二重积分变量替换定理的不同证法[1]
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d x (v )
2
域, 记其一为 # uv , 面积为 ! #uv , 边界为 L uv , 方向为 逆时针. 由于 T 是正则变换, 故此必对应 T ( ) 的 分割 ∀x y , #uv 对应T ( ) 上的区域 # x y , 记其面积为 ! # xy , L uv 对应 # xy 的边界 L xy , 由 Green 公式有 : ! # xy = dxdy =
#
xy
c
dv
y ∀
x 1 (v )
d
u2(v) u (v)
1
c
x du) u du)
/xdy
L
xy
= 0
d
u 2(v) u (v)
1
/x ( u, v) ( y du + y dv )
u v
L
uv
c
从而证得
y udu + y vdv dy 因为dx = x du + x dv , 可见有 L uv 的按段光 u v
对含于 & ( p 0 , ) 且
在 x - y 平面的映射为x 型区域 Dxy = { ( x , y ) | a ∗ x ∗ b, y 1 ( x ) ∗ y ∗ y 2 ( x ) } 的区域 , 利用一元 函数积分换元法 , 得
++
b a
dv
y 2( x ) y ( x)
1
f ( x , y ) dy =
两种相对简单且又严格的证明方法 . 它们分别是逐次换 元法和 Green 公式法 . 前一种 方法的主要 思想是化 一般正则变 换 为两个简单正则变换的复合 , 后一种方法巧妙 的利用了 Green 公式 . [ 关键词 ] 正则变换 ; 逐次换 元法 ; Gr een 公式法 [ 中图分类号 ] O172 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 1671 5330( 2007) 02 0021 03
第2期
高志锋 , 王澜峰 : 二重积分变量替换定理的不同证法
23
滑可得 Lx y 逐段光滑, 故 L uv 也可用 Green 公式 , 但 由于 L xy 的方向可能和 L uv 相反, 故为保证 ! # xy 为 正, 前边需加上 0 号 , 但再在 L uv 上用 Green 公式 时, 需加绝对值 . 从而 ! # xy =
2
1
逐次换元法
逐次换元法的主要思想是化二重积分为累次 积分 , 然后变量一个一个地逐次换 , 比如先将 x y 区域上的积分化到 x - v 区域上 , 再将 x - v 区 域上的积分化到 u - v 上 , 这样每一步便都可利用 一重积分变量替换公式, 最终得到二重积分变量 替换公式. 此法本质是把一个正则变换分解成两 个简单正则变换的复合, 更易于理解和接受 . 定理 1 的证明 (x, y) # 0, 因 ( u, v) 此对点 p 0 ( x 0, y 0, u 0 , v 0 ) , 雅克比行列式在 p 0 点 不为零 , 从而 x u 和 x v 中至少有一个在 p 0 不为零, 1) 因为 T 是 G 上正则变换, 故 不妨设 x u # 0( 在 p 0 点 ) . 2) 先证必存在包含于 & ( p 0 , ) 在 x - y 平 面上的映射的 x 型区域 , 在其内( 1) 式成立 .
f ( x , y ) dxdy =
D
xy
f ( x ( u, v) , y ( u, v) )
D
uv
( x, y) dudv . ( u, v) 3) 最后证明对 G 内任意闭可求面积图形 , ( 1) 式成立。 对 ∃p % , 都存在 & ( p , ) , 使 2) 的结果 在其上成立 . 这就构成了 的一个开覆盖, 从而 存在有限子覆盖记为 { & ( p i , pi ) } , i = 1, 2, ,, n. 作 的一个分割 ! = { 1, ,, n } , 相应地得 到了 T ( ) 的分割 ! − = { T ( 1 ) , ,, T ( n ) } , 可 做到使每个 T ( i ) 都是 x 型区域且都含于某个 T ( & ( p i , p i ) ) 中 . 利用 2) 的结论便可得: f ( x , y ) dxdy =
T( ) i= 1
.
