多金属导体系统的部分电容分析和计算

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第2章静电场

“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义：它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明：任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量；电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明：静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量；可以直接运用散度方程求解；仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则；积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区；电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2

总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)

电容的计算1

由于介质的极化，下半球面附近会产生极化电荷q’，这些电荷将在导体内部产生电场。为保证导体内E=0，可如此考虑：
14
假设上半球面又带了同为q’的自由电荷，它们与下半球面的极化电荷q’应该都在各自半球面上均匀分布，以使导体内E=0，为保证电荷守恒，还应再给导体球追加-q’的自由电荷，这些电荷也应该均匀分布在整个球面上。综上，上半球面均匀分布了[(Q-q’)/2]+q’的自由电荷，下半球面均匀分布了[(Q-q’)/2]的自由电荷和 q’的极化电荷。
解：(1)设联接后两球的电量最终分别变为q1、q2，则由电荷守恒
2q q1 q2
a b
8
现两球相距很远，可看作两孤立导体球，忽略其电场的相互作用，认为两球的电荷各自均匀分布在其球面上。 q1 q1 q2 两球电势分别为 Ua l a 4 0 a 4 0l 4 0 a 其中l为两球心距离 U b q2 q1 q2 l b 4 0b 4 0l 4 0b
0S
24
过程中极板上电量的改变量为 q (C C0 )U C0U / 2 0 把电容器极板上的电荷搬回到电源上，电源做负功：
1 外力做功为 A2 We A1 A1 qU C0U 2 0 2 2 SU 1 1 1 A2 C0U 2 ( C0U 2 ) C0U 2 0 0 4 2 4 4d
19
★ 电场能量
例：孤立导体球，带电量Q，半径R，求：电场能量。 •孤立导体球的电容 C 4 0 R Q
Q Q We 2C 8 0 R
2 2
R
r
•电场分布 E 0 (r R) E
Q 4 0 r
2
( r R)
20

多导体系统的部分电容

部分电容
1 、孤立导体的电容 2 、双导体的电容 3 、多导体系统的部分电容
1 、孤立导体电容
C=q j
导体上的电量 q = Cj
电容 C 只与导体几何性质和周围介质有关
空气中半径为a 的孤立导体球的电容
j
=
Q 4pe 0 a
C
=
Q j
=
4πε0a
如何估算人体的电容？
2 、双导体的电容
q0 + q1 + q2 + q3 = 0
￬j ￬￬j
1 2
=a =a
11q1 + a 21q1 + a
12q2 + a 13q3 22q2 + a 23q3
￬￬j 3 = a 31q1 + a 32q2 + a 33q3
电位系数
a
ij
=
ji qj
qk =0,k ￬ j
a ij = a ji > 0
导体 1 与导体 3 被互相隔离，不存在导体间静电耦合
￬￬￬qq12
= =
C10 (j C21 (j
1 -j 2 -j
0 ) + C12 (j 1) + C20 (j
1 -j 2-
j
2 ) + C13 (j 1 0 ) + C23 (j
-j 2-
3) j 3)
￬￬q3 = C31(j 3 - j 1) + C32 (j 3 - j 2 ) + C30 (j 3 - j 0 )

