上海市杨浦区复旦附中2019-2020学年高一下学期期中考试数试题 含答案
上海市复旦大学附属中学高一下学期期中考试试卷含答案
复旦大学附属中学第二学期 高一年级数学期中考试试卷考试时间120分钟满分150分所有答案均写在答题纸上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．函数()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为__________．2．α为第三象限角，且coscos22αα=-，则2α在第_______象限． 3．已知扇形的周长为20cm ，面积为216cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为_________．4．函数2()log (tan f x x =的定义域为_________． 5．方程1sin 3x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的解为x =_________（用反三角函数表示） 6．已知奇函数()f x 的一个周期为2，当(0,1)x ∈时，()cos 3xf x π=，则(7.5)f =_______．7．已知角α满足1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______． 8．函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为_________． 9．函数2()cos sin 1f x x x =++在7,46ππ⎛⎤⎥⎝⎦上的值域是_______． 10．已知()4sin 3cos ,()f x x x f x =+向右平移(0)ααπ<<个单位后为奇函数，则tan α=_______．11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数()f x 在区间[,]()a b a b <上的取值范围与在区间[,]b a --上的取值范围是相同的；②周期函数()f x 在一个周期内的取值范围也就是()f x 在定义域上的值域，由此可求函数()|sin |cos |g x x x =的值域为_________．12．已知定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()sin F x f x x π=-，在区间[2,]m -上有2021个零点，则m 的取值范围是___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．13．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2πϕ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 14．在ABC 中，2sin 22A c bc-=，则ABC 的形状为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 15．设定义在R 上的函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．则()f x （ ） A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 16．设函数()2sin()1(0)f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．816,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．164,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．820,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的始边为x 轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P ． （1）若点P 的横坐标为35-，求cos 3sin 3sin cos θθθθ+-的值．（2）若将射线OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α，若1tan 3α=，求tan θ的值． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()(),0,64h x f x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=⋅-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求()h x 的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图某公园有一块直角三角形ABC 的空地，其中,,26ACB ABC AC ππ∠=∠=长a 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF 建文化景观区，其中D E F 、、分别在BC AC AB 、、上．设DEC θ∠=．（1）若3πθ=，求DEF 的边长；（2）当θ多大时，DEF 的边长最小？并求出最小值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知数2()32sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域． （3）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的根从小到依次为12,,n x x x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题第（ⅰ）问满分6分，第2小题第（ⅱ）问满分8分） 在非直角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ． （1）若2a c b +=，且3B π=，判断三角形ABC 的形状；（2）若(1)a c mb m +=>，（ⅰ）证明：1tantan 221A C m m -=+； （可能运用的公式有sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=）（ⅱ）是否存在函数()m ϕ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos cos ()()cos cos A C m m A Cϕϕ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m ϕ，并证明之；若不存在，请给出一个理由．复旦大学附属中学第二学期 高一年级数学期中考试试卷考试时间120分钟 满分150分 所有答案均写在答题纸上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．【答案】：π【解析】：函数()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期22T ππ==． 2．【解析】：因为α以为第三象限角，所以322,2k k k Z πππαπ+<<+∈，所以3,224k k k Z παπππ+<<+∈又因为cos cos 22αα=-，所以cos 02α<，所以在第二象限．3．【答案】：12【解析】：设扇形半径为r ，弧长为l ，所以2201162l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得162l r =⎧⎨=⎩或48l r =⎧⎨=⎩，所以8l r α==（舍）或12l r α==所以扇形的圆心角α的弧度数为124．【答案】：,32xk x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z【解析】：根据题意得，tan 0x ->，即tan x >22,32k x k k Z ππππ+<<+∈所以函数2()log (tan f x x =的定义域,32x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z5．【答案】：1arcsin3π- 6．【答案】：2-【解析】：根据题意得，(7.5)(0.58)(0.5)(0.5)cos 6f f f f π=-+=-=-=-=7．【答案】：79【解析】：227sin 2cos 2cos 212sin 16263699πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．【答案】：,,36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z【解析】：()cos 2cos 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以单调递增区间为,,36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z9．【解析】：222()cos sin 21sin sin 1sin sin 2f x x x x x x x =++=-++=-++ 令7sin ,,46t x x ππ⎛⎤=∈⎥⎝⎦，则1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2()2f t t t =-++ 所以22minmin 115119()2,()2224224f t f t ⎛⎫⎛⎫=---+==-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以59(),44f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以59(),44f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数2()cos sin 1f x x x =++在7,46ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上的值域是59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．【答案】：34【解析】：由根据题意可得，函数()4sin 3cos 5sin()f x x x x ϕ=+=+，其中3tan 4ϕ= 因为()f x 向右平移α个单位后，可得()5sin[()]5sin()g x x x αϕαϕ=-+=-+，又由()5sin()g x x αϕ=-+为奇函数，所以,k k Z ϕαπ-=∈，即,k k Z αϕπ=-∈， 又因为0απ<<，所以αϕ=，所以3tan tan 4αϕ==．11．【答案】：[1,2]【解析】：()|sin |cos |g x x x =是偶函数，周期为π．当[0,]x π∈时，sin ,0,2()|sin ||cos |sin ,,2x x x g x x x x x x πππ⎧⎛⎫⎡⎤+∈⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎡⎤⎪-∈ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎩所以2sin 0,32()2sin ,32x x g x x x πππππ⎧⎛⎫⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎩，所以()g x 值域为[1,2]12．【解析】：由题意，函数()f x 为R 上奇函数，所以(0)0f =，且()()f x f x -=-， 又(2)()0f x f x -+=，可得(2)()f x f x -=-，可得函数()f x 的图像关于点(1,0)对称， 联立可得(2)()f x f x -=-，所以()f x 是以2为周期的周期函数， 又由函数sin y x π=的周期为2，且关于点(,0)()k k Z ∈对称， 因为当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，由图像可知，函数2()log f x x =-和sin y x π=的图像在[1,1)-上存在1234111,,0,22x x x x =-=-==四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得函数()()sin F x f x x π=-，在区间[2,]m -上有2021个零点，其中1234312,,1,22x x x x =-=-=-=-都是函数的零点，即函数()()sin F x f x x π=-在[0,]m 上有2017个零点，如果m 是第207个零点，则20171210084m -=⨯=，如果m 是第2018个零点，则12017100822m =+=，即20171008,2m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．13．【答案】：A 【解析】：①当2πϕ=时，()2sin 22cos22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∵()2cos(2)2cos2()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数， ②当()f x 为偶函数时，,Z 2k k πϕπ=+∈，综上所述，2πϕ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件，故选：A14．【答案】：B【解析】：21cos sin 222A c b A c --==，即cos b A c =，所以sin cos sin BA C=，所以cos cos sin A C B =cos sin sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠，所以cos 0C =，所以cos 0C =是直角数学卷，故选B 15．【答案】：4【解析】：|sin |y x =图像如图，可知|sin |y x =的周期为π，严格单调递增区间是,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的严格单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，令1k =，易知A 正确16．【答案】：B【解析】：令()0f x =，则1sin()2x ωϕ+=，令t x ωϕ=+，则1sin 2t = 则问题转化为sin y t =在区间3,44ππωϕωϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上至少有两个，至多有三个t ，使得1sin 2t =， 作出sin y t =和12y =的图像，观察交点个数，可知使得1sin 2t =的最短区间长度为2π，最长长度为223ππ+， 由题意列不等式的：3222443πππωϕωϕππ⎛⎫⎛⎫≤+-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：1643ω≤<，故选B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．【答案】：见解析【解析】：（1）因为P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35-，可求得纵坐标为45，所以4tan 3θ=-， 所以cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--．（2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则11tan 113tan tan 141tan 213παθαα--⎛⎫=-===- ⎪+⎝⎭+18．【答案】：见解析 【解析】：（1）由图可得37341264A T πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，∴T π=， ∴22πωπ==，则())f x x ϕ=+，又7721212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,3k k Z πϕπ=+∈， ∵02ϕπ<<，∴3πϕ=，∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）()()226363h x f x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦233sin 2sin 23sin 2cos cos2sin sin 2sin 22cos233322x x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3333sin 4cos4sin 4444264x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． ∵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则当462x ππ-=时，()h x 取得最小值为0， 当462x ππ-=时，()h x 取得最大值为94，()h x 的取值范围为90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．【答案】：见解析【解析】：（1）设DEF 的边长为x 千米 由3πθ=，得11,22CE x AE a x ==-．在AEF 中，,333FEA A ππππθ∠=--=∠=，∴AEF 为等边三角，得12AE x a x ==-，解得23x a =．所以DEF 的边长等于23a 千米．（2）设DEF 的边长为x 千米．则cos CE x θ=，cos AE a x θ=- 在AEF 中，2,,33FEA A EFA ππθθ∠=-∠=∠=，∴cos sin sin 3x a x θπθ-=，解得x ===，当2πθ+=，arctan 2πθ=-min 7ax ==所以当2πθ=-时，DEF的边长取得最小值为7千米 20．【答案】：见解析【解析】：（1）由题意，函数2())2sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭因为函数()f x 图像的相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，可得2w =．（2）将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，可得2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像． 再把橫坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin 43y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图像．当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x()g x的值域[-．（3）由方程4()3g x =，即42sin 433x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2sin 433x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设43x πθ=-，其中,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2sin 3θ=， 结合正弦函数sin y θ=的图像，可得方程2sin 3θ=在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有5个解，即5n =， 其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=， 即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-= 解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+= 所以()()()()1234512233445202223x x x x x x x x x x x x x π+++++=+++++++=． 21．【答案】：见解析 【解析】：（1）由余弦定理得222b ac ac =+-，将2a cb +=代入得到ac =，所以ABC 为等边三角形． （2）（ⅰ）由a c mb +=及正弦定理sin sin sin a b c A B C==得sin sin sin A C m B +=， 所以2sin cos 2sin cos 2222A C A C B B m +-=，因为222A C B π+=-， 所以()2sin cos 2sin cos 2sin cos 22222222B A C A C B A C B m m πππ--++⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有cos cos 22A C A C m -+=，由两角和、差的余弦公式可得 cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 222222222222A C A C A C A C A C A C m m m ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，整理得(1)sinsin (1)cos cos 2222A C A C m m +=-， 故1tan tan 221A C m m -=+． （ⅱ）由1tan tan 221A C m m -=+及半角正切公式1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+可得 21cos sin 1cos sin 1cos 1cos tan tan 22sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos A C A A C C A C A A C C A C ----⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅ ⎪++++⎝⎭22(1)(1)m m -=+， 展开整理得()2421(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-， 即()2421(cos cos )4cos cos m m A C m A C-++=-， 即222cos cos 21cos cos 1mA C m m A C m +-+=+， 即222cos cos 112cos cos 1m A C m m A C m +-+=--+，与原三角式作比较可知()m ϕ存在且22()1m m m ϕ=-+．。
2020年上海市复旦大学附中高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
绝密★启用前 2020年上海市复旦大学附中高一下学期期中数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若MP 和OM 分别是角76π的正弦线和余弦线，则（ ） A ．0MP OM << B ．0OM MP >> C ．0OM MP << D ．0MP OM >> 2．已知α、β均为锐角，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()sin sin sin αβαβ+>+ B ．()sin sin sin αβαβ+<+ C ．()cos cos cos αβαβ+>+ D ．()cos sin sin αβαβ+<+ 3．把函数sin 2y x =的图象沿着x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断： （1）该函数的解析式为2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）该函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； （3）该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数； （4）若函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a =其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个…外…………○※…内…………○4．在区间[2,2]ππ-内，函数tany x=与函数siny x=的图像交点的个数为（）A．5B．3C．7D．9第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．半径为2，圆心为300o的圆弧的长为___________.6．函数tany x=的对称轴是___________.7．在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3y x=上，则sin2θ=_______.8．求函数()sin22x xfπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递减区间__.9．若锐角αβ、满足()35cos cos513ααβ=+=-，，则cosβ=______.10．已知函数()()lg tan1f x x=-()f x的定义域是____.11．若长度为24x+，4x，26x+的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x取值范围是____.12．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω＝________.13．如图所示，在塔底B测得山顶C的仰角为60o，在山顶测得塔顶A的仰角为45o，已知塔高20AB=米，则山高DC=_______米.14．函数sin cos1sin cosx xyx x=+-的值域为_____________.15．已知()()33sin4,f x a x x a b R=++∈，且()sin105f=o，则o16．设,a b 均大于1的自然数，函数()()()sin ,cos f x a b x g x b x =+=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=___________． 三、解答题 17．已知()7cos 2325θπ-=，且θ是第四象限角． (1)求cos θ和sin θ的值；(2)求()()()3cos sin 22tan cos tan cos 1ππθθπθθθπθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--⎡⎤+-⎣⎦的值． 18．已知函数()()1cos sin cos 2f x x x x =++. （1）若1tan 2α=，求()f α的值. （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 19．（本小题满分12分） 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C c b +=． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若a =1，求△ABC 的周长l 的取值范围． 20．函数()y f x =满足()()31f x f x +=-，且1x 、()22,x ∈+∞时，()()12120f x f x x x ->-成立，若()()222cos 22sin 32m f f m m θθ++<+--对R θ∈恒成立. （1）判断()y f x =的单调性和对称性； （2）求m 的取值范围. 21．已知函数()f x ，()g x 满足关系()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭. （1）设()cos sin f x x x =+，求()g x 的解析式； （2）当()sin cos f x x x =+时，存在1x 、2x R ∈，对任意x ∈R ，()()()12g x g x g x ≤≤恒成立，求12x x -的最小值.参考答案1．C【解析】【分析】 在单位圆中画出角76π的正弦线MP 和余弦线OM ，然后根据图形比较正弦线和余弦线的大小即可.【详解】 在单位圆中画出角76π的正弦线MP 和余弦线OM ，如图所示，则0OM MP <<. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数线的应用，考查数形结合思想的应用，属于基础题.2．B【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，然后证明正确的结论成立.【详解】对于A 选项，当π3αβ==时，()sin sin sin αβαβ+<+，故A 选项不一定成立. 对于B 选项，由于α、β均为锐角，所以sin ,cos ,sin ,cos ααββ的范围均为()0,1，所以()sin sin cos sin cos sin sin αβαββααβ+=+<+，故B 选项不等式一定成立. 对于C 选项，当π3αβ==时，()cos cos cos αβαβ+<+，故C 选项不一定成立.对于D 选项，当π12αβ==时，()πcos cos 6αβ+==，πππ1sin sin 123422224⎛⎫=-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以sin sin 242αβ+==()cos sin sin αβαβ+>+，故D 选项不一定成立.故选B.【点睛】本小题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查三角恒等变换，属于基础题.3．B【解析】【分析】利用正弦型函数的图象变换规律求得函数()y f x =的解析式，然后利用正弦函数的基本性质可得出结论.【详解】把函数sin 2y x =的图象沿着x 轴向左平移6π个单位，可得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 再把纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 对于函数()2sin 23x y f x π=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故（1）错误； 由于当3x π=时，()0f x =，故该函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故（2）正确； 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，22,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故函数()y f x =该函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是增函数，故（3）错误；在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当4233x ππ+=时，函数()y f x a =+在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最小值为a =a ∴=4）正确，故选：B.【点睛】 本题主要考查正弦型三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，考查推理能力，属于中等题.4．A【解析】【分析】直接由tan sin x x =，解方程即可得到结论．【详解】 令sin 1tan sin ,sin ,sin 10cos cos x x x x x x x ⎛⎫=∴=-= ⎪⎝⎭，sin 0x ∴=或cos 1x =，又因为[2,2],202x x ππππππ∈-∴=--、、、、共5个值，所以两个函数图象的交点个数为5个，故选A .【点睛】本题主要考查函数图象的交点个数的判断，利用函数和方程之间的关系，直接解方程即可。
2019-2020学年上海市杨浦区复旦大学附中高一下学期期中物理试卷(含答案解析)
2019-2020学年上海市杨浦区复旦大学附中高一下学期期中物理试卷一、单选题（本大题共7小题，共28.0分）1.如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，脱水筒旋转稳定前，转动越来越快，则在这过程中，下列物理量变小的是()A. 线速度B. 角速度C. 转速D. 周期2.利用盛沙的漏斗演示简谐振动，如果考虑漏斗里砂子逐渐减少，则沙摆的频率将()A. 逐渐增大B. 逐渐减少C. 先增大后减少D. 先减小后增大3.在光滑水平面上，a、b两球沿水平面相向运动．当两球间距小于或等于L时，受到大小相等、相互排斥的水平恒力作用；当两球间距大于L时，则相互作用力为零．两球在相互作用区间运动时始终未接触，两球运动的v−t图象如图所示，则()A. a球质量小于b球质量B. t1时刻两球间距最小C. 0−t2时间内，两球间距逐渐减小D. 0−t3时间内，b球所受排斥力方向始终与运动方向相反4.2017年10月24日，在地球观测组织(GEO)全会期间举办的“中国日”活动上，我国正式向国际社会免费开放共享我国新一代地球同步静止轨道气象卫星“风云四号”(如图所示)和全球第一颗二氧化碳监测科学实验卫星(简称“碳卫星”)的数据。
“碳卫星”是绕地球极地运行的卫星，在离地球表面700公里的圆轨道对地球进行扫描，汇集约140天的数据可制作一张无缝隙全球覆盖的二氧化碳监测图。