n
f ( x , y ) dxdy
T(
i
)
Q( x , v) = ( x, y) = ( u, v)
= = 证毕 . 注
i= 1
i
.
n
f ( x ( u, v ) , y ( u, v) )
( x, y ) dudv ( u, v)
∀v y ux v = x uy xu 和 x u 在p 0 点都不为零 , 所以 y ∀v 在 p 0 点也不为零. 从而 Pv = ∀ y v = Qv 在 p 0 点不为零 , 根据隐函数存 在定理, 存在 & ( p 0 , 2) , 使方程 P ( x , v) = y ∀( x , v) - y 1 ( x ) = 0, Q( x , v ) = ∀ y ( x , v ) - y 2( x ) = 0 在其内可分别确定连续函数 v 1( x ) 与 v 2 ( x ) . ( )) 取 = min(
[ 1] 华 东 师 范 大 学 数 学 系 编 . 数 学 分 析 下 册 ( 第 二 版 ) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 1991 . [ 2] 朱时 . 数 学 分 析札 记 [ M ] . 贵州 : 贵 州 教 育出 版 社 , 1994. [ 3] 程其襄 , 张奠宙 , 等 . 实变 函数与 泛函分 析 [ M] . 北京 : 高等教育出版社 , 2003 .
22
安阳师范学院学报
2007 年
( ∋ ) 先证存 在 & ( p 0, 1 ) , 在 其内 有 y = y ∀( x , v ) , 即 y 可以用 x , v 的显式表出. ( 2) G( x , y , u, v ) = y - y ( u, v) 由 此 可 见 有 i ) F , G 有 连 续 偏 导 数; ii ) 因 F y Fu 0 - xu ( F , G) = = = x u 在p 0 (y, u) Gy Gu 1 - yu 不为零, 根据隐函数组存在定理, 存在 & ( p 0 , 1) 使得方程组 ( 2) 在 & ( p 0 , 1) 上可定义两个 x - v 平面上的函数 : u = # u ( x , v) , y = ∀ y ( x , v ) , 并具有 连续偏导数, 且 y ∀v = ( F, G ) / ( F, G) ( v , u) ( y , u) - xv - xu y ux v =/ xu = y v xu - yv - yu ( () 令 P( x , v ) = ∀ y ( x , v ) - y 1 ( x ) = 0, y ( x , v) ∀ xu yu xv = yv y 2( x ) = xu 0 xv yv 0, 因为 令 F( x , y , u, v ) = x - x ( u, v)
0
引言
证明二重 积分变量替换公 式常用的 方法是
证明 , 直接引用。 下面先给出本文要证明的定理 : 定理 1 ( 二重积分变量替换公式) 设 G ! R 是开 集 , T : x = x ( u, v) , y = y ( u, v) 是 G 到 T ( G ) 的正则 变换 , 是 G 内闭可 求面积 图形, f ( x , y ) 在 T ( G) 内可积 , 则 (x, y) f ( x , y ) dxdy = f oT | | dudv ( 1) ( u, v) T( ) 其中 f oT = f ( x ( u , v ) , y ( u, v ) ) [ 1] . 接下来将依次给出逐次换元法、 Green 公式法 这两种严格的证明二 重积分变量替 换公式的方 法, 其中逐次换元法需将条件中! 被积函数可积∀ 加强为! 被积函数连续∀.
