黄金分割法、斐波那契法求极值
黄金分割和Fibonacci法
一、黄金分割法
题目：求函数在区间[0,7]中的极小值点，令。
结果：
当LN（最小区间）=1的时候，迭代6次，求出的最小值为-5.999；
当LN=0.1时，迭代10次，最小值为-5.9997；
当LN=0.01时迭代15次，最小值为-6。
图 1 黄金分割法输出图
讨论：
黄金分割法每次将区间变为原来的0.618倍。
只有在单峰函数的时候才能求出最优解。
对于多峰情况黄金分割法有可能找不到最优点。
因为当x1<x2的时候直接把x2右边的部分去掉，不能证明在x2和b之间没有更小的点。
二、Fibonacci法
题目：求函数在区间内的极大值。
假定用14个Fibonacci 搜索点，具有弧度。
结果：
迭代12次，求出最大值为0.5611
图 2 Fibonacci法输出图
讨论：
1、Fibonacci法在布置n个点后的区间长度缩短为原长度L1的1/F n倍。
2、将区间改成10pi,搜索结果如图3，没有达到最大值。
可见fibonacci法同样需
要函数为单峰函数。
图 3 区间为[0 10*pi]时搜索结果。
数学文化之旅------神奇的斐波那契数列与黄金分割
神奇的斐波那契数列与黄金分割石家庄二中南校区孟柳比萨的列奥纳多，又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
列奥纳多的父亲Guilielmo(威廉)，外号Bonacci.因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子)。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作,因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
于是他就学会了阿拉伯数字。
他是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
主要著作有《算盘书》《几何实践》《花朵》《平方数书》斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后就具有了繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子，如果兔子都不死，那么一年后能有多少对兔子？拿新出生的一对兔子研究：第一个月兔子没有繁殖能力，两个月后生下一对小兔总数共有两对；三个月后，老兔子生下又一对，因为上一轮的小兔没有繁殖能力，所以总数是三对；…………..1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。
在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。
2是第3个斐波那契数。
斐波那契数列还满足一下特点：1.任一项的平方数都等于与它相邻的两项乘积相差12.相邻的4个数，内积与外积相差13.前一项与后一项的比大约是0.6184.后一项比前一项大约是1.618经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
【交易干货】斐波那契—黄金分割线用法及技巧！
【交易干货】斐波那契—黄金分割线用法及技巧！听过很多交易故事，也见过很多交易者，他们的经历无论多么千奇百怪，有几个共同的词汇频频出现：亏损、扛单、爆仓。
一旦交易出现连亏，大多数交易者离爆仓就不远了。
就小编接触的交易者而言，至少80%的人在连亏之后以爆仓而告终，只有一部分老手能及时找到正确的方向扭转颓势。
那么，老手在连亏的时候是如何及时找到与盘面一致的方向，避免爆仓的呢？大家都知道我们想要预测盘面走势，基本只能靠借助基本面信息或各种各样的指标和理论来分析的。
最常用的就是指标了，因为这个是切切实实可以看到的。
这些指标之中就有一些在预测行情方面有着较高的准确性，学会它你就能在交易中找到方向，防止爆仓了。
而老手最常用的便是斐波那契——黄金分割线！为什么呢？因为它极其简单，你甚至不用知道其背后的复杂逻辑，只需知道如何使用即可，并且它有着神奇的预测作用，学会用它即能轻松找到方向。
下面我们就来详细的了解一下，斐波那契——黄金分割线在交易中的实战应用吧！01斐波那契数列是怎么来的？斐波那契，十二世纪意大利的天才数字研究专家，那时候，罗马数字和阿拉伯数字正好风靡欧洲。
斐波那契醉心数字，因为发明斐波那契数列而闻名全世界。
闲话少说！请看数列：1+1=2 13+21=341+2=3 21+34=552+3=5 34+55=893+5=8 35+89=1445+8=13 89+144=23318+13=21 144+233=377。
直到无穷要知道一个数字天才发现的东西，肯定不是一个简单的东西。
如果你简单一看，你就看明白了，那你也是天才了。
如果如我般看不明白才是真正的蠢才，那是非常正常的。
不可能人人都是天才。
对天才的东西加以利用，至少我们可以从蠢才变成人才、地才。
天才就免了吧。
首先，从上面得出一组数据：1、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377.......接着，随便取一组数据：34+55=89.做除法得出几个相同且重要的数据：55除以34，结果等于1.618.34除以55，结果等于0.618.34除以89，结果等于0.382.34除以144，结果等于0.236.•无论你把数组中哪一个数字拿出来，都会得到这几个数字，于是这6个数字你是必须记住的：0.236、0.382、0.50、0.618、0.786、1.27、1.618。
最优化方法实验报告（1）
最优化方法实验报告（1）最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And Its Applications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验一实验名称：熟悉matlab基本功能实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：在本次实验中，通过亲临使用MATLAB，对该软件做一全面了解并掌握重点内容。