下列关于这两颗卫星的说法正确的是()A. “风云四号”卫星的线速度大于第一宇宙速度B. “风云四号”卫星的线速度小于“碳卫星”的线速度C. “风云四号”卫星的运行周期小于“碳卫星”的运行周期D. “风云四号’’卫星的向心加速度大于“碳卫星”的向心加速度5.一弹簧振子做简谐运动，它所受的回复力F随时间t变化的图线为正弦曲线，如图所示，下列说法不正确的是()A. 在t从0到2 s时间内，弹簧振子做减速运动B. 在t1=3s和t2=5s时，弹簧振子的速度大小相等，方向相反C. 在t1=5s和t2=7s时，弹簧振子的位移大小相等，方向相同D. 在t从0到4 s时间内，t=2s时刻弹簧振子所受回复力做功功率最小6.如图为一质点作简谐运动的图象，则在图中t1和t2两个时刻，振子具有相同的物理量是()A. 加速度B. 位移C. 速度D. 回复力7.人在沼泽地上行走时会陷下去，当人加速下陷时()A. 人处于超重状态B. 人对沼泽地的压力大小等于沼泽地对人的支持力大小C. 人对沼泽地的压力大小大于沼泽地对人的支持力大小D. 沼泽地对人的支持力等于人的重力二、多选题（本大题共5小题，共20.0分）8.下列选项与多普勒效应有关的是()A. 科学家通过比较星球与地球上同种元素发出光的频率来计算星球远离地球的速度B. 医生利用超声波探测病人血管中血液的流速C. 技术人员用超声波探测金属、陶瓷、混凝土中是否有气泡D. 交通警察向车辆发射超声波并通过测量反射波的频率确定车辆行进的速度9.一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法不正确的是()A. 质点振动频率是4HzB. 在10s内质点经过的路程是20cmC. 第4s末质点的速度是零D. 在t=1s和t=3s两时刻，质点位移大小相等、方向相同E. 在t=2s和t=6s两时刻，质点速度相同10.关于波的认识，下列说法正确的是()A. 潜艇利用声呐探测周围物体的分布情况，利用的是波的反射原理B. 发生多普勒效应时，波源的频率发生了变化C. 机械波在介质中的传播速度是由介质本身的性质决定的D. 波在传播过程中绕过障碍物向前传播的现象，是波的折射现象E. 医生利用超声波探测病人血管中血流的速度，利用的是多普勒效应11.下列说法正确的是()A. 入射波的波长等于反射波的波长B. 在纵波中，两个密部或两个疏部之间的距离等于一个波长C. 介质中的质点的沿水平方向振动，波沿水平方向方向传播，此类波为纵波D. 做简谐运动的物体在振动方向上所受的合外力，可以使是恒力，也可以是变力E. 在敲响古刹里的大钟时，有的同学发现，停止对大钟的敲击后，大钟仍“余音未绝”，究其原因是：大钟停止了振动，但空气仍在振动12.如图所示，在一根长为L的细线下面系一质量为m的小球，将小球拉离竖直位置，使悬线与竖直方向成α角，给小球一个初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面，这就是常见的圆锥摆模型。
2019复旦附中高一期中
复旦附中高一期中数学试卷2018.11一.填空题1.集合{}∅的元素个数是2.已知()f x =(2)f x -的定义域是3.命题“若3x >或2y >，则224x y +>”的逆否命题是4.函数4y x x=+（0x >）的递增区间是5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x <时，()(2)f x x x =-，则0x >时，()f x =6.若关于x 的方程22(1)4(1)10a x a x -+++=无实根，则实数a 的取值范围是7.函数221()()1x f x x ++=的值域为8.已知正实数,x y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于9.设集合A 、B 是实数集R 的子集，[1,0]A B =-R ð，[1,2]B A =R ð，[3,4]A B =R R 痧，则A =10.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，则下列函数：①|()|f x ；②(||)f x ；③1()f x ；④()()f x f x -；其中在(,0)-∞上递减的是11.设函数1(|)2|x f x x +=，区间[,]M a b =（a b <），集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使得M N =的实数对(,)a b 有对12.对任何有限集S ，记()p S 为S 的子集个数.设{1,2,3,4}M =，则对所有满足A B M ⊆⊆的有序集合对(,)A B ，()()p A p B 的和为二.选择题13.已知x ∈R ，则12x >是12x <的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（）A.(,)a b 和(,)b c 内 B.(,)a -∞和(,)a b 内 C.(,)b c 和(),c +∞内 D.(,)a -∞和(),c +∞15.若整数集Z 的子集S 满足条件：对任何,a b S ∈，都有a S b -∈，就称S 是封闭集.下列命题中错误的是（）A.若S 是封闭集且{0}S ≠，则S 一定是无限集B.对任意整数a 、b ，{|,,}S n n ax by x y ==+∈Z 是封闭集C.若S 是封闭集，则存在整数k S ∈，使得S 中任何元素都是k 的整数倍D.存在非零整数,a b 和封闭集S ，使得,a b S ∈，但,a b 的最大公约数d S∉16.设()f x 是定义在R 上的函数，下列关于()f x 的单调性的说法：（1）若存在实数a b <，使得()()f a f b <，则存在实数c d <，满足[,][,]c d a b ⊆，且()f x 在[,]c d 上递增；（2）若()f x 在R 上单调，则存在x ∈R ，使得(())f f x x ≠-；（3）若对任意0a >，存在d ∈R ，使得0d a <<，且()()f x d f x +>对一切x ∈R 成立，则()f x 在R 上递增；其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3三.解答题17.已知命题:p 0x ≤或2x ≥，q ：x a ≤.（1）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若对任意x ∈R ，p 、q 中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围.18.已知α、β是关于x 的方程2220x kx k -++=的两实根，且αβ<.（1）若1αβ<<，求实数k 的取值范围；（2）若α、[0,3]β∈，求实数k 的取值范围.19.对关于x 的不等式|2|3x a x -<+.（1）当1a =时，求解不等式；（2）若该不等式对一切[1,1]x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.20.已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，满足对任意x 、y ∈R ，()()()f x y f x f y +=+，()()()f xy f x f y =.（1）求()f x 的零点；（2）判断()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（3）①当x ∈Z 时，求()f x 的解析式；②当x ∈R 时，求()f x 的解析式.21.（1）设实数0t ≠、1，若关于x 的方程2201t tx tx +=-+有实根，求t 的取值范围；（2）设r ∈R ，若存在实数0t ≠、1，使得r 是（1）中方程的实根，求r 的取值范围；（3）设()f x 是定义在R 上的函数，若实数x 满足((()))f f f x x =，但()f x x ≠，则称x 是()f x 的三阶不动点，对存在三阶不动点的一切函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ），及()f x 的一切三阶不动点x ，求|()||()(())||(())|m x f x f x f f x f f x x =-+-+-的最小值.参考答案一.填空题1.12.(,2]-∞3.若224x y +≤，则3x ≤或2y ≤4.[2,)+∞5.(2)x x -+6.5(,1]3--7.[0,2]8.99.,1)(2,3)(4,)(-∞+∞ 10.①②③11.312.2401二.选择题13.A14.A 15.D 16.B三.解答题17.（1）,](,0]([2,)0a q p a ∞⊆-∞+∞⇒⇔⇔-≤ ；（2）x ∈R ，p 或q 为真,]((,0][2,))2(a a ∞-∞+⇔-∞=⇔≥R .18.记2()22f x x kx k =-++（1）1(1)303f k k αβ<<⇔=-<⇔>；（2）24(2)003(0)20(34,[0,)11503]1125k k f k k k f k αβαβ⎧∆=⎪∈⎧⎪⇔⇔<≤⎨⎨≠⎩⎪⎪⎩-+>≤≤=+≥=-≥.19.（1）1a =时，|21|3(3)214323x x x x x x -<+⇔-+<+⇔-<<<-（2）对一切[1,1]x ∈-，|2|3x a x -<+，即(3)23x a x x -+<-<+，即333x a x -<<+记()3,[1,1]f x x x ∈-=-，()33,[1,1]g x x x ∈-=+则,f g 在[1,1]-递增，所以max (1)2f f ==-，min (1)0g g =-=对一切[1,1]x ∈-，max min ()()f x a g x f a g <<⇔<<，即20a -<<.20.记()()()f x y f x f y +=+①()()()f xy f x f y =②（1）在①中取0y =得(0)0f =.若存在0x ≠，使得()0f x =，则对任意y ∈R ，()(()()0y y f x f x f xy f x =⋅==，与()f x 不恒为0矛盾.所以0x ≠时，()0f x ≠，f 的零点是0（2）在①中取y x =-得()()(0)0f x f x f +-==，即()(),f x f x x -=-∈R ，所以f 是奇函数.所以f 在R 上递增.（3）②中取,1x y =得2(1)((1))f f =.因为(1)0f ≠，所以(1)1f =对任意正整数n ，由①，(1)()(1)1n f n f n n f +=+=⨯= 个，()()f n f n n -=-=-又因为(0)0f =，所以x ∈Z 时，()f x x=对任意有理数m n （,m n ∈∈*Z N ），由①，)(()((()n m m m m f f nf n n n f m f n n =⋅=++= 个，所以())(f m f m m n n n==，即对一切x ∈Q ，()f x x =若存在x ∈R ，使得()f x x ≠，不妨设()f x x >（否则以()f x --代替()f x ，x -代替x 即可），则存在有理数α，使得()x f x α<<（例如可取1)[1(f x n x+-=，[]1m nx =+，m nα=）.x α<但(())f x f αα=>，与f 的递增性矛盾.所以x ∈R 时，()f x x =.21.（1）22403110t t t t t t ⎧∆=≥⎪⇔≤->-⎨⎪≠⎩-或（2）2222001100t r t t r r r t r t rt ⎧⎧==⎪⎪⇔--⎨⎨⎪⎪≠+≠+⎩+⎩+，所以存在0,1t ≠，使得r 是关于x 的方程2201t t x tx +=-+的解⇔0,1r ≠，且关于x 的方程2201r r x rx +=-+有实数解31r r ⇔≤->或（3）设x 是函数2()f x x ax b =++的三阶不动点，记()y f x =①()z f y =②则((()))()x f f f x f z ==③记,,r x y s y z t z x =-=-=-，则0r s t ++=.①-②，②-③，③-①得()()()r x y a s s y z a t t z x a r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，因为()f x x ≠，即0r ≠，所以0,s t ≠，即x y a y z a z s r t s r a t x ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩④⑤⑥⑤-⑥得r r t t s =-，即21rs t t=-，又因为r s t +=-，所以,r s 是关于关于x 的方程2201t t x tx +=-+两根.由（1）（2），(,3](1),,,r s t ∈-∞-⋃+∞.因为0r s t ++=，所以,,r s t 中至少有一个为负，不妨设3t ≤-，则0r s t +=->，201t trs =>-，所以,0r s >，||||||26m r s t r s t t =++=+-=-≥当2294216a a b --=时，f 有三阶不动点542x a =-，满足6m =，所以m 的最小值为6.。
2019-2020学年上海中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C三点.则△ABC的面积为___ ．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．6.（填空题.3分）已知sin（x- π4）= 35.则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.为了得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义.直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点.因为A（2.-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5 .∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义.以及学生的运算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性.得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2.故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性.属于基础题．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm.圆心角α的弧度数为2.则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象.求出三个点的坐标.然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象.可得A（0.0）.B（π.0）.令sinx= 12 tanx.解得C（π3. √32）.所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法.考查转化思想以及计算能力．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限.或第二象限.根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.∴sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13.当α在第一象限时.cosα=2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第二象限时.sinβ=sinα= 13.cosβ=-cosα=- 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 .当α在第二象限时.cosα=-2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第一象限时.sinβ=sinα= 13 .cosβ=-cosα= 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α.β角的终边关于y 轴对称. ∴α+β=π+2kπ.k∈Z .∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79． 故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式.以及同角的三角函数的关系.需要分类讨论.属于基础题6.（填空题.3分）已知sin （x- π4 ）= 35 .则sin2x 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925.从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35. ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925. ∴1-sin2x= 1825. ∴sin2x= 725 ． 故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦.考查诱导公式的应用.考查转化思想与运算能力.属于中档题．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件.利用和差角公式.平方关系化简可得sin（x-y）=1.进而得到答案．【解答】：解：∵x.y∈（0.π）.且-π＜x-y＜π.∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π）.故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值.考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0.整理得：acosB+bcosA=-3ccosA.故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA.即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA.故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2.整理得bc=3.所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题.作出两个函数的图象.可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点.横坐标分别为x1.x2.数形结合可知. x1+x22=π6，1−a∈[1，2) .∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质.以及利用数形结合思想解决问题的能力.同时考查了学生的运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 .据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则有f（α）-f（β）＞0.即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.又由0＜α＜β＜π2 .则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0 .变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1 .必有m≤1.即m的取值范围为（-∞.1]；故答案为（-∞.1]．【点评】：本题函数的单调性的性质.涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用.属于基础题11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα.从而由诱导公式即可得解．【解答】：解：∵cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.∴sinα= √1−cos2α = √1−k2 .∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用.运用诱导公式化简求值.属于基本知识的考查．12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A.B中的α.β可以分别令为30°.60°验证即可.对于C中的α.β可以令他们都等于15°.验证即可.对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α.β可以分别令为30°.60°则知道A.B均不成立对于C中的α.β可以令他们都等于15°.则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式.同时也考查了放缩法对命题的证明.属于基础题．13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π）.为了2得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π12个单位B.向右平移π6C.向左平移π个单位12个单位D.向左平移π6【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得f（x）的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）的图象.可得A=1. 14•2πω= π3- π12.∴ω=2．再根据五点法作图.可得2× π12+φ= π2.∴φ= π3.故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位.可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象.故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0.π）上的单调递减区间.从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0. 5π12）上单调递增.在（5π12 . 11π12）上单调递减.在（11π12.π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0. 3π4）上单调递减.在（3π4.π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12 . 3π4）上单调递减.∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题.是中档题．15.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α.β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ. cosβsinα的取值范围.再对x的值分类讨论.结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α.β为锐角且α+β＞π2 .∴ π2＞α＞π2-β＞0.∴cosα＜cos（π2 -β）.sinα＞sin（π2-β）.即0＜cosα＜sinβ.sinα＞cosβ＞0.∴0＜cosαsinβ＜1.0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞.0]上. f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数.在（0.+∞）上. f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点.考查了三角函数的性质.属于基础题．16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.所以a2+b2-c2=2019c2.则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB).= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C.= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子.再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.诱导公式的应用.要特别注意公式中的符号．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象.利用余弦函数的性质即可求解其值域.最小正周期.对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6）.列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2.2].最小正周期为π.对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象.令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象.y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.考查正弦函数的性质.属于基础题．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系.即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α.所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0) .从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213.sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35.所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题.也考查了三角函数化简求值问题.是中档题．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中.分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中.利用正弦定理可得：BC.再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中. ∠CDA=θ+π6.由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA.得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6) .在△ABC中. ∠ACB=π3−θ .由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC.得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中.由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC.得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ .∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3 .∵ π12≤θ≤π6.∴ π6≤2θ≤π3.∴当θ=π12时.AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ.f（x）是偶函数. ∴（4ta nθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立.∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1）.其最小值为-6.此时sinθ=35，cosx=−1 .∴f（x）=3（cosx-1）.从而f（x）的最大值为0.此时x的取值为x=2kπ.k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值.知g（x）的图象关于x=π6对称.有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0 .且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0 .从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3) .则ωπ3=kπ−2ωπ3.即ω=k（k∈Z）又ω＞0.则ω是正整数.∵λ＞0.ω是正整数.∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3 .当ω=1时. g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=4时. g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3 .显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=7时. g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3 .显然.g（x）g（x）在x=π6处有最小值.且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称.∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.分类讨论思想的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．。
2019-2020学年复旦附中高一下英语期中考试卷
