(完整版)含参数的一元二次不等式的解法以和含参不等式恒成立问题(专题)
一元二次不等式(二)含参数不等式的解法与恒成立问题修改版
二次函数的区间恒成立问题
恒成立问题求参数范围常规思路： 方法一：利用函数性质(二次函数性质). 方法二：分离参数，转化为求函数最值.
a<f(x)恒成立
a<f(x)min a>f(x)恒成立 a>f(x)max
例1
课堂互动讲练 已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)
时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
m 6或m 2 即 m 0 m 3 0
X=m/2
o
x1
x2
∴ 2≤ m<3.
（三）二次函数图象的应用
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值 的集合： (2)一个根大于0,另一个根小于0; 解： (2) ∵一个根大于0,另一个根小于0;
0 f (0) 0
m 6或m 2 即 m 3 0
x1 o
X=m/2
∴ m>3.
x2
（三）二次函数图象的应用 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m 值的集合： (3)两根都小于0;
解： (3) ∵两根都小于0
X=m/2
x1
2 5 2 ∴不等式变为－3ax ＋－3ax＋a<0，
即 2ax2＋5ax－3a>0， 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0.
1 ∴所求不等式的解集为x－3<x<2 .
方法二：由已知得 a<0
1 c － ×2＝ 知 a 3
2
1 1 ∴－ ， 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两实根． 2 3 b 1 1 －2＋3＝－a 由根与系数的关系得 －1×1＝2 2 3 a
32含参的一元二次不等式的解法
一．含参的一元二次不等式的解法【类型一】二次项系数为常数0)1(12>--+m x m x x 的不等式】解关于【例{}{}{}111111111)111111110))(1(>-<->≠-=-><-<>-<->->≠><-=-=-><-<-<>+-x m x x m x x m m x x x m x m x m m x x x m m m x x m m m x x 或时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当或时，不等式的解集为综上所述，当或时，不等式的解为时，即③当（也可或时，不等式的解为时，即②当或时，不等式的解为时，即①当解：原不等式可化为【草稿作图区】② 0)2(22>+-+a x a x x 的不等式：】解关于【例{}{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+-->+----<+>-<-≠-=--≠+=+<<-+-+-->+----<+>-<>∆-≠-=--≠+=-=+==∆+<<-<∆+-=--=∆248)2(248)2(3243241332413324324324248)2(248)2(3243240133241332432432403243240484)2(222222a a a x a a a x x a a x x a x x a R a a a a x a a a x a a x a x a a a R a a a a a 或时，不等式的解集为或当时，不等式的解为当时，不等式的解为当时，不等式的解集为综上所述，当或不等式的解为时，或时，即当时，不等式的解为当时，不等式的解为其中，当时，或时，当时，不等式的解集为时，即当解：【草稿作图区】此处，不等式对应二次函数开口向上对于二次项系数为常数的含参不等式，在求解过程中： 首先观察不等式是否可以进行简单的因式分解： 1. 若能直接分解因式： ①找到不等式对应方程的根②在数轴上标根（按从小到大，从左至右顺序标根），此处的根会涉及参数，故必须对根的大小分三类情况进行讨论。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法(专题)(总2页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参一元二次不等式解法及简单恒成立
1、解关于 x 的不等式 x 2＋(1－a)x －a＜0.
[解]
方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数
y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，则当 a＜－1 时，原不等式 解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
3、已知关于 x 的不等式 x 2＋ax ＋b＜0 的解集为{x |1＜x ＜2}，求 关于 x 的不等式 bx 2＋ax ＋1＞0 的解集．
[ 解] ∵x2＋ax＋b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1,2 是 x2＋ax＋b＝0 的两根．
－a＝1＋2， 由韦达定理有 b＝1×2，
x＜1.
1 1 当 a＜－1 时，－a＜1，∴x＞1 或 x＜－a， 综上原不等式的解集是： 当 a＝0 时，{x|x＜1}；当 a＞0
1 时， x|－a＜x＜1； 1 时，x|x＜1或x＞－a .
