导数公式的证明(最全版)
导数公式证明大全
导数公式证明大全导数是微积分中的重要概念，它描述了函数变化率的性质。
在这篇文章中，我们将给出一些导数的常用公式的证明。
1.一次函数的导数证明：我们考虑一条一次函数的图像，其方程为y = ax + b，其中a和b是常数。
假设我们有两个点(x, y)和(x + h, y + kh)在图像上，其中h是一个趋近于0的非零常数。
由直线的斜率公式知道，两点之间的斜率为k = (y + kh - y) / (x + h - x) = k。
函数的导数定义为函数曲线上任意一点切线的斜率，我们需要证明这个斜率与常数a相等。
根据定义，导数为dy / dx = lim(h -> 0) [(y + kh - y) / (x + h - x)] = lim(h -> 0) (kh / h) = a。
因此，一次函数y = ax + b的导数为dy / dx = a。
2.幂函数的导数证明：考虑一个幂函数y=x^n，其中n是常数。
我们仍然用限制h趋近于0的两个点(x, y)和(x + h, y + kh)来证明这个导数。
根据定义，导数为dy / dx = lim(h -> 0) [(y + kh - y) / (x + h - x)] = lim(h -> 0) [(x + h)^n - x^n] / h。
我们可以使用二项式定理展开(x + h)^n = x^n + nx^(n-1)h + ... + h^n，并取消掉所有除以h的项：dy / dx = lim(h -> 0) [nx^(n-1)h + ... + h^n] / h = lim(h -> 0) [nx^(n-1) + ... + h^(n-1)] = nx^(n-1)。
因此，幂函数y = x^n的导数为dy / dx = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数证明：考虑一个指数函数y=a^x，其中a是常数。
我们仍然使用限制h趋近于0的两个点(x, y)和(x + h, y + kh)来证明导数。
导数公式大全(最具说服力的)
数记为
y(4)，y(5)，·· (n) ·，y
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
d4 y dn y 或 ·， n , , ·· 4 dx dx
( x 2 1) - 2 x( x - 1) 2 x - x 2 1 . 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1)
教材P32 例2 求下列函数的导数：
(1) y x - cos x (2) y x e x 3 2 (4) y 2x 3x sin x e (3) y 2 1- x
2 2 2 2
(2)把 x - 2当作中间变量， y ' cos( x - 2) ( x - 2) ' 1 cos( x - 2) 2 x cos( x - 2) 2 x
(3)把 cos x当作中间变量， 1 sin x y' (cos x) ' - tan x cos x cos x
例4.求下列函数的导数： 1 y (3x 1) ; ）
2 3
2) y sin( x - 2); 4) y e
tan x
3) y ln cos x; 5) y 2
-x
;
解： 函数可以分解为y u ( x), u ( x) 3x 1, (1)
3 2
y ' [u 3 ( x)]' 3u 2 ( x) u ( x) ' 3(3x 2 1) 2 (3x 2 1) ' 3(3x 1) 6 x 18 x(3x 1)
16个基本导数公式推导过程
16个基本导数公式推导过程推导过程如下：1.常数函数：f(x)=c求导结果：f'(x)=0。
证明过程：由导数定义可得，当函数为常数时，无论x取任何值，函数的增量都为0，即f(x + Δx) - f(x) = 0。
所以，f'(x) =lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 0。
2.幂函数：f(x)=x^n，其中n为正整数。
求导结果：f'(x) = nx^(n-1)。
证明过程：利用定义求导。
计算f(x + Δx) = (x + Δx)^n与f(x) = x^n的差值，然后除以Δx，当Δx趋于0时求极限。
利用二项式展开，可以得出f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数：f(x)=e^x。
求导结果：f'(x)=e^x。
证明过程：由指数函数的性质可知，e^0 = 1，且(d(e^x)/dx) = e^x。
因此，可以据此推导出f'(x) = e^x。
4. 对数函数：f(x) = ln(x)。
求导结果：f'(x)=1/x。
证明过程：由导数定义可得f'(x) = lim(Δx→0) [ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx。
利用对数的性质，将差值化简为ln((x + Δx)/x)，再除以Δx并取极限，最终得出f'(x) = 1/x。
5. 正弦函数：f(x) = sin(x)。
求导结果：f'(x) = cos(x)。
证明过程：利用极限定义求导。
计算f(x + Δx) - f(x) = sin(x + Δx) - sin(x)，然后除以Δx并取极限。
应用三角函数的合角公式并利用三角恒等式可得f'(x) = cos(x)。
6. 余弦函数：f(x) = cos(x)。
求导结果：f'(x) = -sin(x)。
证明过程：同样应用极限定义。
计算f(x + Δx) - f(x) = cos(x + Δx) - cos(x)，然后除以Δx并取极限。
导数公式证明大全
导数公式证明大全导数的定义是函数变化率的极限。
下面将给出导数的一些重要公式的证明。
1.常数函数的导数：设常数函数$f(x)=c$，其中$c$为常数。
由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}0 \\ &= 0\end{aligned}\]因此，常数函数的导数为0。
2.幂函数的导数：设幂函数$f(x)=x^n$，其中$n$为正整数。
由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \end{aligned}\]将$(x+h)^n$展开为二项式，有：\[(x+h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}xh^{n-1} + h^n\]代入上式，消去$x^n$，并除以$h$，得：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0}\left(\binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \ldots +\binom{n}{n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}\right) \\ &= \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}\cdot 0 + \ldots + \binom{n}{n-1}x\cdot 0 + 0^{n-1} \\ &= n\cdot x^{n-1} \end{aligned}\]因此，幂函数的导数为$n$倍的$x$的$n-1$次方。