q3 = C31 j 3 - j 1 + C32j 3 + C30j 3
导体 1 无电荷时 q1 = 0 j 1 = 0

插入电介质板与导体板对电容器电容影响的理论分析

插入电介质板与导体板对电容器电容影响的理论分析作者：张洪明严云佳来源：《中学物理·高中》2015年第01期2错因剖析这里主要区别在于电容器内部插入电介质板与插入金属极板对电容器电容的影响，以上分析平行金属板插入电容器内部时对电场强度的影响是正确的，但是这里的等效两极板间距变小是有问题.因为电容器决定因素C=[SX（]εS4πkd[SX）]公式里面的d是指两个极板之间的垂直距离，而实际上插入电介质（就是绝缘介质）时候的原理与金属的相似，但是略有不同，如图4演示实验连接，然后给电容器充上电，把一有机板插入两极板之间，静电计指针偏转角度反映出两极板的电势差的大小，电容器充电后撤掉电源带电量保持不变，所以电势差增减反映出电容的增大或减小.当电容器之间插入金属板时，如题目2中在金属板静电平衡以后，在金属两个表面产生的感应电荷会在金属板内部产生感应电场，它的方向与原电场强度等大反向.这样就使得电容器内部区域的总场强整体被削弱，使得两极板之间的电压降低，由C=Q/U可知电容器电容变大了，究其本质是感应电荷产生感应电场与原来金属板位置原电场叠加导致.保持电容器带电量不变，如果增加金属板占据的空间，当金属板厚度是电容器两极板间距的一半d/2时，两极板间电压也减小到原来一半，电容增大到原来两倍，也就是等效原来总场强被削弱了（金属板占据空间实际合场强为零），两极板间场强的任何削弱，都会导致电势差的降低.插入电介质使电容器电容增大的原因也可作类似的解释.可以设想，把电解质插入电场后，由于同号电荷相斥，异号电荷相互吸引，介质表面上也会出现类似题目2金属板两表面出现感应电荷一样，起到削弱原场强、增大电容的作用，不同的是，导体上出现感应电荷是其中自由电荷重新分布的结果，而电介质上下两截面中出现极化电荷，是其束缚电荷的微小移动造成的宏观效果.由于束缚电荷的活动不能超出原子范围，因此电介质上的极化电荷比导体上的感应电荷在数量上要少得多.极化电荷在电介质上内产生的电场强度不能把外电场的场强全部抵消，只能使得总场有所削弱.综上所述，导体板引起电容增大的原因在于自由电荷的重新分布，电介质引起电容增大的原因在于束缚电荷的极化.极化的微观机制：任何物质的分子或原子（统称分子）都是由带负电的电子和带正电的原子核组成的，整个分子中电荷的代数和为零，正、负电荷在分子中都不是集中于一点的，但在离开分子的距离比分子的线度大得多的地方，分子中全部负电荷对于这些地方的影响将和一个单独的负电荷等效，这个等效负点电荷的位置成为这个分子的负电荷“重心”.例如一个电子绕核做匀速圆周运动时，它的“重心”就在圆心，同样，每个分子的正电荷也有一个正电荷“重心”.电介质分成两类，一类是在外电场不存在时正负电荷的“重心”重合的，叫无极分子；另一类是在外电场不存在时，电介质的正负电荷“重心”也不重合，虽然分子的正负电荷代数和为零，但等量的正负电荷“重心”互相错开，形成一定的电偶极矩，这类分子叫有极分子.（1）无极分子的位移极化.H2，N2，Cl4等分子是无极分子，加上外电场后在电场力作用下每一个分子的正负电荷“重心”分开如图6（a），形成一个电偶极子，电偶极矩方向沿着外电场，始端为负电荷，末端为正电荷，对一个电介质整体来说，由于其中每一个分子形成电偶极矩的情况可以用图6（b）表示，各个偶极子沿着外电场方向排列成一条“链子”，链子相邻的偶极子间正负电荷互相靠近，因而对于均匀电介质来说，其内部仍然是电中性的.但在和外电场垂直的两个端面上，一端出现负电荷另一端出现正电荷，这就是极化电荷，如图6（c）所示，极化电荷与导体中的自由电荷不同，它们不能离开电介质转移到其它带电体上也不能在电介质内部自由运动，在外电场作用下出现极化电荷的现象就是极化现象.由于此时移动的主要是电子因此无极分子的极化也称为电子位移极化.（2）有极分子的取向极化.H2O，HCl，NH3等水分子是有极分子的例子，在没有外电场时，虽然每一个分子具有电偶极矩，但是由于分子的不规则热运动，在任何一块电介质中，所有分子的电偶极矩的矢量和平均来说互相抵消，宏观上不产生电场.现加上外电场E0，则每个分子电偶极矩都受到力矩作用转向外电场方向，由于总的矢量和不等于零，由于分子热运动这种转向不完全，即所有分子的电偶极矩不是整齐的按照外电场方向排列起来.外电场越强排列越整齐，在垂直电场的两个端面上也产生了少量的极化电荷，这种极化方式称为取向极化.实际上电子位移极化在任何电介质中都存在，而分子取向极化只有是有极分子构成的电介质独有的.但是实际上有极分子构成的电介质中取向极化比位移极化强得多，因而其中取向极化是主要的.从以上分析可以知道，实际上无论是插入那种电介质都会使得电容器电容增大的，但是由于一般情况下，在外电场作用下，电介质（绝缘介质）在上下表面产生的极化电荷数量远小于同样情况下金属极板自由电荷在上下表面产生的感应电荷，所以插入金属极板使得电容的增大比插入电介质的要大.也就是说同学在这个问题中进行了将电介质换成金属板等效成ε介电常数减小就已可以了，而同学又进行了第二次等效，就是插入金属认为等效距离减小，所以造成无法判断电容器电容增大还是减小，还有电容器的决定式C=[SX（]εS4πkd[SX）]中d就是电容器两个极板之间的垂直距离，造成电容减小的原因不是d减小，而是U=Ex中在计算电容器电压时候，由于插入介质部分的电场强度变小计算时两极板的电压减小由C=[SX（]QU[SX）]所以电容器电容变大.也就是说用插入金属板等效距离减小的思想来解决电容器电容变化这个思路是错误的，插入金属板（或电介质）都是等效成介电常数ε变化而不是两极板距离变化.。