当 a＝－1 时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0 当 a＜－1
a＝－3， 得 b＝2，
代入所求不等式，得 2x2－3x＋1＞0. 1 由 2x －3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜ 或 x＞1. 2
2
∴bx ＋ax＋1＞0
2
1 的解集为－∞，2∪(1，＋∞)．
[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的； 图象在 x 轴下方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、 相互转化．
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
含参一元二次不等式解法及恒成立 高中数学课件
3 m
,
1 m
课堂小结
• 本节课重点学习了含参一元二次不等式的解法及与一元二次不等式有关 的恒成立问题，能正确进行分类讨论（确定分类讨论的原因和标准）及确 立参数的取值范围是本节重难点，正确书写不等式的解集，掌握分类讨论 和数形结合的方法。
• 活动三：课堂检测
• 1.若不等式 a 2 x2 2a 2 x 4 0 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的
取值范围.
2, 2
• 2.设 m R，解关于 x 的不等式 m2x2 2mx 3 0.
当m=0时，原不等式的解集为R
当m&l>0时，原不等式的解集为
R
• （3） x2 6x 9 0
3
• （4） (x 1)(3 2x) 0
1,
3 2
教学过程
• 活动一：掌握含参数不等式的解法
• 1.解关于x 的不等式 x a x 1 0 a R.
解：当a=1时，原不等式解集为
当a>1时，原不等式解集为1, a
当a<1时，原不等式解集为a,1
• 2.解关于x的不等式 x 2ax 2 0. aR
解：当a 0时，原不等式的解集为,2
当a 1时，原不等式的解集为,2 2,
当a
0时，原不等式的解集为
2 a
, 2
当0 a 1时，原不等式的解集为,2
a2,
当 a 1时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 , 2 2 ,
含参一元二次不 等式的解法及恒成立问题
教学目标
• 1.复习巩固一元二次不等式的解法； • 2.掌握含参一元二次不等式解法 （重点）； • 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题 （难点） .
复习巩固
一元二次不等式的解法(含参不等式)
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)
0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx
bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1
66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解 集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.
含参数的一元二次不等式的解法课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 一元二次不等式的概念和性质 • 含参数的一元二次不等式 • 含参数一元二次不等式的解法实例 • 课程总结与展望
01 引言
课程背景
01
一元二次不等式是中学数学的重要内容，也是高等 数学的基础。
02
含参数的一元二次不等式在解决实际问题中具有广 泛的应用。
解集为$1 < x < a$。当$a < 1$时，解集为 $a < x < 1$。
实例三：求解含参数的一元二次不等式
要点一
题目
要点二
解答
求解不等式$x^2 + (a - 3)x + a > 0$
首先，将不等式化为标准形式。然后，对参数$a$进行分 类讨论。当$a = 1$时，不等式变为$(x + 2)^2 > 0$，解 集为全体实数除了$-2$。当$a < 1$时，利用因式分解法 $(x + a)(x + 2) > 0$，解集为全体实数除了$-a$和$-2$。 当$a > 1$时，解集为全体实数。
它包含一个未知数 x 的最高次数为2的不等式。
一元二次不等式的解法
01
解一元二次不等式的基本步骤是：首先求出不等式的根， 然后根据不等式的符号确定解集。
02
对于形如 ax^2 + bx + c > 0 的不等式，如果 a > 0，则解集为 两根之外的所有实数；如果 a < 0，则解集为两根之间的所有实数
两个实根。最后，根据二次函数的性质，判断不等式的解集为两根之间的区间。
实例二：求解含参数的一元二次不等式
含参的一元二次不等式的解法
含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。
下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。
一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。
首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。
顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。
在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。
然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。
根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。
所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。
二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。
根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。
含参一元二次不等式的解法
【课标要求】
1.掌握简单的含参一元二次不等式解法． 2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题。
【核心扫描】
1.含参一元二次不等式的解法．(重点) 2.一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
题型一
含参数的一元二次不等式的解法
x2 – ax – 6a2 < 0. (x – 3a)(x +2a) < 0.
2
的定义域为R，则实数k的取值 范围是 [0,1] .
题型二
恒成立问题
优化设计P64 变式2
课后作业
1.优化设计课时训练P21
课后拓展
思考题1.不等式(a＋1)x2＋ax＋a＞m(x2＋x＋1)对任意x恒成立 ，试比较a与m的大小． 2.已知函数y＝x2＋2(a－2)x-8，对∀a∈[－3,1]，y＜0恒成立， 则求x的取值范围。
练1：解关于x的不等式：
x a x a
函数y x a x a的图像开口向上，所以
当a<-1时，原不等式的解集为
当a=-1时，原不等式的解集为 当a>-1时，原不等式的解集为 ； .