二、实验内容：1. 全面了解MATLAB系统2. 实验常用工具的具体操作和功能实验二实验名称：一维搜索方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过上机利用Matlab数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。
并且熟悉Matlab软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。
二、实验背景：(一）0.618法（黄金分割法），它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。
1、算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。
2、算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。
（2）若k k b a ε-<，则停止计算。
否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。
当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。
（3）置11111110.382*()k kk k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=??=??=??=+-?转步骤（5）（4）置11111110.382*()k k k k k k k k k k a a b a b a μμλλ+++++++=??=??=??=+-?转步骤（5）（5）令1k k =+，转步骤（2）。
斐波那契-黄金分割
斐波那契-黄⾦分割斐波那契数列普通递推F0=0,F1=1,F n=F n−1+F n−2快速倍增递推F2n=F n(2F n+1−F n)F2n=F n(F n+1+F n−1)F2n+1=F2n+1+F2n 矩阵递推1 1 1 0F n−1F n−2=F nF n−1通项公式及其推导令ϕ=1+√52,ˆϕ=1−√52∵F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\hat\phi^n)=\lfloor \dfrac{\phi^i}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{2} \rfloor所以、斐波那契以指数形式增长1.母函数法$ \digamma(x)=\sum\limits_{\infin} F_nx n\ \digamma(x)=x2\digamma(x)+x\digamma(x)+x\ \digamma(x)=\dfrac{1-x-x2} $母函数进⾏展开，⾸先我们要知道⽜顿⼆项式定理、⽜顿⼴义⼆项式定理、⼆项式定理的推⼴⽜顿⼆项式定理(n \in N^{+})(x+y)^n = \sum\limits_{i=0}^{n} C_{n}^{i} x^{n-i}y^{i}**⼆项式定理推⼴⾄(n \in N) **(1+x)^n=\sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{n}^{i} x^i~~~~(n>0)(1+x)^{-n} = \sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{-n}^{i} x^i=\sum\limits_{i=0}^{\infin}(-1)^i C_{n+i-1}^{i} x^i⽜顿⼴义⼆项式定理(\alpha \in R)(x+y)^{\alpha}=\sum\limits_{i=0}^{\infin}\tbinom{\alpha}{i} x^{\alpha-i}y^k其中\tbinom{\alpha}{i}类似组合数\tbinom{\alpha}{i}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-i+1)}{i!}特殊形式(1+x)^n = (1-x)^{-n} = \sum\limits_{i=0}^{\infin} C_{n}^{i}x^i推导开始：设~\digamma(x)=\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-\alpha x}+\frac{B}{1-\beta x} \\=\frac{A+B-x(A\beta+B\alpha)}{1-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta x^2}\\ \left\{ \begin{matrix} A+B=0\\A\beta+B\alpha=-1\\ \alpha+\beta=1\\ \alpha\beta=-1 \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ B=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \alpha=\phi\\ \beta=\hat\phi\end{matrix} \right.\\ \therefore \digamma(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{1-\phi x}-\frac{1}{1-\hat\phi x})\\ \because\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infin}x^n\\ \digamma(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum\limits_{n=0}^{\infin}(\phi^n-\hat\phi^n) x^n2.数列待定系数法类似于求解a_n = pa_{n-1}+q性质1.