冲刺985讲义：三角与向量
高考数学复习点拨向量与三角交汇的全面解析新人教A版
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（ 1） a·b及 a b ；
（ 2）若 f (x) a·b 2 a b 的最小值是
3 ，求 的值．
2
解析：（ 1） a·b
3x x cos ·cos
3x x sin ·sin
cos2 x ；
22
22
ab
2
3x
x
cos cos
2
2
2
3x
x
sin sin
2
2
2 2cos2 x 2 cos2 x ．
② 当 0 ≤ ≤ 1 时，当且仅当 cosx
时， f (x) 取得最小值
12Βιβλιοθήκη 2，由已知 ③当
2
12
3 ，解得 2
1时，当且仅当 cosx
1． 2 1时， f (x) 取得最小值 1 4 ，
由已知得 1 4
3 ，解得 2
5 ，这与 8
1 相矛盾．
综上所述，
1 即为所求．
2
点评： 本题是以平面向量的知识为平台， 考查了三角函数的有关运算， 运用了分类讨论
向量与三角交汇的全面解析
当今数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性．向量是高中新增内容，
具有代数与几何形式的双重身份． 它是新旧知识的一个重要的交汇点， 是联系这些知识的桥
梁．因此，向量与三角的交汇是当今数学命题的必然趋势，下面举例说明．
一、向量与三角函数性质的交汇
例 1 已知向量 a cos 3x，sin 3x ， b cos x， sin x ，且 x 0，π ，求：
4cos AcosB 4sin AsinB 5cosAcosB 5sin AsinB ， 即 9sin A·sin B cosAcosB 0 ．
三角与向量的主要知识点
三角与向量的主要知识点2.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） (1)周期性 ①函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T② 函数)tan(ϕω+=x A y 的周期是ωπ=T （2）单调性．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；（3）奇偶性①)sin(ϕω+=x A y 为奇函数)(Z k k ∈=⇔πϕ)sin(ϕω+=x A y 为偶函数)(2Z k k ∈+=⇔ππϕ②)cos(ϕω+=x A y 为奇函数)(2Z k k ∈+=⇔ππϕ)cos(ϕω+=x A y 为偶函数)(Z k k ∈=⇔πϕ（4）对称性把x ωϕ+看作一个整体，由x y sin =的对称性得)sin(ϕω+=x A y 的对称性 由x y cos =的对称性得)cos(ϕω+=x A y 的对称性，由x y tan =的对称性得)tan(ϕω+=x A y 的对称性（5）)sin(ϕω+=x A y 图像的画法①五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图：设ϕω+=x t ，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。
②变换法画图：可以先平移再伸缩，也可以先伸缩再平移，但需要注意的是每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
2．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；3.三角函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。
三角向量复习讲义
高三数学期末复习讲义——三角与向量1.已知ABC ∆中的内角为,,A B C ，重心为G ，若2s i n 3s i n 0A G A BG B C G C ⋅+⋅+⋅=，则cos B = .2.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六 条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O 为中心﹐其中x，y分别为原点O 到两个顶点的向量﹒若将原点O 到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a xb y+ 的形式﹐则a b +的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53.在三角形ABC 所在平面内有一点P 满足222222PA BC PB CA PC AB +=+=+ 则P 点是三角形ABC 的 心。
4.已知⎩⎨⎧=+--=+-+0cos sin cos cos 10sin sin sin cos 1βαβαβαβα，则sin α的值为 .5.定理：三角形的外心O 、重心G 、垂心H 依次在同一条直线（欧拉线）上，且13OG OH =，其中外心O 是三条边的中垂线的交点，重心G 是三条边的中线的交点，垂心H 是三条高的交点．如图，在△ABC 中，AB AC >，AB BC >，M 是边BC 的中点，AH ⊥BC （N 是垂足），O 是外心，G 是重心，H 是垂心， 1OM =，则根据定理可求得OG HN ⋅的最大值是 ．6.已知O 为ABC ∆的外心，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足CO AB BO CA ⋅=⋅。
（1）推导出三边,,a b c 之间的关系式；（2）求tan tan tan tan A AB C+的值。
ACMN H O G7.在△OAB 的边OA ,OB 上分别有一点P ,Q ,已知||:||＝1:2, ||:||＝3:2,连结AQ ,BP ,设它们交于点R ,若＝a ，＝b . (1)用a 与 b 表示OR ；(2)过R 作RH ⊥AB ,垂足为H ,若| a |＝1, | b |＝2, a 与 b 的夹角],32,3[ππ∈θ的取值范围.8. 如图已知△ABC 中，AB=l ，AC=2，∠BAC=120°，点M 是边BC 上的动点，动点N 满足∠MAN=30°，3AM AN=⋅(点A 、M 、N 按逆时针方向排列)。
高考数学大一轮复习讲义专题三三角函数与平面向量第2讲三角变换与解三角形(pdf)
(1)求边 c 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值． 思维启迪 cos B 2a b (1)将 ＋ ＋ ＝0 中的边化成角，然后利用和差公式求 cos C，进而求 c.(2)只需求 ab 的最 cos C c c a2＋b2－c2 和 C＝ 解
cos B 2a b (1)∵ ＋ ＋ ＝0，∴ccos B＋2acos C＋bcos C＝0，∴sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0， cos C c c
1 2π a ∴sin A＋2sin Acos C＝0，∵sin A≠0，∴cos C＝－ ，∵C∈(0，π)，∴C＝ ，∴c＝ · sin C＝ 3. 2 3 sin A 1 a2＋b2－3 (2)∵cos C＝－ ＝ ，∴a2＋b2＋ab＝3，∴3ab≤3，即 ab≤1. 2 2ab 1 3 3 ∴S△ABC＝ absin C≤ .∴△ABC 面积的最大值为 . 2 4 4 思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统 一，问题便可突破． 几种常见变形： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中 R 为△ABC 外接圆的半径； (3)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C. (1)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝ 2a， b 则 ＝________. a π (2)在△ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若 c2＝(a－b)2＋6， C＝ ， 则△ABC 的面积是________． 3
1＋sin β π π (2)(2014· 课标全国Ⅰ)设 α∈(0， )，β∈(0， )，且 tan α＝ ，则 2α－β＝________. 2 2 cos β 思维启迪 2 (1)利用和角公式化简已知式子，和 cos(α＋ π)进行比较． 3
高考数学文科生高效提分热点解读之三角函数与平面向量
高考数学文科生高效提分热点解读之三角函数与平面向量佚名高考是人生的一种阅历，一次考验，更是一次锻炼。
不是有人说，没有历经过高考的人生是不完整的人生。
在高考中，要取得理想的效果，其数学效果起到关键的作用。
距离高考还有不到40天了，这个时分是冲刺的黄金阶段。
如何抓好这个时间段的温习至关重要，针对大少数文科考生来说，毋容置疑，其单薄环节就是数学。
那么作为文科生考前数学应怎样温习？考前提分的关键又何在？热点二三角函数与平面向量三角函数与平面向量在高考中的题量大致是三小一大，分值约为28分。
从近几年的高考来看，三角函数小题的命题热点有：一是应用诱导公式、同角三角函数的基本关系及特殊角的三角函数值的求值效果〔容易题〕；二是应用两角和与差的三角函数公式求值或化简三角函数式后求周期、单调区间、对称轴或对称中心〔中档题〕；三是三角函数的图像和性质的综合运用〔属于中档偏难题〕。
平面向量的命题热点是：一为向量的坐标运算〔容易题〕；二为向量的几何运算〔中档题〕；三为向量与函数、三角函数、不等式的综合题〔属于中档偏难题〕。
在温习中要多加留意三角函数公式与正余弦定理、三角形面积公式的联络及变形技巧，注重三角函数式中角与角的差异，思索函数称号间的差异，经过火析化异为同，要能熟练作出三角函数的图像，同时关注数形结合的思想在解题中的作用。
以及经过树立直角坐标系将向量的几何运算代数化，而应用三角形法那么战争行四边形法那么将平面向量的代数运算用几何方式来表达。
考点1三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质是高考考察的重点，三角函数的图像是处置三角效果的重要工具，正确应用〝五点法〞〔三个平衡点，两个最值点〕作出三角函数的简图是解题的关键，函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕、f〔x〕=Acos〔ωx+φ〕及f〔x〕=Atan〔ωx+φ〕可经过〝五点法〞来决议A,ω,φ的值。
考点2三角恒等变换三角恒等变换的基本公式是诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式，其中同角三角函数的基本关系和二倍角的三角函数公式的变方式的运用。
备战高考数学一轮复习(热点难点)专题31 “形影不离”的三角与向量的综合问题
专题31 “形影不离”的三角与向量的综合问题考纲要求:1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 基础知识回顾:1．平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2，或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22.(3)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin (α±β)＝sin αcos β ± cos αsin β；cos (α∓β)＝cos αcos β ± sin αsin β； tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝αα2tan 1tan 2-.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2. 4．辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，其中sin ϕ＝b a 2＋b2，cos ϕ＝aa 2＋b 2.5.正弦定理及变形：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．变形：(1) a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2) a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C . 6．余弦定理及变形：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ． 变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab .应用举例:类型一、向量与三角函数相结合【例1】【2017年全国普通高等学校招生统一考试数学江苏卷】 已知向量a =（cosx ,sinx ）, (3,3=-b , []0,πx ∈. （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时， ()f x 取到最大值3； 5π6x =时， ()f x 取到最小值23-.（2）()()(πcos ,sin 3,33cos 3sin 23cos 6f x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭. 因为[]0,πx ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 从而π31cos 6x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 于是，当ππ66x +=，即0x =时， ()f x 取到最大值3； 当π6x π+=，即5π6x =时， ()f x 取到最小值3-点睛:（1）向量平行： 1221a b x y x y ⇒=P ， ,0,a b b R a b λλ≠⇒∃∈=P ，BA AC OA λ=⇔=u u u v u u u v u u u v111OB OC λλλ+++u u u v u u uv ；（2）向量垂直： 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=；（3）向量加减乘： a b ±= ()221212,,||,cos,x x y y a a a b a b a b ±±=⋅=⋅．【例2】【贵州省遵义市第四中学2018届高三上学期第一次月考】 已知向量()23cos ,2m x =-v， ()2sin ,cos n x x =v， ()f x m n =⋅v v． （1）当8x π=时，求()f x 的值；（2）若,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()31f x =，求cos2x 的值．【答案】(1)6228fπ--⎛⎫=⎪⎝⎭；(2)3cos2x=-．类型二、向量与解三角形相结合【例3】【湖北省部分重点中学2018届高三起点考试】已知，其中，，．(1)求的单调递增区间；(2)在中，角所对的边分别为，，，且向量与共线，求边长b和c的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析; （1）根据向量数量积的公式进行化简得到的解析式，再结合三角函数的辅助角公式进行转化求解，由正弦函数的单调区间可求的单调递增区间．（2）根据条件先求出A的大小，结合余弦定理以及向量共线的坐标公式进行求解即可．【例4】【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】的内角所对的边分别为，已知向量，，.（1）若，，求的面积；（2）求的值.【答案】(1)；(2)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为﹣1，利用平面向量数量积运算法则计算列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出A的度数，由a与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出△ABC的面积；（Ⅱ）原式利用正弦定理化简后，根据A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入关系式整理后约分即可得到结果．试题解析：（1）∵∴∵∴由得，∴∴（2）点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 方法、规律归纳:1.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 2.利用向量解三角形问题的一般步骤为：第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系；第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系； 第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形； 第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答． 实战演练:1．【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】已知向量33cos2,1cos ,a b αα⎛⎛==- ⎝⎭⎝⎭v v . （1）当//a b vv 时，求cos α的值；（2）当1cos 2α=-时， ()21,3x a t b y ka tb =+-=+v vv v (,k t 为实数），且x y ⊥，试求kt 的最小值.【答案】(1) cos 0α=或1cos 2α=;(2) 132-.中，角A, B, C所对的边为a, b，2．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期期中考试】在ABCc ,()()2sin ,cos m x A x =-r，()()sin ,1n B C =+r， ()f x m n =⋅r r ，若3A π=（1）求函数()f x 的图象的对称点；（2）若7a =,且ABC ∆的面积为103，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）7,06k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）20.