第五章稳定性定义

不求解微分方程而通过方程右端函数的 信息探讨时间趋于无穷时解的性态
dx 例 x dt dx 2 x(1 x ) dt dx 2 2 8 x(1 x )(1 x sin ( x t )) dt 满足x(0) x0的解为 x x(t ), lim x(t ) ?
定理的关键在于能否找到一个合适的辅
助函数,此函数称为李雅普诺夫函数。可
惜直到目前为止还没有一个简便的寻求
李氏函数的一般方法，这也是在过去的
一段相当长的时期内李氏稳定理论未能
得到广泛应用研究的原因之一。
研究 对象: 稳定性定义
dx f (t ; x) dt f (t ;0) 0
则称零解 x 0是 李 雅 普 诺 夫 意 义 下 渐 稳 近定 的 。
几何解释 G

o
0
渐进稳定 =稳定+吸 引
不稳定性
若对某个给定的 0, 无 论怎 样 小 ,总 有 一 个 x0 满 足 x0 , 使 由 初 始 条 件 x( t 0 ) x0 确 定 的 解 x( t ), 至 少 某 个t1 t 0 , 使 得 x( t1 ) , 则 方 程 组 (*)的 零 解 x0 称为不稳定的。
利用极坐 标将方程 组
dx 2 2 y x ( x y 1) dt dy x y ( x 2 y 2 1) dt
化为
dr 2 r ( r 1) dt d 1 dt
§6.1 稳定性 (非线性微分方程的有关基础理论及稳定性概念 )
(*)
若 对给 定 的 0, ( , t 0 ) 0, 使 当 任 一 x0满 足 x0 时, 方程组 (*)的 由 初 始 条 件 x ( t 0 ) x0 确 定 的 解 x( t )均 有 x( t ) (t0 t ), 则称方程组 (*)的 零 解 x 0是 李 雅 普 诺 夫 意 义 下 稳 的 定。
李氏第二法（亦称直接法）的特点是不必 求解系统的微分方程就可以对系统的稳定性进 行分析和判断。它是从能量的观点出发得来的 他指出：若系统有一个平衡点，则当t 时， 系统运动到平衡点时，则系统积蓄的能量必达 到一个极小值。由此，李雅普诺夫创造了一个 辅助函数，可以用它来衡量系统积蓄的能量， 但它并非是一个真正的能量函数。只要这一 函数符合李雅普诺夫提出的稳定性理论准则 就能用来判断系统的稳定性。因此应用李氏
定域或吸引域 .若 稳 定 域 为 全 空 间 , 即 0 , 则称零解 x 0为 全 局 渐 近 稳 定 的 或 称 简全 局 稳定的 .
大范围内的渐近稳定性
如果方程组 (*)的 每 一 个 解 ,当t 时, 都 收 敛 于x 0, 那 么 方 程 组 (*)的 零 解 x 0称 为 在 大 范 围内渐近稳定的 .
第五章
定性和稳定性理论简介
1841年Liouville证明了Riccati方程:
dy r ( x) y 2 p ( x) y q ( x) dx 解的存在，但不能用公式求解，所以
微分方程研究的主流发生了变化，不
解方程去判断解的形式，即定性理论
和稳定性理论。尽管是很古老的学科， 但这里还有很多问题需要研究.
例 用Maple命令画出下边捕食被捕食系统的
方向场及一些轨线图
dx 2 x 0.08 xy, dt dy y 0.001xy. dt
(图5.1)
取t的变化范围 -100<t<100, 选取下面6组初始值 [x(0)=1,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=4], [x(0)=20,y(0)=25], [x(0)=40,y(0)=25], [x(0)=60,y(0)=25], [x(0)=80,y(0)=25].
非线性微分方程
实际问题中所研究的对象往往是非常复杂的，需要 非线性微分方程(组)来描述，非线性方程能求出解 析解的很少，需要进行数值计算或理论分析。 微分方程的研究内容 求解：解析解、近似解、数值解 基本理论：解的存在惟一性、连续性 定性稳定性：时间趋于无穷时解的性态 分支理论：解性态发生改变的一些参数值 本章介绍非线性微分方程的基本研究办法，其出发 点是在无法求出解析解的情况下通过方程本身的形 式来分析时间趋于无穷时解的性态。
dy g( y ) ( 2) dt y1 g1 ( y1 , y2 , , yn ) y g ( y , y , , y ) n 其 中, y 2 , g ( t ; y ) 2 1 2 yn g n ( y1 , y2 , , yn )
自治系统或 定常系统
一般非线性微分方程组的解的存在与唯一性定理
（1）在n+1维空间的区域 R :| t t0 | a,
R上任意两点
dy g ( t ; y ) 右边的函数 g ( t ; y ) 条件:方程 dt
y y0 b 上连续；
（ 2）在 R上关于 y 满足李普希兹条件，即存在 L >0,使对
非自治系统 dy g( t; y ) (1) 或非定常系 dt 统 y1 g1 ( t ; y1 , y2 , , yn ) y g ( t; y , y , , y ) 1 2 n 其 中, y 2 , g( t ; y ) 2 y g ( t ; y , y , , y ) 1 2 n n n

