等差数列的前n项和 的性质及应用-课件ppt
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4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)
最小值时n的值为(
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
等差数列前n项求和ppt
公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等 差数列前n项的和，其中首项为 a1，公差为d，项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和 符号组成，反映了等差数列的特 性。
首项a1表示等差数列的第一项， 公差d表示相邻两项的差，项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常数被称为公差。等差数列的 一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是第一项，d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值，再利用等差数列的通项公式， 推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式，将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2，同样利用等差数列的通 项公式，推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时，等差数列求和公式可用于计算购 物清单中商品的总价，以便快速计算出总花 费。
工资计算
在工资计算中，等差数列求和公式可用于计算工资 总额，以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中，等差数列求和公式可用于计算定 期存款、基金定投等理财产品的收益。
等差数列的前n项和公式的性质及应用 课件
因为 S2k＝2ka1＋12×2k(2k－1)d＝8a1＋42，
所以 8a1＋42＝54，故 a1＝32，
所以此数列的首项是32，公差是32，项数为 8.
法二：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 根据题意，得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
12ka1＋a2k－1＝24， 即12ka2＋a2k＝30，
和 30，最后一项与第一项之差为221，求此数列的首项、公差以及项数． [解析] 法一：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 由已知得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
S偶－S奇＝6， 所以a2k－a1＝221，
kd＝6，
k＝4，
即2k－1d＝221， 解得d＝32.
②若项数为 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an(an 为中间项)且 S 奇－S 偶＝ an ， n－1
SS偶 奇＝___n____.
(3)若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则{an}为等差数列等价于Snn是等差 数列． (4)若{an}、{bn}都为等差数列，Sn、Sn′为它们的前 n 项和，则abmm＝ SS′2m2－ m1－1. (5)项数(下标)的“等和”性质： Sn＝na12＋an＝nam＋2an－m＋1.
()
A．130
B．65
C．70
D．以上都不对
解析：S13＝a1＋2 a13×13＝a5＋2 a9×13＝130.
答案：A
3．已知某等差数列共 20 项，其所有项和为 75，偶数项和为 25，则
公差为( )
A．5
B．－5
C．－2.5
D．2.5
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
高中数学选择性必修一(人教版)《4.2.2 等差数列前n项和的性质及应用》课件
＝n2－n2. 当 n 为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝1＋7＋15＋…＋(4n－5) ＝1＋n－2 1×7＋42n－5 ＝n2－n－2 1.
n2－n2，n为偶数， 故 Sn＝n2－n－2 1，n为奇数.
谢 谢观看
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＞0，S11＝S18，则当 n 为
何值时 Sn 最大？ 解：法一：由 S11＝S18，得 11a1＋11×2 10d＝18a1＋18×2 17d， 即 a1＝－14d＞0，所以 d＜0. 构建不等式组aann＝ ＋1＝a1＋ a1＋nn－d≤1d0≥，0，
解：设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列 {an}，则 an－an－1＝－13， ∴数列{an}构成首项为 24，公差为－13的等差数列． 设还需组织(n－1)辆车， 则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋nn2－1·－13≥20×25， ∴n2－145n＋3 000≤0，即(n－25)(n－120)≤0， ∴25≤n≤120，∴nmin＝25，∴n－1＝24. 故至少还需组织 24 辆车陆续工作，才能保证在 24 h 内完成第二道 防线．
所以Snn是公差为 1，首项为 3 的等差数列， 所以前 10 项和为 3×10＋10× 2 9×1＝75. 答案：75
题型二 等差数列前 n 项和的最值问题 [学透用活]
[典例 2] 在等差数列{an}中，公差为 d，若 a1＝25，且 S9＝S17，求 Sn 的最大值．
[解] 法一：由 S9＝S17 得 9a1＋9×2 8d＝17a1＋17×2 16d，又 a1＝25， ∴d＝－2.