卡西尼性质F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2=(-1)^n证：F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2\\ =det \left( \left[ \begin{matrix} F_{n+1}~~F_{n}\\ F_{n}~~F_{n-1} \end{matrix} \right] \right) =det \left( \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right] \right)^n = \left( det \left( \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right] \right) \right)^n=(-1)^n2.附加性质F_{n+m}=F_m F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}证：\because \left[ \begin{matrix} F_{n}~~~F_{n-1}\\ F_{n-1}~~~F_{n-2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right]^{n-1}\\ \therefore \left[ \begin{matrix} F_{n+m}~~~F_{n+m-1}\\ F_{n+m-1}~~~F_{n+m-2} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right]^{n+m-1}=\left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0\end{matrix} \right]^{n} \left[ \begin{matrix} 1~~~~1\\ 1~~~~0 \end{matrix} \right]^{m-1}= \left[ \begin{matrix} F_{n+1}~~~F_{n}\\ F_{n}~~~F_{n-1} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} F_{m}~~~F_{m-1}\\ F_{m-1}~~~F_{m-2} \end{matrix} \right]\\ \therefore F_{n+m}=F_{n+1}F_{m}+F_nF_{m-1}变形：F_{2n} = F_n(F_{n+1}+F_{n-1}) .3.整除与GCD性质\forall a,b \in N,F_a|F_b\Leftrightarrow a|b[][][](F_n,F_m) = F_{(n,m)}证：设~n>m~~则~(F_n,F_m)=(F_{n-km},F_m)\\ 设~r=n-km~,r<m~则~(F_r,F_m)=(F_r,F_{m-kr})\\ 这就类似于欧⼏⾥德算法的过程\\ \therefore~(F_n,F_m)=F_{(n,m)}4.求和公式奇数项：\sum\limits_{i=1}^{2n-1}[2\nmid i] F_{i}= F_{2n}偶数项：\sum\limits_{i=2}^{2n}[2\mid i] F_{i}= F_{2n+1}-1平⽅项：\sum\limits_{i=1}^{n}F_i^2=F_n F_{n+1}证：画图推⼴1.⼴义斐波那契数列当n<0时F_n=F_{n+2}-F_{n+1}F_{-n}=(-1)^{n-1}F_n2 .类斐波那契数列⼜称斐波那契—卢卡斯数列对于数列G,若G_0=a,G_1=b,且数列满⾜递推关系式，则称G是类斐波那契数列G_n =a F_{n-1} + b F_{n}⽤矩阵可证类斐波那契数列也有部分斐波那契数列的性质任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列3. Lucas数列与Fibonacci数列Lucas数列为a=2,b=1的类斐波那契数列，记为LL_n = (\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})^n~~~~(n\ge 2)Lucas数列能够辅助写出看似很困难的等式2L_{n+m}=5 F_n F_m+L_n L_m\\ 2F_{n+m}=5 F_n L_m+L_n F_m\\ L_{2n}=L_n^2-2(-1)^n\\ F_{2n}=F_n L_n\\ L_n=F_{n+1}+F_{n-1}4.编码(齐肯多夫定理)齐肯多夫表述法表⽰任何正整数都可以表⽰成若⼲个不连续的斐波那契数之和证：若~m~为斐波那契数,成⽴\\ 否则考虑最⼤~n1~满⾜~F_{n1}< m<F_{n1+1}\\ 继续考虑最⼤~n2~满⾜~F_{n2} < m-F_{n1}<F_{n2+1}\\ 反证：\\ 若~F_{n1}~和~F_{n2}~为连续斐波那契数\\ 则~F_{n1+1}<m~与~F_{n1+1}>m~⽭盾模意义下的循环对于任意整数n , 数列为F_i~(mod~n)周期数列. ⽪萨诺周期\pi(n)记为该数列的周期.例如，模3的斐波那契数列前若⼲项为:0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0\cdots\therefore \pi(3) = 8.性质：1.~~\pi(n)\le 6 n且只有满⾜n=2*5^k的形式时才取得到等号2.~~\forall a,b\in N~且~(a,b)=1，\pi(a)\pi(b)=\pi(ab)Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。
斐波那契数列与黄金分割
两千年前,希腊数学家考虑如下问题：
设线段 AB ,
A
在 AB 上找一点 C , 使得
C
B
令 x AB AC, 于是有 xA C C B 1C B 11,
AC CB
AC AC x
可化为一元二次方程 x2x10.