y ) dxdy , 同时上式右端令 1 ∀uv 1 ∃ 0 的极限是 (x, y) f ( x ( u, v) , y ( u, v) ) dudv. 又因 是 ( u, v ) 闭集 , 故 T 在 上一致连续, 从而当 1 ∀uv 1 ∃ 0 时必有 1 ∀xy 1 ∃ 0, 这便证明了定理 1. [ 参考文献 ]
2007 年
安阳师范学院学报
21
二重积分变量替换定理的不同证法
高志锋 , 王澜峰
1 2 ( 1. 河南大学 数学与信息科学学院 , 河南 开封 475001; 2. 安阳师范学院 数学系 , 河南 安阳 455000) [摘 要] 针对二重积分变量替换公 式 , 不同于一般 数学分析 教材中所用的 直观但不太严格的证明方 法 , 给出 了
4. T 将 G 内的区域变为T ( G ) 内的区域 , 将 G 内的闭区域变为 T ( G) 内的闭区域 ; 5. 设 T( 注 是 G 内可求面积的图形, 且 ! G, 则 ) 也是可求面积的. 以上性质详见[ 1] 和[ 3] , 在此不做详细
[ 收稿日期 ] 2006 01 19 [ 作者简介 ] 高志锋 ( 1977 - ) , 男 , 河南开封人 , 河南大学数学与信息科学学院教师 , 主要从 事高等数学研究。
#
uv
这里 x i = x ∀( # ui , ∀ v i ) , yi = ∀ y( # ui , ∀ vi) . 上式左端令 1 ∀xy 1 ∃ 0 的极 限是
T( )
f (x,
( x uy v + xy uv ) - ( x vy u + xy uv ) dudv (x , y) dudv ( u, v)
2
! 局部地以线性变换代替非线性变换, 得到可求面 积图形 与其映像 ( ) 的面积的近似关系 , 然 后通过作和求极限过渡到积分间的关系∀ . 这个方 法很直观, 但是缺少严格. 这启发人们思考, 是否 有更严格又相对简单的证法呢 ? 本文就给出了两 种这样的证法, 即逐次换元法和 Green 公式法. 首先给出 预备定义和二重 积分变量 替换定 理: 定义 1 ( 正则变换) 设 G 是 R 的开集, 变换 T : x = x ( u, v) , y = y ( u, v) 将 G 映入 R 2 , 若 T 满 足: 1) T 的偏导数在 G 内连续 ; 2) T 是 G 上的一一 (x , y) 变换 ; 3) # 0 在 G 内处处成立 , 则称 T 是 ( u, v) G 内的正则变换. 可知正则变换 T 具有以下性质: 1. T 将开集 G 变成开集 T ( G) ; 2. T 有逆变换 T- 1 : T ( G ) ∃ G, 并且 T- 1 也是 正则的; 3. 设 内点 , 为 ( % G, 则 T 将 的内点变为 ( )的 的外点变为 ( ) 的边界点; ) 的外点, 的边界点变
++
b a
dx
y 2( x ) y ( x)
1
f ( x, y ∀( x ,
v) )
∀ y dv v
2
Green 公式法
定理 1 的证明 用光滑曲线网分割 ∀uv 将 分割为一些小区
∀ 取绝对 值, 是为了保证积分 区间从小到 这里 y v 大, 此时积分区域从 Dxy 变成了 Dxv , 可认为 Dxv 是 v 型区域( 否则分解成几个 v 型区域之和 ) , 从而可 交换积分顺序, 得 y( x, v ) ) dx + + f (x, ∀ v ∀ =+ dv+ f (x (u, v),y ∀(x(u, v), v) y v (x , y) =+ dv+ f (x (u, v), y (u, v) (u, v)
1, 2) ,
f ( x ( u, v) , y ( u, v) )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x, y) dudv. ( u, v ) ) 可以分解成 及 ( ) 的边 ( x, y) | ( u, v)
定理证明中用到了 T (
有限的 x 型区域的和 , 这是合理的, 因为由 T 是 G 到 T ( G) 的正则变换 , 可以推出 界都是光滑或逐段光滑的. 事实上 , 由 | # 0, 可设 x u # 0, 这时可算出 xv ( F , G) ( F , G) / = - ( 若 x u = 0, ( y , v) ( y , u) xu xu 可设 x v # 0, 这时 ∀ vu = ) xv 由此可见 的边界是光滑的 , 再由 y x = y ∀x + ∀ y vvx , uv = # 可得 T ( ) 的边界也是光滑或逐段光滑的 .
