秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性分析

-
-
T
- N 2 ) A Pl = O
T
m
T
M=
N m1 A Pl - N m2 A Pl = O
T
24 M
-1
勘 1 6 3 1 2 = = 27 3 6 9 1
-
察
科
学 故
技
术 X = N m1 A l = X = N m2 A l =
T T
2011 年第 1 期 2 0 - 2 2 0 - 2
n 1
下, 在经典平差基础上发展起来的秩亏自由网平差、 最小二乘滤波、 推估和配置( 拟合推估) 、 具有奇异协 方差阵的平差等方法, 一般称其为现代最小二乘平 差方法。 如果将网中全部点的坐标作为平差参数, 列出
基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( 40774010) ; 江 苏省自然科 学基金 ( BK2009099) 。 作者简介 : 王 帅 ( 1985- ) , 男 , 硕士研究生 , 主要从事大地 测量与测 量工程的研究工作。 收稿日期 : 2010- 08- 05
最小范数逆并不唯一, 但不论哪个最小范数逆代入
X 2 = N m 2 A Pl
-
T
因为最小范数逆满足下列两个方程 : NN N = N ( N N) 所以 N = ( NN N ) = ( N N ) N = N NN N 即
m
1
m
T
= N N
m T T m T T
m
T
m
T
NN = N ,
-
T
T
N
m
m
1
6 - 3 - 3 - 3 6 - 3 - 3 - 3 6
为验证不同最小范数逆得出相同的最小范数解, 用 两种方法计算( NN ) 从而得出两个不同的 N m 。 1) 因 R ( N ) = 2, R ( NN ) = 2, 在 NN 中取左上 角二阶行列式不为零的子阵并求逆得 - 3 , - 3 6 6
2 0 1,2 1
1
前言
在线性模型 L = BX + D = E(
2 0
) = 0 P
-1
( 1) ( 2)
V = B^ x- l
( 3)
Q=
式中的 B 产生列亏, 列亏数为 d 。这种没有足够起 始数据的平差问题, 就是 20 世纪 70 年代发展起来 的秩亏自由网平差问题。 秩亏自由网平差 的函数模型和随机模型仍是 ( 1) 、 ( 2) 式, 其误差方程为
自由 网平差的直接解法 , 然后提出了最小范数逆不唯一而 最小范数解唯一的特性 , 并对该唯一 性进行了 证明 , 最 后 通过对水准网进行解算 , 验证了该唯一性的正确 性。 关键词 秩亏自由网平差 最小范数解 唯一性
Analysis of Uniqueness of Minimum Norm Solution in Rank Deficient Free Network Adjustment
m T
图 1 水准网
( 6) 解 : 取各点近似高程为 H 1 = 0, H 2 = 12. 345m, H 3 = 15. 823m 误差方程为 v1 v2 = v3 法方程为 - 1 0 1 1 - 1 0 0 1 - 1 x1 x2 = x3 x1 x2 x3 6 0 - 6 0 0 6
0 0 0
2
NN = N
T
2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 NN = 2
( N m 1 - N m 2 ) NN = O
T T
T
两边右乘 ( N m 1 - N m2 )
-
得
T -
( N m 1 - N m2 ) NN ( N m1 - N m 2 ) = O 上式成立 , 必须 ( N m 1 - N m2 ) N = O 右乘任意解向量 Y, 得 ( N m 1 - N m2 ) NY = O 因为 NY = A Pl , 故有 (N
T T
2011 年第 1 期 穷多组解。
勘 察
科
学
技
术 N m 1 A Pl = N m2 A Pl
T T
23
所以 数解唯一。
不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要 的起算数据的个数。即有 : d = 1, 水准网 3, 测边网, 边角网, 导线网 4, 测角网 在控制网秩亏的情况下, 法方程有解但不唯一。 也就是说仅满足最小二乘准则 , 仍无法求得 ^ x 的唯 一解, 这就是秩亏 网平差与经典平 差的根本区别。 为求得唯一解, 还必须增加新的约束条件, 来达到求 唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二 乘 V PV= min 和最小范数 ^ x^ x = min 的条件下 , 求 参数一组最佳估值的平差方法。
1 陶本藻 . 自由网平差 与变形 分析 . 武汉 : 武 汉测绘 科技 大 学出版社 , 2001 2 崔希璋 , 於宗俦 , 陶本藻 , 等 . 广义测量平 差 . 武 汉 : 武汉 大 学出版社 , 2009 3 武汉大学测绘学 院测量 平差学 科组 . 误差 理论与 测量 平 差基础 . 武汉 : 武汉大学出版社 , 2003 4 黄维彬 . 近代 平 差理 论及 其 应用 . 北 京 : 解 放军 出 版社 , 1992 5 香铁定 , 周世 健 , 官 云兰 , 等 . 秩亏 自由 网 的一 种直 接 解 法 . 矿山测量 , 2001, ( 2) : 41~ 43 6 张书毕 , 单世坤 , 王坚 . 秩亏自由网逐次平差及 其应用 . 测 绘通报 , 2001, ( 8) : 26~ 28
Wang Shuai Gao Jingxiang ( 1. Jiangsu Key Laboratory of Resources and Environmental Information Engineering, China University of Mining and Technology 2. Key Laboratory for Land Environment and Disaster Monitoring of SBSM, China University of Mining and Technology) Abstract To analyze the uniqueness of minimum norm solut ion in rank deficient free network adjustment, this article first introduces the principle of rank deficient