常用高阶导数公式证明
常用高阶导数公式证明一阶导数假设函数y=y(y)在y处可导，则函数y=y(y)在y处的导数为：$$ f'(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} $$二阶导数如果函数y=y(y)在y处可导，那么它的二阶导数为：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f'(x + \\Delta x) - f'(x)}}{\\Delta x} $$高阶导数函数y=y(y)的y阶导数定义如下：$$ f^{(n)}(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f^{(n-1)}(x + \\Delta x) - f^{(n-1)}(x)}}{\\Delta x} $$常用高阶导数公式证明二阶导数的公式一阶导数为：$$ f'(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} $$二阶导数为：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f'(x + \\Delta x) - f'(x)}}{\\Delta x} $$将一阶导数y′(y)的定义代入二阶导数公式中，得到：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0}\\frac{{\\left(\\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x}\\right)\\big|_{x+\\Delta x} - f'(x)}}{\\Delta x} $$根据导数的定义，上式可简化为：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{\\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} -f'(x)}}{\\Delta x} $$由此可得到二阶导数的通用公式。
高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！
高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！导数，也叫导函数值。
那么，高中数学导数公式及运算法则有哪些呢？高中数学导数公式有哪些1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2根据导数定义证明数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算方法函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
导数公式的证明最全
导数公式的证明(最全版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。
导数公式的证明(基础)
导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx用定义求导数公式（1）f(x)=x n求：f'(x)（3）f(x)=cosx 求：f'(x)（5）f(x)=log a x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2 所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1) （sinx）'=cosx （cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2(secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。
导数公式证明大全
导数的定义:：(x)=lim △ y/A x△ x—0 (下面就不再标明A x—0 了)用定义求导数公式1)f(x)=x A n证法一：n为自然数)f'(x)=lim [(x+A x)An-xAn]/A x=lim (x+ A x-x)[(x+ A x)A(n-1 )+x*(x+ A x)A(n -2)+...+xA(n-2)*(x+ A x)+xA(n -1 )]/ A x=lim [(x+A x)A(n-1)+x*(x+A x)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+A x)+xA(n-1)]=xA(n-1 )+x*xA(n -2)+xA2*xA(n -3)+ ...xA(n-2)*x+xA(n -1 )=nxA(n-1)证法二：n为任意实数)f(x)=xAnlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*xAn f'(x)=nxA(n -1)(2)f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+A x)-sinx)/A x=lim (sinxcos A x+cosxsin A x-sinx)/ A x =lim (sinx+cosxsin A x-sinx)/A x=lim cosxsin A x/A x=cosx(3)f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+A x)-cosx)/A x=lim (cosxcos A x-sinxsin A x-cosx)/A x =lim (cosx-sinxsin A x-cos)/A x=lim -sinxsin A x/A x=-sinx4)f(x)=a A xf'(x) =lim (aA(x+A x)-aAx)/A x=lim a A x*(a A△ x-1)/A x设"Ax-仁m,贝U A x=logaA(m+1))=lim aAx*m/logaA(m+1)=lim aAx*m/[ln(m+1)/lna]=lim aAx*lna*m/ln(m+1)=lim