方程x a x a=的解为x=- ，x a
解: ①当 a2－ 1＝0 时，a＝1 或－1. 若 a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立． 1 若 a＝－1， 则原不等式为 2x －1＜0 即 x ＜ 不合题意， 2
舍去． ②当 a2－1≠ 0 时， 即 a≠±1 时，原不等式的解集为 R a2－1＜0 3 的条件是 ，解得－ ＜a＜1. Δ ＝ [－ a－1 ]2＋4 a2－1 ＜0 5
a－ m＋ 1＞ 0， ∴ a－ m [3 a－ m＋ 1＋ 1]＞ 0，
含参数的一元二次不等式的解法(专题)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
一元二次不等式的解法
含参一元二次不等式的解法及推广一：一元二次不等式的解法（含参）思路①数性结合---利用二次函数图像读出解集（最常用的方法可同理写出开口向下的） 思路②利用不等式性质求解集（可推广到指对数等两根的不等式）类型一：二次不等式含参数问题（利用图像法，只需利用开口，判别式，两根大小画图草图即可，不需要y 轴，对称轴，所以二次不等式含参数问题主要围绕上述三个方面讨论）例题1 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解：(1)当a ＝0时，原不等式可化为－x ＋1<0，∴x>1.(2)当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0，①当a<0时，不等式可化为(x －1a)(x －1)>0， ∵1a <1，∴x<1a或x>1. ②当a>0时，不等式可化为(x －1a)(x －1)<0， 若1a <1，即a>1，则1a<x<1； 若1a＝1，即a ＝1，则x ∈∅； 若1a >1，即0<a<1，则1<x<1a. 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为{x|x<1a或x>1}； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|1<x<1a}； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为{x|1a<x<1}． 例2．解关于x 的不等式：()2220mx m x +-->.解：当0m =时，不等式化为220x -->，解得1x <-；当0m >时，不等式化为()()210mx x -+>，解得1x <-，或2x m >； 当20m -<<时，21m <-，不等式化为2(1)0x x m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭， 解得21x m <<-；当2m =-时，不等式化为()210x +<，此时无解；当2m <-时，21m >-，不等式化为2(1)0x x m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭， 解得21x m-<<； 综上，0m =时，不等式的解集是{}1x x <-；0m >时，不等式的解集是{|1x x <-或2x m ⎫>⎬⎭； 20m -<<时，不等式的解集是21x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭； 2m =-时，不等式无解；2m <-时，不等式的解集是21x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 例3．已知不等式()20ax a b x b -++>（1）若不等式的解集为{|1x x <或}x b >，求实数a 的值；（2）若2b =，解该不等式.解：（1）因为不等式()20ax a b x b -++>的解集为{|1x x <或}x b >，所以1x =和x b =是方程()20ax a b x b -++=的两个根， 由根与系数关系得11a b b a b b a +⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得1a =； （2）当2b =时，不等式为()2220ax a x -++>，当0a =时，不等式为220x -+>，可得：1x <；当0a ≠时，不等式可化为()()210ax x -->，方程()2220ax a x -++=的两根为11x =，22x a=， 当0a <时，可得：21x a <<； 当0a >时， ①当21a <时，即2a >时，可得：1x >或2x a <； ②当21a 即2a =时，可得：1x ≠；③当21>a，即02a <<时，可得1x <或2x a >； 综上：当0a <时，不等式解集为21x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当0a =时，不等式解集为{}1x x <；当02a <<时，不等式解集为{|1x x <或2x a ⎫>⎬⎭； 当2a =时，不等式解集为{}1x x ≠；当2a >时，不等式解集为{1x x 或2x a ⎫<⎬⎭. 例4．（1）当5a =-时，求不等式2320ax x ++>的解集；（2）求关于x 的不等式2321ax x ax ++>--（其中0a >）的解集.解（1）由题意，当5a =-时，不等式2320ax x ++>，即为25320x x -++>，可得()()1520x x -+<，所以原不等式的解集为2,15⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）不等式2321ax x ax ++>--可化为()2330ax a x +++>，即()()310ax x ++>，即()310x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， 当0<<3a 时，31a -<-，不等式的解集为()3,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭； 当3a =时，31a-=-，不等式的解集为()(),11,-∞--+∞； 当3a >时，31a ->-，不等式的解集为()3,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， 综上所述，原不等式解集为①当0<<3a 时，()3,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭； ②当3a =时，()(),11,-∞--+∞；③当3a >时，()3,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭. 例5．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解： 原不等式可化为(x －a)(x －a 2)>0.则方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2，由a 2－a ＝a(a －1)可知，(1)当a<0或a>1时，a 2>a.∴原不等式的解为x>a 2或x<a.(2)当0<a<1时，a 2<a ，∴原不等的解为x>a 或x<a 2.(3)当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0.(4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1.综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a 或x>a 2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a 2或x>a}；当a ＝0时，原不等式的解集为{x|x ≠0}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x|x ≠1}．