三角形的四大模型.doc
专题 中点四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)
专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
三角形的四大模型
三角形的四大模型三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有许多重要的性质和特点。
在研究三角形时，我们可以采用不同的模型来帮助我们理解和解决问题。
下面将介绍三角形的四大模型：欧拉模型、特里希亚特中心模型、边-角模型和向量模型。
一、欧拉模型欧拉模型通过研究三角形的顶点、边和面之间的关系来理解三角形的性质。
欧拉公式是欧拉模型中的重要定理之一，它表达了三角形的顶点数、边数和面数之间的关系。
根据欧拉公式，三角形的顶点数加上面数减去边数等于2。
这个定理可以用来验证三角形是否构成一个封闭的几何图形。
欧拉模型还可以帮助我们研究三角形的垂心、重心、外心和内心等特殊点的性质。
这些特殊点有助于我们理解三角形的对称性、平衡性和内切性质。
二、特里希亚特中心模型特里希亚特中心模型是通过研究三角形的三个特殊点来理解三角形的性质。
特里希亚特中心包括三角形的重心、外心和内心。
重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形三条外接圆的交点，内心是三角形三条内切圆的交点。
特里希亚特中心模型可以帮助我们研究三角形的平衡性、外接性和内切性质。
例如，通过研究重心，我们可以了解三角形的平衡点和质心的性质；通过研究外心，我们可以了解三角形的外接圆和外心角的性质；通过研究内心，我们可以了解三角形的内切圆和内心角的性质。
三、边-角模型边-角模型是通过研究三角形的边和角之间的关系来理解三角形的性质。
边-角模型可以帮助我们研究三角形的角度关系、边长关系和面积关系。
在边-角模型中，我们可以利用三角函数来计算三角形的角度、边长和面积。
例如，正弦定理可以用来计算三角形的边长，余弦定理可以用来计算三角形的角度，海伦公式可以用来计算三角形的面积。
四、向量模型向量模型是通过利用向量的特性来理解三角形的性质。
向量模型可以帮助我们研究三角形的平行性、共线性和向量运算等。
在向量模型中，我们可以用向量的减法来计算两个向量之间的夹角，用向量的叉乘来计算两个向量构成的平行四边形的面积。
全等三角形八大模型归纳
全等三角形八大模型归纳全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指两个三角形的对应边相等且对应角相等。
全等三角形具有许多性质和特点，可以归纳为八大模型，分别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL、LLL、LLA、LAL。
下面将分别介绍这八种模型的特点和应用。
第一种模型是SSS，即三边全等。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在实际生活中的应用非常广泛，比如在建筑、工程设计中，需要测量房屋的各个边长是否相等，以确保建筑物的稳定性和均衡性。
第二种模型是SAS，即两边夹角边全等。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型常常用于证明两个三角形全等的情况，可以通过辅助线的引入来简化证明过程。
第三种模型是ASA，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在解题过程中也经常用到，特别是在证明题中，可以根据已知条件找到相等的角和边，从而得出结论。
第四种模型是AAS，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形也是全等的。
这种情况在证明过程中比较常见，可以通过找到两个角和一边相等来得出结论。
第五种模型是HL，即斜边和直角边全等。
当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种情况在解决直角三角形的问题时经常用到，可以利用勾股定理和全等三角形的性质来求解。
第六种模型是LLL，即三边全等。
这种模型和SSS模型类似，只不过LLL模型更加具体，强调了三个边全部相等的情况。
在实际问题中，可以通过测量三角形的三边长度来判断两个三角形是否全等。
第七种模型是LLA，即两边和一个角全等。
当两个三角形的两个边和一个非夹角的角相等时，这两个三角形是全等的。
这种情况在解题过程中也会经常遇到，可以通过找到两个边和一个非夹角的角相等来证明两个三角形全等。
第八种模型是LAL，即一边和两个角全等。
当两个三角形的一条边和两个角分别相等时，这两个三角形也是全等的。
2021届中考数学精品冲刺复习 相似三角形之四大模型
总结：AACB ＝AAEF ，∠CAE＝∠BAF―→△ACE∽△ABF．
跟踪训练
7．如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等
腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE，CD
与 BE，AE 分别交于点 P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2
＝CP·CM．其中正确的是
A．①②③
B．①
C．①②
(A ) D．②③
模型二：A 字型 【模型归纳】 有一个公共角(∠A)，此时需要从已知条件、图中隐含条件或通过证
明得另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨 论．
【重要结论】 1．图④、⑤：AC2＝AD·AB． 2．图⑤：(1)CD2＝AD·BD；(2)BC2＝BD·AB． 3．双垂直模型常会在二次函数综合题中考查，常用到分类讨论思想， 即未确定两三角形对应顶点时常通过不确定对应边列关系式求解．
跟踪训练 1．如图，⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 E，DE＝1．5，CE＝4，AE＝2， 则 BE＝__3_____．
2．如图，在▱ABCD 中，点 E 在 DA 的延长线上，且 AE＝13 AD，连接 CE 交 BD 于点 F，则 EF∶FC 的值是__4_∶__3_______．
跟踪训练
3．如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，
AC＝2，△ADC 的面积为 1，则△BCD 的面积为
(C )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，直线 y＝12 x＋1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，点 B 在直线 y＝12 x＋1 上且点 B 的纵 坐标为 3，点 P 在 x 轴上且不与坐标原点 O 重合， 当以 A，B，P 为顶点的三角形与△AOC 相似时，点
2025年广西九年级中考数学一轮复习小专题过关课件：专题11+解直角三角形实际应用之四大模型
测量
方案
AC=BD=0.8 m,点A,B与F在同一条水平直线上,A,B之间的距
离可以直接测得,且点G,F,A,B,C,D都在同一竖直平面内,点
C,D,E在同一条直线上,点E在GF上(其中:CE⊥GF,
GF⊥AF,AC⊥AF,BD⊥AF),测量示意图如图所示;
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量
∠GCE的度数
式结构,造型独特别致,远可眺太子山露骨风月,近可收临夏市城建全貌,巍巍峨峨,
傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后,开展了测量乾元塔