aAx*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim aAx*lna/ln[(m+1)A(1/m)]=lim aAx*lna/lne=aAx*lna若a=e,原函数f(x)=eAx 贝f'(x)=eAx*lne=eAx(5)f(x)=logaAxf'(x)=lim (logaA(x+A x)-logaAx)/A x=lim logaA[(x+A x)/x]/A x=lim logaA(1+A x/x)/A x=lim ln(1+A x/x)/(lna* A x) =lim x*ln(1+ A x/x)/(x*lna* A x) =lim (x/A x)*ln(1+ △ x/x)/(x*Ina)=lim ln[(1+ A x/x)A(x/ A x)]/(x*Ina)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=logeAx=Inx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x(6)f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+A x)-tanx)/A x=lim (sin(x+A x)/cos(x+ A x)-sinx/cosx)/A x=lim (sin(x+A x)cosx-sinxcos(x+A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim (sinxcos A xcosx+sin A xcosxcosx-sinxcosxcos A x+sinxsinxsin A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim sin A x/(A xcosxcos(x+A x))=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A2(7)f(x)=cotx f'(x)=lim (cot(x+ △ x)- cotx)/ △ x=lim (cos(x+A x)/sin(x+ △ x) -cosx/sinx)/A x=lim (cos(x+A x)sinx-cosxsin(x+A x))/( A xsinxsin(x+ A x)) =lim (cosxcos A xsinx-sinxsinxsin A x-cosxsinxcos A x- cosxsin A xcosx)/(A xsinxsin(x+A x))=lim -sin A x/(A xsinxsin(x+A x))=-1/(s in x)A2= -cscx/si nx=-(secxF2二1-(cotxF28)f(x)=secx f'(x)=lim (sec(x+A x)-secx)/A x=lim (1/cos(x+A x)-1/cosx)/A x=lim (cosx-cos(x+A x)/(A xcosxcos A x)=lim (cosx-cosxcos A x+sinxsin A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim sinxsin A x/(A xcosxcos(x+A x))=sinx/(cosx)A2=tanx*secx9)f(x)=cscxf'(x) =lim (csc(x+A x)-cscx)/A x=lim (1/sin(x+ A x)-1/sinx)/A x=lim (sinx-sin(x+A x))/(A xsinxsin(x+A x))=lim (sinx-sinxcos A x-sin A xcosx)/(A xsinxsin(x+A x)) =lim -sin A xcosx/(A xsinxsin(x+A x))=-cosx/(s in x)A2=-cotx*cscx10)f(x)=x A x lnf(x)=xlnx (lnf(x))'=(xlnx)' f'(x)/f(x)=lnx+1 f'(x)=(lnx+1)*f(x) f'(x)=(lnx+1)*xAx(12)h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+ A x)g(x+ A x)-f(x)g(x))/ A x =lim [(f(x+ A x)-f(x)+f(x))*g(x+A x)+(g(x+A x)-g(x)-g(x+A x))*f(x)]/ A x=lim [(f(x+ △x)-f(x))*g(x+ △x)+(g(x+ △ x)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+ △ x)-f(x)*g(x+ △ x)]/ A x=lim (f(x+ A x)-f(x))*g(x+ A x)/ A x+(g(x+ A x)-g(x))*f(x)/ A x=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(13)h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+ A x)/g(x+A x)-f(x)g(x))/A x=lim (f(x+A x)g(x)-f(x)g(x+A x))/(A xg(x)g(x+A x))=lim [(f(x+ A x)-f(x)+f(x))*g(x) -(g(x+ A x) -g(x)+g(x))*f(x)]/( A xg(x)g(x+A x))=lim [(f(x+ A x)-f(x))*g(x) -(g(x+ A x)-g(x))*f(x)+f(x)g(x) -f(x)g(x)]/(A xg(x)g(x+A x))=lim (f(x+ A x)-f(x))*g(x)/( A xg(x)g(x+A x))-(g(x+A x)-g(x))*f(x)/( A xg(x)g(x+A x))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x)) -f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x(14)h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+ A x))-f(g(x))]/ A x=lim [f(g(x+A x)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/A x (另g(x)=u, g(x+A x)-g(x)= △ u)=lim (f(u+ A u)-f(u))/ A x=lim (f(u+ A u)-f(u))* A u/(A x*A u)=lim f'(u)* A u/A x=lim f'(u)*(g(x+ A x)-g(x))/A x=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)总结一下(A n )'=nx^( n-1)(sinx) '=cosx(cosx) '=-sinx(aAx) '=aAxlna(eAx) '=eAx(logaAx) '=1/(xlna)(lnx)'=1/x(tanx)'=(secx)A2=1+(tanx)A2(cotx)'=-(cscx)A2=-1-(cotx)A2(secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(xAx)'=(lnx+1)*xAx [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。
