微积分微分中值定理
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是导数与函数之间的关系的重要推论。
本文将介绍微分中值定理的概念以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是由罗尔定理和拉格朗日中值定理推导出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在区间端点a和b的函数值相等（f(a) = f(b)），那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
这一定理的直观解释是：如果一个连续函数在两个点的函数值相等，并且在两点之间的某个地方斜率为零，那么在该点一定存在切线与横轴平行。
二、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
通过导数的概念和性质，我们可以在实际问题中进行一些有用的应用。
1. 最值问题导数可以用来求解函数的最值问题。
在闭区间上的连续函数中，如果在某一点的导数为零或不存在，那么这一点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值。
2. 凹凸性和拐点问题导数可以用来研究函数的凹凸性和拐点问题。
通过分析函数的二阶导数（导数的导数），可以确定函数的凹凸性以及拐点的位置。
3. 曲线的切线和法线问题导数可以用来求解曲线的切线和法线问题。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线斜率的负倒数。
三、微分中值定理的应用微分中值定理是导数与函数之间的重要关系推论，它在实际问题中有着广泛的应用。
1. 速度与加速度微分中值定理可以用来解决速度与加速度的问题。
对于一个运动的实体，在某一时间段内，他的速度可能为零，这意味着他的加速度为零。
这可以通过微分中值定理得到证明。
2. 经济学中的应用微分中值定理在经济学中也有广泛的应用。
例如，在某个时间段内，一个消费品的价格可能保持不变，这意味着该消费品的边际效用或边际收益为零。
这可以用微分中值定理来解释。
3. 物理学中的应用微分中值定理在物理学中也有重要的应用。
微积分：微分中值定理
根的存在定理判断方程f x 0有根；
罗尔定理判断方程f x 0有根.
例 证明 f (x) x(x 1)(x 1)(x 2)
的导函数f x 有三个实根。
证 显然 f (2) f (1) f (0) f (1) 0,
f x在 2, 1,1, 0,0,1上均满足
Rolle定理
有一条切线平行 A
N
D
o a 1 x
2 b
x
于连接曲线端点的弦.
证明： 变形 f (b) f (a) f ( ) 0
ba
构造函数 ( x) f (b) f (a) x f ( x),
ba
则易证： ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，
(a) (b) af (b) bf (a) ,
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 难点: 用中值定理证题
罗尔定理判断方程f x 0有根.
用拉格朗日定理证明等式或不等式
作 业：
看书，并完成作业：P122: 3; 5; 6;7;8； 9;10;11.(1);12.(1);14.
3.5 洛必达(L’Hospital)法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
ba
在(a, b)内至少有一点，
使得 （） f (b) f (a) f ( ) 0,
ba
故 f (b) f (a) f ( )。
ba
拉格朗日中值定理的另几种形式：
(1) f b f a f ' b a
称为拉格朗日公式。
2 f x x f x f ' x
x, x x
一、罗尔（Rolle）定理
若函数 y f(x)满足：
(1)在闭区间a, b上连续，
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。
其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。
一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。
希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。
意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。
1.费马定理法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。
费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。
当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。
2.罗尔定理（引理）法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有一个实根”。
这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。
现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。
微积分x02-4中值定理
f (x)在 x 处于可微：
△ydy=f
(x )· △x
f (x)在 [a, b] 上满足 拉格朗日定理条件：
△y=
要求:| △x |很小，
且f (x)0
f ( x+ △x )· △x
要求: △x有限.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
注:拉氏公式的几种形式
f (b) f (a) f ( ) ba
而 (x) f ( x) f (b) f (a) , ba 所以 ( ) f ( ) f (b) f (a) =0 由此得 f ( )
f (b) f (a) . ba
ba
即 f (b)f (a)=f ( )(ba).
证法二
证 设F ( x) [ f (b) f (a)]x f ( x)(b a)
f ( x) a1 x a2 x an x ,
2 n
则 f(0)=f(1)=0，从而存在0<<1,使得
f ( ) 0.
'
f ( ) a1 2a2 nan
'
n1
0.
