等差数列常考题型归纳总结很全面

等差数列及其前n 项和

教学目标：

1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。

2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关

的简单问题。

知识回顾：

1．定义：

一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个

数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为( 2)

a n n 或a n 1 a n d(n 1) 。（证明数列是等差数列的关键）

a 1 d n

2．通项公式：

等差数列的通项为：a n a1 (n 1)d ，当d 0时，a n 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。推广：a n a m (n m)d

3．中项：

如果a ，A，b 成等差数列，那么A叫做a 与b 的等差中项；其中

a b

A 。

2

4．等差数列的前n项和公式

n(a a ) n(n 1)

1 n

S na d 可以整理成S n＝n 1

2 2 d

2

2＋ a d )n

n ( 1 。当d≠0时是n 的一个常数

2

项为0的二次函数。

5．等差数列项的性质

（1）在等差数列a中，若m ，n ，p ，q N 且m n p q，则a

m a n a p a q ；特n

别的，若m ，p ，q N 且2m p q ，则2a m a p a q 。

（2）已知数列a n , b n 为等差数列，S n ,T n 为其前n 项和，则a

n

b

n

S

2n

T

2n

1

1

（3）若等差数列的前n 项和为S n ，则n, S S ,S S ,

S 也成等差数列，公差d n d

' 2

2n n 3n 2n

；

S ,(n 1)

1

a

n S S

（4）,(n 2)

n n 1

；

（5）若数列{ a n }是公差为 d 的等差数列，则数列S n

n 也是等差数列，且公差为______。

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考点分析

考点一：等差数列基本量计算

例 1、等差数列 {a n } 中， a 1 3a 8 a 15 120 ，则 3a 9 a 11 的值为 练

习 （1）设 S n 是等差数列 a 的前 n 项和．已知 a 2 ＝3， a 6 ＝11，则 S 7 等于

n

A ．13

B ．35

C ．49

D ．63 （2）数列 a n 为等差数列，且 a

a

， a 3

0 ，则公差 d ＝

7

2 4

1

A ．－2

B ．－ 1

2 C ． 1 2

D ．2

（3）在等差数列 a 中，已知 a 3 2 ，则该数列的前 5 项之和为

n

A ．10

B ．16

C ．20

D ．32

（4）若等差数列 { a n } 的前 5 项和 S 5＝25，且 a 2＝3，则 a 7 等于 (

)

A ．12

B ．13

C ．14

D ．15

1

（5）记等差数列 { a 2，S 4＝20，则 S 6 等于(

)

n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝

A ．16

B ．24

C ．36

D ．48

（6） a 的前 n 项和为 n

S ，若 a 1 2 ， S 3 12 ，则 n

a 等于 (

)

6

A ．8

B ．10

C ．12

D ．14

考点二：等差数列性质应用

例 1、等差数列 a 中， 3( a 3 a 5 ) 2(a 7 a 10 a 13) 24 ，则该数列前 13 项的和是 (

)

n

A ．13

B ．26

C ．52

D ．156

练

习 1、在等差数列 a n 中， a 1 a 9 10 ，则 a 5 的值为

A ．5

B ．6

C ．8

D ．64 2、在等差数列 { a } 中, n

a

a a ，则 1

2, 3 5 10

a

（

）

7

A ．5

B ．8

C ．10

D ．14

3、设数列 { a n } 是等差数列，若 a 3＋a 4＋a 5＝12，则 a 1＋a 2＋⋯ ＋ a 7 等于(

)

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A．14 B．21 C．28 D．35

例2、设等差数列{a n} 的前n 项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a

9 等于( )

A．63 B．45 C．36 D．27

练习、已知等差数列{ a n} 的前n 项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.

S2 014 例3、已知S n 是等差数列{a n}的前n 项和，若a1＝－2 014 ，

2 014 ________.

S2 008

－

2 008

＝6，则S2 016 ＝

练习、(1) 已知等差数列{a n} 的前n 项和为S

n，且满足S3 S2

－

＝1，则数列{a n} 的公差是3 2

( )

A. 1

2 B．1 C．2 D．3

例4、设S n ,T n 分别是等差数列a n 、b n 的前n项和，S7n 2

n ，则

T n 3

n

a

5

b

5

。

例5、已知等差数列a的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之

n

和为25，则这个数列的项数为________。

练习1、若一个等差数列前 3 项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）

A．13 项B．12 项C．11项D．10 项

2、等差数列a的公差d 2，a1 a4 a7 a97 50，那么a3 a6 a9 a99 =

n

A．－78 B．－82 C．－148 D．－182

考点三：等差数列的证明

例1：在数列{ a n} 中，a1 1， a

n 1

1

1

4a

n

，b

n

2

2a 1

n

，其中n N * .

（1）求证：数列{ b n} 是等差数列；

（2）求证：在数列{ a n } 中对于任意的*

n N ，都有a n a n 1

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