积化和差 和差化积 倍角公式 半角公式

1.积化和差公式

证明方法:用和(差)角公式将右边展开即得公式.

积化和差公式记忆口诀

积化和差角加减,二分之一排前边

正余积化正弦和,余正积化正弦差

余弦积化余弦和,正弦积化负余差

2.和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】

和差化积公式记忆口诀

和差化积2排前,半角加减放右边

正弦和化正余积,正弦差化余正积

余弦和化余弦积,余弦差化负正积。

以上四组公式可以由积化和差公式推导得到

证明过程

sin α+sin β=2sin[（α+β）/2]·cos[（α-β）/2]的证明过程因为

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，

设α+β=θ，α-β=φ

那么

α=（θ+φ）/2，β=（θ-φ）/2

把α，β的值代入，即得

sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[(θ-φ）/2]

正切的和差化积

tanα±tanβ=sin（α±β）/(cosα·cosβ）（附证明）

cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ）

tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ）

tanα-cotβ=-cos（α+β）/(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

=(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ）

=sin（α±β）/(cosα·cosβ）=右边

∴等式成立

3.半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))

tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))

ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))