该方程的根为
1 5 x1 2 ,
x2
1 2
5
.
大自然中数学美---黄金分割 黄金比
Ａ
Ｐ
称为黄金分割数．
黄金矩形
a : b = 1 : 1.618…
b
a
2、黄金三角形
A
C
B
底与腰 或腰与底 之比为0.618的三角形,称为黄金
三角形．
黄金梯形：在等腰梯形中, 当上底边长与下底边长之比 为黄金比且上底边长正好与 两条腰长相等 此时下底边 长正好与两条对角线长相等 时,这个梯形就称为黄金梯 形，
a1 a2 1, an1 an an1, n 2, 3, 4,...
斐波那契数列
斐波纳契数列的性质
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ・・・
各項分别为前项的多少倍
后一项
前一项 的观察
1 < 1.5 < 1.6 < 1.6153 < 1.6176 < 1.6179 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 1.6180・・・
??
“十秒钟加数”的秘密
• 又例如：
右式的答案是： 610 11 = 6710
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 + 2584 ????
斐波那契数列与黄金分割
我们可以在鹦鹉螺的外壳发现这样的螺线
所谓黄金三角形是一个 等腰三角形其底与腰的长 度比为黄金比值。我们若 以底边为一腰作一等腰三 角形则此三角形亦为一黄 金三角形，如下图。图中 三种不同长度的线段，其 中次长的线段（蓝色）与 最长的线段（红色）比是 黄金比例，最短的线段 （绿色）与次长线段（蓝 色）也是黄金比例。
1 5 ，其正根为 x 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2 A B
小段 大段
3．黄金矩形
定义：一个矩形，如果从中裁去 一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长 之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。
Fn Fn1 Fn2 , n 2.
每月大兔对数 Fn 排成数列为： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
•••
4
定义：若一个数列,前两项均等于1,而从 第三项起每一项是其前两项之和,则称该数列
为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
（1）人体各部分的比Fra bibliotek肚 脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
（2）著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）与底边长 （227米）之比为0.629
雅典的帕德侬神庙 (Parthenon at Athens) 庄严、宏伟，被认为 是古希腊最伟大的建筑之一。有 人认为它之所以显得那么和谐， 是因为这个建筑符合黄金比。
Field daisies have 34 petals
斐波那契数字和黄金分割率
斐波那契数字和黄金分割率
一、斐波那契数字对股市提前预示和警示周期：
斐波那契数字1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144......前面两数相加得后面一个数。
1，斐波那契数字在日循环周期中最大上升天数为55天，34天，21天。
2，斐波那契数字在周循环周期中最大上升周数为34周，21周，13周。
3，斐波那契数字在月循环周期中最大上升月数为13月，8月，5月，3月。
涨跌幅度与空间的高低快慢对波段走势时间长短有制约作用。
推测出的变盘日期如果与周的日期重叠，应视为重要的时间之窗。
再与月的相吻合市场就会发生重大转折！
对一个完整小周期：低点－－－高点－－－低点；高点－－－低点－－－高点。
在分析周期时，只有这两种循环周期与斐波那契数字时间周期相对应。
二、黄金分割位数字的计算是：
1、相邻的两个数互除，得数约等于0.618（记住是相邻的）。
2、相隔的两个数互除，得数约等于0.382和2.618（记住是相隔的）。
3、高位数除相邻的低位数，得数约等于1.618。
4、0.382 X 0.618 = 0.236。
5、通常所用的黄金分割率为：
0.236、0.382、0.5、0.618、0.809、1.236、1.382、1.618、2、2.618、3.236、4.236、5.236、6.854。
黄金分割率的演算同斐波那契数字密不可分。
斐波那契数字同黄金分割位是相互印证的关系。
斐波那契数字表现的是时间的长短，黄金分割位提示的是空间上升下降的幅度。
外汇交易高手：斐波那契回调线（黄金分割线）的顶级用法
外汇交易高手：斐波那契回调线（黄金分割线）的顶级用法斐波那契回调线，又称黄金分割线。
