第五章 寡头竞争模型

将以上两个式带入式 得
P(qi , qi ) MCi (qi ) si P(qi , qi )
c c 用 q1c , q 2 ,, q N 代表古诺—纳什均衡时各个企业的产量， 代表古诺均衡价 P
三、存在N个企业时的古诺——纳什均衡
以上我们的分析是在两个企业的框架中进行的。下面我们考 虑存在 N 个企业时的古诺—纳什均衡。 假设产业中存在 N 个企业，这些企业符合古诺竞争一开始的 模型设定条件。将企业 i 的竞争对手的产出向量记为 q-i={q1,q2,„„，qi-1,qi+1,„„,qN}。 对于企业 i，它的利润函数为π i=P（qi，q -i）qi-Ci(qi) 其边际收益函数为 MR i（qi，q-i）= P（qi，q-i）+
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根据上面的分析，企业 1 面临的剩余需求曲线为 P=（130-q2）-q1 利润函数为π 1 =[（130- q2）- q1]q1-10 q1 利润最大化法则要求企业 1 的边际收益和边际成本满足 MR=MC，所以 130- q2-2q1=10
1 从而企业 1 的反应函数为 q1=60- q 2 2 1 同理，企业 2 的反应函数为 Q2=60- q1 2 1 1 联立式 q1=60- q 2 和 Q2=60- q1 ，得古诺—纳什均衡解 2 2
假设市场的需求函数为P=130-Q，P为产品的市 场价格，Q=q1+q2为市场供应量，两家企业的边 际生产成本为MC1=MC2=10。 求下列情况下两 企业的产量、价格和利润。 （1）企业1和企业2合谋； （2）企业1选择合谋时的产量，而企业2单方面 背叛； （3）企业2选择合谋时的产量，而企业1单方面 背叛； （4）企业1和企业2进行古诺竞争。
企 合作 30,30 业 竞争 45,30 1
30,45 40,40
(a)产量
(b)利润
图4 企业1和企业2的静态博弈


上表表明单个企业所面临的决策及其结果。由于 单边背叛的利润大于合谋的利润，因此两个企业 都会选择单边背叛。但是如果企业1和企业2都预 计到对方会背叛，那么他们所采取的策略事实上 就构成了古诺竞争，从而最后双方达到古诺均衡。 从上图中可以更清楚地看出在企业1和企业2的静 态博弈中，存在唯一的纳什均衡。这个博弈本质 上是一个“囚徒困境”：企业1和企业2都知道合 作的收益大于竞争的收益，但是无法保证对方能 够遵守合谋协议，因此从最大化自身利益的角度 出发，双方最后都选择竞争，达到古诺—纳什均 衡。在下一节“重复博弈”中，我们还将涉及这 个问题。
c 如图所示，任一偏离（ q1c ， q 2 ）的点最后都会沿着两条反应线自
动趋进于古诺的均衡点。假设初始的 q1 和 q2 组织在 a 点，对应于 a 点所代表的企业 2 的产量 q2，企业 1 会选择以 b 点横坐标所代 表的产量 q1，进而企业 2 会选择以 c 点纵坐标所代表的产量
c q2 ，„„，直到企业 1 和企业 2 都选择（ q1c ， q 2 ），从而达到古
利润为π 1=π 2=1600。
将以上的计算结果反映在下面和图中。
单个企业的决策选择
合谋
市场价格 企业的产量 企业的利润 70 30 1800
单边背叛
55 45 2025
古诺均衡
50 40 1600
企业2 合作 竞争
企业2 合作 竞争 企 合作 1800,1800 1350,2025 业 竞争 2025,1350 1600,1600 1
用 si 代表企业 i 的市场份额，ε 代表需求的价格弹性，其数学表达式分别 为 si=
qi Q

dQ P dP Q
P(qi , q i ) MCi (qi ) dP(qi , q i ) 1 Q 中，可 qi P ( q i , q i ) dQ P ( q i , q i ) Q
dP(qi , q i ) qi dQ
当 q-i 给定时， 为了实现利润最大化， 企业 i 必须满足 MR=MC， 因此有 MRi（qi，q-i）=P（qi，q-i）+
dP(qi , q i ) qi =MCi（qi） dQ
在上式的两端都除以 P（qi，q-i），并稍做变换得
P(qi , q i ) MCi (qi ) dP(qi , q i ) 1 Q qi P ( q i , q i ) dQ P ( q i , q i ) Q




