石墨烯电子的能带和狄拉克方程(三)
掺杂石墨烯狄拉克点
掺杂石墨烯狄拉克点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：掺杂石墨烯狄拉克点，是指在石墨烯结构中引入杂质原子，从而在石墨烯的能带中形成狄拉克点的现象。
石墨烯自2004年被首次成功制备以来，由于其优异的电子输运性能和独特的二维结构，在纳米材料领域引起了广泛的研究兴趣。
而通过掺杂石墨烯狄拉克点，可以调控石墨烯的电子性质，进而拓展其在电子器件、传感器和催化等领域的应用。
在石墨烯的晶格结构中，碳原子是以六边形的形式排列，在其正常晶格中，每个碳原子都有四个共价键。
而在掺杂石墨烯中，杂质原子的加入会破坏石墨烯的原有晶格结构，使得部分碳原子失去原子间的共价键连接，形成缺陷结构。
这些缺陷结构可以通过不同的掺杂方式来引入，例如N、B、S、P 等元素原子的掺杂，或者通过辐照、化学氧化等方法来形成。
通过引入这些缺陷结构，石墨烯的晶体结构中会出现额外的能级，形成所谓的狄拉克点。
狄拉克点是一种特殊的能带结构，具有线性色散关系，其带隙为零。
狄拉克点周围的载流子表现出类似于相对论性粒子的行为，具有高速度和长寿命等特点。
这使得狄拉克点成为了研究石墨烯电子特性的重要研究对象。
除了通过掺杂来形成狄拉克点，还可以通过外界的局域电场、应变、拓扑结构等方式来调控石墨烯的能带结构，进而实现对狄拉克点的控制。
这为石墨烯在电子学、光电子学、磁电子学等领域的应用提供了新的可能性。
掺杂石墨烯狄拉克点的研究不仅可以揭示石墨烯的电子性质，还可以为新型电子器件的设计和研发提供重要的理论支持。
在传感器方面，通过在石墨烯中掺杂特定的杂质可以调控其电荷传输性质，从而实现对气体、生物分子等的敏感检测。
在催化方面，狄拉克点的存在可以促进催化反应的进行，提高催化活性和选择性，为环境保护和能源开发提供新的途径。
掺杂石墨烯狄拉克点的研究具有重要的理论和应用意义，为纳米材料领域的发展带来新的机遇和挑战。
随着对石墨烯电子性质和狄拉克点行为的深入研究，相信这一领域将会有更多的突破和发展，为我们带来更多的科学发现和技术创新。
石墨烯的能带结构
石墨烯的能带结构
石墨烯是一个二维的单层碳原子晶体，其能带结构与三维晶体不同。
石墨烯的能带结构是一个简单的线性结构，其中存在两个无色散的Dirac点。
在石墨烯中，每个碳原子有三个近邻碳原子，它们在二维平面上形成一个六边形格子。
由于局部电子结构的共价键成键能达到几电子伏特(eV)级别，而高能电子或光子的能量竞相达到几百电子伏特级别，因此大部分情况下，我们只需要关注石墨烯最外层的价带和导带。
石墨烯的费米面在K点处与价带相交，这个交点是双价带结构中的能源极值点，称为Dirac点。
由于石墨烯的晶格结构以及碳原子的π轨道特性，这个点出现在唯一的两个对称点处，即K点和K'点。
在K点和K'点处，碳原子的高度对称性使得石墨烯中的电荷载流子表现出线性色散关系。
通过改变能带结构的形状和尺寸，可以调节石墨烯的电学性质，实现对电子传输的控制。
总之，石墨烯的能带结构具有独特的线性结构，其中包含两个无色散的Dirac点。
这种结构赋予了石墨烯优异的电学和热学性质，使其成为当今材料科学研究中的热点。
石墨烯中的二维无质量狄拉克费米子气
石墨烯中的二维无质量狄拉克费米子气量子电动力学(量子力学和相对论结合的产物)已经给出了各种现象的清晰的解释，涉及从粒子物理学到宇宙学和从天体物理学到量子化学的领域。
以量子电动力学为基础的思想也影响了凝聚态理论，但是在已有的实验系统中,量子相对论效应通常是极小的，它们都可以用非相对论薛定谔方程精确地描述。
这里我们报道一种由狄拉克(相对论)方程描述其电子输运的凝聚态系统(石墨烯,即碳单原子层)的实验研究。
石墨烯中的载流子相当于静止质量为零的相对论粒子，并且具有等效光速c*≈106ms-1。
我们的研究揭示了二维狄拉克费米子特有的现象。
特别地，我们还观察到了如下现象：第一，石墨烯的电导率从没有低于一个最小值，即使载流子的浓度趋近于零，这个最小值相当于电导率的量子单元；第二，石墨烯中的整数量子霍尔效应发生反常，其填充因子是半整数；第三，石墨烯中无质量的载流子的回旋质量m c由方程E=m c c*2描述。
此二维系统不仅其本身相当有趣，它还使我们从实验平台上进入微妙丰富的量子电动力学的物理世界。
石墨烯是碳原子以密排蜂窝状晶体结构排列的单层，它可以看作是从石墨中抽取的一个单独的原子平面，或者是展平的单壁碳纳米管，也可以是一个巨大平坦的富勒烯分子。
这种材料曾被认为不会以自由状态存在，直到最近才从实验上进行研究。
我们采用文献6中描述的原创过程得到了石墨烯样品，涉及到对石墨的微机械分裂，接着结合使用光学显微镜、扫描电子显微镜和原子力显微镜鉴定和选择单层石墨烯。
将选择的石墨烯薄膜进一步加工成多端器件，如图1中所示，接着进行标准微细加工。
尽管只有一个原子厚度，也没有与环境隔离，我们的石墨烯器件在环境条件下很稳定，并且载流子显示出高迁移率。
下面我们集中讨论理想(单层)石墨烯的物理性质，与超薄的石墨薄膜(它是半金属，最近其性质也得到了研究)甚至由两层石墨烯组成的器件相比，它具有不同的电子结构，从本质上显示出不同的性质。
图1显示了石墨烯的电场效应。
基于石墨烯超表面的效率可调太赫兹聚焦透镜
DOI: 10.12086/oee.2021.200319基于石墨烯超表面的效率可调太赫兹聚焦透镜王俊瑶，樊俊鹏，舒 好，刘 畅，程用志*武汉科技大学信息科学与工程学院，湖北 武汉 430081摘要：本文提出了一种基于石墨烯超表面的效率可调太赫兹聚焦透镜。
该超表面单元结构由两层对称的圆形镂空石墨烯和中间介质层组成，其中镂空圆形中间由长方形石墨烯片连接。
该结构可实现偏振转换，入射到超表面的圆偏振波将以其正交的形式出射，如左旋圆到右旋圆偏振转换。
利用几何相位原理，通过旋转长方形条的方向，透射波会携带额外的附加相位并能满足2π范围内覆盖。
