例析方程思想在勾股定理中的应用
数学勾股定理论文
数学勾股定理论文勾股定理是数学史上一个伟大的定理,同时也是一个历史悠久的定理.下面店铺给你分享数学勾股定理论文，欢迎阅读。
数学勾股定理论文篇一数学思想是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁.灵活运用数学思想，能够有效地提高分析问题和解决问题的能力，增强应用数学知识的意识.在《勾股定理》这一章中，蕴含着许多重要的数学思想，现举例介绍如下.一、方程思想在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.二、化归思想化归思想就是通过一定的方法或途径，把需要解决的问题变换形式，变化成另一类已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题得到解决.例3如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm.点B 与点C的距离为5cm，一只蜗牛如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需爬行的最短路程是多少?分析：由于蜗牛是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体展开成平面图形.根据两点之间线段最短，蜗牛爬行的较短路程有两种可能，如图4、图5所示.利用勾股定理容易求出两种图中AB的长度，比较后即可求得蜗牛爬行的最短路程是25cm.说明：这里通过长方体的展开图，把立体图形转化为平面图形，把求蜗牛爬行的最短路程问题化归成利用勾股定理求两点间的距离问题.例4如图6，是一块四边形的草地ABCD，其中∠A = 60O，∠B =∠D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD、BC的长(精确到0.1m，≈1.732).(2004年天津市中考题)分析：图中无直角三角形，怎么办?联想到含30O角的直角三角形，因而延长AD、BC交于点E，则∠E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m，BE == m，所以AD = 40≈22.7m，BC = 20≈14.6m.说明：本题充分利用已知图形的特点，通过构造新图形，将四边形问题巧妙地转化成了直角三角形问题.三、数形结合思想数形结合，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的.例5在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高?(2005年福建省龙岩市中考题)分析：依题意画出示意图7，D为树顶，AB = 10m，C为池塘，AC = 20m. 设BD = (m)，则树高AD = ( +10)m.因为AC + AB = BD + DC，所以DC = (30)m. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得方程202 + ( + 10)2 = (30)2，解得 = 5，所以 +10 = 15，即树高15m.说明：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系.利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型，再利用方程来解决.四、分类讨论思想在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决.最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法.例6 一直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边的长为______.分析：此题中已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论，答案是5cm或cm.例7“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A = 30O，AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积. (2003年黑龙江省中考题)分析：由于题目中没有明确告诉我们△ABC的形状，故需分两种情况讨论.在图8中，S△ABC=10 (20 + 15)米2;在图9中，S△ABC= 10(2015)米2.说明：此类问题由于题目中没有图形，常需分类讨论，解答时极易因考虑不周而导致漏解，希望同学们用心体会.五、整体思想对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目.例8已知一个直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，那么这个三角形的面积为______.分析：设这个直角三角形的两条直角边长为，斜边为，则= 3013 = 17，于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289，由勾股定理知2 + 2 = 289，即132+ 2 = 289，所以 = 60，故所求三角形面积S == 30cm2.说明：我们要求的是面积，即，不一定要分别求出和的值，只要从整体上求出即可.例9 如图10所示，在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = ______.(2005年浙江省温州市中考题)分析：根据已知条件可知AC = EC，∠ABC = ∠CDE = 90O，由角的互余关系易证∠ACB =∠CED，这样可得△ABC ≌ △CDE，所以BC = ED，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有S1 + S2 = 1，同理可得S3 + S4 = 3，所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4.说明：本题不是直接求出S1，S2，S3，S4，而是借助勾股定理求得S1 + S2，S3 +S4，体现了整体思想在解决问题中的灵活应用.数学勾股定理论文篇二数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法.它能使人领悟到数学的真谛，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用.日本数学教育家米山国藏认为，学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用.灵活运用数学思想方法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，事半功倍.下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明.一、分类思想例1.(2013年贵州黔西南州)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )点评：本题的易错点是受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为4的边当作直角边，从而误选A，犯了考虑问题不全面的错误.二、方程思想例2.(2013年山东济南)如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m分析：观察图形，当绳子末端拉到距离旗杆8m处，可过绳子末端向旗杆作垂线，这样可以得到一个直角三角形，然后设旗杆的高度为未知数，进而运用勾股定理列方程求解.解：如图2，设旗杆的高度为x，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.在Rt△ABC中，由勾股定理，得(x-2)2+82=x2.解得x=17m，即旗杆的高度为17m，答案选D.三、整体思想例3.(2013年江苏扬州)矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为____________.分析：设矩形的两邻边长分别为a、b(a>b)，则依据题意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面积等于ab，关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子.解：设矩形的两邻边长分别为a、b (a>b)，则a-b=2.五、数形结合思想例5.(2013年湖南张家界)如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10，0)、(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________.分析：易知OD=5，要使△ODP为腰长为5的等腰三角形，可以点O为圆心，OD为半径作圆;也可以点D为圆心，OD为半径作圆.解：由C(10，0)可知OD=5.(1)以点O为圆心，OD为半径作圆交边六、构造思想例6.同例3分析：根据已知条件，联想到证明勾股定理的弦图，本例便有如下巧妙解法.数学勾股定理论文篇三正确的数学思想是成功解题的关键所在.在运用勾股定理解题时，若能正确把握数学思想，则可使思路开阔，方法简便快捷.下面列举在应用勾股定理时经常用到的数学思想，供同学们参考.一、方程思想◆例1如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且点C落到E点，则CD等于( ).A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm分析：由题意可知，ΔACD 和ΔAED关于直线AD对称，因而有ΔACD ≌ΔAED .进一步则有AE=AC=6cm，CD=ED，DE⊥AB.设CD=ED=xcm，则在ΔDEB中，由勾股定理可得DE2+BE2=BD2.又因在ΔABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10.所以有x2+(10- 6) 2=(8- x)2,解得x=3.故选B.二、转化思想◆例2如图2，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm.现有一小虫从A出发，沿长方体表面爬行，到达C处，问小虫走的路程最短为多少厘米?分析：求几何体表面最短距离问题，通常可将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.对于此题，可将该长方体的右表面翻折至前表面，使A、C两点共面，连结AC，线段AC的长度即为最短路程(如图3).由勾股定理可知AC2=32+42=52，即小虫所走的最短路程为5cm.三、分类讨论思想◆例3在ΔABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长.分析：三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分两种情况来考虑.当BC边上的高AD在ΔABC的内部时，如图4，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，得BD=9;CD2=AC2-AD2，得CD=16，则BC=BD+CD=9+16=25;当BC上的高AD在ΔABC的外部时，如图5，同样由勾股定理可求得CD=16，BD=9，这时，BC=CD-BD=16- 9=7，故BC的长为25或7.四、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想.这里不再举例，请同学们在平时的练习中仔细体会.。