上海交通大学附属中学2019-2020 学年度第二学期高一英语期中考试（满分150 分，120 分钟完成，答案一律写在答题纸上）第I 卷(90’)I.Listening Comprehension (20’)Section ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. Worried and frightened. B. Relaxed and happy.C.Quite embarrassed.D. Deeply ashamed.2. A. Bill has never used a calculator. B. Bill can work better without a calculator.C.Bill is working with a calculator.D. Bill needs a calculator for this work.3. A. To cut his jeans short. B. To go on a diet.C.To wear fitted clothes.D. To buy a pair of jeans.4. A. Having an interview. B. Filling out a form.C.Talking with a friend.D. Asking for information.5. A. Put her report on his desk. B. Read some papers he recommended.C.Mail her report to the publisher.D. Improve some parts of her paper.6. A. Make some coffee. B. Meet the woman at the library.C.Continue to read.D. Go out with some friends.7. A. The man should buy a different meal ticket every month.B.Buying the meal ticket won’t save the man any money.C.It is better for the man to pay for each meal separately.D.The price of a meal may vary from month to month.8. A. She’s upset that she missed the television program.B.She doesn’t think the television program was funny.C.She doesn’t like talking about television programs.D.She watched the television program at a friend’s house.9. A. He doubts the woman’s words. B. He hasn’t read the novel yet.C. He enjoyed reading the novel a lot.D. He is not interested in the novel at all.10. A. The talks haven’t started yet. B. They have come to a general agreement.C. The talks haven’t achieved much.D. The talks broke down and went no further.Section BDirections: In Section B, you will hear two short passages and one longer conversation, and you will be asked several questions on each of the passages and the conversation. The passages and the conversation will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. They learn singing and dancing. B. They attend outdoor music festivals.C. They work on the farm for charity.D. They volunteer to work for others.12. A. On the beach. B. In a park. C. On a farm. D. In a stadium.13. A. It is run on a profit-making basis. B. It has achieved growing success.C. Fans can have free lunch there.D. Only superstars are invited to perform.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. The number of refugees is increasing sharply.B.Most refugees cannot get necessary services.C.Many refugee children cannot receive education.D.More children cannot afford to go to university.15. A. No host nations want to change education systems.B.It is impossible to find so many extra teachers.C.Parents can’t afford to send their kids to school.D.The refugee population grows but there’s not enough money.16. A. The necessity of education.B.The prohibition of child labor.C.The victims of armed conflicts.D.The living conditions of the poor.Questions 17 through 20 are based on the following conversation.17. A. It has started a week-long promotion campaign.B.It has just launched its annual anniversary sales.C.It offers regular weekend sales all the year round.D.It specializes in the sale of men’s suits.18. A. Price reductions for its frequent customers.B.Gift cards for customers with any purchases.C.Free delivery of purchases for senior customers.D.Price adjustments within seven days of purchase.19. A. Mail a gift card to her. B. Allow her to buy on credit.C. Credit it to her account.D. Give her cash directly.20. A. It has already been sold out. B. It will be sent to the woman by mail.C. It is not available for the moment.D. It is one of the items on sale.II.Grammar and Vocabulary(23’)Section A (13’)Directions: Beneath each of the following sentences there are four choices marked A, B, C, and D. Choose the one answer that best completes the sentence.21.I'll bring some medicine just some of us get sick while travelling．A．as if B．in case C．even though D．as long as22.Yesterday he sold out all his stamps at he thought was a reasonable price.A. thatB. whichC. whatD. as23.The good situation came at last we had been expecting in the past two years．A. where B．that C．when D．in which24.Research suggests that there a close relationship between retaining customers andmaking profits.A. wasB. beC. isD. are25.When was it he found he thought was the correct way to solve the problem?A. that; whatB. that; thatC. when; whatD. when; that26.Although he knew little about the large amount of work done in the field, he succeededother more well-informed experimenters failed.A. whichB. thatC. whatD. where27.it be in the restaurant you had dinner with me yesterday youlost your handbag?A. Could; which; whenB. Must; where; thatC. Could; where; thatD. Must; which; when28.It is 20 years the London Eye, the giant city-centered wheel, opened.A. whenB. afterC. beforeD. since29.Only by learning to understand and respect your cat better be able to win themover as their favorite human.A. can youB. you canC. you willD. will you30.Don't this news to the public until we give you the go-ahead.A. relieveB. revealC. releaseD. reject31.His refusal to work late was as a lack of commitment to the company.A. interruptedB. interpretedC. interferedD. interviewed32.The sitting room is big enough to hold 50 people and still have room to .A. spendB. storeC. saveD. spare33.Halfway through the three-hour meeting my mind started to .A. wonderB. floatC. wanderD. captureSection B (10’)Directions: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can be used only once. Note that there is one word more than you need.milestone: the moment that complex eukaryotic(真核的) life appeared on Earth.Eukaryotes(真核生物) have large cells with complex (34) structures. While the first eukaryotic organisms were all single-celled, they gave (35) to all multicellular life, including fungi, plants and animals.Leiming Yin at the Nanjing Institute of Geology and Paleontology in China and his colleagues found the fossils in a set of rocks called the Hutuo Group in the Wutai mountains. Previous studies have shown that the rocks were (36) down between 2.15 and 1.95 billion years ago.Experts gave the fossils a cautious (37) .It is reasonable that they are eukaryotes, says Malgorzata Moczydtowska-Vidal at Uppsala University in Sweden. “I could go for them being eukaryotic,” says Anette Hogstrom at the ArcticUniversity of Norway.However, the (38) is solely based on the shapes of the fossils, says Yuangao Qu at the Institute of Deep-sea Science and Engineering at the Chinese Academy of Sciences in Sanya.“If more geochemical data could be obtained, it would be more (39) ."If confirmed to be eukaryotes, the fossils are arguably the oldest known. Previously the oldest (40) eukaryotes were around 1.5 billion years old.Some researchers have claimed to have found (41) older eukaryotes: one 2017 study reported fungi, which are eukaryotes, in rocks 2.4 billion years old. However, these older microfossils are rare and poorly (42) , and it isn't clear that they are really eukaryotes, says Hogstrom. They could be bacteria that look superficially like fungi, for instance. The only certain thing is that these microbes (43) in a marine environment with relatively high oxygen levels in the surface layers.III.Reading Comprehension (47’)Section A (15’)Directions: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Raise a Resilient KidLife is unpredictable but resilience gives us the ability to thrive in both good times and difficult ones. It means being able to carry on when faced with emotional or physical challenges and (44) to changing circumstances. (45) , resilience is not a trait you’re born either with or without. It is a skill set you can help your kids learn so they can use it for the rest of their lives.1.Embrace second, third, and last placeNo one is the best at everything or needs to be. "When you learn what you’re good at and what you’re not good at, that’s a major step to thriving in the world," says Kenneth R. Ginsburg, M.D., the codirector of the Center for Parent and Teen Com munication at Children’s Hospital of Philadelphia and the (46) of books including Building Resilience in Children and Teens. The best way to help kids with that lesson: “Let them explore and even (47) sometimes,” says Katherine Rosenblum, Ph.D., a clinical and developmental psychologist at the University of Michigan. The key is to (48) the effort it takes along the way so they’ll see the inherent value of hard work (49) the prize at the end. “It’s not about celebrating successes or academic achievements—we’re talking about celebrating the (50) we want our kids to have and the way we want them to behave,” Dr. Ginsburg says. Praise your child for trying out for the school play before you know the results; show support for baseball practice, not just games. 2.Let kids process (51) feelingsIt’s hard to see your child upset when he or she makes a mistake at a recital or a sports game or has a conflict with a peer. (52) , experiencing and working through tough emotions helps kids develop the ability to tolerate them down the road. Your support is essential. Let kids feel sad, angry, and disappointed sometimes, says Dayana Jimenez, Psy. D., a New York City-based clinical psychologist who (53) in working with children. If they start learning to manage those feelings in little bouts along the way, they’ll be better equipped to (54) the stress of bigger disappointments later.3.Encourage kids to help othersIn the (55) times, resilience might require reaching out to another person and asking for a helping hand. Developing social skills early is (56) _ to being able to ask for the help we will all need at some point. Dr. Ginsburg says. By (57) and helping others, kids learn how good it feels to be on the giving end; then, when they’re in a position to be on the receiving end, they won’t feel (58) to ask.44. A. adopt B. accustom C. adapt D. alter45. A. Fortunately B. Surprisingly C. Embarrassingly D. Consequently46. A. editor B. author C. composer D. publisher47. A. escape B. suffer C. greet D. fail48. A. spare B. make C. reward D. put49. A. in case of B. with regard to C. in terms of D. regardless of50. A. disciplines B. values C. honors D. passions51. A. negative B. horrible C. positive D. mixed52. A. In fact B. However C. Furthermore D. Thus53. A. assists B. involves C. calls D. specializes54. A. cope B. handle C. settle D. shelter55. A. best B. worst C. urgent D. necessary56. A. ready B. helpful C. identical D. crucial57. A. volunteering B. rehearsing C. snapping C. committing58. A. sorry B. ashamed C. regretful D. delightedSection B (32’)Directions: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)Thousands of free, popular children's apps available on the Google Play Store could be violating the Children's Online Privacy Pro tection Act (COPPA), according to a new large•scale study, highlighting growing criticism of Silicon Valley's data collection efforts. “This is a market failure,” said Serge Egelman, a coauthor of the study. “What we have uncovered points out basic enforcement(执行) work that needs to be done.”The potential violations were abundant and came in several forms, according to the study. More than 1,000 children's apps collected identifying information from kids using tracking software whose terms explicitly forbid their use for children's apps. The researchers also said nearly half the apps fail to always use standard security measures to transmit sensitive data over the Web, suggesting a violation of reasonable data security measures laid out by COPPA.Some of the apps in question included Disney's “Where's My Water？”, Gameloft's “Minion Rush” and Duolingo, a language learning app. The fi ndings also suggested that app creators that had been officially recognized as COPPA compliant(遵守) were no better than any of the other app developers at protecting children's privacy.Disney argued that the study doesn't claim to identify any actual viola tions. “Protecting children's online privacy is very important to us and we are confident that our practices comply with the law,” the company said. “We have a sound COPPA compliance program, and we maintain strict data collection and use policies for Disney apps created for children and families.”Gameloft announced that children's privacy is of “utmost importance” and is investigating the issue. “We have a very strict data collection policy at Gameloft and always make sure that we ar e compliant with protection laws,” the company said.Duolingo did not respond to requests for comment.Although Google stated that “We are taking the researcher's report very seriously and looking into their findings”, critics of Google's app platform say the company has profited greatly from advances in data tracking technology. “Google has basically looked the other way while it was abl e to generate revenues off of children's apps,” said Jeffrey Chester, the executive director of the Center for Digital Democracy. “The new alarming report is further evidence that Google is thumbing_its_nose_at the only federal online privacy law that we have.”59.Which one of the following statements is wrong according to the second paragraph?A.The potential violations came in the same form.B.The quantity of the potential violations of COPPA was very large.C.Many children’s apps use tracking software to collect private information.D.Some children’s apps fail to use standard data security measures laid out by COPPA.60.How did companies respond to the accusation of violating COPPA?A.Disney claimed to strictly obey privacy laws.B.Gameloft questioned the validity of the study.C.Duolingo planned to adopt strict data collection policies.D.Google admitted to the charge and promised to do more.61.What does the underlined phrase “thumbing its nose at” probably mean?A.observing.B. disrespecting.C. prohibiting.D. introducing.62.The purpose of the passage is to ．A.charge app companies with the violation of COPPArm readers of different ways to violate child privacy lawsC.illustrate the growing criticism of app's data collection functionD.highlight the urgency of strengthening enforcement of COPPA(B)When Brody, a 4-year-old Connecticut boy, was asked what wish he wanted to come true, his only dream was that he could play outside.Brody was born premature at 27 weeks, which caused him to overheat and burn easily. That means he can't spend any time outside and he'll get burn blisters (水疱) on his face even when he is driven to the hospital. Besides, there are a lot of things he can't do. He has trouble walking and only began talking one year ago. Brody can't eat or drink and has to wear a backpack 24/7 that contains a pump that feeds him. “I can't even count the number of surgeries he's had since he was born,” Brody's mother said. “He's spent probably half his life at the hospital.”When Make-A-Wish Connecticut, an organization that creates life-changing wishes for children with critical illnesses, heard about Brody's request to play outside, they immediately jumped into action. “It's the most simple, most sweet wish, just to play outside but it seems to be the most difficult to realize.” said Debbie Artinian, the manager of Make-A-Wish Connecticut.Artinian and her team determined that a temperature-controlled tent outside Brody's home where he could play and not be in the sun would be the best option. But they had to find a tent that could stand weather conditions like wind and snow and had the right material to block all UV rays. Luckily, Artinian found a company based in the United Kingdom that could design and make thetent. Make-A-Wish Connecticut learnt that Brody loves the beach, even though he is not able to go into water because of his backpack. So they filled the tent with water toys and a kids’ pool filled with balls to make Brody feel as much as possible like he's out at the beach.Brody got his first look at the tent earlier this summer. “When he walked out of the door and I saw his face, it was just everything,” said Artinian. “Now when Brody says ‘Can I go out and play?’, his mom can say, “Yes.” “Brody is now enjoying spending nearly all his time "outside” i n the tent.It's hard to make life completely normal for Brody, but Artinian and her team tried to make it as normal as they could.63.What can we learn about Brody?A.He can't communicate with others.B. He can't stand on his feet.C. He can't be given surgeries any more.D. He can't be exposed to sunlight.64.Make-A-Wish Connecticut thought Brody's dream wasA.inspiring and heart-warmingB. simple but incredibleC. challenging but worthwhileD. difficult and unachievable65.Why does the author mention the beach in Paragraph 4?A.To show that Brody is a boy who loves nature.B.To prove that the design company was responsible.C.To suggest that Artinian and her team were considerate.D.To emphasize that the skill in building the tent was the latest.66.What does the story mainly tell us?A.One good turn deserves another.B. Tough life experience may result in success.C.A helping hand makes a difference.D. All things are difficult before they are easy.