（2）113sin 10340222ABC S bc A bc bc ∆==⋅== ()222212cos 49222a b c bc A b c bc bc =+-⇒=+--⋅ ()23b c bc =+- ()212013b c b c =+-⇒+=∴71320ABC C a b c ∆=++=+=.3．【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考】已知向量()2,sin m α=v ， ()cos ,1n α=-v，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥v v .（1）求sin2α和cos2α的值； （2）若()10sin 10αβ-=，且0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β. 【答案】（1）4sin25α=， 3cos25α=-；（2）4πβ=. 【解析】试题分析：（1）由已知得2cos sin 0αα-=，从而由22cos sin 1αα+=即可得cos α和sin α，由二倍角公式即可得解；（2）由()sin sin βααβ⎡⎤=--⎣⎦利用两角差的正弦展开即可得解. 试题解析：4．【河南省南阳市2017年秋期高中三年级期中】已知向量()()[]cos ,sin ,3,3,0,a x x b x π==-∈r r.（1）若//a b rr ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅rr ，求函数()y f x =的最大值和最小值及对应的x 的值.【答案】（1）56x π=；（2）0x =时()max 3f x =； 56x π=时()min 23f x =- 【解析】试题分析：（1）根据向量的平行即可得到3cos 3sin x x -= ， 3tan 3x =-，问题得以解决；（2）根据平面向量的数量积公式和两角的正弦公式可得()23cos 3sin 23sin 3f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+⎪⎝⎭r r ，再利用余弦函数的性质即可求出结果.试题解析：（1）()()[]cos ,sin ,3,3,0,,//a x x b x a b π==-∈r Q r rr ，3cos 3sin x x ∴-=即35tan ,36x x π=-∴=. （2）()23cos 3sin 23sin 3f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+⎪⎝⎭r r []2250,,,333x x ππππ⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦Q ∴当2233x ππ+=时，即时()max 3f x =； 当2332x ππ+=，即时()min 23f x =-.5．【江西省宜春昌黎实验学校2018届高三第二次段考】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()21,2,cos2,cos 2A m n A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1m n ⋅=. (Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 若223b c a +==ABC 为等边三角形. 【答案】(1) 3A π=；(2)见解析.因为1m n ⋅=，所以22cos cos 1A A +=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 因为0A π<<，所以3A π=． (Ⅱ)在△ABC 中， 2222cos a b c bc A =+-，且3a =所以222221322b c bc b c bc =+-⋅=+-， ① 又23b c +=，所以23b c =， 代入①整理得22330c c -+=，解得3c =所以3b =3a b c ===，即ABC V 为等边三角形．点睛：利用向量的数量积转化为关于cos A 的一元二次方程，继而求出角A 的大小，在遇到边长的数量关系时可以运用正弦定理或者余弦定理求得边长，证得三角形形状。
高考专题高三数学《考前指导》3三角、向量
2014届高三数学《考前指导》专题三三角函数、平面向量（本专题内容来自必修4、必修5）一、知识归纳三角部分1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。
2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，如tg +tg tg(+)=1tg tg αβαβαβ-的变形tg +tg =tg(+)(1)tg tg αβαβαβ-, 二倍角公式22cos2cos sin ααα=-2212sin 2cos 1αα=-=-的变形21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=等。
3、常用的三角变换① 角的变换：主要是将三角函数中的角恰当变形，以利于应用公式和已知条件：如2α=(α+β)+(α-β)2β=(α+β)-(α-β)α=[(α+β)/2]+[(α-β)/2],β=[(α+β)/2]-[(α-β)/2]2α=2α/2=(α+β-β)②函数名称变换：主要是切化弦、弦化切、正余弦互换、正余切互换。
③ 公式的活用主要有公式的正用、逆用、变形用。
通过适当的三角变换，以减少函数种类及项数，降低次数，使一般角化为特殊角。
注意切割化弦通分、降幂和升幂等方法的使用，充分利用三角函数值的变式，如，1=tan450，-1=tan1350,=tan600,=cos600或=sin300,sinx+cosx=2sin(x+),创造条件使用公式。
4、三角函数的图像与性质⑴“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0)的简图，掌握选取起关键作用的五个点的方法：设X=ωx+φ,由取0，π/2，π，3π/2，2π来求相应的x 值，及对应的y 值，再描点作图。
⑵掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图像与函数y=sinx 的图像之间互相交换，提倡先平移后压缩(伸展)，但先压缩(伸展)后平移也经常出现现在题目中，所以也必须熟练掌握。
三角与向量知识点概述
三角函数、平面向量知识点概述河南汤阴一中 高三数学组A 、三角函数一、弧度制1、1弧度是指 。
2、弧度制下的弧长公式为 l = ，扇形的面积公式为S= ;它们是如何推导的？3、弧度与角度的换算 rad _____1= _________1≈=rad4、终边相同的角的集合各象限角的集合坐标轴上的角的集合角α与β角终边关于 x 轴对称，则 ；角α与β角终边关于 y 轴对称，则 。
二、三角函数线1、 画出单位圆中四个象限角的正弦线、余弦线、正切线2、 能够利用三角函数线解三角不等式（即求角的范围）例如：已知cos α21≤,sin 21-≥α, 求α的取值范围。
表示为： 。
5、任意角的三角函数定义6、三角函数的定义域四、“α±2”（k α∈）与α的三角函数间的关系可以概括为： ，其中的“奇、偶”是指__ 的奇偶性，符号是把 看作 时，απ±2k （k α∈）所在象 限原名函数值的符号，变是指：原名正弦变为 ；原名余弦变为 。
五、三角函数的图象1、 用五点法作)sin(ϕω+=x A y 的图象，这五点的坐标为 。
2、 (1)y=sinx 定义域_____值域______增区间____________减区间________。
(2)y=cosx 定义域_____值域__________增区间___________减区间_________.(3)y=tanx 定义域_________值域________增区间_____________(4)奇偶性：y=sinx _______y=cosx ________y=tanx______3、y=Asin()0,0)(>>+ωφωA x 振幅_____周期______频率_____相位_____初相_____4、 三角函数图象写表达式时，一般先求A 、ω，最后求ϕ，求ϕ时一般用5、 图象的变换：写出y=sinx 到y=2sin(2x-6π)的两种不同顺序的变换。
2025届高考数学二轮精讲三角与向量第2讲三角函数的图像与性质含解析
第2讲三角函数的图像与性质学问与方法本专题主要学问为三角函数的图象与性质、函数sin()y A x ωϕ=+.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、相识性质,并要驾驭好“五点法”作图;对函数sin()y A x ωϕ=+图象的探讨,教材实行先探讨某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法支配内容. 1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线探讨正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点探讨函数的性质.(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点);（2）对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”,要特殊留意“每一个值”的要求;(3)正切曲线是被相互平行的直线,2x k k ππ=+∈Z 所隔开的多数支曲线组成的,正切曲线的对称中心坐标为,0,2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z . 2.对于函数sin()y A x ωϕ=+,要留意以下几点.(1)会用“五点法”作函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象.(2)理解并驾驭函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图象和函数sin y x =图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换.详细: : (0) (0)sin sin() || y x y x ϕϕϕϕ><=⇒=+相位变换所有点向左或向右平移个单位长度()()011sin()1y x ωωωϕω<<>⇒=+周期变换：横坐标伸长或缩短到原来的（纵坐标不变）()()101sin()A A y A x A ωϕ><<⇒=+振幅变换：各点纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）留意,若周期变换在前,则一般公式为 sin sin[()]sin(), ||y xy x x ωωϕωωϕϕ==+=+平移变换平移个单位长度sin sin sin()y xy x x ϕωωωϕϕωω⎡⎤⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦平移变换平移个单位长度.(3)当函数sin()(0,0,[0,))y A x A x ωϕω=+>>∈+∞表示一个振动量时,A 叫做振㬏,2T πω=叫做周期,1f T=叫做频率,x ωϕ+叫做相位,ϕ叫做初相.一般结论:函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+(其中,,,x A ωϕ∈R 为常数,且0,0)A ω≠>的周期2T πω=. 数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要娴熟把握三角函数图使的形态特征,并能借典型例题【例1】求函数y .【分析】将复合函数的定义域问题转化为三角不等式问题求解,考虑用图像或单位圆中三角函数线解决.【解析】利用cos y x =的图象(图1)或单位圆(图2)知:在一个周期[,]ππ-内,满意1cos 2x 的解为33x ππ-,故所求函数的定义域为 {}|22,33x k x k k ππππ-++∈Z .图1图2【点睛】本题是求复合函数的定义域问题,应先确定使二次根式、三角函数有意义x 的的取值范围,易错误提示：当列出有关tan x 的式子时,应留意其中隐含的条件. 如解3tan 3x,利用tan y x =的图象(图3)或单位圆(图4)得,,62x k k k ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭Z【例2】函数()(1)cos f x x x =+在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为【分析】本题为含正切与余弦的三角函数在某一区间上求值域的问题,一般化为同角且同名的三角函数,转化为探讨形如()sin()f x A x ωϕ=+的式子在某一区间上的值域.【解析】由已知得()(1)cos cos 2sin6f x x x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭. 因为33x ππ-,所以662x πππ-+,所以1sin 126x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,所求值域为[1,2]-.【点睛】先利用三角函数公式将已知函数化为()sin()f x A x ωϕ=+的形式,再利用正弦函数的性质可得所求的值域,解题时要留意定义域的范围和A 的符号.【例3】已知1sin sin 3x y +=,则2sin cos y x -的最大值是_________.【分析】本题为由两个不同角的三角函数关系，求解不同角、不同名、不同次函数sin y -2cos x 的值域问题.一般解法为消元,依据已知条件将sin y 用sin x 表示,利用三角函数的基本关系式将2cos x 用sin x 表示,所求的式子昁般化为关于sin x 的二次式,其中整理得到22111sin cos sin 212y x x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭,最终利用sin x 的取值范围,结合二次函数图象进行求解. 【解析】因为1sin sin 3x y +=,所以1sin sin 3y x =-.函数()222212111sin cos sin 1sin sin sin sin 33212y x x x x x x ⎛⎫-=---=--=-- ⎪⎝⎭.又因为1sin 1y -,所以121sin 1,sin 133x x ---.当2sin 3x =-时,2sin cos y x -取最大值49.【点睛】解本题主要利用了同角三角函数的基本关系式、正角函数的有界性、二次函数的图象与性质.解题关键在于消元,将目标式2sin cos y x -转化为关于sin x 的二次式,这里确定sin x 的取値范围2sin 13x -是一个易错点.事实上sin 1x =-不成主,否则sin y 413=>,冲突.【例4】函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是_________.【分析】令sin cos x x t +=,借助sin ,cos x x 的平方关系进行换元,将三角函数转化为关于t 的二次函数,由二次函数图象的对称轴和单调性求出最值.【解析】令sin cos x x t +=,则[4t x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.对sin cos x x t +=平方,得212sin cos x x t +=,所以21sin cos 2t x x -=.所以2211(1)122t y t t -=+=+-,值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】三角函数运算中和(sin cos )x x +、差(sin cos )x x -、积(sin cos )x x 存在着亲密的联系.如2222(sin cos )12sin cos ,(sin cos )(sin cos )2,(sin cos )x x x x x x x x x x ±=±++-=+2(sin cos )4sin cos x x x x --=等.在做题时要害于视察,进行相互转化.本题在换元时,留意[t ∈. 【例5】函数sin 2cos xy x=+的最大值是_______.【分析】本题涉及异名三角函数的分式型函数sin cos a x b y c x d +=+,可用反解和三角函数的有界性求最大值;或用二倍角公式、万能公式将正弦、余弦化为半角的正切,利用基本不等式求值;或用斜率的几何㫿义求解. 【解析】解法1：（反解与有界性)去分母可得2cos sin y y x x +=,所以sin cos 2x y x y -=,)2,sin()x y x ϕϕ+=+=其中tan y ϕ=-.由三角函数的有界性知|sin()|1x ϕ+,1,解得33y.解法2：斜率的几何意义) 将sin 2cos xy x =+化为sin 0cos (2)x y x -=--,y 可看作动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,0)A -连线的斜率k .易得(cos ,sin )P x x 在单位圆221x y +=上,且2yk x =+, 单位圆221x y +=的圆心O 到直线(2)y k x =+的距离1d =, 可得2133,333k k-.解法3：(代数法)由22(2),1y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214410k x k x k +++-=. 令()()4221641410k k k ∆=-+-,可得2133,333kk-.解法4：(半角公式、万能公式、基本不等式)因为()22222222sin cos 2sin cos 2tan sin 222222cos 3cos sin 3tan 2sin cos cos sin 2222222x x x x xx y x x xx x x x x ====+++++-. (分子分母同除以2cos 2x )要使函数sin 2cos xy x =+最大,则tan 02x >.