弯曲应力与变形1
材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
悬臂梁受集中载荷的应力变形计算
悬臂梁受集中载荷的应力变形计算悬臂梁是一种常见的结构，在工程中应用广泛。
在设计和分析悬臂梁时，经常需要计算受集中载荷作用下的应力和变形。
本文将对悬臂梁受集中载荷的应力和变形计算进行详细阐述。
一、悬臂梁受集中载荷的应力计算1.弯曲应力计算当悬臂梁受到集中荷载作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于载荷作用引起梁的弯曲变形而产生的。
计算弯曲应力可使用弯曲应力公式：σ=(M*y)/I其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，y为弦纤维上离中轴线的距离，I 为截面转动惯量。
在悬臂梁上的集中荷载作用下，弯矩可通过以下公式计算：M=F*L其中，M为弯矩，F为集中荷载，L为悬臂梁的长度。
对于矩形截面的悬臂梁，截面转动惯量I可通过以下公式计算：I=(b*h^3)/12其中，I为截面转动惯量，b为矩形截面的宽度，h为矩形截面的高度。
2.剪切应力计算除了弯曲应力外，悬臂梁还会受到剪切应力的作用。
剪切应力是指梁截面内部不同层次之间的相对滑动所产生的应力。
计算剪切应力可使用剪切应力公式：τ=(V*Q)/(b*I)其中，τ为剪切应力，V为剪力，Q为梁截面的截面模量，b为截面的宽度，I为截面转动惯量。
悬臂梁上的剪力可通过以下公式计算：V=F其中，V为剪力，F为集中荷载。
悬臂梁的截面模量Q可通过以下公式计算：Q=(b*h^2)/6其中，Q为截面模量，b为截面的宽度，h为截面的高度。
二、悬臂梁受集中载荷的变形计算1.弯曲变形计算悬臂梁受到集中载荷作用时，会产生弯曲变形。
弯曲变形是指悬臂梁由于受到集中载荷作用发生的弯曲现象。
计算弯曲变形可使用弯曲变形公式：δ=(M*L^2)/(2*E*I)其中，δ为弯曲变形，M为弯矩，L为悬臂梁的长度，E为弹性模量，I为截面转动惯量。
2.剪切变形计算悬臂梁除了弯曲变形外，还会受到剪切变形的作用。
剪切变形是指梁截面内部不同层次之间的相对滑动所产生的变形。
计算剪切变形可使用剪切变形公式：θ=(V*L)/(G*Q)其中，θ为剪切变形，V为剪力，L为悬臂梁的长度，G为剪切模量，Q为截面模量。
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
(修订)第9章 弯曲应力与弯曲变形-习题解答
第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答题9 – 1 试计算下列各截面图形对z 轴的惯性矩I z （单位为mm ）。
解：（a ）mm 317400250500350200400250250500350≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()49323mm 107314002502003171240025050035025031712500350⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （b ）mm 431550400800500375550400400800500≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()410323mm 1054615504003754311255040080050040043112800500⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （c ）()mm 3060202060506020102060=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=c y()()46323mm103616020503012602020601030122060⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.Z I(a)(b) (c)题9-1图题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
设q = 60kN/m ，F = 100kN 。
试求（1）梁1– 1截面上A 、B 两点的正应力。
（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。
解：（1）求支反力kN 220100260=+⨯=A F （↑）m kN 32021001260⋅=⨯+⨯⨯=A M （ ） （2）画F S 、M 图（3）求1-1截面上A 、B 两点的正应力 m kN 1305016011001⋅=⨯⨯+⨯=.MF MA 点：MPa 254Pa 1025412150100550101306331=⨯≈⨯⨯⨯==...I y M zA t σB 点：MPa 162Pa 107816112150100*********331=⨯≈⨯⨯⨯==....I y M σzB c （4）求最大正应力和最大切应力M P a 853Pa 10385361501010320623max max =⨯≈⨯⨯==...W M σzM P a 22Pa 10221501010220232363max =⨯≈⨯⨯⋅=⋅=..A F τS 题9 - 3 简支梁受力如图所示。