高度AB的实践活动.A为乾元塔的顶端,AB⊥BC,点C,D在点B的正东方向,在C点
用高度为1.6米的测角仪(即CE=1.6米)测得A点仰角为37°,向西平移14.5米至点D,
电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在AH两侧,CD=EF=1.6 直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在F处测得
筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.(参考数据:sin
tan
4
53°≈ )
3
4
53°≈ ,cos
5
3
53°≈ ,
分别解两个直角三角形,其中公共边BC是解题的关键
原型
【等量关系】BC为公共边
【等量关系】如图①,BF+FC+CE=BE;
如图②,BC+CE=BE;
变式
如图③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
【针对训练】
9.(2024·湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动,记录如下:
在Rt△CEG中,∠GCE=39°,∴EG=CE·tan 39°≈0.81(x+0.9)m,∴x=0.81(x+0.9),
初中复习方略数学微专题十二 四大常考相似模型
微专题十二四大常考相似模型模型一：A字型(公共顶角)模型特点两个三角形有一个公共角(∠A)模型示例正A字型：斜A字型：解题关键及结论所需条件：DE∥BC或∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C.能得结论：△ADE∽△ABC所需条件：图①和图③：∠ADE＝∠ACB或∠AED＝∠B；图②和图④：∠ACB＝∠ADE＝90°.能得结论：△ADE∽△ACB1．(2020·绍兴中考)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8 cm.则投影三角板的对应边长为(A)A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm2．(2021·重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0，1)，D(0，3)，则△OAB与△OCD的相似比是(D)A．2∶1 B．1∶2 C．3∶1 D．1∶33．(2021·南充中考)如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝ 3 AB＝3BD，则AD∶AC的值为__33__．4．(2020·永州中考)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE.(1)求证：CE是⊙O的切线．(2)已知BD＝3 5 ，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【解析】(1)如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC＋∠EBC＝90°，∴∠OCB＋∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；(2)∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴BD AD ＝CDBD ，∴BD 2＝AD·CD， ∴(3 5 )2＝5AD ， ∴AD ＝9，∵E 为BD 的中点，AO ＝BO ， ∴OE ＝12 AD ＝92，∴O ，E 两点之间的距离为92.模型二：8字型(对顶角相等)模型特点有一组隐含的等角(对顶角)模型 示例正8字型：斜8字型(蝴蝶型)：解题 关键 及所需条件：AB ∥CD 或∠A ＝∠D 或∠B ＝∠C. 能得结论：△AOB ∽△所需条件：∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D.能得结论：△AOB ∽△结论 DOC COD1．(2021·沈阳期末)如图，△OAB ∽△OCD ，OA ∶OC ＝6∶5，∠A ＝α，∠B ＝β，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1和S 2，△OAB 与△OCD 的周长分别是C 1和C 2，则一定成立的等式是(D)A ．OB CD ＝65 B ．αβ ＝65C ．S 1S 2 ＝65D ．C 1C 2 ＝652．(2020·潍坊中考)如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且DE AE ＝12 ，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为(C)A ．21B ．28C ．34D ．423．(2021·张家口模拟)如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB ＝12 ，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2 的值等于__116__．4. (2021·长春中考)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝4，BD ＝8，点E 在边AD 上，AE ＝13AD ，连接BE 交AC 于点M.(1)求AM 的长．(2)tan ∠MBO 的值为________．【解析】(1)在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△AEM ∽△CBM ，∴AM CM ＝AEBC，∵AE ＝13 AD ，∴AE ＝13 BC ，∴AM CM ＝AE BC ＝13 ，∴AM ＝13 CM ＝14AC ＝1.(2)∵AO ＝12 AC ＝2，BO ＝12 BD ＝4，AC ⊥BD ，∴∠BOM ＝90°，AM ＝OM ＝12 AO ＝1，∴tan ∠MBO ＝OM BO ＝14 .答案：14模型三：一线三等角型(K 型)模型三个等角的顶点在同一条直线上特点模型示例解题关键及结论解题思路：通过三角形外角的性质找∠ACP＝∠BPD或∠APC＝∠BDP.能得结论：△ACP∽△BPD1．(2021·淮北期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC 边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：△ABP∽△PCD；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．【解析】(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠APC＝∠ABC＋∠BAP，∴∠APD＋∠DPC＝∠ABC＋∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△BAP∽△CPD.(2)∵△ABP∽△PCD，∴PCAB＝CDBP，即PCCD＝ABBP.∵PD∥AB，∴PCBC＝CDAC，即PCCD＝BCAC.∴ABBP＝BCAC，∴10BP＝1210，∴BP＝253.2．(2020·长沙中考)在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE 翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.(1)求证：△ABF∽△FCE；(2)若AB＝2 3 ，AD＝4，求EC的长；(3)若AE－DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tan α＋tan β的值．