从而22tan 2223233tantan 22tan 2xy xx x===++当且为当tan 2x =.故所求的解法5：由【解析】4得22tan 23tan 2xy x=+,将其化为2tan 2tan 3022x x y y -+=.当0y =时,tan 02x =,成立;当0y ≠时,tan 2x ∈R ,则4430y y ∆=-⋅,得213y .【点睛】本题考查分式型函数sin cos a x b y c x d +=+最大值的求法,用到多种方法求解,体现代数、几何的统一.【例6】已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求： （1）函数()f x 的单调递减区间.(2)函数()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间.【分析】本题探讨三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质,在求单调区间时,一般将ωτϕ+看作一个整体,将正弦函数的单调区间代入求解,同时留意,A ω的符号对增减的影响.【解析】(1)原函数化为()sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,求函数()f x 的单调递减区间等价于求y =sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间.令222,232k x k k πππππ--+∈Z ,解得5,1212k x k k ππππ-+∈Z .故函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)函数()f x 的单调递䧕区间与区间[,0]π-取交集即可.函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,经分析可得k 只能取0和1-.故()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间为,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】解本题的关健是先把所给函数式化为标准形式()sin()f x A x ωϕ=+,应留意ω>0,把x ωϕ+看作一个整体,依据正弦函数的单调性列出不等式,求得函数的递减区间的通解.若要求某一个区间上的单㑉区间,则对通解中的k 进行取值,便可求得函数在这个区间上的单调区间.【例7】已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则函数()f x 的图象的一条对称轴方程是（）A.12x π= B.6x π= C.512x π= D.3x π= 【分析】本题已知函数()f x 的最小正周期,先利用周期性求得三角函数的【解析】式,再进一步探讨其图象对称轴方程的求法.【解析】1结合函数()f x 的周期公式22T πω=,得1ω=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于函数在对称轴处取到最值,将选项代人()f x 的【解析】式检验即可,故选 C. 【解析】2由【解析】1知()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令2()32x k k πππ-=+∈Z ,解得5()212k x k ππ=+∈Z .所以直线512x π=是()f x 图象的一条对称轴,故选 C.【点睛】本题解题的关键是先由周期公式求得ω的值,再解决对称轴问题.求解对称轴方程有两种方法:一种是干脆求出对称轴方程;另一种是依据对称轴的特征(即对称轴处的函数值为函数的最值)解决.同样地,求解对称中心也类似.【例8】若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则实数a =______.【分析】三角函数的图象直观体现了三角函数的性质,主要特征是对称性、值域和单调性.解决问题时应先把三合函数的综合表达式转化为标准式,再进行处理.【解析】解法1：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3x π=对称,则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即12=+,解得a =解法2:若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则21(0),132f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解得a解法3：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3x π=对称,则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.又()(sin cos )cos sin f x a x x a x x '=+'=-,即cos sin 033a ππ-=,解得a .故【点睛】正弦函数在对称轴处取到最值.解本题的关䱓是求a 的值,由图象关于直线x =3π对称得33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而求求a 的值,过程比较困难.若换用特殊值点来求,小2(0)3f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,留意()()f a x f b x -=+,则()f x 的图象关于直线2a b x +=对称;而()y f a x =-与()y f b x =+的图象关于直线2a bx -=对称. 【例9】若函数()2sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于随意x ∈R ,都有()()12()f x f x f x ,则12x x -的最小值为（）A.4πB.2πC.1D.2【分析】本题考查三㓩函数定义,三角函数周期的求法,以及计算实力和理解实力.【解析】由题意知()1f x 和()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值,故12x x -的最小值为函数的半周期.又周期2T =,故12x x -的最小值为1.答案为C .的最小值就是函数的半周期,求解即可.*一般地,函数12()sin sin f x x x ωω=+的周期为112T πω=和222T πω=的最小公倍数,但函数()sin 2sin f x x x π=+不是周期函数,不存在周㖵.易错警示:考虑到|sin |,|cos |x x 的周期均为π,则|sin ||cos |y x x =+的周期为π.此为错误会法.【例10】已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求它的振幅、周期和初相.(2)用“五点法”作出它的图象.(3)2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =的图象经过怎样的变换得到? 【分析】熟识三角函数图象的特征,掌用“五点法”作图不图象变换.【解析】(1)2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的振幅为2、周期为π、初相为3π. (2)列表如下.所作图象如下.(3)【解析】解法1：(先平移后伸缩)先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度,得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;再将横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;最终将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解法2：(先伸缩后平移)先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;再将图象向右平移12π个单位长度,得sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;最终将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的图象,以“五点法”作图求解最为便利,但必需清晰它的图象与函数sin ,cos y x y x ==图象问的关系,弄清怎样由函㪇sin ,cos y x y x ==图象变换得到.要留意,在不同的变换中依次可以不同,平移的单位长度可能不同.【例11】已知函数()sin 0,2y A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个周期的图象如图所示.(1)写出解析式.(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标. (3)求函数的单调区间.【分析】本题为已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求三角函数的解析式等问题.一般观点(“五点法”)求ϕ.【解析】(1)由图象知振幅32A =,周期T π=,所以22T πω==,所以3sin(2)2y x ϕ=+.代人初始点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得22,2,63k k k ππϕπϕπ⎛⎫⨯-+==+∈ ⎪⎝⎭Z .又||2πϕ<,所以3πϕ=,函数的解析式为3sin 223y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)令232x k πππ+=+,得212k x ππ=+,对称轴方程为()212k x k ππ=+∈Z . 令23x k ππ+=,得26k x ππ=-,对称中心坐标为,0()26k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z . (3)令222232k x k πππππ-++,得51212k x k ππππ-+.所以函数的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .令3222232k x k πππππ+++,得71212k x k ππππ++.所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象求函数的解析式,一般将“五点法”逆用求解,留意,A ω对ϕ影响,进而由sin y x =探讨sin()y A x ωϕ=+的性质. 【例12】已知()sin (0),363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,则ω=________________.【分析】由三角函数的图象和性质确定参数的值.【解析】因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,所以36Tππ-,故26ππω,所以12ω.又直线4x π=为函数()f x 图象的一条对称轴,且14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故2432k πππωπ+=-,所以()1083k k ω=-∈Z . 结合012ω<知,143ω=. 【点睛】由三角函数的图象和性质确定参数的值,留意区间范围.【例13】设函数()()4sin 21f x x x =+-,则在下列区间上,函数()f x 不存在零点的是（ ） A.[]4,2-- B.[]2,0- C.[]0,2D.[]2,4【分析】由三角函数的图象和性质确定方程的根或零点.【解析】解法1：画出函数()4sin 21y x =+与y x =的图象,它们在区间[]4,2--上没有交点.故选A.解法2：考虑方程()4sin 21x x +=在指定区间上是否有解.令21x t +=,则12t x -=. 考虑方程1sin 8t t -=在区间][][][7,3,3,1,1,5,5,9⎡⎤---⎣⎦上是否有解.作图发觉函数sin y t =和18t y -=的图象在区间[]7,3--上无交点,从而方程()4sin 21x x +=在区间[]4,2--上无解.故选A.【点睛】将求方程()()0f x g x -=的根变换为求()y f x =和()y g x =图象的交点.强化训练1.求函数lg(sin )y x =-.【解析】定义域为sin 0,tan 1.x x <⎧⎨⎩由sin 0x <得角x 的终边位于图中的x 轴下方;由tan 1x 得角x 的终边位于图中的阴影部分(包含y x =).2.在函数的一个周期[)0,2π内,满意以上两个条件的x 的范围是53,242xx ππππ<<<. 故定义域为5224xk x k ππππ⎧+<+⎨⎩∣或3222,2kx k k ππππ⎫+<<+∈⎬⎭Z2.已知cos3y a b x =-的最大值为32,最小值为12-,求实数a 与b 的值.【解析】当0b <时,因为cos3y a b x =-的最大值为32、最小值为12-, 所以31,22a b a b -=+=-, 解得1,12a b ==-. 当0b >时,因为cos3y a b x =-的最大值为32、最小值为12-, 所以31,22a b a b +=-=-,解得1,12a b ==. 当0b =时,cos3y a b x =-不满意条件. 综上所述,1,12a b ==-或1,12a b ==. 3. 已知223sin 2sin 2sin x y x +=,则22sin sin x y +的最大值为_______,最小值为___________.【答案】4,09【解析】由223sin 2sin 2sin x y x +=得223sin sin sin 2y x x=-所以2222111sin sin sin sin (sin 1)222x y x x x +=-=--+. 由于223sin sin sin 02y x x =-,由已知条件知sin 0x ,所以32sin 10,sin 0,23x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦, 故222114sin sin (sin 1)0,229x y x ⎡⎤+=--+∈⎢⎥⎣⎦4. 函数sin cos (0)sin cos 1x x y x x x π=<<-+的值域是________.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】令sin cos x x t -=,则4t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为0x π<<,所以3444x πππ-<-<,sin 124x π⎛⎫-<- ⎪⎝⎭,则12t -<.对sin cos x x t -=平方得212sin cos x x t -=,所以21sin cos 2tx x -=.所以()211212t t y t --==+,值域为1,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.5. 函数2sin 1sin 2x y x +=-的值域是________.【答案】13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】解法1:(反解表示与有界性)去分母可得sin 22sin 1y x y x -=+,即12sin 2yx y +=-. 由三角函数的有界性知,1212yy +-,整理得23830y y +-,解得133y-.故值域是13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解法2：(常数分别法)函数2sin 152sin 2sin 2x y x x +==+--.因为1sin 1x -,所以3sin 21x ---,111sin 23x ---,则133y -.故值域是13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.6. 已知ω是正数,函数2sin y x ω=在区号,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,求ω的取值范围.【解析】解法1:函数2sin y x ω=在区间,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,故0ω>且23ππω,从而302ω<.解法2：由题意知0ω>.因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以,32,,,3422,42x ωππωπωπππωωππ⎧--⎪⎪⎡⎤⎡⎤∈-⊆-⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩即3,22,ωω⎧⎪⎨⎪⎩故302ω<. 7.若函数()sin ([0,2))3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ等于（）A.2πB.23πC.32πD.53π【答案】C【解析】()f x 为偶函数,函数()f x 的图象关于直线0x =对称,则()3,3322k k k ϕπππϕπ=+=+∈Z . 又[)0,2ϕπ∈,得32πϕ=.故选C.8.若函数()sin cos (,f x a x b x a b =-为常数,0,)a x ≠∈R 在4x π=处取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（） A.偶函数,且它的图象关于点(,0)π对称B.偶函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.奇函数,且它的图象关于点(,0)π对称D.