弯曲变形区的应力与应变状态分析
r
邻部分材料的制约，材
料不易流动，因此其横
断面形状变化较小，仅
在两端会出现少量变形，
横断面形状基本保持为
矩形。BBρa)b)
图4-7 窄板、宽板的变形 a）窄板 b）宽板
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
5、弯曲后的畸变、翘曲 细而长的板料弯曲件，由于沿折弯 线方向工件的刚度小，塑性弯曲时，外区宽度方向的压应变和 内区的拉应变将得以实现，结果使折弯线翘曲。当板料弯曲件 短而粗时，沿工件纵向刚度大，宽度方向应变被抑制，翘曲则 不明显。对于管材、型材弯曲后的剖面畸变如图4-8b所示，这 种现象是因为径向压应力所引起的。另外，在薄壁管的弯曲中， 还会出现内侧面因受切向压应力的作用而失稳起皱的现象。
的减薄量大于内侧的增厚量，因
此使弯曲变形区的材料总厚度变 薄。变形程度愈大，变薄现象愈 严重。
图4-6 弯曲前后坐标网格的变化 a）弯曲前 b）弯曲后
接下页
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
4、变形区横断面的变形。 板料的相对宽度 B/ｔ（B是 板料的宽度，ｔ是板料的厚 度）对弯曲变形区的材料变 形有很大影响。一般将相对 宽度B /ｔ＞3 的板料称为宽 板 ，相对宽度B /ｔ≤ 3 的 称为窄板。
简述如下:弯曲开始前，先将 平板毛坯放入模具定位板中 定位，然后凸模下行，实施 弯曲，直至板材与凸模、凹 模完全贴紧(此时冲床下行至 下死点)，然后开模(此时冲 床上行至上死点)，再从模具 里取出Ｖ形件。
V
图4-3 V形弯曲模
第四章 弯曲
一、弯曲过程与特点 （续）
在板材A处，凸模施加外力2F，M
R
3、校正弯曲阶段：到行程终了时，凸凹模对弯曲件进行校正， 使其直边、圆角与凸模全部靠紧。整个变形区的材料完全处于 塑性变形较稳定的状态。
第四章-弯曲应力(1)
称为截面抗弯模量，单位： 称为截面抗弯模量，单位：m3, mm3 抗弯模量
21
宽b、高h的矩形
直径为d 直径为d的圆截面
2
Iz Wz = = ymax
bh3 12 h 2
bh = 6
Wz =
πd
3
32
轧制型钢（工字钢、槽钢等） 轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得 强度条件
平衡（力学） 平衡（力学） 本构（物理） 多学科综合法） 本构（物理） （多学科综合法） 变形（几何） 变形（几何） 单元体 应力合成内力
20
二、 弯曲正应力强度条件
Strength criterion of normal stress in bending
M σ= y Iz
σ max
Mmax Mmax = ymax = Iz Wz
梁的强度符合要求
29
思考题
1、弯矩和剪力分别由什么应力组成? 、弯矩和剪力分别由什么应力组成 2、研究梁的正应力的基本思路是什么？ 、研究梁的正应力的基本思路是什么？ 3、什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中 、什么是梁的中性层、中性轴？ 性轴必通过横截面的形心。 性轴必通过横截面的形心。 4、什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越 、什么是梁的曲率？它与什么有关？ 大曲率半径也越大， 大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也 越小，对吗？ 越小，对吗？为什么 ？
−4 3
3
1
2 z
M1 y σ1 = σ2 = Iz − 60×60 5 = ×10 = −61.7MPa 24 5.832
120 y
σ1max
σmax
M1 60 4 = = ×10 = 92.6MPa Wz 6.48
第六章 - 弯曲应力
查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
kN
15
28.1
13.16
kNm
3.75
例题
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强
度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
A
L 2
B
L 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4 153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
