考研信号与系统公式分类与汇总(最实用版)
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴；在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
信号与系统 典型公式
( t )e
j t
dt 1
F [1] 2 ( )
若f (t ) F ( )则F (t ) 2f ( )即F F (t ) 2 f ( )
(四)尺度变换特性
1 F [ f (at )] F( ) a a
若
t2
t1
f1 ( t ) f 2 ( t )dt 0 (p326式(6-53))
则称f1(t)与f2(t)在区间（t1,t2）上(相互)正交。 对复值函数f1(t)，f2(t)(p329)
f1 ( t ), f 2 ( t )正交 f1 ( t ) f *2 ( t )dt 0
更一般的三角函数形式傅里叶级数（FS）
f (t ) a 0 [a n cos( n 1 t ) b n sin( n 1 t )]
n 1
f (t) c0 cn cos( n1t n ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1 n 1
f(t)的直流分量=其任意周期的直流分量
f(t)=fD(t)+fA(t)，
f(t)的功率=fD(t)的功率+fA(t)功率 三、偶分量与奇分量分解
f(t)=fe(t)+fo(t)
f(t)的功率=fe(t)功率+fo(t)功率 且
f (t ) f ( t ) f（t） e 2
f (t ) f ( t ) f（t） o 2
时域卷积定理 若
F[ f1 (t )] F1 ( )
F[ f2 (t )] F2 ()
则
F[ f1 (t )* f2 (t )] F1 () F2 ()
信号与系统常用变换与知识点汇总
常用傅里叶变换对双边拉普拉斯变换与Z变换性质基本函数的（双边）拉普拉斯变换和（双边）z变换拉普拉斯变换与z变换的收敛域、因果性、稳定性收敛域ROC：对于来说，使得的傅里叶变换收敛；或者的拉普拉斯变换收敛！因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。
稳定性：若输入是有界的，则系统的输出也必须是有界的(输出不能发散)。
单边拉普拉斯变换和z变换性质卷积的性质与卷积对：1、微分性质： ， 是微分器。
推广： 。
2、积分特性：,是积分器。
3、求和特性：4、卷积的时不变：区分的筛选特性：；取样特性：；5、常用卷积对：常用公式及概念：1、欧拉公式：(a); (b); (c)2、复数的表示方法：其中：实部；虚部③其中：的模；相角3、洛必达法则若函数和满足下列条件：（1）或者 ；（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；（3），（可为实数，也可为），则有4、等比数列求和等比数列通式：等比数列求和公式：，()5、有理函数与有理数有理函数：通过多项式的加减乘除得到的函数。
有理数：有理数是一个整数a和一个非零整数b的比。
（有理数是整数和分数的集合，有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
）6、系统的因果性：系统的响应不应出现在激励之前。
系统的响应与未来值有关。
对于线性系统，若是因果系统则满足：时。
一个线性系统的因果性就等效与初始松弛条件。
7、系统的记忆性：系统的响应与过去的输入有关。
如果一个线性时不变系统的单位冲激响应或单位脉冲响应，在或时有或，则该系统是无记忆的。
8、系统的可逆性：对于一个系统，当且仅当存在一个逆系统与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时，这个系统是可逆的。
对于线性时不变系统若是可逆的则必须满足，或。
9、系统的稳定性：对于每一个有界的输入，其输出是有界的。
对于LTI系统稳定的充要条件是：单位脉冲响应是绝对可和或单位冲激响应是绝对可积的。
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f ji dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
信号与系统-公式总结
信号与系统-公式总结信号与系统是电子信息类专业中的一门核心课程，主要研究信号的产生、变换、传输和处理过程，以及系统对信号的响应和处理。
信号与系统的学习需要掌握大量的数学知识和公式，下面就是信号与系统中一些重要的公式总结。