2. 拉格朗日
(Lagrange) 中值定理.
y
拉格朗日中值定理 (微分中值定理）: 若函数 f (x)满足
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
x ln(1 x ) , 1 x x x, 1 x 1
x 即 ln(1 x ) x . 1 x
• 例3 试证 |sin x -sin y| | x - y |
所以 f ( x)
2
2
微分近似计算中值定理
微分近似计算中值定理一、微分近似计算微分近似计算是通过使用微分来近似计算一个函数在一些点的值。
在微积分中，函数的微分可以看作是函数在特定点处的瞬时变化率。
给定一个函数$f(x)$，我们希望在$x=a$处的附近计算出$f(x)$的值，但是直接计算可能会很困难或者不精确。
微分近似计算的核心思想是使用函数的局部线性逼近来近似计算函数的值。
1.线性逼近：线性逼近是指用一条直线来代替曲线的一部分，从而近似曲线的形态。
在微分近似计算中，我们使用一阶导数来得到函数在特定点的切线方程，从而得到一个线性逼近函数。
设函数$f(x)$在$x=a$处可导，那么该函数在$a$点的切线方程为：$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的导数。
通过使用该切线方程，我们可以用直线来近似曲线，从而得到$x=a$处的近似值。
2.微分近似公式：微分近似公式是微分近似计算中常用的公式，它可以通过函数的导数来近似计算函数的值。
给定函数$f(x)$在$x=a$处的导数$f'(a)$，我们可以使用微分近似公式来计算$f(x)$在$x=a+h$处的近似值，其中$h$是一个非常小的正数：$$f(a+h) \approx f(a)+hf'(a)$$这个公式的推导可以通过使用线性逼近的方法来得到。
当$h$很小时，该公式给出的近似值比较精确。
3.例题：现在考虑一个具体的例题来说明微分近似计算的具体过程。
对于函数$f(x)=\sin(x)$，我们希望计算出$f(0.1)$的值。
首先计算函数在$x=0$处的导数$f'(0)$。
由于$f(x)=\sin(x)$的导数是$f'(x)=\cos(x)$，所以$f'(0)=\cos(0)=1$。
然后使用微分近似公式来计算$f(0.1)$的近似值：$$f(0.1) \approxf(0)+0.1f'(0)=\sin(0)+0.1\cos(0)=0+0.1=0.1$$因此，$f(0.1)$的近似值为0.11.一维中值定理：一维中值定理是最基本的中值定理，它阐述了如果函数在一个闭区间上连续且可导，那么在该区间内至少存在一点，该点的导数等于函数的平均变化率。
微分中值定理与泰勒展开
微分中值定理与泰勒展开微分中值定理和泰勒展开是微积分中重要的概念和理论。
它们在分析函数的性质和求解实际问题中起着至关重要的作用。
本文将介绍微分中值定理和泰勒展开的概念、原理以及应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微分学中最基本的定理之一，它包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在连续和可导的条件下的一些特性。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基础的定理。
它表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数的导数在c点的值等于函数在[a, b]区间端点处的导数值之差的商。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且其中一个函数在开区间(a, b)内不恒为零，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得两个函数的导数的商等于函数值的商。
数学表达式为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在一个介于a和b之间的数c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊情况。
罗尔中值定理表明，如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数在c 点的导数等于零。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a)=f(b)，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=0。
中值定理 证明 解微分方程
中值定理证明解微分方程
中值定理是微积分中的一个重要定理，可以用来证明解微分方程的存在和唯一性。
该定理指出，对于一个在闭区间上连续的实函数，存在一个点使得该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
这个点就是中值定理所述的中间点。
利用中值定理证明解微分方程的存在性，通常先将微分方程化为形如dy/dx=f(x,y)的一阶常微分方程。
然后，将该方程表示为
y'=g(x,y)，其中g(x,y)=f(x,y)/√(1+f(x,y)^2)。
由于g(x,y)在整个平面上的偏导数都是连续的，因此根据偏导数的连续性定理，可以得到g(x,y)在平面上是局部利普希茨连续的。
接下来，对于给定的初始条件y(x0)=y0，可以构造一条以(x0,y0)为起点，斜率为g(x0,y0)的直线。
根据中值定理，该直线与y=f(x)在(x0,x0+1)的某一点处相切。
将该点的横纵坐标记作x1和y1，可以得到y1=y0+g(x0,y0)(x1-x0)。
然后，以(x1,y1)为起点，斜率为g(x1,y1)的直线与y=f(x)在(x1,x1+1)的某一点处相切，构造出新的点(x2,y2)。
如此重复进行下去，可以得到一条光滑的曲线y=y(x)，满足y(x0)=y0，
y'(x)=g(x,y(x))。
由于g(x,y)是局部利普希茨连续的，因此可以证明y(x)在一定范围内是存在且唯一的。
此外，由于y'(x)是连续的，因此y(x)也是连续的。
因此，该曲线就是微分方程的解。
- 1 -。
微分中值定理公式
微分中值定理公式
微分中值定理：
1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2、应用：
（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。
（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。
（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。
（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。
3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)
4、优势：
（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；
（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；
（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；
（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。
3.1.1 微分中值定理
证 任取两点 x1、x2 [a, b], 设 x1< x2,
则
f (x2 ) f (x1 ) x2 x1
f (x ),
x ( x1 , x2 )
因为 f (x) = 0，所以 f (x) = 0， 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 0，
x2 x1
故 f (x1) = f (x2)， 由于x1、x2的任意性,
※然后相应确定一个区间
※选定的函数在所确定的区间上要满足拉格朗日中
值定理的条件，则有拉格朗日公式成立
※由ξ 所在区间范围，即可导致等号成为不等号
例5
设a
b
0, 证明：a-b
a
ln b
a-b
.
