石墨烯电子的能带和狄拉克方程(三)

石墨烯电子结构之态密度 （2019年9月28日）

北京东之星应用物理研究所 (Estarlabs, Beijing ）

伍 勇

引言

有关石墨烯电子结构的前两篇文档在百度网发表以后，电子结构没有态密度(The density of states (DOS))的内容我总感觉有些缺失，现在我已完成两篇拓扑半金属的文档，在空余间隙里，把石墨烯电子态密度的图补上。

根据文献[1], 石墨烯电子态密度原始公式如下

))k (E E ()

(k d )E (N -=⎰δπ2222 积分位于蜂房晶格的布里渊区，因子2考虑了自旋简并。对于小能量0→E ，积分贡献仅来自K 和 'K 点附近，并且)q (E E =线性依赖于一阶近似波矢的大小。于是 dq /dE )E (q ))q (E E ()(dq q )E (N πδπ22220

=-⋅⨯=⎰∞ 对于电子和空穴 :

vq E h ,e ±=，，得到态密度随能量的线性变化关系 2v E )E (N π= (K 和 'K 点附近,0→E ) (1) 而一般自由电子能谱m

q E 22

2 =的D 2固态系统能态密度是常数: dE m E dE m mE )qdq dz 22222 ππππ==⋅⨯=(21

22 ， 2

πm dE dz )E (N == (2) 在写本文档前两篇内容时，见到文献[2]包含四段区间的椭圆积分态密度的完全表达式，那时，我还不知道，怎么在整个布里渊区画出这个复杂的态密度图形。感谢文献[3],帮助我完成了这个作业，文献[3]给出一种更紧凑的石墨烯DOS 形式。

))()((K Re )()()

t /()(D εεε

εεπεε-+-+=3116314332 30<<ε

函数)x (K 是第一类椭圆积分。下面是在软件Mathematica 我输入的指令。

Plot[(4Abs[x]/(3.88*\[Pi]))/Sqrt[(Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x])]*Re[EllipticK[Sqrt[(16Abs[x])/((Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x]))]]],{x,-3.1,3.1},PlotStyle->{Blue,Thickness[0.005]},PlotRange->{{2.7,-2.7},{0,1.25}},Frame->True,FrameTicks->{{{0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2},None},{{-3,-2,-1,0,1,2,3},None}},FrameStyle->{{Directive[Thick,12],Directive[Thick,12]},Directive[Thick,12]}]

可以对照文献[1]提供的DOS 图：

在石墨烯电子能带M 处存在鞍点，也是态密度的范霍夫奇点：M E E

ln )E (N --∝δ

对应图中在1±=ε点对数发散是态密度的范霍夫奇异性。

参考文献：

[1] M. Katsnelson, GRAPHENE Carbon in Two Dimensions,2012 0.40.2

ε

)

(D ε

[2]A. H. Castro Neto , F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov and A. K. Geim The electronic properties of graphene

[3]V.O. Ananyev, M.I. Ovchynnikov,On the density of states of graphene in the nearest-neighbor approximation (Received June 8, 2017)

致谢百度网，道客巴巴的文献支持。