高考数学集合的运算

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高考数学专题知识突破：考点1 集合的概念与运算

考点一集合的概念与运算知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、V enn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R(5)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B3.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；(2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．4.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 5.集合关系与运算的常用结论(1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n －1个，真子集有2n－1个．(2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．(3)(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B) ．典例剖析题型一集合的基本概念例1已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是答案 5解析列表根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．变式训练已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素．答案 6解析因为x－y∈A，∴x≥y．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．解题要点研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集．在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏．例2 设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 2解析因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，且由a 在分母的位置可知a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.变式训练已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．答案－32解析因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意，所以m ＝－32.解题要点对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性．题型二集合间的基本关系例3 集合A ={－1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有个答案 4解析根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个.变式训练设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有个答案 6解析集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅和{2}，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．解题要点解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合．例4 设，若，则a 的取值范围是．答案解析根据题意作图：由图可知，，则只要即可，即a 的取值范围是．变式训练已知集合()2{|540},,,A x x x B a A B =-+≤=-∞⊆，则a 的取值范围是．答案 (4,)+∞解析 []2{|540}1,4A x x x =-+≤=，∵，根据题意作图：由图可知，只要即可，即a 的取值范围(4,)+∞.解题要点对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到. 题型三集合的基本运算例5 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．答案 5解析 A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.变式训练已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于________．答案 {－1,0,1,2}解析 A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，B 为整数集，A ∩B ＝{－1,0,1,2}.解题要点求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个．例6 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B ) ＝________．答案 {x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图．∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．变式训练已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－＜x ＜}，则A ∪B ＝________．答案 R解析 ∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用数轴表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ．解题要点集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法．当堂练习1. 已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()UA B =________．2．若集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∩N 等于________． 3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______4．已知集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y <2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________． 5．设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝．课后作业1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}，则A ∩B 等于________． 2．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝________． 3．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >4}，则M ∪N 等于________． 4．若集合A ={x ∈R |ax 2+ax +1=0}中只有一个元素,则a =________． 5．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则UA B ()= ________．6．已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =________．7．满足条件{0,2}∪M ＝{0,1,2}的所有集合M 的个数为________． 8．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 9．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )等于________．10．已知A ＝{3,5,6,8}且集合B 满足A ∩B ＝{5,8}，A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}，则这样的集合B 有________个．11．若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B 等于．12．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为 13．已知A ＝{x |2a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围是________．当堂练习答案1. 答案 {4}解析因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以U (A ∪B )＝{4}．2．答案 {0，1}解析由集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，得到M ∩N ={0，1}． 3．答案4．答案 {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y <2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}． 5．答案 {1，2}解析由x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，故N ＝{x |1≤x ≤2}，∴M ∩N ＝{1,2}．课后作业答案1．答案 (2,3)解析 ∵A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2,3)． 2．答案 {－2,0,2}解析先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，故M ∪N ＝{－2,0,2}． 3．答案 {x |x <－5或x >－3}解析在数轴上表示集合M 和N ，如图所示，则数轴上方所有“线”下面的部分就是M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}． 4．答案 4解析 a ＝0时，ax 2+ax +1=0无解，此时，A =∅，不合题意；a ≠0时，由题意得方程ax 2＋ax ＋1＝0有两个相等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＝0a ≠0，解得a ＝4.5．答案 {0,2,4}解析 ∵UA ＝{0,4}，U AB ()＝{0, 2,4}.6．答案 {1,4}解析 ∵x ＝n 2，n ∈A ，∴x ＝1,4,9,16. ∴B ＝{1,4,9,16}．∴A ∩B ＝{1,4}． 7．答案 4解析由题可知集合M 中必有1，满足条件的M 可以为{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4个． 8．答案 0或3解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∵A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ∈A ，故m ＝m 或m ＝3，解得m ＝0或m ＝3或m ＝1，又根据集合元素的互异性m ≠1，所以m ＝0或m ＝3. 9．答案 {1}解析 ∵∁U B ＝{1,5,6}，∴A ∩(∁U B )＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}. 10．答案 4解析 ∵A ∩B ＝{5,8}，∴5,8∈B ，又∵A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}而A ＝{3,5,6,8}， ∴2,4,7∈B ，∴3,6可以属于B ，也可不属于B ． ∴这样的B 有22＝4(个)． 11．答案 {x |－3<x <2}解析由题意，得A ∩B ＝{x |－5<x <2}∩{x |－3<x <3}＝{x |－3<x <2}． 12．答案 2解析 A ＝{…，5,8,11,14,17…}，B ＝{6,8,10,12,14}，集合A ∩B 中有两个元素． 13．答案－3≤a <－12解析 ∵B ＝{x |x <－1或x >5}，A ∪B ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a <－1，a ＋8≥5，解得－3≤a <－12.。

高考数学259个核心考点

高中数学考试必备的知识点整理温馨提示：在复习的同时，也要结合课本上的例题去复习，重点是课本，而不是题目应该怎样去做，所以在考前的一天必须回归课本复习，心中无公式，是解不出任何题目来的，只要心中有公式，中等的题目都可以解决。