导数公式大全(最具说服力的)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数旳导数公式：
(arcsin x) 1 , 1- x2
-1
(arccos x)
,
1- x2
(arctan
x)
1 1 x2
,
(arc
cot
x)
1
dx 4
dx n
f (x) 称为 f (x) 旳一阶导数.
而把
例3 求下列函数旳二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(- sin x) cos x - x sin x
y" - sin x - (sin x x cos x) -2sin x - x cos x
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) - u2(x) .
乘法法则旳推广：
(uvw) ' u 'vw uv ' w uvw '
补充例题： 求下列函数旳导数：
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1， 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
故
导数的公式及证明
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4．对数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x 5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx 6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx 7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀： 常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量’ 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3． 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2．这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。 所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=logae/x。 也可以进一步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。 这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。 对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。 y=x^n 由指数函数定义可知，y>0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证 导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率 上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。 x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1. 建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值。
常用的求导公式有哪些(大全)
常用的求导公式有哪些（大全）常用的求导公式有哪些1、f(x)=lim(h-0)[(f(x+h)-f(x))/h]. 即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。
其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。
包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，一共有如下求导公式：2、f(x)=a的导数， f(x)=0, a为常数. 即常数的导数等于0;这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。
就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。
可以根据幂函数的求导公式求得。
3、f(x)=x^n的导数， f(x)=nx^(n-1), n为正整数. 即系数为1的单项式的导数，以指数为系数，指数减1为指数. 这是幂函数的指数为正整数的求导公式。
4、f(x)=x^a的导数， f(x)=ax^(a-1), a为实数. 即幂函数的导数，以指数为系数，指数减1为指数.5、f(x)=a^x的导数， f(x)=a^xlna, a0且a不等于1. 即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积.6、f(x)=e^x的导数， f(x)=e^x. 即以e为底数的指数函数的导数等于原函数.7、f(x)=log_a x的导数， f(x)=1/(xlna), a0且a不等于1. 即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积.8、f(x)=lnx的导数， f(x)=1/x. 即自然对数函数的导数等于1/x.9、(sinx)=cosx. 即正弦的导数是余弦.10、(cosx)=-sinx. 即余弦的导数是正弦的相反数.11、(tanx)=(secx)^2. 即正切的导数是正割的平方.12、(cotx)=-(cscx)^2. 即余切的导数是余割平方的相反数.13、(secx)=secxtanx. 即正割的导数是正割和正切的积.14、(cscx)=-cscxcotx. 即余割的导数是余割和余切的积的相反数.15、(arcsinx)=1/根号(1-x^2).16、(arccosx)=-1/根号(1-x^2).17、(arctanx)=1/(1+x^2).18、(arccotx)=-1/(1+x^2).19、(f+g)=f+g. 即和的导数等于导数的和。