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域, 记其一为 # uv , 面积为 ! #uv , 边界为 L uv , 方向为 逆时针. 由于 T 是正则变换, 故此必对应 T ( ) 的 分割 ∀x y , #uv 对应T ( ) 上的区域 # x y , 记其面积为 ! # xy , L uv 对应 # xy 的边界 L xy , 由 Green 公式有 : ! # xy = dxdy =
#
xy
c
dv
y ∀
x 1 (v )
d
u2(v) u (v)
1
c
x du) u du)
/xdy
L
xy
= 0
d
u 2(v) u (v)
1
/x ( u, v) ( y du + y dv )
u v
L
uv
c
从而证得
y udu + y vdv dy 因为dx = x du + x dv , 可见有 L uv 的按段光 u v
对含于 & ( p 0 , ) 且
在 x - y 平面的映射为x 型区域 Dxy = { ( x , y ) | a ∗ x ∗ b, y 1 ( x ) ∗ y ∗ y 2 ( x ) } 的区域 , 利用一元 函数积分换元法 , 得
++
b a
dv
y 2( x ) y ( x)
1
f ( x , y ) dy =
两种相对简单且又严格的证明方法 . 它们分别是逐次换 元法和 Green 公式法 . 前一种 方法的主要 思想是化 一般正则变 换 为两个简单正则变换的复合 , 后一种方法巧妙 的利用了 Green 公式 . [ 关键词 ] 正则变换 ; 逐次换 元法 ; Gr een 公式法 [ 中图分类号 ] O172 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 1671 5330( 2007) 02 0021 03
第2期
高志锋 , 王澜峰 : 二重积分变量替换定理的不同证法
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滑可得 Lx y 逐段光滑, 故 L uv 也可用 Green 公式 , 但 由于 L xy 的方向可能和 L uv 相反, 故为保证 ! # xy 为 正, 前边需加上 0 号 , 但再在 L uv 上用 Green 公式 时, 需加绝对值 . 从而 ! # xy =
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1
逐次换元法
逐次换元法的主要思想是化二重积分为累次 积分 , 然后变量一个一个地逐次换 , 比如先将 x y 区域上的积分化到 x - v 区域上 , 再将 x - v 区 域上的积分化到 u - v 上 , 这样每一步便都可利用 一重积分变量替换公式, 最终得到二重积分变量 替换公式. 此法本质是把一个正则变换分解成两 个简单正则变换的复合, 更易于理解和接受 . 定理 1 的证明 (x, y) # 0, 因 ( u, v) 此对点 p 0 ( x 0, y 0, u 0 , v 0 ) , 雅克比行列式在 p 0 点 不为零 , 从而 x u 和 x v 中至少有一个在 p 0 不为零, 1) 因为 T 是 G 上正则变换, 故 不妨设 x u # 0( 在 p 0 点 ) . 2) 先证必存在包含于 & ( p 0 , ) 在 x - y 平 面上的映射的 x 型区域 , 在其内( 1) 式成立 .
f ( x , y ) dxdy =
D
xy
f ( x ( u, v) , y ( u, v) )
D
uv
( x, y) dudv . ( u, v) 3) 最后证明对 G 内任意闭可求面积图形 , ( 1) 式成立。 对 ∃p % , 都存在 & ( p , ) , 使 2) 的结果 在其上成立 . 这就构成了 的一个开覆盖, 从而 存在有限子覆盖记为 { & ( p i , pi ) } , i = 1, 2, ,, n. 作 的一个分割 ! = { 1, ,, n } , 相应地得 到了 T ( ) 的分割 ! − = { T ( 1 ) , ,, T ( n ) } , 可 做到使每个 T ( i ) 都是 x 型区域且都含于某个 T ( & ( p i , p i ) ) 中 . 利用 2) 的结论便可得: f ( x , y ) dxdy =
T( ) i= 1
.