类型二：二次不等式恒成立求参数范围问题二次不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ≠0)恒成立两种解法①最小值大于0②图像始终位于x 轴上方常见题目又分为R 上恒成立和在给定区间上恒成立解题思路分三类①最值②图像③分离参数后重复1和2（前提参数好分离）例1：函数f(x)＝x 2＋ax ＋3，当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；解法1：设g(x)＝f(x)－a ＝x 2＋ax ＋3－a ，当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，即g(x)＝x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需且只需Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，即a 的范围是[－6,2]．解法2：设g(x)＝f(x)－a ＝x 2＋ax ＋3－a ，当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立即g(x)＝x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 只需g(x)的最小值2244(3)044ac b a a a ---=≥， 解得－6≤a ≤2，即a 的范围是[－6,2]解法3：分离出a ，2(1)(3)a x x -≥-+当1x =时，易得恒成立；当1x >时， 22(3)(1)2(1)44(12)(1)(1)1x x x a x x x x +-+-+≥-=-=--++---由均值不等式得－6≤a ，同理当1x <时，22(3)(1)2(1)4412(1)(1)1x x x a x x x x +-+-+≤-=-=-+----由均值不等式得a ≤2小结：二次恒成立定义域R 用图像（法一），定义域非R 用最值（法二）分参数容易就用法3变式练习一、解答题例2．已知2(1)1y m x mx =+-+.（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围.解：（1）当5m =时，2651y x x =-+，不等式0y >即26510x x -+>，即()()31210x x -->， 故不等式的解集为13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭； （2）由题意得2(1)10m x mx +-+>的解集为R ，当10m +=时，该不等式的解集为{}1x x >-，不符合题意，舍去；当10m +≠时，根据二次函数图象特征知，开口向上且∆<0，即()210410m m m +>⎧⎨-+<⎩，解得22m -<+综上所述，实数m 的取值范围是{22m m -<+.例3．设a 为实数，若关于x 的不等式220x ax a -->恒成立，求a 的取值范围.因为关于x 的不等式220x ax a -->恒成立，故二次函数22y x ax a =--的判别式即280a a +<，解得()8,0a ∈-.例4．已知二次函数()()21f x kx k x k =--+.若关于x 的不等式()0f x <的解集为R ，求实数k 的取值范围.解：因为()0f x <的解集为R ，所以()210kx k x k --+<，对x ∈R 恒成立,由二次函数知识得00k <⎧⎨∆<⎩，即()220140k k k <⎧⎪⎨--<⎪⎩， 解得1k <-.例5．已知不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．（1）求a 、b 的值；（2）m 为何值时，230ax mx ++≥的解集为R ？（3）解不等式()20ax ac b x bc -++<．解：（1）由题意知，1和b 是方程2320ax x -+=的两根，则320a -+=，得1a =，方程为2320x x -+=，由韦达定理可得12b ⨯=，解得2b =；（2）由题意可知，关于x 的不等式230x mx ++≥的解集为R ，所以，2120m ∆=-≤，解得m -≤（3）不等式()20ax ac b x bc -++<，即为()2220x c x c -++<，即()()20x x c --<．①当2>c 时，原不等式的解集为{}2x x c <<；②当2c <时，原不等式的解集为{}2x c x <<；③当2c =时，原不等式无解．综上知，当2>c 时，原不等式的解集为{}2x x c <<；当2c <时，原不等式的解集为{}2x c x <<；当2c =时，原不等式的解集为∅．例6．已知y ＝x 2＋ax ＋3－a ，若－2≤x ≤2，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设函数y ＝x 2＋ax ＋3－a 在－2≤x ≤2时的最小值为关于a 的一次函数，设为g(a)，则当对称轴x ＝－2a <－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a ＋3－a ＝7－3a ≥0，解得a ≤73，与a>4矛盾，不符合题意．当－2≤－2a ≤2，即－4≤a ≤4时，g(a)＝3－a －24a ≥0，解得－6≤a ≤2，此时－4≤a ≤2. 当－2a >2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a ＋3－a ＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，此时－7≤a<－4. 综上，a 的取值范围为－7≤a ≤2.例7．（1）解关于x 的不等式()()22442x a x a a R -++≤-∈.（2）若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.解解：（1）因为2(2)442x a x a -++-，即2(2)20x a x a -++，所以()(2)0x a x --，当2a <时，2a x ，当2a =时，2x =，当2a >时，2x a ．综上所述，当2a <时，不等式的解为{|2}x a x ，当2a =时，不等式的解为{|2}x x =，当2a >时，不等式的解为{|2}x x a ．（2）对于任意的14x <≤，()2241x a x a -++≥--恒成立，即2(2)50x a x a -+++恒成立，对任意的14x <≤，2(1)25a x x x --+恒成立，当14x <时，2254(1)11x x a x x x -+=-+--恒成立， 因为14x <时，所以013x <-，所以4(1)2(1)41x x x -+--，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立， 所以4a ≤，所以实数a 的取值范围为(],4-∞．例8．已知函数2()(1)f x x a x a =-++．（1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（3）若()20f x x +≥在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．解析：（1）当2a =时，则2()32f x x x =-+，由()0f x >，得2320x x -+>，令2320x x -+=，解得1x =，或2x =∴原不等式的解集为(-∞，1)(2⋃，)+∞（2）由()0f x <得1(0)()x a x --<，令()(1)0x a x --=，得1x a =，21x = ；当1a >时，原不等式的解集为(1,)a ；当1a =时，原不等式的解集为∅；当1a <时，原不等式的解集为(,1)a ；（2）由()20f x x +即20x ax x a -++在(1,)+∞上恒成立，得21x x a x +≤-令1(0)t x t =->， 则22(1)1232231x x t t t x t t++++==+++-， ∴223a +故实数a 的取值范围是(,3-∞⎤⎦例9．