My
max
IZ
24.09MPa
max
My max IZ
对梁的某一截面： 对全梁（等截面）：
max
Mymax Iz
M
WZ
max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
例题
长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力
F，已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。
1 M Z (b)
EIZ
由(a)(b)式得
Mzy
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
木材的应力与变形分析
应力是引起木 材变形的主要
原因
木材的变形与 应力的大小、 方向和分布有
关
应力对木材的 变形有直接影 响，如拉伸、 压缩、弯曲等
木材的变形与 应力的相互作 用会影响木材 的使用性能和
寿命
变形对应力的影响
木材的变形与应力之间的 关系
变形对木材强度的影响
变形对木材稳定性的影响
变形对木材耐久性的影响
应力与变形的相互关系
干燥工艺优化：根据 木材种类、厚度、用 途等因素进行优化
木材的防腐处理控制
防腐剂的选择：根据木材的种类和用途 选择合适的防腐剂
防腐剂的处理方法：浸泡、喷涂、真空 加压等
防腐剂的浓度和用量：根据木材的尺寸 和防腐等级确定
防腐剂的处理时间：根据木材的厚度和 防腐剂的种类确定
防腐剂的处理效果检验：通过实验和检 测确定防腐剂的处理效果
木材的应力测试
测试目的：了解木材在不同载荷下的应力分布和变形情况 测试方法：采用应变片、应力仪等仪器进行测量 测试条件：控制温度、湿度等环境因素 测试结果：分析木材的应力-应变关系，为设计和加工提供依据
2
木材的变形分析
木材的变形类型
收缩变形：木材在干燥过程中体积减小 的现象
膨胀变形：木材在吸湿过程中体积增大 的现象
防腐剂的环境影响：考虑防腐剂对环境 和人体健康的影响，选择环保型防腐剂
木材的保养维护控制
避免阳光直射：防止木材干燥、 开裂
保持室内湿度：防止木材吸湿 膨胀
定期清洁：去除灰尘和污渍， 保持木材表面清洁
使用保护剂：涂抹保护剂，防 止木材受潮、腐蚀Biblioteka THANKS汇报人：
机械加工：通过锯、刨、铣等机械 加工方法，控制木材的形状和尺寸， 提高木材的加工精度和效率
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案引言：工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其中弯曲应力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。
本文将探讨弯曲应力和弯曲变形问题的原因、计算方法以及解决方案，旨在帮助读者更好地理解和应对这一问题。
一、弯曲应力的原因在工程实践中，当梁、梁柱等结构承受外力作用时，由于结构的几何形状和材料的力学性质不同，会导致结构发生弯曲变形。
弯曲应力的产生主要有以下几个原因：1. 外力作用：外力作用是导致结构弯曲的主要原因之一。
例如，悬臂梁受到集中力的作用，会导致梁的一侧拉伸，另一侧压缩，从而产生弯曲应力。
2. 结构几何形状：结构的几何形状对弯曲应力有直接影响。
例如，梁的截面形状不均匀或不对称，会导致弯曲应力的分布不均匀，从而引起结构的弯曲变形。
3. 材料力学性质：材料的力学性质也是导致弯曲应力的重要因素。
不同材料的弹性模量、屈服强度等参数不同，会导致结构在受力时产生不同的弯曲应力。
二、弯曲应力的计算方法为了准确计算弯曲应力，工程力学中提出了一系列的计算方法。
其中最常用的方法是梁的弯曲方程和梁的截面应力分析。
1. 梁的弯曲方程：梁的弯曲方程是描述梁在弯曲过程中受力和变形的重要方程。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到梁的弯曲方程，并通过求解该方程，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
2. 梁的截面应力分析：梁的截面应力分析是通过分析梁截面上的应力分布情况，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
该方法根据梁的几何形状和材料的力学性质，采用静力学平衡和弹性力学理论，计算出梁截面上的应力分布，并进一步得到梁的弯曲应力。
三、弯曲变形问题的解决方案针对弯曲变形问题，工程力学提出了一系列的解决方案，包括结构改进、材料选择和加固措施等。
1. 结构改进：对于存在弯曲变形问题的结构，可以通过改进结构的几何形状，增加结构的刚度，从而减小结构的弯曲变形。
例如，在梁的设计中，可以增加梁的截面尺寸或改变梁的截面形状，以增加梁的抗弯刚度。
1弯曲应力
变形前
M m’ a’ b’ m’ n’ M
z 推断：
a’
o’ b’ n’
o’