1. 信号的分类和表示：- 狄拉克脉冲函数：δ(t)- 单位阶跃函数：u(t)- 奇函数和偶函数性质：x(t) = x(-t) 和 x(t) = -x(-t)- 周期信号的频率和周期关系：f = 1/T2. 傅里叶变换：- 连续时间傅里叶变换（CTFT）：X(jω)= ∫[−∞,∞]x(t)e^(-jωt)dt- 傅里叶反变换：x(t) = (1/2π) ∫[−∞,∞]X(jω)e^(jωt)dω- 周期信号的傅里叶级数展开：x(t) = ∑[k=−∞,∞]c(k)e^(jωk0t) - 频谱为实数的信号的性质：X(jω) = X*(−jω)3. 拉普拉斯变换：- 连续时间拉普拉斯变换（CTLT）：X(s) = ∫[−∞,∞]x(t)e^(-st)dt- 拉普拉斯反变换：x(t) = (1 / 2πj) ∫[σ-j∞,σ+j∞]X(s)e^(st)ds- 零极点的性质：如果x(t)的拉普拉斯变换X(s)的极点位于左半平面，那么系统是稳定的。
4. Z变换：- 离散时间Z变换（DTZT）：X(z) = ∑[n=−∞,∞]x(n)z^(-n) - Z反变换：x(n) = (1 / 2πj) ∮ X(z)z^(n-1)dz- 零极点的性质：如果X(z)的极点的模都小于1，则系统是稳定的。
5. 系统函数和频率响应：- 系统函数：H(s) = Y(s) / X(s) = L{h(t)}- 系统函数的零极点分解：H(s) = (s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)- 频率响应：H(jω) = |H(jω)|e^(jφ(ω))6. 系统的时域响应和频域响应：- 系统的单位冲激响应：h(t) = L^{-1}{H(s)} 或 h(n) = Z^{-1}{H(z)}- 系统的频域响应：H(s) = ∫[−∞,∞]h(t)e^(-st)dt 或 H(z) =∑[n=−∞,∞]h(n)z^(-n)7. 信号的卷积运算：- 连续时间信号的卷积：y(t) = x(t) * h(t) = ∫[−∞,∞]x(t-τ)h(τ)dτ - 离散时间信号的卷积：y(n) = x(n) * h(n) = ∑[k=-∞,∞]x(k)h(n-k)8. 频域中的乘法和卷积：- 频域乘法：y(t) = x(t)h(t) = x(t) ⊗ h(t)- 频域卷积：y(t) = x(t) * h(t) = X(jω)H(jω)9. 系统的稳定性：- 连续时间系统的稳定性：系统零极点的实部都小于0时，系统是稳定的。
信号与系统公式大全
信号与系统公式大全1.傅里叶变换公式：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dtf(t)=∫F(ω)e^(jωt)dω2.傅里叶级数公式：f(t) = a_0/2 + ∑[a_n*cos(nωt) + b_n*sin(nωt)] a_n = (2/T)∫[f(t)*cos(nωt)]dtb_n = (2/T)∫[f(t)*sin(nωt)]dt3.傅里叶变换与傅里叶级数之间的关系：F(ω)=2π∑[a_n*δ(ω-nω_0)+b_n*δ(ω+nω_0)]a_n=f(nT)/Tb_n=04.系统均方根误差公式：E = √(∫[y(t)-x(t)]^2dt)5.窄带系统的频率响应公式：H(ω)=，H(0)，*e^(jφ)φ=∠H(ω)-∠H(0)6.线性时不变系统的冲激响应公式：h(t)=L^{-1}[H(ω)]7.卷积公式：y(t)=h(t)*x(t)=∫h(τ)x(t-τ)dτ8.卷积定理：F_y(ω)=H(ω)F_x(ω)9.线性时不变系统的输入-输出关系公式：y(t)=x(t)*h(t)10.系统频率响应的幅度与相位关系：H(ω)=，H(ω)，*e^(j∠H(ω))11.奇谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*sin(kωt)]dt12.偶谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*cos(kωt)]dt13.系统频率响应的单位脉冲响应关系：H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt以上是信号与系统中的一些重要公式，这些公式是理解和分析信号与系统的基础。
在学习时，我们可以通过掌握这些公式，理解它们的意义和用途，以便更好地应用在实际问题中。
同时，信号与系统还涉及到很多其他的公式和定理，如采样定理、拉普拉斯变换、Z变换等，这些内容超过1200字无法一一列举。
如果对这些公式有更进一步的了解，推荐阅读相关的教材和参考资料，以便更好地理解信号与系统的知识。