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
公式3: (x2 ) 2x
设y f x x2, x2 lim f xx f x
x0
x
x x2
lim
x2
lim2xx
2x
x0
x
x0
即x2 2x
公式4: x3 3 x 2
设y f x x3, x3 lim f xx f x
(A)y=x3+sinx (C)y=xsinx
(B)y=x2-cosx (D)y= x +cosx
(2)若(A f)1 (x x) (B x12), 则x fx (x1 )可(能C ) 是 2 下x 式3中(D 的) ( B2 1 x 3 )
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的
sin
x 2
x 0
x
sin x
lim sin x x lim
x 0
x 0
2 x
lim sin x 1 x0 x
2
Hale Waihona Puke sin x证 明 ： ln x lim ln x x ln x
x 0
x
ln lim
x 0
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
x0
则 lim f x g x A B x0
lim f x g x A B
x0
lim f x A x0 g x B
2、 若 yfxxx0,0,Q，
则 yx1,为 有 理 数
证 明 ： s i n x li m s i n x x s i n x
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若 a=e，原函数 f(x)=loge^x=lnx 则 f'(x)=1/(x*lne)=1/x
（6）f(x)=tanx f'(x) =lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx =lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx =lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔ x+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx)) =1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
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（3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx
（4）f(x)=a^x 证法一： f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx =lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设 a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)） =lim a^x*m/loga^(m+1)
证法二：（n 为任意实数） f(x)=x^n
lnf(x)=nlnx
数学导数公式大全
(lnf(x))'=(nlnx)'
导数公式的证明最全版
导数公式的证明最全版导数的定义是函数在特定点处的变化率，即斜率。
要证明导数的定义，需要使用极限的概念和微分的概念。
假设函数f(x)在点x=a处有导数，记为f'(a)。
我们可以通过极限定义来证明导数的公式。
1.导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)，定义为：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗2.应用极限的性质：根据极限的性质，我们可以将上述公式改写为：f'(a) = lim┬(h→0)〖f(a+h)-f(a))/lim┬(h→0)h〗3.差商：我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h理解为两点(x,y)间的斜率。
根据微积分的思想，我们可以通过使用两点间的切线来近似表示曲线的斜率。
4.切线近似：在点(x,y)处，我们可以使用切线来近似表示曲线的斜率，该切线与曲线相切于点(x,y)处，并且与曲线在该点的切线斜率相同。
5.切线方程：曲线在点x=a处的切线方程为：y=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f'(a)表示导数，(x-a)表示函数的自变量变化量。
6.近似函数：对于足够小的自变量变化量h，我们可以使用切线方程近似表示函数f(x)在点x=a+h处的函数值：f(a+h)≈f(a)+f'(a)h7.导数公式推导：根据近似函数的表示，我们可以将差商(f(a+h)-f(a))/h表示为：(f(a)+f'(a)h-f(a))/h化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h8.推导细节：进一步化简上述式子，得到：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)/h - f(a)/h)根据极限的性质，推出：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)/h) - lim┬(h→0)(f(a)/h)化简得到：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a)/h)这与导数的定义一致，因此我们证明了导数的定义公式。
导数公式的证明(最全版)
导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。
导数公式的证明最全版