(1)同层纤维变形相等 (2)中性层没有变形 (3) 横截面变形后仍保 持平面。
变形后(小变形)
中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于过形心的Z轴这一层。
E
y
- - - - (2)
(中轴性尚未确定, y、未知)
由(2)可知应力分布:
3. 静力学关系(确定微观应力与宏观内力的等效关系)
Mz
(中性轴)
z y z
微观应力与宏观内力的等效关系：
Mz
x
σdA
y (对称轴)
N dA 0
A
---- (3) ---- (4)
(5)
My Mz
梁的纯弯曲
y
a
P
P a
x
横力弯曲：
Q0, M 0
纯弯曲：
Q P －P
Q=0 ,M 0
梁的应力
Pa
M
剪应力 —— 与剪力对应 正应力 —— 与弯矩对应
§5-1 梁纯弯曲时的正应力
纯弯曲： 内力只有弯矩，无剪力。
M M M
研究方法(Methodology):
实验观察 总结 概念 设想 模型 实践检验
解： （1）截面弯矩：
M c Pa 1.5 10 3 2 3 10 3 ( N m )
c a
P y
k h/2 z h/2 b
y
（2）惯性矩：
bh3 0.12 0.183 Iz 0.583 10 4 (m 4 ) 12 12
第五章 弯曲应力1
§5–4 弯曲切应力
一、梁横截面上的切应力
1、矩形截面梁
(1)两个假设 (a)切应力与剪力平行 (b)切应力沿截面宽度均匀分布
(2)分析方法
F1 F2 m n
q(x)
z
m
n
mn
x
dx
h yo
A1
B1
x
z
y
x
A
B
A1
B1
y bm
n
dx
FN1
A
ym
B
FN2
n
z
z
m
n
y
x
A1 dFS’
B1
FN1
A
B FN2
查型钢表中,20a号工字钢,有
Iz
S
* z
max
17.2cm
d=7mm
F
AC
B
5m
FSmax
据此校核梁的切应力强度
*
F S F Smax z ,max
max
I d ( I )d z
Smax z
+
S* z ,max
30 103
24.9MPa [ ] 以上两方面的强度条件都满
D
z
4
1
1
22
a1
Wz3
bh2 6
4a13 6
1.67Wz1
合理放置截面
bh2 WZ 左 6
WZ 右
hb2 6
三、采用等强度梁
梁各横截面上的最大正应力都相等,并均达到材料的许用应力,
则称为等强度梁. 例如，宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁,若设
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
第六周 材料力学A_(弯曲变形的基本概念和分类, 正应力公式)
M ( x)
从梁中切出小分离体： x方向平衡： FN 2 FN 1 FS 0 M
y
M+dM
FN 2 dA
A1
A1
M dM ydA Iz
A1
dx FS
z b
y
假设： 横截面上各点切应力方向平行 于剪力的方向 横截面上切应力沿z方向均布
M dM 其中 S Sz z Iz M 同理 FN1 Sz
M=Fl/4
max
(5.7)
C
max
31
M=Fl/4
C
如T形、槽形截面等
32
2.弯曲切应力强度条件 梁弯曲时，横截面上切应力的危险点： 剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零）， ——纯剪切应力状态 F
A F/2 (FS) F/2 F/2 C B
3.梁的弯曲强度计算 (1)一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可只 校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自动 满足）。 F h
h 1 h b h2 矩形截面： Sz ( y) b ( y) ( y ( y)) ( y2 ) 2 2 2 2 4
max
max
min
H
M
( y )
FS h 2 ( y2 ) 2I z 4
FS h2 3 F 3 S 3 bh 4 2 A 2 2 12
z
M
y
ymax2 z ymax1
max
Wz1
M
应分别计算 max max
Iz ymax1
由梁所受外力(已知载荷) 图,求得各截面上的弯矩)
工程力学中的弯曲应力及应变分析
工程力学中的弯曲应力及应变分析工程力学是工程学科中的重要分支，它研究物体在受力作用下的力学性质和变形规律。
而在工程力学中，弯曲应力及应变分析是一项非常重要的内容。
本文将从弯曲应力与应变的基本概念入手，探讨弯曲应力与应变的分析方法，并介绍一些相关的实际应用。
1. 弯曲应力与应变的基本概念在工程力学中，弯曲是指物体在受到力的作用下，发生形状的变化，使其呈现出曲线状的变形。
而弯曲应力则是指物体在弯曲过程中受到的内部力的大小。
弯曲应变则是指物体在弯曲过程中产生的变形程度。
弯曲应力与应变的分析是为了了解物体在受力作用下的变形情况，以便进行结构设计和强度计算。
