第五章稳定性定义

定理的关键在于能否找到一个合适的辅
助函数,此函数称为李雅普诺夫函数。可
惜直到目前为止还没有一个简便的寻求
李氏函数的一般方法，这也是在过去的
一段相当长的时期内李氏稳定理论未能
得到广泛应用研究的原因之一。
研究 对象: 稳定性定义
ห้องสมุดไป่ตู้
dx f (t ; x) dt f (t ;0) 0
则称零解 x 0是 李 雅 普 诺 夫 意 义 下 渐 稳 近定 的 。
几何解释 G

o
0
渐进稳定 =稳定+吸 引
不稳定性
若对某个给定的 0, 无 论怎 样 小 ,总 有 一 个 x0 满 足 x0 , 使 由 初 始 条 件 x( t 0 ) x0 确 定 的 解 x( t ), 至 少 某 个t1 t 0 , 使 得 x( t1 ) , 则 方 程 组 (*)的 零 解 x0 称为不稳定的。
初值不一定有连续依赖性，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.
稳定性的物理意义
1892年，李雅普诺夫就如何判断系统稳定性的问题， 归纳成两种方法(简称第一法和第二法)。第一法是通过求 解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳 定性，同时，他还指出非线性系统在工作点附近的一定 范围内可以用线性化了的微分方程来近似地加以描述。 如果线性化的特征方程式的根全部是负实数根，或者是 具有负实数部分的复根，则该系统在工作点附近周围是 稳定的，否则便是不稳定的。
显 然 有,
dy g ( t ; y ) 的特解 y ( t ) 邻近的性态 研究 dt dx f ( t ; x ) 的零解 x 0 邻近的性态 研究 dt
零解在李雅普诺夫 (Liapunov) 意义下的稳定性的定义
如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性， 第3章的我们已讨论过.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对
非线性微分方程
实际问题中所研究的对象往往是非常复杂的，需要 非线性微分方程(组)来描述，非线性方程能求出解 析解的很少，需要进行数值计算或理论分析。 微分方程的研究内容 求解：解析解、近似解、数值解 基本理论：解的存在惟一性、连续性 定性稳定性：时间趋于无穷时解的性态 分支理论：解性态发生改变的一些参数值 本章介绍非线性微分方程的基本研究办法，其出发 点是在无法求出解析解的情况下通过方程本身的形 式来分析时间趋于无穷时解的性态。
李氏第二法（亦称直接法）的特点是不必 求解系统的微分方程就可以对系统的稳定性进 行分析和判断。它是从能量的观点出发得来的 他指出：若系统有一个平衡点，则当t 时， 系统运动到平衡点时，则系统积蓄的能量必达 到一个极小值。由此，李雅普诺夫创造了一个 辅助函数，可以用它来衡量系统积蓄的能量， 但它并非是一个真正的能量函数。只要这一 函数符合李雅普诺夫提出的稳定性理论准则 就能用来判断系统的稳定性。因此应用李氏
t
dx 几个例子： rx， x(0) x0 , x x0 e rt dt dx k x rx 1 , x(0) x0 , x rt dt k 1 ( k / x 1) e 0 0 x k , x ' 0, x k , x ' 0 dx 2 2 y y ( x y ), dt dy x x( x 2 y 2 ), dt limt x(t ) ? limt y (t ) ?
dy g( y ) ( 2) dt y1 g1 ( y1 , y2 , , yn ) y g ( y , y , , y ) n 其 中, y 2 , g ( t ; y ) 2 1 2 yn g n ( y1 , y2 , , yn )
从计算机的模拟看出系统有多个周期解。 用Maple命令画出的图形
输入Malpe命令如下
DEtools[phaseportrait] ([diff(x(t),t)=2*x(t)-0.08*x(t)*y(t), diff(y(t),t)=-y(t)+0.01*x(t)*y(t)], [x(t),y(t)], t=-100..100, [[x(0)=1,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=4], [x(0)=20,y(0)=25], [x(0)=40,y(0)=25], [x(0)=60,y(0)=25], [x(0)=80,y(0)=25]], x=0..300,y=0..60, dirgrid=[30,30], stepsize=0.1, linecolor=blue, arrows=SLIM);