合适地排列石墨烯超表面的单元结构，以实现太赫兹聚焦透镜。
仿真结果表明：通过改变石墨烯的费米能级，可以对超表面圆偏振转换幅度进行调节，进而超透镜的聚焦效率也可以动态调节。
因此，这种基于石墨烯超表面的效率可调聚焦透镜不用改变单元结构的尺寸，只需通过改变费米能级便可实现，可以广泛地应用到能量收集、成像等太赫兹应用领域。
关键词：超表面；聚焦透镜；石墨烯；太赫兹中图分类号：TH74；TQ127.11 文献标志码：A王俊瑶，樊俊鹏，舒好，等. 基于石墨烯超表面的效率可调太赫兹聚焦透镜[J]. 光电工程，2021，48(4): 200319Wang J Y , Fan J P , Shu H, et al. Efficiency-tunable terahertz focusing lens based on graphene metasurface[J]. Opto-Electron Eng , 2021, 48(4): 200319Efficiency-tunable terahertz focusing lens based on graphene metasurfaceWang Junyao, Fan Junpeng, Shu Hao, Liu Chang, Cheng Yongzhi *School of Information Science and Engineering, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan, Hubei 430081, China Abstract: This paper proposes an efficiency-tunable terahertz focusing lens based on the graphene metasurface. The unit cell is composed of two symmetrical circular graphene hollows and an intermediate dielectric layer, wherein the hollow circular middle is connected by a rectangular graphene sheet. This structure can realize polarization conversion, for example, when an incidence with left-hand circular polarization emitted on the metasurface the po-larization of the transmitted light is right-hand circular polarization. According to the principle of geometric phase, by rotating the direction of the rectangular bar, the transmitted wave will carry an additional phase and can cover the range of 2π. An THz focusing lens can be realized by properly arranging the unit structure of the graphene metasurface. The simulation results show that the conversion amplitude of circular polarized light can be adjusted by changing the Fermi level of graphene, and the focusing efficiency of the metalens can also be dynamically adjusted.LCPRCP(cross-polarization)xy zV g——————————————————收稿日期：2020-08-27； 收到修改稿日期：2020-10-26基金项目：湖北省教育厅科技研究计划重点项目(D2*******)；武汉科技大学研究生创新基金项目(JCX201959)；大学生创新基金项目资助课题(20ZA083)作者简介：王俊瑶(2000-)，女，主要从事电子科学与技术专业。
石墨烯电子的能带和狄拉克方程(二)
（1）石墨烯电子狄拉克方程之数理演绎 （2015年5月1日）作者： 北京东之星应用物理研究所伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师）1. 量子场论中狄拉克方程的引出非相对论量子力学中，速度c v <<的自由粒子运动状态ψ由薛定谔方程描述（自然单位1==c ）：从能量-动量色散关系mp E 22=，对应算符变换：tiE ∂∂>- ∇->-i p容易导出自由粒子薛定谔波动方程：ψ∇-=ψ∂∂mt 2i 2 当c v ~，粒子服从相对论量子力学能量-动量色散关系222m p E+= , 由上述算符对应关系可建立场ψ 的克莱因-戈登（Klein-Gordon ）相对论波动方程,又称KG 方程：ψ=ψ∂∂-∇2222)t(m （2）或 0)(22=ψ-m 口其中， 2222t ∂∂-∇=口狄拉克凭借理论直觉，对（2）两端做形式开方，以维持算符线性化（对t 二次微商会导致负几率困难）得到：ψ+∇⋅-=ψ∂∂)(i m i t βα , m i H βα+∇⋅-=（3） 这就是三维自由粒子的狄拉克方程（Dirac equation ）。