必修一：一、集合的运算：交集：定义：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 并集：定义：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为A B补集：定义：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为C UA 二、指数与指数函数1、幂的运算法则：（1）a m •a n =a m + n ，（2）a m ÷a n =a m -n ，（3）(a m )n =a m n （4）(ab )n = a n •b nn -11a n⎛a ⎫nm-n （5） ⎪=n （6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）a =n （8）am=a（9）am=mna b ⎝b ⎭a 2、根式的性质⎧a ,a ≥0n n n n n n n n （1）(a )=a .（2）当为奇数时，a =a ；当为偶数时，a =|a |=⎨.-a ,a <0⎩n n 5.指数式与对数式的互化：log aN =b ⇔a b =N (a >0,a ≠1,N >0).6、对数的运算法则：（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N = N （6）log a (MN) = log a M + log a N（7）log a (log b N M ) = log a M -log a N（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =Nlog banlog a b (a >0,且a >1,m ,n >0,且m ≠1,n ≠1,N >0).m （10）推论：log a m b n =（11）log a N =1（12）常用对数：lg N = log 10N（13）自然对数：ln A = log e Alog Na必修4：1、特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°πππ角α的弧度数643Sinα12223290°π21180°π0270°3π2-1360°2π0321Cosα12220-101tanα03313不存在0不存在02、诱导公式：函数名不变，符号看象限（把α看成锐角）公式一：Sin（α+2kπ）=Sinα公式二：Sin（α+π）=-SinαCos（α+2kπ）=Cosα Cos（α+π）=-Cosαtan（α+2kπ）=tanα tan（α+π）=tanα公式三：Sin（-α）=-Sinα公式四：Sin（π-α）=SinαCos（-α）= Cosα Cos（π-α）=-Cosαtan（-α）=-tanα tan（π-α）=-tanα公式五：Sin（π2-α）=Cosα公式六：Sin（π2+α）=CosαCos（ππ2-α）=Sinα Cos（2+α）=-Sinα3、两角和与角差的正弦、余弦和正切公式①sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β②sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β③cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β④cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β⑤tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β⑥tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β4.二倍角的正弦、余弦和正切公式①sin 2α=2sin αcos α②cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos α2-1③tan 2α=2tan α1-tan 2α④sin 2α=1-cos 2α2⑤cos 2α=1+cos 2α2sin αcos α=12sin 2α5、向量公式：→→→→①a ∥b ⇔x 1x =y 1(x 2,y 2≠0)（a ∥b ⇔x 1y 2-x 2,y 1=0）2y2→→→→→②a +b =(a +b )2=a 2+2a →⋅b →→+b 2=→2a +2a →⋅b →⋅cos θ+b→2→→③cos θ=a ⋅b =x 1x 2+y 1y2→（求向量的夹角）a ⋅→bx21+y2x2212+y2⑥④a ⊥b ⇔a ⋅b =0⑥平面内两点间的距离公式：设a =(x ,y ),则→2→→→→→a =x +y 或a =x 2+y 2→22→⑦平面内两点间的距离公式：a =(x 1-x 2)+(y 1-y 2)2222高中数学必修5知识点归纳第一章解三角形1、正弦定理：在∆AB C 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为∆AB C 的外接圆的a b c半径，则有===2R ．sin A sin B sin C2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ；a b c②sin A =，sin B =，sin C =；③a :b :c =sin A :sin B :sin C ；2R 2R 2R a +b +c a b c④．===sin A +sin B +sin C sin A sin B sin C（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

高考数学冲刺集合的基本概念与运算规则

高考数学冲刺集合的基本概念与运算规则高考数学冲刺：集合的基本概念与运算规则在高考数学的众多知识点中，集合是一个基础且重要的部分。

对于即将面临高考的同学们来说，熟练掌握集合的基本概念与运算规则，不仅能够在高考中轻松应对相关题目，也为后续学习更复杂的数学知识奠定了坚实的基础。

一、集合的定义集合，简单来说，就是把一些确定的、不同的对象汇集在一起，组成的一个整体。

这些对象被称为集合的元素。

比如，一个班级里的所有同学可以组成一个集合，班级里的每一位同学就是这个集合的元素；自然数也可以组成一个集合，每一个自然数就是这个集合中的元素。

集合通常用大写字母来表示，如 A、B、C 等；元素则用小写字母表示，如 a、b、c 等。

如果一个元素 a 属于集合 A，我们就记作 a∈A；如果元素 b 不属于集合 A，就记作 b∉A。

二、集合的表示方法1、列举法就是把集合中的元素一一列举出来。

比如，由数字 1、2、3 组成的集合，可以表示为{1, 2, 3}。

2、描述法通过描述元素所具有的共同特征来表示集合。

比如，所有小于 5 的自然数组成的集合，可以表示为{x ｜ x 是小于 5 的自然数}。

3、图示法包括韦恩图（Venn Diagram），用封闭的曲线来表示集合以及集合之间的关系。

三、集合的分类1、有限集集合中的元素个数是有限的。

比如，由 10 个苹果组成的集合就是有限集。

2、无限集集合中的元素个数是无限的。

比如，所有自然数组成的集合就是无限集。

3、空集不含任何元素的集合，记作∅。

四、集合间的关系1、子集如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A⊆B。

例如，集合 A ＝｛1, 2}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，则 A 是 B 的子集。