(完整word版)信号与系统(郑君里)复习要点(良心出品必属精品)
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章信号与系统1、信号的分类①连续信号和离散信号②周期信号和非周期信号连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)，离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - ×÷）2.1信号的（+ - ×÷）2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换）3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)例：3.2序列δ(k)和ε(k)f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性)T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t) + f 2(t) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性))0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n ft t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d dd )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t aa at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00at t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δT[{0},{ax 1(0) +bx 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t - t d )] = y f (t - t d )(时不变性质) 直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
信号与系统公式总结
信号与系统公式总结在信号与系统的学习过程中，公式总结是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和掌握知识。
下面将对信号与系统中常见的公式进行总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念公式总结。
1. 信号的分类：连续时间信号，x(t)。
离散时间信号，x[n]2. 基本信号：单位冲激函数，δ(t)或δ[n]阶跃函数，u(t)或u[n]3. 基本性质：奇偶性，x(t) = x(-t)，x[n] = x[-n]周期性，x(t) = x(t+T)，x[n] = x[n+N]二、时域分析公式总结。
1. 基本运算：时移性质，x(t-t0)或x[n-n0]反褶性质，x(-t)或x[-n]放大缩小，Ax(t)或Ax[n]2. 基本运算公式：加法，x1(t) + x2(t)或x1[n] + x2[n]乘法，x1(t)x2(t)或x1[n]x2[n]三、频域分析公式总结。
1. 傅里叶变换：连续时间信号，X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt)dt。
离散时间信号，X(e^jω) = Σx[n]e^(-jωn)。
2. 傅里叶变换性质：线性性质，aX1(ω) + bX2(ω)。
时移性质，x(t-t0)对应X(ω)e^(-jωt0)。
频移性质，x(t)e^(jω0t)对应X(ω-ω0)。
四、系统分析公式总结。
1. 系统性质：线性性，y(t) = ax1(t) + bx2(t)。
时不变性，y(t) = x(t-t0)对应h(t-t0)。
2. 系统时域分析：离散卷积，y[n] = Σx[k]h[n-k]连续卷积，y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ。
3. 系统频域分析：系统函数，H(ω) = Y(ω)/X(ω)。
五、采样定理公式总结。
1. 采样定理：连续信号采样，x(t)对应x[n]，x[n] = x(nT)。
重建滤波器，h(t) = Tsinc(πt/T)。
六、傅里叶级数公式总结。
1. 傅里叶级数：周期信号的傅里叶级数展开。
信号与系统知识要点.