奇函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】C【解析】因为函数()sin cos f x a x b x =-图象的对称轴是直线4x π=,则()02f f π⎛⎫=⎪⎝⎭,得b a -=,所以()sin cos sin 4f x a x a x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()3sin sin 4f x x x ππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭为奇函数且其图象关于点(),0π对称. 故选C9.为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是________. 【答案】1972π【解析】至少须要1494个周期,即11972197491,442T ππωω⨯=⨯. 10.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图像不行能是（）【答案】D【解析】对于选项A ,可得振幅01a <<,则周期22T aππ=>;对于选项B ,可得当振幅1a >时,周期2T π<;对于选项C ,可得0a =,图象符合;选项D 不符合要求,它的振幅1a >,则2T π<,但周期反而大于了2π.故选D.11.已知函数()tan()0,||,()2f x A x y f x πωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.A.向右平移4π个单位长度B.向左平移4π个单位长度C.向右平移12π个单位长度D.向左平移12π个单位长度【分析】本题为已知三角函数()1sin y A x ωϕ=+与()2sin y A x ωϕ=+,探讨两者图象间的变换问的.【解析】sin3cos333412y x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.先将函数名变为相同,3326y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,再将其图象向右平移12π个单位长度即可.答案为 C.【点睛】将sin y x ω=变换为sin()y x ωϕ=+时,留意先提取ω,得x x ϕωϕωω⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,即ysin()sin x x ϕωϕωω⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,函数名化相同.进行平移变换应留意平移对象、函数名和平移量.12.已知函数()tan f x x ω=在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,则ω的取值范围是________________. 【答案】302ω-< 【解析】由题意知0ω<,且一个单调递减区间为,22ππωω⎛⎫-⎪⎝⎭,故23ππω-.于是302ω-<.13.设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个解12,x x ,3x ,则123x x x ++=________________.【答案】73π【解析】2sin 3x a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ,结合函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的图象可知,当a =时,恰有三个解.不妨设123x x x <<,其中12,x x 关于直线6x π=对称,32x π=,所以12373x x x π++=.。
教师高一数学复习讲义(向量、三角变换)
高一数学复习讲义向量、三角变换一、知识感悟（具体知识点详见前复习讲义）1．向量作为数学工具，在前几年的高考命题中，主要考查用向量知识解决夹角和距离等问题，随着新课标的推行和普及，在高考命题中，本内容将会越来越受重视，用向量知识解决物理问题，进行学科之间的交叉和渗透也是将来的一种命题趋势。
（1）向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小。
正确理解向量的有关概念是解决向量基本题的关键，需注意零向量等特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可。
向量的基本运算可以类比于物理矢量作图和运算。
（2）向量的共线定理和基本定理是向量章节的核心内容，特别是基本定理，需要理解其本质（即物理中力的分解），用基底表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果。
（3）平面向量的数量积是向量的核心内容，高考的一个命题点，重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题。
（4）向量的坐标表示，其原理是平面向量的基本定理，其实质是把向量问题转化为实数的运算问题，其核心是数形结合；向量解题首先得确定选择何种向量（纯向量、坐标形式）来解题。
（5）用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算、性质、法则，推出所要求证的结论。
要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件及几何性质的应用。
2．解答三角恒等变换问题，首先要求熟练记忆公式，并通过一定的训练提高恒等变形能力，三角求值是今后高考命题的重点内容；三角恒等变换主要涉及三类题目：化简、求值和证明，具体使用公式常有三用：正用、逆用、变用。
3．三角函数式的变换要遵循“三看”原则。
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有项数尽量少，次数尽量低，尽量不含分母，尽量不含根式等。
三角与向量基础知识提要(一)
三角与向量基础知识提要三角函数与向量可以合在一起考查，也可以分开来对各自分别考查.下面分别对三角和向量的一些答题技巧进行介绍.1、对三角函数的考查一般有4种情形：（1）求特殊角的函数值和应用诱导公式的计算（尤其是对文科），或应用221cos sin αα=+变换的计算;如：已知：tan 2,α=求cos 23sin cos ααα-的值.可以这样处理： 222222cos sin 3sin cos cos sin 3sin cos cos 23sin cos 1cos sin ααααααααααααα-----==+ 以下可以有两种方式：（Ⅰ）利用tan 2α=得：sin 2cos αα=，222222cos sin 3sin cos 9cos 9cos sin 5cos 5αααααααα---==-+（Ⅱ）2222cos sin 3sin cos cos sin αααααα--+的分子分母都乘经21cos α，得222222cos sin 3sin cos 1tan 3tan 9cos sin 1tan 5ααααααααα----==-++. （2）通过选择题的形式来考查图象的平移、伸缩、对称等基本变换;（3）通过三角变换：降幂——配角——化成一次一角一弦sin()y A x ωϕ=+B +的形式，求最值、周期，单调性或进行图象变换;（4）利用三角形性质和正、余弦定理来解三角形.特别地:（Ⅰ）锐角三角形的任意两个内角的和是钝角.改换一个思考角度就好容易想通了，若有两个内角之和是锐角或直角，则第三个角不是锐角，与“锐角三角形的内角都是锐角”的要求不符.最典型的锐角三角形是等边三角形.(Ⅱ)夹角为060或0120角的余弦定理的特殊情形使用较多，要熟练掌握.如△ABC 中，222c a b ab =++，即 222002cos120120c a b ab C =+-⇒=，而用22201cos 120222a b c ab C C ab ab +--===-⇒=也是对的，只是显得不太熟.而把正弦定理记成2,2,2sin sin a b c R R R sinA B C ===更容易变化些. 如22sin sin a R a R A A=⇔= sin 2a A R⇔=，用前述转化式子更容易理解：△ABC 中，边的齐次关系与各边对角正弦的齐次关系可相互转化.如222222sin sin sin sin sin c a b ab C A B A B =+-⇔=+-.△ABC 中，sin sin a b A B <⇔<.利用余弦理也容易得到：cos cos ,cos cos ,cos cos a B b A c b C c B a c A a C b +=+=+=(Ⅲ) △ABC 中，sin()sin ,cos()cos ,sincos ,cos sin .2222A B C A B C A B C A B C +++=+=-==，其它几个类似.2、对向量的考查多以小题的形式来加以考查.有两个知识点是常考的： （1）向量加法、减法运算的插入法：AB AC CB =+ 或AB PB PA =- ，把此处的点C 和点P 看成是插入点，可以不需要看图形，插入点可以是任意的.如:已知,2,CD DE = ,OE xOC yOD =- 则x = ,y = .此处点O 不一定是坐标原点.解答此题不需要看图，可以利用插入法直接解答.由2,CD DE = 得31222322OD OC OE OD OE OD OC OE OD OC -=-⇒=-⇒=- ，对比 ,OE xOC yOD =- 知31,22x y ==.由此还可以总结出一个结论：有共同起点的三个向量.终点共线⇔三个向量中的任意一个向量都等于其它两个向量的实数倍数和，且倍数相加等于1.如：3122OE OD OC =- 中，OE 表示成了OD 和OC 的实数倍数之和，OD 的实数倍数32和OC 的实数倍数12-的和是1. （2）平行和垂直的判定：用数量积判断垂直.数量为0⇔垂直.还可以用数量积的几何意义解决解几问题. 平行也可以用向量有实数关系来加以判定，特别是用坐标来判定平行，也是一个常用的方法.。
2025届高考数学二轮精讲三角与向量第6讲平面向量的基本定理及坐标表示含解析
第6讲 平面对量的基本定理及坐标表示学问与方法本专题主要学问为平面对量基本定理及坐标表示,驾驭向量加法、减法、数乘对应的坐标运算.1.平面对量的基本定理假如12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的随意向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+. 留意:（1）基底向量不唯一,关键是它们不共线;（2）利用定理可将任一向量a 在给出基底12,e e 的条件下进行分解; （3）当基底给定时,分解形式唯一.2.平面对量的坐标表示在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个不共线单位向量,i j 作为基底,对于平面内的一个向量a ,由平面对量基本定理知,有且只有一对实数,x y 使得a xi yj =+,则把有序数对(),x y 叫做向量a 的坐标,记作(),x y =a .3.平面对量的坐标运算(1)设()()1122,,,A x y B x y ,则()2121,AB x x y y =--. (2)若()()1122,,,x y x y ==a b ,则()()()1212121211,,,,,x x y y x x y y x y λλλ+=++-=--=a b a b a .4.向量平行的坐标表示设()()1122,,,x y x y ==a b ,则1221//0x y x y ⇔-=a b . 典型例题【例1】设12,e e 是两个不共线的向量,已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-,若,,A B D 三点共线,求k 的值.【分析】由于,,A B D ≡点共线,则有AB BD λ=,将BD 用向量12,e e 表示,由平面对量基本定理得到关于,k λ的方程组,求出k 的值.更高更妙的百题讲坛中学数学(三角与向量)N 【解析】因为121212122,234AB k BD CD CB =+=-=---=-e e e e e e e e ,由题意,设AB BD λ=,则121224k λλ+=-e e e e .由平面对量基本定理知,2,2,48.k k λλλ⎧==⎧⇒⎨⎨=-=-⎩⎩所以8k =-.【点睛】本题由三点,,A B D 共线得到AB BD λ=,其实还可以得到AB mAD =或AD mBD =(,m n 为常数),但不能得到AB pCD =(p 为常数).若AB pCD =,则只能说明向量,AB CD 共线,它包含AB 与CD 所在的直线平行与重合两种状况. 【例2】设向量,a b 不共线,则关于x 的方程2x x ++=a b c 0解的状况是（） A.至少有一个实数解 B.至多有一个实数解 C.至多有两个实数解 D.可能有多数个实数解【分析】待求的式子是个向量等式,不是关于x 的一元二次方程,将向量,a b 看作基底,等式变形为2x x =--c a b ,故系数存在且唯一.【解析】将等式变形为2x x =--c a b ,因为向量,a b 不共线,所以由平面对量基本定理知,有且只有一对实数12,λλ,使12a b λλ=+c 成立,因此221122,,x x λλλλ⎧-==-⎨-=⎩,故选B. 【点睛】本题很有创意,它的题眼是两个向量,a b 不共线,此类问题常要运用平面对量基本定理加以解决.专题6平面对量的基本定理及坐标表示【例3】已知向量()()1,2,,1,2,2,//k ===+=-a b αa b βa b αβ,求实数k 的值. 【分析】先求出向量,αβ的坐标,再依据共线向量条件确定k 的值. 【解析】解法1：由已知得()()()21,22,121,4k k =+=+=+αa b ,()()()221,2,12,3.k k =-=-=-βa b因为//αβ,所以存在λ使得λ=αβ,即()()()()21,42,32,3k k k λλλ+=-=-,则()212,43,k k λλ⎧+=-⎨=⎩解得4,31.2k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12k =.解法2：因为()()21,4,2,3k k =+=-αβ,且//αβ, 所以()()321420k k +--=,因此12k =. 【点睛】解法2运用了向量平行的坐标表示,留意此时不要把12210x y x y -=错记为12120x x y y -=或12210x y x y +=.【例4】(多选题)如图,设,Ox Oy 是平面内相交成角2πθθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的两条数轴,12,e e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy 为θ仿射坐标系.若12OM xe ye =+,则把有序数对(),x y 做向量OM 的仿射坐标,记为(),OM x y =.在23πθ=的仿射坐标系中,设()()1,2,2,1==-a b ,则下列结论正确的是（）A.()1,3-=-a bB.=aC.⊥a bD.a 在b 上的投影向量为314-b 【分析】本题是斜坐标系问题,斜坐标系与直角坐标系不同(直角坐标系为正交分解),解题的关键在于紧扣新定义,进行向量的相关计算.其中a 在b 上的投影向量为2⋅⋅⋅=⋅a b b a bb b b b.【解析】对于选项()()121212A,223-=+--=-+a b e e e e e e ,则()1,3-=-a b ,故选项A 正确;对于选项B,====a 故选项B 正确; 对于选项()()22121211223C,2223202⋅=+⋅-=+⋅-=-≠a b e e e e e e e e ,故选项C 错误;对于选项D,由于b ===,故a 在b 上的投影向量为3321477-⋅⋅=⋅=-a b bb b b b,故选项D 正确.故选ABD.【点睛】本题是新定义问题,解题的关键在于紧扣新定义,进行向量的坐标运算、模的计算、向量a 在b 上的投影向量的计算以及向量的数量积的计算.【例5】如图,在同一个平面内,已知向量,,OA OB OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α,且tan 7,OB α=与OC 的夹角为45.若OC mOA =+(),nOB m n ∈R ,则m n +=_____.【分析】本题入ロ比较宽,解法多样,可以采纳坐标法求解,也可在等式OC =mOA nOB +的两边分别乘以,OA OB ,进而得到关于,m n 的二元一次方程组,解出,m n ,或者将OC 分解到,OA OB 两个方向上求解.【解析】解法1：以OA 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则有()1,0A .因为tan 7α=,所以722sin ,cos 1010αα==.又2OC =,所以有()()()17,,cos 45,sin 4555C B αα⎛⎫++ ⎪⎝⎭,即34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为OC mOA nOB =+,所以1734,,5555m n n ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即13,5574,55m n n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得5,47.4m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3m n +=.解法2：如图,由tan 7α=得722sin ,cos 1010αα==.依据向量的分解得cos45cos sin45sin 0,n m n m αα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩即0,210n =⎪-=⎪⎩解得5,47.4m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故3m n +=.