Bessel方及Bessel函数
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第一部分 Bessel 函数
(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。)
一、Bessel 方程及其通解
0)(222
22
=-++y n x dx dy x dx
y d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。
●当n 为整数时，（1）式的通解为
)()(x BY x AJ y n n += （2）
其中，A 、B 为任意实数；
)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数；
)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。
●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式
)()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4）
其中，A 、B 为任意实数；
)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。
另外，Bessel 方程的通解还可以表示为
)()()2()1(x BH x AH y v v +=
其中，)()()()1(x iY x J x H v v v +=，)()()()
2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）
函数，或统称为第三类Bessel 函数。
●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0
x J v x ，∞=→)(lim 0
x Y v x ，∞=→)(lim 0
x Y n x ，当所研究的问题的区域
包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。
例1：022=+'+''y x y x y x λ （10<≤x ）
此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为
)()(00x BY x AJ y λλ+=
另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为
)(0x AJ y λ=
例2：0)413(22=-+'+''y x y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程，其通解为
)3()3(2121x BJ x AJ y -+= 或 )3()3(2121x BY x AJ y +=
例3：0)(1222
=-+'+''y x
m k y x y
上式两边同乘以2
x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程
0)(2222=-+'+''y m k x y x y x （0≠x ）
例4：01
2=+'+
''y k y x
y 上式两边同乘以2
x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程
0222=+'+''y k x y x y x （0≠x ）
即：0)0(2
2
2
2
=-+'+''y k x y x y x （0≠x ）
例5：0)]1([2222
22
=+-++R l l r k r
d R
d r r d R d r 令r k x =，x
x y r R 2)
()(π
=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程
0])21([222
22
=+-++y l x x
d y
d x x d y d x 二、虚宗量Bessel 方程及其通解
0)(222
22
=+-+y n x dx dy x dx
y d x （5） 上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为
)()(x BK x AI y n n += （6）
其中，A 、B 为任意实数；
)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。
n 阶虚宗量的Bessel 方程也常常写为
0)1(122
2
2=+-+y x
n dx dy x dx y d （7） （7）式与（5）式的区别仅在于0≠x 。
三、Bessel 函数
1．第一类Bessel 函数
1.1 第一类Bessel 函数的定义式
Bessel 函数)(x J n 的定义式为
∑∞
=+⎪
⎭⎫ ⎝⎛++Γ-=0
22)1(!)1()(k k
n k n x k n k x J （8）
当n 不为整数时，例如，v n
=，非整数阶Bessel 函数)(x J v 为
∑∞
=+⎪
⎭⎫
⎝⎛++Γ-=0
22)1(!)1()(k k
n k v x k v k x J （9）
注：求)(x J v 的方法
方法1）先求)1(++Γk v 的数值解，再用（9）式求)(x J v 。 方法2）非整数阶Bessel 函数也可以通过后文的递推关系得出。
当n 为正整数或零时，)!()1(k n k n +=++Γ，整数阶Bessel 函数)(x J n 的表达式为
∑∞
=+⎪
⎭⎫
⎝⎛+-=0
22)!(!)1()(k k
n k n x k n k x J （10）
注：求)(x J n 的方法
方法1）直接用（10）式求)(x J n 。
方法2）整数阶Bessel 函数也可以通过后文的递推关系得出。
注：奇数阶Bessel 函数为奇函数；偶数（包括零）阶Bessel 函数为偶函数；——可以在Mathematica 中作图来观察。
整数阶Bessel 函数)(x J n 还有如下的积分表达式
θθθπ
π
πd n x x J n ⎰-
-=
)sin cos(21)( （11）
上式还写为
⎰---+Γ=11
212)1()21()2()(dt e t n J t i n n
n ξπξξ