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量： 2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。
⎰∞∞-=t t f E d )(2def3 ① ②4、信号的基本运算1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
5、阶跃函数和冲激函数 （1）单位阶跃信号00()10t u t t <⎧=⎨>⎩0t =是()u t 的跳变点。
（2）单位冲激信号定义：性质：()1()00t dt t t δδ∞-∞⎧=⎪⎨⎪=≠⎩⎰ t1）取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞-∞∞-∞=-=⎰⎰()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=-2）偶函数 ()()t t δδ=-3）尺度变换 ()1()at t aδδ=4）微积分性质 d ()()d u t t tδ= ()d ()t u t δττ-∞=⎰（3）冲激偶 ()t δ'性质： ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰()d ()tt t t δδ-∞'=⎰()()t t δδ''-=- ()d 0t t δ∞-∞'=⎰（4）斜升函数 ()()()d tr t t t εεττ-∞==⎰（5）门函数 ()()()22G t t t τττεε=+--6、系统的特性 （重点：线性和时不变性的判断） （1）线性1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。
信号与系统公式大全
1 f (k ) = 2π
jθ
)e jθk dθ
af1 (t ) + bf 2 (t ) ↔ aF1 ( jω ) + bF2 ( jω ) f (t ± t 0 ) ↔ e ± jωt0 F ( jω )
af1 (k ) + bf 2 (k ) ↔ aF1 (e jθ ) + bF2 (e jθ ) f (k ± m) ↔ e± jθm F (e jθ ) e ± jkθ 0 f (k ) ↔ F (e j (θ θ 0 ) ) f ( k / n) f ( n ) (k ) = ↔ F (e jnθ ) 0 f ( − k ) ↔ F ( e − jθ ) f1 (k ) * f 2 (k ) ↔ F1 (e jθ ) F2 (e jθ ) f1 (k ) f 2 (k ) ↔ 1 2π
a k sin( βk )ε (k )
az sin β z 2 − 2az cos β + a 2
sgn(t )
1
β3
1 2β 3
[ βt − sin( βt )]ε (t )
a k cosh( βk )ε (k )
a k sinh( βk )ε (k )
az sinh β z 2 − 2az cosh β + a 2
∞ f (t ) ↔ F (η )dη s t
∫
f (k ) ↔ zm k+m
F (η )
f (0) = lim F ( z ) , f (1) = lim [ zF ( z ) − zf (0)]
z →∞
F ( jt ) ↔ 2πf (−ω )
∞
f (0 + ) = lim sF ( s ), F ( s ) 为真分式
信号与系统常用公式
常用公式第一章判断周期信号方法两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβπβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性，1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。
2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。
信号的能量 def2()E f t dt +∞-∞=⎰信号的平均功率 def2/2/21lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞-∞=⎰()()()f t t a dt f a δ∞-∞-=⎰()()11()()n n n at t a a δδ=g 001()()t at t t a aδδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞∞=-⎰- ''()()(0)t f t dt f δ∞∞=-⎰-动态系统是线性系统的条件可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x •=•+•=•+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=•+•⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦判断系统时不变、因果、稳定的方法。
信号与系统-公式总结
4复频域微分
5复频域积分
※6时域卷积
※4. 拉普拉斯反变换 ⑴部分分式展开法
复频域，
⑵留数法 留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数各极点上留 数的运算，即
其中 （为一阶极点） 或 （为阶极点）
第四章 Z变换
1. Z变换定义
正变换： 双边：
单边：
2. Z变换收敛域ROC：满足的所有z值
★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★ 右边序列的ROC为 的圆外； ★ 左边序列的ROC为 的圆内； ★ 双边序列的ROC为 的圆环。 ★ 有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；
冲激 脉冲
※※
直流 函数 ※ 冲激 序列
第三章 拉普拉斯变换
1 定义 双边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换 单边变换收敛条件：
拉普拉斯反变换 称为收敛域。
2 常见函数的拉普拉斯变换
公式序号
原函数，
※1
※2
※※3
像函数
频谱图
※※4 ※5 ※6
3 拉普拉斯的基本性质
性质
时域
※※1时间平 移
※2频率频移
※3时域微分
1 差分方程的一般形式
前向差分： 后向差分： 2 卷积法 （1）零输入响应 ：激励时初始状态引起的响应 Step1 特征方程，特征根； Step2 解形式或 ；
Step3 初始条件代入，确定系统； （12）零状态响应 ：初始状态为零时外加激励引起的响应 方法1：时域分析法 方法2：变换域分析法
Step1: 差分方程两边Z变换（注意初始状态为零）； 左移位性质
第六章 第七章 第八章 连续系统时域、频域和复频 域分析
1 线性和非线性、时变和非时变系统判别 （1）线性和非线性 先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
信号与系统公式大全
k en-r+1t nr 1
knr2te0t kntn1e0t t 0
yx(t) e1t[k1 cos(1t) k1' sin(1t)] eit[ki cos(it) ki' sin(it)] t 0
y0(n) 的表达式
y0
(n)
c11n
c22n
ck
n k
y0(n) (c1 c2n cqnq1)1n
A 0
t 0 t0
1. t A ( )d Au(t)
2. A ( ) d [Au(t)] dt
t 0 处可以定义为0, 1 ,1(个别点数值差别不会导致能量的改变) 2
斜坡信号 Ar(t) 性质
Ar(t)
At 0
t 0 t0
1.
t
Au(t)dt
Ar(t)
2.