解法3：因为1,15OC OA OC OB ⋅=⋅=,所以()3cos 455OA OB α⋅=+=-,即()()1,51,mOA nOB OA mOA nOB OB ⎧+⋅=⎪⎨⎪+⋅=⎩所以31,5531,5m n m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得5,47.4m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3m n +=. 解法4：过点C 作//,//CM OB CN OA ,分别交线段,OA OB 的延长线于点,M N ,则,OM mOA ON nOB ==.由正弦定理可得()sin45sin sin 135OM OC ON αα==-.又2OC=由解法3知tan 7α=,得()4sin ,cos ,sin 13510105ααα==-=. 则()()57sin45,sin 44sin 135sin 135OCOC OM ON ααα====--.因为,1OC mOA nOB OM ON OA OB =+=+==,所以57,44m n ==.故3m n +=. 【点睛】明确两个向量相等的充要条件,它们的对应坐标相等,其实质为平面对量基本定理的应用.依据向量的数量积公式得到关于,m n 的方程组,解出,m n .【例6】如图, 在 ABC 中, 已知 2,5,,CD DB BA BE AF mAD AG tAC ====(1) 若,AB AC ==a b ,用,a b 表示AD .(2)设1132m,求t 的取值范围.【分析】本题是平面对量基本定理的应用.在第(1)问中,D 是边BC 的三等分点,不难用a ,b 表示AD ;第(2)问可用,AE AG 表示AF ,结合,,E F G 三点共线,其关向量的系数和为1,得到t 关于m 的表达式进行求解.【解析】（1）因为,,2AB AC CD DB ===a b ,所以()()111333BD BC AC AB ==-=-b a . 所以11213333AD AB BD =+=+-=+a b a a b . (2)因为2144,,3355AF mAD m AG t AC t AE AB ⎛⎫==+====⎪⎝⎭a b b a ,所以115,,4AD AF AC AG AB AE m t ===. 又21213333AD AB AC =+=+a b ,所以12511343AF AE AG m t=⨯+⨯. 又,,E F G 三点共线,所以1516,6352t m m t t =+=+.又1132m,所以1613522tt +,即22137t.故t 的取值范围是22,137⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【例7】设 G 为 ABC 的重心, 过点 G 作直线 l , 分别交线段 ,AB AC (不与端点重合) 于点,P Q .若,AP AB AQ AC λμ==.(1)求11λμ+的值.(2)求λμ的取值范围.【分析】先用基底,AB AC 表示AG ,视察到,,P G Q ≡点共线,转而用,AP AQ 表示AG ,从而得到关于,λμ的等式.利用第(1)问中,λμ的关系式,采纳消元法可求λμ的取值范围. 【解析】解法1：(1)如图,连接AG 并延长,交BC 于点M ,则M 是BC 的中点.设,AB AC ==b c ,则()()()1121,2233AM AB AC AG AM =+=+==+b c b c 又,?AP AB b AQ AC c λλμμ====(2),所以()111,333PQ AQ AP PG AG AP μλλλ⎛⎫=-=-=-=+-=-+ ⎪⎝⎭c b b c b b c . 因为,,P G Q 三点共线,故存在实数t ,使PG t PQ =,所以1133t t λμλ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭b c c b ,则1,31,3t t λλμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 消去t 得13λλμ-=-,即113λμ+=.解法2：(1)因为()12,,,23AM AB AC AG AM AP AB AQ AC λμ=+===,所以311122AG AP AQ λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又,,P G Q 三点共线,所以311122λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即113λμ+=.（2）因为(),0,1λμ∈,所以()0,131λμλ=∈-,所以1,12λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即()11,2λ∈. 22211133113924λλμλλλλ===-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭, 其中,当132λ=时,213λλ-+有最大值94;当11λ=或2时,213λλ-+有最小值2. 所以λμ的取值范围是41,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】连接AG 并延长,交BC 于点M ,则M 是BC 的中点.设,AB AC ==b c ,依据AP =,AB AQ AC λλμμ===b c ,用,b c 表示,PQ PG ,然后由,,P G Q 三点共线求解.对于特别状况,如当直线l 与BC 平行时,23λμ==,则113λμ+=.【例8】已知平面单位向量,αβ满意2,3π-=<αβα>,求()12t t -+αβ的最小值. 【分析】由2,3π-=<αβα>可知α与β的夹角,将2t β变为2t ⋅β,这样就出现,2αβ的系数1,t t -的和为1,然后利用三点共线求解;或者将所求式子平方,转化为关于t 的二次函数,求最小值.【解析】解法1：设,OA OB ==αβ,令()()1212OP t t t t =-+=-+⋅αβαβ.平面单位向量,αβ满意2,3π<-=αβα>,即,,-αββα构成等边三角形OAB .作12OB =β,得到Rt 1OAB ,由题意可得1,,P A B 三点共线.所以OP 的最小值为1OA =.解法2：已知平面单位向量,αβ满意2,3π<-=αβα>, 则由向量的减法意义得,,-αββα构成等边三角形OAB ,则12⋅=αβ. 所以|()()222212(1)414311t t t t t t t -+=-+-⋅+=+αβαβ, 即()12t t -+αβ的最小值为1.【点睛】向量的模常用平方解决,对于三点共线,点到直线的距离,可用其几何意义解决. 【例9】如图,在扇形 OOO 中, 已知 ∠OOO =120∘, 点 O 为圆弧 OO 上的一个动点.若OC xOA yOB =+,则x y +的取值范围是_____.【分析】本题利用平面对量基本定理求解x y +的取值范围.做题时要寻求与动点C 在,OA OB 方向上的分解关系,可利用正弦定理和余弦定理,建立坐标系、等和线的方法解题.【解析】解法1：(正弦定理)过点C 作//CE OB ,交OA 于点E ,作//CF OA ,交OB 于点F ,则OC OE OF xOA yOB =+=+,即,OE xOA OF yOB ==.设扇形OAB 所在圆的半径为1,在OEC 中,1,,OC OE x OF CE y ====.记,0,120COA ∠θθ⎡⎤=∈⎣⎦,由正弦定理可得()sin60sin sin 120OC OE CE θθ==-,()sin sin 120x yθθ==-,所以sin 120x y θ-==,所以()()[]sin 120sin 2sin 301,23x y θθθ⎡⎤+=-+=+∈⎣⎦. 解法2：(向量平方与余弦定理)设扇形OAB 所在圆的半径为1,将(),0OC xOA yOB x y =+的等号两边平方得22||()OC xOA yOB =+, 即22221,10x xy y x xy y =-+-+-=,则2210y xy x -+-=.(判别式)令x y t +=,代人2210y xy x -+-=,消去x 可得223310y ty t -+-=, 则()2222Δ91211230,4t t t t =--=-.又1t x y =+,所以12x y +.（基本不等式）221x xy y -+=,即2()31x y xy +-=，故22()1332x y x y xy +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,则2()4x y +.又1,,,1OC OE x OF CE y x y ====+,所以12x y +.(三角换元)221x xy y -+=,即223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.令cos sin 2y x y αα-==,则cos ,x y ααα==.故()cos 2sin 302x y ααα+==+.又1,,,1OC OE x OF CE y x y ====+,所以12x y +.解法3(坐标法)以OA 所在直线为x 轴建立如图所示的坐标系,则()()11,0,,cos ,sin 2A B C θθ⎛-⎝⎭,其中0,120θ⎡⎤∈⎣⎦.()()1cos ,sin 1,02OC x y θθ⎛==+- ⎝⎭所以1cos ,2sin ,x y y θθ⎧-=⎪⎪=则cos ,x y θθθ==.故()[]cos 2sin 301,2x y θθθ+==+∈.解法4(等和线法)设OC 交AB 于点,P OC OP λ=.由点C 从点A 到点B 运动的过程可得12λ.又,,,OC OP xOA yOB A P B λ==+三点共线,则,12x y x y λ=++.【例 10】设点 O 在 ABC 内, 且 230OA OB OC ++=, 则 AOB 与 AOC 的面积之比 为_____.【分析】要求两个三角形的面积之比,关键是确定点O 的位置.解法1采纳补形法,若记112,3OB OB OC OC ==,则110OA OB OC ++=,可知点O 为11AB C 的重心,利用重心相关性质解决;解法2将3OC 拆分为2OC OC +,分别和,2OA OB 配对,从而找出点O 的详细位置; 解法3利用奔驰定理解决.【解析】解法1：将OB 延长至点E ,使2OE OB =,将OC 延长至点F ,使3OF OC =,则0OA OE OF ++=,所以O 是AEF 的重心.所以1111,3926AOCAOFAEF AOBAOEAEFSS S SS S ====,故:3:2AOB AOCSS=.解法2230OA OB OC ++=化为()()20OA OC OB OC +++=.解法2：分别取,AB AC 的中点,E F ,则20OF OE +=.故21122343AOCFOCABCABCSS SS ==⨯⨯=,1126BOCAOC ABC S S S ==,1111362AOBABCABCSS S ⎛⎫=--=⎪⎝⎭,所以:3:2AOB AOCSS=.解法3（奔驰定理）设,,BOC COA AOB 的面积分别记作,,A B C S S S ,则0A B C S OA S OB S OC ++=. 因为230OA OB OC ++=,所以:3:2AOBAOCSS=.【点睛】三角形重心将一个三角形面积分成相等的三部分,解答的关键是三角形面积公式的运用.【例11】已知 O 是平面上的定点, ,,A B C . 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满意OP OA =()[),0,AB AC λλ∞++∈+,则点P 的轨迹肯定通过ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心【分析】解本题须要扎实的平面几何学问,重心是三角形中线的内分点,所分中线的比为2:1. 【解析】设BC 的中点为D ,则由平行四边形法则可知2,AB AC AD OP OA AP +=-==2AD λ,点P 在BC 的中线AD 所在的射线上,所以动点P 的轨迹肯定通过ABC 的重心.故选C.【点睛】在解题的过程中,将平面对量的有关运算与平行四边形的对角线相互平分及三角形重心性质等相关学问奇妙结合.强化训练1.已知非零向量1e 和2e 不共线.(1)假如()121212,28,3AB BC CD =+=+=-e e e e e e ,证明:,,A B D 三点共线. (2)要使12k +e e 和12k +e e 共线,试确定实数k 的值.【解析】(1)()()()1212121228335555BD BC CD AB =+=++-=+=+=e e e e e e e e . 所以BD 与AB 共线,且有公共点B ,因此,,A B D 三点共线. （2）因为12k +e e 与12k +e e 共线,所以存在λ使()1212k k λ+=+e e e e ,则()()121k k λλ-=-e e . 因为1e 与2e 不共线,所以0,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得1k =±.2.设a 是已知的平面对量且0a ≠,关于向量a 的分解,有如下四个命题. (1)给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;(2)给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;(3)给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ; (4)给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c . 上述命题中的向量,b c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题有（） A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】由向量加法的三角形法则可知①是真命题;由平面对量的基本定理可知②是真命题;以a 的终点为圆心作半径为μ的圆,这个圆必需和向量b λ有交点,这个不肯定能满意,所以③是假命题;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边之和大于第三边,即必需λμλμ+=+b c a ,如当1,2λμ==>a 时,不成立,所以④是假命题.3.设向量()()3,4,sin ,cos αα==a b ,且//a b ,则tan α=（） A.34B.34-C.43D.43-【答案】A【解析】因为向量()()3,4,sin ,cos αα==a b ,且//a b ,所以3cos 4sin 0αα-=,得3tan 4α=. 4.如图,设,Ox Oy 是平面内相交成60角的两条数轴,12,e e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若12OP xe ye =+,则把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.假设()2,2OP =,则OP =（）A. B.【答案】B【解析】依据题意,若()2,2OP =,则()1212222OP =+=+e e e e ,()()2222121122||44212OP =+=++=e e e e e e ,故23OP = 5.如图,已知平面内有三个向量,,OA OB OC ,其中OA 与OB 的夹角为120,OA 与OC 的夹角为30,且1OA OB ==,23OC =若(),OC OA OB λμλμ=+∈R ,则λμ+的值为_____.【答案】6【解析】以OC 为对角线构造平行四边形OMCN ,点,M N 分别在射线,OA OB 上. 因为OA 与OB 的夹角为120,OA 与OC 的夹角为30,则90,30BOC AOC ∠∠==.因为1,23OA OB OC ===,所以2,4ON OM ==,故6λμ+=.6.在OAB 中,设11,,,32OA OB OM ON ====a b a b ,试用,a b 表示OP .【解析】解法1:设(),OP x y x y =+∈R a b , 因为11,,,32OA OB OM ON ====a b a b , 所以13MP OP OM x y ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭a b ,13MB OB OM =-=-+a b因为//MP MB ,所以13113x y -=-,即13y x =-. 同理,12NP OP ON x y ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭a b ,12NA OA ON a =-=-b因为//NP NA ,所以12112y x -=-,即12x y =-,解得12,55x y ==. 故1255OP =+a b . 解法2：因为3,OP x y xOM yOB M =+=+a b ,,P B 三点共线,所以31x y +=. 又因为2,,,OP x y xOA yON N P A =+=+a b 三点共线,所以21x y +=, 解得12,55x y ==.故1255OP =+a b . 7.已知M 是ABC 的边BC 的中点,过点M 作直线,与,AB AC 分别交于点,P Q ,且,AP mAB AQ nAC ==,则m n +的最小值是_____.【答案】2 【解析】因为()1,,2AM AB AC AP mAB AQ nAC =+== 所以1112AM AP AQ m n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 又,,P M Q 三点共线,所以11112m n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即112m n+= 所以()111.2222n mm n m n m n m n ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=++ ⎪⎝⎭.当1m n ==时,m n +有最小值2. (特别状况当PQ 与BC 重合时,111,2m n m n==+=,也可求解) 8.已知向量,,a b c 满意1,2,3===a b c .若0⋅=b c ,当[]0,1t ∈时,()1t t ---a b c 的取值范围是_____.【答案】1,4⎤-⎥⎦【解析】设,,OA OB OC ===a b c . 令()1OP tb t c =+-,则点P 在线段BC 上.