【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB＋∠EFC＝90°，∠EFC＋∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE.(2)设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF＝AF2－AB2＝16－12 ＝2，∴CF＝BC－BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴ABCF＝BFEC，∴232＝2x，∴x ＝233 ，∴EC ＝233.(3)∵△ABF ∽△FCE ，∴AF EF ＝AB CF ，∴tan α＋tan β＝BF AB ＋EF AF ＝BFAB ＋CF AB ＝BF ＋CF AB ＝BCAB， 设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，DE ＝y ， ∵AE －DE ＝2EC ，∴AE ＝DE ＋2CE ＝y ＋2(a －y)＝2a －y ，∵AD ＝AF ＝b ，DE ＝EF ＝y ，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴BF ＝b 2－a 2 ，CF ＝y 2－（a －y ）2 ＝2ay －a 2 ， ∵AD 2＋DE 2＝AE 2，∴b 2＋y 2＝(2a －y)2，∴a 2－ay ＝14 b 2，∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF ＝BF EC ，∴a 2ay －a 2 ＝b 2－a 2a －y ， ∴a 2－ay ＝b 2－a 2 ·2ay －a 2 ， ∴14b 2＝b 2－a 2 ·a 2－12b 2，整理得，16a 4－24a 2b 2＋9b 4＝0， ∴(4a 2－3b 2)2＝0， ∴b a ＝233， ∴tan α＋tan β＝BC AB ＝233 .模型四：“手拉手”模型特点模型 示例正A 字型，旋转△ADE ：解题 思路 及结论所需条件：∠BAD ＝∠CAE ，AB AC ＝ADAE .能得结论：△ABD ∽△ACE ；可利用CE BD ＝ACAB求两条拉手线CE 和BD 的比值；若设直线CE 与直线BD 的交点为F ，则∠BFC ＝∠BAC1．(2021·咸阳期末)如图，∠1＝∠2，要使△ABC ∽△ADE ，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是(D)A ．∠B ＝∠D B ．∠C ＝∠E C ．AD AE ＝AB AC D ．AC AE ＝BCDE2．(2021·淮南模拟)如图，把△ABC 绕点A 旋转得到△ADE ，当点D 刚好落在BC 上时，连接CE ，设AC ，DE 相交于点F ，则图中相似三角形(不含全等)的对数是(C)A．1 B．2 C．3 D．43. (2021·合肥期末)如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE，若AC∶BC＝3∶4，则BD∶CE为__5∶3__．4．(2021·武汉中考)问题提出如图(1)，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化如图(2)，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；(2)再探究一般情形如图(1)，当点D，F不重合时，证明(1)中的结论仍然成立．问题拓展如图(3)，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC(k 是常数)，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．【解析】【问题探究】(1)如题干图(2)，∵∠ACD＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCE＝90°，∴∠BCE ＝∠ACD ，∵BC ＝AC ，EC ＝DC ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴BE ＝AD ＝AF ，∠EBC ＝∠CAD ，EC ＝CD ，故△CDE 为等腰直角三角形，故DE ＝EF ＝ 2 CF ， 则BF ＝BD ＝BE ＋ED ＝AF ＋ 2 CF ；即BF －AF ＝ 2 CF ；(2)如图(1)，由(1)知，△ACD ≌△BCE(SAS)，∴∠CAF ＝∠CBE ，BE ＝AD ，过点C 作CG ⊥CF 交BF 于点G ，∵∠ACF ＋∠ACG ＝90°，∠ACG ＋∠GCB ＝90°，∴∠ACF ＝∠GCB ，∵∠CAF ＝∠CBE ，BC ＝AC ，∴△BCG ≌△ACF(ASA)， ∴GC ＝FC ，BG ＝AF ， 故△GCF 为等腰直角三角形，则GF ＝ 2 CF ，则BF ＝BG ＋GF ＝AF ＋ 2 CF ，即BF －AF ＝ 2 CF ；【问题拓展】由(1)知，∠BCE ＝∠ACD ，而BC ＝kAC ，EC ＝kDC ，即BC AC ＝ECCD ＝k ，∴△BCE ∽△CAD ，∴∠CAD ＝∠CBE ，过点C 作CG ⊥CF 交BF 于点G ，由(2)知，∠BCG＝∠ACF，∴△BGC∽△AFC，∴BGAF＝BCAC＝k＝GCCF，则BG＝kAF，GC＝kFC，在Rt△CGF中，GF＝GC2＋FC2＝（kFC）2＋FC2＝k2＋1 ·FC，则BF ＝BG＋GF＝kAF＋k2＋1 ·FC，即BF－kAF＝k2＋1 ·FC.。
三角形计算四大模型
三角形计算四大模型三角形是数学中的一种基本几何形状，拥有三边和三个内角。
在数学中，有四种常见的三角形计算模型：余弦定理、正弦定理、海伦公式和面积公式。
这些模型可以用于计算三角形的各种属性，例如边长、角度和面积。
下面将详细介绍这四个模型。
1.余弦定理：余弦定理表达了一个三角形的任意一条边的平方与其余两条边的平方之间的关系。
设三角形的三边长度分别为a、b、c，内角对应的顶点分别为A、B、C，那么余弦定理可以表达为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC2.正弦定理：正弦定理利用了角度和边长之间的关系。
设三角形的三边长度分别为a、b、c，内角对应的顶点分别为A、B、C，那么正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC3.海伦公式：海伦公式可以用来计算三角形的面积。
设三角形的三边长度分别为a、b、c，令s为半周长（即s=(a+b+c)/2），那么海伦公式可以表达为：面积 = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))4.面积公式：面积公式也可以用来计算三角形的面积。
面积=(1/2)*b*h这四大模型都能够为我们提供计算三角形属性的方法。
余弦定理和正弦定理适用于计算三角形边长和角度的情况，而海伦公式和面积公式则适用于计算三角形的面积。
根据具体的问题，我们可以选择合适的模型来计算三角形的属性。
除了上述四大模型之外，三角形的属性还可以通过其他方法来计算，例如勾股定理、角平分线定理等。
每个模型在不同的问题中都有其特定的适用场景，因此了解并掌握这些模型可以帮助我们更好地解决各种三角形计算问题。
微专题 三角形四大常考全等模型
基本模型
图示
模型总结
有三个直角，常利用同角(等角)的余角相等证明角相等
针对训练 3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D， BE⊥MN于E. 求证：DE＝AD＋BE.
