解析几何F答案

解析几何F答案

《解析几何》试题（F ）答案

一、填空题：（每空2分，共30分） 1、

{}

36,45,48--； 2、

)3

,3,3(

3

21321321z z z y y y x x x ++++++；

3、4

π或43π

，{}2,1,1-或{}2,1,1--； 4、15-； 5、)1,1,2(-；

6、01844-=-=-z y x 或0

1

241-=

-=-z y x ； 7、3； 8、14

1arcsin

，)0,2,2(--； 9、

2； 10、双叶双曲面；

11、锥面； 12、椭圆抛物面； 13、旋转椭球面。 二、（本题16分）

解：（1）矢量设A 在矢量B 方向上的射影为

B

B

A A prj

B ⋅=

，…………………………………………

…………………………2 由于b a A 32+=，b a B -=，所以，

2

2

223),(cos 232))(32(b

b a b a a b ab a b a b a B A -∠+=-+=-+=⋅， (2)

而

)

,(cos 22))((2

2

222

b a b a b a ab b a b a b a B ∠-+=-+=--=， (2)

又由于1=a ，2=b ，3),(π=∠b a ， 所

以

9

-=⋅B A ，

3

2

=B ，……………………………………………

………………..2 解

得

3

3-=A prj B 。…………………………………………

………………………….2 （

2

）

因

为

=⨯B A ),(sin 55)()32(b a b a a b b a b a ∠=⨯=-⨯+ (3)

=353

sin 10=π。 所以以A 和B 为邻边的平行四边形的面积为

3

5。 (3)

三、（本题8分）

解：由于四面体的四个顶点为)0,0,0(A ，)6,0,6(B ，

)0,3,4(C 及)3,1,2(-D ，则以点)0,0,0(A 为始点，分别以点)

6,0,6(B ，)0,3,4(C 及)3,1,2(-D 为终点的矢量是 (1)

{}

6,0,6=……………………………………………

(1)

{}

0,3,4=AC ……………………………………………

(1)

{}

3,1,2-=……………………………………………

(1)

则以点)0,0,0(A ，)6,0,6(B ，)0,3,4(C 及)3,1,2(-D 为顶点的四面体的体积是

),,(6

1

V =

，…..…………………………………

……………………2 即

1

3

120346066

1

=-=V 。……………………………………

……………………………..2 四、（本题12分）

解：求直线⎩

⎨

⎧=++-=-++0

220

2z y x z y x 与曲面2

2

2z x y -=的交点，可解两方程联立组成的方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧-==++-=-++22202202z x y z y x z y x 的根，

即)2,1,3(-与)4,4,6(-， (4)

而与直线⎩

⎨

⎧=++-=-++0

220

2z y x z y x 垂直的平面的法矢量是该直线的方向矢量

⎭

⎬

⎫⎩⎨⎧---=1111,2111,2111n ，……………………………

(4)

由于平面通过点)2,1,3(-与)4,4,6(-，根据平面的点法式方程，可写出

所求平面方程为

3023=+--z y x 与

1223=---z y x 。 (4)

五、（本题12分）

解：方法一：通过直线l 作平面1

π与平面π垂

直，则平面1

π与平面π的交线即为投影直线方

程。 (3)

由于平面1

π通过直线l ，故可设平面1

π的方程

为

)52(443=-+++-+z y z y x λ，或写成

54)1()24(3=-+-+++λλλz y x ，…………………………

(3)

因平面1

π与平面π垂直，故它们的法矢量的数量

积为零，即

)1(0)24()1(23=-⨯++⨯-+⨯λλ，…………………………

(2)

由此解得

1

=λ，所以平面1

π的方程为0

163=-+y x ，………………………………..2 所求

投

影

直

线

的

方

程

为

⎩⎨

⎧=-=-+0

20163y x y x 。………………………………………

(2)

方法二：因为平面1

π通过直线l 且与平面π垂

直，故它的法矢量1

n 与直线l 的方向矢量s 及平面π

的法矢量n

都垂直，故可取

1

n =

n

s ⨯。

而 (2)

s

=

k j i k j

i

6361

2

0143+-=-，………………………………

………………..2 所

以

j

i k

j

i n s n 1260

12

6361+=--=⨯=，……………………………

(2)

又因平面1

π通过直线l ，故直线l 上任一点都在平

面

1

π上，不妨设

=y ，得直线

l

上的点

)5,0,3

1(。……………………………………………

(2)