()1t t PA ---=a b c 表示单位圆上的点A 与线段BC 上的点P 的距离,如图.又1,2,3===a b c ,3OP .所以()11,4t t ⎤---∈-⎥⎦a b c . 9.在矩形ABCD 中,已知1,2AB AD ==,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为（ ）A.3B. D.2 【答案】A【解析】解法1：如图,建立平面直角坐标系xBy .设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆C 的方程是224(2)5x y -+=. ()()() ,1,0,1,2,0.AP x y AB AD =-=-=则 ,AP AB AD λμ=+若 2,, 21,1.x x y y μμλλ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨-=-⎪⎪=-⎩⎩则解得 所以12xy λμ+=-+. 设12x t y λμ=+=-+,即102x y t -+-=,又(),P x y 在圆224:(2)5C x y -+=上,则圆心到直线的距离25d =,解得13t .故λμ+的最大值为3.解法2：如图,利用等和线可得,点P 在BD 上,1λμ+=; 若点P 在2l 上,则3λμ+=. 所以13λμ+,即λμ+的最大值为3.10.已知ABC 的外接圆的半径为1,圆心为点O ,且3450OA OB OC ++=,则ABC 的面积为（）A.85B.75C.65D.45【答案】C【解析】由题意知1OA OB OC ===. 由3450OA OB OC ++=得345OA OB OC +=- 等号两边平方得9162425OA OB ++⋅=, 故0OA OB ⋅=,即OA OB ⊥. 同理可得4cos ,5OB OC =-,3cos ,5OA OC =- 故34sin ,,sin ,55OB OC OA OC ==. 65ABCAOB BOC AOCSSSS=++=. 11.已知O 是平面上的定点,,,A B C 是平面上不共线的三个点,动点P 满意OP[),0,cos cos AB AC OA AB B AC C λλ∞⎛⎫⎪=++∈+ ⎪⎝⎭,则动点P 的轨迹肯定通过ABC 的 A.重心B.垂心C.外心D.内心【答案】B 【解析】由已知得cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭,所以cos cos AB BC AC BC AP BC AB B AC C λ⎛⎫⋅⋅ ⎪⋅=+ ⎪⎝⎭ ()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B AC C πλ⎡⎤-⎢⎥=+⎢⎥⎣⎦()0BC BC λ=-+=所以AP BC ⊥,即AP BC ⊥. 故动点P 的轨迹通过ABC 的垂心.21。
【三角与向量专题 高考数学复习】第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式-解析版
第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式知识与方法本专题主要涉及的知识为三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式.在学习过程中,要会利用定义、公式求解三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式,体会并理解数形结合、转化与化归的思想方法. 1.弧度制和角度制的换算:180rad π︒=;变形:1801rad,1rad 57.3180ππ⎛⎫︒==︒≈︒ ⎪⎝⎭. 弧长公式||l r α=,扇形的面积公式12S lr =.2.象限角、终边相同的角的集合表示.3.任意角的三角函数概念.用单位圆上的点坐标表示锐角三角函数,在此基础上定义任意角的三角函数.设(,)P x y 是单位圆与任意角α的终边的交点,则sin ,cos ,tan yy x xααα===.直接用定义研究三角函数的定义域、函数值的符号、诱导公式以及同角三角函数的基本关系.在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形,得出同角三角函数的平方关系22sin cos 1αα+=,商数关系sin tan cos ααα=.(1)三角函数的终边比值定义在平面直角坐标系xOy 中,设(,)P x y 是角α的终边上的任意一点,记sin ,cos ,tan (0)y yx x r r xααα===≠.(2)同角三角函数的基本关系变形:2222111tan cos cos 1tan αααα+=⇔=+.典型例题【例1】若角α是第三象限象限角,则2α是第_______象限角.【分析】此题为已知角α终边所在象限,求半角2α所在象限问题.常用方法为由例所给的条件先写出α的集合,再求出2α的范围,注意对整数k 进行讨论.【解析】解法1：因为角α是第三象限角,设322,2k k k πππαπ+<<+∈Z ,则3,224k k k παπππ+<<+∈Z .当2,k n n =∈Z 时,322224n n παπππ+<<+,则2α是第二象限角;当21,k n n =+∈Z 时,3722224n n παπππ+<<+,则2α是第四象限角.故2α是第二或第四象限角.解法2：(八卦图法)如图,将平面直角坐标系各象限分成两份,按逆时针方向依次标注记为1,2,3,4,标满为止.由于角α是第三象限角,现在看标有3的数字在图中哪些象限,注意到第二、四象限均有3,所以2α是第二或第四象限角.【点睛】已知角α终边所在象限,求半角2α终边所在象限,可对整䍩k 分两类讨论,即2k n =,21()n n +∈Z .若是求三分之一角3α终边所在象限,可对整数k 分三类讨论,即3k n =,31,32()n n n ++∈Z ;也可用八卦图法,将坐标系各象限分成3份,按逆时针方向依次标注1,2,3,4,标满为止,然后观察求解.当求2α㚵边所在象限时,不要忽略终边在坐标轴上的情况.【例2】(1)若60,10cm r α=︒=,求扇形的弧长l .(2)已知扇形的周长为10cm ,面积为24cm ,求扇形的圆心角弧度.(3)若扇形的周长为20cm ,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? 【分析】已知扇形的圆心角和半径,求解长䌸和面积时应注意两种度量单位之间的换算,合理运用计算公式;若已知扇形的周长和面积的值,求圆心角弧度数只要建立关于半径r 和弧长l 的等式,解方程组即可.【解析】(1)弧长10cm 3l r πα==.(2)由题意得210,14,2r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得1,8r l =⎧⎨=⎩或4,2.r l =⎧⎨=⎩所以圆心角的弧度(882l r απ==>,舍去)或12α=.(3)由题意得220,202r l l r +==-,所以扇形的面积()222110(5)25cm 2S lr r r r ==-+=--+. 当5cm r =时,面积达到最大,此时弧长10cm l =,圆心角弧度2α=. 【点睛】解题时注意圆心角弧度值小于2π.【例3】已知角α的终边经过点(4,3)(0)P m m m -≠,则2sin cos αα+=________. 【分析】任意角的三角函数是用单位㘣来定义的,若角α的终边上的点P 不在单位图上,则可考虑终边比值定义.若角α的终边位置不确定,则需对可能的情况进行分类讨论.【解析】点P 到原点的距离||5||0r OP m ==>. 由三角函数的定义知,34sin ,cos 5||5||ym x m r m r m αα-====. 若0m >,则34sin ,cos 55αα==-,故22sin cos 5αα+=;若0m <,则34sin ,cos 55αα=-=,故22sin cos 5αα+=-. 综上可得,22sin cos 5αα+=±.【点睛】任意角的三角函数可用终边比值定义,也可用单位圆定义,注意||0OP r =>.本题中0m ≠,应该对m 分0m >和0m <两种情况讨论.【例4】若sin 0α<,且tan 0α>,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限【分析】任意角的三角函数涉及角所在的象限、函数名、符号.由角α某一三角函数符号判定其所在象限时,注意口诀“-全正、二正弦、三正切、四余弦”.【解析】由sin 0α<可知,角α的终边在第三象限或y 轴负半轴或第四象限. 由tan 0α>可知,角α的终边在第一象限或第三象限. 综上可得,角α的终边在第三象限,故选C .【点睛】三角函数在各个象限的符号规律为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.当sin 0α<时,注意角α的终边可能会在y 轴负半轴上;当sin 0α>时,角α的终边可能会在y 轴正半轴上.余弦值也类似.【例5】满足1cos 2α-的角α的集合为________.【分析】由某一三角函数值的范围求相应角的范围,常借助单位圆中的三角函数线或三角函数图象进行求解.【解析】已知1cos 2α-,如图.当1cos 2α=-且[0,2]απ∈时,23πα=或43πα=.由角α的终边与单位圆交点的横坐标得 2422,33k k k πππαπ++∈Z .所以角α的集合为{}24|22,33k k k ππαπαπ++∈Z .【点睛】解三角不等式可用单位圆法或三角函数图象法.对单位圆中的三角函数线可进行拓展学习,注意正弦线、余弦线、正切线的位置和方向. 【例6】已知,sin 2cos ααα∈+E 则tan α=________.【分析】已知角α的某一三角函数值,求其余三角函数值,一般先用平方关系,再用商数关系.本题涉及角α两个三角函数值的关系,借助“知二求一”的规律进行解方䅣组求解. 【解析】解法1：(利用平方关系和解方程(组)思想)由22sin 2cos sin cos 1αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得222cos )cos 1αα+=,即25cos 40αα-+=,解得cosα=于是1sin tan 2αα==.解法2：(化齐次式和“1”的代换) 等号两边平方得2(sin 2cos )5αα+=,即222222sin 4sin cos 4cos tan 4tan 45,5sin cos tan 1ααααααααα++++==++, 整理得24tan 4tan 10αα-+=,解得1tan 2α=.另外,由2(sin 2cos )5αα+=得()2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos αααααα++=+,即224sin 4sin cos cos 0,2sin cos 0αααααα-+=-=,解得1tan 2α=,解法3：:(构造对偶式)利用22(sin 2cos )(cos 2sin )5αααα++-=,得cos 2sin αα=,于是1tan 2α=.解法4：:(利用辅助角公式)因为sin 2cos sin cos )αααααϕ+==+能取最大值,所以sinαα=解1tan 2α=.解法5：（极值处导数值为0)利用辅助角公式,sin 2cos αα+则最大值处导数值为0. 等号两边求导得cos 2sin 0αα-=,即1tan 2α=.【点睛】本题利用弦切互化解方程的常规思路可求;由于条件给出的是特殊形式,考虑将等号两边平方,转化成齐次式,通过齐次式求解;若满足sin cos a b αα+=,则tan a bα=;从导数的角度很容易理解,()sin cos ()f x a x b x x =+∈R ,若()f α取得最值或极值,则必有()0f α'=.解题时应注意角的范围及三角函数值的符号.【例7】已知tan 2α=,求： (1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+的值;(2)25sin 3sin cos 2ααα+-的值.【分析】已知角α的某一三角函数值,求其余三角函数值,一般先用平方关系,再用商数关系.已知tan 20α=>,得sin 2cos αα=,结合平方关系,分角α位于-、三象限进行讨论,求解sin ,cos αα,该方法较烦琐;本题中已知tan 2α=,常规方法为“切化弦”,巧用平方关系,进行“1”的代换.【解析】(1)【解析】解法1：由tan 2α=得sin 2cos αα=. 换4sin 2cos 42cos 2cos 65sin 3cos 52cos 3cos 13αααααααα-⨯-==+⨯+. 解法2：原式分子、分母同除以cos (cos 0)αα≠得4tan 265tan 313αα-=+.(2)原式除以22sin cos αα+得()222225sin 3sin cos 2sin cos sin cos ααααααα+-++2222223sin 3sin cos 2cos 3tan 3tan 2165sin cos tan 1ααααααααα+-+-===++. 【点睛】在同角三角函数关系中,已知角的正切值,求齐次式的值有两种常见类型: 类型1:分式型sin cos sin cos a b d αααα++,分子、分母同除以cos (cos 0)αα≠,得到与正切有关的分式;类型2:二次齐次型2sin sin cos a b c ααα++,分母1化为22sin cos αα+,然后将分子、分母同除以2cos (cos 0)αα≠,得到与正切有关的分式.【例】8已知a 是第三象限角,且()3sin()cos(2)tan 2()1sin()tan()f ππαπαααπααπ---+=⋅----.(1)化简()f α.(2)若31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()f α的值. (3)若1860α=-︒,求()f α的值.【分析】利用诱导公式对()f α先化简,再求值,涉及三角恒等变换.在运用诱导公式化简时,可把α当作锐角.【解析】(1)1sin cos tan ()cos 1sin tan f ααααααα⋅==--⋅. (2)因为3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以1sin 5α=-. 又α是第三象限角,于是cos ()f αα==.(3)()()1()1860cos 1860cos1860cos 602f f α=-︒=--︒=-︒=-︒=-.()k ∈Z ”与角α的三角函数关系时,可将角α当作锐角,“奇变偶不变,符号看象限”这里的“奇”“侗”指k 是奇效或是偶数.“变”与不变”指函数名,当k 是奇数时,函数名变为余名函数名;当k 是偶数时,函数名不变.如:在化简31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭左边时,不能把α当作第三象限角;用㤼导公式时,将角α当作锐角.强化训练1.已知集合{}{}|,,|,2442k k M x x k N x x k ππππ==+∈==+∈Z Z ,则（）A.M N =B.M N ⊆C.N M ⊆D.M N ⋂=∅【答案】B【解析】集合M 中的元素()21,214x k k π=++取遍所有奇数,集合N 中的元素()2,24x k k π=++取遍所有整数,故M N ⊆,答案为B .2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2).弧田(如图),由圆弧和其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π、半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米【答案】B【解析】由题意知弦长为矢为422-=.弧田面积()2122292S =+=≈(平方米). 3.若角α的终边过点()8,6sin 30P m --︒,且4cos 5α=-,则m 的值为（）A.12-B.12C.【答案】B【解析】由已知得()8,3,P m r OP --==,所以4cos 5α==-,解得12m =.故选B.4.若点(tan ,cos sin )P θθθ-在第四象限,则[0,2]π内的θ的取值范围是（）A.35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】因为点P 在第四象限, 所以tan 0θ>且cos sin 0θθ-<. 如图,结合单位圆可得,【答案】为B.5.函数()2lg 34sin y x =-的定义域为_________.【答案】,33xk x k k ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣【解析】由234sin 0x ->,得23sin 4x <,故sin x <<. 由角α的终边与单位圆中交点的纵坐标(正弦线)解得,33xk x k k ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 6.定义在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象的交点为P ,过点P 作1PP x ⊥轴于点1P ,直线1PP 与sin y x =的图象交于点2P ,则线段12P P 的长为________.【答案】23【解析】线段12P P 的长即为sin x 的值,其中的x 满足6cos 5tan x x =, 即()2sin 6cos 5,61sin 5sin cos xx x x x=⨯-=, 整理得26sin 5sin 60x x +-=,解得2sin 3x =或3sin 2x =-(舍去). 所以线段12P P 的长为23. 7.若θ是第四象限角且342sin ,cos 55k k k k θθ--==++,则tan 1tan 1θθ+=-__________. 【答案】17- 【解析】因为22sin cos 1θθ+=,所以22342155k k k k --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,解得0k =或8. 由于θ是第四象限角,当0k =时,3sin 5θ=-,4cos 5θ=,满足条件. 于是tan 11tan 17θθ+=--. 当8k =时,512sin ,cos 1313θθ==-不满足条件,舍去. 8.化简:4141sin cos ()44n n n παπα-+⎛⎫⎛⎫-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z . 【解析】原式sin cos 44n n πππαπα⎛⎫⎛⎫=--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对n 的奇偶性讨论. 当n 为偶数时,设2,n k k =∈Z , 原式sin 2cos 244k k πππαπα⎛⎫⎛⎫=--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭))cos sin cos sin 022αααα=-+++=; 当n 为奇数时,设21,n k k =+∈Z , 原式sin 2cos 2)sin cos 4444k k ππππππαππαπαπα⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫=+--+++-=--++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())cos sin cos sin 022αααα=+-+=. 综上,原式0=.。