多导体的电容+定义计算意义

若该系统有n+1个导体，按0 ~ n 顺序编号则必然有电荷关系：
n
qk 0
k0
二. 多导体系统的部分电容
设多导体静电独立系统中，导体间都是线性介质，第i个导体带
电量为qi，电位为i，则每个导体电位可利用叠加原理求得
三导体静电独立系统
Φ1 p11q1 p12q2 p1N q N Φ2 p21q1 p22q2 p2 N qN ΦN pN1q1 pN 2q2 pNN qN
pij——电位系数与所有导体几何条件有关
写成矩阵
1 p11
2
p 21
p12 p1N q1
p 22
p2
N
q2
N
p
N1
p N2
p NN
qN
q1 q
p 11
p
2
21
p 12
p 22
p 1N
p2 N
1
12
11
21
12
22
Hale Waihona Puke 1N1第 2 章静电场
2.10 多导体系统部分电容
2.10.1 概念与意义
一. 多导体系统
•定义：三个以上的导体构成多导体系统。其中一个导体是大地，并取其电位为零。
• 理想静电独立系统：
q1, 1
q2 ,2
q3,3
所有电位移矢量线都起始于系统内的正电荷，而终止于系统内的负电荷，它与外界的静电感应微弱到忽略不计。
2
1 C12
C23 3
〓C22 〓 C33
1 C11
2 3
C33〓
屏蔽壳未接地
静电屏蔽— 壳接地
2. 可把导体系统看成由各个电容构成的电路，