态函数ψ是函数空间和4维自旋空间的直积空间中的矢量，比例参量α，β的形式和性质如是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00jj j σσα )3,2,1(=j , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=I I 00β ，其中I 为2X2单位矩阵， 三个泡利矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01101σ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=002i i σ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10013σ（4） 易证：122i==βα,i αα=+i ,ββ=+0},{=+≡i j j i j i αααααα j i ≠ 0},{=βαi引入：⎩⎨⎧=-==βγβαγ4jj i)3,2,1(=j 可将狄拉克方程（3）写成四维形式：)(=ψ+∂m μμγ4,3,2,1=μ（5）这里),(),,,(432,1it x x x x x x==μ，μμx ∂∂≡∂证明(3),(5)的一致性如下： 方程(3)乘(β-) ; (β-)0)i(=ψ-∇⋅+∂∂m i t βα方程左端有m x x m x i it jj j j +∂∂+∂∂=+∂∂-∂∂γγβαβ44))(( 于是由（3）导出（5）。
石墨烯电子能带结构的计算
石墨烯电子能带结构的计算摘要：本文简要阐述了石墨烯的结构和主要特性，采用碳原子的SP2 杂化理论和能带理论，运用紧束缚近似方法计算了石墨的能带结构。
关键词：石墨烯，结构和性质，紧束缚近似，能带结构一、引言石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新材料。
是一种由碳原子以SP2杂化轨道组成六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，只有一个碳原子厚度的二维材料。
石墨烯目前是世上最薄，最坚硬，电阻率最小的材料。
而且电子迁移的速度极快，因此被期待可用来发展出更薄、导电速度更快的新一代电子元件或晶体管。
由于石墨烯实质上是一种透明、良好的导体，也适合用来制造透明触控屏幕、光板、甚至是太阳能电池。
二、石墨烯结构石墨烯是由碳六元环组成的两维(2D)周期蜂窝状点阵结构, 它可以翘曲成零维(0D)的富勒烯(fullerene),卷成一维(1D)的碳纳米管(carbon nano-tube, CNT)或者堆垛成三维(3D)的石墨(graphite), 因此石墨烯是构成其他石墨材料的基本单元。
石墨烯的基本结构单元为有机材料中最稳定的苯六元环, 是目前最理想的二维纳米材料。
理想的石墨烯结构是平面六边形点阵，可以看作是一层被剥离的石墨分子，每个碳原子均为sp2杂化，并贡献剩余一个p轨道上的电子形成大π键，π电子可以自由移动，赋予石墨烯良好的导电性。
二维石墨烯结构可以看是形成所有sp2杂化碳质材料的基本组成单元。
三、石墨烯特性1、电子运输石墨烯表现出了异常的整数量子霍尔行为。
其霍尔电导为量子电导的奇数倍，且可以在室温下观测到。
这个行为已被科学家解释为“电子在石墨烯里遵守相对论量子力学，没有静质量”。
2、导电性石墨烯结构非常稳定。
石墨烯中各碳原子之间的连接非常柔韧，当施加外部机械力时，碳原子面就弯曲变形，从而使碳原子不必重新排列来适应外力，也就保持了结构稳定。
这种稳定的晶格结构使碳原子具有优秀的导电性。
石墨烯中的电子在轨道中移动时，不会因晶格缺陷或引入外来原子而发生散射。
石墨烯的能带结构及其与电子输运的关系
石墨烯的能带结构及其与电子输运的关系石墨烯是一种独特的材料，由单层的碳原子组成的二维晶体结构。
在近年来，石墨烯因为其独特的电学和光学性质受到了广泛的研究。
尤其是在电子输运领域，石墨烯在提高电子速度、操作速度和功耗等方面有着广泛的应用前景。
本文将就石墨烯的能带结构及其与电子输运的关系进行深入分析。
一、石墨烯的能带结构石墨烯的能带结构是其独特电学性质的重要基础。
石墨烯的能带结构由两个部分组成：价带和导带。
价带是一个由半满的电子能级组成的能带，而导带是一个由空的电子能级组成的能带。
当石墨烯中的电子受到激发后，它们会跳到导带中，从而形成电流。
不同于其他材料的能带结构，石墨烯的价带和导带都是相交的。
这种相交的能带结构使得石墨烯的电子表现出一些非常特殊的性质。
其中最重要的是，电子表现出一种类似于相对论的行为，称为狄拉克费米子（Dirac Fermion）。
二、石墨烯的电子输运石墨烯的独特能带结构对电子的输运有着深刻的影响。
一般来说，石墨烯中的电子输运分为两种模式：扩散和隧穿。
扩散是指电子在石墨烯中通过晶格振动进行的传递。
在扩散模式下，石墨烯中的电子表现出一种类似于半球的传输模式。
这种传输模式使得石墨烯中的电子具有非常高的迁移速度和导电能力。
隧穿是指电子通过两个不连通的导体之间的空间逸出。
在隧穿模式下，电子可以穿过电势垒并传输到另一个导体中。
由于石墨烯中的电子跨越空间的能力非常强，因此石墨烯在隧穿方面的应用潜力非常大。
三、结论总体来说，石墨烯的独特能带结构使得它具有非常特殊的电学性质。
石墨烯中的电子不仅具有非常高的迁移速度和导电能力，而且还具有非常强的隧穿能力。
因此，在未来的电子设备中，石墨烯将有着广泛的应用前景。
同时，石墨烯的发现也为我们提供了一种全新的材料研究思路，或许它将带领我们打开更为广阔的材料世界。
石墨烯电子的能带和狄拉克方程