在交易市场上，大多数的技术指标都具有滞后性，导致交易者在使用时不太好掌握。
但是，斐波那契回调线具有提前性，能很好的帮助交易者挂单操作，提前布局。
而下文将会以概念介绍、基本用法以及实战方法三个板块解释，该如何用好斐波那契回调线。
概念介绍斐波那契是一种极为古老的数学方法，它涉及一组奇异的数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……该数列具有神奇的特性：任一数字都是由前面两个数字之和构成，前一数字与后一数字之比趋近于以固定常数0.618。
因此，61.8%就成为了斐波那契的关键比率，也被称作“黄金比例”。
总的来说，通过对该数列的探索可以推导出两组重要的数列——0.191、0.382、0.5、0.618、0.809；1、1.382、1.5、1.618、2、2.382、2.618。
这两组数列中最为重要的是0.382、0.5、0.618、1、1.618五个数字，它们在黄金外汇分析中使用十分广泛而且效果极佳。
根据不同的使用方法，黄金分割线在黄金外汇中可以细化为五类线——斐波那契回调线、斐波那契扩展线、斐波那契时间区间、斐波那契扇形线和斐波那契弧线。
这五类线中应用最为广泛的是斐波那契回调线和斐波那契扩展线，而今天将重点讲讲斐波那契回调线的应用。
基本用法画线方式斐波那契回调线常用于寻找上涨行情中回调的支撑位和下跌行情中回调的压力位。
这里我们需要指出的是，斐波那契回调线也可以用于寻找目标位。
斐波那契回调线由七个数字组成，分别分0、0.236、0.382、0.5、0.618、0.764、和1。
画斐波那契回调线有两个方向：下跌行情：一般选取的是前期高点和近期低点，选中斐波那契技术指标，点击价格高点，按住鼠标然后移动到低点放开。
上涨行情：一般选取前期低点和近期高点，选中斐波那契技术指标，点击价格低点，按住鼠标然后移动到低点放开。
快速学会斐波那契线的画法，黄金分割原来这么简单！
快速学会斐波那契线的画法，黄金分割原来这么简单！
技术要点
✔趋势行情下较适用
✔顺势画好斐波那契线
✔回调到50为弱阻力支撑
✔回调到61.8为强阻力支撑
图片案例
技术点评
斐波那契线其实可以理解成趋势的压力以及支撑位，当汇价处於上升趋势时就使用工具从波底画到波顶(100-0)，当汇价回调到50时是一个比较弱的阻力支撑可以参考K线信号进场，如果继续突破可以等蜡烛回调到61.8时的阻力支撑交易，有比较高的概率回调。
风险提示
既然是阻力支撑位，那么就有突破的可能，如果汇价已经强行突破了61.8，那也不要急着追单，而是等待下个机会出手，斐波那契线比较困难的地方就是比较难认定波浪的顶底之处，在交易之前不妨多复盘熟悉画法，然後再运用在交易当中，如果想要交易起来更有把握，则可以结合K线的型态交易。
黄金分割点与菲波拉契数列(股市中奇妙关系)
黄金分割点与菲波拉契数列（股市中奇妙关系）黄金分割是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
关于黄金分割的起源大多认为来自毕达哥拉斯。
其实有关“黄金分割”，我国也有记载。
虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。
经考证。
欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
“菲波拉契数列”是意大利数学家列昂纳多·斐波那契首先研究的一种递归数列，它的每一项都等于前两项之和。
此数列的前几项为1，1，2，3，5，8,13,21,34,55,89,144,233，377，610，987，……。
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……其实早在2000多年前，《老子》以为“道生一，一生二，二生三，三生万物”，“道”乃“夫莫之命而常自然”，因而“人法地，地法天，天法道，道法自然”。
这些都显示他们之间有着微妙的联系。
黄金分割点、菲波拉契数列也与股市有着奇妙的关系。
怎样用黄金分割来操作股票呢？我们可以利用0.618，0.5，0.382这几个分割位置来判断股票的强弱和趋势。
下面就是见证奇迹的时刻：打开软件看上证在09年3月3日那天的最低点便可看到是2037点。
而2037点与黄金分割点2038点只差1个点【2038=（2402-1814）*0.382+1814】。
09年4月28日上证最低点是2372点，而2372点就是0.618位置的黄金分割点【2372=（2579-2037）*0.618+2037】09年9月1日的上证最低点是2639点，其实此点位也是黄金分割点2646点附近【2646=（3478-1814）*0.5+1814】09年8月19日上证收盘点位是2785点也刚好是黄金分割点【2785=（3478-1664）*0.618+1664】这几张图便能说明黄金分割点在股市中的微妙之处。
斐波那契与黄金分割
斐波那契比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年），意大利数学家，西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