Au(t)
d dt
[
Ar(t
序列的累加 序列的差分 序列的移位
y(n) x(k) k
一阶前向： x(n) x(n 1) x(n)
一阶后向： x(n) x(n) x(n 1)
单位超前算子： Ek x(n) x(n k)
单位延迟算子： Ek x(n) x(n k)
十.信号的分解
○1 直流分量与交流分量
f (t) fD fA(t)
交换率 分配率 结合率
f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t) f2(t) f1(t) f3(t) [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t)[ f2(t) f3(t)]
奇异信号卷积特性
单位元特性 f (t) (t) f (t)
判断方法：先线性运算，后经系统的结果=先经系统，后线性运算的结果
考研《信号与系统》考研重点考点归纳
考研《信号与系统》考研重点考点归纳第1章信号与系统1.1考点归纳一、信号的描述及分类1．信号的定义信号是指消息的表现形式与传送载体。
2．信号的分类及特性（1）确定信号与随机信号确定信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。
随机信号：具有不可预知的不确定性信号。
实际中的信号绝大部分都是随机信号。
（2）连续信号与离散信号连续信号：在定义的时间区域内任意时间点上都有定义的信号。
离散信号：只在某些不连续时间值上给定函数值的信号。
（3）周期信号与非周期信号周期信号：=，n∈Z非周期信号：≠，n∈Z（4）奇信号与偶信号偶信号：或。
奇信号：或。
任何信号=一个偶信号＋一个奇信号，其中偶部和奇部分别为：（5）功率信号与能量信号功率信号：信号平均功率为非零的有限值。
能量信号：信号总能量为非零的有限值。
3．信号的能量与功率表1-1 能量与功率计算公式说明：（1）总能量有限的信号，平均功率为零；（2）平均功率有限的信号，能量无穷大。
二、信号的运算1．信号的相加与相乘同一时刻两信号之值对应相加减乘：或2．信号的延时信号延时后的信号：式中，＞0，波形在保持信号形状不变的同时，右移的距离；＜0则向左移动。
3．信号的反褶与尺度变换（1）信号的反褶形式：，波形对称于纵坐标轴的反褶。
（2）信号的尺度变换形式：，有以下规则：①，波形为的波形在时间轴上压缩为原来的；②，波形为的波形在时间轴上扩展为原来的。
③，波形为的波形反转并压缩或展宽至。
4．形如的波形变换（1）先向右（左）平移b个单位，再在此基础上压缩或扩展原来的；（2）先压缩或扩展原来的，再向右（左）平移个单位。
三、指数信号与正弦信号1．连续时间复指数信号与正弦信号连续时间复指数信号具有如下形式：其中C和α一般为复数。
（1）实指数信号实指数信号：C和α都是实数的x（t）。
α的正负对波形的影响：①若α是正实数，x（t）随t的增加而呈指数增长；②若α是负实数，x（t）随t的增加而呈指数衰减。
信号与系统常用公式汇总_
信号与系统常用公式汇总_1.傅里叶级数公式：信号x(t)的周期为T时，它的傅里叶级数展开式为：x(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))，其中n为整数，ω0 = 2π/T，an和bn为傅里叶系数。
2.傅里叶变换公式：连续时间信号x(t)的傅里叶变换为：X(ω) = ∫( -∞到+∞ ) x(t)*e^(-jωt)dt。
3.逆傅里叶变换公式：连续频率信号X(ω)的逆傅里叶变换为：x(t)=(1/2π)*∫(-∞到+∞)X(ω)*e^(jωt)dω。
4.傅里叶变换对称性：X(-ω)=X(ω)*，即傅里叶变换对称于原点。
5.卷积定理：连续时间卷积的傅里叶变换等于信号的傅里叶变换之积，即：x(t)*h(t)的傅里叶变换为X(ω)*H(ω)。
6.系统频率响应：系统的频率响应H(ω)是指系统对频率为ω的输入信号的增益和相位的影响。
7.系统单位冲激响应：系统对单位冲激信号δ(t)的响应称为系统的单位冲激响应h(t)。