石墨烯电子能带之数理演绎 （2015年2月20日）（为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考）作者： 北京东之星应用物理研究所伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师）1. 石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢晶格原胞与基矢图⋅1 布里渊区与倒格子基矢图⋅2图1中)0,3,3(2)0,3,3(221a a a a -===这里a =1.42A 是。
由正格子基矢（122(3)0,3,1(32)0,3,1(3221a a b a b -==ππ由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克(Dirac)点K ，'K 的坐标是：下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上，称费米点，又称Dirac 点或K ('K )点2. 石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量∑∑><++++-+=j i j i ii i i i pz c h b a t b b a a H ,2).()(ε上式还可表为矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑><++><++++j j j i ij pz ijpz i i j j j i i i i i i iipz b a t t b a b a t t b a b a b a ,22,2)(00)()(δεδεε模型不考虑电子自旋，<i,j >表示只对最近邻格点的电子跃迁求和，pz 2ε是单电子2pz 轨道能量石墨晶格是由两类几何环境彼此不等价的碳原子A ，B 构成，任意选定一个格点位矢是i R的A原子为参考原子，环绕它的是三个最近邻B 类原子1j R ,2j R 和3j R，如图3.+i a （j b ）是位于i R （j R ）的电子的产生（消灭）算符，（4）中的对算符+i a j b 表示的物理过程描述被j b 在j R 处消灭一个电子后又在i R 由+i a 产生一32,3.j j ji i R R R R和的三个最近邻参考原子图个电子，此过程等同于电子由j R 跃迁到最近邻i R，跃迁能t =2.8eV 。
石墨烯电子的能带和狄拉克方程(三)
石墨烯电子结构之态密度 （2019年9月28日）北京东之星应用物理研究所 (Estarlabs, Beijing ）伍 勇引言有关石墨烯电子结构的前两篇文档在百度网发表以后，电子结构没有态密度(The density of states (DOS))的内容我总感觉有些缺失，现在我已完成两篇拓扑半金属的文档，在空余间隙里，把石墨烯电子态密度的图补上。
根据文献[1], 石墨烯电子态密度原始公式如下))k (E E ()(k d )E (N -=⎰δπ2222 积分位于蜂房晶格的布里渊区，因子2考虑了自旋简并。
对于小能量0→E ，积分贡献仅来自K 和 'K 点附近，并且)q (E E =线性依赖于一阶近似波矢的大小。
于是 dq /dE )E (q ))q (E E ()(dq q )E (N πδπ22220=-⋅⨯=⎰∞ 对于电子和空穴 :vq E h ,e ±=，，得到态密度随能量的线性变化关系 2v E )E (N π= (K 和 'K 点附近,0→E ) (1) 而一般自由电子能谱mq E 222 =的D 2固态系统能态密度是常数: dE m E dE m mE )qdq dz 22222 ππππ==⋅⨯=(2122 ， 2πm dE dz )E (N == (2) 在写本文档前两篇内容时，见到文献[2]包含四段区间的椭圆积分态密度的完全表达式，那时，我还不知道，怎么在整个布里渊区画出这个复杂的态密度图形。
感谢文献[3],帮助我完成了这个作业，文献[3]给出一种更紧凑的石墨烯DOS 形式。
))()((K Re εεε-+31163 30<<εMathematica 我输入的指令。
Plot[(4Abs[x]/(3.88*\[Pi]))/Sqrt[(Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x])]*Re[EllipticK[Sqrt[(16Abs[x])/((Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x]))]]],{x,-3.1,3.1},PlotStyle->{Blue,Thickness[0.005]},PlotRange->{{2.7,-2.7},{0,1.25}},Frame->True,FrameTicks->{{{0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2},None},{{-3,-2,-1,0,1,2,3},None}},FrameStyle->{{Directive[Thick,12],Directive[Thick,12]},Directive[Thick,12]}]可以对照文献[1]提供的DOS 图：在石墨烯电子能带M 处存在鞍点，也是态密度的范霍夫奇点：M E Eln )E (N --∝δ对应图中在1±=ε点对数发散是态密度的范霍夫奇异性。
石墨烯-紧束缚模型-Dirac点
c c
j1 j2
计算
Hts
k ,t
H
k ,s
Sts
k ,t k ,s
(r ) k ,s
1 N
N
eik Ris (r Ri s )
i 1
Hts
H
k ,t
k ,s
N
1 eik (Ri Rj ) N i, j1
t (r Rj t )
H
s (r Ri s )
由于平移不变性 t (r Rj t ) H s (r Ri s ) Hts (Rj Ri )
T
(
R1
)
t
0
T
(
R2
)
0
0
H (k ) H00 T (R1)eikR1 T (R2 )eikR2 h.c.