解的性态的研究
dy g ( t ; y ) 的特解 y ( t ) 邻近的性态 研究 dt dx f (t; x ) 作变换 x y ( t ) 化为 dt d ( t )
其中 f ( t ; x ) g ( t ; y )
思 路
dt g( t ; x ( t )) g( t ; ( t )) f ( t ;0) 0
例 用Maple命令画出下边捕食被捕食系统的
方向场及一些轨线图
dx 2 x 0.08 xy, dt dy y 0.001xy. dt
(图5.1)
取t的变化范围 -100<t<100, 选取下面6组初始值 [x(0)=1,y(0)=0], [x(0)=0,y(0)=4], [x(0)=20,y(0)=25], [x(0)=40,y(0)=25], [x(0)=60,y(0)=25], [x(0)=80,y(0)=25].
几何解释
G
o


x ' y x 0 例 的零解 是稳定而不是渐近稳定的 y' x y 0 x ' x x 0 例 的零解 是渐近稳定的 y' y y 0 一般解的稳定性的定义类似，只需要做一个 平移变换 dx x rx 1 ， k dt x(0) x 0 x(t , 0, x0 ) k k rt 1 1 e x0
第五章
定性和稳定性理论简介
1841年Liouville证明了Riccati方程:
dy r ( x) y 2 p ( x) y q ( x) dx 解的存在，但不能用公式求解，所以
微分方程研究的主流发生了变化，不
解方程去判断解的形式，即定性理论
和稳定性理论。尽管是很古老的学科， 但这里还有很多问题需要研究.
几何解释 G
o


n
2 x xi i 1
1/2
渐近稳定性定义
若方程组 (*)的 零 解 x 0稳 定, 且 0 0, 使 当 x0 0时, 满足初始条件 x ( t 0 ) x0 确 定 的 解 x( t )均 有
t
lim x( t ) 0
x ' x x 0 例 的零解 是不稳定的 y' y y 0
例4：考察常系数线性微分方程组
dx dt
Ax
n
其中x R , A是n n矩阵。证明若 A的所有特征根都具有严格负实部， 则上述方程的零解是渐进稳定的。
g(t; y1 ) g(t; y2 ) L y1 y2
( t , y1 ) , (t , y2 )
，有 注:关于 解的延拓 与连续定 理、可微 性定理见 教材P250.
结论：存在 h 0 ,使初值问题 dy g( t; y ) 的解在 | t t 0 | h dt y ( t 0 ) y0 b 上存在且唯一，其中 h min( a , ), M max g ( t ; y ) ( t , y )R M
定域或吸引域 .若 稳 定 域 为 全 空 间 , 即 0 , 则称零解 x 0为 全 局 渐 近 稳 定 的 或 称 简全 局 稳定的 .
大范围内的渐近稳定性
如果方程组 (*)的 每 一 个 解 ,当t 时, 都 收 敛 于x 0, 那 么 方 程 组 (*)的 零 解 x 0称 为 在 大 范 围内渐近稳定的 .
不求解微分方程而通过方程右端函数的 信息探讨时间趋于无穷时解的性态
dx 例 x dt dx 2 x(1 x ) dt dx 2 2 8 x(1 x )(1 x sin ( x t )) dt 满足x(0) x0的解为 x x(t ), lim x(t ) ?
非自治系统 dy g( t; y ) (1) 或非定常系 dt 统 y1 g1 ( t ; y1 , y2 , , yn ) y g ( t; y , y , , y ) 1 2 n 其 中, y 2 , g( t ; y ) 2 y g ( t ; y , y , , y ) 1 2 n n n
几何解释 G

o

吸引域、全局稳定性定义
若方程组 (*)的 零 解 x 0渐 近 稳 定 , 且域D0 , 当且仅当 x0 D0时, 满 足 初 始 条 件 x ( t 0 ) x0 的 解x( t )均 有 l i m x( t ) 0, 则 域D0 称 为 渐 近 稳
t
(*)
若 对给 定 的 0, ( , t 0 ) 0, 使 当 任 一 x0满 足 x0 时, 方程组 (*)的 由 初 始 条 件 x ( t 0 ) x0 确 定 的 解 x( t )均 有 x( t ) (t0 t ), 则称方程组 (*)的 零 解 x 0是 李 雅 普 诺 夫 意 义 下 稳 的 定。
自治系统或 定常系统
一般非线性微分方程组的解的存在与唯一性定理