（1）合谋：在合谋的情况下，企业1和企业2作为一个 整体进行产量决策，其目标是使二者的利润最大化。企 业1和企业2整体的边际收益为MR=130-2Q。根据利 润最大法则，应该有MR=MC，即130-2Q=10，从而 Q=60。因为 Q= q1+q2，所以q1=q2=30。市场价格为 P=130-60=70，企业1和企业2的利润为π1=π2= （70-10）×30=1800。 （2）假设企业1遵守合谋协议，生产30个单位的产品。 在这种情况下，企业2从自己的反应函数q2=60-1/2q1 出发，会选择生产q2=60-1/2×30=45，从而使自己 的利润最大化。此时市场价格为P=130-45-30=55， 企业1的利润为π1=（55-10）×30=1350，企业2的 利润为 π2=（55-10）×45=2025。可见单方面背叛合谋协 议会给背叛者带来好处，使其利润增加，而使遵守方利 益受损。
第五章
寡头竞争模型
预备知识 纳什均衡的概念
最优反应是指用S-i=(S1…S i -1S i +1…S n)表 示除了参与者i以外的所有参与者的策略 组合，则参与者i的最优反应指的是在给 定S-i的情况下能给参与者i带来最大收益 的策略，记为
U i ( Si* , Si ) U i ( Si' , Si ), Si* Si' (i 1, 2, …,n)


再次观察图古诺—纳什均衡的稳定性，我们 发现d点所代表的产出组合正是企业1和企业2 合谋时的产出组合。该点不是纳什均衡，因 为双方都有动机改变自己的产量。企业1和企 业2最终会沿着两条反应线而达到古诺—纳什 均衡。 此外，从表：单个企业的决策选择，我们可 以清楚地看出：对应于三种不同的选择，合 谋时市场价格最高，古诺竞争时市场价格最 低；合谋时市场供应量最少，古诺均衡时市 场供应量最多。因此，竞争是有利于消费者 和社会福利的。
e e 计企业 2 的产量为 q 2 ，那么它面临的剩余需求曲线为 D1（ q 2 ），
如图所示。如果企业 1 认为企业 2 不生产，那么它面临的需求曲 线为 D1（0），是市场的需求曲线。如果企业 1 认为企业 2 生产 50 个单位， 那么它面临的剩余需求曲线将会向左移动到 D（50） 。 1
图1 企业1的剩余需求曲线
诺均衡。同理，从 d 点出发，企业 1 会选择以 e 点横坐标代表的 产量 q1，进而企业 2 会选择以 f 点纵坐标代表的产量 q2，„„，
c 直至（ q1c ， q 2 ）。
下面我们要解决的问题是：在模型的基本假设条件下，古诺 均衡是唯一的纳什均衡吗？是否存在其他纳什均衡？
图3 古诺—纳什均衡的稳定性
企业 1 和企业 2 进行的这个静态博弈存在着纳什么均衡解
c c （ q1c , q 2 ）。根据纳什均衡的定义，（ q1c , q 2 ）应该满足（1）所
有的企业已经做到最好，没有动机去改变产量或价格；（2）所 有的企业都假设竞争者已经考虑了对手的反应。因此，
c c 对于任何 q1，有π 1（ q1c , q 2 ）≥π 1（ q1 , q 2 ） c 对于任何 q2，有π 2（ q1c , q 2 ）≥π 1（ q1c , q 2 ） c 也就是说，如果企业 2 的产量为 q 2 ，那么企业 1 的最优产量 c 为 q1c ；如果企业 1 的产量为 q1c ，那么企业 2 的最优产量为 q 2 。
q2 120 企业1的反应线
60
b c f e
a 企业2的反应线
d
60
120
q1
我们考虑企业1和企业2几种可能的选择： （1）企业1和企业2合谋； （2）企业1选择合谋时的产量，而企业2单方 面背叛； （3）企业2选择合谋时的产量，而企业1单方 面背叛； （4）企业1和企业2进行古诺竞争。
例2：
c q1c = q 2 =40
此时市场价格为 Pc=130-80=50
c 从而企业 1 和企业 2 的利润都为π 1 π c 1600 2
图2 古诺—纳什均衡
q2 120
企业1的反应线q1=f1(q2)
60
古诺均衡 企业2的反应线q2=f2(q1)
60
120
q1
二、古诺—纳什均衡的性质
古诺—纳什均衡具有稳定性。也就是说，如果企业没有在古 诺均衡点进行生产，那么它们也会自动调整产量直到古诺均衡。
e π 1= P（q1 + q 2 ）- C（q1） e 对于每一个 q 2 ，企业 1 都能确定最佳的 q1 使得π 1 最大化。 e e 这说明 q1 是 q 2 的函数，即 q1=R1（ q 2 ）式称为企业 1 对企业 2 产
量的“反应函数”，即企业 1 在预计企业 2 产量的基础上选择利 润最大化的产量。反应函数通常向下倾斜。 同理，企业 2 也要对企业 1 的产量进行估计，然后选择使自 己利润最大化的产量，从而企业 2 的反应函数为 q2=R2（ q1e ）
c q1c R1 ( q 2 ) 所以，（ q , q ）满足 c q 2 R 2 ( q1c )
c 1
c 2
可以看出，在古诺—纳会均衡中，每个企业都正确估计了对
c e 手的产量（即 q1c = q1e ， q 2 = q 2 ），从而获得自己的最大利润。
例1：