2p
t teik R1 teik R2
t teik R1 teik R2
2p
同理
1
S (k ) s0 (1 eik R1 eik R2 )
s0 (1
eik R1 1
重新定义
Schrodinger 方程
H j E j S j
N
H rs eik Rj H rs (R j ) j 1 N
Srs eik Rj Srs (R j ) j 1
Hrs (Rj ) r (r r ) H s (r Rj s ) Srs (Rj ) r (r r ) s (r Rj s )
1
S00
s0
s0
1
同理 SBB (0) SAA (0) 1
SAB (0) SB†A(0) (r A) (r B ) s0
Hrs Hrs (0) eik Rj Hrs ( Rj ) Rj
石墨烯哈密顿量
石墨烯哈密顿量石墨烯是一种由碳原子构成的二维材料，具有很高的导电性和热传导性能。
石墨烯的基本结构是由彼此紧密相连的六边形碳原子组成的类似于蜂窝状的晶格结构。
石墨烯哈密顿量描述了石墨烯中的电子运动情况，即它的量子力学描述。
下面是石墨烯哈密顿量的详细解释：1. 哈密顿量的定义哈密顿量就是描述系统总能量的量子力学算符，其一般形式为H=ΣE_i|ψ_i>。
2. 二维电子系统的哈密顿量石墨烯是一种具有二维结构的材料，因此，石墨烯中的电子系统可以使用二维平面中的薛定谔方程来描述其量子力学性质。
在二维平面中，电子可以被表示为一个二分量自旋or旋转算符（点上有一个箭头）。
3. 石墨烯中的哈密顿量石墨烯中的哈密顿量由两个部分组成：自由电子哈密顿量和相互作用哈密顿量。
自由电子哈密顿量描述了电子自由运动的情况，而相互作用哈密顿量描述了电子与其他电子、磁场等相互作用的情况。
自由电子哈密顿量可以使用以下式子来表示：H_0 = -tΣ_k(c_k,A^†_k+δ,c_k+δ,A^†_k)其中，t代表弹跳系数，c_k是创建一个具有动量k的电子的算符，A_k 是描述在k点处的碳原子的算符。
相互作用哈密顿量可以使用以下式子来表示：H_I = U_eeΣ_rc_r^†c_r+c_i^†c_i+Σ_rc_r^†c_i+c_i^†c_r+...（省略号代表更多相互作用项）其中，U_ee代表电子之间相互作用的强度，c_r和c_i分别是描述在位置r处和i处的电子的算符。
4. 石墨烯中的电子能带哈密顿量的本征值代表着电子的能量，而哈密顿量的本征函数描述了电子的束缚状态。
石墨烯中的电子能带可以使用哈密顿量的本征值来描述。
石墨烯的电子能带结构具有非常特殊的性质，可以表示为带有两个主要孔洞的带状结构。
这两个孔洞分别位于K点和K'点，被称为Dirac 勒子。
总之，石墨烯哈密顿量是描述石墨烯中电子的重要数学模型，可以帮助人们深入了解石墨烯的物理性质，开发出更多新颖的应用。
石墨烯研究史(含CVD气相沉积转移)
1.1 石墨烯的研究历史1.引言碳元素在自然界中占有重要且独特的地位，在恒星中，三个α粒子的融合导致了碳元素的形成，而这种形成过程又在宇宙中重元素的形成过程中占有重要地位。
碳原子相互连接形成网络构型的能力为有机化学的基础，同样也是生命得以形成的本源。
碳原子本身甚至在大多数情况下都存在复杂的行为，形成各种独特的结构。
如人们早已知晓的石墨与金刚石结构，又如最近才发现的富勒烯和碳纳米管结构。
1985 年富勒烯被发现（1996 年其发现者获诺贝尔奖）以来，纳米结构碳材料在过去的 25 年中一直处于研究的中心位置。
尽管如此众多的结构先后被发现，但碳元素的二维结构在很长一段时间内令人惊奇的没有被发现。
直到2004年，Adre Geim和Novselov宣布了极其简便的制备石墨烯的方法，以及对其物性测量的结果，产生了深远的影响。
2010年，由于石墨烯的发现，Geim和Novselov 被授予诺贝尔物理奖。
石墨烯的早期研究石墨烯作为一个概念由来已久，至少可以追溯到1947年Wallace撰写的那篇开创性的影响深远的文章。
文中 Wallace推导出了石墨烯的布里渊区中K点附近电子结构的E(k)色散关系。
然而，早期学界对碳纳米结构的研究兴趣少之又少。
这点可以由1960年ISI对碳纳米结构每年的发表文章的数量体现出来。
同时，通过计入一定的时间延迟，图中也显示出每种新的碳纳米结构的出现，对文献数量的影响。
单层石墨烯及多层石墨烯实际上在1962年就已经被Boehm制备出来，直到1970年代，才因为在石墨中插入制备化合物的工作为人所知。
他制备石墨烯的方法基于还原氧化石墨烯的基本思想，并广泛地被后人所采用。
Boehm在对石墨烯的早期表征中，采用了X射线衍射的方法，并尝试在特定区域测量其厚度。
虽然1962年得表征手段不如现代技术那么先进，Boehm的工作因为其清晰独到的简介而格外引人注目。
制备单层及多层石墨烯的方法，之后发展了起来，有些方法基于从大块的石墨上剥离出小块来。
石墨烯中的量子霍尔效应就是反常量子霍尔效应。-概述说明以及解释
石墨烯中的量子霍尔效应就是反常量子霍尔效应。
-概述说明以及解释1.引言1.1 概述石墨烯是一种由碳原子构成的二维材料，具有许多令人瞩目的特性。
其中最引人注目的特点之一就是其在低温下展现出的量子霍尔效应。
量子霍尔效应是一个与电磁场和电子自旋相关的现象，它在二维材料中的观测为我们提供了一种研究电子行为的新途径。
在石墨烯中观察到的量子霍尔效应与传统的量子霍尔效应略有不同，因此被称为反常量子霍尔效应。