8.系统的冲激响应和频率响应的关系：系统的冲激响应h(t)和频率响应H(ω)满足傅里叶变换的关系：H(ω) = ∫( -∞到+∞ ) h(t)*e^(-jωt)dt。
9.系统的传递函数：系统的传递函数H(ω)是频率响应H(ω)的傅里叶变换。
10.系统的单位阶跃响应：系统对单位阶跃信号u(t)的响应称为系统的单位阶跃响应s(t)。
11.傅里叶变换的线性性质：对于信号x(t)和y(t)和常数a和b，有以下性质：a*x(t)+b*y(t)的傅里叶变换为a*X(ω)+b*Y(ω)。
12.傅里叶变换的时移性质：对于信号x(t)，有以下性质：x(t-t0)的傅里叶变换为e^(-jωt0)*X(ω)。
13.周期信号的傅里叶变换：周期信号x(t)的傅里叶变换可以通过傅里叶级数的频谱乘以δ函数的序列得到。
14.采样定理：若连续时间信号x(t)的带宽为BHz，则它的采样频率应大于2BHz，以避免采样失真。
信号与系统_复习知识总结
重难点1。
信号的概念与分类按所具有的时间特性划分:确定信号和随机信号; 连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；因果信号与反因果信号;正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。
其周期为各个周期的最小公倍数.①连续正弦信号一定是周期信号。
②两连续周期信号之和不一定是周期信号。
周期信号是功率信号。
除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或的非周期信号就是能量信号,当，的非周期信号是功率信号。
1.典型信号①指数信号：,②正弦信号:③复指数信号：,④抽样信号：奇异信号（1）单位阶跃信号是的跳变点。
（2）单位冲激信号（当时）单位冲激信号的性质：(1）取样性相乘性质：（2）是偶函数（3）比例性（4)微积分性质;(5）冲激偶；；带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激.重难点2.信号的时域运算①移位：，为常数当>0时，相当于波形在轴上左移；当〈0时, 相当于波形在轴上右移。
②反褶：的波形相当于将以=0为轴反褶。
③尺度变换：,为常数当〉1时，的波形时将的波形在时间轴上压缩为原来的；当0<〈1时，的波形在时间轴上扩展为原来的。
④微分运算：信号经微分运算后会突出其变化部分。
2.系统的分类根据其数学模型的差异，可将系统划分为不同的类型:连续时间系统与离散时间系统；线性系统与非线性系统;时变系统与时不变系统；重难点3。
系统的特性（1）线性性若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性。
当激励为（、分别为常数时)，系统的响应为.线性系统具有分解特性：零输入响应是初始值的线性函数，零状态响应是输入信号的线性函数,但全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数。
（2）时不变性 :对于时不变系统，当激励为时，响应为。
（3）因果性线性非时变系统具有微分特性、积分特性。
重难点4.系统的全响应可按三种方式分解:各响应分量的关系：重难点5。
信号与系统公式总结
信号与系统公式总结信号与系统是电子信息类专业中非常重要的一门课程，它是基于数学和工程学原理的理论与实践的结合。
信号与系统公式总结作为这门课程的核心内容，在学习和应用中起着重要的作用。
下面将对信号与系统中的常用公式进行总结，以供参考。