解的性态的研究
dy g ( t ; y ) 的特解 y ( t ) 邻近的性态 研究 dt dx f (t; x ) 作变换 x y ( t ) 化为 dt d ( t )
其中 f ( t ; x ) g ( t ; y )
思 路
dt g( t ; x ( t )) g( t ; ( t )) f ( t ;0) 0
几何解释 G

o

吸引域、全局稳定性定义
若方程组 (*)的 零 解 x 0渐 近 稳 定 , 且域D0 , 当且仅当 x0 D0时, 满 足 初 始 条 件 x ( t 0 ) x0 的 解x( t )均 有 l i m x( t ) 0, 则 域D0 称 为 渐 近 稳
t
初值不一定有连续依赖性，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.
稳定性的物理意义
1892年，李雅普诺夫就如何判断系统稳定性的问题， 归纳成两种方法(简称第一法和第二法)。第一法是通过求 解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳 定性，同时，他还指出非线性系统在工作点附近的一定 范围内可以用线性化了的微分方程来近似地加以描述。 如果线性化的特征方程式的根全部是负实数根，或者是 具有负实数部分的复根，则该系统在工作点附近周围是 稳定的，否则便是不稳定的。
几何解释 G
o


n
2 x xi i 1
1/2
渐近稳定性定义
若方程组 (*)的 零 解 x 0稳 定, 且 0 0, 使 当 x0 0时, 满足初始条件 x ( t 0 ) x0 确 定 的 解 x( t )均 有
t
lim x( t ) 0
几何解释
G
o


x ' y x 0 例 的零解 是稳定而不是渐近稳定的 y' x y 0 x ' x x 0 例 的零解 是渐近稳定的 y' y y 0 一般解的稳定性的定义类似，只需要做一个 平移变换 dx x rx 1 ， k dt x(0) x 0 x(t , 0, x0 ) k k rt 1 1 e x0
t
dx 几个例子： rx， x(0) x0 , x x0 e rt dt dx k x rx 1 , x(0) x0 , x rt dt k 1 ( k / x 1) e 0 0 x k , x ' 0, x k , x ' 0 dx 2 2 y y ( x y ), dt dy x x( x 2 y 2 ), dt limt x(t ) ? limt y (t ) ?
显 然 有,
dy g ( t ; y ) 的特解 y ( t ) 邻近的性态 研究 dt dx f ( t ; x ) 的零解 x 0 邻近的性态 研究 dt
零解在李雅普诺夫 (Liapunov) 意义下的稳定性的定义
如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性， 第3章的我们已讨论过.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对
g(t; y1 ) g(t; y2 ) L y1 y2
( t , y1 ) , (t , y2 )
，有 注:关于 解的延拓 与连续定 理、可微 性定理见 教材P250.
结论：存在 h 0 ,使初值问题 dy g( t; y ) 的解在 | t t 0 | h dt y ( t 0 ) y0 b 上存在且唯一，其中 h min( a , ), M max g ( t ; y ) ( t , y )R M
x ' x x 0 例 的零解 是不稳定的 y' y y 0
例4：考察常系数线性微分方程组
dx dt
Ax
n
其中x R , A是n n矩阵。Leabharlann Baidu明若 A的所有特征根都具有严格负实部， 则上述方程的零解是渐进稳定的。
从计算机的模拟看出系统有多个周期解。 用Maple命令画出的图形
输入Malpe命令如下
DEtools[phaseportrait] ([diff(x(t),t)=2*x(t)-0.08*x(t)*y(t), diff(y(t),t)=-y(t)+0.01*x(t)*y(t)], [x(t),y(t)], t=-100..100, [[x(0)=1,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=4], [x(0)=20,y(0)=25], [x(0)=40,y(0)=25], [x(0)=60,y(0)=25], [x(0)=80,y(0)=25]], x=0..300,y=0..60, dirgrid=[30,30], stepsize=0.1, linecolor=blue, arrows=SLIM);