特别地，任何集合都是它自身的子集。

2、真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作 A⊂B。

2024全国高考真题数学汇编：集合的基本运算

2024全国高考真题数学汇编集合的基本运算一、单选题1．（2024北京高考真题）已知集合{|31}M x x ，{|14}N x x ，则M N （）A ． 11x x B ． 3x x C ． |34x x D ． 4x x 2．（2024天津高考真题）集合 1,2,3,4A ， 2,3,4,5B ，则A B （）A ． 1,2,3,4B ． 2,3,4C ． 2,4D ． 13．（2024全国高考真题）若集合 1,2,3,4,5,9A ， 1B x x A ，则A B （）A ． 1,3,4B ． 2,3,4C ． 1,2,3,4D ． 0,1,2,3,4,94．（2024全国高考真题）已知集合 355,{3,1,0,2,3}A x x B ∣，则A B （）A ．{1,0} B ．{2,3}C ．{3,1,0} D ．{1,0,2}5．（2024全国高考真题）已知集合 1,2,3,4,5,9,A B A ，则 A A B ð（）A ． 1,4,9B ． 3,4,9C ． 1,2,3D ．2,3,5参考答案1．C【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得 |34M x x N .故选：C.2．B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合 1,2,3,4A ， 2,3,4,5B ，所以 2,3,4A B ，故选：B3．C【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x ，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B ，于是{1,2,3,4}A B .故选：C4．A【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为 |,3,1,0,2,3A x x ，且注意到12 ，从而A B 1,0 .故选：A.5．D【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为1,2,3,4,5,9,A B A ，所以 1,4,9,16,25,81B ，则 1,4,9A B ，2,3,5A A B ð故选：D。

高考数学讲义：集合的运算(并集)(解析版)