已知关于x 的不等式210ax x a -+-≤．（1）当a ∈R 时，解关于x 的不等式；（2）当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求x 的取值范围．解：（1）不等式210ax x a -+-≤可化为()()110x ax a -+-≤，当0a =时，不等式化为10x -≥，解得1≥x ，当0a <时，不等式化为()110a x x a -⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭， 解得1a x a-≤，或1≥x ； 当0a >时，不等式化为()110a x x a -⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭； ①102a <<时，11a a ->，解不等式得11a x a -≤≤， ②12a =时，11a a -=，解不等式得1x =， ③12a >时，11a a -<，解不等式得11a x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为{|1}x x ≥， 当0a <时，不等式的解集为{1|a x x a -≤或1}x ≥， 102a <<时，不等式的解集为1{|1}a x x a-≤≤， 12a =时，不等式的解集为{}|1x x =， 12a >时，不等式的解集为1{|}1a ax x ≤≤-． （2）由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设()()()211f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需：()()222021030320f x x f x x ⎧≤⎧--≤⎪⇒⎨⎨≤--≤⎪⎩⎩， 解得：112x -≤≤， 所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 例10．（1）当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求实数m 的取值范围．（2）对任意－1≤x ≤1，函数y ＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，求a 的取值范围． 解：（1）令y ＝x 2＋mx ＋4．∵y<0在1≤x ≤2上恒成立．∴y ＝0的根一个小于1，另一个大于2．如图所示：可得504240m m +<⎧⎨++<⎩，∴m 的取值范围是{m|m<－5}． （2）∵x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，即x 2＋ax －4x ＋4－2a>0恒成立．∴(x －2)·a>－x 2＋4x －4.∵－1≤x ≤1，∴x －2<0．∴()22244222x x x a x x x --+-<=-=---. 令y ＝2－x ，则当－1≤x ≤1时，y 的最小值为1，∴a<1．故a 的取值范围为{a|a<1}． 类型三：分式，高次不等式的解法分式不等式：此类不等式求解，要先移项通分化为f x g x >0(或f x g x<0)的形式，再等价转化为整式不等式，特别的如果分母的正负容易判断，则可两边同乘以分母化正式例题1 解下列不等式：(1)3x －22x ＋1>0； (2)x ＋12－x≥3. ．[解析] (1)3x －22x ＋1>0⇔(3x －2)(2x ＋1)>0⇔{x|x>23或x<－12}．(2)x ＋12－x ≥3⇔x ＋12－x －3≥0⇔4x －52－x ≥0⇔4x －5x －2≤0， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －5x －2≤0x －2≠0⇔{x|54≤x<2}． ∴原不等式的解集为{x|54≤x<2}． 例2解下列不等式：(1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3. [解析] (1)不等式x ＋1x －3≥0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1x －3≥0x －3≠0，∴x ≤－1或x>3.∴原不等式的解集为{x|x ≤－1或x>3}．(2)不等式5x ＋1x ＋1<3可化为5x ＋1x ＋1－3<0， 即2x －1x ＋1<0，∴2(x －1)(x ＋1)<0， ∴－1<x<1.∴原不等式的解集为{x|－1<x<1}．简单高次不等式解法：把分式不等式转化为高次整式不等式，然后用“穿根法”求解 例题3：解下列不等式：(1)x 2＋2x 3－x ≥0； (2)2x 2－5x ＋13x 2－7x ＋2≤1. -[解析] (1)原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x 3－x ≥03－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x x ＋2x －3≤0，①x －3≠0.②将①式的三个根－2,0,3在数轴上标出来，然后用一条曲线穿根(从最大的根右上方穿起)，如图所示，①式的解为x ≤－2，或0≤x ≤3.由②式知x ≠3，∴原不等式的解为{x|x ≤－2，或0≤x<3}．(2)2x 2－5x ＋13x 2－7x ＋2≤1⇔2x 2－5x ＋1－3x 2＋7x －23x 2－7x ＋2≤0⇔－x 2＋2x －13x 2－7x ＋2≤0⇔x 2－2x ＋13x 2－7x ＋2≥0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ x －123x －1x －2≥0，①3x －1x －2≠0.②①式中三个根为13，1,2，其中1为二重根．由图知，①式的解为x ≤13，或x ≥2，或x ＝1.由②式知x ≠13，且x ≠2， ∴原不等式的解为{x|x<13，或x>2，或x ＝1}． 『规律总结』 穿根法求高次不等式的解集：(1)求解过程概括为：化正⇒求根⇒标根⇒穿根⇒写集(注意端点值能否取到)． (2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值．(3)奇(奇次根)过，偶(偶次根)返回．例4：不等式：x(x －1)2(x ＋1)3(x －2)>0的解集为__{x|－1<x<0，或x>2}__.[解析] 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x x ＋1x －2>0x －1≠0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x<0，或x>2x ≠1⇔－1<x<0，或x>2.∴原不等式的解集为{x|－1<x<0，或x>2}．例5：已知集合631x M x x +⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，2324850221x x N x x x x ⎧⎫--=≤⎨⎬-+-⎩⎭，求M N ⋃，（∁R M ）∩N ． 解：由631x x +≥+得，2301x x -≤+，则312x -≤＜，即312M x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭＜； 由2324850221x x x x x --≤-+-得，()()()()22125011x x x x x +-≤--+，则12x ≤-或512x ＜≤， 即15122N x x x ⎧⎫=≤-≤⎨⎬⎩⎭或＜； ∴52M N x x ⎧⎫⋃=≤⎨⎬⎩⎭，312R C M x x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭或＞，()35122R C M N x x x ⎧⎫⋂=≤-≤⎨⎬⎩⎭或＜． 