2025届高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换含解析
第3讲三角恒等变换学问与方法本专题主要学问为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和协助角公式,运用这些公式进行简洁的恒等变换.要驾驭以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,渐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简洁到困难、从特别到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的实力. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式()sin sin cos cos sin ;αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin ;αβαβαβ±= ()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1san tan αβαβαβαβαβαβ±±=±=±形2.二倍角公式sin22sin cos ααα=;22tan sin2;1tan ααα=+2222221tan cos2cos sin 2cos 112sin cos2;1tan αααααααα-=-=-=-⇔=+ 22tan tan2.1tan ααα=-缩角升幂2221sin2(sin cos ),1cos22cos ,1cos22sin ααααααα±=±+=-=.扩角降幂22sin21cos21cos2sin cos ,sin ,cos 222ααααααα-+===.3.协助角公式()sin cos a b αααϕ+=+（其中cos ϕϕ==,协助角ϕ所在象限由点(),a b 的象限确定,tan b a ϕ⎫=⎪⎭. 4.二倍角公式221cos 1cos 1cos sin sin ,cos ,tan .?22222sin 1cos ααααααααα-+-====+ 留意应用特别角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要驾驭三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.典型例题【例1】若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【分析】本题为已知两个角,αβ的和与差的余弦值,求解两角正切值的乘积问题.对于tan tan αβ,一般先“化切为弦”,发觉sin sin tan tan cos cos αβαβαβ=,因此需探求角,αβ的同名三角函数值,分子恰为两角和与差的余弦公式的变形与应用.【解析】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=. 两式分别相加、相减得21cos cos ,sin sin 55αβαβ==,故sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 【点睛】要擅长将三角恒等变换公式绽开,利用四则运算进行公式变形.将tan tan αβ转化为sin sin cos cos αβαβ,运用已知两角和与差的余弦公式绽开,然后相加、相减可得;若为tan tan αβ,则化为sin cos cos sin αβαβ,利用两角和与差的正弦公式绽开,然后相加、相减可得.【例2】若cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则()cos αβ-=______. 【分析】本题涉及两角差的余弦公式的变形与应用,解决问题的关键在于将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γ,进而求出结论.【解析】因为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,所以22(cos cos )(sin sin )1αβαβ+++=,即()22cos cos sin sin 1αβαβ++=,整理得()22cos 1αβ+-=,所以()1cos 2αβ-=-. 【点睛】将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γ,进而求出结论.该类型题的主要形式有已知sin sin ,cos cos ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()cos αβ-;或已知sin cos ,cos sin ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()sin αβ+. 【例3】已知()sin 22sin αββ+=,且2tan1tan 22αα=-,则()tan αβ+=______.【分析】本题求角αβ+的正切值,涉及的角有2,,2ααββ+,函数名有正弦与正切.从待求目标动身,先利用二倍角正切公式求出α的正切,再将式子()sin 22sin αββ+=,化为关于α+β与α的三角函数值,得到()tan αβ+与tan α的关系求解.【解析】因为2tan1tan 22αα=-,所以22tan2tan 21tan2ααα==-.又()()sin 2sin αβααβα⎡⎤⎡⎤++=+-⎣⎦⎣⎦，所以()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+++=+-+,即()()sin cos 3cos sin αβααβα+=+.等号两边同除以()cos cos ααβ+,得()tan 3tan 6αβα+==.【点睛】要擅长将三角恒等变换公式绽开和变形.在计算过程中留意角的配凑,把末知角用已知角表示,如将2αβ+表示为(),αβαβ++表示为()αβα+-;角α是2α的二倍. 【例4】计算4cos50tan40-=（）1 【分析】本题为三角函数式4cos50tan40-的化简与求值,涉及的角有40,50,函数名和系数均不同,先将正切化为正弦和余弦的商,再通分.利用二倍角公式时,留意到2sin80sin40cos40-中的角有80,40,先将80化为12040-,再将()sin 12040-绽开,合并求解.【解析】原式sin404sin40cos40sin402sin80sin404sin40cos40cos40cos40--=-==()2sin 12040sin403cos40sin40sin403cos40cos40--+-===,答案选C.【点睛】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,留意角的变换和拆角等. 【例5】计算()sin40tan103-.【分析】本题计算()sin40tan103-的值,涉及的角有40,10,三角函数名有正切与正弦,一般先将正切化为正弦和余弦的商,再通分并运用协助角公式进行恒等变换.求解时要充分运用特别角和特别值的隐含关系,留意公式的逆用.【解析】解法1：原式()sin40sin103cos10sin10sin403cos10cos10-⎛⎫=-=⎪⎝⎭132sin40sin10cos1022cos10⎛⎫- ⎪⎝⎭=()2sin40cos30cos10sin30sin10cos10--=2sin40cos40sin801cos10cos10--===-解法2：原式()sin40tan10tan60=-()()sin40tan 10601tan10tan60=-+sin50sin10sin60sin401cos50cos10cos60⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos10cos60sin10sin60sin50cos10cos60+=-⋅()sin50cos 60102sin50cos50sin1001.cos10cos60cos10cos10----====-【点睛】利用同角三角函数的基本关系进行“切化弦”,利用诱导公式、协助角公式、两角和的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,留意角的变换.本题解法1实施转化的方法是利,构建余弦的两角和的关系.解法2则是正切的差角公式的变形应用.【例6】()1sin cos sin cos )θθθθθπ⎛⎫++- ⎪<<的结果是___________. 【分析】,方法是缩角升幂,去根号,加肯定值符号,开方时留意θ的范围是0θπ<<.留意到分子中含有sincos22θθ-,因此分子1sin cos θθ++的处理也化为半角的三角函数.一方面,()1sin cos 1sin cos θθθθ++=++=222sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2222222222θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos sin cos 222θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;另一方面,()21sin cos 1cos sin 2cos 2θθθθθ++=++=+2sincos2cos sin cos 22222θθθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,也就是合理分组、升幂、因式分解、提取公因式.涉及二倍角公式的应用,突出转化思想与运算实力. 【解析】0,cos0222θπθ<<>,原式212sin cos 2cos 1sin cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪=222cos sin cos sin cos 2cos sin cos 222cos 2cos 2θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭===-.【点睛】依题意,可求得cos 02θ>,利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简并约分即可.【例7】已知,sin 2cos ααα∈+=R ,则tan2α=（） A.43B.34C.34- D.43- 【分析】本题为已知同角α的正弦、余弦三角函数值的和,求角α的二倍角的正切值.通常做法是先利用同角三角函数的平方关系,解方程组,解出α的正弦、余弦三角函数值,再求出α的正切值,最终求二倍角的正切.若对原式平方,等号两边同除以“1”,化为关于tan α的二次齐次式,则更为便利.【解析】解法1：由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222cos cos 1αα⎫+=⎪⎪⎝⎭.所以210cos 30αα-+=,解得cos α=.当cos α=,sin 2cos αα==,此时tan 3α=;当cos α=时,sin α=此时1tan 3α=-. 所以tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--. 故选C.解法2：将sin 2cos αα+=平方,得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=. 所以2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos 2αααααα++=+,所以22tan 4tan 45tan 12ααα++=+, 所以23tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--.故选C.【点睛】由题意,结合22sin cos 1αα+=可得sin ,cos αα,进而可得tan α,将其代入二倍角的正切公式求解.【例8】若50,sin 4413x x ππ⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭,求cos2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【分析】此题解法较多,若从条件与结论中角的关系入手,可发觉2242x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.若从诱导公式角度入手,可以把2x 看成是4x π+的“二倍角”.而44x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,从而将单角转化为两角差来处理.若从条件与结论的函数关系入手,可借助cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】解法1：因为04x π<<,所以120,cos 44413x x πππ⎛⎫<-<-== ⎪⎝⎭, 所以120cos2sin 22sin cos 244169x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 留意到442x x πππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 原式cos22413cos 4x x π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法2：因为04x π<<,所以044x ππ<-<.所以12sin sin cos 424413x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以原式sin 22sin cos 242442sin 413cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法3：由5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭绽开得()5cos sin 213x x -=,所以cos sin 13x x -=. 所以)22cos2cos sin cos 4x x x x π==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为22(cos sin )(cos sin )2x x x x -++=,所以cos sin 13x x +=. 故原式2413=. 【点睛】(1)解有条件的三角函数求值题,关键是从条件与结论中角的关系和函数关系入手,变换条件或结论,在变换条件过程中留意角的范围的改变.(2)在恒等变形中,留意变角优先,要依据函数式中的“角”“名”“形”的特点(即有没有与特别角相关联的角;有没有互余、互补的角;角和角之间有没有和、差、倍、半的关系)来寻求已知条件和所求式子之间的关系,从而找到解题的突破口. (3)对于条件求值题,一般先化简,再代入求值.【例9】化简1sin4cos41sin4cos4αααα+-++.【分析】可以考虑正弦、余弦的倍角公式的和与积的互化,2(sin cos )1sin2ααα±=±及1-22cos22sin ,1cos22cos αααα=+=;考虑用余弦倍角公式的升幕形式.【解析】1 原式()()221cos4sin42sin 22sin2cos21cos4sin42cos 22sin2cos2αααααααααα-++==+++()()2sin2sin2cos2tan2.?2cos2sin2cos2ααααααα+==+【解析】2原式()()222222(sin2cos2)cos 2sin 2(sin2cos2)cos 2sin 2αααααααα+--=++-()()sin2cos22sin2tan2.?sin2cos22cos2ααααααα+⋅==+⋅【点睛】对于较困难的三角函数式的化简与求值题,一般先视察式子的结构特征,在娴熟堂握三角函数变换公式的基础上,敏捷运用公式的变形、公式的逆用等.【例10】已知02πβαπ<<<<,且12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求()cos αβ+的值.【分析】本题已知cos ,sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值,要求角αβ+的余弦值.视察已知角和所求角,可作222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的配凑角变换,利用余弦的差角公式求2αβ+的正弦值或余弦值,最终用二倍角公式求角αβ+的余弦值.【解析】因为02πβαπ<<<<,所以,,,24242βπαππαπβ⎛⎫⎛⎫-∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12 93⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以()22239cos 2cos 1212729αβαβ++=-=⨯-=-⎝⎭. 