微积分微分中值定理

罗尔中值定理的几何意义 :
y
连接点(a, f (a))与点(b, f (b))的直线平行
于x轴, 那么处处有切线的曲线上至少有
一点的切线平行于两端点的连线.
a
bx
罗尔中值定理常用来判 断导函数f (x)的零点.
但这与连续函数零点存在定理2.6不一样.
因为f (x)可导,但f (x)未必连续.
例:
f
证 :由于sin x x cos x是x sin x的导函数,故考虑函数 F(x) x sin x, x [0, ].
则F(x)在[0, ]上连续可导 (F(x)连续可导是导函数 F(x)在[0, ]上连续).
(注: 在端点x 0与x 处可导是指右可导与左 可导).
而且F(0) F( ) 0.
由罗尔中值定理知: 存在 (0, )使得F( ) F(x) sin cos 0.
x
x
故方程 sin x x cos x 0在(0, )内有实根.
例: 设f (x)在(a,b)内二阶可导,且f (x) 0, x (a,b).证明f (x)在 (a, b)内至多有一个驻点.
证 : 若f (x)在(a,b)内有两个驻点 x1与x2且x1 x2.
则f (x1) f (x2 ) 0.
由于f (x)在(a,b)存在,故导函数f (x)在[x1, x2 ]上连续.
从而由罗尔中值定理知 : 存在 (x1, x2 ) (a,b)使f ( ) 0.
这与f (x) 0, x (a,b)矛盾,故f (x)在(a,b)内至多有一个驻点 .
例: 设函数f (x) 1 x x2 x3 有且仅有一个零点 . 23
y
x 注: 极值点是局部性质 ,最大值与最小值是全局 性质,两者不同.
极大值不一定是最大值 ,极小值也不一定是最小 值;极大值可以小于极小值 .
定理4.1(费马定理 ) : 设y f (x)在x0点取得极值 ,若f (x)在x0点可导,则f (x0 ) 0.
证 : 不妨设f (x)在点x0处取得极小值 ( f (x)在点x0处取得极大值可类似证 明) 即在点x0的邻域(x0 , x0 ), ( 0)内, 有f (x) f (x0 ).
在 (a,b)使f ( ) 0.
证 :由定理2.5知: f (x)在[a,b]内必有最大值 M与最小值m.
(1) :当M m时,则f (x)在[a,b]内是常数函数 ,故f (x) 0, x [a,b].从而命题成立 .
(2) :当M m时,由f (a) f (b)知: 最大值M与最小值m至少有一个在开区间(a,b)
(x)
x2
cos 1 x
x 0,则f (x)在[1,1]连续, (1,1)可导.
0
x0
则f (1) f (1), 故存在 (1,1), 使f ( ) 0.
但f
( x)
2x
cos
1 x
sin
1 x
x 0在x 0点不连续.
0
x0
例: 证明方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根.
定理4.1(费马定理)的逆命题不一定正确. 例: f (x) x3,则f (x) 3x2,故f (0) 0,但x 0不是f (x)的极值点. 通常, 称使f (x) 0的点x为f (x)的驻点(临界点).
定理4.2(罗尔中值定理) :设f (x)在[a,b]内连续,在(a,b)内可导.若f (a) f (b),则必存
由于 f (x0 )存在,故 f(x0 ) 和 f(x0 )都存在,且f (x0 ) f(x0 ) f(x0 ).
故,当x (x0 , x0
)时, 有
f
(x) x
f (x0 ) x0
0,
当x (x0
, x0 )时, 有
f
(x) x
f (x0 ) x0
0.
从而f (x0 )
f ( x0
内的某一点处取得,即f ( ) M (或f ( ) m).
此时有f
( )
f
(x), x O ( ) (a,b),其中
max{b ,
2
a}
0;
(或f
( )
f
(x), x O
( )
(a, b), 其中
max{b ,
2
a}
0).
故为f (x)的一个极值点.而f (x)在极值点可导,由费马定理知 : f ( ) 0.
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
f (x0 )
f ( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0. x x0
f (x0 ) 0
定理4.1(费马定理)的几何意义: 若y f (x)在极值点处有切线,则该切线平行于x轴,即切线的斜率为零.
注: y f (x)在极值点处可能没有切线,即在极值点处可能不可导. 例: f (x) x ,则x 0为极小值点,但f (x)在x 0处不可导,即没有切线.
证 : f (0) 1 0, f (3) 1 3 9 27 13 0. 23 2
第四章 中值定理与导数的应用
4.1、微分中值定理
定义4.1: 设f (x)在点x0的某一领域O (x0 )内有定义, 若f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )),x O (x0 ),则称f (x0 )为f (x)的一个极小值(或极大值). 这时称x0为f (x)的一个极小值点 (或极大值点 ). 极小值与极大值统称为极值. 极小值点与极大值点统称为极值点.
例: f (x) x2,则Baidu Nhomakorabea 0为f (x)的一个极小值点. 存在领域O (0),使当x O (0)时, f (x) f (0).
例: f (x) x2,则x 0为f (x)的一个极大值点. 存在领域O (0),使当x O (0)时, f (x) f (0).
例: f (x) k(k为常数), 则任何一点 x0都是为f (x)的一个极大值点与极小 值点. 对任何一点 x0 , 存在领域 O (x0 )使当x O (x0 )时, f (x) f (x0 )且f (x) f (x0 ). 例: f (x) x3,则x 0不是f (x)的一个极值点. 因为不存在 x 0的一个领域 O (0)使当x O (0)时, f (x) f (0)或者f (x) f (0).