例6：解关于x 的不等式11ax a x +≤+. 21(1)110ax a x ax a x x-+++≤+⇔≤ 即(1)(1)0ax x x--≤等价于(1)(1)00ax x x x --≤⎧⎨≠⎩1.0a =时，即()[)(1)0,01,0x x x x -≥⎧⇒∈-∞⋃+∞⎨≠⎩2.0a ≠时，三次不等式对应的方程的三个根分别为0，1和1a ； ⑴0a <时，利用数轴标根法，大致图像为：[)1,01,x a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭；⑵0a >时，草图为：需要判断1a 和1的大小①01a <<时，解集为()1,01,a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦； ②1a =时，解集为(){},01-∞；③1a >时，解集为()1,0,1a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦. 综上：①0a <时，解集为[)1,01,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ②0a =时，解集为()[),01,-∞+∞；③01a <<时，解集为()1,01,a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦； ④1a =时，解集为(){},01-∞；⑤1a >时，解集为()1,0,1a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦.例7．解关于x 的不等式()2201x x a R ax -->∈-. 由原不等式可得()()1201x x ax +->-，所以 ()()()1120ax x x -+-> 当0a =时，不等式的解集为：12x -<<；当0a ≠时，方程()()()1120ax x x -+-=解为：1x a=，1-，2； 当0a <时：()()1120x x x a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭ ①11a <-，10a -<<时，其解集为：()1,1,2a ⎛⎫-∞⋃- ⎪⎝⎭ ②11a=-，1a =-时，其解集为：()(),11,2-∞-⋃- ③110a -<<，1a <-时，其解集为()1,1,2a ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭当0a >时：()()1120x x x a ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭ ①12a >，102a <<时，其解集为：()11,2,a ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭②12a=，12a =时，其解集为：()()1,22,-+∞ ③102a <<，12a >时，其解集为()11,2,a ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭。
不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)
一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c >＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨>⎩a b c 或0Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨<⎩a b c 或0Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a .三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的[,]∈x m n ，()>a f x 恒成立⇒max ()>a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()>a f x 有解⇒min ()>a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()>a f x 无解⇒min ()≤a f x .2、对任意的[,]∈x m n ，()<a f x 恒成立⇒min ()<a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()<a f x 有解⇒max ()<a f x ； 若对任意[,]∈x m n ，()<a f x 无解⇒max ()≥a f x .题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】当0=a 时，不等式成立；当0≠a 时，不等式2220--<ax ax 恒成立，等价于()()20,2420,<⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩a a a 20∴-<<a ． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【变式1-1】“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14>m B ．14<m C ．1<mD ．1>m 【答案】A【解析】∵不等式20-+>x x m 在R 上恒成立，∴2(1)40∆--<＝m ，解得14>m ， 又∵14>m ，∴140∆=-<m ，则不等式20-+>x x m 在R 上恒成立， ∴“14>m ”是“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式1-2】已知关于x 的不等式2680-++>kx kx k 对任意∈x R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．01k ≤≤B ．01k ≤< C ．0k <或1k > D ．0k ≤或1k > 【答案】B【解析】当0=k 时，80>恒成立，符合题意；当0≠k 时，由题意有()()2Δ6480>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩k k k k ，解得01<<k ， 综上，01≤<k .故选：B.【变式1-3】已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（ ）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110ax a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B【变式1-4】关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x ≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤； 综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞.故选：B.题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(,4]-∞.