(C)The year 2018 will mark the 100th anniversary of the deadliest influenza outbreak in history. It is estimated that the influenza pandemic of 1918 killed more than 50 million people around the world. Other estimates go much higher. Because of a lack of medical record-keeping, we may never know the exact number.The influenza was a fast killer. Some victims died within hours of their first symptoms. Others died after a few days. “Their lungs filled with liquid and they choked to death.” The 1918 flu pandemic was also different from other outbreaks. It struck many young, healthy people. Viruses usually affect sick or old people.Although modern medicine effectively controls many diseases, influenza remains difficult to protect against. The World Health Organization estimates that every year influenza kills 250,000 to 500,000 people around the world. Each year, medical scientists develop flu vaccines which offer immunity(免疫) from some influenza viruses. But they can only guess which form of the virus will spread.Health officials remain concerned about another flu pandemic. New forms of the flu virus appear regularly. One example was the “swine flu” or H1N1 outbreak in 2009. Anthony Fauci, Director of the National Institute of Infectious Diseases in the United States says that virus caused a true pandemic.To stop the next pandemic, scientists are now researching how to create a universal influenza vaccine. In October 2017, Vanderbilt University Medical Center in the U. S. announced the Universal Influenza Vaccine Initiative. The university said researchers are leading an internationaleffort to develop a universal influenza vaccine that will protect everyone against all forms of the flu anywhere in the world. The university added that researchers will begin tests in early 2018. The Human Vaccines Project, a public-private partnership, is funding the project. However, until a universal influenza vaccine is available, today’s seasonal flu vaccine remains important.67.What do we know about the influenza in 1918?A.It swept across the whole Europe.B. It killed the largest number of people.C. No one survived the first few days.D. It struck only young and healthy people.68.Why is influenza difficult to protect against?A.It spreads too rapidly.B. It is quite easy to catch.C. It’s hard to judge the form of virus.D. No vaccine is available.69.What does the author want to tell by mentioning H1N1 in 2009?A.The H1N1 virus was deadly as well.B. It was the most serious in recent years.C. It was caused by the same flu virus of 1918.D. New forms of flu virus keeps appearing.70.What can we learn about the universal influenza vaccine?A.The development is quite costly.B. It can protect against all forms of flu.C. It will be used all over the world.D. It will soon come into use in 2019.(D)Children with attention problems in early childhood were 40% less likely to graduate from high school, says a new study from Duke University.The study included 386 kindergarteners from schools in the Fast Track Project, a multi-site clinical trial in the U. S. that in 1991 began tracking how children developed across their lives.With this study, researchers examined early academic attention and socio-emotional skills and how each contributed to academic success into young adulthood.They found that early attention skills were the most consistent predictor of academic success, and that likability by peers also had a modest effect on academic performance.By fifth grade, children with early attention difficulties had lower grades and reading achievement scores than their peers. As fifth-graders, children with early attention problems obtained average reading scores at least 3% lower than their contemporaries' and grades at least 8% lower than those of their peers. This was after controlling for IQ, socio-economic status and academic skills at school entry.Although these may not seem like large effects, the impact of early attention problems continued throughout the children's academic careers. Lower reading achievement scores and grades in fifth grade contributed to reduced grades in middle school and thereby contributed to a 40% lower high school graduation rate."The children we identified as having attention difficulties were not diagnosed with attention deficit hyperactivity disorder (注意力缺乏多动症）(ADHD), although some may have had the disorder. Our findings suggest that even more modest attention difficulties can increase the risk of negative academic outcomes", said David Rabiner, an associate dean of Duke's Trinity College of Arts & Sciences, whose research has focused on ADHD and interventions to improve academic performance in children with attention difficulties.Social acceptance by peers in early childhood also predicted grades in fifth grade. Children not as liked by their first-grade peers had slightly lower grades in fifth grade, while those with higher social acceptance had higher grades."This study shows the importance of so-called ‘non-cognitive' or soft skills in contributing to children's positive peer relationships, which, in turn, contribute to their academic success, " said Kenneth Dodge, director of the Duke Center for Child and Family Policy.The results highlight the need to develop effective early interventions to help those with attention problems stay on track academically and for educators to encourage positive peer relationships, the researchers said."We're learning that student success requires a more comprehensive approach, one that incorporates not only academic skills but also social, self-regulatory and attention skills,” Dodge said. "If we neglect any of these areas, the child's development lags. If we attend to these areas, a child's success may reinforce itself with positive feedback loops. "71.What is the focus of the new study from Duke University?A.The contributors to children's early attention.B.The factors that affect children's emotional well-being.C.The predictors of children's academic success.D.The determinants of children's development of social skills.72.What do we learn from the findings of the Duke study?A.Modest students are generally more attentive than their contemporaries.B.Children's academic performance may suffer from even slight inattention.C.Attention deficit hyperactivity disorder accounts for most academic failures.D.There are more children with attention difficulties than previously thought.73.What does the Duke study find about children better accepted by peers?A.They care less about grades.B. They are teachers' favorites.C. They are easy to get on with.D. They do better academically.74.What can we conclude from the Duke study?A.Children's success is related to their learning environment.B.School curriculum should cover a greater variety of subjects.C.Social skills are playing a key role in children's development.D.An all-round approach should be adopted in school education.第II 卷(60’)Section A (20’)Directions: After reading the passages below, fill in the blanks to make the passage coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.(A)You may think tai chi is only for the senior set, especially if you’ve seen groups of retirees in the park with their arms and legs (1) (move) artfully and unhurriedly. But the martial art is becoming popular among younger adults too. “We call our students seniors in training, (2) the more you do it, the more it will prepare you as you age" says David Goldberg, leader of the Tri-State Branch of the Taoist Tai Chi Society. You see people moving slowly. But it's actually not slow at all; there’s so much that goes on in the body and mi nd.” Taoist tai chi is a modified, health-focused form; it adheres to the belief (3) people cannot be steady on their feet without first being balanced internally. Here, Goldberg explains how to achieve both.What is tai chi?Tai chi is a Chinese martial art (4) (compose) of a series of movements. There are several different styles, and within them (5) (be) several forms. Some martial arts are only about aggression—you might, say, learn how to hurt a mugger or break a board. Taoist tai chi is also about spirituality, community, and (6) happens on the inside.How does tai chi improve balance?(7) we get older, we start to stiffen up. When you get up in the morning and hurt, you stop moving. Immobility only causes more immobility. Tai chi helps you keep moving. Some seniors even say that since doing tai chi, they have stopped falling down after they trip.Who can benefit from tai chi?Anyone (8) , and everyone is going to get something different from it—physically, mentally, and spiritually. You can be in any level of physical shape to do it, but it’ll change (9) you walk up and down stairs, get out of a chair, walk down the street. Because you can do it standing up or (10) (support), even people who are in wheelchairs or use walkers can do tai chi and get the same whole-body effect.(B)It’s the award no one wanted to win: 2019 was the second-hottest year on record, government scientists (11) (confirm).That’s according to two separate analyses: one conducted by NASA and one by the National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA). Each study compared 2019 Earth temperature data with scientists' historical records, (12) began in 1880. Of those 140 years, only 2016 was warmer than 2019. The analyses also (13) (show) that the five hottest years on record have been the five years (14) (begin) in 2015.“The decade that just ended is clearly (15) (warm) decade on record,” Gavin Schmidt, director of NASA’s Goddard Institute for Space Studies in New York, said in a statement. "Every decade (16) the 1960s clearly has been warmer than the one before.”According to NOAA's temperature report, 2019 was also the 43rd year in a row (17) saw above-average global land and ocean temperatures. That analysis, like the similar (18) conducted by NASA, is based on data (19) (gather) by more than 20,000 stations around the world.“We crossed over into more than 2 degrees Fahrenheit (over 1.1 degrees Celsius) warming territory in 2015 and we are unlikely to go back,” Schmidt said in the statement. “This shows that what (20) (happen) is persistent, not a fluke due to some weather phenomenon. We know that the long-term trends are being driven by the increasing levels of greenhouse gases in the atmosphere.”Secti on B (30’)Directions: Complete the following sentences in English according to what is given in Chinese, using the words given in the brackets.21.I am (震惊，shock) his decision to quit school.22.I have no (加入一个管弦乐队的意图，intention).23.I have never met her since we (从英语专业毕业，graduate).24.It is a situation that (需要，call) global cooperation.25.The letter was (撕成碎片，tear) and thrown in the bin.。
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试语文试题(含解析)
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试语文试卷（分值：150分时间：150分钟）一、课内积累（17分）1. 根据所学内容填空。
（1）《赤壁赋》中描绘曹操进兵江陵壮观景象的两句是：“___________________，____________________。
”（2）《子路、曾皙、冉有、公西华侍坐》中，通过描绘曾皙的举止来表现他注重礼乐的君子形象的句子是：“__________， __________，____________ 。
”（3）___________________，____________________。
然而不王者，未之有也。
（《齐桓晋文之事》）（4）__________________，__________________。
文质彬彬，然后君子。
（《论语·雍也第六》）（5）子曰：“君子固穷，_________________”（《论语·卫灵公第十五》）2. 解释加点字的含义。
（1）客喜而笑，洗盏更酌（《赤壁赋》）（2）今所经中岭及山巅，崖限当道者（《登泰山记》）（3）以为李广老，数奇（《李将军列传》）（4）臣之所好者道也，进乎技矣（《庖丁解牛》）（5）宣子骤谏，公患之，使鈕魔贼之（《左传》选读）（6）不迁怒，不贰过（《论语·雍也第六》）3. 将下列句子翻译成现代汉语。
（1）若舍郑以为东道主，行李之往来，共其乏困，君亦无所害。
（2）所以遣将守关者，备他盗之出入与非常也。
4. 选择题（1）对下列句子的判断，正确的一项是（）①宜乎百姓之谓我爱也②莫之能御也③王曰：“若是其甚与？”④然后驱而之善⑤夫晋，何厌之有？⑥王见之，曰：“牛何之？”⑦大王来何操？⑧然而不王者，未之有也。
A. ①②④⑥中的“之”语义各不相同。
B. ②④⑤⑧中的“之”语义相同。
C. ②⑥⑦⑧句式相同。
D. ①②③⑤句式各不相同。
（2）下列《红楼梦》中的判词与所涉人物对应不正确的一项是（）A. 二十年来辨是非，榴花开处照宫闱——贾元春B. 桃李春风结子完，到头谁似一盆兰——李纨C. 展眼吊斜晖，湘江水逝楚云飞——史湘云D. 凡鸟偏从末世来，都知爱慕此生才——探春二、阅读（63分）（一）（14分）阅读下文，完成下面小题。
2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．在△ABC 中，“sin 2A >”是“34A π<”的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要答案：A根据三角函数的性质，得到当sin 2A >时，34A π<是成立的，再利用反例，得出必要性不一定成立，即求解.解：在ABC ∆中，由sin A >，因为(0,)A π∈，可得344A ππ<<，所以当sin 2A >时，34A π<是成立的，即充分性成立；反之：例如364A ππ=<，此时1sin 22A =<，即必要性不一定成立.所以“sin 2A >”是“34A π<”的充分不必要条件. 故选：A点评： 本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．以下哪个不是25lim 21nn n q q →∞-+可能的取值（ ） A ．2B ．1-C ．52-D ．7-答案：D对q 的取值进行分类讨论，即可得答案；解：（1）若12q =，则0n q →，∴25lim 221n n n q q →∞-=+； （2）若2q =，则n q →+∞，∴25255lim lim 12122n n n n n n q q q q→∞→∞--==-++； （3）若1q =，则1nq =，∴25lim 121nn n q q →∞-=-+； 利用排除法可得D 选项不可能，故选：D.点评：本题考查数列极限的求解，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.3．若等差数列{}n a 首项为2，公差为2，其前n 项和记为n S ，则数列1{}n S 前n 项和为（ ）A ．21n n +B ．1n n +C ．1n(n 1)+D ．2(1)n n + 答案：B根据等差数列前n 项和公式求出n S ，从而得出1{}nS 的通项公式，再用裂项相消法即可求出数列1{}nS 前n 项和. 解： 等差数列前n 项()112n n n S na d -=+，等差数列{}n a 首项为2，公差为2，代入可得()()12212n n n S n n n -=+⨯=+，所以()111111n S n n n n ==-++，所以数列1{}nS 前n 项和为111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++L . 故选：B点评：本题主要考查等差数列前n 项和的求法，以及裂项相消法求数列前n 项和.4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A 、ω、ϕ均为正的常数）的最小正周期为2π，当3x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．(1)(1)(0)f f f <-<B ．(0)(1)(1)f f f <<-C ．(1)(0)(1)f f f -<<D ．(1)(0)(1)f f f <<- 答案：A根据周期公式可得4ω=，根据当3x π=时，函数()f x 取得最小值，可得1126k ϕππ=-，k Z ∈，所以()f x sin(4)6A x π=+，再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案.解： 依题意得22ππω=，解得4ω=，所以()sin(4)f x A x ϕ=+， 因为当3x π=时，函数()f x 取得最小值， 所以4232k ππϕπ⨯+=-，k Z ∈，即1126k ϕππ=-，k Z ∈， 所以11()sin(42)6f x A x k ππ=+-11sin(4)sin(42)66A x A x πππ=-=-+sin(4)6A x π=+， 因为3462πππ<+<且0A >，所以(1)sin(4)6f A π=+0<， 因为(1)sin(4)sin(42)sin[(42)]666f A A A ππππππ-=-+=-++=--++11sin(4)sin(4)66A A πππ=--=-， 又1104662πππ<-<<，所以110sin(4)sin 66ππ<-<， 因为0A >，所以0(1)(0)f f <-<，综上所述：(1)(1)(0)f f f <-<.故选：A点评：本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.二、填空题5．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 答案：12设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.解：设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，因为扇形的面积为1，弧长也为1， 可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==. 故答案为：12 点评：本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.6．计算sin40sin100sin50sin10︒︒-︒︒=________ 答案：12利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案；解： 原式1sin 40cos10cos 40sin10sin 302=︒︒-︒︒=︒=， 故答案为：12. 点评：本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.7．函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________ 答案：56π 点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解.解： 因为当[,]2x ππ∈时，51sin 62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上， 因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数， 所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π点评： 本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题.8．在△ABC中，若a =1b =，60A =︒，则B =________ 答案：6π 直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案；解：Q 11sin sin sin sin 22a b B A B B=⇒=⇒=， Q a b >，∴A B >， ∴6B π=， 故答案为：6π. 点评：本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________答案：16将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4q ，再求10a 的值。
