周期矩形波变成了非周期的矩形脉冲
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§3.2 非周期信号的傅立叶变换
则指数形式 付氏级数 : 傅立叶级数 的复系数Fn
f (t )
n
F
n
e
jn1t
1 t0 T1 jn1t Fn f (t )e dt T1 t0
j n
Fn Fn e
1 bn (an jbn ) tg n an 2
傅立叶级数的复系数Fn与频率的关系称为周期 信号的 复数频谱（频谱特性）
一、周期矩形脉冲信号的频谱
frequency spectrum
E f (t ) 0 (t (t
2 2
)
)
此周期矩形脉冲信号： 脉宽为，周期为T1， 幅度为E； 求Fn
f(t) E -T1
2
0
2
T1
t
1 Fn T1
T1 / 2
T1 / 2
f (t )e
jn1t
dt
1 Fn T1
Ee
2 2
jn1t
dt
E jn1 / 2 jn1 / 2 (e e ) T1 ( jn1 ) n1 sin( ) E n1 E 2 Sa( ) T1 2 T1 n1 2
n1 , (n1 ) d ,
n1
傅立叶级数变为积分公式
1
Fn
F ( ) 2
1 f (t ) FT [ F ( )] 2
1
F ( )e jt d
Fourier transform pair
Fourier transform equation / Fourier integral Inverse Fourier transform equation
傅立叶变换存在的充分条件
f (t ) dt
用冲激函数的概念，允许奇异函数也 能满足上述条件，因而象阶跃、冲激 一类函数也存在傅立叶变换
T1
8
T1 t
Fn
2 2
T1Fn
2
2
2
2
2
非周期信号的频谱分析
Frequency spectrum analysis of aperiodic signals 当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了 非周期信号的单脉冲信号
T1
频率也变成连续变量
2 1 0 d T1
Baidu Nhomakorabea
n1
频谱演变的定性观察
2 1 T1
Fn
-T/2
T/2
-T/2
T/2
T1Fn
1
2
2
由以上三个时域周期信号的T1Fn 的图形可 T1Fn 的包络线为Sa ( / 2)，它与 见， T1 无 关。 定义非周期信号的频率密度函数为
E -T
x(t)
2
2
0
T
t
2 1 T1
Fn
F0
E , T1
Fn
E n Sa( ) T1 T1
0
2
4
周期矩形的频谱变化规律：
If T is constant, change τ If τ is constant, change T
T
频谱分析表明
F ( ) lim FnT1 lim
T1
2Fn
1 0
1
T是nF2与基波频率 之比。 nF 1 上式表明， 1 F ( ) 且当 1T时，谱线间隔 1 0 ，
成为变量ω的连续函数。
傅立叶正变换公式
F () lim
T1 / 2
T1 T1 / 2
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲 周期越大，谱线越密。 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成 正比，与周期成反比。 n1 包络线变化。过 各谱线的幅度按
Sa (
零点为 主要能量在第一过零点内。带宽
2m
2
)
B
2
由以上分析可知，若脉冲宽度为 ，幅 度E=1，周期为 T1 则其傅立叶系数为
描述非周期信号的频域特性。
用 T1 乘上 Fn，得T1 Fn S a ( / 2) 式中 T F 为一有限值。
1 n
n1，
T1
2
t
Fn
T1Fn
2
2
T1
T1
4
T1
Fn
2
2
2
T1Fn
2
2
2
t
2
2
2
f (t )e
jn1t
dt
•由于 1 0，则 n1 ，上式变为
F ( ) f (t )e
j t
dt
•该式即为非周期信号傅立叶正变换公式
傅立叶反变换公式
指数形式的傅立叶级数展开公式
f (t )
n
1
Fn e
jn1t
其中谱线间隔 (n1 ) 1，上式可写为： Fn jn1t f (t ) e (n1 ) 当 T1 ，即周期函数变成非周期函数时，
F () F () e
j ( )
＝R() jX ()
| F ( ) |~ 曲线为幅度频谱， 表示各频率间谱密度的相对大小。
( ) ~ 曲线为相位频谱， 表示各频率间的相位关系。
R()频谱的实部，X()频谱的虚部。
三从物理意义来讨论FT
(a) F(ω)是一个密度函数的概念 (b) F(ω)是一个连续谱 (c) F(ω)包含了从零到无限高 频的所有频率分量,分量的 频率不成谐波关系
F ( ) FT[ f (t )]
1 f (t ) FT [ F ( )] 2
1
f (t )e
F ( )e
jt
dt
jt
d
F ( )称为f (t )的频谱密度函数或频谱或象函数， f (t )称为F ( )的原函数。
傅立叶变换一般为复数
FT一般为复函数
n1 sin ( ) 2 Fn T1 n1 2
T1
S a(
2
)
n 1
当脉宽 τ 保持不变， T1 增大时，相应的频谱图上 的谱线间隔变小，相应的频谱包络线 2 sin / 2 的 T1 幅度变小。