一、信号及其表示公式1. 常数信号: x(t) = A (常数值 A)2. 常函数信号: x(t) = A, t∈[t1, t2]，否则 x(t)=0，其中 t1<t<t23. 正弦信号: x(t) = A*sin(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位4. 余弦信号: x(t) = A*cos(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位5. 单位阶跃信号: u(t) = 1，t≥0，否则 u(t) = 06. 单位冲激信号: δ(t) = 0，t≠0，否则δ(t) = ∞二、信号运算公式1. 平移公式: y(t) = x(t-T) (平移单位为 T，右移 T 为正，左移 T 为负)2. 缩放公式: y(t) = A*x(a*t) (缩放比例为 a，若 a>1，信号变化幅度增大；若0<a<1，信号变化幅度减小)3. 均值公式: RMS = sqrt((1/T)*∫(x(t)^2)dt) (T为时间区间，x(t)为信号函数)4. 线性运算公式: y(t) = a*x(t) + b*y(t) (y(t)表示输出信号，x(t)表示输入信号，a和b为常数)5. 卷积公式: y(t) = ∫[x(τ)*h(t-τ)]dτ (卷积公式是时间域中输入信号和系统响应的乘积积分，表示系统的输出)三、系统性质与稳定性公式1. 线性性质: L(a*x1(t)+b*x2(t)) = a*L(x1(t)) + b*L(x2(t)) (x1(t)和x2(t)为输入信号，a和b为常数，L()表示对信号进行线性处理)2. 时不变性质: 若输入信号延时 T 后输出信号也延时 T，即 y(t) = L{x(t)}，则 y(t-T) = L{x(t-T)}3. 稳定性性质: 若输入信号 x(t) 有界，输出信号 y(t) 也有界，则系统是稳定的。
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S域 微分 时域 积分 S域 积分
tf (t) (−t)n f (t) ↔ − F ′(s) d n F (s) ds n
∫t f (x)dx ↔ F (s) + f (−1) (0− )
−∞
s
s
∫ f (t) ↔
∞
F (η)dη
t
s
频移
尺度 变换 反转 时域 卷积
时域 差分
Z域 微分 部分 求和 Z域 积分
频域 卷积 时域 差分 频域 微分 时域 累加
∫ f1 (k )
f 2 (k )
↔
1 2π
2π F1(e jψ )F2 (e j(ψ −θ ) )dψ
f (k) − f (k −1) ↔ (1− e jθ )F (e jθ )
kf (k) ↔ j dF (e jθ ) dθ
∑ ∑ ∞ f (k)
k =−∞
af1 (k) + bf 2 (k) ↔ aF1 (z) + bF2 (z)
时移
f (t ± t0 ) ↔ e±st0 F (s)
时移
f (k ± m) ↔ z ±m F (z) （双边）
离散傅里叶变换
∞
∑ F (e jθ ) = f (k)e− jθk k =−∞
∫ f (k) = 1 F (e jθ )e jθkdθ
连续傅里叶变换
∫ F ( jω) = ∞ f (t)e − jωt dt −∞
∫ f (t) = 1 ∞ F ( jω)e jωt dω 2π −∞
线性 时移
af1(t) + bf2 (t) ↔ aF1( jω) + bF2 ( jω) f (t ± t0 ) ↔ e± jωt0 F ( jω)
信号与系统公式性质一览表
−∞
2π −∞
初值
f
(0
+
)
=
lim
s→∞
sF
(
s),
F
(s)
为真分式
初值
终值
f (∞) = lim sF (s), s = 0 在收敛域内
s→0
终值
f (M ) = lim z M F (z) （右边信号）, f (M + 1) = lim [z M +1F (z) − zf (M )
z→∞
z→∞
tf (t) (− jt)n f (t) ↔ j dF ( jω) d n F ( jω)
dω
dω n
∫t f (x)dx, f (−∞) = 0 ↔ F ( jω) + πF (0)δ (ω)
−∞
jω
∫ πf (0)t +
f (t)
↔
ω
F ( jτ )dτ , F (−∞) = 0
(− jt) −∞
1 2πδ (ω)