【点睛】“凑角法”是解三角函数题的常用技巧,本题计算角αβ+的余弦函数值,而已知角只有,22βααβ--,因此要将αβ+配凑为22βααβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的二倍.【例11】已知都是锐角,若sin ,sin 510αβ==,则αβ+=______________. A.4πB.34πC.4π和34πD.4π-和34π- 【分析】本题要求角αβ+的大小,一般方法是求其某一三角函数值,结合角的范围求角的大小(或范围).考虑到,αβ都是锐角,0αβπ<+<,为使角的三角函数值唯一,则考虑选用求()cos αβ+.【解析】因为sin ,sin 510αβ==,且,αβ都是锐角,所以cos ,cos 510αβ==.所以()cos cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==. 又()0,αβπ+∈,所以4παβ+=.故选A.【点睛】例已知,αβ的正弦值,依据同角的正弦值与余弦值的平方关系,可分别求出,αβ的余弦值，接下来利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+,然后结合αβ+的取值范围即可求得答案.角αβ+的取值范围这里选用()cos αβ+求解,若选用()sin αβ+求解,应先考虑缩小αβ+的取值范围,否则会产生增解34παβ+=.【例12】已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭R . (1)求()f x 的最小正周期.(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【分析】本题探讨三角函数()f x 的性质,计算化简时利用相关三角恒等变换公式,须要将已知函数式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式,常用公式为协助角公式.【解析】(1) ()sin2cos23sin2cos222f x x x x x ⎫=++-⎪⎪⎭()2sin2cos224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期2T ππω==.(2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以max min?()()2f x f x ==-.【点睛】用二倍角公式降幂,结合协助角公式探讨三角函数的图象与性质.强化训练1.若()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【答案】2-【解析】1sin cos cos sin 5αβαβ+=,3sin cos cos sin 5αβαβ-=,两式分别相加、相减得,21sin cos ,cos sin 55αβαβ==-所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.2.已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则()tan x y -的值是（）A.5B.5-C.5±D.14-【答案】B【解析】已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,两式平方并相加得 ()822cos cos sin sin 9x y x y -+=, 即()5cos 9x y -=. 因为,x y 为锐角,sin sin 0x y -<,所以x y <.所以()sin x y -==()()()sin tan cos 5x y x y x y --==--. 3.求值:tan20tan403tan20tan40++.【解析】原式()()tan 20401tan20tan403tan20tan40=+-+)1tan20tan403tan20tan403=-+=.4.化简2cos10sin20cos20-.【解析】:原式2cos10sin20cos20-=()2cos 3020sin20cos20--=()2cos30cos20sin30sin20sin20cos20+-=sin20sin20cos20+-==5.求值():cos4013tan10+.【解析】原式3sin10cos10cos40cos10+=⨯()2sin 1030cos40cos10+=⨯2sin40cos40sin801cos10cos10===.6.化简()()()()22:cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ-+++-+. 【解析】解法1： 原式=()()1cos 12021cos 120211cos cos 2222θθθθθθ+-++⎛⎫⎫⎛+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭()2212cos2121cos 3sin 24θθθ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=++-111cos21cos21cos232422θθθ+-⎛⎫=-+-⨯⎪⎝⎭34=. 解法2:由余弦的平方差公式得()()22cos cos cos sin αβαβαβ+-=-,所以原式()()()()2cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ⎡⎤=-++--+⎣⎦()()2222cos60cos cos 60sin θθ=--221cos sin 4θθ=+-34=. 7.已知3sin 4cos 0αα-=,则23cos2α+=_______. 【答案】2925【解析】因为3sin 4cos 0αα-=所以4tan 3α=. 所以222222cos sin 1tan 7cos2cos sin 1tan 25ααααααα--===-++, 所以212923cos222525α+=-=. 8.已知1sin cos 2αα=+,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】 【解析】解法1：由1sin cos 2αα=+和22sin cos 1αα+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得11sin 44αα+-+==, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解法2：由1sin cos 2αα=+可得1sin cos 2αα-=,等号两边平方可得3sin24α=,则27(sin cos )4αα+=. 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos αα+=, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 9.设3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,. 【解析】因为3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭.原式cos cos 22αα====-. 10.已知函数(),12f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R .(1)求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. (2)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【解析】(1)164f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-.故4324sin22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 所以27cos212sin25θθ=-=-.从而1722cos2sin23425f ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11.已知()113cos ,cos 714ααβ=-=,且02πβα<<<. (1)求tan2α的值. (2)求β.【解析】(1)因为1cos ,072παα=<<,所以sin tan αα==所以22tan tan21tan 14847ααα===---.(2)因为02παβ<-<,所以()sin αβ-==所以()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317147142=⨯+=.因为02πβ<<,所以3πβ=.12.已知函数()26cos3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,,B C 为图象与x 轴的交点,ABC 为正三角形.(1)求ω的值及函数()f x 的值域.(2)若()0f x =且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.【解析】(1)由已知可得,()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭.所以正三角形ABC 的高为从而4BC =.所以函数()f x 的周期428T =⨯=,即28πω=,4πω=函数()f x 的值域为⎡-⎣.(2)已知()0f x =由(1)有()0043f x x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭即04sin 435x ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭.由0102,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭知0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以03cos 435x ππ⎛⎫+==⎪⎝⎭.故()001443f x x πππ⎛⎫+=++⎪⎝⎭0434x πππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦00sin 243243x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦00sin cos 4343x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦.21。
2020年高考数学(抢分必备知识+高分必做题组)第二部分三角函数与向量课件理
②a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
③sina
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C
.
• (5)三角形“四心”向量形式的充要条件
• 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所 对边长分别为a，b，c则
1．a，b是不共线的向量，若 ＝λ1a＋b， ＝a＋λ2b，其中λ1， λ2∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为( )
B＝21，由△ ABC 为锐角三角形得 B＝π6.根据余弦定理，得 b2＝a2＋c2－
2accos B＝27＋25－45＝7.
∴b＝ 7.故选 B.
答案：B
3．已知 sin α－cos α＝13，则 tan α＋tan1 α＝( )
8
7
A.9
B.3
C.94
D.141
解析：本题考查应用三角函数的基本关系对式子进行化简或求
6．解三角形 (1)常用工具 ①内角和定理；
②诱导公式；
③面积公式：S＝12absin C＝12(a＋b＋c)r＝a4bRc； (其中 r，R 分别为三角形的内切圆与外接圆半径)
④在△ ABC 中， tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C. (2)正弦定理的变式
①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
值．由 sin α－cos α＝31可得(sin α－cos α)2＝19，即 1－2sin αcos α＝19，所
以 sin 2α＝89，则
tan
α＋tan1
α＝csions
αα＋csions
αα＝sin
1 αcos
α＝sin22α＝49.
【备战2021高考-数学】知名机构985文科班精品讲义-三角函数图象与性质
4
C
π
3
D
π
2
典型例题
例7
已知 ， ，直线 和 是函数 图 ω > 0
0<φ<π
π
x=
5π
x=
f (x) = sin(ωx + φ)
4
4
象的两条相邻的对称轴，则 φ = （ ）。
A
π
4
B
π
3
C
π
2
D
3π
4
典型例题
例8
函数 f(x) = tan x 的最小正周期为（ ）。 1+tan2 x
A
π
4
B
⑧对称轴：x
=
kπ +
（ π k
∈Z）。
2
2. 正弦型函数y = A sin(ωx + φ) + B
知识讲解
（1）
①A：影响函数图象偏离中心位置的程度，最大值与最小值的差为2|A|；
②B：影响函数中心位置，将函数图象向上(B＞0)或向下(B＜0)平移|B|个单位；
③ω：影响函数的周期，T = ； 2π |ω|
①定义域： ； π {x|x ≠ kπ + , k ∈ Z} 2
②值域：R；
③单调性：单调递增区间(kπ −
π
, kπ +
（ π )k
∈Z）；
2
2
④奇偶性：奇函数；
⑤周期性：T = π；
⑥对称中心：( kπ , （ 0) k ∈Z） 2
知识纵横2
五点法作图
典型例题
例1 （本小题满分12分） 某同学用“五点法”画函数 f(x) = A sin(ωx + φ) (ω > 0，|φ| < π ) 在某一个周期
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8.[黄冈2017高三上学期期末]函数 的部分图像如图所示，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象.
（1）求函数 的解析式；
（2）在 中，角A,B,C满足 ，
且其外接圆的半径R=2，求 的面积的最大值.
9.[荆、荆、襄、宜七校2017届高三2月联考]已知函数 ， ．
4.[跑错剧场的题]已知F1，F2分别是双曲线 =1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F1，的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若|AB|=|AF2|，∠F1AF2=90°，则双曲线的离心率为()
A． B． C． D．
5
6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角.
(1)证明：B－A＝ ；
(2)求sinA＋sinC的取值范围.
7.[ 2017全国Ⅱ卷理17] 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
（1）求 ；
（2）若 ， 面积为2，求 .
8.[ 2016全国Ⅰ卷理17] 的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知
（1）求C；
（2）若 的面积为 ，求 的周长．
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＋sin2B＋sin2C＝2 sinAsinBsinC，且a＝2，则△ABC的外接圆半径R＝________.
3.如图，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝2 ，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD的面积为4，则AC的长为________.
（Ⅰ）求函数 的值域；
（Ⅱ）已知锐角 的两边长分别为函数 的最大值与最小值，且 的外接圆半径为 ，求 的面积．
12.[荆州中学2017高三1月调研]已知 .
（Ⅰ）求 的最小正周期 及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，求 面积的最大值.
作业
1..已知a，b，c，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________.
冲刺
年月日《三角与向量（1）》
1. [河南安阳高三9月调研测试第16题]在△ 中， ， ， ， , 为 边上的动点且 ，则 的最大值为．
2.[2017全国Ⅰ文11题]△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 ，a=2，c= ，则C=（）
A． B． C． D．
3.[2017广州二模理16]在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD=9，BD=16，∠BDC=90°， ，对角线AC的最大值为.
4.[2017广州二模理16]在△ 中， 分别为内角 的对边， ， ，则△ 的面积的最大值为.
5.在△ 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 边上的高为 ，则 的最大值是（）A. 8 B.6 C. D. 4
6.[2017荆门1月调研]在 中，角 的对边分别为 ，且 ，若 的面积为 ，则 的最小值为.
（Ⅰ）求函数 的值域；
（Ⅱ）已知锐角 的两边长分别为函数 的最大值与最小值，且 的外接圆半径为 ，求 的面积．
10.[荆门a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC.
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若 ＝ ，求 的取值范围．
11.[荆州五县市区2017届高三上期末]已知函数 ， ．