第5讲：集合的运算（并集）【学习目标】1．理解两个集合的并集的含义．会求两个简单集合的并集；2．能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．【基础知识】一、并集【考点剖析】考点一：并集的求解（基础）例1．若集合{2,1,2}M =--，集合{0,2}N =，则M N 等于（）A．{2,1,2}--B．{2,1,0,2}--C．{}2D．{2,1,0}--【答案】B 【详解】因为集合{2,1,2}M =--，集合{0,2}N =，所以{2,1,0,2}M N =-- ，故选：B变式训练1：已知集合{}2,0,1M =-，{}1,0,1,2N =-，则M N = （）A．{}2,1,0,2--B．{}2,0,1-C．{}2,0,1,2-D．{}2,1,0,1,2--【答案】D 【详解】由{}2,0,1M =-，{}1,0,1,2N =-，∴{2,1,0,1,2}M N ⋃=--.故选：D.变式训练2：已知{|7}A x x =∈<N ，{5,6,7,8}B =，则集合A B 中的元素个数为（）A．7B．8C．9D．10【答案】C 【详解】{0,1,2,3,4,5,6}A =，{0,1,2,3,4,5,6,7,8}A B = ，共9个元素．故选：C．变式训练3：已知集合A=1{1,2,}2A =，B={}2|,y y x x A =∈，A B = _______________．【答案】11{1,2,,4,}24【详解】因为B={y|y=x2，x∈A}=1144⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，所以A∪B=1112424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，．故答案为：1112424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，考点二：并集的求解（提升）例2．已知集合{}{}7,27A y y B x x =<=-≤≤，则A B = （）A．{}22x x -≤<B．{}7x x ≤C．{}7x x <D．{}27x x -≤<【答案】B 【详解】{}{}{}77,27A y y x x B x x =<=<=-≤≤，∴A B = {}7x x ≤，故选：B.变式训练1：若集合{0,1,2,3},{13}S T xx ==-<<∣，则S T = （）A．{|13}x x -<<B．{|13}x x -<≤C．{0,1,2}D．{|03}x x <≤【答案】B 【详解】画数轴如图：可看出并集为S T ⋃={|13}x x -<≤故选：B变式训练2：设集合{}{}21,02M x x N x x =-<<=<<，则M N = （）A．{|20}x x -<<B．{|01}x x <<C．{|02}x x <<D．{|22}x x -<<【答案】D 【详解】由{|21}M x x =-<<，{|02}N x x =<<，则{|22}M N x x =-<< 故选：D.变式训练3：设集合13{|}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A B = （）A．{|14}x x ≤<B．{|23}x x ≤≤C．{|23}x x <≤D．{|24}x x £<【答案】A 【详解】因为集合13{|}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，所以[13](24)[14)A B == ，，，，故选：A.考点三：并集的求解（拓展）例3．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N =（）A．{|43}x x -<<B．{|42}x x -<<-C．{|22}x x -<<D．{|23}x x <<【答案】A 【详解】由题意，集合2{|60}{|23}N x x x x x =--<=-<<，且{|42}M x x =-<<，根据集合并集的概念及运算，可得{|43}M N x x ⋃=-<<.故选：A.变式训练1：若集合{}2270A x x x =-<，{}3B x x =>，则A B = （）A．{}x x >B．732x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C．702x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D．{0x x <或}3x >【答案】A 【详解】(){}727002A x x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =>，{}0A B x x ∴⋃=>.故选：A.变式训练2：已知集合{}220A x R x x =∈-<，{}14B x R x =∈≤≤，则A B = （）A．{}|04x x <<B．{}04x x <≤C．{}12x x ≤<D．{}24x x <≤【答案】B 【详解】因为{}{}22002A x R x x x R x =∈-<=∈<<，{}14B x R x =∈≤≤，所以{}04A B x x =<≤ .故选：B.变式训练3：已知集合()(){}410A x x x =+-≤，{}2B x x =<，则A B = （）A．{}22x x -<<B．{}21x x -<≤C．{}24x x -<≤D．{}42x x -≤<【答案】D 【详解】由不等式()()410x x +-≤，解得41x -≤≤，即{}41A x x =-≤≤，又因为{}22B x x =-<<，所以{}42A B x x ⋃=-≤<.故选：D.考点四：已知并集求参数例4．设集合{}{}20,2,|40A B x x mx n ==-+=，，若{}0,1,2,3,4A B = ，则m n +的值是（）A．1B．3C．5D．7【答案】D 【详解】因为集合{}{}20,2,|40A B x x mx n ==-+=，，{}0,1,2,3,4A B = ，则{}1,3B =，所以，1、3是方程20x mx n -+=的两根，所以，1313mn+=⎧⎨⨯=⎩，因此，437m n +=+=.故选：D.变式训练1：已知集合{}21,A a=，{}1,0,1B =-，若A B B = ，则A 中元素的和为（）A．0B．1C．2D．1-【答案】B 【详解】A B B =Q U ，A B ∴⊆，20a ∴=，则0a =，{}1,0A ∴=，因此，集合A 中元素的和为011+=.故选：B.变式训练2：设集合{}24A x Z x =∈≤，{}1,2,B a =，且A B A = ，则实数a 的取值集合为（）A．{}2,1,0--B．{}2,1--C．{}1,0-D．{}2,1,1--由题得{}{}242,1,0,1,2A x Z x =∈≤=--，因为{}1,2,B a =，且A B A = ，所以实数a 的取值集合为{}2,1,0--.故选：A变式训练3：已知集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=.（1）若A B A = ，求实数a 的值；【答案】（1）2a =或3；【详解】（1）由2320x x -+=得1x =或2，所以{1,2}A =，由210x ax a -+-=得1x =或1a -，所以1,1B a B ∈-∈，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以11a -=或2，所以2a =或3；考点五：已知并集求参数范围（基础）例5．已知集合{}2430A x x x =-+<，{}B x x m =>，若{}1A B x x => ，则（）A．1m ≥B．13m ≤<C．13m <<D．13m ≤≤【答案】B 【详解】解不等式2430x x -+<可得13x <<，所以{}13A x x =<<，因为{}B x x m =>，{}1A B x x ⋃=>，所以13m ≤<.故选：B.变式训练1：已知集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，且A B R = ，则实数a 的取值范围是（）A．1a <B．1a >C．1a ≤D．1a ≥【答案】C 【详解】解：{|1}A x x =≤ ，{|}B x x a =≥，且A B R = ，故选：C.变式训练2：已知集合{}2A x x =>，{}B x x m =<，若A B R = ，则实数m 的取值范围（）A．2m ≤B．2m <C．2m ≥D．2m >【答案】D 【详解】因为A B R = ，即集合A 与集合B 包含了所有的实数，那么m>2.故选：D.变式训练3：设集合{}240A x x =-≥，{}20B x x a =+≤，且A B R = ，则a 的取值范围是（）A．{|4}x x ≥-B．{|4}x x ≤-C．{|2}x x ≥-D．{|2}x x ≤-【答案】B 【详解】240x -≥，解得：2x ≥或2x -≤，即{2A x x =≥或2}x £-，{|}2aB x x =≤-,A B R = ,22a∴-≥，解得：4a ≤-.故选：B考点六：已知并集关系，求参数范围（提升）例6．已知集合{|25},{|121}A x x B x m x m =-<<=+≤≤-.（1）当3m =时，求A B U ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|25}A B x x =-<≤ ；（2）3m <.【详解】（1）当3m =时，B 中不等式为45x ≤≤，即{}|45B x x =≤≤，∴{|25}A B x x =-<≤ （2）∵A B A = ，∴B A ⊆，①当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时B A ⊆；②当B ≠∅时，12112215m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩，即23m ≤<，此时B A ⊆.综上m 的取值范围为3m <.变式训练1：已知集合{}2430A xx x =-+>∣，{4}B x m x m =<≤+∣，若A B R = ，则实数m 的取值范围是（）A．{|12}x x -≤<B．{|11}x x -≤<C．{|1}x x <D．{|1}x x ≥-【答案】B 【详解】因为{}2430{|1A xx x x x =-+>=<∣或3}x >，{4}B x m x m =<≤+∣，且A B R = ，所以有143m m <⎧⎨+≥⎩，解得11m -≤<，故选：B.变式训练2：已知集合{}2|3100M x x x =--≤，{}|121N x a x a =+≤≤+．（1）若M N M = ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|2}m m ≤.