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。
今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。
本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。
关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。
方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。
利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。
三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。
专题10 勾股定理有关的计算（含答案）
第三章 勾股定理专题10 勾股定理有关的计算知识解读勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理几种表达式：在ABC Rt ∆中，90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b .c ，则222b a c +=，222b c a -=,222a c b -=；22b a c +=，22b c a -=，22a c b -=.勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系。
应用勾股定理的时候，一定要弄清哪条边是直角边，哪条边是斜边.培优学案典例示范一、已知直角三角形的两边关系，常考虑运用方程思想 例1直角三角形的两直角边长的比是4:3，斜边长是25，则它的两直角边长分别是 . 【提示】可设直角三角形的两直角边长分别为x 3和x 4，然后根据勾股定理列出关于x 的方程。
【技巧点评】根据两边关系设未知数，根据勾股定理，列方程求未知数的值，是解决此类问题常用的方法。
跟踪训练1.在ABC Rt ∆中，90=∠C ，30=∠A ，6=b ，则c = ，a = . 二、没有提供图形的几何题，要留意可能出现多解例2在ABC ∆中，13=AB ，15=AC ，BC 边上的高12=AD ，求BC 的长.【提示】本题已知条件的三条线段AB ，AC 和AD ，都是从点A 出发的，需要分两种情况讨论。
【解答】【技巧点评】几何题目如果没有明确图形形状的时候，一般这个图形形状会出现几种情况，解题时需要仔细分析题意，找出所有可能的情况。
跟踪训练2. 已知一个直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边长为 .三、等腰三角形底边上的高例3 如图3-10-1，在ABC ∆中，10==AC AB ，8=BC ，AD 是BC 边上的中线，求AD 的长. 【提示】由于AD 是BC 边上的中线，可知BC AD ⊥，于是由10==AC AB ，8=BC ，利用勾股定理即求.【解答】图3-10-1等腰三角形底边上的高和底边上的中线是同一条线段，根据这一性质，可运用勾股定理求得等腰三角形底边上的高。
方程思想在勾股定理中的应用
第十六章 勾股定理课题：勾股定理的方程思想年级：八年级 学科 ：数学 执笔：王文玉 审核：数学组学习目标： 根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法学习重难点：对于复杂题目学会条件转化，列出方程一.学前准备：1.叙述勾股定理的内容：______________________________________________2．在Rt △ABC ，∠C ＝90°，若BC=16，AB ：AC=5：3，则AB=_____AC=______3．如图,一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米,若将绳子拉直, 则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米.则旗杆的高度为________米二．师生互动：·古代数学问题 4.在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。
引葭 赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出 水面1尺。
若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。
问水有多深？芦苇多长？ 请解这道题。
5. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边生长了两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外 一棵高20肘尺，两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都有一只鸟，忽然，两只鸟 同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞下去抓鱼，它们的速度相同并且同时到达目 标．问这条鱼出现的地方与比较高的棕榈树之间的距离有多远？·折叠问题 6.如图：在长方形ABCD 中,已知AB=8cm ，BC=10cm,将AD 沿直线AF 折叠，使点D 落在BC 上的 E 处，求CF 的长 三．课堂小结：谈谈你的收获 四．自我检测： 7．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=12cm, 现将直角边沿直线AD 折叠， 使点C 落在斜边AB 上的点E ，则 CD 的长为_______________cm 8．在一棵树BD 的5m 高A 处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D 后跳到离树10m 的地面 C 处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C 处，如果两个猴子经过的距离相等，则这棵树 高为__________m. 五．课后思考题： 笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得呜呜哭。
勾股定理与数学思想方法
勾股定理与数学思想方法李树臣勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
因此，勾股定理体现了数形结合的思想。
除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思 想求解的题目随处可见。
例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。
将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。
已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。
请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。
∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。
CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。
所以这种铁球的直径为20cm 。
2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。
在这里充分体现了分类讨论的思想。
勾股定理与方程思想
2.思想方法：
（1）方程思想 （2）数形结合思想
（3）转化思想 （4）建模思想
注意：
在总结本节课学习了哪些知识时，教师 可以引导学生总结，比如说，“如果题 目中出现了... ...，那么我们就考虑......”.
的结论.
（三）总结
1.本节课学习了哪些知识？ 2.本节课涉及了哪些思想方法？
1.本节课学习了哪些知识？
（1）解决与勾股定理有关的实际问题时， 先要抽象出几何图形，从中找出直角三 角形，再设未知数，找出各边的数量关
系，最后根据勾股定理求解； （2）如果一道题目中有多个直角三角形， 要选择能够用一个未知数表示出三条边 的直角三角形（边也可为常数），在这 个三角形中利用勾股定理求解. “斜化直”
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14， BC=6，求△ABC的面积. C
A
B
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16， AC=14，BC=6，求△ABC的面积.
C
小结：
A D B
1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可 考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直
角三角形;
2. “斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解.
AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD 折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD
的长.
C
D
6
B
A
E6
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在
同一平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，
AB=4，求DE的长.