这个称谓并不意味着石墨烯中的量子霍尔效应是异常或不合理的，而是指它与传统的量子霍尔效应在实验观测上的一些差异。
这些差异使得石墨烯中的量子霍尔效应成为了一个引人瞩目的研究课题。
石墨烯的量子霍尔效应是由其特殊的能带结构和哈密顿量导致的。
石墨烯中的载流子被称为狄拉克费米子，具有线性能量-动量关系。
这种特殊的关系使得石墨烯中的电子运动呈现出像相对论效应一样的行为。
同时，由于石墨烯是一个二维材料，而且具有完全填满的碳原子能级，使得其能带结构呈现出一种特殊的拓扑性质。
在石墨烯中的量子霍尔效应的观测中，电子的运动方式与传统的量子霍尔效应有所不同。
石墨烯中的狄拉克费米子的电荷和自旋运动被强烈地耦合在一起，导致了一个新的量子霍尔效应的出现。
这种新的效应表明石墨烯中的载流子在横向电场的作用下沿着边界产生了反常的导电行为。
石墨烯中的量子霍尔效应的反常行为给我们带来了对量子霍尔效应本质的新的认识。
通过深入研究石墨烯中的量子霍尔效应，我们可以进一步了解材料中电子的输运行为和拓扑性质，为未来的电子学器件的设计和应用提供新的思路和可能性。
本篇长文将系统地介绍石墨烯的特性和量子霍尔效应的基本原理，并进一步讨论石墨烯中的量子霍尔效应与反常量子霍尔效应之间的关系。
通过对相关理论和实验结果的分析，希望能够进一步揭示石墨烯中的量子霍尔效应的本质，为该领域的进一步研究和应用提供参考和启示。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
石墨烯生物传感器工作原理 狄拉克点
石墨烯生物传感器工作原理一、前言在当今的生物技术领域，生物传感器作为一种重要的生物医学检测工具，被广泛应用于生物分子的检测和分析。
而石墨烯作为新兴的纳米材料，在生物传感器领域也展现出了巨大的潜力。
本文将从石墨烯生物传感器的工作原理和狄拉克点的相关知识入手，深入探讨石墨烯生物传感器的工作原理。
二、石墨烯生物传感器的基本原理1. 石墨烯的特性石墨烯是由碳原子排列成的蜂窝结构的单层晶体材料，具有优异的电学、光学、力学和热学性能。
其中，石墨烯的电学特性尤为突出，它是一种零带隙的半金属材料，电子在其中以线性色散关系运动，因此在石墨烯表面，可以观察到一种独特的费米能级形态，即“狄拉克点”。
2. 生物分子的检测生物分子的检测是生物传感器的主要功能之一。
传统的生物分子检测方法主要依靠化学试剂或荧光探针，具有检测限度低、反应速度慢、操作复杂等缺点。
而生物传感器则是利用生物分子与传感器表面的生物识别元素之间的特异性相互作用，实现对生物分子的灵敏检测。
3. 石墨烯生物传感器的工作原理石墨烯生物传感器是将石墨烯材料应用于生物传感器的检测元件中。
石墨烯具有高表面积、强吸附性和优异的电导率等特性，可以用来固定生物识别元素，并实现生物分子的快速、灵敏检测。
石墨烯生物传感器的工作原理一般包括以下几个方面：(1) 生物识别元素固定生物传感器的关键在于生物识别元素的固定。
通过化学修饰或生物活性分子的吸附，可以将生物识别元素固定在石墨烯表面，使其与待检测的生物分子发生特异性作用。
(2) 生物分子的特异性识别生物传感器能够对特定的生物分子进行识别。
当待检测的生物分子与生物识别元素发生特异性作用时，会导致传感器表面发生电荷转移或电子结构的改变，进而产生电学信号。
(3) 电学信号的检测生物传感器会将生物分子的特异性作用转化为电学信号，通过电极和信号放大器等电学元件，可以实现对生物分子的灵敏、快速检测。
三、狄拉克点在石墨烯生物传感器中的应用1. 狄拉克点的特性狄拉克点是石墨烯材料中一种特殊的能级结构。
《石墨烯T-stubP-N结中的电子输运性质》范文
《石墨烯T-stub P-N结中的电子输运性质》篇一一、引言近年来，随着纳米科技和材料科学的飞速发展，石墨烯作为一种独特的二维材料，受到了广泛的关注。
其中，石墨烯T-stub P-N结作为一种重要的纳米结构，其电子输运性质成为了研究的热点。
本文将重点探讨石墨烯T-stub P-N结的电子输运特性，分析其结构与性能之间的关系，并为其在电子器件中的应用提供理论支持。
二、石墨烯T-stub P-N结的结构与性质石墨烯T-stub P-N结是由两个不同掺杂类型的石墨烯区域（P 型和N型）通过T型结构连接而成。
这种结构具有独特的电子性质，如高载流子迁移率、良好的电导率和较低的电阻等。
同时，T-stub P-N结在结构上具有灵活的可调性，可以满足不同应用场景的需求。
三、电子输运性质分析（一）能带结构与电子状态石墨烯T-stub P-N结的能带结构决定了其电子状态和输运性质。
在P型和N型区域，由于掺杂类型不同，形成了势垒和势阱，从而影响了电子的传输。
在P-N结附近，能带发生弯曲，形成了耗尽区和空间电荷区，对电子的传输产生了重要影响。
（二）载流子传输过程在石墨烯T-stub P-N结中，载流子的传输过程受到多种因素的影响。
首先，电子在P型和N型区域内的传输受到掺杂浓度、缺陷和散射等因素的影响。
其次，在P-N结附近，由于能带弯曲和势垒的存在，电子需要克服这些障碍才能继续传输。
此外，界面处的散射和缺陷也会对载流子的传输产生影响。
（三）电阻与电导率石墨烯T-stub P-N结的电阻和电导率是评价其电子输运性质的重要参数。
由于P型和N型区域的掺杂浓度、缺陷以及界面散射等因素的影响，使得电阻和电导率在不同条件下表现出不同的特性。
通过调整掺杂浓度、优化界面结构和减小散射等因素，可以降低电阻，提高电导率，从而优化石墨烯T-stub P-N结的电子输运性能。