【详解】（1）（2）,M N M N M=∴⊆ ①若N =∅，则121a a +>+，解得0a <，符合题意；②若N ≠∅，则12121512a a a a +≤+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，解得02a ≤≤．综合可得实数a 的取值范围是{|2}m m ≤．变式训练3：已知集合{}121A x a x a =+≤≤+,{}25B x x =-≤≤.（1）若3a =，求A B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}27x x -≤≤；（2）2a ≤.【详解】（1）当3a =时，{}47A x x =≤≤，{}25B x x =-≤≤.∴{}27A B x x ⋃=-≤≤（2）由A B B = 得A B ⊆，当A =∅时，211a a +<+，0a <当A ≠∅时，有12215121a a a a +≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≤+⎩，解得02a ≤≤综上a 的取值范围为：2a ≤．【过关检测】1、已知集合{3,2,1}A =---，{2,1,0}B =--，则A B = （）A．{3,2,1,0}---B．{3,2,1}---C．{2,1,0}--D．{2,1}--【答案】A 【详解】由{3,2,1}A =---，{2,1,0}B =--，则{3,2,1,0}A B ⋃=---.故选：A2、若集合{}=2,1,1M --，集合{}0,1N =，则M N 等于（）A．{}2,1,0,1--B．{}2,1,1--C．{}2,1,0--D．{}1【答案】A 【详解】因为集合{}=2,1,1M --，集合{}0,1N =，所以M N ⋃{}2,1,0,1=--，故选：A3、已知集合{}210,A x x x =-≤∈Z ，{}2,B y y x x A ==∈，则A B = （）A．{2,1,1,2}--B．{2,1,0,1,2}--C．{1,1}-D．{0}【答案】B 【详解】集合{}{}{}210,11,1,0,1A x x x x x x =-≤∈=-≤≤∈=-Z Z ，{}{}2,2,0,2B y y x x A ==∈=-，{}2,1,0,1,2A B ∴=--U ，故选：B.4、已知集合{}2,4,6A =，{}1,3,4,6B =，则A B 中元素的个数是（）A．2B．5C．6D．7【答案】B 【详解】由题意得，{}1,2,3,4,6A B = ，显然A B 中元素的个数是5.故选：B．5、若集合{1,3,}A x =，{}2,1B x =，且{1,3,}A B x = ，则满足条件的x 的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C 【详解】∵{1,3,}A B x = ，{1,3,}A x =，{}2,1B x =，∴23x =或2x x =，解得x =或1x =或0x =，1x =显然不合题意，经检验0x =或故选：C．6、已知集合{}0,1,2A ，{}21,B x x n n A ==-∈，则A B 中元素的个数为（）A．1B．3C．4D．5【答案】D【详解】解：{}0,1,2A =，{}1,1,3B =-；∴{}1,0,1,2,3A B ⋃=-；∴A B 中元素的个数为5.故选：D.7、已知集合{}1,0,1A =-，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则集合A B 中元素的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【详解】当1,0,1x =-，对应2,1,2y =，{}2,1B ∴=，则{}1,0,1,2A B ⋃=-，A B 中有4个元素.故选：A8、满足条件{}{},,,,a b M a b c d = 的所有集合M 的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】解:由{}{},,,,a b M a b c d ⋃=,则{},M c d ={},,M a c d =,或{},,M b c d =,或{},,,M a b c d =共4个,故选D.9、已知集合{0,1,2}M =，{}2N x x =<，则M N = （）A．{0}B．{}2x x <C．{0,1}D．{}2x x ≤【答案】D【详解】由题意，集合{0,1,2}M =，{}2N x x =<，根据集合并集的概念及运算，可得{}2M N x x ⋃=≤.故选：D.10、已知集合{}13A x x =<<，{}02B x x =<<，则A B = （）A．{}12x x <<B．{}13x x x <<C．{}02x x <<D．{}03x x <<【答案】D【详解】因为{}13A x x =<<，{}02B x x =<<，所以A B = {}03x x <<故选：D11、已知集合{1},{12}A x x B x x =>=-<<∣∣，则A B = （）A．{1}x x >-∣B．{2}x x <∣C．{11}x x -<<∣D．{12}x x <<∣【答案】A【详解】因为{1},{12}A x x B x x =>=-<<∣∣，所以A B = {1}x x >-∣，故选：A．12、已知集合{}42M x x =-<<，{}(2)(3)0N x x x =+-<，则M N = （）A．{}43x x -<<B．{}42x x -<<-C．{}22x x -<<D．{}23x x <<【答案】A【详解】解：∵{}42M x x =-<<，{}{}(2)(3)023N x x x x x =+-<=-<<，∴{}43M N x x ⋃=-<<，故选：A．13、已知集合{}2230A xx x =--<∣，1{0}2B x x =->∣，则A B = （）A．13{}22x x <<∣B．3{}2x x <∣C．1{1}2x x -<<∣D．{1}xx >-∣【答案】D【详解】解：∵集合{}2323012A xx x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎩⎭∣∣，11022B x x x x ⎧⎫⎧⎫=->=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣，∴{1}A B xx ⋃=>-∣．故选：D．14、已知集合{}{}2|5140,|5100A x x x B x x =--<=-<，则A B = （）A．{}|27x x -<<B．{}27x x <<C．{}|7x x <D．{}2x x >-【答案】C【详解】解不等式25140x x --<得27x -<<，所以{}27A x x =-<<；解不等式5100x -<得2x <，所以{}2B x x =<，所以{}|7A B x x ⋃=<.故选：C.15、若集合{1,2}A =-，{}240B x x x m =-+=，且{1,2,5}A B =- ，则（）A．2B∈B．5B ∉C．1B ∈D．1B-∈【答案】D【详解】依题意，5∈B ，则25200m -+=，解得5m =-，故{1,5}B =-；观察可知，1B -∈，故选：D．16、若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A = ，则m 的值为（）A．1或0B．1-或0C．1或1-或0D．1或1-或2【答案】C【详解】,A B A B A⋃=⊆ ∴B ∴=∅；{1}B =-；{1}B =当B =∅时，0m =当{1}B =-时，1m =-当{1}B =时，1m =故m 的值是0；1；1-故选：C．17、已知集合2{|20}A x x x =-≥，{|}B x x a =<，且A B = R ，则实数a 的取值范围是（）A．0a <B．0a >C．2a >D．2a ≥【答案】D【详解】由220x x -≥解得0x ≤或2x ≥，则{|0,A x x =≤或}2x ≥，又{|}B x x a =<，若A B = R ，则2a ≥.故选：D .18、已知集合{}2430A x x x =-+=，{}230B x x ax =-+=．（1）若A B B = ，求实数a 的值；【答案】（1）4；【详解】{}2430A x x x =-+=={}1,3，（1）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，所以1和3是230x ax -+=的两个实根，所以13a +=，即4a =.19、设集合{213}A xm x m =-+<<-+∣，{216}B x x =≤+≤∣．（1）若1m =，求A B ；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{|15}A B x x =-<≤ ；（2）{|0}m m ≤．【详解】解：（1）因为{213}A xm x m =-+<<-+∣，{216}{15}B x x x x =≤+≤=≤≤∣∣，（1）若1m =，{12}A xx =-<<∣，则{|15}A B x x =-<≤ ．（2）因为A B B = ，所以A B ⊆，①当A =∅时，213m m -+≥-+，即2m ≤-；②当A ≠∅时，213,211,35,m m m m -+<-+⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩解得20m -<≤，综上，实数m 的取值范围是{|0}m m ≤．20、已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.（1）若A B A = ，求实数m 的取值范围；（2）当{},C x x A x Z =∈∈时，求C 的非空真子集的个数；【答案】（1）(],3-∞；（2）254.【详解】（1）A B A =Q U ，B A ∴⊆.①若B =∅，则121m m +>-，解得2m <；②若B ≠∅，则121m m +≤-，可得2m ≥.由B A ⊆可得12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩，解得33m -≤≤，此时23m ≤≤.综上所述，实数m 的取值范围是(],3-∞；（2）{}{},2,1,0,1,2,3,4,5C x x A x Z =∈∈=-- ，集合C 中共8个元素，因此，集合C 的非空真子集个数为822254-=；21、已知集合{}13A x x =≤≤，集合{}21B x m x m =≤≤-.（1）当1m =-时，求A B ；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}23A B x x =-≤≤ ；（2）{}2m m ≤-.【详解】（1）当1m =-时,{}22B x x =-≤≤，又{}13A x x =≤≤，∴{}23A B x x ⋃=-≤≤；（2）∵A B B = ，则A B ⊆，∴B ≠∅，则有：212113m m m m <-⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解之得：2m ≤-.∴实数m 的取值范围是{}2m m ≤-.。