电容与电荷量之间关系的详细分析

电容与电荷量之间关系的详细分析在电学中，电容和电荷量是两个非常重要的概念。

电容是指导体中储存电荷的能力，而电荷量则是指导体中所带电荷的数量。

本文将详细分析电容与电荷量之间的关系，并探讨它们之间的数学表示和实际应用。

一、电容的概念与定义电容指的是导体储存电荷的能力。

当给导体施加电压时，导体上的电荷量随之增加，而电容正是用来衡量导体所能储存电荷量的大小。

电容的单位为法拉(Farad)，常用符号为C。

电容的定义可以简单地表示为：C = Q/V其中，C表示电容的大小，Q为导体上的电荷量，V为导体上的电压。

这个公式说明了电容与电荷量之间的关系：电容与电荷量成正比。

二、电容的数学表示1. 平行板电容器最简单的电容器是平行板电容器。

它由两块平行且等大的金属板组成，两板之间填充绝缘材料或真空。

平行板电容器的电容由以下公式给出：C = εA/d其中，C表示电容的大小，ε表示电介质的介电常数，A为电容器的平板面积，d为两平板之间的距离。

从公式可以看出，电容与平板面积成正比，与板间距离成反比。

2. 球形电容器对于球形电容器，电容的大小由以下公式给出：C = 4πεr其中，C表示电容的大小，ε表示媒质的介电常数，r为球的半径。

从公式可以看出，电容与球的半径成正比。

三、电荷量的概念与定义电荷量是指电荷的数量。

电荷分为正电荷和负电荷，它们的单位是库仑(Coulomb)，常用符号为Q。

电荷量的表达式为：Q = ne其中，Q表示电荷量，n为电荷的数量，e为单个电子所带的基本电荷。

四、电容与电荷量之间的关系通过以上的分析，可以得知电容与电荷量之间是成正比关系。

当电容增大时，导体可以储存更多的电荷。

当电容减小时，导体只能储存较少的电荷。

这种关系可以用数学公式表示为：C ∝ Q其中，∝表示比例关系。

这意味着，当电容C的值增大时，电荷量Q的值也会增大。

五、电容与电荷量的实际应用电容与电荷量的关系在现实生活中有着广泛的应用。

最常见的应用是电容器储存和释放电荷。

传输线内电容计算公式

传输线内电容计算公式在电子电路和通信系统中，传输线是一种用于传输电信号的导线或光纤。

在设计和分析传输线时，了解传输线内的电容是非常重要的。

传输线内的电容会影响信号的传输速度和传输质量，因此需要准确计算传输线内的电容值。

传输线内的电容主要由两部分组成，传输线的两个导体之间的电容和传输线与地之间的电容。

在本文中，我们将讨论如何计算这两部分电容，并给出相应的计算公式。

传输线的两个导体之间的电容可以通过以下公式进行计算：C = (πεrε0) / ln(b/a)。

其中，C表示传输线的两个导体之间的电容，εr表示传输线的绝对介电常数，ε0表示真空中的介电常数，b表示传输线的外径，a表示传输线的内径。

这个公式是由James Clerk Maxwell提出的，并被称为Maxwell公式。

根据这个公式，我们可以看出传输线的两个导体之间的电容与传输线的几何尺寸和介电常数有关。

通常情况下，我们可以通过传输线的几何尺寸和材料参数来计算出传输线的两个导体之间的电容。

另外，传输线与地之间的电容可以通过以下公式进行计算：Cg = (2πεrε0) / ln(D/d)。

其中，Cg表示传输线与地之间的电容，D表示传输线的外径，d表示传输线与地之间的距离。

这个公式是由Oliver Heaviside提出的，并被称为Heaviside公式。

根据这个公式，我们可以看出传输线与地之间的电容与传输线的几何尺寸和介电常数有关。

通常情况下，我们可以通过传输线的几何尺寸和材料参数来计算出传输线与地之间的电容。

在实际应用中，我们通常会将传输线的两个导体之间的电容和传输线与地之间的电容进行合并计算，得到传输线的总电容。

传输线的总电容可以通过以下公式进行计算：Ct = C + Cg。

其中，Ct表示传输线的总电容，C表示传输线的两个导体之间的电容，Cg表示传输线与地之间的电容。

通过上述公式，我们可以计算出传输线的总电容，从而了解传输线内的电容对信号传输的影响。

§12 怎样求电容器的电容和能量

§12 怎样求电容器的电容和能量一、电容的计算电容的计算一般有三种方法： 1、利用电容的定义式Q Q C U U∆==∆来计算，具体步骤如下：先计算电场强度，进而计算电势差。

在电势差U ∆的表达式中，已经包含了电量Q 与电势差U 的比值，因此，对电势差表达式进行整理，即可由电容的定义Q Q C U U∆==∆算得电容。

2、通过电容器的储能公式()221122e Q W C U C=∆=来计算；由U ∆→W e →C ；或者是Q →W e →C.3、对于串联、并联、混联，可用前面两种方法，但往往直接用电容的串、并联计算公式更为方便。

即：串联时： 111ni iC C ==∑并联时： 1ni i C C ==∑二、电容器储能的计算电容器的储能公式为：()222211(1)222111(2)222Q W Q U CU C D W EDV E V Vεε=∆=====式中 U ∆---电容主板间电势差V--------电容器极板间电场所占的空间因为,SC U Ed dε=∆=故式(1)、(2)是一致的。

储能计算时要注意L 是维持电量Q 不变(电容器充电后与电源断开), 还是维持电压U ∆不变(电容器充电后，不与电源断开)，否则就会把题做错。

例如：有人问：如增大C ，由()22C W U =∆可知W 应增加；但从22Q W C=看，W 又应减小。

究竟应该是增加还是减小？同一习题之所以出现矛盾的结果，是因为问题本身不够明确：没有说明是Q 不变，还是U∆不变。

如在Q 不变下增大C ，则由22Q W C=看，W 应该减小；因Q C U =∆，C 增大时U ∆将减小，故从看，W 也应减小。

［例1］球形电容器由半径为R 1的导体球和与它同心的导体球壳构成，其间有两层同心的均匀介质球壳，介质常数分别为1ε、2ε，两介持的分界面的半径为R 2，导体球壳的内半径为R 3 (图2-12-1) 。

已知球壳不带电，内球带电+Q ，求球形电容器的电容。

金属球和无限大导体平板系统的电容的高精度计算

03
以促进相关领域的发展。
未来研究方向
可以进一步研究导体系统的电导率、温度等因素对电容的影响，以更全面地了解导体系统的电学
特性。
可以尝试将该公式应用于实际工程问题，如电磁屏蔽、电磁兼容性和天线设计等，以提高相关产
品的性能和可靠性。
可以探索其他类型的电容计算方法，如有限差分法、有限元法等，以比较不同方法的优缺点和应用
范围。
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金属球和无限大导体平板系统的电容的高精度计算
目录
• 引言 • 金属球和无限大导体平板系统的电容理论 • 高精度计算方法 • 数值模拟与结果分析 • 结论与展望
01
引言
研究背景
金属球和无限大导体平板系统是经典的双电层模型，广泛应用于电化学、电子工程和物理学等领域。
电容是描述电容器存储电荷能力的物理量，其精确计算对于理解双电层行为、优化电容器设计和提高能量存储效率具有重要意义。
电容的单位是法拉（F），1F=1C/V。
金属球和无限大导体平板系统的电容公式
01
对于金属球和无限大导体平板系统，其电容公式为$C=frac{kpi R}{d}$，其中R为金属球的半径，d为导体平板与金属球心之间的距离，k为
02 电介质常数。
当电介质为真空时，k=1；当电介质为空气或其他介质时，k值需根据具体介质属性确定。
研究目的
• 本文旨在研究金属球和无限大导体平板系统的电容的高精度计算方法，以提高计算精度和效率，为相关领域的研究和应用提供更准确的理论支持。
02
金属球和无限大导体平板系统的电容理论
电容的基本概念
电容是衡量电场中储能的物理量，其大小与电场中电荷分布和介质属性有关。