第二课时 等差数列前 n 项和的性质及应用
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
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习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
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习题答案与解析
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01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
等差数列前n项和的性质及应用PPT11.30课件
项的和分别为Sn和Tn,则
an bn
S2n1 T2 n 1
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
求 a5 和 an .
b5
bn
Tn 4n 27
a5 64 an 14n 6 b5 63 bn 8n 23
课堂练习
1，等差数列{an}
{bn}的前
5,4
2 7
,3
4 7
的前 n 项和
为 Sn，求使得 Sn 最大的序号 n 的值。
分析：
等差数列的前n项和公式可以写成Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
，
所
以Sn可
以
看
成
函
数
y
d 2
x2
(a1
d )x 2
( x N )当x n时的函数值。另一方面，容易知道Sn关于 n的图象是一条抛物线的一些点。因此，我们可以利用
例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B )
A.63 B.45 C.36 D.27 例2.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和 为 －110 .
学导17页典例一
等差数列的前n项的最值问题
例题3：已知等差数列
1
1
313 3 2 d 1113 1110 d
2
2
S
∴ d=－12
n
Sn 13n 2 n(n 1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
n
3 71
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项和课件
详细描述
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题，如求和、比较大小等。 此外，该公式还可以用于解决一些实 际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
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等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题，如求和、比较大小等。 此外，该公式还可以用于解决一些实 际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列
等差数列前n项和Sn的性质应用ppt课件
项和与偶数项和之比为1:2，求公差 d .
(2)前20项中，奇数项和
S奇
=
1 3
75=25，
偶数项和
S偶=
2 3
75=50，
又S偶 S奇=10d,
d 50 25 2.5 10
8
小结
等差数列前n项和Sn的性质应用
等差数列an 中
性质1.
sm，s2m sm，s3仍m 为 s等2m差，K数列，
1
等差数列前n 项和的性质一
等差数列 an中连续 m 项的和 sm，s2m sm，s3m s2m，K
仍为等差数列，公差为 m2d.
例1 等差数列an前 5项和为15 ，前10项和为20，求
a21 a22 a23 的a值24. a25
在等差数列an中 ，
Q S5, S10 S5, S15 S10, S20 S15, S25 S20 成等差数列， 又 Q a21 a22 a23 a24 a25 S25 S20
数项的和为 S偶.
（1）当项数为2n时，
S偶
S奇
=nd，S偶 S奇
=
an an1
.
（2）当项数为 2n 时1 ，
S奇 = n 1. S偶 n
S奇 S偶=an1 a中，
4
例3 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数
项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
设数列共有2n 项1 ，则 S奇 a1 a3 a5 L a2n1, S偶 a2 a4 a6 L a2n ,
为等差数列.
又Q12,20成,2等8 差数列，
S12 12
,
S20 20
,
S28 28
成等差数列，
2 S20 S12 S28 ， 20 12 28
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
等差数列的前n项求和公式ppt课件
由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可 以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n
n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2： S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n，且a3 12 ，S12 0, S13 0
等差数列的前n项和-概念解析课件PPT
习题三
总结词
了解等差数列前n项和的应用场景
详细描述
等差数列的前n项和在实际问题中有很多应用，如计算存款、贷款、工资等问题。通过 这些实际问题的分析，我们可以更好地理解等差数列前n项和的应用价值和意义。
感谢您的观看
THANKS
首项和末项对前n项和的影响
首项越大，前n项和越大
在等差数列中，首项越大，前n项和也越大。这是因为首项是等差数列的第一 项，它决定了整个数列的大小。
末项越大，前n项和越大
在等差数列中，末项越大，前n项和也越大。这是因为末项是等差数列的最后一 项，它决定了整个数列的大小。
公差对前n项和的影响
公差越大，前n项和越大
在等差数列中，公差越大，前n项和也越大。这是因为公差决 定了等差数列的递增或递减速度，公差越大，整个数列的大 小也越大。
证明方法
设等差数列为{a_n}，其中首项为a_1，公差为d。前n项和为 S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)。当d > 0时，S_n随着d的增大而 增大；当d < 0时，S_n随着d的减小而增大。
