．19.答案：解：(1)连接BD ，交AC 于N ，连接MN ，由于AB =12CD ，所以DNNB =2，所以MN//BE ，由于MN ⊂平面MAC ，BE ⊄平面MAC ，所以BE//平面MAC.(2)因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面ABCD ，可知AD,CD,DE 两两垂直，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ．设AB =1则C (0,2,0),M (0,0,23),F (0,2,1),B (1,1,0),A (1,0,0)，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−23),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0).设平面MAC 的法向量n ⃗ =(x,y,z )，则{n ⃗ ·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −23z =0n ⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0，令z =3，得平面MAC 的一个法向量n⃗ =(2,1,3)，而BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)，设所求角为θ，则sinθ=|cos⟨n ⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=√4221，故直线BF 与平面MAC 所成的角的正弦值为√4221．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． (1)连结BD ，交AC 于N ，连结MN ，推导出MN//BE ，由此能证明BE//平面MAC ；(2)推导出DE ⊥平面ABCD ，从而AD ，CD ，DE 两两垂直，以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线BF 与平面MAC 所成角的正弦值．20.答案：解：(1)∵数列{a n }为等差数列，a 2=5，a 6=13，设公差为d ，∴{a 1+d =5a 1+5d =13，解得a 1=3，d =2，∴a n =3+(n −1)×2=2n +1． ∵{b n }为等比数列，b 2=a 4，b n+1=3b n ． ∴b 2=2×4+1=9，q =b n+1b n=3，∴b 1=3，∴b n =3n ． (2)a n ⋅b n =(2n +1)·3n ，S n =3·3+5·32+7·33+⋯+3n ·(2n +1)①3S n =3⋅32+5⋅33+7⋅34+⋯+(2n +1)⋅3n+1，② ①−②，得：−2S n =9+2(32+33+⋯+3n )−(2n +1)·3n+1=9+2×9×(1−3n−1)1−3−(2n +1)·3n+1=3n+1−(2n +1)·3n+1， ∴S n =n ·3n+1．解析：(1)由已知条件利用等差数列的通项公式，求出a 1=3，d =2，从而a n =2n +1.由{b n }为等比数列，结合已知条件求得b n =3n ．(2)由a n ⋅b n =(2n +1)⋅3n ，利用错位相减法能求出{a n ⋅b n }前n 项和S n ．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21.答案：(本小题满分14分)解：(Ⅰ)依题a =√2λ，c =√2λ2−λ2=λ，所以椭圆C 离心率为e =√2λ=√22.…(3分) (Ⅱ)依题意x 0≠0，令y =0，由x 0x 2+y 0y =1，得x =2x 0，则A(2x 0,0)．令x =0，由x 0x 2+y 0y =1，得y =1y 0，则B(0,1y 0)．则△OAB 的面积S △OAB =12|OA||OB|=12|2x 0y 0|=1|x0y 0|．因为P(x 0,y 0)在椭圆C ：x 22+y 2=1上，所以x 022+y 02=1．所以1=x 022+y 02≥00√2，即|x 0y 0|≤√22，则1|x 0y 0|≥√2．所以S △OAB =12|OA||OB|=1|x0y 0|≥√2．当且仅当x 022=y 02，即x 0=±1,y 0=±√22时，△OAB 面积的最小值为√2. …(8分)(Ⅲ)由y 02λ2=1−x 022λ2>0，解得−√2λ<x 0<√2λ． ①当x 0=0时，P(0,λ)，Q(−λ,2λ)，此时k F 2P =−1，k F 2Q =−1．因为k F 2Q =k F 2P ，所以三点Q ，P ，F 2共线．当P(0,−λ)时，也满足．②当x 0≠0时，设Q(m,n)，m ≠−λ，F 1Q 的中点为M ，则M(m−λ2,n 2)，代入直线l 的方程，得：x 0m +2y 0n −x 0λ−4λ2=0．设直线F 1Q 的斜率为k ，则k =nm+λ=2y 0x 0，所以2y 0m −x 0n +2y 0λ=0.由{x 0m +2y 0n −x 0λ−4λ2=02y 0m −x 0n +2y 0λ=0，解得m =2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ，n =4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 02．所以Q(2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ,4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 02)．当点P 的横坐标与点F 2的横坐标相等时，把x 0=λ，y 02=λ22代入m =2x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−λ，得m =λ，则P ，Q ，F 2三点共线．当点P 的横坐标与点F 2的横坐标不相等时，直线F 2P 的斜率为k F 2P =yx 0−λ．由−√2λ≤x 0≤√2λ，x 0≠−2λ．所以直线F 2Q 的斜率为k F 2Q =4x 0y 0λ+8y 0λ24y 02+x 022x 02λ+4x 0λ24y 02+x 02−2λ=4x 0y 0λ+8y 0λ22x 02λ+4x 0λ2−8y 02λ−2x 02λ=4x 0y 0λ+8y 0λ24x 0λ2−8y 02λ=x 0y 0+2y 0λx 0λ−2y 02=y 0(x 0+2λ)x 02+λx 0−2λ2=y 0(x 0+2λ)(x 0−λ)(x 0+2λ)=y 0x 0−λ．因为k F 2Q =k F 2P ，所以Q ，P ，F 2三点共线．综上所述Q ，P ，F 2三点共线．…(14分)解析：(Ⅰ)利用椭圆方程，求出a ，c ，即可求椭圆C 的离心率； (Ⅱ)由x 0x 2+y 0y =1，求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，表示三角形的面积，通过P(x 0,y 0)在椭圆C 上，利用基本不等式求解三角形OAB 面积的最小值． (Ⅲ)由x 22λ2+y 2λ2=1，求出−√2λ<x 0<√2λ.①当x 0=0时，求出P(0,λ)，Q(−λ,2λ)，证明三点Q ，P ，F 2共线．②当x 0≠0时，设Q(m,n)，m ≠−λ，F 1Q 的中点为M ，则M(m−λ2,n 2)，代入直线l 的方程，求出Q 坐标，通过点P 的横坐标与点F 2的横坐标相等时，说明P ，Q ，F 2三点共线．点P 的横坐标与点F2的横坐标不相等时，证明k F2Q =k F2P，说明Q，P，F2三点共线．本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)由f(x)=(ax+1)lnx−x2+1，则g(x)=f′(x)=alnx+1x−2x+a，所以g′(x)=−2x2+ax−1x(x>0)．①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)为(0,+∞)上的减函数；②当a>0时，若a2−8≤0，即0<a≤2√2时，g′(x)≤0，g(x)为(0,+∞)上的减函数；若a2−8>0，即a>2√2时，由g′(x)=0有两根，得x1=a−√a2−84>0，x2=a+√a2−84>0，∴在x∈(0,x1)上，g′(x)<0，g(x)为减函数；在x∈(x1,x2)上g′(x)>0，g(x)为增函数；在x∈(x2,+∞)上，g′(x)<0，g(x)为减函数．综上：当a≤2√2时，g(x)为(0,+∞)上的减函数；当a>2√2时，g(x)在(0,x1)和(x2,+∞)为减函数，在(x1,x2)上为增函数；(2)由(1)知，对a讨论如下，①当a≤0时，g′(x)<0，则f′(x)为(1,+∞)上的减函数，则f′(x)<f′(1)=−1+a<0，故f(x)为(1,+∞)上的减函数，由于f(1)=0，所以f(x)<f(1)=0，即a≤0时满足题意．②当a>0时，由于f′(1)=−1+a，对其讨论如下：(A)若f′(1)=−1+a≤0，即a≤1，则由(1)知，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，则f′(x)<f′(1)=−1+a<0，所以f(x)为(1,+∞)的减函数，由于f(1)=0，所以f(x)<f(1)=0，即0<a≤1时满足题意．(B)若f′(1)=−1+a>0，即a>1，则由(1)知，当1<a≤2√2时，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，<0，又f′(e a)=−2e a+a+a2+1e a所以存在x0∈(1,e a)，使得在x∈(1,x0)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x0)上的增函数，因为f(1)=(a+1)ln1−12+1=0，所以f(x)>f(1)=0，即1<a≤2√2时不满足题意．当a>2√2时，由于x1<1，所以对x2与1的大小关系讨论如下，1)如果x2≤1，即2√2<a≤3时，由(1)知，f′(x)为(1,+∞)上的减函数，<0，又f′(e a)=−2e a+a+a2+1e则存在x0∈(1,e a)，使得在x∈(1,x0)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x0)上的增函数，又f(1)=0，则f(x)>f(1)=0，即2√2<a≤3时不满足题意．2)如果x2>1，即a>3，那么由(1)知，f′(x)为(1,x2)上的增函数，则当x∈(1,x2)时，f′(x)>0，于是f(x)为(1,x2)上的增函数，又f(1)=0，则f(x)>f(1)=0，即a>3时不满足题意．综上所述，a的取值范围为(−∞,1]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查导数中的函数不等式问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于难题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的范围即可．。