C'
A
E
D
B
C
【问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有 直角，怎么利用勾股定理求解？
勾股定理典型例题
第一章勾股定理一、勾股定理与数学思想方法1.勾股定理中方程思想的运用例1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）2.勾股定理中分类讨论思想的运用例2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。
3.勾股定理中类比思想的运用例3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明4.勾股定理中整体思想的运用例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．5.勾股定理中数型结合思想的运用例题5．在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？二、勾股定理典型例题题型一：勾股定理的综合应用例1、如图1，︒=∠90ACB，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？（面积法应用）2、在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求CD的长BDCA图1例2、 有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）3、如图，求该四边形的面积题型二：折叠问题（图形与方程的综合）例1、 如图4，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
专题 方程思想在勾股定理中的应用(四大题型)(解析版)
（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》专题 方程思想在勾股定理中的应用【例题1】（2022春•赣州月考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ：b ＝5：12，c ＝26，则△ABC 的面积为（ ）A ．96B ．98C ．108D ．120【分析】根据勾股定理和三角形的面积求解即可．【解答】解：∵c＝26，a：b＝5：12，∴设a＝5x，则b＝12x，∵a2+b2＝c2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得x＝2，∴a＝10，b＝24．∴12ab=12×10×24=120，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a：b＝3：4，c＝10，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则a的长为（ ）A．3B．6C．8D．12【分析】由a与b的比值，设a＝3k，b＝4k，再由c的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出a的长．【解答】解：由a：b＝3：4，设a＝3k，b＝4k，在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，即9k2+16k2＝100，解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），则a＝3k＝6．故选：B．【点评】此题考查了勾股定理，以及比例的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-2】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（ ）A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm【分析】根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．【解答】解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202，整理得：x2＝16，解得：x＝4，∴两直角边分别为12cm，16cm，则这个直角三角形的周长为12+16+20＝48cm．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-3】在△ABC中，∠C＝90°，a+c＝32，a：c＝3：5，则△ABC的周长为 ．【分析】根据a+c＝32和a：c＝3：5可以准确计算a、c的长度，根据a、c的长度计算b的长度，即可求得a+b+c．【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，即c2＝b2+a2，∵a+c=32 a：c=3：5，∴a＝12，c＝20，∵c2＝b2+a2，∴b＝16．∴a+b+c＝12+16＝20＝48．故答案为：48．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中根据a、c的两个等量关系式计算a、c的长度是解题的关键．【变式1-4】（2022春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（ ）A．8B．10C．24D．48【分析】设另一直角边长为x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：设另一直角边长为x，则斜边长为（x+2），由勾股定理得，x 2+62＝（x +2）2，解得，x ＝8，∴该三角形的面积=12×6×8＝24，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式1-5】已知直角三角形的斜边为2，周长为2A ．12B ．1CD ．2【分析】根据已知可得到两直角边的和，根据完全平方公式即可求得两直角边的乘积，从而不难求得其面积．【解答】解：设两直角边分别为：a ，b ，斜边为c ，∵直角三角形的斜边为2，周长为2+∴a +b ∵（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝c 2+2ab ＝4+2ab ＝6，∴ab ＝1，∵三角形有面积=12ab =12，故选：A ．【点评】此题主要考查学生对勾股定理及完全平方和公式的运用．【变式1-6】（2021秋•重庆期中）如图，Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，△ABD 是等腰三角形，AB ＝BD ＝4，CB ⊥BD ，交AD 于E ，BE ＝1，则AC ＝ ．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAE ＝∠BDE ，根据等式的性质得到∠CAE ＝∠DEB ，求得AC ＝EC ，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵AB＝BD＝4，∴∠BAE＝∠BDE，∵CB⊥BD，∴∠DBE＝∠CAB＝90°，∴∠DEB＝90°﹣∠D，∠CAE＝90°﹣∠BAD，∴∠CAE＝∠DEB，∵∠AEC＝∠DEB，∴∠CAE＝∠CEA，∴AC＝EC，∵BE＝1，∴BC＝AC+1，∵AC2+AB2＝BC2，∴AC2+42＝（AC+1）2，∴AC=15 2，故答案为：15 2．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得AC＝CE是解题的关键．【变式1-7】（2021春•盘龙区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）A．3B．5C．2.4D．2.5【分析】连接CE，由矩形的性质可得∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，由OE⊥AC，AO＝OC，可知OE垂直平分AC，则可得AE＝CE；设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可．【解答】解：连接CE，如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴DE的长为3．故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相相关性质及定理是解题的关键．【变式1-8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．（1）若a：b＝3：4，c＝15，求b；（2）若a＝6，b＝8，求c的长及斜边上的高．【分析】（1）根据已知的比用x表示边长，然后利用勾股定理列出方程求解即可；（2）根据勾股定理求出斜边，并用三角形的面积公式求斜边上的高即可．【解答】解：（1）∵a：b＝3：4，∴设b＝4x，a＝3x，∴c＝5x，又∵c＝15，∴5x＝15，∴x＝3，∴b＝4×3＝12．（2）∵b＝8，a＝6，∴c＝10，由三角形的面积公式得，ab＝c•CD，∴CD=abc=6×810=4.8．【点评】本题考查的是勾股定理即三角形的面积公式，解题关键是掌握勾股定理并灵活应用．【变式1-9】（2023春•荔城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．【分析】由勾股定理先求出BC＝6，连接BE，根据中垂线的性质设AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在Rt△BCE 中由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC==6，连接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得x=25 4，∴AE=25 4．【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质．【变式1-10】（2022秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．（1）求证：CD⊥AB；（2）求AC长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12，∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2，∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：∵AB＝AC，∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5，∵∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2+CD2，∴（AD+5）2＝AD2+122，∴AD=119 10，∴AC=11910+5=16910．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．关性质及定理是解题的关键．【变式1-11】（2023春•沂水县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．（1）若∠A＝25°，求∠ACD的度数；（2）若BC＝4，CE＝3，求AD的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；（2）根据线段的和差以及勾股定理可得结论．【解答】解：（1）根据作图可知BD＝BC．∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝65°．∵BD＝BC，∴∠BCD=∠BDC=180°65°2=57.5°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣57.5°＝32.5°；（2）根据作图可知AD＝AE，BD＝BC．∵∠ACB＝90°，BC＝4，CE＝3，∴BD＝BC＝4∵AE＝AD，∴AC＝AD+3，AB＝AD+4．在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2．即（AD+4）2＝（AD+3）2+42．解得：AD＝4.5．【点评】本题考查的是勾股定理，三角形的内角和定理，掌握勾股定理是解题的关键．【例题2】（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，则AD＝ ，BD＝ ；（2）若BC＝20，求CD的长．【分析】（1）由勾股定理可得出答案；（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，由勾股定理可得出102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，则可得出答案．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，∴AD==8，∴BD=15．故答案为：8，15；（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，解得x=211 40，∴CD=211 40．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．【变式2-1】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．【分析】设BD＝x，则CD＝14﹣x，根据勾股定理得出方程，解方程求出x的值，再由勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵△ADB与△ACD均为直角三角形，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得x＝9，∴BD＝9，∴AD==12．【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出BD是解决问题的关键．【变式2-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．（1）求∠A的度数；（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．【解答】解：（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．∵BE2﹣AE2＝AC2，∴AE2+AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；（2）在Rt△BDE中，BE=5．所以CE＝BE＝5．设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，所以AC2＝25﹣x2．∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，即64＝（5+x）2+25﹣x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．【变式2-3】如图，在△ABC中，AC BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（ ）A．10B．11C．12D．13【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到AB＝2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，得到AB＝2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案．【解答】解：连接DE，∵AD⊥BC，点E是AB的中点，∴AB＝2DE，∵DF⊥CE，点F是线段CE的中点，∴DE＝DC，∴AB＝2CD，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，即（2CD）2﹣（13﹣CD）22﹣DC2，解得，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式2-4】如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？【分析】设BC＝xcm，则CD＝（34﹣x）cm，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程，求出x的值即可．【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，解得x＝8．∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．【变式2-5】（2022秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝AD⊥BC，垂足为D．（1）求证：∠B＝2∠CAD．（2）求BD的长度；（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离．【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可证明；（2）设CD ＝x （x ＞0），由勾股定理得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2，列出关于x 的方程，求出x 的值，即可得到答案；（3）由三角形面积公式得到12BC •AD =12AB •PM +12AC •PN ，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠BAC ＝∠C ，∵∠BAC +∠C +∠B ＝180°，∴∠B +2∠C ＝180°，∵AD ⊥BC ，∴∠CAD +∠C ＝90°，∴2∠C +2∠CAD ＝180°，∴∠B ＝2∠CAD ，（2）解：设CD ＝x （x ＞0），在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，∵AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2＝AD 2，∴102﹣（10﹣x ）2=―x 2，∴x ＝2，∴BD ＝BC ﹣CD ＝10﹣2＝8；（3）解：作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，且PM ＝PN ，连接AP ，在Rt △ABD 中，AD 6，∵△ABC 的面积＝△PAB 的面积+△PAC 的面积，∴12BC •AD =12AB •PM +12AC •PN ，∴10×6＝（PM ，∴PM ＝10﹣∴P到AB的距离是10﹣【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是掌握由勾股定理列出关于CD的方程；由三角形面积公式得到12BC•AD=12AB•PM+12AC•PN．【变式2-6】（2023春•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝ ；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．【分析】（1）直接利用BC的长表示出DC的长；（2）直接利用勾股定理进而得出x的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：（1）∵BC＝14，BD＝x，∴DC＝14﹣x，故答案为：14﹣x；（2）∵AD⊥BC，∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得：x＝9；（3）由（2）得：AD==12，∴S△ABC =12•BC•AD=12×14×12＝84．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．【例题3】（2022秋•卧龙区校级月考）如图，在长方形ABCD 中，BC ＝4，CD ＝3，现将该长方形沿对角线BD 折叠，使点C 落在对点C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试说明DE ＝BE ；（2）求AE 的长．【分析】（1）利用等角对等边解决问题即可；（2）设BE ＝DE ＝x ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理构建方程求解，再根据AE ＝AD ﹣DE 即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，由翻折的性质可知∠DBE ＝∠DBC ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DE ＝BE ．（2）设BE ＝DE ＝x ，在Rt △ABE 中，∵∠A ＝90°，∴BE2＝AB2+AE2，∴32+（4﹣x）2＝x2，解得x=25 8，∴BE=DE=25 8，∴AE=AD―DE=4―258=78．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）A．154cm B．254cm C．74cm D．无法确定【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD＝BD＝8﹣x，在△ACD中，∠C＝90°，∴AD2＝AC2+CD2，∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x=7 4，即CD的长为74 cm．故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC 沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ ）A．95B．125C．165D．185【分析】连接BD交AC于点F，由折叠的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由勾股定理求出CF的长，则可由中位线定理求出DE的长．【解答】解：连接BD交AC于点F，∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∴BF＝DF，∠BFC＝90°，∵AB＝4，BC＝3，∴AC=5，设CF＝x，则AF＝5﹣x，∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2，∴42﹣（5﹣x）2＝32﹣x2，∴x=9 5，∴CF=9 5，∵CE＝BC，∴CF=12 DE，∴DE=18 5．故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【变式3-3】（2023春•米东区期末）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为F，BF与AD交于点E，若BC＝2AB＝8，求DE的长．【分析】设DE＝x，则AE＝8﹣x，依据∠EBD＝∠EDB，即可得到ED＝BE＝x．Rt△ABE中，利用勾股定理即可得到DE的长．