第3题图
证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°， 又∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD＋∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD. 在△ADC和△CEB中，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第4题图
∠A＝∠ACF AD＝CF ， ∠A DF ＝∠F ∴△ADE≌△CFE(ASA)．
W
点击链接至综合提升
例2题图
解：全等．
理由如下：∵∠1＝∠2，∴DB＝DC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，
∴∠ABD＝∠ACD，
在△ABD和△ACD中， AB＝AC ∠ABD＝∠ACD， BD＝CD ∴△ABD≌△ACD(SAS)．
基本模型
图示
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶 模型总结 点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边
【思维教练】要证△ABC≌△DEC， 题干已知BC＝CE，AB＝DE，∠BAE ＝∠BCE＝90°，只需证明∠B＝ ∠CED即可．
例4题图
证明：∵∠BAE＝∠BCE＝90°， ∴∠ABC＋∠AEC＝180°. ∵∠AEC＋∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠B. 在△ABC和△DEC中， AB＝DE ∠B＝∠DEC， BC＝EC ∴△ABC≌△DEC(SAS)．
微专题 四大常考全等模型
(必考，均在几何图形的证明与计算中涉及考查) 模型一 平移模型 例1 如图，已知BC∥EF，∠B＝∠DGC，点D、C在AF上，且AB＝DE. 求证：AD＝CF. 【找一找】
八年级数学第八章 中点四大模型
第八章中点四大模型模型1【倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形】模型分析如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）。
如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证：△FDB≌△FDC（SAS）。
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。
模型实例例1．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长AC于点F，AF=EF。
求证：AC=BE。
热搜精练1．如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围。
2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM⊥DN，如果2222B M C N D M D N +=+。
求证：()22214A D AB AC =+。
模型2【已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”】模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。
模型实例例1．如图，在△ABC中，AB=AC-5，BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度。
热搜精练1．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF。
求证：∠EDB=∠FDC。
2．已知Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D 为AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。
（1）当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S += ；（2）当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S 、CEF S 、ABC S 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)全等三角形基本模型(4大模型)(解析版)
全等三角形基本模型（4大模型）模型一：平移型模型二：翻折型模型三：旋转型模型四：一线三垂直型【类型一：平移型】【典例1】如图已知点E、C在线段BF上BE=CF AB∥DE∠ACB=∠F.求证：.【解答】证明：∵AB∥DE∴∠B=∠DEF∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF.∴在△ABC和△DEF中{∠B=∠DEF BC=EF ∠ACB=∠F∴△ABC≅△DEF(ASA).【变式1-1】如图已知Rt△ABC与Rt△DEF中△A＝△D＝90° 点B、F、C、E在同一直线上且AB＝DE BF＝CE 求证：△B＝△E．【解答】证明：∵BF=CE BF+FC=BC CE+CF=EF∴BC=EF在Rt△ABC和Rt△DEF中∵{BC=EFAB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)∴∠B=∠E．【变式1-2】如图点A、B、C、D在一条直线上EA//FB EC//FD EA=FB．求证：AB=CD．【解答】证明：∵EA∥FB∴∠A=∠FBD∵EC∥FD∴∠D=∠ECA 在△EAC和△FBD中{∠ECA=∠D∠A=∠FBDAE=BF∴△EAC≌△FBD(AAS)∴AC=BD∴AB+BC=BC+CD∴AB=CD．【变式1-3】如图点B C E F在同一直线上BE=CF AC⊥BC DF⊥EF垂足分别为C F AB=DE．求证：AC=DF．【解答】证明：∵BE=CF∴BE−CE=CF−CE即BC=EF在Rt△ABC和Rt△DEF中{BC=EFAB=DE∴Rt△ABC△Rt△DEF（HL）∴AC=DF．【类型二：翻折型】【典例2】已知△A＝△D BC平分△ABD 求证：AC＝DC．【解答】解：∵BC平分△ABD ∴△ABC＝△DBC在△BAC和△BDC中{∠A=∠D ∠ABC=∠DBC BC=BC∴△BAC△△BDC∴AC＝DC．【变式2-1】如图已知BD是∠ABC的角平分线AB=CB．求证：△ABD≌△CBD．【解答】证明：∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠ABD=∠CBD（角平分线定义）在△ABC与△CBD中∵{AB=CB(已知)∠ABD=∠CBD(已证)BD=BD(公共边)∴△ABD≌△CBD(SAS)．