在物理中的应用
01
02
03
物理规律描述
等差数列的前n项和公式 可以用于描述物理规律， 如波的叠加、力的合成与 分解等。
物理实验数据处理
等差数列的前n项和公式 可以用于处理物理实验数 据，如测量重力加速度、 计算热量等。
物理现象预测
等差数列的前n项和公式 可以用于预测某些物理现 象，如预测物体运动轨迹、 计算电流等。
等差数列的前n项和公式在日常生 活和科学研究中有着广泛的应用，
如计算存款利息、评估投资回报 等。
数学问题求解
在数学问题中，等差数列的前n项 和公式可用于求解等差数列的和， 解决数列求和问题。
等差数列的前n项和公式的性质ppt课件
可编辑课件
22
『变式探究』
1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，
所以数列{an}是等差数列，d＝ a 4 a 1 = －2，
Sna 1a 2a 5(a 6a 7a n) (a 1a 2a 3a n)2 (a 1a 2a 5)
n 9n40 Sn＝2－25＋9·5＋n－52＋2 2n－10＝n2－9n＋40.
由①，②可得
Sn＝－n2－n2＋9n＋9n，40，
1≤n≤5 n≥6
可编辑课件
，n∈N*.
24
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
可编辑课件
25
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且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
65 12
.
可编辑课件
13
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n 45，则使得 n3
a b
n n
为整数的正整数n的
个数是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
可编辑课件
14
【题型分类 深度剖析】
题型1：等差数列前n项和性质的简单应用
一般地若数列abn那么数列a为等差数列那么是什么数列为等差数列即等差数列a项的平均值组成的数列仍然是等差数列且公差是数列aa0b2011201120112009200720092007知识探究二等差数列前n项和的性质思考1
4.2.2等差数列的前n项和公式PPT课件(人教版)
解：由已知可得：a1= -10,d=4
n(n 1)
S n 10n
4
2
2n 12n
2
令 2n 12 n 54
2
解得：n 9 或 n （舍）
3
所以数列前9项的和是54.
课堂小结
等差数列前n项和公式
n(a1 an )
Sn
2
n(n 1)
S n na1
101
算法过程：
由①+②，得
1
( + )
=
=
设 =1＋2＋3＋…＋100+101
①，则
=101＋100＋99＋…＋2+1 ②
2 = （＋）
合作探究
思考2：已知数列{an}是等差数列，如何求
= 1 + 2 + 3 +··· +−1 + 的值？
S n na1
d
2
名师点析：(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d
五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也
是等差数列的基本问题情势之一.
( + )
(2)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=
.用此公式时,有时要
A．230
B．420
C．450
D．540
20×19
解：S20＝20a1＋ 2 d＝20×2＋20×19＝420.
B
)
典型例题
例1 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50;
(3)若a1= ，d=- ，
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24 d 3
7
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n 1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
d
3
2d
∴Sn有最大值.
由上得 6 5 12 13 即 6 n 13
n2
(a1
d )n 2
的最值.
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分31秒
（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求S10 （3）求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
1.根据等差数列前n项和，求通项公式.
an aS1n Sn1
n1 n2
2、结合二次函数图象和性质求
Sn
d 2
an S2n1
bn
T2n1
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用
例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )
B
A.63 B.45 C.36 D.27
例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,则a2+a4+a6+…+a100=( )
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
形式1:
Sn
n（a1 2
an )
形式2:
Sn
na1
n（n 2
1)
d
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
1.将等差数列前n项和公式
n(n 1)d 看作是一Sn个关n于a1n的 函数2，这个函数
有什么特点？
Sn
d 2
2
2
∴ d=－2
Sn
13n
1 2
n(n 1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法2：由S3=S11得 d=－2<0
A.85 B.145 C.110 AD.90
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例3.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和
为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则
m=
.