2. 弯曲应力与应变的分析方法弯曲应力与应变的分析方法主要有两种：一是基于弹性力学理论的解析方法，二是基于有限元分析的数值方法。
在解析方法中，我们可以利用梁的基本假设和弹性力学理论，通过求解弯曲方程和边界条件，得到弯曲应力与应变的解析解。
这种方法适用于简单的几何形状和边界条件的情况，可以快速得到结果。
但是对于复杂的结构和边界条件，解析方法往往难以应用。
数值方法中的有限元分析是一种常用的方法。
它将结构划分成有限个小单元，通过求解每个小单元的力学方程和边界条件，最终得到整个结构的弯曲应力与应变分布。
有限元分析可以处理复杂的几何形状和边界条件，但需要进行离散化处理和复杂的计算，计算量较大。
3. 弯曲应力与应变的实际应用弯曲应力与应变的分析在实际工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑领域，我们需要对梁、柱等结构进行弯曲应力与应变的分析，以保证结构的稳定性和安全性。
在机械工程中，对于弯曲杆件、弯曲轴等零部件的设计，也需要进行弯曲应力与应变的分析，以确保其工作正常。
此外，在航空航天、汽车制造等领域，对于飞机、汽车等复杂结构的弯曲应力与应变分析更是不可或缺的。
4. 弯曲应力与应变分析的挑战与发展随着工程领域的不断发展，弯曲应力与应变分析也面临着一些挑战。
首先是对于复杂结构的分析问题，传统的解析方法和有限元分析方法可能无法满足需求，需要开发新的数值方法和计算技术。
第八章弯曲应力与弯曲变形
第八章弯曲应力与弯曲变形前面曾讨论了弯曲内力计算、内力图的绘制和平面几何性质，本章将解决弯曲的强度和刚度问题。
【能力目标、知识目标与学习要求】本章学习目标，知识目标和学习要求：本章学习内容要求学生熟练掌握弯曲强度计算的方法以及强度条件的应用，熟悉简单荷载作用下，用叠加法计算弯曲变形。
第一节弯曲应力本节将在第七章的基础上，进一步研究梁的横截面上内力的分布情况，即研究横截面上各点的应力。
通过研究，找出应力的分布规律，推导出应力的计算公式，从而解决梁的强度计算问题。
本节将分别讨论正应力σ和剪应力τ在横截面上的分布规律及其计算。
一、弯曲应力的种类由轴向拉伸与压缩和圆轴扭转可知，应力是与内力的形式相联系的，它们的关系是：应力为横截面上分布内力的集度。
梁弯曲时，横截面上一般是产生两种内力——剪力FQ和弯矩M（图8-1），这些内力皆是该截面内力系合成的结果。
由于剪力FQ是和横截面相切的内力，所以它是与横截面相切的剪应力的合力；而弯矩M则是作用面与横截面垂直的力偶矩，故它是由与横截面垂直的正应力合成的结果。
总之，由于梁的横截面上一般同时存在弯矩M和剪力FQ，所以，梁的横截面上σ，又有剪应力τ。
一般既有正应力二、弯曲正应力计算1、纯弯曲时梁横截面上的正应力：如图8-2所示的梁AB，CD段内只有弯矩而无剪力，这种情况称为纯弯曲。
而AC和DB段内各横截面上既有剪力还有弯矩．这种情况称为横力弯曲(剪切弯曲)。
在推导梁的正应力公式时，为了便于研究，我们从“纯弯曲”的情况进行推导。
F F(a)(b)(c)M 图Fal图 8-2（1）实验观察与分析：为了便于观察，采用矩形截面的橡皮梁进行试验。
实验前，在梁的侧面画上一些水平的纵向线pp 、ss 等和与纵向线相垂直的横向线mm 、nn 等(图8-3a)，然后在对称位置上加集中荷载F(图8-3b)。
梁受力后产生对称变形，且可看到下列现象：1）变形前互相平行的纵向直线(pp 、ss 等)，变形后均变为互相平行的圆弧线('p 'p 、''s s 等)，且靠上部的缩短，靠下部的伸长。
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
第6章2013- 弯曲应力-1
把支撑简化为最接近的约束： 固定端、固定铰支座、可动铰支座
一端为固定铰支座，另一端 为可动铰支座的梁，称为 简支梁
一端为固定端，一端为自由 端的梁，称为悬臂梁
一端或两端外伸于铰支座之 外的梁，称为外伸梁
6.1.1 平面弯曲与纯弯曲
梁弯曲变形后，轴线成为一条曲线，若变 形后的轴线仍然在纵向对称面内，这种弯 曲称为平面弯曲，也称为对称弯曲
变 形
m
m
后
a
m
n a
b
b
b
b
m
n
m
n
现 1、横向线m-m、n-n变形后仍是直线，在转过一
象 个角度后依然和纵向线相垂直；
： 2、纵向线a-a、b-b变成同心圆弧线，且靠近顶部凹
面的纵向线缩短了，靠近底部凸面的纵向线伸长了；
mm
a
n
m
a
纯弯曲变形特点
b
b
m
n
平面假设：变形前梁的横截面变形后仍保持 为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线。
12.5×103 kN/m
A
B
400 400
解：
5000kN 830
830 5000kN
1.作弯矩图
M
kN/m
3150
A
B
例题1
2. 危险截面为跨中截面
Mmax=3150kN·m
W 1 D3 1 (0.76)3 43.1 103 m3
32
32
max
M max W
3150 103 43.1 103
1000
60 z
C
20
M
2.5 2-2