高考数学《集合的概念及运算》

(2)本题考查集合的并集运算、一元一次不等式和一元二次不等式的解法.A＝{x|x(2－ x)≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，所以 A∪B＝{x|0≤x≤4}，故选 A.
(3)本题考查韦恩图及集合的基本运算.如图所示的阴影部分用集合可表示为(∁UA)∩B 或 ∁U(A∩B)∩B.故选 BC.
(2022·连云港模拟)若非空且互不相等的集合 M，N，P 满足：M∩N＝M，N∪P＝ P，则 M∪P＝( )
A．∅ B．M C．N D．P
板书
【答案】D
【解析】本题考查集合的交集、并集运算.由题意可知 M∩N＝M，则 M N，又 N∪P ＝P，则 N P，所以 M N P，所以 M∪P＝P，故选 D.
【归纳】研究集合问题时，要把握以下几个关键点：一是集合中的元素是什么，即弄清集合是数集还是点集；二是集合中的元素满足什么限制条件，特别注意集合中元素的互异性；三是能根据已知条件(元素的限制条件)构造关系式解决相关问题.
(2022·江苏模拟)已知 a，b∈R，若 a，ba，1＝{a2，a＋b，0}，则 a2 019＋b2 019＝ ____________．
A．(∁UA)∪B C．∁U(A∩B)∩B
B．(∁UA)∩B D．∁U(A∪B)∪B
板书
【答案】(1)B (2)A (3)BC
【解析】(1)由对数中真数大于 0，得 M＝{x|x<－2 或 x>2}，所以∁RM＝{x|－2≤x≤2}. 又 N＝{x|0<x<4}，所以(∁RM)∩N＝{x|0<x≤2}，故选 B.
【归纳】(1)紧扣“新”定义，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚.(2)把握“新”性质，要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.(3)遵守“新”法则，准确把握新定义的运算法则.