四、应用与展望石墨烯T-stub P-N结具有良好的电子输运性质，在电子器件领域具有广泛的应用前景。
石墨烯电子能带结构的计算
石墨烯电子能带结构的计算摘要：本文简要阐述了石墨烯的结构和主要特性，采用碳原子的SP2 杂化理论和能带理论，运用紧束缚近似方法计算了石墨的能带结构。
关键词：石墨烯，结构和性质，紧束缚近似，能带结构一、引言石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新材料。
是一种由碳原子以SP2杂化轨道组成六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，只有一个碳原子厚度的二维材料。
石墨烯目前是世上最薄，最坚硬，电阻率最小的材料。
而且电子迁移的速度极快，因此被期待可用来发展出更薄、导电速度更快的新一代电子元件或晶体管。
由于石墨烯实质上是一种透明、良好的导体，也适合用来制造透明触控屏幕、光板、甚至是太阳能电池。
二、石墨烯结构石墨烯是由碳六元环组成的两维(2D)周期蜂窝状点阵结构, 它可以翘曲成零维(0D)的富勒烯(fullerene),卷成一维(1D)的碳纳米管(carbon nano-tube, CNT)或者堆垛成三维(3D)的石墨(graphite), 因此石墨烯是构成其他石墨材料的基本单元。
石墨烯的基本结构单元为有机材料中最稳定的苯六元环, 是目前最理想的二维纳米材料。
理想的石墨烯结构是平面六边形点阵，可以看作是一层被剥离的石墨分子，每个碳原子均为sp2杂化，并贡献剩余一个p轨道上的电子形成大π键，π电子可以自由移动，赋予石墨烯良好的导电性。
二维石墨烯结构可以看是形成所有sp2杂化碳质材料的基本组成单元。
三、石墨烯特性1、电子运输石墨烯表现出了异常的整数量子霍尔行为。
其霍尔电导为量子电导的奇数倍，且可以在室温下观测到。
这个行为已被科学家解释为“电子在石墨烯里遵守相对论量子力学，没有静质量”。
2、导电性石墨烯结构非常稳定。
石墨烯中各碳原子之间的连接非常柔韧，当施加外部机械力时，碳原子面就弯曲变形，从而使碳原子不必重新排列来适应外力，也就保持了结构稳定。
这种稳定的晶格结构使碳原子具有优秀的导电性。
石墨烯中的电子在轨道中移动时，不会因晶格缺陷或引入外来原子而发生散射。
石墨烯高输运性能的能带解释
中
MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
就是说，在
V
型能带曲线的拐点（狄拉克锥点）处，
dE dk
不连续，
d2E dk 2
→
，
m* → 0 。因此，石墨烯具有很好的输运性能。
中国大学MOOC
中国大学MOOC
大学MOOC
大学MOOC
大学MOOC
大学MOOC
大学MOOC
中
MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
中
MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
dk 2
dk
线的斜率不连续）时， d 2 E dk 2
→
。换而言之，如果一种材料的能带曲线在某一个
k 点处的斜率不连续，则波矢位于该点的电子的运动速度非常快，此种学MOOC
中国大学MOOC
运性能（包括导电性和导热性）也很好。
石墨烯的能带结构如下图所示。可以看出，石墨烯具有 V 型的能带曲线。也
中国大学MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
石墨烯高输运性能的能带解释
中国大学MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
在《能带理论》部分的课程学习中，我们已知有效质量 m*是为了使晶体中
中国大学MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
运动的电子满足经典的牛顿第二定律 F = ma ，而电子在晶体中所受到的周期性
势场作用全部考虑的，具有与静止质量相同量纲的物理量。
石墨烯电子能带结构的计算
１石墨烯电子能带计算
石 墨烯（ ａｈｎ） 层碳 原子二 维 晶体 ，由碳原 子的 ２ Ｇｒｐｅｅ为单 ｓ与 ２ ２ 轨道 形成 杂化．杂化 过程 中， ｐ，
每 碳 子 最 邻 三 原 形 处 同 平 内 互 角 孕的 个 共 键剩 的 道 个 原 与 近 的 个 子 成 于 一 面 相 夹 为 ３ 价 ，下 ２轨 电
通过控ＳＧ ａｈｎ ］ ｐ ｔ ｒ ｅｅ的几何构型使其呈现金属或者半导体的特性¨２ ． ｒ ｈｎ ，引 Ｇ ａ ｅｅ对于门压 、吸附 、缺陷 、 ． ｐ 掺杂等调制手段的响应也与Ｃ Ｔ Ｎ 有很多相似之处． 这使得人们可以将研究Ｃ Ｔ Ｎ 过程 中积累的很多经验直
接用 于Ｇ ａｈｎ ． 一方 面，Ｇ ａｈｎ ｒｐ ｅｅ 另 ｒｐ ｅｅ可 以用 传 统 的电子 束刻蚀 技 术（ｔｏ ｒｐｙ ｍｅ ｏｓ制成 电路 或加 １ｈｇａｈ ｔ ｄ） ｉ ｈ
ＨＵＡＮＧ ｉ．ｉ Ｔ ｅｔ ｅ
（ ｐ ｒ ｎ ｆ ｈ ｓ ｓＸｉ ｇ ａ ｉｅｓｙ Ｃ ｅｚ ｏ ２ ０ ０Ｃ ｉａ Ｄｅａｔ ｔ ｙｉ ， ａ ｎｎＵｎｖｒ ｔ， ｈｎ ｈ ｕ ３ ０ ， ｈｎ ） ｍｅ ｏ Ｐ ｃ ｎ ｉ ４