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
复旦附中2023学年第二学期高一年级数学期中A 卷2024.04一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.函数y cosx =的最小正周期为.2.若02π-<α<,则点()cot ,cos αα在第象限.3.已知平面上,A B 两点的坐标分别是()()65,21,,,P 为直线AB 上一点,且13AP PB =,则点P 的坐标为.4.若2AB AC AB AC ==-= ,则AB AC +=.5.若α为第二象限角,且2sin cos α=α,则sin α=.6*.已知平面向量a 与b 的夹角为3π,若()1,12a b ,== ,则a在b 方向上的投影向量的坐标为.7.在ABC ∆中,,tanA tanB 是方程2670x x -+=的两个根,则tanC =.8.已知()()f x sin x =ω+ϕ,其中0,02ω>≤ϕ<π,满足以下三个条件:(1)函数()y f x =的最小正周期为π;(2)函数()y f x =的图像关为直线4x π=对称;(3)函数()y f x =在04,π⎛⎫⎪⎝⎭上足严格㺂函数.则函数()y f x =的表达式为()f x =.9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一,图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为10,点P 在其边上运动,则121A A A P ⋅的取值范围是.10.已知()()f x sin x =ω,其中0ω>.若函数()y f x =在区间36,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点,则ω的取值范围为.11.设()()244,,,48,.sin x a x a a R f x a x a x a x ⎧π-π<⎪∈=⎨++-≥⎪⎩若函数()y f x =在区间()0,+∞内恰有7个零点,则a 的取值范围是.12*.若,a b均为单位向量,下列结论中正确的是(填写你认为所有正确结论的序号)(1)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤ ,且1c = ,则a b c +-的取值范围为11,⎤-⎦;(2)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤,且22c =,则a b c +- 的取值范围为2622⎢⎥⎣⎦;(3)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则abc b ++-(4)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则1122ab bc ++-二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题,第1314-题每题4分,第1516-题每题5分13.下列说法错误的是（）.A.若//,//a b b c ,则//a cB.若,a b b c == ,则a c= C.若a 与b 都是非零向照且//a b ,则a与b 的方向相同或者相反D.若a与b 都是单位向量,则a b= 14.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c,其中a b ==.若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）.A.03,π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.06,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.32,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2033,,ππ⎛⎫⎛⎫⋃π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.设n 是正整数,集合2|,k A x x cosk Z nπ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭.当2024n =时,集合A 元素的个数为（）A.1012B.1013C.2023D.202416*.对于实数x ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[][]2.13,2.12-=-=.已知()f x sin x sinx =+,()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦,则下列3个命题4,真命题的个数为（）.(1)函数()y g x =是周期函数;(2)函数()y g x =的图像关于直线2x π=对称;(3)方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根.A.0B.1C.2D.3三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题17.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()2,3, 5.a b a b b ==-⋅=-(1)若ka b - 与2a b +垂直,求实数k 的值;(2)若ka b - 与2a kb -方向相反,求实数k 的值.18.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分4分,第3小题满分4分.已知向量)()22,12a x ,cosx b ,cosx =-=.设()f x a b =⋅.（1）求函数()y f x =的表达式，并写出该函数图像对称轴的方程;（2）将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位,得到函数()y g x =的图像,直接写出函数()y g x =的表达式;（3）求关于x 的方程()20f x +=在区间[]0,π上的解集.19.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.简车是我国古代发明的一种水利利溉T.具.如图,假定在水流挺稳定的情况下,一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动,每分钟转1圈,筒车的轴心O 距离水面的高度为52米.设筒车上的桨个盛水简P 到水面的距离为y (单位:米)(在水面下则y 为负数).若以盛水简P 刚浮出水面时开始计算时间,则y 与时少t (单位:秒)之少的关系为()y Asin t K =ω+ϕ+,其中0,0,2A π>ω>ϕ<.（1）求,,,A K ωϕ的值;（2）当()4050t ,∈时,判断盛水筒P 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态),并说明理由.20*.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.如图所示,已知3,5,OA OB OA == 与OB 的夹角为23π,点C 是ABO ∆的外接圆优孤AB 上的一个动点(含端点,A B ),记OA 与OC的夹角为θ,并设OC xOA yOB =+ ,其中,x y 为实数.（1）求ABO ∆外接圆的直径;（2）试将OC表示为θ的函数()y f =θ，并指出该函数的定义域;（3）求OC 为直径时,x y +的值.21.(本题满分18分)本共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()y g x =,若存在常数0T >,使得()()y sin g x =是以T 为周期的周期函数,则称()y g x =为“正弦周期函数”,且称T 为其“正弦周期”.（1）判断函数2xy x cos=+是否为“正弦周期函数”，并说明理由;（2）已知()y g x =是定义在R 上的严格增函数，值域为R ,且()y g x =是以T 为“正弦周期”的“止弦周期函数”,若()()90,22g g T ππ==,且存在()00x ,T ∈,使得()052g x π=,求()2g T 的值;（3）已知()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在0a >和0A >,使得对任意x R ∈,都有()()h x a Ah x +=,证明:()y h x =是周期函数.复旦附中2023学年第二学期高一年级数学期中A 卷2024.04一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.函数y cosx =的最小正周期为.【答案】π2.若02π-<α<,则点()cot ,cos αα在第象限.【答案】二3.已知平面上,A B 两点的坐标分别是()()65,21,,,P 为直线AB 上一点,且13AP PB =,则点P 的坐标为.【答案】()54,4.若2AB AC AB AC ==-= ,则AB AC +=.【答案】5.若α为第二象限角,且2sin cos α=α,则sin α=.【答案】126*.已知平面向量a 与b 的夹角为3π,若()1,12a b ,== ,则a在b 方向上的投影向量的坐标为.【答案】105⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭7.在ABC ∆中,,tanA tanB 是方程2670x x -+=的两个根,则tanC =.【答案】18.已知()()f x sin x =ω+ϕ,其中0,02ω>≤ϕ<π,满足以下三个条件:(1)函数()y f x =的最小正周期为π;(2)函数()y f x =的图像关为直线4x π=对称;(3)函数()y f x =在04,π⎛⎫⎪⎝⎭上足严格㺂函数.则函数()y f x =的表达式为()f x =.【答案】()2sin x +π（也可化简为2)sin x -9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一,图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为10,点P 在其边上运动,则121A A A P ⋅的取值范围是.【答案】100⎡-+⎣10.已知()()f x sin x =ω,其中0ω>.若函数()y f x =在区间36,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点,则ω的取值范围为.【答案】993,022,,⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭也算对11.设()()244,,,48,.sin x a x a a R f x a x a x a x ⎧π-π<⎪∈=⎨++-≥⎪⎩若函数()y f x =在区间()0,+∞内恰有7个零点,则a 的取值范围是.【答案】4387,,23254⎡⎤⎧⎫⎛⎤⋃⎨⎬ ⎢⎥⎥⎣⎦⎩⎭⎝⎦12*.若,a b均为单位向量,下列结论中正确的是(填写你认为所有正确结论的序号)(1)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤ ,且1c = ,则a b c +-的取值范围为11,⎤-⎦;(2)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤,且2c =,则a b c +-的取值范围为22⎢⎥⎣⎦;(3)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则a b c b ++- (4)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则1122a b b c ++-.【答案】(1)(2)(3)(4)二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题,第1314-题每题4分,第1516-题每题5分13.下列说法错误的是（）.A.若//,//a b b c ,则//a cB.若,a b b c == ,则a c= C.若a 与b 都是非零向照且//a b ,则a与b 的方向相同或者相反D.若a与b 都是单位向量,则a b= 【答案】A14.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,其中a b ==.若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）.A.03,π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.06,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.32,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2033,,ππ⎛⎫⎛⎫⋃π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A15.设n 是正整数,集合2|,k A x x cosk Z nπ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭.当2024n =时,集合A 元素的个数为（）A.1012B.1013C.2023D.2024【答案】B16*.对于实数x ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[][]2.13,2.12-=-=.已知()f x sin x sinx =+,()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦,则下列3个命题4,真命题的个数为（）.(1)函数()y g x =是周期函数;(2)函数()y g x =的图像关于直线2x π=对称;(3)方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根.A.0B.1C.2D.3【答案】B三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题17.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()2,3, 5.a b a b b ==-⋅=-(1)若ka b - 与2a b +垂直,求实数k 的值;(2)若ka b - 与2a kb -方向相反,求实数k 的值.【答案】（1）1712k =（2）k =18.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分4分,第3小题满分4分.已知向量)()22,12a x ,cosx b ,cosx =-=.设()f x a b =⋅.（1）求函数()y f x =的表达式，并写出该函数图像对称轴的方程;（2）将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位,得到函数()y g x =的图像,直接写出函数()y g x =的表达式;（3）求关于x 的方程()20f x +=在区间[]0,π上的解集.【答案】（1）,62k x k Z ππ=+∈（2）()2216g x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（3）526,ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】(1)()2222221,36f x x cos x sin x π⎛⎫=-+=+-⋅ ⎪⎝⎭ 分令262x k ππ+=π+,得对称轴为直线,62k x k Z ππ=+∈..6分（2）()2216g x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（3）由()20f x +=得1262sin x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,由于[]130,2,2666x ,x ,πππ⎡⎤∈π+∈⋅⎢⎣⎦分所以7266x ππ+=或116π,故所求解集为5.426,ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭分另解:由1262sin x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得2266x k ππ+=π-或526k ππ-,得6x k π=π-或,22k ππ- 分而[]0x ,∈π,所以56x π=或2π,所求解集为526,ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.19.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.简车是我国古代发明的一种水利利溉T.具.如图,假定在水流挺稳定的情况下,一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动,每分钟转1圈,筒车的轴心O 距离水面的高度为52米.设筒车上的桨个盛水简P 到水面的距离为y (单位:米)(在水面下则y 为负数).若以盛水简P 刚浮出水面时开始计算时间,则y 与时少t (单位:秒)之少的关系为()y Asin t K =ω+ϕ+,其中0,0,2A π>ω>ϕ<.（1）求,,,A K ωϕ的值;（2）当()4050t ,∈时,判断盛水筒P 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态),并说明理由.【答案】（1）55,2A K ==30πω=6πϕ=-（2）y 单调递减,6分所以盛水筒P 处于向下运动的状态.【解析】(1)如图,设简车与水面的交点为,M N ，连接OM ,过点P 作PB MN ⊥于点B ,过点O 分别作OD MN ⊥于点,D OC PB ⊥于点C ,则55,2A OM K OD ====.因为筒车转一周需要1分钟,所以26030ππω==,故30MOP t π∠=.在Rt OMD ∆中,12OD sin OMD OM ∠==,所以6COM OMD π∠=∠=,即6πϕ=-.(四个答案各2分)（2）盛水筒P 处于向下运动的状态 (3)分理由如下:553062y sin t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,当()734050,30662t ,t ,ππππ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭,此时y 单调递减,6分所以盛水筒P 处于向下运动的状态.20*.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.如图所示,已知3,5,OA OB OA == 与OB 的夹角为23π,点C 是ABO ∆的外接圆优孤AB 上的一个动点(含端点,A B ),记OA 与OC的夹角为θ,并设OC xOA yOB =+ ,其中,x y 为实数.（1）求ABO ∆外接圆的直径;（2）试将OC表示为θ的函数()y f =θ，并指出该函数的定义域;（3）求OC 为直径时,x y +的值.【答案】(1)7AB =(2)()23,03f cos ,π⎡⎤θ=θ+θθ∈⎢⎥⎣⎦(3)18845x y +=【解析】(1)在AOB ∆中,由余弦定理222249AB OA OB OA OBcos AOB =+-⋅∠=,即7,2AB = 分(2)连接2,03AC ,π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦,在AOC ∆中,由正弦定理2OA R sin OCA =∠,则33,2214OA sin OCA R ∠== 分又02OCA ,π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,则1314cos OCA ∠==,于是()33131414sin OAC sin OCA sin OCA cos cos OCA sin cos sin ∠=∠+θ=∠⋅θ+∠⋅θ=θ+θ则由正弦定理得132314OC Rsin OAC sin cos ⎫=∠=θ+θ=θ+θ⎪⎪⎝⎭ .所以()23,0.63OC f cos ,π⎡⎤=θ=θ+θθ∈⎢⎥⎣⎦ 分（定义域1分，注意格式）另解:()13222,0143OC Rsin OAC Rsin B arccos ,π⎛⎫⎡⎤=∠=π-θ-=θ+θ∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（3）设AB 与OC 交于点D ,当OC 为直径时,2OAC π∠=,此时13,214sin cos OCA cos sin OCA θ=∠=θ=∠= 分又由正弦定理可得5311,.21414OB sin BAO cos BAO R ∠==∠==于是()47,449sin ADO sin BAO sin cos BAO cos sin BAO ∠=θ+∠=θ⋅∠+θ⋅∠= 分因此由正弦定理得,694OA OD sin BAO sin ODA =⋅∠=∠ 分而由向量的共线定理可得存在()01,λ∈,使得()1OD OA OB =λ+-λ,且2R OC ODOD=⋅ 故()221881,.845R R OC xOA yOB OA OB x y OD OD ⎡⎤=+=λ+-λ+==⎣⎦分另解:22159,25,2OA OB OA OB ==⋅=- .由于此时22,OA AC xOA yOB OA OC OA OA ⊥+⋅=⋅= ,得1599,42x y -= 分同理,由OB BC ⊥得,22xOA OB yOB OC OB OB ⋅+=⋅= ,得1525252x y -+=.解得()2226915x,y ,⎛⎫= ⎪⎝⎭,因此188.845x y += 分21.(本题满分18分)本共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()y g x =,若存在常数0T >,使得()()y sin g x =是以T 为周期的周期函数,则称()y g x =为“正弦周期函数”,且称T 为其“正弦周期”.（1）判断函数2xy x cos=+是否为“正弦周期函数”，并说明理由;（2）已知()y g x =是定义在R 上的严格增函数，值域为R ,且()y g x =是以T 为“正弦周期”的“止弦周期函数”,若()()90,22g g T ππ==,且存在()00x ,T ∈,使得()052g x π=,求()2g T 的值;（3）已知()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在0a >和0A >,使得对任意x R ∈,都有()()h x a Ah x +=,证明:()y h x =是周期函数.【答案】（1）是（2）()1272g T =π（3）见解析【解析】(1)()4422x x sin x cos sin x cos +π⎛⎫⎛⎫+π+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2xy x cos =+是正弦周期函数.……过程、结论各2分（2）由()()()021sing x T sing T sing T +===，故()()02,22,222g x T m g T t m t Z ππ+=π+=π+∈ 、、分则由02T x T T <+<,且()y g x =严格增,得其中整数3,4m t ≥≥,下证4t =.若不然,5t ≥,则()2122g T π≥,由()y g x =的值域为R 知,存在()1212,2,x x T ,T x x ∈≠使得()1132g x π=,()2172g x π=,则()()()()1212121,0sing x sing x sing x T sing x T x T x T T ==-=-=<-<-<由()()()()()()121290,122g g x T g x T g T sing x T sing x T ππ=<-<-<=-=-=得120x T x T x -=-=,这与12x x ≠矛盾..4 分17π因此综上所述,()2,6217g T =π分（3）假设()y h x =不是周期函数,则()()h x T h x +=与()()h x a h x +=均不恒成立.特别地,1A ≠.因为()()h x T h x +=不恒成立,所以存在0x R ∈,使得()()00h x T h x +≠.......反证法2分因为()()011A ,,∈⋃+∞,所以存在n Z ∈,使得()01n A h x <且()01n A h x T +<.其中若1A >,取n 为负整数;若01A <<,取A 为正整数..5 分此时,由正弦周期性得()()()()00sin h x na T sin h x na ++=+,即()()()()00n n sin A h x T sin A h x +=,综上,()y h x =是周期函数.另解:若1A =,则由()()h x a h x +=可知()y h x =为周期函数.2 分若01A <<,则对任意0x R ∈,存在正整数n ,使得()01n A h x ≤且()01n A h x T +≤.此时,()()()()()()()()0000n n sin A h x T sin h x na T sin h x na sin A h x +=++=+=.若1A >，则同理可证（取n 为负整数即可）..8 分综上,得证.。
2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题一、单选题1．在△ABC 中，“sin 2A >”是“34A π<”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要 【答案】A【解析】根据三角函数的性质，得到当sin A >时，34A π<是成立的，再利用反例，得出必要性不一定成立，即求解. 【详解】在ABC ∆中，由sin 2A >，因为(0,)A π∈，可得344A ππ<<，所以当sin 2A >时，34A π<是成立的，即充分性成立；反之：例如364A ππ=<，此时1sin 22A =<，即必要性不一定成立.所以“sin A >”是“34A π<”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．以下哪个不是25lim 21nn n q q →∞-+可能的取值（ ）A ．2B ．1-C ．52-D ．7-【答案】D【解析】对q 的取值进行分类讨论，即可得答案；【详解】（1）若12q =，则0nq →，∴25lim 221n nn q q →∞-=+； （2）若2q，则n q →+∞，∴25255lim lim 12122n nn n n nq qq q→∞→∞--==-++；（3）若1q =，则1nq =，∴25lim 121nnn q q →∞-=-+； 利用排除法可得D 选项不可能， 故选：D. 【点睛】本题考查数列极限的求解，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 3．若等差数列{}n a 首项为2，公差为2，其前n 项和记为n S ，则数列1{}nS 前n 项和为（ ） A ．21nn + B ．1n n + C ．1n(n 1)+D ．2(1)nn +【答案】B【解析】根据等差数列前n 项和公式求出n S ，从而得出1{}nS 的通项公式，再用裂项相消法即可求出数列1{}nS 前n 项和. 【详解】等差数列前n 项()112n n n S na d -=+，等差数列{}n a 首项为2，公差为2，代入可得()()12212n n n S n n n -=+⨯=+，所以()111111n S n n n n ==-++，所以数列1{}nS 前n 项和为111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的求法，以及裂项相消法求数列前n 项和.4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A 、ω、ϕ均为正的常数）的最小正周期为2π，当3x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．(1)(1)(0)f f f <-<B ．(0)(1)(1)f f f <<-C ．(1)(0)(1)f f f -<<D ．(1)(0)(1)f f f <<-【答案】A【解析】根据周期公式可得4ω=，根据当3x π=时，函数()f x 取得最小值，可得1126k ϕππ=-，k Z ∈，所以()f x sin(4)6A x π=+，再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案. 【详解】 依题意得22ππω=，解得4ω=，所以()sin(4)f x A x ϕ=+，因为当3x π=时，函数()f x 取得最小值，所以4232k ππϕπ⨯+=-，k Z ∈，即1126k ϕππ=-，k Z ∈， 所以11()sin(42)6f x A x k ππ=+-11sin(4)sin(42)66A x A x πππ=-=-+sin(4)6A x π=+，因为3462πππ<+<且0A >，所以(1)sin(4)6f A π=+0<，因为(1)sin(4)sin(42)sin[(42)]666f A A A ππππππ-=-+=-++=--++11sin(4)sin(4)66A A πππ=--=-，又1104662πππ<-<<，所以110sin(4)sin 66ππ<-<， 因为0A >，所以0(1)(0)f f <-<， 综上所述：(1)(1)(0)f f f <-<. 故选：A 【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.二、填空题5．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解. 【详解】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α， 因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：12【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 6．计算sin40sin100sin50sin10︒︒-︒︒=________ 【答案】12【解析】利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案； 【详解】原式1sin 40cos10cos 40sin10sin 302=︒︒-︒︒=︒=， 故答案为：12. 【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.7．函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________ 【答案】56π【解析】点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解. 【详解】因为当[,]2x ππ∈时，51sin62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数，所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题. 8．在△ABC中，若a =1b =，60A =︒，则B =________【答案】6π 【解析】直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案； 【详解】11sin sin sin sin 2a bB A BB=⇒=⇒=，a b >，∴A B >，∴6B π=，故答案为：6π. 【点睛】本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________ 【答案】16【解析】将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4q ，再求10a 的值。
【精准解析】上海市杨浦区复旦附中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
2
2
【答案】 5 6
-1-
【解析】
【分析】
点 (5 , 1 ) 在原函数 y sin x 的图象上， 根据题意两函数图象关 于直线 y x 对称知点 62
(1 , 5 ) 在反函数 g(x) 的图象上，得解. 26
【详解】因为当 x [ , ] 时， sin 5 1 ，所以点 (5 , 1) 在原函数 y sin x 的图象上，
2
62
62
因为 g(x) 是函数 y sin x ， x [ , ] 的反函数， 2
所以点 (1 , 5 ) 在反函数 g(x) 的图象上，则 g(1) 5 .
26
26
5 故答案为：
6
【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础
题.
4.在△ ABC 中，若 a 3 ， b 1， A 60 ，则 B ________
2 【解析】
【分析】
利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案；