高考数学十年真题专题汇总—集合概念与运算

高考数学十年真题专题汇总—集合概念与运算年份题号考点考查内容2011文1集合运算两个离散集合的交集运算，集合的子集的个数2012理1与集合有关的新概念问题由新概念确定集合的个数文1集合间关系一元二次不等式解法，集合间关系的判断2013卷1理1集合间关系一元二次不等式的解法，集合间关系的判断文1集合运算集合概念，两个离散集合的交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合运算个连续集合与一个离散集合的交集运算2014卷1理1集合运算一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算文1集合运算两个连续集合的交集运算卷2理2集合元素一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合元素一元二次方程解法，两个离散集合的交集运算2015卷1文1集合运算集合概念，两个离散集合的交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合运算两个连续集合的并集2016卷1理1集合运算一元二次不等式解法，一元一次不等式解法，两个连续集合交集运算文1集合运算一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，两个离散集合并集运算文1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷3理1集合运算一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算文1集合运算两个离散集合的补集运算2017卷1理1集合运算指数不等式解法，两个连续集合的并集、交集运算文1集合运算一元一次不等式解法，两个连续集合的并集、交集运算卷2理2集合运算一元二次方程解法，两个离散集合交集运算文1集合运算两个离散集合的并集运算卷3理1集合概念与表示直线与圆的位置关系，交集的概念．文1集合运算两个离散集合的交集运算2018卷1理1集合运算一元二次不等式解法，补集运算文1集合运算两个离散集合的交集运算卷2理2集合概念与表示点与圆的位置关系，集合概念文1集合运算两个离散集合的交集运算卷3文理1集合运算一元一次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算2019卷1理1集合运算一元二次不等式解法，两个连续集合的交集运算文2集合运算三个离散集合的补集、交集运算卷2理1集合运算一元二次不等式解法，一元一次不等式解法，两个连续集合的交集运算文1集合运算两个连续集合的交集运算卷3文理1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算2020卷1理2集合运算一元二次不等式的解法，含参数的一元一次不等式的解法，利用集合的交集运算求参数的值文1集合运算一元二次不等式解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷2理1集合运算两个离散集合的并集、补集运算文1集合运算绝对值不等式的解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算卷3理1集合运算二元一次方程及二元一次不等式混合组的整数解的解法，一个连续集合与一个离散集合的交集运算文1集合运算一个连续集合与一个离散集合的交集运算考点出现频率2021年预测集合的含义与表示37次考2次在理科卷中可能考查本考点集合间关系37次考2次可能在试卷中考查两个几何关系的判定或子集的个数问题集合间运算37次考32次常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、指数、对数不等式解法结合重点考查集合的交集运算，也可能考查集合的并集、补集运算与集合有关的创新问题37次考1次考查与集合有关的创新问题可能性不大考点1集合的含义与表示1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数1】已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．52．【2020年高考全国Ⅲ卷理数1】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．63．【2017新课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．04．【2018新课标2，理1】已知集合 = ，2+ 2≤3， ∈ ， ∈ ，则中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．45．【2013山东，理1】已知集合A ={0，1，2}，则集合B ={}|,x y x A y A -∈∈中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．96．【2013江西，理1】若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =A ．4B ．2C ．0D ．0或47．【2012江西，理1】若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为()A ．5B ．4C ．3D ．28．【2011广东，理1】已知集合A ={(,)|,x y x y 为实数，且221}x y +=，B ={(,)|,x y x y 为实数，且1}x y +=，则A ⋂B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．19．【2011福建，理1】i 是虚数单位，若集合S ={－1，0，1}，则A ．i ∈SB ．2i ∈SC ．3i ∈SD ．2i∈S 10．【2012天津，文9】集合{}R 25A x x =∈-≤中的最小整数为_______．考点2集合间关系1．【2012新课标，文1】已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则A ．A BÜB ．B AÜC ．A B=D ．A B =∅2．【2012新课标卷1，理1】已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则()A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B3．【2015重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则A ．A ＝BB ．A B =∅∩C ．A BÜD ．B AÜ4．【2012福建，理1】已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是()A ．N M⊆B ．M N M= C ．M N N= D ．{2}M N = 5．【2011浙江，理1】若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>-，则()A ．P Q⊆B ．Q P⊆C ．R C P Q⊆D ．R Q C P⊆6．【2011北京，理1】已知集合P =2{|1}x x ≤，{}M a =．若P M P = ，则a 的取值范围是A ．(-∞，-1]B ．[1，+∞)C ．[-1，1]D ．(-∞，-1] [1，+∞)7．【2013新课标1，理1】已知集合A ={x |x 2－2x ＞0}，B ={x |－5＜x ＜5＝，则()A ．A ∩B =∅B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B8．【2012大纲，文1】已知集合A ={x ︱x 是平行四边形}，B ={x ︱x 是矩形}，C ={x ︱x 是正方形}，D ={x ︱x 是菱形}，则A ．A ⊆BB ．C ⊆BC ．D ⊆C D ．A ⊆D9．【2012年湖北，文1】已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4考点3集合间的基本运算1．【2011课标，文1】已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ∩N ，则P 的子集共有(A)2个(B)4个(C)6个(D)8个2．【2013新课标2，理1】已知集合M={x ∈R|2(1)4x -<}，N={-1，0，1，2，3}，则M ∩N=A ．{0，1，2}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}3．【2013新课标2，文1】已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M ∩N=()(A)｛-2，-1，0，1｝(B)｛-3，-2，-1，0｝(C){-2，-1，0}(D){-3，-2，-1}4．【2013新课标I ，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A∩B=()(A)｛1，4｝(B)｛2，3｝(C){9，16}(D)｛1，2}5．【2014新课标1，理1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2}，则A B ⋂=A ．[-2，-1]B ．[-1，2)C ．[-1，1]D ．[1，2)6．【2014新课标2，理1】设集合M=｛0，1，2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=()A ．｛1｝B ．｛2｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝7．【2014新课标1，文1】已知集合M ={|13}x x -<<，N ={|21}x x -<<则M N = ()A.)1,2(-B ．)1,1(-C ．)3,1(D ．)3,2(-8．【2014新课标2，文1】设集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=，则A B = ()A.∅B ．{}2C ．{0}D ．{2}-9．【2015新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<，则A B = ()A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,210．【2015新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为()(A)5(B)4(C)3(D)211．【2015新课标2，文1】已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B = ()A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,312．【2016新课标1，理1】设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x B ，则B A ⋂=(A)3(3,2--(B)3(3,2-(C)3(1,2(D)3(,3)213．【2016新课标2，理2】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = ()(A){1}(B){12}，(C){0123}，，，(D){10123}-，，，，14．【2016新课标3，理1】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>，则T S ⋂=(A)[2，3](B)(-∞，2]U [3，+∞)(C)[3，+∞)(D)(0，2]U [3，+∞)15．【2016新课标2，文1】已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B = ()(A){210123}--，，，，，(B){21012}--，，，，(C){123}，，(D){12}，16．【2016新课标1，文1】设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = ()(A){1，3}(B){3，5}(C){5，7}(D){1，7}17．【2016新课标3，文1】设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=(A){48},(B){026}，,(C){02610}，，,(D){0246810}，，，，,18．【2017新课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x => D ．A B =∅19．【2017新课标1，文1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则()A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R20．【2017新课标2，理2】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B = ，则B =()A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,521．【2017新课标2，文1】设集合{}{}123234A B ==，，，，，，则A B =()A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，，22．【2017新课标3，文1】已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A ⋂B 中元素的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．423．【2018新课标1，理1】已知集合 = 2− −2>0，则∁ =A ． −1< <2B ． −1≤ ≤2C ． | <−1∪ | >2D ． | ≤−1∪ | ≥224．