【解析】对于任意的14x <≤，不等式()22241(1)25x a x a x a x x -++≥--⇔-≤-+，即2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--， 因此，对于任意的14x <≤，2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--恒成立， 当14x <≤时，013x <-≤，44(1)(1)411x x x x -+≥-⋅=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时取“=”，即当3x =时，4(1)1x x -+-取得最小值4，则4a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,4]-∞.【变式2-1】已知2(2)420+-+-x a x a对[)2,∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围________. 【答案】(],3-∞【解析】因为2(2)420x a x a +-+-对[)2,x ∀∈+∞恒成立，即4222x a x ++-≥+在[)2,x ∀∈+∞时恒成立，令2,4x t t +=≥， 则4222x x ++-+代换为42t t +-，令4()2g t t t=+-， 由对勾函数可知，()g t 在[)4,t ∈+∞上单增，所以min ()(4)3g t g ==， 所以(],3a ∈-∞.故答案为：(],3-∞【变式2-2】已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】22<a .【解析】不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]1,5x ∈时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+. 又2222x x x x+≥+= 当且仅当2x x=，即[]21,5x =时，等号成立，min 2()22x x∴+=22a <故实数a 的取值范围是：22a <【变式2-3】若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．222-D ．5- 【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩ 解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D【变式2-4】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ， 解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥，故选：A.题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求的取值范围．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设2()(1)(1)f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需(2)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即22210320x x x x ⎧--≤⎨--≤⎩，解2210x x --≤，即()()2110x x +-≤得112x -≤≤，解2320x x --≤，即()()3210x x +-≤得213x -≤≤，所以原不等式的解集为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【变式3-1】若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C【变式3-2】已知[]1,1∈-a ，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．()()3,,2∞-∞+ B ．()()2,,1∞-∞+ C ．()()3,,1∞-∞+D ．()1,3 【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．∴x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【变式3-3】已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立， 令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠， 当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.【变式3-3】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ， 或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x = 综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型四 一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】当0k =时，0x -<，符合题意当0k >时，令2y kx x k =-+，由不等式20kx x k -+<有解，即2140k ∆=->，得102k <<当0k <时， 2y kx x k =-+开口向下，满足20kx x k -+<有解，符合题意综上，实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【变式4-1】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意； 当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解， 则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<， 综上所述：a 的取值范围是(),1-∞.【变式4-2】x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，则m 的取值范围是___________.【答案】11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()22111313612f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()min 1112f x =，因为x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立， 所以1112m >， 则m 的取值范围是11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【变式4-3】若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解， 则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(4,)-∞+∞.题型五 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-∞，B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．()3+∞， D ．127⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】由题意得，2630mx x m -+<，(]02x ∈，，即263xm x <+ ， 故问题转化为263xm x <+在(]02，上有解， 设26()3x g x x =+，则266()33x g x x x x==++，(]02x ∈，， 对于323x x+≥，当且仅当3(0,2]x =时取等号， 则max ()323g x ==3m <，故选：A【变式5-1】已知命题p ：“15∃≤≤x ，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A 【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集 若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题， 需满足25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥． 