【解答】解：∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4，设DE＝x，则AE＝8﹣x，由题可得，∠CBD＝∠EBD，∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝BE＝x，Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴DE＝5．【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理的运用，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．【变式3-4】（2022秋•沙坪坝区期末）如图，△AB'C是将长方形ABCD沿着AC折叠得到的．若AB＝4，BC＝6，则OD的长为 ．【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC＝∠ACE＝∠ACB，即AE＝EC，根据勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠OAC＝∠ACB，由折叠可得∠ACO＝∠ACB，∴∠OAC＝∠ACO，∴AO＝CO，在Rt△DOC中，CO2＝DO2+CD2，即（6﹣OD）2＝DO2+16，解得OD=5 3，故答案为：5 3．【点评】本题考查了翻折变换，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．【变式3-5】（2023春•东莞市校级月考）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且BE＝3．（1）求CF的长；（2）求AB的长．【分析】（1）根据题意可得CE＝5，根据折叠的性质可得，∠B＝∠AFE＝90°，BE＝EF＝3，AB＝AF，在Rt△CEF中，利用勾股定理即可求出CF；（2）设AB ＝AF ＝x ，则AC ＝x +4，在Rt △ABC 中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，AD ＝8，∴∠B ＝90°，AD ＝BC ＝8，∵BE ＝3，∴CE ＝BC ﹣BE ＝8﹣3＝5，根据折叠的性质可得，∠B ＝∠AFE ＝90°，BE ＝EF ＝3，AB ＝AF ，∴∠CFE ＝90°，在Rt △CEF 中，CF ==4；（2）设AB ＝AF ＝x ，则AC ＝AF +CF ＝x +4，在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2，∴x 2+82＝（x +4）2，解得：x ＝6，∴AB ＝6．【点评】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解决问题是解题关键．【变式3-6】（2022秋•卧龙区校级月考）将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若AD ＝10cm ，AB ＝8cm ，求图中阴影部分的面积．【分析】由折叠的性质得AF ＝AD ＝10cm ，EF ＝DE ，由勾股定理求出BF ＝6cm ，则CF ＝4cm ，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝8﹣x ，由勾股定理得CE 2+FC 2＝EF 2，代入求出x ＝3cm ，由S 阴影＝S △ABF +S △CEF =12AB •BF +12CF •CE 即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝10cm ，AB ＝CD ＝8cm ，∠B ＝∠C ＝90°，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝10cm，EF＝DE，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF==6（cm），∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），设CE＝xcm，则DE＝EF＝（8﹣x）cm，在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE2+FC2＝EF2，即：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴CE＝3cm，∴S阴影＝S△ABF+S△CEF=12AB•BF+12CF•CE=12×8×6+12×4×3＝30（cm2）．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【变式3-7】（2022春•平邑县校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是AB和CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B'．（1）如图1，如果点B'恰好与顶点A重合，求CE的长；（2）如图2，如果点B'恰好落在直角边AC的中点上，求CE的长．【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE＝BE，在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的长；（2）点B'是直角边AC的中点，可以得到B'C的长度，再利用翻折得到B′E＝BE，在Rt△B'CE中利用勾股定理即可求出CE的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=10，根据折叠的性质，∴△ADE ≌△BDE ，∴AE ＝BE ，设CE 为x ，则：AE ＝BE ＝8﹣x ，在Rt △ACE 中：x 2+62＝（8﹣x ）2，解得：x =74，即CE 的长为：74；（2）∵点B '是直角边AC 的中点，∴B 'C =12AC =3，根据折叠的性质，∴△B 'DE ≌△BDE ，∴B ′E ＝BE ，设CE 为x ，则：B ′E ＝BE ＝8﹣x ，在Rt △B 'CE 中：x 2+32＝（8﹣x ）2，解得：x =5516，即CE 的长为：5516．【点评】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．【例题4】（2023秋•文山市月考）如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '．请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？【分析】设池塘水的深度是x尺，则这根芦苇的长度是（x+1）尺，在Rt△CAB′中，由勾股定理得得出方程，解方程即可．【解答】解：设池塘水的深度是x尺，则这根芦苇的长度是（x+1）尺，由题意得：∠ACB'＝90°，B'C=102=5（尺），在Rt△CAB′中，由勾股定理得：AC2+B′C2＝AB′2，即x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，∴x+1＝12+1＝13，答：池塘水的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式4-1】（2023春•余干县期中）如图是某小区为迎接十四运，方便群众活动健身设计的秋千示意图，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，当秋千到AB′的位置时，下端B′距静止位置的水平距离DB′等于1.2m，距地面1m，求秋千AB的长．【分析】利用已知表示出AD的长，再利用勾股定理得出即可．【解答】解：设AB＝xm，则AB′＝xm，由题意可得出：DB＝1﹣0.6＝0.4（m），则AD＝AB﹣DB＝（x﹣0.4）m，在Rt△AB′D中，AD2+B′D2＝AB′2，则（x﹣0.4）2+1.22＝x2，解得：x＝2．答：秋千AB的长为2m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【变式4-2】（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？【分析】由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．【解答】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，∵∠AOB＝90°，∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，∴62+（18﹣x）2＝x2，解方程得出x＝10（cm）．答：机器人行走的路程BC是10cm．【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．【变式4-3】（2021春•绥宁县期末）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．【分析】Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2+BC2＝AC2，BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a＝x+b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10+x．【解答】解：Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）则10+a＝x+b＝15（m）．∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2，∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2，解得，x＝2，即AD＝2（米）∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米）答：树高AB为12米．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．【变式4-4】（2023•湘乡市校级开学）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的直线距离是10米，求两树相隔的距离．【分析】由题意知，AB＝10米，CD＝4米，AD＝10米，在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE的长即可．【解答】解：如图，由题意知，AB＝10米，CD＝4米，AD＝10米，∴AE＝10﹣4＝6（米），在Rt△AED中，由勾股定理得，DE==8（米），∴BC＝DE＝8米，即两树相隔的距离为8米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式4-5】（2022秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变）【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长．【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥DN于点E，延长AA′交CE于F，则∠AFC＝90°．设A′F＝xcm，则AF＝（55+x）cm，由题可得，AC＝AB+BC＝65+35＝100（cm），A′C＝65cm．