【详解】原式 sin 40 cos10 cos 40sin10 sin 30 1 ， 2
故答案为： 1 . 2
【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算
求解能力.
3.函数 y sin x ， x [ , ] 的反函数记为 g(x) ，则 g(1) ________
9.函数
f
(x)
2
sin x cos 3 sin 2x
x
（
xR
）的最小值为________
【答案】 2 2 2
【解析】
【分析】
设 t sin x cos x ，得到 sin 2x t 2 1 ，且 t [
2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.若sin(π+α)=√53且α∈(−π2,0)，则cos(π−α)=()A. −23B. −√53C. 23D. ±232.若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=()A. 1B. −1C. 0D. 0或−13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(2x+π3)B. f(x)=2sin(x+π3)C. f(x)=2sin(2x+π6)D. f(x)=2sin(x+π6)4.函数f(x)=cos(π6−x)的单调递减区间是()A. [2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z B. [2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈ZC. [2kπ+7π6,2kπ+13π6]，k∈Z D. [2kπ,2kπ+π]，k∈Z5.求满足2x(2sinx−√3)≥0，x∈(0,2π)的角α的集合()A. (0,π3) B. [π3,2π3] C. [π3,π2] D. [π2,2π3]6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC=√3acosB+√3bcosA，若c=√7,a=2，则b的值为()A. 3B. 1C. 2D. √2二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）7.点P是角α的终边上的一点，且P(3,−4)，则sinα−cosα=______ ．8.函数y=3sin(π2x+3)的最小正周期为________。
9.在单位圆中，面积等于1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．10.已知(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，则tan(5π+x0)=．11.已知α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，则sinα=______．12.已知，则的值为_________．13.若，则的值为__________．14.在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2+c2=4a2，则cos A的最小值为______．15.函数y=2sin(3x+π3)在区间[−π6,π3]上的最小值为__________．16.函数y=x+5x−a在(−1,+∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知α为第三象限角，f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=45，求tanα18.设函数的最小正周期为．(1)若f(α2+3π8)=2425，且α∈(−π2,π2)，求tanα的值．(2)“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的简图．(3)y=f(x)的图象经过怎样的图象变换，可以得到y=sinx的图象．y=f(x)→ _____________ →y=sinx19.已知sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，求sin(α+β)的值．20.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21.已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．(1)求实数a的值;(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=√53，∴sinα=−√53，且α∈(−π2,0)，∴cosα=√1−sin 2α=23，则cos(π−α)=−cosα=−23． 故选：A ．已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosα的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1． 故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案． 本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．3.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由f (76π)=−2结合0<φ<π2求出φ的值． 解：由函数过点(2π3,0)，(7π6,−2) 可得A =2，14T =π2ω=7π6−2π3=π2则ω=1，即f (x )=2sin (x +φ)，又f(76π)=−2，即sin(76π+φ)=−1，所以76π+φ=32π+2kπ(k∈Z)，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以函数f(x)=2sin(x+π3)．故选B．4.答案：A解析：本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时x−π6的范围，进而求得x的范围，求得函数的单调递减区间．解：对于函数，∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，∴2kπ≤x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，故函数f(x)的单调减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z故选A．5.答案：B解析：解：∵满足2x(2sinx−√3)≥0，2x>0．∴sinx≥√32，∵x∈(0,2π)，∴π3≤x≤2π3，故选：B．满足2x(2sinx−√3)≥0，化为sinx≥√32，由于x∈(0,2π)，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanC =√3sinC ，结合sinC ≠0，可求得tanC =√3，结合范围C ∈(0,π)，可求C ，进而根据余弦定理b 2−2b −3=0，解方程可求b 的值． 解：∵ctanC =√3acosB +√3bcosA ，∴由正弦定理可得：sinCtanC =√3(sinAcosB +sinBcosA)=√3sin(A +B)=√3sinC ， ∵sinC ≠0， ∴可得tanC =√3， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3， ∵c =√7，a =2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得7=4+b 2−2×2×b ×12，可得b 2−2b −3=0， ∴解得b =3，或b =−1(负值舍去)． 故选A ．7.答案：−73解析：解：∵|OP|=√32+(−4)2=5， ∴sinα=−45，cosα=35． ∴sinα−cosα=−45−35=−75．故答案为：−75．利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题．8.答案：4解析：本题考查三角函数的周期公式．依题意，最小正周期为2ππ2=4，即可得到结果．解：因为y=3sin(π2x+3)，所以最小正周期为2ππ2=4，故答案为4．9.答案：2解析：本题考查了扇形的面积公式应用问题，根据扇形的面积公式，计算该扇形的圆心角弧度数即可，是基础题．解：由题意可知扇形的半径为r=1，面积为S=1，则S=12α⋅r2=12α=1，α=2，∴该扇形的圆心角α的弧度数是2．故答案为2．10.答案：−√33解析：本题主要考查正弦函数的图像及性质和正切的诱导公式及周期，属于基础题．首先根据正弦函数的图像和性质求出x0，然后利用诱导公式求正切即可．解：因为(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，所以x0+π6=kπ(k∈Z)，即x0=kπ−π6(k∈Z)，所以tan(5π+x0)=tanx0=tan(kπ−π6)=−tanπ6=−√33．11.答案：5665解析：解：α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，可得cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=45，sinβ=√1−cos2β=513，sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinα=35×1213+45×513=5665．故答案为：5665．利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．12.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．解：，，∴sin2x=cos(π2−2x)=1−2sin2(π4−x)=78．故答案为78.13.答案：解析：，则14.答案：34解析：本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题．利用余弦定理和基本不等式，即可求得cos A的最小值．解：△ABC中，b2+c2=4a2，则a2=14(b2+c2)，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−14(b2+c2)2bc=3(b2+c2)8bc ≥3×2bc8bc=34，当且仅当b=c时取等号，∴cosA的最小值为34．故答案为：34．15.答案：−√3解析：因为x∈[−π6,π3]，所以3x+π3∈[−π6,4π3]，所以当3x+π3=4π3时，函数y=2sin(3x+π3)有最小值−√3...16.答案：(−5,−1]解析：本题以分式函数为例，考查了函数的单调性的判断与证明，属于基础题.题中的分式函数与反比例函数有关，因此用反比例函数的图象研究比较恰当．根据题意，将题中的函数分离常数，变形为y=1+a+5x−a ，进而研究反比例函数y=a+5x在区间(0,+∞)上是一个单调减的函数，从而得出实数a的取值范围．解：函数y=x+5x−a =1+a+5x−a函数的图象可由函数y=a+5x的图象先向右平移a个单位，再向上平移1个单位而得，∵函数在(−1,+∞)上单调递减，∴{a +5>0a ≤−1，可得−5<a ≤−1， 故答案为(−5,−1]．17.答案：解：(1)由f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−cosαsinα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=−cosα． (2)∵f(α)=45，即cosα=−45，α为第三象限角，那么：sinα=−√1−cos 2α=−35可得tanα=sinαcosα=34．解析：(1)根据诱导公式化简可得f(α)；(2)利用同角三角函数关系式即可得解．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)∵函数的最小正周期为， ∴2πω=π，∴ ω=2.可知f(x)=sin(2x −3π4) ， 由f(α2+3π8)=2425得：sinα=2425， ∵−π2<α<π2， ∴cosα=725，∴tanα=247.(2)由(1)知f(x)=sin(2x −3π4)，于是有： x 0 π8 5π8π y −√22−1 0 1 0 −√22描点，连线，函数y =f(x)在区间[0,π]上的图象如下：(3)把y =f(x)=sin(2x −3π4)图象上点的横坐标变为原来的2倍， 可得函数y =sin(x −3π4)的图象； 再把图象向左平移3π4个单位长度，可得函数y =sinx 的图象.解析：本题主要考查正弦函数的性质，用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．(1)由周期可得：f(x)=sin(2x −3π4)，然后利用已知结合α的取值范围求解．(2)用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．19.答案：解：∵sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，∴cosα=−√1−sin 2α=−√53，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23×(−35)+(−√53)×(−45)=4√5−615． 解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20.答案：解：在△ABC 中，∠BAC =15°，AB =100米，∠ACB =45°−15°=30°. (3分)根据正弦定理有100sin30∘=BC sin15∘，∴BC =100sin15°sin30∘. (6分)又在△BCD 中，∵CD =50，BC =100sin15°sin30∘，∠CBD =45°，∠CDB =90°+θ，根据正弦定理有50sin45∘=100sin15°sin30∘sin(90∘+θ).(10分)解得cosθ=√3−1(12分)解析：在△ABC中，根据正弦定理求出BC，在△BCD中，推出∠CDB=90°+θ，通过正弦定理转化求解即可．本题考查正弦定理的实际应用，解三角形的方法，考查计算能力．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a=√3cos2x+sin2x+a=2sin(2x+π3)+a≤2+a=1，∴a=−1；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)=f(x+π6 )=2sin[2(x+π6)+π3]−1=2sin(2x+2π3)−1．当x∈[0,π2]时，2x+2π3∈[2π3,5π3]，故当2x+2π3=3π2时，sin (2x+2π3)=−1，函数g(x)取得最小值为−2−1=−3．解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=2sin(2x+π3)+a，可得a=−1．(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)=2sin(2x+2π3)−1.再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的图像和性质求得函数g(x)的最小值．。
2020年上海市复大附中高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.在△ABC中，“sin A=”是“A=”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.设函数的图象为C，下面结论中正确的是（）A. 函数的最小正周期是B. 图象C关于点对称C. 图象C可由函数的图象向右平移个单位得到D. 函数在区间上是增函数3.设函数f（x）=a x+b x-c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的个数是（）①对于一切x∈（-∞，1）都有f（x）＞0；②存在x＞0使xa x，b x，c x不能构成一个三角形的三边长；③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个4.若函数的最大值和最小值分别为M、m，则函数图象的对称中心不可能是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知α=1690°，θ∈（-2π，0），若角θ与α的终边相同，则θ=______6.已知函数的最小正周期为2π，则a=______7.一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么该扇形的圆心角是______弧度.8.已知α是第三象限的角，则sin（cosα）cos（sinα）的符号是______号（填正或负）9.角α终边上有点P（x，5）（x＜0），且，则cotα=______10.若f（tan x）=cos2x，则f（2）=______11.已知函数，且是其单调区间，则ω的取值范围是______12.已知，，sin2α=______13.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC中，a，b，c分别是角是A，B，C的对边，已知，∠A=45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c有两解，那么a的取值范围是______14.函数的值域______15.如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为______米．16.设f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且，记g（x）=f（x）-a，若函数g（x）在区间[-4，5]上零点的个数是8个，则a的取值范围是______三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数．（1）求y=f（x）的单调增区间；（2）当时，求f（x）的最大值和最小值18.在△ABC中，已知，外接圆半径R=2．（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．19.已知函数的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，-2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移a（a∈（0，2π））个单位后，得到的函数y=g （x）是奇函数，求a的值．20.如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设∠AA1H1=α．（1）用α表示线段AH1；（2）设AH1=x，sinα=y，求y关于x的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积S的最大值，并指出此时α的大小．21.已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a=x0＜x1＜…＜x n-1＜x n=b，和式|f（x i）-f（x i-1）|≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：a i=a1+a2+…+a n；（1）证明函数f（x）=sin x+cos x在[-]上是“绝对差有界函数”；（2）记集合A={f（x）|存在常数k＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]，有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有届函数”；当[a，b]=[1，2]时，判断g（x）=是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由；（3）证明函数f（x）=不是[0，1]上的“绝对差有界函数．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在△ABC中，由sin A=⇔A=，或．∴“sin A=”是“A=”的必要非充分条件，故选：B．在△ABC中，由sin A=⇔A=，或．即可判断出．本题考查了充要条件的判定方法，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题真假性判断即可．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．【解答】解：对于A，函数的最小正周期为:T==π，A错误；对于B，x=时，f（x）=sin（2×-）=0，其图象关于点对称，B正确；对于C，f（x）=sin2（x-），其图象可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到，C错误；对于D，x∈（-，）时，2x-∈（-，），函数f（x）=sin（2x-）先递增后递减，D错误；故选：B．3.【答案】A【解析】解：对于①，a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（-∞，1）时，f（x）=a x+b x-c x=c x[+-1]＞c x•（+-1）=c x•＞0，∴①正确；对于②，令a=1，b=2，c=2.5，a，b，c可以构成三角形，x=2时，2a2=2，b2=4，c2=6.25不能构成三角形，∴②正确；对于③，c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，则a2+b2-c2＜0，∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，∴由根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正确；综上，正确命题的个数为3个．故选：A．①利用指数函数的性质以a．b．c构成三角形的条件进行证明；②可以举反例进行判断；③利用函数零点的存在性定理进行判断．本题考查了函数零点的存在性定理，指数函数的性质，以及余弦定理的应用问题，是综合题．4.【答案】C【解析】解：=，而函数为奇函数，设其最大值为a，则其最小值为-a，可得M=2+a，m=2-a．∴M+m=4．∴=．令4x-，得x=，k∈Z．取k=0，得x=，此时g（）=；取k=1，得x=，此时g（）=；取k=5，得x=，此时g（）=．∴函数图象的对称中心不可能是．故选：C．对函数f（x）进行化简，结合奇偶性考虑最值，可求出M+m，从而可得函数g（x）的对称中心，则答案可求．本题考查了函数的最值问题和奇偶性的应用．将函数化简，转化为奇函数的最值之和是关键，是中档题．5.【答案】【解析】解：α=1690°=360°×4+250°=360°×5-110°，即α与-110°的终边相同，即θ=-π，故答案为：-π．根据终边相同角的关系，进行转化求解即可．本题主要考查终边相同角的应用，结合终边相同角的定义以及角度和弧度的转化关系进行转化是解决本题的关键．6.【答案】【解析】解：∵的最小正周期为2π，∴，∴a=．故答案为：．根据函数f（x）的最小正周期为2求出a的值．本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，主要是周期性，属基础题．7.【答案】π-2【解析】解：设扇形的圆心角是θ rad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是2r+rθ．依题意得2r+rθ=πr，解得θ=π-2．故答案为：π-2．设出扇形的圆心角，利用弧长公式得到弧长，代入题中条件，求出圆心角的弧度数．本题考查了扇形的圆心角，弧长公式以及扇形的面积公式的应用问题，是基础题目．8.【答案】负【解析】解：∵α是第三象限的角，∴-1＜cosα＜0，-1＜sinα＜0，则sin（cosα）＜0，cos（sinα）＞0，即则sin（cosα）cos（sinα）＜0，故答案为：负．根据角的象限，结合三角函数与象限之间的符号关系进行判断即可．本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数的符号的对应关系是解决本题的关键．9.【答案】-【解析】解：∵角α终边上有点P（x，5）（x＜0），且=，∴得x=-12，∴cotα=-．故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得实数x的值，利用三角函数的定义即可得解．本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，属于常考题型．10.【答案】【解析】解：设tan x=2，则：cos2x=cos2x-sin2x=；∴．故答案为：．可看出，要求f（2），只需让tan x=2，求cos2x的值：．考查二倍角的余弦公式，sin2x+cos2x=1，以及弦化切公式．11.【答案】（0，1]【解析】解：当x∈时，，∵f（x）在上单调，∴，∴ω≤1，又ω＞0，∴ω的取值范围为（0，1]．故答案为（0，1]．根据x的范围可得，然后由f（x）在上单调可得，解不等式即可．本题考查了三角函数的图象与性质，主要是正弦函数的单调性，属基础题．12.【答案】【解析】解：∵，且，∴cos（）=sin（），∴sin（）cos（）=sin（）=，∴sin（）=-，∵，∴，∴cos（）=-，∴sin2α=sin[（2α）-]==故答案为：由，结合已知可求sin（），然后结合及同角平方关系可求cos（），而sin2α=sin[（2α）-]，利用两角差的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角平方关系，二倍角的正弦公式及两角差的正弦公式，解题的关键是拆角技巧的应用．13.【答案】（2，2）【解析】解：由已知及正弦定理，可得=，可得sin B=，要使得c有两解，那么sin B有两解，则sin B=∈（，1），解得：a∈（2，2）．故答案为：（2，2）．由正弦定理可得sin B=，要使得c有两解，那么sin B有两解，可得sin B=∈（，1），进而解得a∈（2，2），即可得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】（-∞，0）∪（0，+∞）【解析】解：∵y=f（x）=，∴y sin x=1-cos x，∴，其中，∴，∵|sin（x+ϕ）|≤1，∴，∴y＞0或y＜0，∴f（x）的值域为：（-∞，0）∪（0，+∞）．故答案为：（-∞，0）∪（0，+∞）．利用正弦函数的有界性即可得到值域．本题考查了分式型函数的值域问题，考查了转化思想，属中档题．15.【答案】2+【解析】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y-0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC•BC cos∠ACB即（y-0.5）2=y2+x2-2yx×，化简，得y（x-1）=x2-，∵x＞1，∴2-1＞0因此y=，y=（x-1）++2≥+2当且仅当x-1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故答案为：2+．设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题．考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力．16.【答案】（0，1）【解析】解：由f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且，又g（x）=f（x）-a，若函数g（x）在区间[-4，5]上零点的个数是8个等价于函数y=f （x）的图象与直线y=a在区间[-4，5]有8个交点，又函数y=f（x）的图象与直线y=a在区间[-4，5]的位置关系如图所示，由图可知，当函数y=f（x）的图象与直线y=a在区间[-4，5]有8个交点时，0＜a＜1，故答案为：（0，1）．由数形结合思想得：g（x）=f（x）-a，若函数g（x）在区间[-4，5]上零点的个数是8个等价于函数y=f（x）的图象与直线y=a在区间[-4，5]有8个交点，作出函数y=f（x）的图象与直线y=a在区间[-4，5]的图象可知0＜a＜1，得解．本题考查了函数的零点与函数图象的交点个数问题，重点考查了数形结合思想，属中档题17.【答案】解：（1）=2sin（2x+），令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，可得y=f（x）的单调递增区间为：；（2）当时，2x+∈[-，]，∴当2x+=-时，即x=-时，f（x）取得最小值-1；当2x+=时，即x=时，f（x）取得最小值2．即f（x）的最大值为2，最小值为-1．【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数为正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可得解；（2）求出时f（x）的值域，即可得出f（x）的最大、最小值．本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵在△ABC中，已知2sin 2+cos2C=1∴由三角函数公式可得1-cos（A+B）+cos2C=1，∵A+B+C=π，∴cos（A+B）=-cos C，∴2cos2C+cos C-1=0，解得cos C=-1（舍），或cos C =，∴C =；（2）由正弦定理可得=2R=4，∴c=4sin C =4×=2，由余弦定理可得12=c2=a2+b2-2ab cos C≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b =2时取等号，∴ab≤12，∴S△ABC =ab sin C ≤×12×=3，故△ABC面积的最大值为3．【解析】（1）由三角函数公式和已知条件可得cos C的一元二次方程，解方程可得；（2）由正弦定理和已知条件易得c值，由余弦定理和基本不等式求出ab的最大值，由三角形的面积公式可得面积的最大值．本题考查正弦定理余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数公式公式和基本不等式的应用，属中档题．19.【答案】解：（1）∵函数的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，-2），∴A=2，且•=2π，∴ω=．∴2cosφ=1，∴cosφ=，∴φ=（舍去，不满足图象），或φ=-，∴f（x）=2cos （x -）．（2）将函数y=f（x）的图象向左平移a（a∈（0，2π））个单位后，得到的函数y=g（x）=2cos （x +-）的图象，由于g（x）是奇函数，∴-=，∴a =．【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得a的值．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规第11页，共13页律，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意可得，=4，∴AH1=，，（2）∵AH1=，，∴x =，∴x=4y-xy-x，∴显然y≠0，∴；（3）S=16+4S =16+4×=16，，令t =cosα+sinα=sin （）∈（1，]，则S =16+=32-，易证S在t∈（1，]单调递增，当t =时即时，S 取得最大值【解析】（1）由题意可得，=4，整理可求（2）结合（1）可求x与y的关系，即可求解；（3）S=16+4S，表示出面积后，结合三角函数的性质及函数单调性可求本题主要考查了利用三角函数的知识求解基本图形的面积，三角函数性质及函数单调性的灵活应用是求解问题的关键21.【答案】解：（1）∵f（x）=sin x+cos x =sin（x +）在[-，0]上是增函数，∴对任意划分f（x n）＞f（x n-1），∴|f（x i）-f（x i-1）|=f（x1）-f（x0）+…+f（x n）-f（x n-1）=f（0）-f（-）=2；取常数M≥2，则和式≤M恒成立，∴函数f（x）在[-，0]上是“绝对差有界函数”；（2））∵存在常数k，使得对于任意的x1，x2∈[a，b]，|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|，∴|f（x i）-f（x i-1）|≤|x i-x i-1|=k（b-a）；故存在常数M=k（b-a ），使得|f（x i）-f（x i-1）|≤M恒成立，所以f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”；若g（x）=，则|g（x1）-g（x2）|=|-|=，∵[a，b]=[1，2]，第12页，共13页∴1≤x1≤2，1≤x2≤2，1≤≤，1≤≤，则2≤+≤2，则≤≤，则|g（x1）-g（x2）|=|-|=≤|x1-x2|，∴当k ≥时，|g（x1）-g（x2）|≤k|x1-x2|恒成立，故g（x）=在集合A中，k 的最小值是．（3）证明：∵函数f（x）=，令x i =，x i-1=，i∈N*，则f（x i）-f（x j）=--；∴和式=[+]≤M不成立，故函数f（x）不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；【解析】（1）利用函数在[-，0]是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出，求出值为，取M大于等于此值，满足“绝对差有界函数”的定义；（2）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差的定义即可．（3）举例说明函数f（x ）对于和式=[+]≤M不成立即可．本题以新定义函数为载体，考查不等式恒成立问题，考查了对新定义的理解与应用问题，是较难的题目，判断一个函数是否是“绝对差有界函数”，关键是求出函数差的连和，找出M的值．第13页，共13页。