导数的定义：f'(x)=lim △ y/ △ x△ X T0 (下面就不再标明△ X T0 了)用定义求导数公式(1)f(x)=x A n证法一： (n 为自然数)f'(x)=lim [(x+A x)An-xAn]/ △x=lim (x+A x-x)[(x+A X)A( n-1)+x*(x+A X)A( n-2)+…+xA(n-2)*(x+ △x)+xA(n-1)]/ △x=lim [(x+A x)A(n-1)+x*(x+A x)A(n-2)+…+xA(n-2)*(x+A x)+xA(n-1)] =xA(n-1)+x*xA(n-2)+xA2*xA(n-3)+ ...xA(n-2)*x+xA(n-1)=nxA(n-1)证法二：( n 为任意实数)f(x)=xAnlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*xAnf'(x)=nxA(n-1)(2)f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+A x)-sinx)/ △x=lim (sin xcos^ x+cosxsin^ x-sin x)/ △x=lim (sin x+cosxsin A x-sin x)/ △x=lim cosxs 也x/ △ x=cosx(3)f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+A x)-cosx)/ △x=lim (cosxcosA x-sinxsin A x-cosx)/^ x-cos)/ △x=lim (cosxs inxsin A x =lim -si nxsin A x/ △x=-s inx f(x)=a A x ) (4 证法一：f'(x)-a A x)/ △x=lim (aA(x+A x) 1)/ △x=lim aAx*(aA △x-92 /(设aA^x-1= 口，贝卩4 x=logaA(m+1))=lim aAx*m/logaA(m+1)=lim a A x*m/[l n(m+1)/l na]=lim aAx*l na*m/ln( m+1)=lim aAx*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim aAx*lna/ln[(m+1)A(1/m)]=lim aAx*lna/lne=aAx*lna证法二：f(x)=aAxlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=aAxlna若a=e,原函数f(x)=eAx则f'(x)=eAx*lne=eAx(5)f(x)=logaAxf'(x)3 / 9=lim (logaA(x+A x)-logaAx)/ △x=lim loga A[(x+A x)/x]/ △x=lim logaA(1 + △ x/x)/ △ x=lim In(〔+△ x/x)/(lna* △ x)=lim x*ln(1+ △ x/x)/(x*Ina* △ x)=lim (x/ △ x)* In (1+ △ x/x)/(x*l na)=lim ln[ (1 + △ x/x)A(x/ △ x)]/(x* In a)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=logeAx=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x(6)f(x)=tanxf'(x)=lim (ta n(x+A x)-ta nx)/ △x=lim (sin(x+A x)/cos(x+A x)-sinx/cosx)/A x=lim (sin(x+A x)cosxsinxcos(x+A x)/( △xcosxcos(x+X x))=lim(sinxcos A xcosx+sin A xcosxcosxsinxcosxcosX x+sinxsinxsin A x)/( △xcosxcos(x+X x))=lim si n A x/( △xcosxcos(x+X x))=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A27)f(x)=cotx f'(x)=lim (cot(x+ A x)-cotx)/ △x=lim (cos(x+A x)/si n(x+ A x)-cosx/si nx)/A x=lim (cos(x+A x)si nx~cosxs in (x+A x))/( A xsinxsin(x+A x))=lim(cosxcos A xsinx-sinxsinxsin A x-cosxsinxcos A x-cosxsin A xcosx)/(A xsinxsin(x+A x))=lim -sin A x/(A xsinxsin(x+A x))=-1/(si nx)八2二-cscx/si nx二(secx)八2=1-(cotx)八2(8)f(x)=secxf'(x)=lim (sec(x+A x)-secx)/A x=lim (1/cos(x+A x)-1/cosx)/A x=lim (cosx-cos(x+A x)/(A xcosxcos A x)=lim (cosx-cosxcos A x+sinxsin A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim sinxsin A x/(A xcosxcos(x+A x))=si nx/(cosx)八2二ta nx*secx9)f(x)=cscxf'(x) =lim (csc(x+A x)-cscx)/A x5 / 9=lim (1/sin(x+A x)-1/sinx)/ △x=lim (si n*si n(x+A x))/( △xsinxsin(x+A x))=lim (sin*sinxcos^ x-sin A xcosx)/(A xsinxsin(x+A x))=lim -sin △ xcosx/(A xs in xsi n(x+A x))=-cosx/(si nx)八2二cotx*cscx(10) f(x)=x A xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*xAx( 12) h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+ △x)g(x+A x)-f(x)g(x))/A x=lim [(f(x+ △x)-f(x)+f(x))*g(x+A x)+(g(x+A x)-g(x)-g(x+A x))*f(x)]/ △x =lim [(f(x+ △x)-f(x))*g(x+ △x)+(g(x+A x)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+ △x)-f(x)*g(x+△x)]/ △x=lim (f(x+ A x)-f(x))*g(x+ △x)/ △x+(g(x+A x)-g(x))*f(x)/ △x=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(13)h(x)=f(x)/g(x)6 / 9h'(x)=lim (f(x+A x)/g(x+A x)-f(x)g(x))/A x=lim (f(x+A x)g(x)-f(x)g(x+A x))/(A xg(x)g(x+A