a
b
例6 证明 当 x 1 时, e x ex
证明: 设 f ( x) e x , f ( x) e x ,
1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f (x)(x 0), (0 x x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1 x
解 显然, f (x) 在区间 [1, 2]，[2, 3] 上都满
足罗尔定理，所以至少有 x1 (1, 2)，x2 (2, 3)， 使 f (x1) = 0， f (x2) = 0， 即方程 f (x) = 0 至少
有两个实根，又因为 f (x) = 0 是一个一元二次方程， 最多有两个实根，所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个 实根，且分别在区间(1, 2) 和 (2, 3)内.
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在一定条件下存在某个点，该点的导数与函数在两个端点的斜率相等。
本文将介绍微分中值定理的三种形式，以及它们的应用和证明过程。
一、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一种形式，它表述为：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则在(a, b)上至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明依赖于罗尔中值定理。
首先，由于函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在[a, b]上一定存在最大值M和最小值m。
若M=m，则f(x)是一个常数函数，此时拉格朗日中值定理显然成立。
若M≠m，则根据罗尔中值定理，存在某个点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=0。
于是，可以将区间[a, b]分成两个子区间：[a, ξ]和[ξ, b]。
在两个子区间上分别应用拉格朗日中值定理，可得：f(ξ) - f(a) = f'(c1)(ξ - a)， f(b) - f(ξ) = f'(c2)(b - ξ)其中，c1∈(a, ξ)，c2∈(ξ, b)。
因此，通过简单的变形，我们可以得到f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中c∈(a, b)。
证明完毕。
拉格朗日中值定理的经典应用是利用导数来研究函数的增减性和极值问题。
通过该定理，我们可以找出函数在某一区间上的极值点，并且可以了解函数在该区间上的增减性。
二、柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的另一种形式，它用于描述两个函数在给定区间内的导数之间的关系。
柯西中值定理的表述为：若函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)≠0，则在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)。
微积分31微分中值定理省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
比如,
x2 -1 x 1
f (x)
0 x 1
f (0) 0
0 1X
第6页
例1 证明方程 x5 x 1 0 有且仅有一个正实根 . 证: 1）存在性
设 f ( x) x5 x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 1. 由零点定理
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即为方程正实根.
f ( x) a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n o( x x0 )n
Pn ( x)
Rn ( x)
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
第18页
2 Pn和 Rn的确定
近似程度越来越好
分析:
1.若在 x0 点相交
y
Pn ( x0 ) f ( x0 )
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
第13页
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
一点C(F (), f ()),在
该点处的切线平行于
A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
第12页
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x)
微积分 第四章 第一节 中值定理
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是f (x)
的一个零点. f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间
(1, 2)及(2, 3)内.
思考：f (x)的零点呢？
11
二、将拉罗格尔朗定日理(条La件gra中ng去e)掉中值f (定a) 理 f (b), 得到
如果函数f (x)满足：(1)在闭区间[a, b]上连续，
f
(b)
f
(a)
(x a)，
ba
或
F(x) f (x)(b a) [ f (b) f (a)]x
容易验证, F( x) 满足罗尔定理的条件,
于是 (a,b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
13
例8 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件, f ( x) 1 ， x
f (e) f (1) 1 ， e1 e1
e 1 (1,e)， 使 f ( ) f (e) f (1) .
e1
14
f ( ) f (b) f (a)
拉格朗日中值公式另外的表达方式：
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)， 介于a和b之间
或 f (b) f (a) f [a (b a)](b a) ,0 1 ,
(
x)
sin
1 x
,
x0
0 , x 0
（B）
g(
x)
x
sin
1 x
,
x
0
0 , x 0
（
C
）
h(
微分中值定理
17
几何解释:
在曲线弧AB上至少有 一点C,在该点处的切 线平行于弦AB.
物理解释:
y
C
yf(x)
M
B
A
N
D
o a 1 x
2 b
x
拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到 t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在 某一时刻达到它的平均速度.
究竟等于什么数, 只要知道 存在即可.
9
例 证明方x5程 5x10有且仅有一1个 的正实 . 根
证 (1) 存在性
设 f(x )x 5 5 x 1 ,则f(x)在 [0,1]连,续 且f(0)1, f(1)3. 零点定理 x0(0,1),使f(x0)0.