【精品】电容、部分电容与工作电容

电容、部分电容与工作电容——兼答实验1的思考题2陈德智（1）电容两个导体之间存在电容。

电容的因果关系是这样的：如果导体带电，则在空间产生电场；电场的分布使得两导体出现一定的电位差，其值U 与导体带电量q 成正比。

电容C 即定义为导体带电量q 与电压U 的比值。

因此，电容是对电场的一种集中参数化的描述。

只要电场的分布是确定的，两导体之间的电容也是确定的。

任意两个导体，无论形态差异多大，都有电容存在。

此外，需要说明一点，如果空间只有两个导体，则隐含着两导体带电量必然为q 和q -，以满足电荷守恒定律。

当讨论多个导体时，各导体的电荷总量也必须满足0iq=∑。

当系统中出现第三个导体时，用部分电容描述导体两两之间的关联关系。

为叙述方便，把原来的两个导体编号为1、2，把第三个导体编号为0。

此时，导体1、2之间出现部分电容C 12，对电路来说还有工作电容C p 。

讨论三个电容值C 、C 12和C p 的数值关系是一个饶有趣味的话题。

（2）工作电容图1工作电容首先考察工作电容C p 的含义。

无疑，如果只有一对导体（编号1、2），将其接入电路中，那么工作电容C p 就等于电容C ，即导体带电量q 与电压U 的比值：/p C C q U ==。

设若保持两导体的带电量q 不变，而在场中另外放置一个不带电的导体（编号为0），则第三个导体0的出现必然改变空间电场的分布，从而导致电压U 发生变化，设新的电压值为U '。

对于连结两个导体1、2的电路来说，它并不知道场中具体发生了什么变化，它只关心导体上的电荷与导体之间电压的比值，对它而言，工作电容为/p C q U ''=。

换言之，工作电容就是，在介质中可能存在其它不带电导体的情况下，两个带电导体的电荷q 与电压U 的比值；当不存在其它导体的时候，工作电容C p 就是普通的电容C 。

如图1，工作电容1020121020p C C C C C C =++；设0号导体不带电，则导体1、2带电量分别为q 、q -。

工程电磁场(冯慈璋)书后思考题

工程电磁场(冯慈璋)书后思考题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1—1 试回答下列各问题：(1)等位面上的电位处处一样，因此面上各处的电场强度的数值也句话对吗，试举例说明。

L』J米处吧议g＝u，囚此那里Bg电场C＝一vg＝一V 0＝0。

对吗?(3)甲处电位是10000v，乙处电位是10v故甲处的电场强度大于乙处的电场强度。

对吗?答此三问的内容基本一致，均是不正确的。

静电场中电场强度是电位函数的梯度，即电场强度E是电位函数甲沿最大减小率方向的空间变化率。

P的数值大小与辽的大小无关，因此甲处电位虽是10000v，大于乙处的电位，但并不等于甲处的电场强度大于乙处的电场强度。

在等位面上的电位均相等，只能说明沿等位面切线方向，电位的变化率等于零，因此等位面上任一点的电场强度沿该面切线方向的分量等于军，即fl＝0。

而电位函数沿等位面法线方向的变化宰并不一定等于零，即Zn不一定为零，且数值也不一定相等。

即使等位面上g；0，该面上任一点沿等位面法线方向电位函数的变化串也不一定等于零。

例如：静电场中导体表面为等位面，但导体表面上电场强度召垂直于导体表面，大小与导体表面各点的曲率半径有关，曲率半径越小的地方电荷面密度越大．电场强度的数值也越大o1—2 电力线是不是点电荷在电场中的运动轨迹(设此点电荷陈电场力外不受其它力的作用)?答电力线仅表示该线上任—点的切线方向与该点电场强度方向一致，即表示出点电荷在此处的受力方向，但并不能表示出点电荷在该点的运动方向，故电力线不是点电荷在电场中的运动轨迹。