free network adjustment, a direct method of rank defect free net adjustment is given, then proposes the characterist ics of minimum norm inverse is not unique, but mini mum norm solution unique, and the uniqueness is proved. Finally, through the solution of leveling network, the correctness of uniqueness is verified. Keywords rank deficient free network adjustment; minimum norm solution; uniqueness 误差方程 , 此时的坐标参数个数比间接平差相应参 数多了 d 个, d 就是间接平差中必要起始数据的个 数。在这种情况下 , 误差方程为 ,
T
6 - 3 - 3 6 - 3 - 3 1 0 - 1
则
0 1 - 1 使 R ( B ) = R ( C ) = R ( NN ) = 2。 B
-1 L
C=
= ( B B)
T
-1
1 9 0 - 9 B = 81 0 9 - 9
T -1
C R = C ( CC ) 于是 ( NN ) = C B
-1 R - 1 L
22
勘
察
科
学
技
术
2011 年第 1 期
秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性分析
王 帅
1, 2
高井祥
1
( 1. 中国矿业大学 江苏省资源环境信息工程重点实验室 2. 中国矿业大学国土环 境与灾害监测国家测绘局重点实验室
江苏 徐州 江苏 徐州
221116 221116)
提 要
为分 析秩亏自由网平差最小范数解的唯一性 , 该文 首先介 绍了秩亏 自由网 平差方 法的原 理 , 给 出了秩 亏
V = nBu u^ x 1 - n l1
( 4)
式中 u 为网中全部点坐标参数的个数, 系数阵的秩 R ( B ) = t < u , 秩亏数 d = u - t , 按最小二乘原理, V PV= min, P 为非奇异 , 所得法方程为 N^ x= W W= B PB, R ( N ) = t < u , N 奇异 , 法方程具有无
2
秩亏自由网的直接解法
根据广义逆理论 , N^ x - W = 0 虽然有无穷多组
解, 但它有唯一的最小范数解 , 即: xr = N m W ^ 式中 N
- 1 m -1
( 5)
= N ( NN )
T
T
-
为矩阵 N 的最 小范数逆。
T T -
代入 ( 5) 式得 : x r = N ( NN ) W ^ 公式 ( 5) , 其最小范数解却是唯一的。 下面对最小范数解的唯一性给出了证明: 设有 两个最小范数逆 N m 1 和 N m2 , 相应的最小范数解为 X1 = N m1 A Pl ,
-1
T
T
- 1 1 = - 1 2 3 - 1 wk.baidu.com 1
2
2 - 1 - 1 1 = - 1 2 - 1 27 - 1 - 1 2
N
m
2
2 - 1 - 1 1 = N ( NN ) = - 1 2 - 1 9 - 1 - 1 2
-
( 上接第 21 页 ) 参考文献
1 彭伟 , 吴剑锋 , 吴 吉春 . NPGA - GW 在地 下水系 统多 目标 优化管理中 的应用 . 高校地质学报 , 2008, 14( 4) : 631~ 636 2 Tan C C, Tung C P, Chen C H. An integrated optimization al gorithm for parameter structure identification in groundwater modeling. Advances in Water Resources, 2008, 31( 3) : 545~ 560 3 McKinney D C, L in M D. Genetic algorithm solution of ground water management problems. Water Resources Research, 1994, 30( 6) : 1897~ 1906 4 Zheng C, Wang P P. A field demonstration of the simulation optimization approach for remediation system design. Ground Water, 2002, 40 ( 3) : 258~ 265 5 邵 景力 , 魏加 华 , 崔亚 莉 , 等 . 用 遗传 算法 求解 地下 水资 源管理 模 型 . 地 球 科 学 中 国 地 质 大 学 学 报 , 1998, 23 ( 5) : 532~ 536 6 吴剑锋 , 朱学愚 , 刘建立 . 基于 遗传算法 的模拟退火 罚函 数方法 求解地下水 管理模型 . 中国 科学 ( E 辑 ) , 1999, 29 ( 5) : 474~ 480
T T
1 2
于是
( NN ) =
29 1 9 0 19 2 9 0 0 0 1 0 0 0
可见两者结果相同。
4
结语
N m1 = N ( NN ) 2) 令 NN = BC , 取 B=
-
-
1 = 3
0 1 0 - 1 - 1 0
在秩亏自由网中, 如果像经典平差那样, 只要求 遵循最小二乘原则求未知参数的解, 将不可能取得 唯一确定的估计量。为了确定唯一的估计量 , 需要 在遵循平差基本原则 最小二乘原则基础上附加 另外条件, 这个条件就是最小范数条件, 即它保证了 所求得的未知参数的估计量是最优的。满足最小范 数条件的最小范数逆并不是唯一的, 但不论哪个最 小范数逆代入 X = N m A Pl 中 , 其最小范数解都是 唯一的。 参考文献
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可见, 最小范数解不因最小范数逆不同而异, 最小范
3
实例验证
如图 1 水准网 , A 、 B、 C 点全为待定点 , 同精度 独立高差观测值测得如下: h 1 = 12. 345m, h 2 = 3. 478m, h 3 = - 15. 817m 平差时选取 A 、 B、 C 三个待定点的高程平差值为未 知参数 X ^ 1、 X ^ 2、 X ^ 3 , 求解参数的平差值。