即为方程的小于1的正实根.
(2)|f(x)|M . ? |f( x ) f( x 0 ) | M |x x 0 |.
(3 )f(x ) 0( 0 ). ?
f(x)()
还有什么？
21
推论 1 若 f ( x ) 0 , x I , 则 f ( x ) C , x I .
推论 2
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例 证明不等式
arx c 2 t aarn x c 1 tx 2 a x 1 n ,(x1 x2).
如果f(x)在某区间上可导,要分析函数 在该区间上任意两点的函数值有何关系, 通常就想到微分中值定理.
证 记 f(x)arctax,n在[x1,x2]上,
利用微分中值定理, 得
1
arcx2 t a an rcx1 t a 1 n 2(x2x1)
20
由拉格朗日 以中 得值 出定 其理 它 ？ 可 的
微分中值定理与泰勒公式
微分中值定理与泰勒公式微分中值定理是微积分中的一项重要定理，它建立了导数与函数平均变化率之间的关系。
而泰勒公式则使我们能够通过已知函数的某一点处的导数值，来逼近该点附近的函数值。
在本文中，我们将介绍微分中值定理和泰勒公式的基本原理和应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分中的基本定理之一，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理的基本思想都是利用导数的中间值性质，揭示了函数在某个区间内的特殊性质。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理描述了函数在一个闭区间内，存在一个点，使得该点的切线斜率等于函数在该区间上的平均变化率。
具体而言，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
拉格朗日中值定理的一个重要应用是证明函数的单调性和判定函数的极值。
通过证明函数在某一区间内的导数的符号，可以判断函数在该区间上的单调性和极值点的存在与否。
2. 柯西中值定理柯西中值定理描述了两个函数在一个闭区间内，满足一定条件时，它们的导数在该区间上至少有一个相等的点。
具体而言，若函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且g'(x)≠0，则存在一个点c∈(a,b)，使得[f'(c)/g'(c)] = [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
柯西中值定理在解决一些函数方程的问题时起到了重要的作用。
通过构造辅助函数，将原方程转化为柯西中值定理的形式，然后利用中值定理的性质解方程。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理描述了在一个闭区间内，如果函数在两个端点处的函数值相等，那么在该区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。
具体而言，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a) = f(b)，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
微分中值定理有哪些
微分中值定理有哪些微分中值定理是微积分中的一个重要的定理，它在微积分中用于解决某些问题。
它的定义如下：假设f（x）在定义域[a,b]上连续，∀x∈（a,b）有f'（x）存在且连续，那么对于某一定义域[c，d]Φ[c,d]，且a< c < d < b，有f(b)−f(a) = f'(c)(b−a)这就是微分中值定理的定义，它为我们解决一些问题提供了一种很好的解决思路。
举一个例子来说明这个定理，假设我们现在有一个函数f(x)=3x^2-2，要求解[1，4]上的f(x)的导数，首先可以利用微分中值定理，我们可以知道f'(x)在x=2处取得最大值，那么f'(2)就可以根据微分中值定理来求出：f(4)−f(1) = f'(2)(4-1)f'(2) = (f(4)-f(1))/(4-1)f'(2) = (48-3)/3f'(2) = 45/3以上就是利用微分中值定理来求解函数f(x)在x=2处的导数的计算过程，当然并不是所有的函数都能够用微分中值定理求得最大值，但是它的主要作用还是帮助我们求解某些特殊的问题，比如在给定范围内求解函数的最大值。
再举一个例子，对于一个函数f(x)，定义域为[0，2]，我们可以将函数f(x)在[0，2]区间上分为[0,1]和[1，2]，利用微分中值定理：f(2)−f(0) = f'(1)(2-0)可以分别求出f(x)的导数f'(x)在[0，1]和[1，2]上的大小，我们可以看到，通过微分中值定理，解决微积分问题变得更加容易，在很多情况要节省很多时间。
以上就是微分中值定理及其应用的一些内容。
微分中值定理是微积分中重要的定理，它可以用来解决某些特殊的问题，也可以节约时间。
微积分中值定理详细
从而 ，因此，任取ξ ∈ (a,b)都有
因此必然有
3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理
设函数 f (x)在区间[a,b]上的图形是一条连续光滑的曲线弧 ，显然 是连接点A(a, f (a))和点B(b, f (b))的弦 的斜率，如图 所示，容易看出，在(a,b)内至少存在一点ξ使弧 上的点C(ξ, f (ξ))的切线与弦 平行。
例1. 证明等式
证: 设
由推论可知
(常数)
令 x = 0 , 得
又
故所证等式在定义域 上成立.