1—3 证明：等位区的充要条件是该区域内场强处处为零。

证明若等位区内某点的电场强度不为零，由厦；一v9可知v9乒0．即此点的电位函数沿空间某方向的空间变化率不为零，则在此方向上电位必有变化．这与等位区的条件矛盾。

若等位区内处处电位相等，则等位区内任—数的空间变化率为零，即仟·点的电场强度为零。

(整理)电容、部分电容与工作电容

图1 工作电容电容、部分电容与工作电容——兼答实验1的思考题2陈德智（1）电容两个导体之间存在电容。

电容的因果关系是这样的：如果导体带电，则在空间产生电场；电场的分布使得两导体出现一定的电位差，其值U 与导体带电量q 成正比。

电容C 即定义为导体带电量q 与电压U 的比值。

因此，电容是对电场的一种集中参数化的描述。

只要电场的分布是确定的，两导体之间的电容也是确定的。

任意两个导体，无论形态差异多大，都有电容存在。

此外，需要说明一点，如果空间只有两个导体，则隐含着两导体带电量必然为q 和q -，以满足电荷守恒定律。

当讨论多个导体时，各导体的电荷总量也必须满足0i q =∑。

当系统中出现第三个导体时，用部分电容描述导体两两之间的关联关系。

为叙述方便，把原来的两个导体编号为1、2，把第三个导体编号为0。

此时，导体1、2之间出现部分电容C 12，对电路来说还有工作电容C p 。

讨论三个电容值C 、C 12和C p 的数值关系是一个饶有趣味的话题。

（2）工作电容首先考察工作电容C p 的含义。

无疑，如果只有一对导体（编号1、2），将其接入电路中，那么工作电容C p 就等于电容C ，即导体带电量q 与电压U 的比值：/p C C q U ==。

如图1，工作电容1020121020p C C C C C C =++；设0号导体不带电，则导体1、2带电量分别为q 、q -。

电容的计算

5.3 电容的计算1.孤立导体的电容2.双导体系统的电容3.多导体的部分电容QC φ=1. 孤立导体的电容式中：为导体所带的电荷量，为导体的电位。

φQ 孤立导体的电容指的是该导体与零电位参考导体之间的电容。

QC φ=例：在无限大接地导体平面上方h 高处，有一半径为a 的长直圆柱导体，其轴线与平面平行，求：圆柱导体单位长度上的电容。

解：圆柱导体单位长度上的电容指的是该导体与导体平面之间的电容。

圆柱导体单位长度上的电荷量圆柱导体的电位haha hahacclρlρ-yx圆柱导体的电位用镜像法求解：haφ=hahacclρlρ-yx圆柱导体的电位计算：根据电轴法：22c h a=-p假设：电轴的线电荷密度为lρ圆柱导体表面P 点的电位：0()ln2π()l c h a c h a ρφε+-=--圆柱导体单位长度上的电荷量：lQ ρ=导体圆柱单位长度的电容：QC φ=2ln()ln()C c h a c h a πε=+---+0()ln2π()l c h a c h a ρφε+-=--lQ ρ=可得：22ch a=-其中：2. 双导体系统的电容Q C U=Q U 式中为带正电导体的电荷量，为两导体间的电压。

d SQ E Sε=⋅⎰d lU E l=-⋅⎰d d SlE SC E lε⋅=-⋅⎰⎰必须求出其间的电场。

由上式可见：欲计算两导体间的电容，C Ed ()d ()lU E l E r r E r r αϕα=-⋅==⎰⎰设两极板间电压为U则：()UE r rα=21r r r =-ε例：如图所示，电容器可以用圆柱坐标系表示，一极板位于xoz 平面，另一极板和xoz 面成角，电容器高为h ，径向尺寸，内部填充介质的介电常数为。

求：电容。

α解：忽略边缘效应，由边界条件判断，则极板间电场与有关，与无关，r ϕˆ()E E r aφ=xyz1r 2r hαOS n nD E ρε==的极板处，根据电场边界条件：在0ϕ=2121d d d ln h r S Sr r U Uh Q S r z r r εεραα===⎰⎰⎰U r εα=在极板上总电荷为：21lnr Q h C U r εα==所以电容为：例：一无限长同轴电缆的内外半径分别为a 和b ，其间填充介电常数为的两层介质，如图所示。

电容器的电容(学生版)--新高一暑假自学物理讲义

第04讲电容器的电容1.理解电容器电容的物理意义，掌握平行板电容器有计算。

2.掌握电容器的两类动态分析一、电容器和电容1.任何两个彼此绝缘又相距很近的导体，都可以看成一个电容器。

2.电容器的电容在数值上等于两极板间每升高(或降低)单位电压时增加(或减少)的电荷量。

即C =Q U=ΔQΔU，对任何电容器都适用。

Q 为电容器所带的电荷量，是其中一个极板上所带电荷量的绝对值。

3.平行板电容器的电容与两平行极板的正对面积S 成正比，与电介质的相对介电常数εr 成正比，与极板间的距离d 成反比，其表达式为C =εr S4πkd。

两板间为真空时相对介电常数εr =1，其他任何电介质的相对介电常数εr 都大于1。

4.C =Q U 适用于所有电容器；C =εr S 4πkd仅适用于平行板电容器。

二、平行板电容器的两类典型问题1.分析方法抓住不变量，分析变化量。

(1)电容器电容的定义式：C =QU。

(2)平行板电容器内部是匀强电场时，有E =U d。

(3)平行板电容器电容的决定式：C =εr S4πkd。

2.两种典型题型(1)平行板电容器始终连接在电源两端：电势差U 不变，由C =εr S 4πkd ∝εr Sd可知，C 随d 、S 、εr 的变化而变化；由Q =UC =Uεr S 4πkd ∝εr S d 可知，Q 随d 、S 、εr 的变化而变化；由E =U d ∝1d可知，E 随d 的变化而变化。