n
f ( x , y ) dxdy
T(
i
)
Q( x , v) = ( x, y) = ( u, v)
= = 证毕 . 注
i= 1
i
.
n
f ( x ( u, v ) , y ( u, v) )
( x, y ) dudv ( u, v)
∀v y ux v = x uy xu 和 x u 在p 0 点都不为零 , 所以 y ∀v 在 p 0 点也不为零. 从而 Pv = ∀ y v = Qv 在 p 0 点不为零 , 根据隐函数存 在定理, 存在 & ( p 0 , 2) , 使方程 P ( x , v) = y ∀( x , v) - y 1 ( x ) = 0, Q( x , v ) = ∀ y ( x , v ) - y 2( x ) = 0 在其内可分别确定连续函数 v 1( x ) 与 v 2 ( x ) . ( )) 取 = min(
[ 1] 华 东 师 范 大 学 数 学 系 编 . 数 学 分 析 下 册 ( 第 二 版 ) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 1991 . [ 2] 朱时 . 数 学 分 析札 记 [ M ] . 贵州 : 贵 州 教 育出 版 社 , 1994. [ 3] 程其襄 , 张奠宙 , 等 . 实变 函数与 泛函分 析 [ M] . 北京 : 高等教育出版社 , 2003 .
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安阳师范学院学报
2007 年
( ∋ ) 先证存 在 & ( p 0, 1 ) , 在 其内 有 y = y ∀( x , v ) , 即 y 可以用 x , v 的显式表出. ( 2) G( x , y , u, v ) = y - y ( u, v) 由 此 可 见 有 i ) F , G 有 连 续 偏 导 数; ii ) 因 F y Fu 0 - xu ( F , G) = = = x u 在p 0 (y, u) Gy Gu 1 - yu 不为零, 根据隐函数组存在定理, 存在 & ( p 0 , 1) 使得方程组 ( 2) 在 & ( p 0 , 1) 上可定义两个 x - v 平面上的函数 : u = # u ( x , v) , y = ∀ y ( x , v ) , 并具有 连续偏导数, 且 y ∀v = ( F, G ) / ( F, G) ( v , u) ( y , u) - xv - xu y ux v =/ xu = y v xu - yv - yu ( () 令 P( x , v ) = ∀ y ( x , v ) - y 1 ( x ) = 0, y ( x , v) ∀ xu yu xv = yv y 2( x ) = xu 0 xv yv 0, 因为 令 F( x , y , u, v ) = x - x ( u, v)
0
引言
证明二重 积分变量替换公 式常用的 方法是
证明 , 直接引用。 下面先给出本文要证明的定理 : 定理 1 ( 二重积分变量替换公式) 设 G ! R 是开 集 , T : x = x ( u, v) , y = y ( u, v) 是 G 到 T ( G ) 的正则 变换 , 是 G 内闭可 求面积 图形, f ( x , y ) 在 T ( G) 内可积 , 则 (x, y) f ( x , y ) dxdy = f oT | | dudv ( 1) ( u, v) T( ) 其中 f oT = f ( x ( u , v ) , y ( u, v ) ) [ 1] . 接下来将依次给出逐次换元法、 Green 公式法 这两种严格的证明二 重积分变量替 换公式的方 法, 其中逐次换元法需将条件中! 被积函数可积∀ 加强为! 被积函数连续∀.