10
例4.设数列{an}的通项公式为an=2n-
7,|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
aann1
0
0
得
n
15 2
n
13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
等数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得 a4+a5+a6+……+a11=0
2d 2
2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
课后练习1
已知等差数列25,21,19, …的前n项和 为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
课后练习2：已知在等差数列{an} 中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和.
练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为
( C)
A.12 B.13
C.12或13 D.14
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
2.等差数列{an}前n项和的性质
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0
又d=－2<0,a1=13>0
∴a7>0,a8<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由
Sn
d 2
n2
d
利用(a二1 次函2数)n
的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
.
153
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
等差数列{an}前n项和的性质
例5.设等差数列的前n项和为Sn,已知
a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明
理由.
a1+2d=12
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
n2
(a1
d )n 2
令
A
d 2
,
B
a1
d 2
则Sn=An2+Bn
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得
313 1 3 2 d 1113 1 1110 d
方法2:利用an的符号
①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时 所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且 an+1≤0求得.
②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时 所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且 an+1 ≥ 0求得.0
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
n 3 11 7
n
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
公差为
n2d
性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p), 则Sm+p= － (m+p)
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m=
0
性质4: {为Sn等}差数列.
n
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
两等差数列前n项和与通项的关系
性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前
n项的和分别为Sn和Tn,则
7
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n 1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
d
3
2d
∴Sn有最大值.
由上得 6 5 12 13 即 6 n 13
n2
(a1
d )n 2
的最值.
等差数列的前 n项和复习
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（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求S10 （3）求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值
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1.根据等差数列前n项和，求通项公式.
an aS1n Sn1
n1 n2
2、结合二次函数图象和性质求
Sn
d 2
an S2n1
bn
T2n1
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用
例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )
B
A.63 B.45 C.36 D.27
例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,则a2+a4+a6+…+a100=( )
等差数列的前 n项和复习
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复习回顾
等差数列的前n项和公式:
形式1:
Sn
n（a1 2
an )
形式2:
Sn
na1
n（n 2
1)
d
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
1.将等差数列前n项和公式
n(n 1)d 看作是一Sn个关n于a1n的 函数2，这个函数
有什么特点？
Sn
d 2
2
2
∴ d=－2
Sn
13n
1 2
n(n 1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
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等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法2：由S3=S11得 d=－2<0
A.85 B.145 C.110 AD.90
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等差数列{an}前n项和的性质的应用
例3.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和
为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则
m=
.
10
例4.设数列{an}的通项公式为an=2n-
7,|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
aann1
0
0
得
n
15 2
n
13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前 n项和复习
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等数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得 a4+a5+a6+……+a11=0
2d 2
2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
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课后练习1
已知等差数列25,21,19, …的前n项和 为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
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课后练习2：已知在等差数列{an} 中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和.
练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为
( C)
A.12 B.13
C.12或13 D.14
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2.等差数列{an}前n项和的性质
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0
又d=－2<0,a1=13>0
∴a7>0,a8<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由
Sn
d 2
n2
d
利用(a二1 次函2数)n
的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
.
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等差数列{an}前n项和的性质
例5.设等差数列的前n项和为Sn,已知
a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明
理由.
a1+2d=12
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
n2
(a1
d )n 2
令
A
d 2
,
B
a1
d 2
则Sn=An2+Bn
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
等差数列的前 n项和复习
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等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得
313 1 3 2 d 1113 1 1110 d
方法2:利用an的符号
①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时 所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且 an+1≤0求得.
②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时 所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且 an+1 ≥ 0求得.0
等差数列的前 n项和复习
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则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
n 3 11 7
n
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前 n项和复习
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等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
公差为
n2d
性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p), 则Sm+p= － (m+p)
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m=
0
性质4: {为Sn等}差数列.
n
等差数列的前 n项和复习
下午2时51分30秒
两等差数列前n项和与通项的关系
性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前
n项的和分别为Sn和Tn,则