(2)平行板电容器充电后，切断与电源的连接：电荷量Q 保持不变，由C =εr S 4πkd ∝εr Sd 可知，C 随d 、S 、εr的变化而变化；由U=QC=4πkdQεr S∝dεr S可知，U随d、S、εr的变化而变化；由E=Ud=QCd=4πkQ εr S ∝1εr S可知，E与d无关，只随S、εr的变化而变化。

考点一：电容器的电容1根据电容器的电容的定义式C=QU，可知( )A.电容器带电的电量Q越多，它的电容C就越大，C与Q成正比B.电容器不带电时，其电容为零C.电容器两极板之间的电压U越高，它的电容C就越小，C与U成反比D.无论电容器的电压如何变化(小于击穿电压且不为零)，它所带的电荷量Q与电压U的比值恒定不变考点二：平行板电容器的动态分析问题2兴趣小组利用图示器材探究平行板电容器，保持正对面积S不变，缓慢增大两极板间距离d，描绘出电容器两端电压U、电容器电容C、极板带电量Q、板间电场强度E与d的关系图像，以下描述可能正确的是()A. B. C. D.3如图，在干燥的冬天，手接触房间的金属门锁时，会有一种被电击的感觉，带负电的手在缓慢靠近门锁还未被电击的过程中，门锁()A.近手端感应出正电荷B.电势比手的电势低C.与手之间场强逐渐增大D.与手之间场强保持不变3(2021·重庆·高考真题)电容式加速传感器常用于触发汽车安全气囊等系统，如图所示。

电容器的电容量和电压的关系

电容器的电容量和电压的关系电容器是一种常见的电子元件，用于存储电荷和能量。

在日常生活和工业应用中广泛使用，如电子设备、电力系统和通信技术等。

电容器的电容量和电压之间有着密切的关系，本文将对此进行探讨。

一、电容器的基本原理在深入讨论电容器的电容量和电压之间的关系之前，先了解一下电容器的基本原理是很有必要的。

电容器是由两个导体（通常是金属板）之间被一个绝缘介质（如空气、塑料或氧化铝等）隔开的装置。

导体之间的绝缘介质称为电容介质。

当一个电压施加在电容器的两个导体之间时，由于导体之间存在电场，正电荷会在一个导体上积累，而负电荷会在另一个导体上积累，从而形成一个电场。

二、电容量的定义和计算方法电容量是电容器的一个重要参数，它决定了电容器可以存储的电荷量。

电容量的单位是法拉（F），表示1伏特电压下储存一库仑电荷所需的电容量。

电容量与电容器的几何形状、电介质的性质以及导体间距离相关。

一般来说，电容量与电容器的导体面积成正比，与电介质的介电常数成正比，与导体间距离成反比。

具体地，电容量可以通过以下公式计算：C = ε₀εᵣA/d其中，C为电容量，ε₀为真空中的介电常数（约为8.85 × 10⁻¹² F/m²），εᵣ为电介质的相对介电常数，A为导体间的面积，d为导体间的距离。

三、电容量与电压的关系电容量与电压之间存在一定的关系，该关系体现在电容器的特性方程中。

电容器的电压和电荷之间的关系可以用以下公式表示：Q = CV其中，Q表示电容器中的电荷量，C表示电容量，V表示电压。

可见，电容量与电压成正比，电容量越大，电容器可以储存的电荷量也越大。

根据特性方程，可以进一步探讨电容器的充电和放电过程。

当电容器接入电压源时，电容器会逐渐充电，直到达到与电压源相等的电压。

在充电过程中，电容器中的电荷量和电压呈正比关系。

相反，在电容器从电压源中断开时，电容器会逐渐放电，电容器中的电荷量和电压同样呈正比关系。

多导体系统的部分电容

部分电容1 、孤立导体的电容
2 、双导体的电容
3 、多导体系统的部分电容
1 、孤立导体电容
C
q
➢ 导体上的电量 q C
➢ 电容 C 只与导体几何性质和周围介质有关
➢ 空气中半径为的孤立导体球的电容
a = Q 4 0 a
C
=
Q
=
4πεa0
➢ 如何估算人体的电容？
2 、双导体的电容
两导体电位分别为和1 ，2带电量分别为 q 和 -q
✓导体 1 无电荷时 q1 0 1 0
C13 0
✓导体 1 、 2 、 3 均有电荷时
q1 C101 C12 1 q2 C211 C23 3 � q3 C323 C30 3
导体 1 与导体 3 被互相隔离，不存在导体间静电耦合
q C
1 2
➢ 导体上的电量 q C(1 2)
➢ 平行板电容器电容
q C
1 2
S S
Ed
S S 0 d S
S
0d
3 、多导体系统的部分电容
多导体系统中一个导体与另一个导体之间的电容
q0 q1 q2 q3 0
1 11q1 12q2 13q3 2 21q1 22q2 23q3 3 31q1 32q2 33q3
q2
C21 (
2 1) C20 ( 2 0 ) C23 ( 2 3 )
q3 C31( 3 1) C32 ( 3 2 ) C30 ( 3 0 )
导体自有部分电容
导体互部分电容
Ci0
Cij Cji
N
Ci 0
ij
j 1
Cij ij i j
静电屏蔽问
题
q1 C10 1 C12 1 C13 1 3 q2 C21 1 C20 0 C23 3 q3 C31 3 1 C323 C303