kN/m
＋
(σc )max
如何计算物体的弯曲应力和应变？
如何计算物体的弯曲应力和应变？
要计算物体的弯曲应力和应变，首先需要了解一些基本概念和公式。
以下是一些可能有用的信息：
1. 弯曲应力：当物体受到外力作用时，它会在力的方向上产生弯曲。
这种弯曲会导致物体内部产生应力，称为弯曲应力。
弯曲应力的大小取决于外力的大小、物体的截面尺寸和材料性质等因素。
计算弯曲应力的公式为：σ= F/A，其中σ为弯曲应力，F为作用在物体上的外力，A为物体的截面面积。
2. 应变：当物体受到外力作用时，它会在力的方向上产生变形。
这种变形会导致物体内部产生应变。
应变的大小取决于外力的大小、物体的尺寸和材料性质等因素。
计算应变的公式为：ε= ΔL/L，其中ε为应变，ΔL为物体的变形量，L为物体原来的长度。
在实际应用中，为了更准确地计算弯曲应力和应变，需要考虑更多的因素，例如物体的形状、材料性质、温度等。
同时，还需要进行实验测试和有限元分析等方法来验证计算结果的准确性。
应力与变形量之间的关系
应力与变形量之间的关系应力与变形量之间的关系应力和变形量是材料力学中最为基本的两个量，它们之间的关系对于材料性能的理解和工程应用至关重要。
本文将对应力和变形量的关系进行探讨。
一、应力应力是指材料内部的力大小和分布，表示为单位面积上的力。
材料内部分子之间的作用力通过物理效应引起应力，是材料受力的一种表现形式。
应力有纵向应力（拉伸应力、压缩应力）、剪切应力、弯曲应力等种类，它们在不同的材料和应用场合中有着重要的作用。
二、变形量变形量是指材料受力后发生形状和尺寸改变的程度，分为弹性变形和塑性变形两种。
弹性变形是指在受力后，材料恢复到原来形态的能力，而塑性变形是指在受力后，材料不能恢复到原来形态，形成了永久的变形。
变形量常用于材料强度和变形能力的评估，以及材料的制造、加工和使用。
三、应力与变形量的关系材料的应力和变形量之间存在着一定的关系，主要表现为以下几点：1. 应力与弹性变形成正比在材料受到外力作用后，产生的弹性应变与应力成正比。
弹性应变是指在外力作用下，材料变形的程度和形状改变量的比值。
一般情况下，弹性应变和外力作用强度之间的关系呈线性，称为胡克定律。
2. 应力与塑性变形成正比在材料受到足够大的外力作用后，材料中的晶体结构发生塑性变形，材料不再回复其原来的形状和尺寸。
此时的变形量与应力成正比。
这表明材料在极限条件下的可塑性和塑性变形能力。
3. 形变能与应力成正比由于应力所引发的形变，材料获得一定的变形能力，其中的能量与应力成正比。
所以说，在受力作用下的变形材料获得了能量，在材料的加工和使用时也是非常重要的。
总之，材料的应力和变形量之间存在着密切的关系。
了解和掌握该关系对于材料的工程应用和开发具有重要的意义。
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课程: 材料力学教者：第30,31,32课时(3.22,3.26)课程内容或课题：1．梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导2．熟练弯曲正应力强度条件的建立和相应的计算目的要求：1．掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作的基本假设2．理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度3．掌握弯曲正应力强度条件的建立和相应的计算重点难点：1.纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导2.横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算3.弯曲的强度计算教学形式、手段：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考教学过程：一：导入新课二：授新1、几个基本概念⑴平面弯曲和弯曲中心变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。
图6-1怎样加载才能产生平面弯曲？若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在次对称平面内，才能发生平面弯曲。
图6-2若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。
什么叫弯曲中心？当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。
这样的特定点称为弯曲中心。
图6-3关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。
图6-4①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图6-4(a),(b),(c)所示。
