《两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》课件(两套)

∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
探究归纳 如果两个三角形的两边成比例，但相等的角不是这两边的 夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量.
C
D
F
A
B
E 不相似（类比三角形全等的判定）
归纳： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两 条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似.
1.理解定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三 角形相似”；
2.能灵活地选择定理判定相似三角形.
判断两个三角形相似,你有哪些方法
方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线. 方法3：三边对应成比例.
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使
△ADE∽△ABC相似呢？
相似三角形的判定方法: 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相
交,所构成的三角形与原三角形相似; 2. 三边对应成比例,两三角形相似;
3. 两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.
AB 4
AB AC
B
又∵∠EAD=∠CAB,
A
D C
∴△ADE∽△ABC
∴
∴DE= 3 BC 9 .
4
4
例3 如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．
证明： ∵ CD是边AB上的高,
C
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ADC∽△CDB.
AD
B
∴ ∠ACD= ∠B.
3.（无锡中考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于
O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若
OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的
是( ). A．①与②相似 C．①与④相似
B．①与③相似 D．②与④相似
①② ④③
【解析】选B.根据两边对应成比例且夹角相等得选择项.
4.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．试
所画如图所示,此时，
AD 1 AE = 1 AB 3 AC 3
A = A
如果一个三角形的两条边与 另一个三角形的两条边对应 成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形一定相似吗？
已知：如图△ABC和△A′B′C′中，∠A＝
∠A′，A′B′:AB=A′C′:AC.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明:在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线) B′ 上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连结DE. A
例1 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm,
BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
证明： ∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1
C F
cm,EF=1.5cm,
A
D
E
B
又∵∠C=∠F=70°， ∴ △DEF∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
讲授新课
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
我发现这两个三 角形是相似的
①任意画△ABC;
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且
AB A'B'
AC k; A'C '
③量出B′C′及BC的长，计算 BC 的值，并比较是否
B'C '
三边都对应成比例？
④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出
注意：相等的角一定要是两条对应边的夹角.
当堂练习
1.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
解：∵ B
45
1 E 36 F
∴
A
54
2
30
∵∠1＝∠2，
C
∴△AEB∽△FEC.
2. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC
∽ △DBA的条件是
（D）
A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CD·BC D. AB2=BD·BC
∠A=∠A′，这样，△ADE≌△A′B′C′.
∵A′B′:AB=A′C′:AC
∴ AD:AB=AE:AC
D
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A′B′C′∽△ABC
B
A′ C′
E C
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成 比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 .
B B′
A
C A′
AB AC AB AC
∠C′=∠C吗？为什么？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关
系？与你周围的同学交流.
我们来证明一下前面得出的结论： △A′B′C′∽△ABC.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
AB AC . A'B' A'C'
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,
使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的两个 三角形相似
学习目标
1.探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理； 2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似.（重点、难点）
导入新课
回顾与思考 问题1 我们学习过哪些判定三角形全等的方法？
问题2 我们目前知道的两个三角形相似有哪些判定 方法？
A
B
DC
3.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，AB=6，
BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长．
A
D
B C
△ABC∽△DCA
课堂小结
利用两边及夹角判定三角形相似
两边成比例且 夹角相等的两 个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时
A = A
∴△ABC∽△ ABC
(两边对应成比例且夹角相等，两三
角形相似) C′
想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角， 那么两个三角形是否相似呢？
D C
F
A
B
E
1.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ D ） （A）∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°AB=DE （B）∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80° （C）∠A=∠D=50° AB=3 AC=5 DE=6 DF=10 （D）∠B=∠E=70° AB：DE=AC：DF 注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，如果不 是夹角，则它们不一定会相似．
练一练 如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. 证明：
△ABC∽△ADE.
来自百度文库
例2 如图，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3,且 解：∵AE=1.5，AC=2，
，求DE的长.
∴
E
∵ AD 3 , ∴ AD AE .
交A′C′于点E.
A
∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.
D
B
C B'
A'
E C'
∵A′D=AB，
∴A′E=AC. 又∠A′=∠A. ∴△A′DE≌△ABC， ∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
D C B'
A'
E C'
由此得到三角形的判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似．
典例精析
A
1．（烟台中考）如图，△ABC中，
点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下
列结论一定正确的是（ A ）
A.AB2=BC·BD
B.AB2=AC·BD
B
C.AB·AD=BD·BC
D.AB·AD=AD·CD
DC
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC 上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6， DE=3，则AD的长为（ ） A．3 B．4 CC．5 D．6
增添一个条件使△ ACP∽△ABC．
【解析】 ⑴∵∠A=∠A，
∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时,
△ACP∽△ABC .
B
⑵ ∵∠A=∠A，
A
P1 2 C
∴当AC:AP＝AB:AC时，
△ ACP∽△ABC.
答：增添的条件可以是
∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC.
5.如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，
AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，
小张同学的判断理由是这样的：
A
【解析】∵ AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1
∴ AE＝6-2. 1＝3.9
E
由于 AD AE
AB AC
C
∴ △ADE与△ABC不会相似．
D B
你同意小张同学的判断吗?请你说说理由．
【解析】不同意，理由如下： ∵AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1， ∴ AE＝6-2.1＝3.9 ， ∴ AE：AB =3.9：7.8=1：2， AD：AC =3：6=1：2， ∴ AE：AB =AD：AC， 又 ∵∠A=∠A， ∴ △ADE∽△ACB．