【精准解析】上海市复旦附中2019-2020学年高一下学期5月测试数学试题析
复旦大学附属中学2019学年第二学期 高一年级数学线上教学评估试卷考试时间120分钟；满分150分；所有答案均做在答题纸上一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】12【解析】 【分析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.【详解】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α， 因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：12【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 2.计算sin40sin100sin50sin10︒︒-︒︒=________ 【答案】12【解析】 【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案； 【详解】原式1sin 40cos10cos 40sin10sin 302=︒︒-︒︒=︒=， 故答案为：12. 【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力. 3.函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________【答案】56π 【解析】 【分析】 点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解. 【详解】因为当[,]2x ππ∈时，51sin62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数，所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题.4.在△ABC中，若a =1b =，60A =︒，则B =________【答案】6π 【解析】 【分析】直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案；【详解】11sin sin sin sin 2a bB A BB=⇒=⇒=， a b >，∴A B >，∴6B π=，故答案为：6π. 【点睛】本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5.已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________【解析】 【分析】将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4q ，再求10a 的值。
上海市复旦大学附属中学高一下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．已知，则_________. sin α=22,ππα⎛∈-⎫ ⎪⎝⎭sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】 【分析】利用诱导公式与平方和关系求解即可.【详解】因为，所以,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos α==sin cos 2παα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故答案为： 2．已知i 为虚数单位，若复数是实数，则实数m 的值为__________. 1i 2iz m =++【答案】/0.215【分析】先化简复数z ，然后根据虚部为0可得. 【详解】因为为实数， ()()12i 2i 21i i i i 2i 2i 2i 555z m m m m --⎛⎫=+=+=+=+- ⎪++-⎝⎭所以，所以105m -=15m =故答案为：153．向量在向量方向上的投影为___________.()3,4a =()1,0b =- 【答案】3-【分析】由向量投影公式直接求解即可得到结果. 【详解】向量在方向上的投影为. a b 331a b b⋅-==-故答案为：.3-4．在△ABC 中，若，，，则___________.3AB =5π12B ∠=π4C ∠=BC =【分析】由三角形内角和求得，然后由正弦定理求得． A BC 【详解】由三角形内角和定理可得：， ππ3A B C =--=因为，， 3c AB ==a BC =由正弦定理可得， sin sin sin sin a c c A a A C C =⇒==. 5．已知复数z 满足（i 为虚数单位），则_________. ()22i 2i z ⋅-=+z =【分析】根据复数的四则运算化简求得复数z ，然后求模.【详解】，所以()22i2i (2i)(3+4i)211i 34i (34i)(3+4i)25252i z +++====+---z ==6．方程在区间上的所有解的和为__________. cos 2sin 0x x -=[]0,2π【答案】/ 52π52π【分析】利用倍角余弦公式得到关于的一元二次方程求解，由正弦函数值求，即可得结果. sin x x 【详解】由，即，解得或， cos 2sin 0x x -=212sin sin 0x x --=sin 1x =-1sin 2x =在，当时，当时或， []0,2πsin 1x =-32x π=1sin 2x =π6x =5π6x =所以所有解的和为. 52π故答案为：52π7．设，，且，则_______.3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭ //a b r r tan α=【答案】1【分析】由向量平行的坐标表示，结合同角三角函数关系和商数关系可得．【详解】因为，所以. //a b r r 22231sin cos tan sin cos tan 123sin cos tan 1ααααααααα⨯===⇒=++故答案为:1.8．在△ABC 中，边a ，b ，c 满足，，则边c 的最小值为__________. 8a b +=120C ∠=︒【答案】【分析】利用基本不等式和结合余弦定理即可求解的最小值． 2()2a b ab +≤c 【详解】由余弦定理可得 当且仅当时，即取等()222222cos 264482a b c a b ab C a b ab ab +⎛⎫=+-=+-+-= ⎪⎝⎭≥a b =4a b ==号，所以c ≥故答案为：9．在直角三角形中，，，，点是外接圆上的任意一点，则ABC 5AB =12AC =13BC =M ABC A 的最大值是___________. AB AM ⋅【答案】45【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点的坐标，计算的最大值． M AB AM ⋅【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：，，，(0,0)A (5,0)B (0,12)C 外接圆，ABC A 225169()(6)24x y -+-=设，，M 513(cos 22θ+136sin )2θ+则，，513(cos 22AM θ=+ 136sin )2θ+，，当且仅当时取等号． (5,0)AB =2565cos 4522AM AB θ⋅=+ …cos 1θ=所以的最大值是45． AB AM ⋅故答案为：45．10．在锐角三角形ABC 中，O 为△ABC 的外心，则的cos A =32OA OB OC ++取值范围为__________.【答案】3⎡⎣【分析】三角形外接圆的性质、正弦定理得、，、，π2BOC ∠=3π22AOB B ∠=-2AOC B ∠=1R =利用向量数量积的运算律转化求.32OA OB OC ++【详解】，222232941264OA OB OC OA OB OC OA OB OA OC OB OC ++=+++⋅+⋅+⋅因为锐角三角形中，，cos A =π4A =π2BOC ∠=所以，，又，即， 3π22AOB B ∠=-2AOC B ∠=22sin aR A ==1R =则且， ()()232146cos 22sin 2142OA OB OC B B B ϕ++=+-=++ tan 2ϕ=则，即. 23214OA OB OC ⎡++∈-+⎣ 323OA OB OC ⎡++∈+⎣故答案为：3⎡⎣11．如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知，，，，M 为//AD BC 2ABC π∠=1AB AD ==2BC =BD 的中点，设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、Q 三点共线，则的最大值AQ CP ⋅为__.【答案】2-【分析】建立直角坐标系，设，，由P 、M 、Q 三点共线，设(0,)P m [0,1]m ∈，求得，代入计算知11(1)(2,2),2BM BQ BP k k m m λλλλλλ⎛⎫=+-=-+-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u r 2322m k m -=+AQ CP⋅ ，构造函数，，结合函数的单调性求得51(1)221m m ⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦51()(1)221f m m m ⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦[0,1]m ∈最值.【详解】如图所示，建立直角坐标系，则，，，，，(0,0)B (2,0)C (0,1)A (1,1)D 11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭又Q 是线段CD 上的动点，设，CQ kCD =u u u r u u u r[0,1]k ∈则，可得 (2,0)(1,1)(2,)BQ BC kCD k k k =+=+-=-u u u r u u u r u u u r(2,)Q k k -设，，(0,)P m [0,1]m ∈由P 、M 、Q 三点共线，设11(1)(2,2),2BM BQ BP k k m m λλλλλλ⎛⎫=+-=-+-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u r112,.22k k m m λλλλ∴-=+-=利用向量相等消去可得：， λ2322mk m -=+ 23(2,1)(2,)424(2)22m AQ CP k k m k mk m m m m -⋅=--⋅-=-++-=-++⨯-+u u u r u u r 51(1)221m m ⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦令，，则在上单调递减， 51()(1)221f m m m ⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦[0,1]m ∈()f m [0,1]m ∈故当时，取得最大值 0m =()f m (0)2f =-故答案为：2-【点睛】方法点睛：本题考查向量的坐标运算，求解向量坐标运算问题的一般思路：向量的坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算可用坐标进行，实现了向量坐标运算完全代数化，将数与形紧密的结合起来，建立直角坐标系，使几何问题转化为数数量运算，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于较难题.12．设函数，若恰有个零点，.()()[]0,0,0,26f x Asin x A x πωωπ⎛⎫=->>∈ ⎪⎝⎭()f x 4则下述结论中:①若恒成立，则的值有且仅有个；()()0f x f x ≥0x 2②在上单调递增；()f x 80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦③存在和，使得对任意恒成立；ω1x ()()11()2f f x f x x π≤+≤[]0,2x π∈④“”是“方程在恰有五个解”的必要条件. 1A ≥()12f x =-[0,2]π内所有正确结论的编号是______________； 【答案】①③④【解析】根据条件画出的图像，结合图像和()()[]0,0,0,26f x Asin x A x πωωπ⎛⎫=->>∈ ⎪⎝⎭逐一判断即可. 1925,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【详解】恰有个零点，，，函数的图像如图： ()f x 4∴3246πππωπ≤-<∴1925,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭①如图，即有两个交点，正确； ()f x A =②结合右图，且当时，在递增，错误； 2512ω=()f x 80,25π⎡⎤⎢⎥⎣⎦③，，1925,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴1212,22519T πππω⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，存在为最小值，为最大值，正确；1212,22519πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦∴()1f x 12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭④结合右图，若方程在内恰有五个解，需满足，即，同时结合左()12f x =-[]0,2π()102f ≤-1A ≥图，当，不一定有五个解，正确. 1A ≥()12f x =-故答案为：①③④.【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于难题.二、单选题13．已知，则“为纯虚数”是“”的（ ） C z ∈z 0z z +=A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据纯虚数的定义判断充分性，再举反例判断必要性即可 【详解】由题意，为纯虚数则设，则；z ()i ,0z b b b =∈≠R i i 0z z b b +=-=当时，可取，则为纯虚数不成立.故“为纯虚数”是“”的充分非必要条件 0z z +=0z z ==z z 0z z +=故选：A14．已知顶点在原点的锐角，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过后交单位圆于α3π，则的值为（ ）1(,)3P y -sin αA B C D【答案】B【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，然后凑角结合两角差的正弦公式求出1cos()33πα+=-.sin α【详解】由题意得(为锐角)1cos(33πα+=-α∵为锐角，∴，∴α5336πππα<+<sin()03πα+>sin(sin sin (333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1123⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故选：B15．某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型y x （）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为30.5sin 3.246y x πωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0ω>米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ） A ．16时 B ．17时C ．18时D ．19时【答案】D【分析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可．【详解】解：由题意可知，时，，0x =0.5sin 0 3.24 3.496y πωπ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭由五点法作图可知：如果当时，函数取得最小值可得：，可得，16x =51662ππωπ+=748ω=此时函数，函数的周期为：， 70.5sin 3.24486y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭296147748T ππ==≈该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足， 如果当时，函数取得最小值可得：，可得，19x =51962ππωπ+=757ω=此时函数，函数的周期为：，70.5sin 3.24576y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21147757T ππ==时，，如图：24x =70.5sin 24 3.243576y ππ⎛⎫=⨯++> ⎪⎝⎭该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足， 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．16．设是的垂心，且，则的值为（ ） H ABC A 3450HA HB HC ++=cos BHC ∠A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得，HB = HC = 求解．【详解】由三角形垂心性质可得，，不妨设HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅x ，HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅=∵345， HA + HB +0HC = ∴，23450HA HB HB HC HB ⋅++⋅=∴，同理可求得HB = HC =∴HB HC cos BHC HB HC ⋅∠== 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题． HB HC，三、解答题17．已知关于x 的实系数一元二次方程.290x mx ++=(1)若复数z 是该方程的一个虚根，且，求m 的值； 4z z +=-(2)记方程的两根为和，若，求m 的值. 1x 2x 12x x -=【答案】(1)－2(2) ±±【分析】（1）利用，结合韦达定理可求解.2z z z =⋅（2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解.【详解】（1）解：因为，所以，因为，所以，29z z z =⋅=3z=4z z +=-1z =-所以，由韦达定理可得，所以；1z =+2m z z -=+=2m =-（2）解：若方程的两根为实数根，则12x x -===解得，m =±若方程的两根为虚数根，则设，，可得1i x a b =+2i,,R x a ba b =-∈122x x b -==则，，，所以，所以1x a =2x a =21239x x a =+=26a =a =由韦达定理可得，所以12m xx -=+=±m =±此时，满足题意， 2360m ∆=-<综上，m =±±18．已知向量，，函数. cos sin 2x x m ⎫-=⎪⎭ ()2cos ,sin cos n x x x =+ ()f x m n =⋅(1)求函数的严格减区间与对称轴方程；()y f x =(2)若，关于x 的方程恰有三个不同的实数根，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()1sin 6πf x x R λλλ⎛⎫+++=∈ ⎪⎝⎭1x 2x ，求实数的取值范围及的值.3x λ123x x x ++【答案】(1)，；，π2ππ,π63⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k k Z k ∈ππ62k x =+Z k ∈(2)， )1,33π2【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，结合正弦函数的基准减区间和对称轴求得的严()f x ()f x格减区间和对称轴；（2）方程化简得和，由正弦函数性质和的范围，同时得出和，求得sin 1x =1sin 2x λ-=λ1x 23x x +结论．【详解】（1） ()22cos sin cos 2x xf x m n x x -=⋅=+1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，解得， ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+π2πππ63k x k +≤≤+令，解得，ππ2π62x k +=+ππ62k x =+所以函数的严格减区间为，， π2ππ,π63⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k k Z k ∈对称轴方程为； ππ62k x =+Z k ∈（2）， 2sin 2cos 2π12sin 62πf x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，形为，()212sin 1sin x x λλ-++=()22sin 1sin 10x x λλ-++-=所以，()()2sin 1sin 10x x λ⎡⎤---=⎣⎦当，有一个解，不妨设为，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin 10x -=1π2x =则，即有不同于的两个解，()2sin 10x λ--=1sin 2x λ-=12x π=因为，所以，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1sin ,12y x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦且在上严格递增，在上严格递减，ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin y x =π2π,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin y x =要想有不同于的两个解，则，解得， 1sin 2x λ-=1π2x =12λ⎫-∈⎪⎪⎭)1,3λ∈此时的两根关于对称，则， 1sin 2x λ-=π2x =23πx x +=所以. 1233π2x x x ++=19．近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A 为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC 上（不与端点重合）,AB 、弧BC 、EF FG ABC P CA 、PQ 、PR 、RQ 为步行道,其中PQ 与AB 垂直,PR 与AC 垂直.设.PAB θ∠=(1)如果点P 位于弧BC 的中点,求三条步行道PQ 、PR 、RQ 的总长度;(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ 、PR 、RQ 开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）【答案】(1)(米)200+(2)2022万元【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度;(2)将PQ 、PR 、RQ 三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通θW W 过辅助角公式化简求出最值即可.【详解】（1）解:由题200,100,AC EA EC ==∴=,同理,故, π3EAC ∴∠=π3FAB ∴∠=π3BAC ∠=由于点P 位于弧BC 的中点,所以点P 位于的角平分线上,BAC ∠则, πsin 200sin1006PQ PR PA PAB ==⋅∠=⨯=, cos 200AQ AP PAB =∠==因为,, π3BAC ∠=AQ AR ==所以为等边三角形,ARQ A 则,100RQ AQ ==因此三条街道的总长度为.100100200l PQ PR RQ =++=++=+（2）由图可知,sin 200sin PQ AP θθ==, sin 200sin 100sin 33PR AP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,cos 200cos AQ AP θθ==, cos 200cos 100cos 33AR AP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在中由余弦定理可知:ARQ A 222π2cos3RQ AQ AR AQ AR =+-()()22200cos 100cos θθθ=++()2200cos 100cos cos3πθθθ-⨯+, 30000=则100RQ =设三条步行道每年能产生的经济总效益,则W ()5 5.9W PQ PR RQ =+⨯+⨯()200sin 100sin 5θθθ=+-⨯+, π1000sin 3θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当即时取最大值, sin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6θ=W最大值为.10002022+≈答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.20．在平面直角坐标系中，，设点，是线段AB 的n 等分点，其中()1,0A ()0,1B 1P 12,,n PP -⋅⋅⋅n ∈N ，. 2n ≥(1)当时，使用，表示，； 3n =OA OB 1OP 2OP (2)当时，求的值；2023n =121n OP OP OP -+++ (3)当时，求（，，i ，）的最小值. 10n =()i i j OP OP OP ⋅+ 1i ≤1j n -≤j ∈N【答案】(1)， 12133OP OA OB =+ 21233OP OA OB =+(2)(3)2325【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算求解；（2）根据向量的坐标运算求解； （3）据向量的坐标运算可得，结合函数分析求解. ()()251510050i i j i j i i OP OP OP -+-+⋅+=u u u r u u u r u u u r 【详解】（1）由题意可得：， ()1i i i i i i OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB n n n n ⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r u u u r 当时，所以，. 3n =12133OP OA OB =+ 21233OP OA OB =+ （2）因为，则， ()()1,0,0,1A B ()()1,0,0,1OA OB ==u u r u u u r 由（1）可得：， 11,i i i i i OP OA OB n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u r u u u r 当时，则，， 2023n =2023,20232023i i i OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭1,2,,1i n =⋅⋅⋅-所以 121202220211122022,20232023n OP OP OP -++++++⎛⎫+++= ⎪⎝⎭因为， ()20221202212202220222++++== 所以，()1212022,2022n OP OP OP -+++=121n OP OP OP -++⋅⋅⋅+==u u u r u u u r u u u u r （3）当时，，， 10n =10,1010i i i OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭10,1010j j j OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 可得， 101055501010101050i j i j i j i j i j OP OP --⋅--+⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r ， 2222101050101050i i i i i OP --+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2i i j i i j OP OP OP OP OP OP ⋅+=+⋅ ()22515100105055505050i j i i i i i j i j -+-+-++⋅--+==构建， ()()251510050i j i i M j -+-+=①当，7，8，9时，， 6i =()()()225115100149515050i i i i i M j M -⋅+-+-+==≥可得当时，上式有最小值； 7i =2325②当时，， 5i =()2575100150M j -+==③当，2，3，4时，， 1i =()()()22591510065595050i i i i i M j M -⋅+-+-+==≥可得当时，上式有最小值； 3i =2325综上所述：的最小值为. ()i i j OP OP OP ⋅+ 232521．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k 为正整数，且()y f x =x ∈R 1t 2t k t ）使得当x 取任意值时，有则称函数120k t t t =<<< ()()()120k f x t f x t f x t ++++++= 为“k 级周天函数”.()y f x =(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②；()1sin f x x =()22f x x =+(2)求证：当时，是“3级周天函数”；()32n n ω=+∈Z ()()cos g x x ω=(3)设函数，其中b ，c ，d 是不全为0的实数且存在，使()cos 2cos5cos8h x a b x c x d x =+++R m ∈得，证明：存在，使得.()4h m a =n ∈R ()0h n <【答案】(1)是，不是；理由见解析()1f x ()2f x (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）令，，然后化简，根据定义可知；10t =2πt =（2）令，，，然后化简，从而得证； 10t =22π3t =34π3t =（3）若，则，取，则；若，则利用反证法证明即可；若0a <()40h m a =<n m =()0h n <0a =时，由，可得，从而可得0a >()2π4π333h m h m h m a ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π4π033h m h m a ⎛⎫⎛⎫+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结论【详解】（1）令，，则， 10t =2πt =()()()1112sin sin sin sin 0f x t f x t x x x x π+++=++=-=所以是“2级周天函数”；()1sin f x x =，不对任意x 都成立，()()()()212212222240f x t f x t x t x t x t +++=+++++=++=所以不是“2级周天函数”；()22f x x =+（2）令，，，则 10t =22π3t =34π3t =()()()123g x t g x t g x t +++++ ()()()4π8πcos 32cos 322πcos 324π33n x n x n n x n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++++++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()4π8πcos 32cos 32cos 3233n x n x n x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()π2πcos 32cos 32cos 3233n x n x n x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()ππcos 32cos 32cos sin 32sin 33n x n x n x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()2π2πcos 32cos sin 32sin 33n x n x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦()()()1cos 32cos 32322n x n x n x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1cos 32322n x n x ⎡⎤⎡⎤-++⎣⎦⎣⎦()()cos 32cos 320n x n x ⎡⎤⎡⎤=+-+=⎣⎦⎣⎦所以是“3级周天函数”；()()cos g x x ω=（3）对其进行分类讨论：1°若，则，此时取，则；0a <()40h m a =<n m =()0h n <2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 0a =n ∈R ()0h n <()0h x ≥由（2）可知是“3级周天函数”，()cos 2cos5cos8t x b x c x d x =++所以， ()2π4π033t x t x t x ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， ()2π4π3033h x h x h x a ⎛⎫⎛⎫++++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，，， ()0h x ≥2π03h x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭4π03h x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭所以， ()2π4π033h x h x h x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再由恒成立，()()π0cos 2cos80h x h x b x d x ++=⇒+=所以，0b d ==进而可得，这与b ，c ，d 是不全为0矛盾，0c =故存在，使得；n ∈R ()0h n <3°若，由，， 0a >()2π4π333h m h m h m a ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4h m a =得， 2π4π033h m h m a ⎛⎫⎛⎫+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在，使得， n ∈R ()0h n <所以命题成立.。