T1 时，周期矩形波变成了非周期的矩形脉冲 ，相应的 Fn 0 。因此，无法再用傅立叶级数
则指数形式 付氏级数 : 傅立叶级数 的复系数Fn
f (t )
n
F
n
e
jn1t
1 t0 T1 jn1t Fn f (t )e dt T1 t0
j n
Fn Fn e
1 bn (an jbn ) tg n an 2
傅立叶级数的复系数Fn与频率的关系称为周期 信号的 复数频谱（频谱特性）
一、周期矩形脉冲信号的频谱
frequency spectrum
E f (t ) 0 (t (t
2 2
)
)
此周期矩形脉冲信号： 脉宽为，周期为T1， 幅度为E； 求Fn
f(t) E -T1
2
0
2
T1
t
1 Fn T1
T1 / 2
T1 / 2
f (t )e
jn1t
dt
1 Fn T1
Ee
2 2
jn1t
dt
E jn1 / 2 jn1 / 2 (e e ) T1 ( jn1 ) n1 sin( ) E n1 E 2 Sa( ) T1 2 T1 n1 2
n1 , (n1 ) d ,
n1
傅立叶级数变为积分公式
1
Fn
F ( ) 2
1 f (t ) FT [ F ( )] 2
1
F ( )e jt d
Fourier transform pair
Fourier transform equation / Fourier integral Inverse Fourier transform equation
傅立叶变换存在的充分条件
f (t ) dt
用冲激函数的概念，允许奇异函数也 能满足上述条件，因而象阶跃、冲激 一类函数也存在傅立叶变换
T1
8
T1 t
Fn
2 2
T1Fn
2
2
2
2
2
非周期信号的频谱分析
Frequency spectrum analysis of aperiodic signals 当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了 非周期信号的单脉冲信号
T1
频率也变成连续变量
2 1 0 d T1
Baidu Nhomakorabea
n1
频谱演变的定性观察
2 1 T1
Fn
-T/2
T/2
-T/2
T/2
T1Fn
1
2
2
由以上三个时域周期信号的T1Fn 的图形可 T1Fn 的包络线为Sa ( / 2)，它与 见， T1 无 关。 定义非周期信号的频率密度函数为
E -T
x(t)
2
2
0
T
t
2 1 T1
Fn
F0
E , T1
Fn
E n Sa( ) T1 T1
0
2
4
周期矩形的频谱变化规律：
If T is constant, change τ If τ is constant, change T
T
频谱分析表明
F ( ) lim FnT1 lim
T1
2Fn
1 0
1
T是nF2与基波频率 之比。 nF 1 上式表明， 1 F ( ) 且当 1T时，谱线间隔 1 0 ，
成为变量ω的连续函数。
傅立叶正变换公式
F () lim
T1 / 2
T1 T1 / 2
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲 周期越大，谱线越密。 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成 正比，与周期成反比。 n1 包络线变化。过 各谱线的幅度按
Sa (
零点为 主要能量在第一过零点内。带宽
2m
2
)
B
2
由以上分析可知，若脉冲宽度为 ，幅 度E=1，周期为 T1 则其傅立叶系数为
描述非周期信号的频域特性。
用 T1 乘上 Fn，得T1 Fn S a ( / 2) 式中 T F 为一有限值。
1 n
n1，
T1
2
t
Fn
T1Fn
2
2
T1
T1
4
T1
Fn
2
2
2
T1Fn
2
2
2
t
2
2
2
f (t )e
jn1t
dt
•由于 1 0，则 n1 ，上式变为
F ( ) f (t )e
j t
dt
•该式即为非周期信号傅立叶正变换公式
傅立叶反变换公式
指数形式的傅立叶级数展开公式
f (t )
n
1
Fn e
jn1t
其中谱线间隔 (n1 ) 1，上式可写为： Fn jn1t f (t ) e (n1 ) 当 T1 ，即周期函数变成非周期函数时，
F () F () e
j ( )
＝R() jX ()
| F ( ) |~ 曲线为幅度频谱， 表示各频率间谱密度的相对大小。
( ) ~ 曲线为相位频谱， 表示各频率间的相位关系。
R()频谱的实部，X()频谱的虚部。
三从物理意义来讨论FT
(a) F(ω)是一个密度函数的概念 (b) F(ω)是一个连续谱 (c) F(ω)包含了从零到无限高 频的所有频率分量,分量的 频率不成谐波关系
F ( ) FT[ f (t )]
1 f (t ) FT [ F ( )] 2
1
f (t )e
F ( )e
jt
dt
jt
d
F ( )称为f (t )的频谱密度函数或频谱或象函数， f (t )称为F ( )的原函数。
傅立叶变换一般为复数
FT一般为复函数
n1 sin ( ) 2 Fn T1 n1 2
T1
S a(
2
)
n 1
当脉宽 τ 保持不变， T1 增大时，相应的频谱图上 的谱线间隔变小，相应的频谱包络线 2 sin / 2 的 T1 幅度变小。
T1 时，周期矩形波变成了非周期的矩形脉冲 ，相应的 Fn 0 。因此，无法再用傅立叶级数