②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图6-4(d)、(e)所示。
③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图6-4(e)、(f)④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。
这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。
⑵纯弯曲和横力弯曲图6-5平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲；如果梁的横截面上既有弯矩又有剪力，则这种弯曲称为横力弯曲。
⑶中性层和中性轴图6-6弯曲时梁内既不伸长又不缩短的一层纤维称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
注意：中性层是对整个梁而言的；中性轴是对某个横截面而言的。
中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。
2、正应力强度计算⑴平面弯曲时，正应力沿截面高度的分布规律，以矩形截面为例，见图6-7，b 所示。
(a) (b)图6-7 ⑵正应力计算公式：y I M Z ⋅=σ ⑴ 式中：y 为所求正应力的点到中性轴的距离；Z I ： 矩形123bh ；圆形644D π ⑶正应力强度条件：][max max max max σσ≤=⋅=ZZ Z Z W M y I M ⑵式中：max y I W Z Z = 矩形62bh W Z = 圆形323bD W Z = 例题6-1 已知钢梁Mpa 160][=σ，试决定I 字钢型号及截面尺寸（自重不计）。
解：作内力图；图6-11 m N ⋅==k ql M 4082max 3663max 10250101601040][m -⨯=⨯⨯==σM W Z 查表采用I20b (3250cm =X W )其截面尺寸见表。
例题6-2 已知铸铁梁的[+σ]=40MPa 、[-σ]=110MPa 、42610cm =Z I ,试校核梁的强度。
解：作内力图：图6-12校核 B 截面；][MPa +--+=⨯⨯⨯⨯=⋅=σσ 8.36102610108.410208231max max y I M Z ][MPa ----=⨯⨯⨯⨯=⋅=σσ 109102610102.1410208232max max y I M Z 问题讨论：如果把梁倒放可以看到该梁就会出现强度不足的情况。
例题6-3 在图6-14所示的结构中，AB 为一铸铁梁，其材料的许用应力为[t σ]=30MPa 、[c σ]=80MPa 。
BC 为一圆截面钢杆，其直径d=20mm 、材料的许用应力为[σ]=160MPa 。
试确定结构的许用荷载[q]。
图6-14解：⑴求BC N F 并作AB 梁的FS 、M 图0=∑A m ，得：q q F NBC 25.225.13=⨯=（拉）作AB 梁的FS 、M 图见上。
⑵截面的几何性质计算：AB 梁的横截面：①计算C y （取1Z 为参考轴，对之取矩）mm 8820120208060201201302080=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=C y ②计算Zc I ；44m mm 8423231076310763)6088(120201212020)88130(2080122080-⨯=⨯=-⨯⨯+⨯+-⨯⨯+⨯=Zc I BC 杆的横截面面积：222402.04m 103.144-⨯=⨯==ππd A⑶确定结构的许用荷载[q]①由BC 杆的抗拉强度确定[q]=？∵][σσ≤=AF NBC 即KN 2.504102010160][][626=⨯⨯⨯⨯=⋅=-πσA F NBC 又∵q N BC 25.2= ∴m kN 3.2225.22.50][==BC q ②由AB 梁的强度确定[q]=？B 截面：（M=0.52qm ）上边缘：][++≤=σσZI My 1 即：68103010763052.05.0⨯≤⨯⨯-q KN/m 8.8052.05.010*******][86=⨯⨯⨯⨯=-上B q下边缘：][--≤=σσZI My 2即：68108010763088.05.0⨯≤⨯⨯-qKN/m 9.13088.05.010*******][86=⨯⨯⨯⨯=-下B qD 截面：（M=0.2812qm б:上压，下拉） 上边缘：][+-≤=σσZI My 1即：68108010763052.0281.0⨯≤⨯⨯-qKN/m 8.41052.0281.010*******][86=⨯⨯⨯⨯=-上D q 下边缘：][++≤=σσZI My 2即：68103010763088.0281.0⨯≤⨯⨯-qKN/m 25.9088.0281.010*******][86=⨯⨯⨯⨯=-下D q结论：KN/m 8.8][][B ==上q q还有其他例题放在PPT 中来讲。