自证:
经验:
欲证
时
只需证在 I 上
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例2. 证明不等式
证: 设
中值定理条件,
即
因为
故
因此应有
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二、曲线的凹凸与拐点
3.2函数性态的研究
第三章
3.2.1 函数单调性和极值 1.函数的单调性
若
定理 1. 设函数
则 在 (a,b)内单调递增
(递减) .
证: 无妨设
任取
由拉格朗日中值定理得
故
这说明 在 I 内单调递增.
法国数学家,
他著有《无穷小分析》
(1696),
并在该书中提出了求未定式极
限的方法,
后人将其命名为“ 洛必达法
的摆线难题 ,
以后又解出了伯努利提出的“ 最速降
线 ” 问题 ,
在他去世后的1720 年出版了他的关于圆
锥曲线的书 .
则 ”.
他在15岁时就解决了帕斯卡提出
微积分中值定理
微分中值定理微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。
微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。
罗尔定理如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0.几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。
而定理结论表明：弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的。
拉格朗日定理如果函数 f(x) 满足：1)在闭区间[a,b]上连续；2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
（或存在0<h<1，使f(b)-f(a)=f′[a+h(b-a)](b-a) 成立）拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线（a，b）的割线的斜率相同；或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线（a，b）的平行线柯西定理如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立中值定理分为：微分中值定理和积分中值定理。
以上三个为微分中值定理。
定积分第一中值定理为：f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得该式成立）注：积分中值定理可以根据介值定理推出，所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。
泰勒公式若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
微积分12-微分中值定理
第五节微分中值定理一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理微分中值定理我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出函数本身整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日等数学家.首先, 从直观上来看看是怎么一回事.极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点xI , I )( 内某点且在内有定义在区间设x f 则必有存在若处取极大（小）值 , )( . ξξf '. 0)(='ξf 一. 费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理O x y )(x f y =a b ξP 费马定理的几何解释 如何证明如何证明, I )( 内有定义在区间设x f 处且在 ξ=x ),( ξf 取极大值则有)(Uˆ )()(ξξ∈≤x f x f 则存在若 , )( ξf ' , 0)()(lim )(0≤∆-∆+='+→∆+xf x f f x ξξξ , 0)()(lim )(0≥∆-∆+='-→∆-xf x f f x ξξξ于是. 0)(='ξf （极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？O xy a b )(x f y 但是……不保证在内部！O xy)(x f y =ξPa b 0)(='ξf 水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(='∈ξξf b a 使得定理O xy)(x f y =ξa b A B实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤ ],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( ='∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈='ξξ, , ,,, d c b a d c b a <<<皆为实数设,))()()(()(d x c x b x a x x f ----= . , 0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程='x f , ) ] ,[], ,[], ,[()(d c c b b a C x f ∈,0)()()()( ====d f c f b f a f 又,),( , )(内可微在是四次多项式+∞-∞x f 得上运用罗尔中值定理在 , ] ,[, ] ,[, ] ,[ d c c b b a. 0)()()(321='='='ξξξf f f 例1证其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321d c c b b a ∈∈∈ξξξ.0)( 至少有三个实根即='x f, )( 是四次多项式x f, )( 是三次多项式x f '∴.0)(至多有三个实根='x f 综上所述,,0)(仅有三个实根='x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=- . ) ,( 内至少有一根在b a 例2分析1)目的：证明至少存在),(b a ∈ξ使)()())()(( 222='---ξξf a b a f b f 0)()())()(( 2)(22='---='=ξξξf a b a f b f x F x )()())()(( 2)(22x f a b a f b f x x F '---='即2）找辅助函数：得)()())()(( )(222x f a b a f b f x x F ---=由证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=-. ) ,( 内至少有一根在b a 例2证)()())()(()( 222x f a b a f b f x x F ---=令, )( 得的连续性和可导性则由x f , ) ,( )( , ]) ,([)(内可导在b a x F b a C x F ∈)()()()( 22a f b b f a b F a F -==又由罗尔定理, 至少存在一点使得 ) ,(b a ∈ξ0)()())()(( 2)(22='---='ξξξf a b a f b f F . ) ,( 内至少有一根方程在即b a满足其中实数 , , 1n a a 012)1(3121=--++--n a a a n n证明方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n , 2 ,0 内至少有一根在）（πx n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )( 21--+++= 令, )(02)0( ==πF F 则且满足罗尔定理其它条件,使故 2,0 )(πξ∈∃0)12cos(3cos cos )()(21=-+++='='=ξξξξξn a a a x F F n x 例3证. 2 ,0 内至少有一根即方程在）（π, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈ . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 2))(()()()()( )()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则的两个根是如果 , 0)( , 21=x f x x 0)()()()(2211==x g x f x g x f . ) 0)( (≠x g 这时必须想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 例4证. 0)( ) ,( , 21的两个根是设=∈x f b a x x. 0)( 21及其之间没有根与在并设方程x x x g =, )()()( x g x f x F =令.21x x <不妨假设 . 0)( ）（此时≠x g ,] ,[ )(21上满足罗尔定理条件在x x x F 则由已知条件可知:使得故至少存在一点 , ) ,( 21x x ∈ξ0)()()()()()(2='-'='ξξξξξξg g f g f F . , 0)()()()( 与已知矛盾从而='-'ξξξξg f g f 该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.例5证, ),( ]), ,([)(),( 内二阶可导在设b a b a C x g x f ∈ ),,( ),()( ),()( ),()( b a c b g b f c g c f a g a f ∈===且).()( ),,( :ξξξg f b a ''=''∈使得至少存在一点证明 ,)()( ),()()( 0==-=c a x g x f x ϕϕϕ则令 .0)( ),,( ,11='∈ξϕξ使得至少存在一点由罗尔中值定理c a0.)( ),,( ,22='∈ξϕξ使得至少存在一点同理b c , )( ],[ 21则再运用罗尔中值定理上对函数在x ϕξξ'),,(),( 21使得至少存在一点b a ⊂∈ξξξ,0)())((=''=''=ξϕϕξx x).()( ξξg f ''=''即例6证,0)( , )( ),( =a f I x g x f 且有上可微在区间设 0)()()( , , ,0)(='+'∈=x g x f x f I b a b f 证明方程).,( 0b a x ∈至少存在一根, ),,( 0 ,)( 令所以由于+∞-∞∈>='x e e e x x x,)()()(x f ex F x g = .0)()()())(()(0)(0)(0)(0000='+'='='=x g e x f e x f x f ex F x g x g x x x g ,0)()( , ),( ]),,([)(==∈b F a F b a b a C x F 且内可导在 :则由已知条件可知 ),( :0使得至少存在一点故由罗尔中值定理b a x ∈. ,0)()()( ,0 000)(0即得所证故有因为='+'>x g x f x f e x g例6＋设)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且1)()(==b f a f ，试证存在),(b a ∈ξ，使1)()(='+ξξf f 注：))()((])([x f x f e x f e x x '+='))(1)((])1)(([x f x f e x f e x x '+-='--三. 拉格朗日中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈,) ,( )( )2(内可导在b a x f 则至少存在一点, ) ,(使得b a ∈ξab a f b f f --=')()()(ξ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即定理O x y)(x f y =ξa b A B切线与弦线 AB 平行 切线与弦线 AB 平行)()()()( a x a b a f b f a f y AB ---+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？如何利用罗尔定理来证明？)()()()()()( a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ令则由已知条件可得：, ]) ,([)(b a C x ∈ϕ. ) ,( )(内可导在b a x ϕ,0)()( ==b a ϕϕ且故由罗尔定理, 至少存在一点使得, ) ,(b a ∈ξ0)()()()(=---'='ab a f b f f ξξϕ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数)()())()(()(x f a b x a f b f x F ---=定理中的公式均可写成还是不论 b a b a ><) , ( ))(()()(之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f )( )(之间与在x x x x f y ∆+∆'=∆ξξ式可写成拉格朗日中值定理的公), ( |||)(| |)()(|之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)( )()()(a b f a f b f -'=-ξ)( )()()(1212x x f x f x f -'=-ξ).,( 0)( )1(b a x x f ∈='.)