几何模型：一线三等角模型 (最终版)

初中几何模型之“一线三等角模型”
一.【一线三等角概念】
“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.【一线三等角的分类】
2.1 全等篇_同侧
A P
A P
锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧
P
D
P
P
锐角直角钝角
2.3 相似篇_同侧
D
C
A B
P
P
锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧
P
D
P
P
锐角直角钝角
三、【性质】
1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α
2=α3易得△AEC∽△BDE.
2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。

3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟
如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)
如图 3-3，当∠1=∠2 且1902
BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.
5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）
图 3-5
四、【“一线三等角”的应用】
1.应用的三种情况.
a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；
c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.
注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.
2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.
3.构造步骤：找角、定线、构相似
【引例】
例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．
思路引导：
【脑洞大开-三角构造】
例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.
横向构造纵向构造斜向构造斜A相似构造：
例 2 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.
纵向横向斜向
一线三垂直的补形：角含半角补形
练一练：
1.如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD = 2，求△ABC的面积
思路提示：
【中点型一线三等角】
例1、如图，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．
( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;
( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;
( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应
x 的值; 若不能，请说明理由．
例2．如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。

将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA 相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证：△BPE≌△CQE；
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证：△BPE∽△CEQ;并求当BP=a,CQ=9a/2时,P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示).
【小题精炼（4题）】
1.如图，△ABC中，∠B=90°，∠CAD=45°，AB=3,CD=5,求BD的长
2.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=∠ACD=45°，AC=4,求△BCD的周长。

3.如图，在RT △ABC 中，∠ACB=30°，DA 平分∠CAB,若∠CDB=60°，CA=4√3，求AD 的长。

4.矩形ABCD 在直角坐标系的位置如图所示，点(215,0),(0,5)A C 点，反比例函数k
y x
=
的图像交边AB 、BC 于D 、
E 两点，且∠DOE=45°，则k=
【一线三等角在中考压轴题中的应用】
例1：如图，直线y＝x＋2与y轴交于点C，与抛物线y＝ax2交于A、B两点（A在B的左侧），BC＝2AC，点P是抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；
（3）若点P在直线AB的上方，且∠BPC＝45°，求所有满足条件的点P的坐标．
例2：等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
例3：如图1,已知直线y =kx 与抛物线 交于点A （3，6）. （1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度；
（2）点P 为抛物线第一象限内的动点,过点P 作直线PM , 交x 轴于点M （点M 、O 不重合）,交直线OA
于点Q ,再过点Q 作直线PM 的垂线,交y 轴于点N .试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；
（3）如图2,若点B 为抛物线上对称轴右侧的点,点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重
合）,点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点,且满足∠BAE =∠BED =∠AOD .继续探
究：m 在什么范围时,符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？
3
222742+−=x y
例4．如图，直线AC：y＝－2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）过A、C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上一点，∠DCA＝45°，求点D的坐标；
备用图
【思路拓展】
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4,D为AC的中点，若△DEF为正三角形，求CF的长。

2.如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证：BE+GC=3BC
【知识点总结】
一线三等角构造口诀：
一线三等角，补形最重要
内构勤思考，外构更精妙
找出相似形，比例不能少
巧设未知数，妙解方程好。