目录1人物背景2数列3质数4重要作品1人物背景家庭列奥纳多的父亲Guilielmo（威廉），外号Bonacci（意即「好、自然」或「简单」）。
因此列奥纳多就得到了外号斐波那契 (Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子）。
威廉是商人，在北非一带工作（今阿尔及利亚Bejaia），当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作。
于是他就学会了阿拉伯数字。
学习有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，列奥纳多前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。
1202年，27岁的他将其所学写进计算之书（Liber Abaci）。
这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。
这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。
（例子：1482年，Ptolemaeus世界地图，Lienhart Holle在Ulm印制）成就列奥纳多曾成为热爱数学和科学的腓特烈二世 (神圣罗马帝国）的坐上客。
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。
这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。
对希腊与东方古典数学成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。
文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。
意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。
欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契（约1175～1240），其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多（Leonardo of Pisa），早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》（Liber Abac·1202，亦译作《算盘书》）。
黄金分割法、斐波那契法求极值
e=input('Please enter the valud of e:');
s=(b-a)/e;
n=cishu(s);
x2=a+F(n-1)/F(n)*(b-a);
x1=b-F(n-1)/F(n)*(b-a);
while(b-a)>e
iffx(x2)>=fx(x1)
b=x2;
x2=x1;
x1=a+b-x2;
else
a=x1;
x1=x2;
x2
xj=(a+b)/2;
yj=fx(xj);
end
此题中，a=-10，b=10，e=0.01，程序运行结果为：xj =1.9930，yj =2.8845e-004，若原方程改变，只需改变原方程函数即可。
end
end
%建立斐波那契数列函数；
functionfn=F(n)
ifnargin==1
y=[0];
y(1)=[1];
y(2)=[1];
fork=3:1:n
y(k)=[y(k-1)+y(k-2)];
end
fn=y(n);
end
end
%求解应计算次数的函数；
%s为（b-a）/e的值，其中（a，b）为单峰区间，e为精度；
b=input('Please enter the value of b:');
e=input('Please enter the value of e:');
whileb-a>e
x1=a+0.382*(b-a);
斐波那契与黄金分割(优质课精品)
13 8 5 3 2 1 1
26
斐波那契与数学题
例、下图是一个树形图的生长过程，依据图中
所示的生长规律，第8行的实心圆点的个
数是
21 ．（迎春杯赛题）
•
菠萝表皮 斐波那契与开普勒堆叠定理、角谷定律
菠萝表皮 斐波那契与开普勒堆叠定理、角谷定律
其中三个方向是按等差数列 排列的： 0,5,10,15,20,…
斐波那契数列
兔子问题
—— 取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （ 1202 年）
南宋
岳飞
秦九韶 苏轼
(L . F i b on a c c i , 1 17 0 - 1 2 50 ）
6
1202年，斐波那契在《算盘书》中收录了一个有趣的民间 数学问题——兔子问题，
假设有一对幼生兔子，要一个月才到成熟期，而一对成熟 兔子每个月会生一对兔子，一雌一雄，且所有的兔子都不病不 死，那么由一对幼生兔子开始，到第12个月会有多少对兔子呢?