因此p 命题成立时a 的范围时4a <，故选：A ．【变式5-2】若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1] D ．(0,1) 【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥， 关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解， 当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【变式5-3】已知当12x ≤≤时，存在x 使不等式()()14m x m x -++<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<【答案】C【解析】由()()14m x m x -++<可得224m m x x +<-+，由题意可得()22max 4m m x x +<-+，且12x ≤≤，令()24f x x x =-+对称轴为12x =，开口向上，所以()24f x x x =-+在[]1,2上单调递增， 所以2x =时，()()2max 22246f x f ==-+=，所以26m m +<，解得：32m -<<， 所以实数m 的取值范围为{}32m m -<<，故选：C.【变式5-4】关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为________．【答案】[]2,6-【解析】2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中[]1,6x ∈；设()2416y x x x =-≤≤， 则当6x =时，max 362412y =-=， 2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为[]2,6-.。
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含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例5 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。
本题只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令aa 1=，可得：1±=a ∴当1-<a 或10<<a 时，a a 1<，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|； 当1=a 或1-=a 时，aa 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。
例6 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a分析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a f 时，即23a a p ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<a 时，即23a a f ，解集为{}|23x x a x a ><或含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔0a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 例1：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
例2．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞Y 。
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔例3、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。
（1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73a ∴≤又4a >所以a 不存在；（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤（3） 当22a-> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<-综上所得：72a -≤≤例4．函数),1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=xax x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=xax x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。
例5：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B B B B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
解析：由]1,0(sin ,0,1sin 22cos )24(sin sin 4)(2∈∴<<+=++=B B B B BB B f ππΘ，]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f Θ恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即⎩⎨⎧+<->2)(2)(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m例6：求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
解析：由于函]43,4[4),4sin(2cos sin ππππ-∈--=->x x x x a ，显然函数有最大值2，2>∴a 。
三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
一般地有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔ 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔ 。
例7、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
解：令2xt =，(],1x ∈-∞Q (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。
()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭Q()()min 324f t f ∴==234a a ∴-< 1322a ∴-<< 例8、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
解：根据题意得：21ax x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2x =时，()max 2f x = 所以2a >例9．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。