假设市场的需求函数为P=130-Q，P为 产品的市场价格，Q=q1+q2为市场供应 量，两家企业的边际生产成本为 MC1=MC2=10。求两企业在古诺均衡 状态下的产出、价格和利润？
一、模型的基本假设如下：


（1）产品是同质的。 （2）厂商的决策变量是产量。 （3）厂商之间只进行一次竞争，并且他 们同时进行生产决策。 （4）没有其他厂商进入。
二、古诺—纳什均衡
首先考虑只存在两家企业的情况。 由于两家企业同时决定产量大小，因此每家企业在做决策之 前必须预测对手的产量大小，而市场价格 P 是这两家企业产量之 和的函数，即市场需求函数为 P=P（q1+q2 ） 其中 q1 为企业 1 的产量，q2 为企业 2 的产量。假设企业 1 估
纳什均衡指的是一组策略组合
在这组策略组合 S i* ，每个参与者的策略都是对所 有其他参与者的最优反应，即
U i ( Si* , Si ) U i ( Si' , Si ), Si* Si' (i 1, 2, …,n)
纳什均衡表达的含义是如果其他参与者不背离这一组 合，那么我也不背离这一组合，即没有一方有动机先 背离纳什均衡，因为没有任何一方能通过单独改变策 略来提高效益。
寡头竞争模型分类
博 类 弈 型 决策 变量
产量 古诺模型 斯塔克尔伯模型
价格 伯川德模型 价格领导模型
静态 动态
第一节 古诺竞争

古诺模型是19世纪著名的法国经济学家 Augustin Cournot于1838年发表的《对 财富理论的数学原理的研究》中提出。 古诺考虑两家相互竞争的矿泉水厂商如 何决定产量的问题。为简单起见，古诺 假设两家厂商进行的是静态博弈，即他 们同时决定产量大小。
（3）同理，如果企业 2 遵守合谋协议，企业 1 单 方面背叛， 那么企业 1 的产量为 q1=45， 利润为π 1=2025， 企业 2 的产量为 q2=30，π 2=1350。 （4）如果两家企业进行古诺竞争，那么根据例 1
c 的结论， 我们得到企业 1 和企业 2 的产量为 q1c q2 40 ，
p
P(0,0) P(0,50) D1(0) D1(50) MR1(50) MR1(0) q1
MC1
q1b
给定剩余需求曲线，企业 1 从自身利润最大化的目标出发，
e 选择生产 q1，此时市场供应量为 q1+ q 2 ，相应的市场价格为 e P=P（q1+ q 2 ）
假设企业 1 的成本函数为 C（q1），那么企业 1 的利润为