三．总结本次课内容课程 材料力学 教者： 第33-35课时(3.29)课程内容或课题：1.梁横力弯曲时横截面上的切应力2.提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心目的要求：1.掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上切应力的分布和计算。
2.熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。
3.了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。
4.从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。
重点难点：弯曲横截面上的剪应力教学形式、手段：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，多媒体教学 教学过程：一：导入新课二：授新3.剪应力强度计算⑴剪应力计算公式：bI S F Z Z Q *=τ ⑶ 式中：***⋅=y A S Z 即*A 对中性轴的静矩（见图6-8）。
⑵工程上常见的几种截面图形的剪应力沿截面高度分布规律近似计算式 ①矩形截面A Q 23max =τ ⑷图6-8②工字形截面：dh F Q1max =τ⑸ 式中：h 1—腹板的高度d —腹板的宽度图6-9③实心圆截面A F Q34max ≈τ ⑹图6-10④空心圆截面AF Q 2max ≈τ ⑺式中：4422d D A ππ-=图6-11⑶剪应力强度条件][maxmax max ττ≤=*bI S F Z Z Q ⑻例题6-4 已知[σ]=160MPa 、[τ]=100Mpa ，试选择适用的工字钢型号。
解：⑴作Fs 、M 图⑵按正应力强度选择 工字钢型号33663max 28110281101601045][cm m =⨯=⨯⨯==-σM W Z 查表：3309cm =X W ，即选用22aI 字钢 ⑶剪应力强度校核 查I x :S x,得cm S I XX9.18=，d=0.75cm 由FS 图知 KN 210max =Q F 代入剪应力强度条件： 图6-13 由此校核可见：m ax τ超过[τ]很多。
应重新设计截面。
⑷按剪应力强度选择I 字钢型号 现以25b 工字钢进行试算。
由表查处：cm 27.21=XXS I ，d=1cm ][MPa ττ 6.981011027.2110210223max =⨯⨯⨯⨯=-- ⑸结论：要同时满足正应力和剪应力强度条件，应选用型号为25b 的工字钢。
4．提高弯曲强度的措施 1）梁的合理受力(降低最大弯矩m axM )(1)合理放置支座(从设计方案考虑)双杠，等强，minmax M M =以剪支梁为例，最大弯矩为82maxql M =若两端支座各向中心移动l 2.0，最大弯矩减小为402maxql M =（2)合理布置载荷(从使用方案考虑)2）合理设计截面形状(增大抗弯截面模量z W ) （1）梁的截面优化W M maxmax =σ ，对于宽b ，高为h 的矩形，抗弯截面模量AhAh W z 167.06== 。
因此，高度越大，z W 越大，max σ越小。
在外边缘达到许用应力时，中性轴附近的应力很小，造成材料的浪费。
例如：圆形截面。
理想的情况是将面积之半分布于距中性轴为2h处。
a.塑性材料[][]c t σσ=上、下对称 抗弯更好，抗扭差。
b.脆性材料[][]c t σσ<采用T 字型或上下不对称的工字型截面。
3）等强度梁-截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。
由()()[]σσ==x W x M max 得()()[]σx M x W =若图示悬臂梁为等强度梁。
等宽度h ，高度为x 的函数，b=b(x)。
则()Pxx M 21=()()()[][]σσPxx M h x b x W 2162=== 得出()[]x h P x b 23σ=按剪切强度确定截面宽度的最小值m in b 。
[]ττ===h b Ph b Q min min max212323 []τh P b 43min =由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯梁(加工方便)。
三．总结本次课内容课程材料力学教者：第36，37课时(4.2)课程内容或课题：1.弯曲变形的量度及符号规定2.挠曲线近似微分方程及其积分目的要求：1．掌握求梁变形的两种方法：积分法和叠加法重点难点：梁的变形分析、挠曲线近似微分方程、积分法求梁的变形教学形式、手段：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题教学过程：一：导入新课回顾：弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。
弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。