(常数=x f .|)(| )2(M x f ≤'.|| |)()(|00x x M x f x f -≤-).0( 0)( )3(≤≥'x f )( )(↓↑x f 还有什么？, I , . I , 0)( 21有则若∈∀∈='x x x x f, 0))(()()(2121=-'=-x x f x f x f ξ推论 1.I , )( , I , 0)( ∈=∈∀='x C x f x x f 则若. )()(21x f x f =推论 2)()())()((x g x f x g x f '-'='-, I )()( ∈'='x x g x f 若 , I , 0))()(()( ∈='-='x x g x f x F 则.I )()( , I )()( ∈+=∈'='x C x g x f x x g x f 则若( C 为常数 ). I , )()()(∈=-=x C x g x f x F推论 3, ) )( ( |)(| 有界即若x f M x f '≤' . || |||)(| |)()(| a b M a b f a f b f -≤-'=-ξ则则且条件 ), ,( , |)(| ,b a x M x f ∈≤'|||)()(|a b M a f b f -≤-理上满足拉格朗日中值定在若 ] ,[ )( b a x f 用来证明一些重要的不等式用来证明一些重要的不等式推论 4. , I ,1221x x x x >∈∀不妨设 )( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ,)()( , I 0)( 12x f x f x x f >∈>'则若,)()( , I 0)( 12x f x f x x f <∈<'则若, )0)(( 0)( , I )( ≤'≥'x f x f x f 且可导在区间若．减少上单调增加在区间则)( I )( x f 用来判断函数的单调性用来判断函数的单调性（在后面讲）该推论可以用来证明不等式., 0 时当证明：b a <<.ln a a b a b b a b -<<-)(1ln ln )(1 a b aa b a b b -<-<-即要证,]b ,[ , ln )( a x x x f ∈=令, ] ,[ )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则b a x f 故, )(1ln ln b a a b a b <<-=-ξξ从而 .ln aa b a b b a b -<<-例8证. , 1 x e e x x>>时当证明：)1( ln 1 >>-x x x 即要证))(()()( a b f a f b f -'=-ξ比较有上运用在 , 01ln ] ,1[ =x .1ln ln 1->-x x ], ,1[ ln )( 则由拉格朗日中值定理令x t t t f ∈=).1( , 1)1(11ln ln x x x x <<-<-=-ξξ得 . , 1 ex e x x>>时故当例9证. ]1 ,1[ , 2arccos arcsin -∈≡+x x x π证明： , 0)11(11)arccos (arcsin 22=--+-='+x x x x , 1) ,1( 时当-∈x )1 ,1( arccos arcsin -∈≡+x C x x 故从而计算得取 ,2 0 π==C x . )1 ,1( 2arccos arcsin -∈≡+x x x π例10证, ) ]1 ,1[ ()arccos (arcsin 可得由-∈+C x x . ]1 ,1[ 2arccos arcsin -∈≡+x x x π延拓!内满足关系式在若证明： ) ,( )( ∞+-∞x f .)( , )()( , 1)0(xe xf x f x f f =='=则. ) ,( , 1)( ∞+-∞∈≡x e x f x 即要证), ,( ,)()( ∞+-∞∈=x ex f x x ϕ令x x x ee xf e x f x 2)()()( -'='ϕ ), ,( ,0∞+-∞∈=x 例11证). ,( ,)( ∞+-∞∈=∴x C x ϕ,1)0( =f 又 )()( C e x f x x ==ϕ1)0()0( 0==e f ϕ故 . 1=C 从而.) ,( ,)(∞+-∞∈=x e x f x] ,[ )( , 523)( 2b a x f x x x f 在求设++= . 值理的上满足拉格朗日中值定ξ ] ,[ )( 满足拉格朗日中值在易验证b a x f .定理的条件 , )2)((6)52(35)2(3 22a b a a b b -+=++-++ξ由, 6)(3 ξ=+a b 得 . 2 a b +=ξ从而所求为例12解, ) ,( , ] ,[ )( 内可导在上连续在如果b a b a x f )( , )0)(( 0)( ] ,[b a x f x f x f ↑≤'≥'则可推出且.))((] ,[b a x f ↓ )( , )0)(( 0)( x f x f x f I 则上如果在区间<'>').( 严格单调减少上严格单调增加在区间I 由推论4知：. ) ,( , 3的单调性讨论∞+-∞∈=x x y O xy 3x y =, 03)(23≥='='x x y , 0 时且仅当=x , 0='y . ) ,(3∞+-∞↑x 故, ) ,(时∞+-∞∈x 解例7. ]2 ,0[ sin 上的单调性在讨论πx x y -=,) ]2 ,0[ (sin πC x x y ∈-= , )2 ,0( , 0cos 1π∈>-='x x y .sin ]2 ,0[π↑-=∴x x y 例13解. )1ln( , 0 x x x +>>时：证明,) ,0[ , )1ln()( ∞+∈+-=x x x x f 令, ) ) ,0[ ()( ∞+∈C x f 则,0)0(=f 又 , ) 0( , 0111)(时>>+-='x xx f 故, )() ,0[∞+↑x f 从而 , )0( , 0)0()(>=>x f x f 即. )1ln( , 0x x x +>>时例14证。
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故,当x (x0 , x0
)时, 有
f
(x) x
f (x0 ) x0
0,
当x (x0
, x0 )时, 有
f
(x) x
f (x0 ) x0
0.
从而f (x0 )
f ( x0
在 (a,b)使f ( ) 0.
证 :由定理2.5知: f (x)在[a,b]内必有最大值 M与最小值m.
(1) :当M m时,则f (x)在[a,b]内是常数函数 ,故f (x) 0, x [a,b].从而命题成立 .
(2) :当M m时,由f (a) f (b)知: 最大值M与最小值m至少有一个在开区间(a,b)
由罗尔中值定理知: 存在 (0, )使得F( ) F(x) sin cos 0.
x
x
故方程 sin x x cos x 0在(0, )内有实根.