∵Rt△A′CF中，CF2＝652﹣x2，Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，解得x＝25，∴A'F＝25（cm），∴CF=60（cm）．又∵EF＝AD＝3cm，∴CE＝60+3＝63（cm），∴点C离地面的距离为63cm．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．【变式4-6】（2023春•德州期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处．（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度；（2）已知小亮举起绳结离旗杆6.75米远，此时绳结离地面多高？【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答；（2）由题可知，BD＝BC＝11.25米，DE＝6.75米．在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程BE2+6.752＝11.252，求出BE＝9，进而求解即可．【解答】解：（1）如图2，设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为（x+1.5）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+62＝（x+1.5）2，解得：x＝11.25，故旗杆的高度为11.25米；（2）由题可知，BD＝BC＝11.25米，DE＝6.75米．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+6.752＝11.252，解得：BE＝9，∴EC＝BC﹣BE＝11.25﹣9＝2.25（米），∴DF＝EC＝2.25米．故绳结离地面2.25米高．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．【变式4-7】（2022秋•抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，所以，CD＝20（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），答：风筝的高度CE为21.6米；（2）由题意得，CM＝12米，∴DM＝8米，∴BM=17（米），∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），∴他应该往回收线8米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．【变式4-8】（2022秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE 中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x）km，将BC＝10代入关系式即可求得．【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE＝DE，在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2．设AE为xkm，则BE＝（25﹣x）km，将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152，解得x＝15，∴E站应建在距A站15km处．【点评】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握．【变式4-9】（2022秋•叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判断△ACM的形状，并说明理由；（2）求公路AB的长．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）△ACM是直角三角形，理由如下：∵AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米，∴CM2+AM2＝AC2，∴△ACM是直角三角形，∠AMC＝90°；（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，由（1）可知，∠AMC＝90°，∴∠AMB＝180°﹣∠AMC＝90°，在Rt△ABM中，由勾股定理得：122+（x﹣5）2＝x2，解得：x＝16.9，答：公路AB的长为16.9千米．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式4-10】（2022春•江津区期中）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．【分析】（1）由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．（2）连接BC，利用第（1）题中作图，可得BC＝AC．在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出方程122+（36﹣BC）2＝BC2，解方程即可．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；（2）连接BC，由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB＝CA．由题意可得：OC＝36﹣CA＝36﹣CB．∵OA⊥OB，∴在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2，即：122+（36﹣BC）2＝BC2，解得BC＝20．答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．【变式4-11】（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为。
方程思想解题实例
解法一：利用勾股定理
A 2 B’ 8 10 10 D 6
在Rt△AEB’中，由勾股定 理可得 22+x2=(6－x) 2
8 解得x= 3
x E 6-x B
6-x
C
几何中的方程思想
解法二:利用三角形相似
A 2 B’ 由△AEB’ ∽ △DB’C，得 8 10 10 D 6
AE AB x 2 ,即 ' B D CD 8 6
解得x= 8 3
'
x E B
C
几何中的方程思想
解法三：利用线段相等 6－x=
2 x
2
2
A 2 B’ x E 6-x B
22 x 2
8 10 10
D 6
解得x= 8 3
C
变式1
（2012雨花区一模25）如图，矩形纸片ABCD的边长 AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A与点C重合， 折痕分别交AB、CD于点E、F， （1）在图中，用尺规作折痕EF所在的直线（保留作 图痕迹，不写作法）； （2）求线段EF的长．
无解，即b2-4ac=4+4k<0,解得k<-1,故选A. 总结：用方程思想解函数图象交点问题，适用面更广，方法 更简单，只需令y1=y2，在所形成的一元二次方程中，若求 两函数图象交点坐标，解方程即可.若图象无交点，则判别 式<0；若图象有交点，则判别式≥ 0；若图象有两个不同的 交点，则判别式＞0.这也是高中解析几何中常用的方法。
高级模型2: 大角加半角模型
45
o
120 o 60
o
45
o
45
o
60
o
60
o
八年级数学勾股定理经典例题解析
八年级数学勾股定理经典例题解析八年级数学勾股定理经典例题解析经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c;(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2-CD2=132-122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52-32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，， . 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴ ( 的两个锐角互余)∴ (在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半).根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴ .举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证： .解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵ (已知)，∴ .在中，根据勾股定理有，∴ .【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
勾股定理折叠问题,方程思想
第一讲 勾股定理本章知识要点导航 ：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理公式a 2+b 2=c 2 的变形有：;;222222b a c a c b b c a +=-=-=及（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．（4）勾股数：满足a 2+b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2=c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．（5）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．课堂笔记：_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________➢ 知识考点1☆☆☆：在Rt △中，已知两边求第三边；(1)在ABC Rt ∆中，已知ο90=∠C ，8,6==b a ，则c=______________；(2)在ABC Rt ∆中，12,5==b a ，则c=______________；变式1：直角三角形的两直角边分别为5,12，则斜边上的高为______________；变式2：若一个直角三角形两直角边之比为4:3，斜边的长为20，则这个三角形的周长是___________； 变式3：已知在ABC Rt ∆中，ο90=∠C ，4,12==+b c a ，则ABC ∆的面积为___________；➢ 知识考点2☆☆☆：利用勾股定理求面积；思考：“问号正方形”的面积是多少？这个类型的问题还有哪些拓展呢？【经典例题1】有一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形D C B A 、、、的边长分别是3,2,5,3，则最大正方形E 的面积是（ ）A.13B.26C.47D.94【变式1】如图，直线l 上依次放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形面积分别是3,2,1，正放置的四个正方形的面积是4321,,,S S S S ，则=+++4321S S S S _________________【变式2】如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积是_____________.（例1） （变1） （变2）➢ 知识考点3☆☆☆：应用勾股定理，求等腰三角形底边上的高；1、一个等腰三角形的腰长为cm 13,底边长为cm 10,这个三角形的面积为_________；2、一个等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，以底边为边长的正方形的面积为_________；3、等腰中，，是底边上的高，若，求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．➢ 知识考点4☆☆☆：利用方程思想求线段长（含双勾股）1、在ABC ∆中，AD 是高线，若4=AB ，2=AD ，3=AC ，则BC 的长为_____________;2、在ABC ∆中，17=AB ，10=AC ，9=BC ，则BC 边上的高为_____________;3、如图，小溪边有两棵树隔岸相望，一棵树高m 9，另一棵树高m 6，两棵树之间的距离是m 15，在两棵树顶上各停着一只水鸟，两只鸟同时看到水面上有一条小鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标，求小鱼离较高那棵树有多远？4、如图，点P 是长方形ABCD 内一点，7,5,1===PC PB PA ，求PD 的长。