【变式2-2】已知：如图线段BE、DC交于点O 点D在线段AB上点E在线段AC 上AB＝AC AD＝AE．求证：△B＝△C．【解答】解：在△AEB和△ADC中{AB=AC ∠A=∠A AE=AD∴△AEB△△ADC（SAS）∴△B=△C．【变式2-3】已知：如图△ABC＝△DCB △1＝△2.求证AB＝DC.【解答】证明：如图记AC BD的交点为O∵△ABC＝△DCB △1＝△2又∵△OBC＝△ABC−△1 △OCB＝△DCB−△2∴△OBC＝△OCB∴OB＝OC在△ABO和△DCO中{∠1=∠2OB=OC∠AOB=∠DOC∴△ABO△△DCO（ASA）∴AB＝DC.【类型三：旋转型】【典例3】已知：如图AD BE相交于点O AB△BE DE△AD 垂足分别为B D OA=OE．求证：△ABO△△EDO．【解答】证明：∵AB△BE DE△AD∴△B=△D=90°．在△ABO和△EDO中{∠B=∠D ∠AOB=∠EOD OA=OE∴△ABO△△EDO．【变式3】如图已知线段AC BD相交于点E AE＝DE BE＝CE求证：△ABE△△DCE．【解答】证明：在△ABE和△DCE中{AE=DE ∠AEB=∠DEC BE=CE∴△ABE△△DCE（SAS）【典例4】如图CA=CD ∠1=∠2 BC=EC求证：∠B=∠E.【解答】证明：∵△1＝△2∴△1＋△ECA＝△2＋△ECA 即△ACB＝△DCE 在△ABC和△DEC中{CA＝CD∠ACB＝∠DCEBC＝EC∴△ABC△△DEC（SAS）∴∠B=∠E.【变式4】如图△ABC中点E在BC边上AE＝AB 将线段AC绕A点旋转到AF 的位置使得△CAF＝△BAE 连接EF EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若△ABC＝65° △ACB＝28° 求△FGC的度数.【解答】（1）证明：∵△CAF＝△BAE∴△CAF+△CAE＝△BAE+△CAE 即△EAF=△BAC∵AE＝AB AC=AF∴△EAF△△BAC∴EF＝BC；（2）解：∵△EAF△△BAC∴△AEF=△ABC＝65°∵AB=AE∴△AEB=△ABC＝65°∴△FEC=180°-△AEB-△AEF＝50°∴△FGC=△FEC+△ACB=78°.【类型四：一线三垂直型】【典例5】如图AB＝AC直线l经过点A BM△l CN△l垂足分别为M、N BM＝AN．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）求证：△BAC＝90°．【解答】（1）证明：∵BM△直线l CN△直线l ∴△AMB＝△CNA＝90°在Rt△AMB和Rt△CNA中{AB=CABM=AN∴Rt△AMB△Rt△CNA（HL）∴BM＝AN CN＝AM∴MN＝AM+AN＝BM+CN；（2）由（1）得：Rt△AMB△Rt△CNA∴△BAM＝△ACN∵△CAN+△ACN＝90°∴△CAN+△BAM＝90°∴△BAC＝180°﹣90°＝90°．【变式5-1】课间小明拿着老师的等腰三角板玩不小心掉在两墙之间如图所示：（1）求证：△ADC△△CEB；（2）已知DE=35cm 请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC △ACB＝90° AD△DE BE△DE∴△ADC＝△CEB＝90°∴△ACD＋△BCE＝90° △ACD＋△DAC＝90°∴△BCE＝△DAC在△ADC和△CEB中{∠ADC＝∠CEB ∠DAC＝∠BCE AC＝BC∴△ADC△△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a∴AD＝4a BE＝3a由（1）得：△ADC△△CEB∴DC＝BE＝3a AD＝CE＝4a∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35∴a＝5答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【变式5-2】在△ABC中∠ACB=90°AC=BC直线MN经过点C且AD⊥MN于D BE⊥MN于E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时①求证：△ADC△ △CEB；②求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时（1）中的结论②还成立吗？若成立请给出证明；若不成立说明理由.【解答】（1）证明：①∵AD△MN BE△MN∴△ADC=△BEC=90°∵△ACB=90°∴△ACD+△BCE=90° △DAC+△ACD=90°∴△DAC=△BCE又∵AC=BC∴△ADC△ △CEB；②∵△ADC△ △CEB∴CD=BE AD=CE∵DE=CE+CD∴DE=AD+BE；（2）解：DE=AD+BE不成立此时应有DE=AD－BE 理由如下：∵BE△MN AD△MN∴△ADC=△BEC=90°∴△EBC+△ECB=90°∵△ACB=90°∴△ECB+△ACE=90°∴△ACD=△EBC又∵AC=BC∴△ADC△ △CEB∴AD=CE CD=BE∵DE=CE－CD∴DE=AD－BE.1．如图在△ABC和△CDE中点B、D、C在同一直线上已知△ACB=△E AC=CE AB∥DE 求证：△ABC△△CDE．【解答】证明：∵AB∥DE ∴∠B=∠EDC在△ABC和△CDE中{∠B=∠EDC ∠ACB=∠E AC=CE∴△ABC≌△CDE(AAS)．2．如图AC和BD相交于点O OA=OC DC△AB．求证DC=AB．【解答】证明：∵DC△AB∴△D=△B在△COD与△AOB中{∠D=∠B ∠DOC=∠BOA OC=OA∴△COD△△AOB（AAS）∴DC=AB．3．如图点B、F、C、E在同一条直线上△B＝△E AB＝DE BF＝CE．求证：AC ＝DF．【解答】证明：∵BF＝CE∴BＦ＋FC＝CE＋FC 即BC＝EF在△ABC和△DEF中{AB=DE ∠B=∠E BC=EF∴△ABC△△DEF（SAS）∴AC＝DF．4．如图等边△ABC的内部有一点D 连接BD 以BD为边作等边△BDE连接AD CE 求证：AD=CE．【解答】证明：∵△ABC和△DBE为等边三角形∴△ABC =△DBE=60°AB=BC DB=EB∴△ABC−△DBC=△DBE−△DBC即△ABD=△CBE在△ABD和△CBE中{AB=BC∠ABD=∠CBE BD=EB∴△ABD≌△CBE(SAS)∴AD=CE5．如图点E F在BC上BE＝CF △A＝△D △B＝△C 求证：AB＝DC.【解答】证明：∵点E F在BC上BE＝CF ∴BE+EF＝CF+EF 即BF＝CE；在△ABF和△DCE中{∠A=∠D ∠B=∠C BF=CE∴△ABF△△DCE（AAS）∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）.6．如图点B、C、E、F在一条直线上AB=CD AE=DF BF=CE求证：∠A=∠D.【解答】证明：∵BF=CE∴BF+EF=CE+EF即BE=CF在△ABE和△DCF中{AB=DCBE=CFAE=DF∴△ABE△△DCF．