例: 设f (x)在(a,b)内二阶可导,且f (x) 0, x (a,b).证明f (x)在 (a, b)内至多有一个驻点.
证 : 若f (x)在(a,b)内有两个驻点 x1与x2且x1 x2.
则f (x1) f (x2 ) 0.
由于f (x)在(a,b)存在,故导函数f (x)在[x1, x2 ]上连续.
从而由罗尔中值定理知 : 存在 (x1, x2 ) (a,b)使f ( ) 0.
这与f (x) 0, x (a,b)矛盾,故f (x)在(a,b)内至多有一个驻点 .
例: 设函数f (x) 1 x x2 x3 有且仅有一个零点 . 23
定理4.1(费马定理)的逆命题不一定正确. 例: f (x) x3,则f (x) 3x2,故f (0) 0,但x 0不是f (x)的极值点. 通常, 称使f (x) 0的点x为f (x)的驻点(临界点).
定理4.2(罗尔中值定理) :设f (x)在[a,b]内连续,在(a,b)内可导.若f (a) f (b),则必存
证 : f (0) 1 0, f (3) 1 3 9 27 13 0. 23 2
内的某一点处取得,即f ( ) M (或f ( ) m).
此时有f
( )
f
(x), x O ( ) (a,b),其中
max{b ,
2
a}
0;
(或f
( )
f
(x), x O
( )
(a, b), 其中
max{b ,
2
a}
0).
故为f (x)的一个极值点.而f (x)在极值点可导,由费马定理知 : f ( ) 0.
y
x 注: 极值点是局部性质 ,最大值与最小值是全局 性质,两者不同.
极大值不一定是最大值 ,极小值也不一定是最小 值;极大值可以小于极小值 .
定理4.1(费马定理 ) : 设y f (x)在x0点取得极值 ,若f (x)在x0点可导,则f (x0 ) 0.
证 : 不妨设f (x)在点x0处取得极小值 ( f (x)在点x0处取得极大值可类似证 明) 即在点x0的邻域(x0 , x0 ), ( 0)内, 有f (x) f (x0 ).
例: f (x) x2,则x 0为f (x)的一个极小值点. 存在领域O (0),使当x O (0)时, f (x) f (0).
例: f (x) x2,则x 0为f (x)的一个极大值点. 存在领域O (0),使当x O (0)时, f (x) f (0).
例: f (x) k(k为常数), 则任何一点 x0都是为f (x)的一个极大值点与极小 值点. 对任何一点 x0 , 存在领域 O (x0 )使当x O (x0 )时, f (x) f (x0 )且f (x) f (x0 ). 例: f (x) x3,则x 0不是f (x)的一个极值点. 因为不存在 x 0的一个领域 O (0)使当x O (0)时, f (x) f (0)或者f (x) f (0).
(x)
x2
cos 1 x
x 0,则f (x)在[1,1]连续, (1,1)可导.
0
x0
则f (1) f (1), 故存在 (1,1), 使f ( ) 0.
但f
( x)
2x
cos
1 x
sin
1 x
x 0在x 0Байду номын сангаас不连续.
0
x0
例: 证明方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根.
罗尔中值定理的几何意义 :
y
连接点(a, f (a))与点(b, f (b))的直线平行
于x轴, 那么处处有切线的曲线上至少有
一点的切线平行于两端点的连线.
a
bx
罗尔中值定理常用来判 断导函数f (x)的零点.
但这与连续函数零点存在定理2.6不一样.
因为f (x)可导,但f (x)未必连续.
例:
f
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
f (x0 )
f ( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0. x x0
f (x0 ) 0
定理4.1(费马定理)的几何意义: 若y f (x)在极值点处有切线,则该切线平行于x轴,即切线的斜率为零.
注: y f (x)在极值点处可能没有切线,即在极值点处可能不可导. 例: f (x) x ,则x 0为极小值点,但f (x)在x 0处不可导,即没有切线.
第四章 中值定理与导数的应用
4.1、微分中值定理
定义4.1: 设f (x)在点x0的某一领域O (x0 )内有定义, 若f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )),x O (x0 ),则称f (x0 )为f (x)的一个极小值(或极大值). 这时称x0为f (x)的一个极小值点 (或极大值点 ). 极小值与极大值统称为极值. 极小值点与极大值点统称为极值点.
证 :由于sin x x cos x是x sin x的导函数,故考虑函数 F(x) x sin x, x [0, ].
则F(x)在[0, ]上连续可导 (F(x)连续可导是导函数 F(x)在[0, ]上连续).
(注: 在端点x 0与x 处可导是指右可导与左 可导).
而且F(0) F( ) 0.