初中数学几何培优第十一讲：勾股定理的应用
初中数学几何培优第十一讲：勾股定理的应用知识解读无论是解决实际问题，还是解决一些数学问题，勾股定理都有着广泛的应用。
典列示范一、在数轴上作出表示的点例1如图3－11－1，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是________【提示】这个点到原点的距离等于线段OB的长，OB是Rt△AOB 的斜边，根据勾股定理可得OB的长，就是这个点表示的实数。
【技巧点评】实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点较难.由此我们借助勾股定理，将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题。
第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点。
二、在网格中作长度为无理数的线段例2如图3－11－3，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。
（1）使三角形的三边长分别为3，（在图①中画一个即可）（2）使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图②中画一个即可）【提示】（1）长度为3的线段很好作，主要考虑如何作出长度为，的线段和把三条线段组合成一个三角形。
由于＝8＝22＋22，因此可以构造一个两直角边分别为2和2的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是.同理要构造一个长度为的线段，可构造一个直角边分别为2和1的直角三角形。
（2）确定三角形的底和高分别为1和8或2和4，然后设法使三角形称为钝角三角形。
【解答】【技巧点评】在网格中作出长的线段的步骤，第一步设法将n表示成两个整数的平方和；第二步构造直角三角形，使得两条直角边等于第一步得出的两个整数的值.三、梯子下滑问题例3如图3－11－5，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时，梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足也将向外移0.4米吗？【提示】本题中出现两个直角三角形，考虑应用勾股定理，在Rt△ABC中，由AB和BC可求出AC，则A1C＝AC－AA1，而A1B1与AB均为梯子之长，在Rt△A1B1C中，再次运用勾股定理求出B1C，由此便可求出梯子向外移动的距离BB1.【解答】【技巧点评】梯子下滑问题，实际上是两个直角三角形问题，比如在本题中，两个直角三角形之间的联系是，AC=A1C+0.4，分别在两个直角三角形中应用勾股定理求出AC，A1C，即可解决问题.四、长方体的对角线例4有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是40cm，30cm，120cm的木箱中，露在木箱外边的长度至少为cm.【提示】如图3-11-7，和△是直角三角形，先在中应用勾股定理求出A′C′的长，然后在△AA′C′中应用勾股定理求出AC′的长.【技巧点评】长宽高分别为a，b，c的长方体的对角线长.五、立体图形表明的最短路径例5如图3-11-8，正四棱柱的底面边长为1.5cm，侧棱长为4cm，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处的最短路程的长.【提示】要求最短路程，需要将正四棱柱展开成平面图形，再利用勾股定理求解，由于从A点到点C1的面上有两种情况，故需分类讨论。
2020-2021学年人教版八年级下册数学微专题：方程思想在勾股定理中的应用
人教版八年级下册数学微专题：方程思想在勾股定理中的应用一．专题解读：在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．二．典型习题.1. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( )A.125B.245C.135D.752．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53B.52C.83 D ．53. 如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知AC ＝CD ＝5，AD ＝6，BD ＝52，则△ABC 的面积是( )A ．18B ．36C ．72D ．1254.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB ＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( )A．250 km B．240 km C．200 km D．180 km5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝3，则BD＝( )A. 5B.19 C．3 2 D.8336.如图，在△ABC中，AB＝41，BC＝8，AC＝5，则△ABC的面积为．7. 如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB＝．8.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为．9.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，4)和(3，0)，点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的坐标为．11.求下列直角三角形中未知的边长．12. 一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)13. 如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．14. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.人教版八年级下册数学微专题：方程思想在勾股定理中的应用一．专题解读：在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．二．典型习题.1. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( D )A.125B.245C.135D.752．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( C )A.53B.52C.83 D ．53. 如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知AC ＝CD ＝5，AD ＝6，BD ＝52，则△ABC 的面积是( A )A．18 B．36 C．72 D．1254.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB ＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( C )A．250 km B．240 km C．200 km D．180 km5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝3，则BD＝( B )A. 5B.19 C．3 2 D.8336.如图，在△ABC中，AB＝41，BC＝8，AC＝5，则△ABC的面积为16．7. 如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB＝6．8.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为25．9.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为23或27．10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，4)和(3，0)，点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的坐标为(0，118 )．11.求下列直角三角形中未知的边长．解：如图1，设AC＝x，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2x.∵AB2＝AC2＋BC2，∴(2x)2＝x2＋32.∴x＝3或－3(负值舍去)．∴AC＝3，AB＝2 3.如图2，设AC＝x，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴BC＝AC＝x.∵AB2＝AC2＋BC2，∴x2＋x2＝(32)2.∴x＝3或－3(负值舍去)．∴AC＝BC＝3.12. 一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)解：设AB＝x尺，根据题意，得∠BAC＝90°，AB＋BC＝10尺，∴BC＝(10－x)尺．∵AC2＋AB2＝BC2，∴32＋x2＝(10－x)2，解得x＝411 20 .答：折断处离地面41120尺．13. 如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.14. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.解：(1)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC＝AB2＋BC2＝32＋22＝13.∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，∴CE＝CD2＋DE2＝62＋42＝52＝213.(2)证明：∵AC＝13，CE＝52，AE＝65，∴AE2＝AC2＋CE2.∴∠ACE＝90°.。
专题2.勾股定理与方程思想
专题（2）勾股定理--与方程思想一．【知识要点】1.在直角三角形中，边长具有数量关系，可以设未知数表示边长，再利用勾股定理列方程。
2.在两个直角三角形中以公共边建立方程二．【经典例题】类型1 根据直角三角形边长的数量关系利用勾股定理列方程1.填空：（1）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