7.2.4二维泊松方程的有限元法+-+教学案例6-ANSYS软件在工程电磁场教学中的典型应用

ANSYS 软件在工程电磁场教学中的典型应用齐磊1、案例说明导体表面电场计算、多导体系统部分电容参数计算、线圈电感计算是工程电磁场教学中的重要内容。

关于导体表面电场和多导体系统部分电容计算，其本质是静电场边值问题的求解，常用的计算方法包括解析法和数值法两大类：解析法主要有直接积分法、镜像法、分离变量法等，这几类方法只能解决一些特殊的工程问题，教学中也主要侧重于其基本原理的讲解和关键知识点的强化；数值法主要包括有限元法、边界元法、有限差分法、矩量法等，这几种方法各有利弊，实际应用中应结合具体工程问题选择合适的计算方法。

有限元法作为一种经典的数值计算方法，近年来随着计算机技术的发展，在工程实际中得到了广泛应用，并出现了成熟的商业软件如ANSYS可供使用。

本案例的第1部分主要讨论ANSYS软件在导体表面电场计算方面的应用，涉及的关键知识点包括静电场边值问题、恒定电流场计算、电准静态场定义、传导电流密度与位移电流密度、静电场与电流场耦合计算、虚拟媒质法等，通过该部分介绍可以深化对上述知识点的理解和掌握，并熟悉ANSYS软件的一般使用方法。

本案例的第2部分主要讨论ANSYS软件在电容参数计算方面的应用，涉及的关键知识点包括电容、静电独立系统、部分电容、静电屏蔽等，通过该部分介绍除深化相关知识点认识外，还可以拓展学生知识面，了解高压直流输电、换流阀系统、过电压分析与绝缘配合等相关知识。

本案例的第3部分主要讨论ANSYS软件在电感参数计算方面的应用，涉及的关键知识点包括恒定磁场边值问题、自感、互感、媒质磁化、镜像法等，通过该部分可以深化对上述知识点的理解，同时了解空心电抗器制造工艺以及可能存在的绕组发热、振动等相关问题。

2、案例介绍2.1ANSYS 软件在导体表面电场计算中的应用ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换。

ANSYS软件共由前处理模块、分析计算模块及后处理模块三大模块组成，其分析计算电场分布的流程如图1所示。

金属球与无限大导体平板系统电容的研究与计算

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山西师范大学学报（自然科学版）第２１卷第３期２００７年９月
ＪｕａｆＳａｘｏｍａｉｅｓｔｏｒｌｏｈｎｉＮｒｌＵｎｖｒｉｎｙ
ＮａｕａｃｅｃｄｔｎｔｒｌＳｉｎｅＥｉｏｉＶｏ．１Ｎ．Ｉ２ｏ３Ｓｅ．２０ｐｔ０７
收稿日期：０７０ —０２０－４１基金项目：重庆市科委自然科学基金项目（０５Ｂ２７；２０Ｂ８６）重庆市教育基础理论研究基金（，６８３Ｋ１０１）．０作者简介：胡文江（９２）男。１７一，四川重庆人，庆邮电大学通信与信息工程学院副教授，重硕士生导师，主要从事电磁场理论和移动通信方面的研究．
摘要：采用镜像法与叠加系数法求解了金属球与无限大导体平板系统的电容．根据数学物理理论，本
文通过引入叠加系数Ｃ的方法，在金属球与无限大导体平板系统中配置镜像电荷系列，以精确确定可镜像电荷系列中任意象电荷的位置和电量，并采用计算技术工具软件Ｍｔｂ进行运算与作图，ａｌａ精确计算系统的电容．这种方法分析过程直观、简捷、计算精度高等特点．关键词：镜像法；镜像电荷；电容；泊松方程
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第３期
胡文江
胡先权：金属球与无限大导体平板系统电容的研究与计算
电势相等，我们把放入的电量记为＋ｑ，离球心Ｏ的距离记为ｚ距．
图１镜像电荷序列示意
Ｆｇ１Ｓｅｃｐｏｈｅｉｓｏｌｃｒｃｃａｇｍａｅｉ．ｋｔｈｍａｆｔｅｓｒｅｆｅｅｔｉｈｒｅｉｇ