∴∠A=∠D7．如图已知AB、CD相交于点O 且AD=CB AB=CD．求证：△A=△C．【解答】证明：连接BD 如图在△ABD和△CDB中∵AD=CB AB=CD BD=DB∴△ABD△△CDB（SSS）∴△A=△C．8．已知：如图A、C、F、D在同一条直线上且AB//DE AF＝DC AB＝DE求证：△ABC△△DEF．【解答】证明：∵AB△DE∴△A＝△D∵AF＝CD∴AD+CF＝CF+DF∴AC＝DF在△ABC和△DEF中{AC=DF ∠A=∠D AB=DE∴△ABC△△DEF（SAS）．9．如图：点E、F在BC上BE=CF AB=DC∠B=∠C AF与DE交于点G.过点G作GH⊥BC垂足为H.（1）求证：△ABF≌△DCE（2）求证：∠EGH=∠FGH【解答】（1）证明：∵BE=CF∴BF=CE在△ABF和△DCE中{AB=DC ∠B=∠C BF=CE∴△ABF△△DCE（SAS）.（2）证明：∵△ABF△△DCE∴△AFE=△DEC∴EG=GF∵GH△BC∴△EGH=△FGH.10．如图AD平分∠BAC ∠ADB=∠ADC.（1）求证：△ABD⊆△ACD：（2）若∠B=25° ∠BAC=40°求∠BDC的度数.【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD.又∵AD=DA ∠ADB=∠ADC ∴△ABD≅△ACD(ASA)（2）解：∵∠BAD=∠CAD ∠BAC=40°∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=20°.又∵∠B=25°∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=135°.又∵△ABD≅△ACD ∴∠ADC=∠ADB=135°.又∵∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°∴∠BDC=90°.11．如图在四边形ABCD中E是CB上一点分别延长AE DC相交于点F AB= CF ∠CEA=∠B+∠F．（1）求证：∠EAB=∠F；（2）若BC=10求BE的长．【解答】（1）证明：∵∠CEA是△ABE的外角∴∠CEA=∠B+∠EAB．又∵∠CEA=∠B+∠F∴∠EAB=∠F．（2）解：在△ABE和△FCE中{AB=FC ∠EAB=∠F ∠AEB=∠FEC∴△ABE△△FCE．∴BE=CE．∵BC=10∴BE=5．12．如图AB⊥BE DE⊥BE垂足分别为点B E且AB=DE BF=CE点B F C E在同一条直线上AC DF相交于点G．求证：（1）ΔABC≌ΔDEF；（2）AG=DG．【解答】（1）解：∵AB⊥BE DE⊥BE∴∠B=∠E=90°∵BF=CE∴BF+FC=CE+FC即BC=EF在ΔABC和ΔDEF中{AB=DE∠B=∠EBC=EF∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)（2）解：由（1）全等可知：AC=DF ∠ACB=∠DFE∴CG=FG13．如图已知△A＝△D AB＝DB 点E在AC边上△AED＝△CBE AB和DE相交于点F．（1）求证：△ABC△△DBE．（2）若△CBE＝50° 求△BED的度数．【解答】（1）证明：∵△A＝△D △AFE＝△BFD∴△ABD＝△AED又∵△AED＝△CBE∴∠ABD=∠CBE∴△ABD+△ABE＝△CBE+△ABE即△ABC＝△DBE在△ABC和△DBE中{∠A=∠DAB=DB ∠ABC=∠DBE∴△ABC△△DBE（ASA）；（2）解：∵△ABC△△DBE∴BE＝BC∴△BEC＝△C∵△CBE＝50°∴△BEC＝△C＝65°．∴AG=DG14．已知：如图点A D C B在同一条直线上AD=BC AE=BF CE=DF求证：（1）AE△FB（1）DE=CF.【解答】（1）证明：在△ADE和△BCF中{AE＝BF∠A＝∠BAD＝BC∴△ADE△△BCF（SAS）∴DE=CF．15．如图在△ABC中AB＝BC BE平分△ABC AD为BC边上的高且AD＝BD．（1）求证：△ABE=△CAD（2）试判断线段AB与BD DH之间有何数量关系并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝BC BE平分△ABC∴BE△AC∴△BEA＝90°＝△ADB∵△CAD+△BEA+△AHE＝180° △HBD+△ADB+△BHD＝180° △AHE＝△BHD∴△HBD＝△CAD∵△HBD＝△ABE∴△ABE=△CAD（2）解：AB＝BD+DH理由是：∵在△BDH和△ADC中{∠2=∠3 BD=AD∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH△△ADC（ASA）∴DH＝DC∴BC＝BD+DC＝BD+DH∵AB＝BC∴AB＝BD+DH．16．如图1 AC=BC CD=CE △ACB=△DCE=α AD、BE相交于点M.（1）求证：BE=AD；（2）直接用含α的式子表示△AMB的度数为（3）当α=90°时取AD BE的中点分别为点P、Q 连接CP CQ PQ 如图2 判断△CPQ的形状并加以证明.【解答】（1）证明：如图1∵△ACB=△DCE=α∴△ACD=△BCE在△ACD和△BCE中{CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE∴△ACD△△BCE（SAS）∴BE=AD；（2）α（3）解：△CPQ为等腰直角三角形证明：如图2 由（1）可得BE=AD∵AD BE的中点分别为点P、Q∴AP=BQ∵△ACD△△BCE∴△CAP=△CBQ在△ACP和△BCQ中{CA=CB ∠CAP=∠CBQ AP=BQ∴△ACP△△BCQ（SAS）∴CP=CQ 且△ACP=△BCQ 又∵△ACP+△PCB=90°∴△BCQ+△PCB=90°∴△PCQ=90°∴△CPQ为等腰直角三角形.。
三角形 数学建模 四大常考相似模型
(1)证明:∵∠B=∠C=∠AMN=90°,
∴∠AMB+∠CMN=90°,∠CMN+∠MNC=90°,
∴∠AMB=∠MNC,
∴△ABM∽△MCN.
2.结论: (1)
一线三垂直型 已知:∠B=∠ACE=∠D=90° 结论:(1)△ABC∽△CDE (2)AB·DE=BC·CD (3)当C为BD中点时,△ABC∽△CDE∽△ACE
(2)
一线三等角型 已知:∠B=∠ACE=∠D=α 结论:(1)△ABC∽△CDE (2) AB·DE=BC·CD (3)当C为BD中点时,△ABC∽△CDE∽△ACE
BC
1 3
.
2.如图,在△ABC中,P为边AB上一点,且∠ACP=∠B,若 AP=2,BP=3,则AC的长为 10.
3.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,点D在边AC上,AD=2,若点E在
边AB上,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长
为
8或3
32
.