【附加15套高考模拟】【全国百强校】浙江省宁波市镇海中学2020届高三数学模拟试卷含答案

【全国百强校】浙江省宁波市镇海中学2020届高三数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.则“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b 均为不等于1的正实数，则“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．体积为43的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA =，2ABC π∠=，则球O 的表面积的最小值为（） A ．8π B ．9π C ．12π D ．16π4．在四面体ABCD 中，已知AB ＝AC ＝CD ＝2，BC 22=，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的体积（）A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π5．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 6．已知函数f （x ）=x 2-ln|x|，则函数y=f （x ）的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．7．若直线y=a 分别与直线y=2x-3，曲线y=e x -x （x≥0）交于点A ，B ，则|AB|的最小值为（）A ．63ln3-B ．33ln32-C ．eD ．0.5e8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）． A ．(]1,2B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞9．下列命题中，错误命题是 A ．“若11a b<，则0a b >>”的逆命题为真 B ．线性回归直线y bx a =+$$$必过样本点的中心(,)x yC ．在平面直角坐标系中到点()1,0和()0,1的距离的和为2的点的轨迹为椭圆D ．在锐角ABC V 中，有22sin cos A B >10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PF PA的最小值是（）A ．12B ．22C ．3D ．2311．下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（） A ．7(,0)24π B ．(,0)3π C ．1(,)34π- D ．(,0)12π12．已知抛物线（）与椭圆（）有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率为（） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期高考适应性考试数学试卷答及答案解析.

浙江省2020届高三数学4月高考适应性测试卷附答案详析

2104宁波高三二模答案

【精品解析】2020年宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试题

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学仿真试卷(有答案解析)

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(3月份)(带答案)

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(3月份)(带答案)

浙江省宁波市2020届高三适应性考试(二模)数学试题 含答案

2020届高三数学下学期适应性考试试题含解析

浙江省宁波市镇海中学2024届高三下学期适应性测试数学试卷

浙江省镇海中学2020届高三下学期3月模拟测试数学试卷及答案word

2020年5月宁波市二模数学试题(含答案)

2020届浙江省宁波市高三下学期高考适应性考试(二模)数学试题

宁波市镇海中学2024届高三下学期适应性测试数学试卷(解析版)

2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)

【附加15套高考模拟】【全国百强校】浙江省宁波市镇海中学2020届高三数学模拟试卷含答案

浙江省宁波市2020届高三适应性考试(二模)数学试题含答案