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．对二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A ⎛⎫⎪-⎝⎭，则列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为（ ）A ．58⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31⎛⎫ ⎪-⎝⎭C ．57⎛⎫ ⎪-⎝⎭D ．51⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】A【解析】首先根据题意得到3x =，1y =-，再代入方程组即可得到答案. 【详解】 二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A ⎛⎫⎪-⎝⎭，所以3x =，1y =-，所以1232331c c +=⎧⎨⨯-=⎩，即1258c c =⎧⎨=⎩. 列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为58⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题主要考查方程组的增广矩阵，属于简单题. 2．已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16B ．12C ．13D ．56【答案】D【解析】利用二倍角降幂公式和诱导公式可求得2sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】由二倍角的降幂公式可得221cos 211sin 2523sin 42226παπαα⎛⎫-++⎪+⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用二倍角降幂公式和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >【答案】C【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.4．根据下面一组等式：11s =， 2235s =+=，345615s =++=， 47891034s =+++=， 5111213141565s =++++=， 6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（ ）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+【答案】A【解析】求出第()1n -行最后一项，可得第n 行为第一项，求出第n 行最后一项，根据第n 是等差数列求出n S ，即可求出21n S -. 【详解】易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=，则第n 行第一项为212n n-+， 第n 行最后一项为2(1)22n n n n++=， 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n+，项数为n 的等差数列， 故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==， 所以32214641n S n n n -=-+-.故选：A. 【点睛】本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n 项和的求法，属于中档题.二、填空题5．1-和4-的等比中项为__________． 【答案】2±【解析】根据等比中项定义直接求解. 【详解】1-和4-的等比中项为2=±故答案为：2± 【点睛】本题考查等比中项，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．化简求值：1tan arccos 3⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】【解析】设1arccos3α=，求出α的正弦值、余弦值，利用商数关系可得到答案．【详解】由反余弦函数定义得1 arccos(0,)32π∈，11cos(arccos)33=，∴2211122sin(arccos)1cos(arccos)1()3333=-=-=，1sin(arcsin)13tan(arccos)2213cos(arccos)3==故答案为：22．【点睛】本题考查反余弦函数的定义，考查平方关系，属于基础题.7．若函数()sin()(0)f x xωϕω=+>的局部图像如下图，则ω=_______．【答案】4【解析】根据图象确定周期，解得ω.【详解】由图得0022()442T x xTπππω=+-=∴==故答案为：4【点睛】本题考查函数周期，考查数形结合思想方法，属基础题.8．若三角式等式2cos2cos cosx a b x c x=++（,,a b c为常数），对于任意x∈R都成立，则a b c-+=______．【答案】1【解析】利用特值法，分别取2xπ=，xπ=，0x=，代入三角等式即可得到答案. 【详解】因为三角式等式2cos2cos cosx a b x c x=++（,,a b c为常数），对于任意x ∈R 都成立， 所以当2x π=时，2cos coscos 22πππ=++a b c ，解得：1a =-.当x π=时，2cos 2cos cos πππ=++a b c ， 即：1=-+a b c .当0x =时，2cos0cos0cos 0=++a b c ， 即：1a b c =++.所以1111b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得02b c =⎧⎨=⎩. 所以1021-+=-++=a b c . 故答案为：1 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值得用法，特值法为解决本题的关键，属于简单题.9．lim 1nn r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是________． 【答案】12r >-【解析】根据数列极限存在的条件求解.， 【详解】因为lim 1nn r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，所以011<<+rr ， 解得12r >-故答案为：12r >- 【点睛】本题主要考查数列极限的定义和性质，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________． 【答案】1010【解析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=， 所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+， 又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=， 由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.11．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________． 【答案】111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】根据数量积的定义，分别求2112PP PP ⋅、1122PP P P ⋅、1213PP PP ⋅、1132PP P P ⋅、3122PP P P ⋅、2132PP P P ⋅，即可得12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合. 【详解】 如图：由向量数量积的定义得：11212122cos01111PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=；()12122121cos1801111PP P P PP P P ⋅==⨯⨯-=-； 1212131311cos601122PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=； 3112123111cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 2312122311cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 1212323211cos601122PP P P PP P P ⋅==⨯⨯=. 故构成的集合为：111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，属于基础题.12．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ=___________.【答案】4 【解析】【详解】以向量a ，b 的交点为原点，建立直角坐标系，则a =(-1,1)， b =(6,2)， c = (-1,-3)，由c =λa ＋μb ，得()()()1,31,16,2λμ--=-+，即61,{23,λμλμ-+=-+=-解得12,2λμ=-=-，4λμ=.【考点定位】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理.13．已知{}n a 是等差数列, 11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若1a ,2a ,5a 成等比数列,则8S =_____. 【答案】64【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． 【详解】解：因为{}n a 为等差数列,且1a ,2a ,5a 成等比数列,所以()()21114a a d a d +=+,解得122d a ==,所以()()818818818826422S a d ⨯-⨯-=+=+⨯=. 故答案为：64 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．如图是由6个宽、高分别为1b ，1a ；2b ，2a ；3b ，3a ；…；6b ，6a ，的矩形在第一象限紧挨拼成()1234560a a a a a a >>>>>>．显然6个矩形面积之和为6112266S a b a b a b =+++．若记12i i T b b b =+++，1,2,,6i =，则上述面积又可以写成()()()6121232565S a a T a a T a a T X =-+-++-+形式，其中代数式X =________．（用题目中元素i a ，i b ，i T 的最简形式表达）【答案】66a T【解析】根据题中条件，找出规律，进而可得出结果. 【详解】由题意，()()611226*********S a b a b a b a T a T T a T T =+++=+-++-()()()12123256566a a T a a T a a T a T =-+-++-+故66X a T =. 故答案为：66a T . 【点睛】本题主要考查合情推理的简单应用，属于基础题型.15．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为__________． 【答案】4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或【解析】当102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，由()1 2f x =，即1 2cos x π= 则 3x ππ=，即13x =当12x >时，由()1 2f x =，得121?2x -=，解得3 4x =则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤ 则由()f x 为偶函数∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤- 即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤-则由13134x ≤-≤或31143x -≤-≤-解得：4734x ≤≤或1243x ≤≤即不等式()112f x -≤的解集为4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目，考查了不等式的求解以及函数的图象问题．先求出当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域()12f x ≤的解，即可得到结论． 16．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB 的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC 的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++=_________．【答案】0【解析】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得112a HD HA e ⋅+212b HE HB e ⋅+3102c HF HC e ⋅=，根据相似三角形可得HD HA HE HB =，HF HC HE HB =，即HD HA HE HB =HF HC =，即可得1230ae be ce ++= 【详解】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得1231110222a HD HA eb HE HB ec HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得HD HA HE HB =，同理可得HF HC HE HB =，所以HD HA HE HB =HF HC =， 所以1230ae be ce ++= 故答案为：0 【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.三、解答题17．已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅（1）求()f x 的解析式及其最小正周期； （2）求()f x 的单调增区间． 【答案】（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）利用数量积的坐标表示，将()f x a b =⋅表示出来，再利用二倍角公式、辅助角公式即可化简()f x ，由周期公式即可得周期. （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，解得x 的范围即为()f x 的单调增区间. 【详解】（1）())()cos cos sin sin f x a b x x x xx x =⋅=+-22cos sin cos cos 22x x x x x x =-+=+ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期22T ππ== （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得：36k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈所以()f x 的单调增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈【点睛】本题主要考查了三角公式的二倍角公式、辅助角公式，考查了求解三角函数的周期和单调区间，涉及了向量数量积的坐标表示，属于中档题.18．在斜三角形ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、且()222sin cos cos()ba c A A ac A C --=+，（1）求角A 大小； （2）若sin cos BC>，求角C 的取值范围． 【答案】（1）4π；（2）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简条件，解得角A ；（2）将B 化为C ，再根据两角和正弦公式化简，最后根据正切函数性质解不等式得结果. 【详解】 （1）()222sin cos cos()ba c A A ac A C --=+()2cos sin cos cos()ac B A A ac B π∴-=- ()2cos sin cos cos ac B A A ac B ∴-=-因为斜三角形ABC 中cos 0,B ≠2sin cos 1sin 212,24A A A A A ππ∴=∴=∴==；（2）sin()sin 4cos cosC B C Cπ+>>cos 22tan 1(,)cos 42C CC C C ππ+∴>>∴∈ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和正弦公式、正切函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.19．某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？【答案】至少运送7趟，最少行驶14700米.【解析】根据每趟从库房最多只能运送3根水泥杆确定运送趟数，再根据等差数列求和公式计算行驶路程. 【详解】因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，20362=⨯+，所以至少运送7趟， 第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为(500505)2+⨯⨯首项，(5032)⨯⨯为公差的等差数列，最少行驶16(500505)2(5032)65(500502)2147002+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯=米 【点睛】本题考查数列在实际问题中应用、等差数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.20．设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈，（1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知122311113n n x x x x x x ++++=+++，求n ；（3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦．【答案】（1）*n x n N =∈；（2）48；（3）证明见解析． 【解析】（1）先根据和项与通项关系求得2n x ，解得n x ； （2）利用裂项相消法化简条件，解得结果；（3）先证明1n =成立，再根据n k =成立推导1n k =+成立即可. 【详解】 （1）当2n ≥时222222221212122,2(1)2(1),n n x x x n n x x x n n -+++=++++=-+-所以222222(1)2(1)4n n n n n xn =+----=当1n =时221224,40n n n x x nx x =+=∴=>∴=（2）111(1)2221n n n n x x n n +==+-+++所以122311111111(21)(32)(1)(11)32222n n n n n x x x x x x ++++=-+-+++-=+=+++解得48n =；（3）①当1n =时, 212222232[(11)1]x x =⨯<⨯=+-，即1n =时,结论成立； ②假设当,(1,)n k k k Z =≥∈时,结论成立，即2122312(1)1k k x x x x x x k +⎡⎤+++<+-⎣⎦当1n k =+时, 21212122312(1)1k k k k k k x x x x x x x x x k x ++++++⎡⎤+++<+⎣⎦+-因为21224122(2(1)12(212)3)k k x k x k k k k ++⎡⎤⎡⎤+-+-+=++⎣-⎦++⎣⎦22222(41282(2)12(2)14129)k k k k k k =+++-+⎡⎤⎡⎤+-+-+⎣<⎦⎣⎦即当1n k =+时, 结论成立； 由①②得，2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦【点睛】本题考查根据和项求通项、裂项相消法求和、数学归纳法证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21．借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．（1）在直角坐标系中，点133,122A ⎫-⎪⎪⎭，将点A 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转6π到点B ，如果终边经过点A 的角记为α，那么终边经过点B 的角记为6πα+．试用三角比知识，求点B 的坐标；（2）如图，设向量(),AB h k =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得向量AC ，试用h 、k 、θ表示向量AC 的坐标；（3）设(),Aa a 、(),B m n 为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用a 、m 、n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．【答案】（1）()2,1；（2）()cos sin ,cos sin AC h k k h θθθθ=-+；（3）能，()(),22arctan ,22k k Z m n a m n k k Z m n am n a ππθπ⎧+∈+=⎪⎪=⎨-⎪+∈+≠⎪+-⎩.【解析】（1）计算出OA 以及sin α、cos α的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求得cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭和sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可得点B 的坐标； （2）记AB r =，cos h r β=，sin krβ=，可得出()()()cos ,sin AC r r βθβθ=++，利用两角和的正、余弦公式可求得向量AC 的坐标； （3）求得点C 的坐标，由点C 在直线y x =上可得出()()2sin cos m n a m n θθ+-=-，分20m n a +-=与20m n a +-≠两种情况讨论，结合反三角函数可得出角θ. 【详解】（1）由于点1,122A ⎫-⎪⎪⎭，则OA ==根据三角函数的定义可得1cos 10α==，1sin α-==所以，1cos cos cos sin sin 6661021025πππααα⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭，1sin sin cos cos sin 6661021025πππααα⎛⎫+=+=+⨯=⎪⎝⎭，由旋转可知，OB OA == 所以，点B 的横坐标为cos 26B x OB θα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，纵坐标为sin 16B y OB πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因此，点B 的坐标为()2,1； （2）记AB r =，cos h r β=，sin krβ=，则()()()cos ,sin AC r r βθβθ=++， 其中()cos cos cos sin sin cos sin r r r h k βθβθβθθθ+=-=-，()sin sin cos cos sin cos sin r r r k h βθβθβθθθ+=+=+，因此，()cos sin ,cos sin AC h k k h θθθθ=-+； （3）(),AB m a n a =--， 由（2）可知()()()()()cos sin ,cos sin AC m a n a n a m a θθθθ=----+-，()()()()()cos sin ,cos sin O a m a n a C OA A b n a m a C θθθθ=+---++=+--，即点()()()()()cos sin ,cos sin C a m a n a a n a m a θθθθ+---+-+-， 由于点C 在直线y x =上，可得()()()()cos sin cos sin a m a n a a n a m a θθθθ+---=+-+-， 整理得()()2sin cos m n a m n θθ+-=-.①当20m n a +-=时，即当2m n a +=时，cos 0θ=，此时()2k k Z πθπ=+∈；②当20m n a +-≠时，即当2m n a +≠时，可得tan 2m nm n aθ-=+-，此时，()arctan2m nk k Z m n aθπ-=+∈+-.综上所述，()(),22arctan ,22k k Z m n a m n k k Z m n am n a ππθπ⎧+∈+=⎪⎪=⎨-⎪+∈+≠⎪+-⎩. 【点睛】本题考查三角恒等变换与平面向量的综合问题，考查了两角和的正弦、余弦公式以及反三角函数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.。
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A. f (1) f (−1) f (0)
B. f (0) f (1) f (−1)
C. f (−1) f (0) f (1)
D. f (1) f (0) f (−1)
三. 解答题
17. 已知 cos( + ) = 2 5 ， tan = 1 ，且 、 (0, ) .
5
7
2
2n −1 11. [−1,1]
4.
6 5
8.
6 12. 3(1− ( 3)n )
4
二. 选择题 13. A
14. D
15. B
16. A
三. 解答题
17.（1） 11 ；（2） .
10
4
18.（1）[k + , k + 5 ]（ k Z ）；（2）最大值为 3 ，最小值为 1.
3
6
2
19.（1）
n是奇数 n是偶数
，求数列
{cn
}
的前
n
项和
S
n
的通项公式，并求数列{
1 Sn
}
的最
大值、最小值，并指出分别是第几项.
3
上海市复旦附中 2019-2020 学年高一第二学期期中考试
数学试卷参考答案
一. 填空题
1
1.
2
5. 16
2− 2
9.
2
1
2.
2 3
6.
2
10. 4、5 或 32
5
3.
6 1
7.
20. 设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 (Sn −1)2 = anSn （ n N ），设 bn = (−1)n+1(n +1)2 anan+1 （ n N ），数列{bn} 的前 n 项和 Tn . （1）求 S1 、 S2 、 S3 的值； （2）利用“归纳—猜想—证明”求出 Sn 的通项公式； （3）求数列{Tn} 的通项公式.
上海市复旦附中 2019-2020 学年高一第二学期期中考试
数学试卷
一. 填空题 1. 一个面积为 1 的扇形，所对弧长也为 1，则该扇形的圆心角是
2020.05 弧度
2. 计算 sin 40sin100 − sin 50sin10 =
3. 函数 y = sin x ， x [ , ] 的反函数记为 g(x) ，则 g(1) =
10.
正整数列{an} 满足 a1
= a ，且对于 n N 有 an+1
=
3an +
an 2
1
则 a 的所有可能取值为
an是奇数 an是偶数 ，若 a6 = 1，
11. 定义在 R 上的奇函数 y = f (x) 满足 f (tan x) = sin(2x) 对任意 x (0, ) 成立，则 2
A=
3
；（2） Smax
=
3 16
.
20.（1） S1
=
1 2
， S2
=
2 3
， S3
=
3 4
；（2） Sn
=
n （ n N n +1
）；
（3） Tn
=
1 2
(1 2
+
(n
(−1)n+1 +1)(n +
) 2)
.
21.（1）证明略；（2） an
=
n−
1 2
+
1 2n
， bn
=
−n +
1 2
+
1 2n
{an
}
首项为
2，公差为
2，其前
n
项和记为
S
n
，则数列{
1 Sn
}
前
n
项和为（
）
2n A.
n +1
n B.
n +1
1 C.
n(n +1)
n D.
2(n +1)
16. 已知函数 f (x) = Asin(x + ) （其中 A 、 、 均为正的常数）的最小正周期为 ， 2
当 x = 时，函数 f (x) 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） 3
（1）求 cos2 − sin2 + sin cos 的值；
（2）求 2 + 的值.
18. 已知函数 f (x) = sin x( 3 cos x + sin x) . （1）求 y = f (x) 的单调减区间； （2）当[ , ] 时，求 f (x) 的最大值和最小值.
63
2
19. △ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 b + c = 1，且 (a + c)(a − c) = b(b − c) . （1）求角 A 的大小； （2）求三角形面积 S ABC 的最大值.
f (x) 值域为
12. T1 是一个边长为 1 的正三角形，T2 是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中 间一份的正三角形后所形成的图形，依次类推 Tn+1 是对 Tn 中所含有的所有正三角形都去掉中 间一份（如图），记 Sn 为Tn 的面积， Qn = S1 + S2 + + Sn ，则 Qn =
二. 选择题
1
13. 在△ ABC 中，“ sin A 2 ”是“ A 3 ”的（
2
4
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
）条件 D. 既非充分又非必要
14. 以下哪个不是 lim 2 − 5qn 可能的取值（ ） n→ 2qn +1
A. 2
B. −1
C. − 5 2
D. −7
15.
若等差数列
= 1， an+1
=
an 2an +
x + 4 ) −1的图像向右平移 （ 0 ）个单位，使得点 ( ,−1) 成为
3
2
图像的一个对称中心，则 的最小值是
9. 函数 f (x) = 2 + sin x + cos x （ x R ）的最小值为 3 − sin 2x
；
（3）当 n 为偶数时， Sn
=
−n 2
+1−
1 2n
，当 n 为奇数时， Sn
=
n 2
+1−
1 2n
；{ 1 } 的最大值 Sn
为第 1 项，最大值为 1，最小值为第 2 项，最小值为 −4 .
4
21. 已知数列{an} 和{bn} 满足 a1 = 1， b1 = 0 ， 4an+1 = 3an − bn + 4 ， 4bn+1 = 3bn − an − 4 .
（1）证明：{an + bn} 是等比数列，{an − bn}是等差数列；
（2）求{an} 和{bn} 的通项公式；
（3）令 cn = abnn
2
2
4. 在△ ABC 中，若 a = 3 ， b = 1 ， A = 60 ，则 B =
5. 已知等比数列{an} 中， a2 = 4 ， a6 = 8 ，则 a10 =
6. 已知等差数列{an} ，若 a1 + a5 + a9 = 4 ，则 sin(a2 + a8 ) =
7.
已知数列{an} 满足以下关系： a1