模型解读
模型二 8字型 特征:有一组隐含的等角(即对顶角相等). (1)
第四章 三角形
数学建模 四大常考相似模型
模型解读
特征:有一个公共角. (1)
模型一 A字型
A 字型 已知:DE∥BC 结论:AD = AE = DE
AB AC BC
反 A 字型 (2)
已知:∠AED=∠C 结论:AD = AE = DE
AB AC BC
(3)
反 A 字型(共边共角)
已知:∠ABD=∠C
8 字型 已知:AB∥CD 结论:AO = BO = AB
八下第9章图形的相似专题四相似三角形的四大模型习题鲁教版五四制
模型2 8字型 【模型解读】两个三角形若有“一对对顶角＋一对等角”， 则出现“8”字型相似．没有说明对应角的关系时，需分 ∠B＝∠C或∠B＝∠D两种情况讨论．
模型展示
结论
条件：AB∥CD． 结论：△AOB∽△DOC．
条件：∠A＝∠C或∠B＝∠D． 结论：△AOB∽△COD．
2 【2023·济南期末】如图，AD，BC相交于点P，连接 AC，BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求 BD的长．
第九章 图形的相似
专题(四) 相似三角形的四大 模型
模型1 A字型 【模型解读】两个三角形若有“一个公共角＋一对等角”， 则出现“A”字型相似，没有说明对应角的关系时，需分 ∠AED＝∠B或∠AED＝∠C两种情况讨论．
模型展示
结论
条件：DE∥BC． 结论：△AED∽△ACB．
模型展示
结论 条件：∠AED＝∠B 或AADC＝AAEB. 结论：△ AED∽△ABC．
【证明】∵∠ACD＝∠BCA，∠DAC＝∠B， ∴△ACD∽△BCA，∴CADD＝AACB. ∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠ADB＝∠CEA. ∵∠DAC＝∠B，∴△ADB∽△CEA， ∴AACB＝BADE，∴CADD＝BADE，∴CD·BD＝AD·AE.
模型展示
结论 条件：∠C＝∠ABD 或AADB＝AABC. 结论：△ ABD∽△ACB． 条件：CD⊥AB，AC⊥BC． 结论：①△ADC∽△CDB； ②△ADC∽△ACB；③△CDB∽△ACB．
4 【2023·泰安肥城市开学】如图，E为AD上一点，若 ∠DAC＝∠B，CD＝CE，求证：CD·BD＝AD·AE.
模型展示
结论
条件：∠C＝∠ABD＝∠E＝90°. 结论：△ABC∽△BDE.
2023年北师大版七年级下册数学第四章三角形中考重难点(模型观念)四大常考全等模型
中考重难点(模型观念) 四大常考全等模型
模型解读
·数学
模型一 平移型 (1)特征：沿同一直线平移可得两三角形重合.模型展示如下：
已知： AE＝BF， CB∥DF， AC∥DE 结论：△ABC≌△EFD
(2)解题思路： 判断三角形全等的关键： ①加(减)共线部分，得某一对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等.
·数学 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上， ED⊥AB于点D，若BC＝ED，试说明：CE＝DB.
解：因为ED⊥AB，所以∠ADE＝∠ACB＝90°， 因为∠A＝∠A，ED＝BC，所以△AED≌△ABC(AAS). 所以AE＝AB，AC＝AD.所以CE＝DB.
·数学
模型三 旋转型 (1)特征： ①共顶点，绕该顶点旋转可得两三角形重合； ②不共顶点，绕某一点旋转后，再平移可得到两三角形重合.
解：因为∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE.
AB＝AC 在△BAD和△CAE中，ቐ∠BAD＝∠CAE，
AD＝AE 所以△BAD≌△CAE(SAS).所以BD＝CE.
·数学 6.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧， AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D. (1)试说明：△ABE≌△DCF； (2)若AB＝CF，试说明：△CFD是等腰三角形.
三垂直型
·数学
考虑：△ABE≌△ECD 结论：BC＝BE＋EC＝AB＋CD
(2)三个直角(不在同一直线上)：
·数学
考虑：△ABE≌△BCD 结论：EC＝AB－CD
考虑：△ABE≌△ECD 结论：BC＝AB－CD
·数学 7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是 ∠ACB内部的一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂 足分别为点D，E. (1)试说明：△BCE≌△CAD； (2)若BE＝5，DE＝7，BC＝13，则△ACD的周长是 30 .
专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型(四大类型)(原卷版)
专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型（四大类型）【题型一：标准“K”型图】【题型二：做辅助线构造“K”型图】【题型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【题型四：特殊“K”型图】【方法技巧】模型一一线三垂直全等模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。
结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解【类型一：标准“K”型图】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；CD EBA（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE 之间的等量关系．【变式1-1】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE ⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【变式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE ．＝1，求S△BFC【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a，b，c的式子表示）【变式2-1】已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1，当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF＝DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【变式2-2】直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF 延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（4，7）D．（3，7）【变式3-4】问题背景：（1）如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，请直接写出BD、CE、DE的数量关系．拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系，并说明理由．实际应用：（3）如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求B点的坐标．【变式3-5】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE 的长；（3）如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求点B坐标．【变式3-6】在直角坐标平面内，点A（3，0），点B是第二象限内任意一点（如图所示）．线段AB绕点A旋转90°后的图形为AC，连接BC．（1）当线段AB绕点A顺时针旋转时，①如果点B的坐标为（﹣1，2），过点B作BH⊥OA，垂足为点H，直接写出线段AH的长；②如果点B的横坐标为a，且BC∥OA，求点B的纵坐标；（用含a的代数式表示）（2）设点B的坐标为（m，n），直接写出点C的坐标．（用含m、n的代数式表示）【变式3-7】如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，P A与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．【变式3-8】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式4-1】如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，先将三角板60°角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板60°角的两边分别与边AB、AC交于点E、点F，当DE＝DF时，如图（2）所示．求证：△BDE≌△CFD．【变式4-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．【变式4-3】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．。
奥数几何-三角形五大模型带解析
奥数几何-三角形五大模型带解析三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。
在奥数竞赛中，常常会涉及到三角形的题目。
为了更好地应对这类题目，我们需要掌握三角形的五大模型，即：全等模型、相似模型、正弦定理模型、余弦定理模型和面积模型。
下面将对这五大模型进行详细解析。
一、全等模型全等模型是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等。
利用全等模型，我们可以简化一些繁杂的计算，直接得到结论。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF的对应边长和对应角度分别相等，我们就可以得出它们全等的结论，即△ABC≌△DEF。
利用全等模型，我们可以将问题简化为求解另一个已知三角形的性质，从而得到答案。
二、相似模型相似模型是指两个三角形的对应角度相等，但对应边长不一定相等。
相似模型在解决一些比例问题时非常有用。
例如，已知△ABC和△DEF的对应角度分别相等，我们可以推出它们相似的结论，即△ABC∽△DEF。
利用相似模型，我们可以通过已知比例关系，求解未知的边长或角度。
三、正弦定理模型正弦定理是指在一个三角形中，三个角的正弦值与对应边的长度之间存在着一定的比例关系。
正弦定理模型在求解三角形的边长和角度时非常有用。
正弦定理的公式为：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C为三角形的角度，a、b、c为对应边的长度。
利用正弦定理模型，我们可以通过已知的角度和边长，求解未知的边长或角度。
四、余弦定理模型余弦定理是指在一个三角形中，三个角的余弦值与对应边的长度之间存在着一定的比例关系。
余弦定理模型在求解三角形的边长和角度时非常有用。
余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为对应的角度。
利用余弦定理模型，我们可以通过已知的边长和角度，求解未知的边长或角度。
五、面积模型面积模型是指通过三角形的面积关系求解三角形的边长或角度。
在面积模型中，我们常常使用海伦公式或高度公式来求解三角形的面积。
初中数学几何模型系列之(三)三角形四大模型
初中几何模型系列之（三）三角形四大模型
全面完整版+例题解析
第一部分模型展示
一、八字模型：二、飞镖模型：
证明的过程很简单，请同学们思考一下吧!
