量子力学曾谨言第六章第七章习题详解

第六章：中心力场

［1］质量分别为m, ,m 2的两个粒子组成的体系，质心座标R及相对座标r为:

m" m zD “、

R = 一一⑴

m, m2

rr 二O -「1 ⑵

试求总动量P = p,亠p2及总角动量L = h亠丨2在R，r表象中的

算符表示。

1.［解］(a)合动量算符p = P1 • P2。根据假设可以解出r i，r2

- - m2

令 m 三m ,亠口2: 「=R_ ----- r (3)

m

1

m1

r2= R • r (4)

m2

设各个矢量的分量是r1(x1, y1, z1) , r2 (x2, y 2, z2),

r(x, y,z)和R(X,Y,Z)。为了计算动量的变换式先求对x ,

X2等的偏导数:

L、L、# L、r L、L、L、

X x m1

' ' ' '' 1(5)

:x1；:x1；:X ；:x1；:x m ；:X ；：x

jx2cX

cx2

L、rx

x

;X ；x2

a m2 e

jx m ；X :x

(6)

关于

L、L、

d d-可以写出与( 5) (6) 类似的式子，因而-71 -7 2 .z1.z2

A A A A A d e

P - (P1 ■P2)x 二P 1x p2x -( - -)

i ；x1；x2

L、L、*-•.L、

m1m2

=_(」2):

i m ;X :x m ;:X ;:x i ;X

--h d P 二i '

i _:X r d

j

i

；:

Y

-h

k —

A " ■ ■ /t ■ ■

(b)总角动量 L = l i •丨2 =— (「1 ：：甘 1 •「2 ：：

詁 2) i

L x — (「i

J j

J)x

i

m 2 -(Z

-z)(-

m cY

^(yi--z) i Z -(y 2- i :z

利用(3), (4), ( 5),

(6):

L x {(丫一匹

i m

m-::

y)(-

m cZ

m

—-—)

:-y

m 1 (Y -y)(

m

m 2 m ；Z

-)

m i

_(Z • — z)(

m m E

-—)} ：-y

-f Z

i m ；Z c c

)-(丫 一 -Z —)

；z .y

m 1m 2

(y 「 z

jz

m 2 —(Y m

-(Y - 'z

-Z

mm

m 2

.L 、 ,l~.

G C

(

y z )

:z :丫 (y —

:z -z ：)} ：y

h

d =—

c

c

-Z ) (y — Y 'z

-z^)}

-y h -

= (—R I R i h _

■ -r J)x i

-2 2

+

.x y

2 , 2

(X y

x 厂厂z :：2，'；

dx

_ 2 ______________________________

二2 .x 2

—yLz 「

:

x

2x ——

&

..x 2

■ y 2

z

2

3

'-'

+ ------------ }

2

2

2 3 2

(X y z )

同样写出关于y,z 的式子, 相加

得:

1

c 2

r

-八 2

)'

2

2x

1 ：:

x {——

2

2y

2z

cz

1 2

[2] 证明—[I * 2

, r]

1 2

[I 2

,r]八 2

（证明）第一式

1

— (、

2 + 2 .:

y

__2 _____ ______________________

-七)( •. X 2 y 2

z 2

C

;：z

（宀

丄）

但一(•. x 2 y 2 • z 2

，

-：) :：x

X'-

+ V 'X 2

+

2 2 2

x 亠y 亠z

Lz 」"

CX

：2

2

；

X'

：2

2

2 …

C

(X y

"U y 2 z 2

2 (X 2 2

y z)(x

jx

2

宀）—x

-y2 - z 2

x 2

'--

2

2

2

3

・『2