一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级 台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶。从地 面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同 的走法？ 分析： 1级台阶，有1种； 你又有什么发现呢？
2级台阶，有2种
3级台阶，有4种
an3 an2 an1 an
4级台阶，有7种
5级台阶，有13种
1 , 1 ,2,3,5,8, 13 ,2 1 ，
黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一 “分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建 筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它 表现了恰到好处的“和谐” ．
定义：底与腰（或腰与底）之比为0.618的三角形，称为黄金 三角形．
定义：一矩形，如从中 裁去一个最大的正方形，剩 下的矩形与原矩形相似，则 称该矩形为黄金矩形。黄金 矩形可以无限地分割下去。
斐波那契数列与黄金分割
斐波那契数列斐波那契数列斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
定义斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多〃斐波那契（Leonardo Fibonacci），自然中的斐波那契数列生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
通项公式递推公式斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。
那么这句话可以写成如下形式：F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)，显然这是一个线性递推数列。
通项公式斐波那契数列通项公式（见上图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
黄金分割与斐波那契数列
第八讲 黄金分割与斐波那契数列一、 黄金分割1. 黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
奇妙的裴波那契数列和黄金分割
奇妙的裴波那契数列和黄金分割“斐波那契数列〞的创造者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契〔Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨〕。
他被人称作“比萨的列昂纳多〞。
1202年，他撰写了?珠算原理?(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯教师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21这个数列从第三项开场，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}〔又叫“比内公式〞，是用无理数表示有理数的一个范例。
〕【5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】比方：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887还有一项性质，从第二项开场，每个奇数项的平方都比前后两项之积少〔请自己验证后自己确定〕1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多〔请自己验证后自己确定〕1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比方5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的开展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
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function y=fx(x)
if nargin==1
y=x+20/x;
end
end
%a为区间下限，b为区间上限，e为精度；
%fx（x）为原方程函数；
function [xj,yj]=huangjin(a,b,e)
a=input('Please enter the value of a:');
b=input('Please enter the value of b:');
e=input('Please enter the value of e:');
while b-a>e
x1=a+*(b-a);
x2=a+*(b-a);
if fx(x1)<fx(x2)
b=x2;
else
a=x1;
end
end
xj=(a+b)/2;
yj=fx(xj);
end
此题中，a=，b=1，e=，程序运行结果为xj=，yj=。
改变方程，将原函数方程改变。
6、用斐波那契法求极值：
()432
31630248 f x x x x x
=-+-+；
%建立原方程函数；
function y=fx(x)
if nargin==1
y=3*x^4-16*x^3+30*x^2-24*x+8; end
end
%建立斐波那契数列函数；
function fn=F(n)
if nargin==1
y=[0];
y(1)=[1];
y(2)=[1];
for k=3:1:n
y(k)=[y(k-1)+y(k-2)];
end
fn=y(n);
end
end
%求解应计算次数的函数；
%s为（b-a）/e的值，其中（a，b）为单峰区间，e为精度；
function n=cishu(s)
if nargin==1
n=1;
while F(n)<s
n=n+1;
end
end
end
%求极值函数；
%a为区间下限，b为区间上限，e为精度；
function [xj,yj]=fib(a,b,e)
a=input('Please enter the value of a:');
b=input('Please enter the value of b:');
e=input('Please enter the valud of e:');
s=(b-a)/e;
n=cishu(s);
x2=a+F(n-1)/F(n)*(b-a);
x1=b-F(n-1)/F(n)*(b-a);
while (b-a)>e
if fx(x2)>=fx(x1)
b=x2;
x2=x1;
x1=a+b-x2;
else
a=x1;
x1=x2;
x2=a+b-x1;
end
end
xj=(a+b)/2;
yj=fx(xj);
end
此题中，a=-10，b=10，e=，程序运行结果为：xj =， yj =，若原方程改变，只需改变原方程函数即可。