x))=lim [(f(x+A x)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+A x)-g(x)+g(x))*f(x)]/(A xg(x)g(x+A x))=lim [(f(x+A x)-f(x))*g(x)-(g(x+A x)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Axg(x)g(x+A x))=lim (f(x+A x)-f(x))*g(x)/( A xg(x)g(x+A x))-(g(x+A x)-g(x))*f(x)/(Axg(x)g(x+A x))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x(14)h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+A x))-f(g(x))]/A x=lim [f(g(x+A x)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/A x (另g(x)=u，g(x+A x)-g(x)=A u) =lim (f(u+ A u)-f(u))/ △x=lim (f(u+ A u)-f(u))* A u/( A x* A u)=lim f(u)* A u/ A x=lim f'(u)*(g(x+A x)-g(x))/A x=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)(15)y=f(x)=arcsinx7 / 9siny二x 贝U(siny )'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy-(si ny )八2 =1/V 1(si ny=x)-x A2 =1/V 1-x A2 f(x)=1/ V1 即(16)y=f(x)=arcta nxtany=x贝(tany)'=1+(tany)A2=1+xA2所以(arcta nx)'=1/1+xA2f(x)= 1/1+xA2 即总结一下'二nxA(n-1) xAn) ('=cosx sin) ('=-sinx ) (cosx'=aAxlna ) (aAx'=eAx eAx) ('=1/(xlna))( logaAx8 / 9lnx) '=1/x(ta nx)'=(secx)八2=1+(ta nx)八2 (cotx)'=-(cscx)八2二1-(cotx)八2 (secx)'=tanx*secx (cscx)'=-cotx*cscx (x A x)'=(l nx+1)*x^x (arcs in x)'=1/V 1/2 (arctanx)'=1/1+xA2 [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)9 / 9。
反三角函数求导公式证明
反三角函数求导公式证明要证明反三角函数的导数公式，我们首先需要回顾一些基本的导数公式和三角函数的关系。
1.基本导数公式：(a) 若f(x)=cx^n (其中c为常数，n为正整数)，则f'(x)=ncx^(n-1)；(b)若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x；(c) 若f(x)=ln(x)（其中ln表示自然对数），则f'(x)=1/x；2.三角函数和反三角函数的关系：(a) 若sin(x)=y，则x=arcsin(y)；(b) 若cos(x)=y，则x=arccos(y)；(c) 若tan(x)=y，则x=arctan(y)；现在我们逐个证明反三角函数的导数公式。
一、反正弦函数（arcsin）的导数：我们设y=arcsin(x)。
根据反函数的性质，我们有sin(y)=x。
对等式两边求导：d/dx[sin(y)] = d/dx[x]cos(y) * dy/dx = 1dy/dx = 1 / cos(y)我们知道sin^2(y) + cos^2(y) = 1，因此cos(y) = sqrt(1 -sin^2(y)) = sqrt(1 - x^2)。
将其代回上式，得到：dy/dx = 1 / sqrt(1 - x^2)因此，反正弦函数的导数公式为：d/dx[arcsin(x)] = 1 / sqrt(1 - x^2)二、反余弦函数（arccos）的导数：我们设y=arccos(x)。
根据反函数的性质，我们有cos(y)=x。
对等式两边求导：d/dx[cos(y)] = d/dx[x]-sin(y) * dy/dx = 1dy/dx = -1 / sin(y)我们知道sin^2(y) + cos^2(y) = 1，因此sin(y) = sqrt(1 -cos^2(y)) = sqrt(1 - x^2)。
将其代回上式，得到：dy/dx = -1 / sqrt(1 - x^2)因此，反余弦函数的导数公式为：d/dx[arccos(x)] = -1 / sqrt(1 - x^2)三、反正切函数（arctan）的导数：我们设y=arctan(x)。
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导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）For personal use only in study and research; not for commercial usef'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/ΔxFor personal use only in study and research; not for commercial use=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)For personal use only in study and research; not for commercial use证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]=lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx =lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy =1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2 所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1) （sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文。