Ａｂ ｔ ａ ｔ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｈ ｂ ｉ ｆ ｃ ｒ ｏ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｒ ，ｔ ｅ ｂ ｎ ｔｕ ｔ ｒ ｆ Ｇｒ ｐ ｅ ｅ ｉ ｃ ｌｕ ａｅ ｙ ｕ ｉｇ ｔ ｅ ｓｒ ｃ ：Ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｐ ｙ ｒｄ ｏ ａｂ ｎ ａ ｄ ｂ ｎ ｈ ｏ ｙ ｈ ａ ｄ ｓ ｃｕ ｅ ｏ ａ ｈ ｎ ｓ ａ ｃ ｌｔ ｄ ｂ ｓｎ ｈ ｒ ｔ ｈ — ｉ ｄ ｎ ｃ ｅ ， ｎ ｓｃ ａ ａ ｔｒｏ － ｉ ｎ ｉ ｎ ｌ ｌｃｒ ｎ ｇ ｓｉ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄｉ ｉ ａ ｅ ｉ ｔｂ ｎ ｉｇ ｓ ｈ ｍｅ ａ ｄ ｉ ｈ ｒ ｃｅ ｆ ｗｏ ｄ ｍｅ ｓ ａ ｅ ｔｏ ａ ｉｃ ｓ ｅ ｔ ｓ ｐ ￣ ｇ ｔ ｔ ｏ ｅ ｓ ｎｈ ｐ Ｋｅ ｒ ｓ Ｇｒ ｐ ｅ ｅ ｔ ｅｔ ｈ ・ ｉｄ ｎ ｃ ｅ ； ａ ｄ ｓｒ ｃ ｒ ． ｙ ｗｏ ｄ ： ａ ｈ ｎ ； ｈ ｇ ｔ ｎ ｉ ｇ ｓ ｈ ｍｅ ｂ ｎ ｔ ｔ ｅ ｉ ｂ ｕｕ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
石墨烯电子结构之态密度 （2019年9月28日）
北京东之星应用物理研究所 (Estarlabs, Beijing ）
伍 勇
引言
有关石墨烯电子结构的前两篇文档在百度网发表以后，电子结构没有态密度(The density of states (DOS))的内容我总感觉有些缺失，现在我已完成两篇拓扑半金属的文档，在空余间隙里，把石墨烯电子态密度的图补上。
根据文献[1], 石墨烯电子态密度原始公式如下
))k (E E ()
(k d )E (N -=⎰δπ2222 积分位于蜂房晶格的布里渊区，因子2考虑了自旋简并。
对于小能量0→E ，积分贡献仅来自K 和 'K 点附近，并且)q (E E =线性依赖于一阶近似波矢的大小。
于是 dq /dE )E (q ))q (E E ()(dq q )E (N πδπ22220
=-⋅⨯=⎰∞ 对于电子和空穴 :
vq E h ,e ±=，，得到态密度随能量的线性变化关系 2v E )E (N π= (K 和 'K 点附近,0→E ) (1) 而一般自由电子能谱m
q E 22
2 =的D 2固态系统能态密度是常数: dE m E dE m mE )qdq dz 22222 ππππ==⋅⨯=(21
22 ， 2
πm dE dz )E (N == (2) 在写本文档前两篇内容时，见到文献[2]包含四段区间的椭圆积分态密度的完全表达式，那时，我还不知道，怎么在整个布里渊区画出这个复杂的态密度图形。
感谢文献[3],帮助我完成了这个作业，文献[3]给出一种更紧凑的石墨烯DOS 形式。
))()((K Re )()()
t /()(D εεε
εεπεε-+-+=3116314332 30<<ε
函数)x (K 是第一类椭圆积分。
下面是在软件Mathematica 我输入的指令。
Plot[(4Abs[x]/(3.88*\[Pi]))/Sqrt[(Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x])]*Re[EllipticK[Sqrt[(16Abs[x])/((Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x]))]]],{x,-3.1,3.1},PlotStyle->{Blue,Thickness[0.005]},PlotRange->{{2.7,-2.7},{0,1.25}},Frame->True,FrameTicks->{{{0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2},None},{{-3,-2,-1,0,1,2,3},None}},FrameStyle->{{Directive[Thick,12],Directive[Thick,12]},Directive[Thick,12]}]
可以对照文献[1]提供的DOS 图：
在石墨烯电子能带M 处存在鞍点，也是态密度的范霍夫奇点：M E E
ln )E (N --∝δ
对应图中在1±=ε点对数发散是态密度的范霍夫奇异性。
参考文献：
[1] M. Katsnelson, GRAPHENE Carbon in Two Dimensions,2012 0.40.2
ε
)
(D ε
[2]A. H. Castro Neto , F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov and A. K. Geim The electronic properties of graphene
[3]V.O. Ananyev, M.I. Ovchynnikov,On the density of states of graphene in the nearest-neighbor approximation (Received June 8, 2017)
致谢百度网，道客巴巴的文献支持。