弯曲应力与变形1

课程: 材料力学教者：

第30,31,32课时(3.22,3.26)

课程内容或课题：

1．梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导

2．熟练弯曲正应力强度条件的建立和相应的计算

目的要求：

1．掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作的基本假设2．理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度

3．掌握弯曲正应力强度条件的建立和相应的计算

重点难点：

1.纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导

2.横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算

3.弯曲的强度计算

教学形式、手段：

采用启发式教学，通过提问，引导学生思考

教学过程：

一：导入新课

二：授新

1、几个基本概念

⑴平面弯曲和弯曲中心

变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。

图6-1

怎样加载才能产生平面弯曲？

若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在次对称平面内，才能发生平面弯曲。

图6-2

若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。

什么叫弯曲中心？

当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。这样的特定点称为弯曲中心。

图6-3

关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。

图6-4

①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图6-4(a),(b),(c)所示。

②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图6-4(d)、(e)所示。

③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图6-4(e)、(f)

④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。

⑵纯弯曲和横力弯曲

图6-5

平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲；如果梁的横截面上既有弯矩又有剪力，则这种弯曲称为横力弯曲。

⑶中性层和中性轴

图6-6

弯曲时梁内既不伸长又不缩短的一层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。 注意：中性层是对整个梁而言的；

中性轴是对某个横截面而言的。

中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。

2、正应力强度计算

⑴平面弯曲时，正应力沿截面高度的分布规律，以矩形截面为例，见图6-7，b 所示。

(a) (b)

图6-7 ⑵正应力计算公式：y I M Z ⋅=σ ⑴ 式中：y 为所求正应力的点到中性轴的距离；

Z I ： 矩形123bh ；圆形64

4D π ⑶正应力强度条件：][max max max max σσ≤=⋅=Z

Z Z Z W M y I M ⑵

式中：max y I W Z Z = 矩形62bh W Z = 圆形32

3

bD W Z = 例题6-1 已知钢梁

Mpa 160][=σ，试

决定I 字钢型号及截面尺

寸

（自重不计）。

解：作内力图；

图6-11 m N ⋅==k ql M 408

2max 3663

max 1025010

1601040][m -⨯=⨯⨯==σM W Z 查表

采用I20b (3250cm =X W )其截面尺寸见表。

例题6-2 已知铸铁梁的

[+σ]=40MPa 、

[-σ]=110MPa 、

42610cm =Z I ,试校

核梁

的强度。

解：作内力图：

图6-12

校核 B 截面；][MPa +--+=⨯⨯⨯⨯=⋅=σσ 8.3610

2610108.4102082

31max max y I M Z ][MPa ----=⨯⨯⨯⨯=⋅=σσ 10910

2610102.14102082

32max max y I M Z 问题讨论：如果把梁倒放

可以看到该梁就会出现强度不足的情况。

例题6-3 在图6-14所示的结构中，AB 为一铸铁梁，其材料的许用应力为[t σ]=30MPa 、

[c σ]=80MPa 。BC 为一圆截面钢杆，其直径d=20mm 、材料的许用应力为[σ]=160MPa 。试确定结构的许用荷载[q]。

图6-14

解：⑴求BC N F 并作AB 梁的FS 、M 图

0=∑A m ，得：q q F NBC 25.22

5.13=⨯=（拉）

作AB 梁的FS 、M 图见上。

⑵截面的几何性质计算：

AB 梁的横截面：

①计算C y （取1Z 为参考轴，对之取矩）

mm 8820120208060201201302080=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=C y ②计算Zc I ；

4

4m mm 842

3

231076310763)6088(1202012

12020)88130(2080122080-⨯=⨯=-⨯⨯+⨯+-⨯⨯+⨯=Zc I BC 杆的横截面面积：

22

2

402.04m 103.144-⨯=⨯==ππd A

⑶确定结构的许用荷载[q]

①由BC 杆的抗拉强度确定[q]=？

∵][σσ≤=A

F NBC 即KN 2.504102010160][][6

26=⨯⨯⨯⨯=⋅=-πσA F NBC 又∵q N BC 25.2= ∴m kN 3.2225

.22.50][==BC q ②由AB 梁的强度确定[q]=？

B 截面：（M=0.52qm ）

上边缘：][++≤=σσZ

I My 1 即：68103010

763052.05.0⨯≤⨯⨯-q KN/m 8.8052.05.010*******][8

6=⨯⨯⨯⨯=-上

B q