y ) dxdy , 同时上式右端令 1 ∀uv 1 ∃ 0 的极限是 (x, y) f ( x ( u, v) , y ( u, v) ) dudv. 又因 是 ( u, v ) 闭集 , 故 T 在 上一致连续, 从而当 1 ∀uv 1 ∃ 0 时必有 1 ∀xy 1 ∃ 0, 这便证明了定理 1. [ 参考文献 ]
2007 年
安阳师范学院学报
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二重积分变量替换定理的不同证法
高志锋 , 王澜峰
1 2 ( 1. 河南大学 数学与信息科学学院 , 河南 开封 475001; 2. 安阳师范学院 数学系 , 河南 安阳 455000) [摘 要] 针对二重积分变量替换公 式 , 不同于一般 数学分析 教材中所用的 直观但不太严格的证明方 法 , 给出 了
4. T 将 G 内的区域变为T ( G ) 内的区域 , 将 G 内的闭区域变为 T ( G) 内的闭区域 ; 5. 设 T( 注 是 G 内可求面积的图形, 且 ! G, 则 ) 也是可求面积的. 以上性质详见[ 1] 和[ 3] , 在此不做详细
[ 收稿日期 ] 2006 01 19 [ 作者简介 ] 高志锋 ( 1977 - ) , 男 , 河南开封人 , 河南大学数学与信息科学学院教师 , 主要从 事高等数学研究。
#
uv
这里 x i = x ∀( # ui , ∀ v i ) , yi = ∀ y( # ui , ∀ vi) . 上式左端令 1 ∀xy 1 ∃ 0 的极 限是
T( )
f (x,
( x uy v + xy uv ) - ( x vy u + xy uv ) dudv (x , y) dudv ( u, v)
2
! 局部地以线性变换代替非线性变换, 得到可求面 积图形 与其映像 ( ) 的面积的近似关系 , 然 后通过作和求极限过渡到积分间的关系∀ . 这个方 法很直观, 但是缺少严格. 这启发人们思考, 是否 有更严格又相对简单的证法呢 ? 本文就给出了两 种这样的证法, 即逐次换元法和 Green 公式法. 首先给出 预备定义和二重 积分变量 替换定 理: 定义 1 ( 正则变换) 设 G 是 R 的开集, 变换 T : x = x ( u, v) , y = y ( u, v) 将 G 映入 R 2 , 若 T 满 足: 1) T 的偏导数在 G 内连续 ; 2) T 是 G 上的一一 (x , y) 变换 ; 3) # 0 在 G 内处处成立 , 则称 T 是 ( u, v) G 内的正则变换. 可知正则变换 T 具有以下性质: 1. T 将开集 G 变成开集 T ( G) ; 2. T 有逆变换 T- 1 : T ( G ) ∃ G, 并且 T- 1 也是 正则的; 3. 设 内点 , 为 ( % G, 则 T 将 的内点变为 ( )的 的外点变为 ( ) 的边界点; ) 的外点, 的边界点变
++
b a
dx
y 2( x ) y ( x)
1
f ( x, y ∀( x ,
v) )
∀ y dv v
2
Green 公式法
定理 1 的证明 用光滑曲线网分割 ∀uv 将 分割为一些小区
∀ 取绝对 值, 是为了保证积分 区间从小到 这里 y v 大, 此时积分区域从 Dxy 变成了 Dxv , 可认为 Dxv 是 v 型区域( 否则分解成几个 v 型区域之和 ) , 从而可 交换积分顺序, 得 y( x, v ) ) dx + + f (x, ∀ v ∀ =+ dv+ f (x (u, v),y ∀(x(u, v), v) y v (x , y) =+ dv+ f (x (u, v), y (u, v) (u, v)
1, 2) ,
f ( x ( u, v) , y ( u, v) )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x, y) dudv. ( u, v ) ) 可以分解成 及 ( ) 的边 ( x, y) | ( u, v)
定理证明中用到了 T (
有限的 x 型区域的和 , 这是合理的, 因为由 T 是 G 到 T ( G) 的正则变换 , 可以推出 界都是光滑或逐段光滑的. 事实上 , 由 | # 0, 可设 x u # 0, 这时可算出 xv ( F , G) ( F , G) / = - ( 若 x u = 0, ( y , v) ( y , u) xu xu 可设 x v # 0, 这时 ∀ vu = ) xv 由此可见 的边界是光滑的 , 再由 y x = y ∀x + ∀ y vvx , uv = # 可得 T ( ) 的边界也是光滑或逐段光滑的 .