模型展示
三、角平分线模型
角平分线模型包含三种类型，1.两内角的角平分线相交于一点；2.两外角的角平分线相交于一点；3.一条内角和一个外
模型展示
四、角平分线&高线模型
注意：此模型要注意，在此结论三个角的关
系中，∠ B和∠ C之间永远是大角-小角。
第二部分例题解析
点评：此题既可用
8字模型又可用飞
镖模型，同学们一
定要仔细观察！
点评：此题既可用8字模型又可用飞镖模型，同学们
点评：此题用到8字模型的一种特殊情况，大家要体会这种情况！
点评：此题用到两次飞镖模型，大家在做题时要注意构造模型
点评：此题用到两次飞镖模型，大家在做题时要注意观察
点评：此题属于角平分线中两外角平分线相交于一点的情况
例题解析
点评：此题标准的角平分线
+高线模型，第一问的计算
过程实际上就是对第二问的
铺垫
Network Optimization Expert Team
第三部分课后练习
Network Optimization Expert Team。
平面几何视角下解三角形问题的四大模型
类讨论 的麻 烦 ， 达到 提高 解题 效率 的 目的．
）≤ ｋ ｇ （ ｘ ） ， 求 的取 值
平 面 几 何 视 角 下 解 三 角 形 问题 的 四大 模 型
广 东省 东莞 市东莞 中学 （ ５ ２ ３ ０ ０ ５ ） 于 涛
已知 函数 Ｉ 厂 （ ）＝ ＋０ ＋ｂ ， ｇ （ ） ＝ ｅ （ ｃ ｘ＋
求 的取值 范围．
通过 上述 这 些试题 ， 不难 看 出， 在 函数 问题 中求 解 参数 的取值 范 围时， 如果 能够分 离出参数 ， 把 问题 转 化 为恒成 立 问题 ， 这 时就 可 以利 用 导 数 求解 所 构
＜６ ， 即ｃ ＜６ ＜。
：
） ， ． ’
＜Ｃ ２＜ ６ １ ，则 ａ １＜ ｂ ３
图 １
—
Ａ ． ｛ Ｓ ｝为递减 数 列 Ｂ ． ｛ Ｓ ｝为递增 数 列
＜
２ ， ｂ ２
＜
。 ３
Ｃ ． ｛ Ｓ 一 ｝为递 增数 列 ， ｛ ｓ ｝为递减 数 列
Ａ Ｃ ＝１ ２ ０ 。 ， Ｄ是 Ａ Ｂ上 一点 ， 满足 ＬＡ Ｄ Ｃ ＝６ ０ 。 ，
数 列 的推理 演 算 ， 才能发现 △ Ａ Ｃ 中边 Ｃ 为 定
值（ 即顶点 日 ， ｃ 为定 点 ） ， 点Ａ 满足 条件 Ｉ Ａ Ｂ ｝ ＋ Ｉ Ｃ ｌ＝２ ａ ｌ （ 即６ ＋ｃ ＝２ ａ １ ） ． 根 据 点
：
，
以此类推 ６ １＞ｃ ２＞６ ３＞ Ｃ ４＞ ６ ５＞ｃ ６＞ … ＞０ ｌ ，
可得 Ｂ１＞Ｃ ２＞Ｂ ３＞ Ｃ ４＞Ｂ ５＞ Ｃ ６＞ … ＞ ．
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三角形的四大模型
一、三角形的重要概念和性质
1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°
2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余）
二、八字模型：
证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D
三、飞镖模型：
证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C
四、角分线模型：
如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，
试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论．
如图，△ABC两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P．
探索∠P与∠B有怎样的数量关系，并证明你的结论．
题型一、三角形性质等应用
1．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（）
A．120 B．150 C．240 D．360
2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2．
3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影= cm2．
4．A、B、C是线段A1B，B1C，C1A的中点，S△ABC的面积是1，则S△A1B1C1的面积．
5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况．
6．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答）
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
题型二、八字模型应用
7．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如图2，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
①图2中共有个“8字形”；
②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P的度数；
（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）
③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由．8．（1）求五角星的五个角之和；（2）求这六个角之和
题型三、飞镖模型应用
9．如图，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F，探索∠BFE与∠BCE 之间的数量关系，并证明你的结论．
10．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分
别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P
是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
题型四、角分线模型应用
11．如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
12．如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E，则∠BDC的度数是（）A．67°B．84°C．88°D．110°
第11题第12题第13题
13．如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为（）A．50°B．100°C．130°D．150°
14．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：（1）∠A1= ；（2）∠A2= ；（3）∠A n= ．
题型五、其他应用
15．已知△ABC中，∠A=60°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC= °．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应于O1、O2…O n﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BO n﹣1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线对应于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n﹣1C=90°，求n的值．
16．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．
（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）
（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，写出并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°
∠BIC的度数
∠BDI的度数
（备用图）。