δ ′(t) δ (n) (t)
jω ( jω)n
ε (t)
tε (t)
e−αtε (t) te−αtε (t),α > 0 cos(ω0t) sin(ω0t) 1 t
|t |
1 + πδ (ω) jω
连续拉普拉斯变换(单边)
∫ F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0−
∫ f (t) = 1
σ
+
j∞
F
(s)e
st
ds
2πj σ − j∞
离散 Z 变换(单边)
∞
∑ F (z) = f (k)z −k k =0
∫ f (k) = 1 F (z)z k−1dz, k ≥ 0
2πj L
线性 af1(t) + bf 2 (t) ↔ aF1(s) + bF2 (s) 线性
2π 2π
线性
af1(k) + bf2 (k) ↔ aF1(e jθ ) + bF2(e jθ )
时移
f (k ± m) ↔ e± jθmF (e jθ )
频移
尺度 变换 反转 时域 卷积 频域 卷积 时域 微分 频域 微分 时域 积分 频域 积分
e± jω0t f (t) ↔ F ( j(ω ∓ ω0 ))
频移
尺度 变换 反转 时域 卷积
e±s0t f (t) ↔ F (s ∓ s0 )
f (at + b) ↔
1
e
b a
s
F
(
s
)
|a|
a
f (−t) ↔ F (−s)
f1(t) * f2 (t) ↔ F1(s)F2 (s)
时域 微分
f ′(t) ↔ sF (s) − f (0− ) f ′′(t) ↔ s 2 F (s) − sy(0− ) − y′(0− )
kf (k) ↔ −z dF (z) dz
∑ f (k) *ε (k) =
k
f (i) ↔
z
i = −∞
z −1
∫ f (k)
k+m
↔ zm
∞ z
F (η ) η m+1
dη
尺度 变换 反转 时域 卷积
f
(n)
(k
)
=
⎧f ⎩⎨0
(k
/
n)
↔
F
(e
jnθ
)
f (−k) ↔ F (e− jθ )
f1(k) * f2 (k) ↔ F1(e jθ )F2 (e jθ )
f (∞) = lim(z −1)F (z) （右边信号）
z→1
帕斯 瓦尔
∑ ∫ ∞ | f (k) |2 = 1 | F (e jθ ) |2 dθ
k = −∞
2π 2π
连续傅里叶变换对
∫ F ( jω) = ∞ f (t)e− jωt dt −∞
函数
f (t)
傅里叶变换 F ( jω)
δ (t) 1
e± jω0k f (k) ↔ F (e∓ jω0 z) （尺度变换） 频移
e± jkθ0 f (k ) ↔ F (e j(θ ∓θ0 ) )
ak f (k) ↔ F( z ) a
f (−k) ↔ F (z−1) （仅限双边）
f1(t) * f2(t) ↔ F1(z)F2(z)
f (k −1) ↔ z−1F (z) + f (−1) f (k − 2) ↔ z−2F (z) + z−1 f (−1) + f (−2) f (k + 1) ↔ zF (z) − zf (0) f (k + 2) ↔ z2F (z) − z2 f (0) − zf (1)
↔
F (e jθ ) 1 − e jθ
∞
+ πF (e j0 ) δ (θ
k =−∞
− 2πk)
f (0) = lim F (z) , f (1) = lim [zF (z) − zf (0)]
z→∞
z→∞Βιβλιοθήκη 对称帕斯 瓦尔F ( jt) ↔ 2πf (−ω)
∫ ∫ E = ∞ | f (t) |2dt = 1 ∞ | F ( jω) |2 dω
f (at + b) ↔
1
e
j
bω a
F
(
j
ω
)
|a|
a
f (−t) ↔ F (− jω)
f1(t) * f2 (t) ↔ F1( jω)F2 ( jω)
f1(t) f2 (t)
↔
1 2π
F1 (
jω) * F2 (
jω)
f ′(t) f (n) (t) ↔ jωF ( jω) ( jω)n F ( jω)