（2）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。
2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝．第2题图第3题图3.如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是．2求4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝10 AB的长．5.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．练习：1.在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，102.小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平线刚好相齐，则河水的深度为( ).A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是．第3题图第4题图4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝3，AB＝5，则CE的长为．5.如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面的距离BD=0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1=2.4米，距地面的距离CB1=1.4米，求秋千AB的长．6.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，正好梯脚与梯顶移动距离相等，求下滑距离.类型2 利用“双勾股”列方程1.如图,在△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD的长.2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,CD=3,BD=4,求AD 的长.3．如图，在长方形ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的平分线EF 与DC 交于点F ，若AB ＝12，DF ＝2FC ，则BC 的长是 .练习：1.如图在△ABC 中，BC=4，AC=13，AB=15，求S △ABC .2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ． （1）若AC ＝3，BC ＝4，求AD 的长； （2）若AD ＝2，DB ＝8，求AC ，BC 的长；3.如图所示，已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（）A ．9B ．25C ．36D ．454.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AE ＝AC ，求CE 的长。
例谈方程思想与勾股定理的有效结合
中的一条 边去 求 另两条 边 呢？ 笔者发 现 ， 此 时那未 知 的两条 边之 间一 定存在 某 种数 量 关 系， 我 们 只要抓 住 这个 数量 关 系， 只 需设 出一
明确知道 Ｃ Ｄ的长 ， 若设 Ｃ Ｏ＝ Ｒ， 则Ｂ Ｏ也等于 Ｒ， 那Ｄ Ｏ就可以用 含 Ｒ的代数式表示 ， 列方程也就不难了。 解： 连接 Ｃ Ｏ ， 设Ｃ Ｏ＝ Ｒ ， 则Ｄ Ｏ＝ ８ 一 Ｒ
在Ｒ ｔ ＡＣ Ｄ Ｏ中 ，（ ８ 一 Ｒ） ＋ ４ ＝ Ｒ
解得： Ｒ＝ ５
图３
在 △Ｃ Ｅ Ｆ中 ， 设Ｃ Ｅ＝ ， 贝 ０ Ｅ Ｆ＝ Ｄ Ｅ＝ ６一
（ ６一 ） ＋ ２ ＝
数
学 教
古
这 一 关 系 ， 就 能 设 出 井 深 米 ， 竹 竿 长 为 （ ＋ ÷ ） 米 。
解得 ： ： １ ０
说明： 本题 有两个 关 键 ： 一是将 Ｂ Ｃ转 化 为 Ａ Ｄ再 转化 为 Ａ Ｆ， 从 而求得 ， 二 是找 到“ 边 三、 在 圆的计算 中 与Ｃ Ｅ的和为 ６ ” 这个 关系 。
的技能 、 思想 。
又‘ ． ‘ Ａ Ｂ ＝８ ｃ ｍ
ＢＦ ： ：６
．
．
ＣＦ … １ ０ ６ ４ ｅ ｍ
Ｌ ３ ， ２
就可 以设 Ａ Ｄ＝ ， 再 用含 的 代数 式 表示 出 Ａ Ｃ， 最 后 利用 勾 股 定
解： 设Ａ Ｄ＝ ， 贝 ０ Ａ Ｃ＝ ２ ０一 ， 由勾 股定理 ， 得： （ ２ ０一 ） ＝（ ＋ ５ ） 十ｌ ５
勾股定理中的数学思想
勾股定理中的数学思想勾股定理是平面几何相关胸怀的最基本定理 ,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特点 .同学们在学习时 ,不单要灵巧运用该定理及逆定理 ,并且还要注意在解题中蕴涵着丰富的数学思想 .比方数形联合思想、转变思想、方程思想等 .现举出几例进行剖析 ,供同学们参照 .一、数形联合思想例 1. 在直线L上挨次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜搁置的三个正方形的面积分别是1、2、3, 正搁置的四个正方形的面积挨次是S1、S2、S3、S4 ,则 S1 +S2 +S3 +S4 =. 312S4 S2 S3S1L图 1剖析 :经过察看图形 ,能够看出正放着正方形面积与斜搁置的正方形之间关系为 : S 1 +S2 =1;S 2 +S3 =2; S 3 +S4 =3; 这样数形联合可把问题解决.解: S1代表的面积为 S1的正方形边长的平方 , S2代表的面积为S2的正方形边长的平方 , 所以 S1 +S2 =斜搁置的正方形面积为1; 同理 S3 +S4 =斜搁置的正方形面积为 3, 故 S1 +S2 +S3 +S4 =1+3=4.二、转变思想例 2. 如图 2,长方体的长为 15cm,宽为 10cm,高为 20cm,点 B 离点 C 的距离是5cm,一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 C,需要爬行的最短路径是多少 ?剖析:蚂蚁其实是在长方体的侧面上爬行,假如将长方体的侧面睁开 (如图 2-1),依据“两点之间线段最短 .”所以求得的路径就是侧面睁开图中线段 AC 之长 ,但睁开方式有 3 种,这样经过侧面睁开图把立体图形转变为平面图形,结构成直角三角形,利用勾股定理即可求解 .解:如下图 ,把长方体睁开后获得如图 2-1、图 2-2 、图 2-3 三种情况 , 蚂蚁爬行的路径为睁开图中的 AC长 , 依据勾股定理可知 :2222 2在图 2-1 中 ,AC =AB BC =30 5 =925图 2-3 中, AC 2 = AD2CD 2=252102=725于是 , 依据上边三种睁开情况中的 AC长比较 , 最短的路径是在图 2-2 中, 故蚂蚁从 A 点爬行到点 C,最短距离为 25cm.三、方程思想例 3. 如图 3, 铁路上 A、B 两点相距 25km,C、 D两点为乡村， DA⊥AB于 A，CB ⊥AB于 B，已知 DA=15km， CB=10km。
勾股定理及方程思想的综合应用
典型问题分析与解决策略
典型问题一
已知直角三角形两条直角边，求 斜边。
解决策略
直接应用勾股定理，建立方程并 求解。
典型问题二
已知直角三角形一条直角边和斜 边，求另一条直角边。
解决策略
验证三边是否满足勾股定理条件 。
典型问题三
判断一个三角形是否为直角三角 形。
解决策略
通过勾股定理建立方程，并化简 求解。
XX
PART 02
方程思想在勾股定理中应 用
REPORTING
方程建模与求解过程
勾股定理描述
求解过程
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$。
通过代入已知数值，解三角形两条边时，可建立 方程求解第三边。例如，已知直角边 $a$和$b$，求斜边$c$，则方程为 $a^2 + b^2 = c^2$。
• 方程思想在复杂问题中的应用：对于更复杂的数学问题，如多元函数、微分方 程等，方程思想仍然具有重要的应用价值。通过建立适当的方程或方程组，可 以将复杂问题转化为相对简单的求解问题。
• 勾股定理与方程思想的跨学科应用：除了在数学领域中的应用外，勾股定理和 方程思想还可以在其他学科中找到广泛的应用。例如，在物理学中，勾股定理 可以用于计算物体的位移、速度等；在化学中，方程思想可以用于解决化学反 应中的平衡问题；在经济学中，方程思想可以用于分析市场供需关系等。因此 ，掌握勾股定理和方程思想对于提高跨学科解决问题的能力具有重要意义。
结合勾股定理和方程思想，可以建立化学反应中物质质量、 物质的量和反应速率等物理量之间的关系式，进而进行化学 计算。
经济问题中价格、数量和总收入关系分析
价格与数量关系
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例析方程思想在勾股定理中的应用
数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起着观念性的指导作用。
方程思想在勾股定理这部分知识中有着广泛的应用，下面举例说明：
一、 直接利用勾股定理列方程：
例1：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
解析：设旗杆的高度AC 为x 米，那么绳子的长度AB 为(1+x )米，根据题意得到△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，根据勾股定理得到：()22215+=+x x ，解得x ＝12。
答：旗杆的高度为12米。
【总结】在实际问题中，通常直接利用勾股定理建立相等关系列出方程。
二、 两次利用勾股定理列方程：
例2：在锐角∆A BC 中，AB=15，AC=13，BC=14， A Ｄ⊥BC 垂足为D ，计算DA 的长度。
解析：设DB ＝x ，CD ＝x -14，
在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：
AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝；
2215x -
在Rt ∆ACD 中，∠ADC ＝90°，根据勾股定理得:
AD 2＝AC 2—CD 2,即AD 2＝()；2
21413x -- ∴2215x -＝()；2
21413x -- 解得9=x
在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：
AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝，
＝－＝222221291515x - ∴（负值舍去）。
＝12DA
答：DA 的长度的长度为12。
【总结】如果题目中有三角形的高线时，可以在两个三角形中分别运用勾股定理表示同一个量，从而建立相等关系列方程求解。
三、利用等积性建立方程：
例3：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，，，68==BC AC CD 为斜边AB 边上的高，求CD 的长度。
解析：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得：
222BC AC AB +=，
∵S ∆ABC CD AB BC AC ⨯⨯=⨯⨯2
121＝ ∴CD AB BC AC ⨯=⨯
∴CD 1068=⨯
10
100
36
64682
222==+=+=+=BC AC AB
∴8.4
CD
答：CD的长度的长度为4.8。
【总结】在计算直角三角形斜边上的高时，通常利用等积性建立方程求解。