【2018新课标3，理1】已知集合 = | −1≥0， =0，1，2，则 ∩ =A ．0B ．1C ．1，2D ．0，1，225．【2018新课标1，文1】已知集合，，则()A ．B ．C ．D ．26．【2018新课标2，文1】已知集合，，则A ．B ．C ．D ．27．【2019新课标1，理1】已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=()A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<28．【2019新课标1，文2】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A =()A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,729．【2019新课标2，理1】设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)30．【2019新课标2，文1】．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅31．【2019新课标3，理1】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=()A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,232．【2019浙江，1】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-33．【2019天津，理1】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,434．【2011辽宁，理1】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M A ．MB ．NC ．ID ．∅35．【2018天津，理1】设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ðA ．{01}x x <≤B ．{01}x x <<C ．{12}x x <≤D ．{02}x x <<36．【2017山东，理1】设函数24y x =-的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B = ()A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)-37．【2017天津，理1】设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{|15}C x x =∈-R ≤≤，则()A B C = A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-R ≤≤38．【2017浙江，理1】已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么P Q =A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)39．【2016年山东，理1】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞40．【2016年天津，理1】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}41．【2015浙江，理1】已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-=<≥≤，则()R P Q =ðA ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]42．【2015四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<43．【2015福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i =(i 是虚数单位)，{}1,1B =-，则A B 等于()A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅44．【2015广东，理1】若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N = A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅45．【2015陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞46．【2015天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B =ðA ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,847．【2014山东，理1】设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)48．【2014浙江，理1】设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U A ．∅B ．}2{C ．}5{D ．}5,2{49．【2014辽宁，理1】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<50．【2013山东，】已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B = ð，{1,2}B =，则U A B =ðA ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅51．【2013陕西，理1】设全集为R ，函数()f x =的定义域为M ，则C M R 为A ．[－1，1]B ．(－1，1)C ．,1][1,)(∞-⋃+∞-D ．,1)(1,)(∞-⋃+∞-52．【2013湖北，理1】已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则()R A C B =A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或53．【2011江西，理1】若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===，则集合{5,6}等于A ．M N⋃B ．M N⋂C ．()()n n C M C N ⋃D ．()()n n C M C N ⋂54．【2011辽宁】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M A ．MB ．NC ．ID ．∅55．【2017江苏】已知集合{1,2}A =，2{,3B a a =+｝，若{1}A B = ，则实数a 的值为_．56．【2020年高考全国Ⅰ卷文数1】已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = ()A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}57．【2020年高考全国I 卷理数2】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =()A ．–4B ．–2C ．2D ．458．【2020年高考全国II 卷文数1】已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =()A ．∅B ．{–3，–2，2，3)C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}59．【2020年高考全国II 卷理数1】已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,0,1,1,2U A B =--=-=，则()U A B =ð()A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--60．【2020年高考浙江卷1】已知集合P ={|14}x x <<，{|23}Q x x =<<则P Q =()A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x <≤D ．{|14}x x <<61．【2020年高考北京卷1】已知集合{1,0,1,2},{03}A B x x =-=<<，则A B = A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}62．【2020年高考山东卷1】设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则=A B A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<63．【2020年高考天津卷1】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B = ð()A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---64．【2020年高考上海卷1】已知集合{}{}1,2,4,2,4,5A B ==，则A B = ．65．【2020年高考江苏卷1】已知集合{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，则A B =．考点4与集合有关的创新问题1．(2012课标，理1)．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x y -∈A }，则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102．【2015湖北】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,B x y x y =≤≤,}x y ∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为()A ．77B ．49C ．45D ．303．【2013广东，理8】设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n = ，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S∈D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S∉4．【2012福建，文12】在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n k +丨n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a b -∈[0]”．其中正确的结论个数是()A ．1B ．2C ．3D ．45．【2013浑南，文15】对于E ={12100,,,a a a }的子集X ={12,,,kii i a a a }，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中121k i i i x x x ==== ，其余项均为0，例如子集{23,a a }的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0(1)子集{135,,a a a }的“特征数列”的前三项和等于；(2)若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 满足11p =，11i i p p ++=，1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q 满足11q =，121j j j q q q ++++=，1≤j ≤98，则P∩Q 的元素个数为_________．7．【2018北京，理20】设n 为正整数，集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈= ．对于集合A中的任意元素12(,,,)n x x x α= 和12(,,,)n y y y β= ，记(,)M αβ=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++-- ．(1)当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；(2)当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．。

高考数学集合的运算

；/ 独立游戏独游侠
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内容上：点明中心，升华主题,表达了作者对有良好教养的人的高度赞美。评分标准：（2分）每答出一方面得1分，意思对即可。 25．名字是一个人的代名词，拥有良好教养，是对这个人的最高评价，正所谓名副其实。示例一：主动帮助有困难的同学；示例二：遵守交通规则等。（能体现学生良好教养的示例即可。）评分标准：（3分）谈认识得1分，示例各1分。（2017代谢）(二）阅读下文，完成第19—23题（20分）十七岁那年的单车（1）十七岁那年，刘伟看到别人骑着单车跑来跑去，十分xiàn mù，吵着要母亲买一辆。父亲横着眼说：“别做梦！有本事自己去买！” （2）刘伟发了一个月脾气。母亲心疼儿子，就买了一辆旧单车，在一个夏曰的午后推回了家。刘伟骑上单车就跑，天天呼朋唤友，在集镇上闲逛。只有在外面没处混的时候，他才会回家，迎接他的自然是父亲铜铃般的眼珠子。刘伟把他爹当空气，吃完饭，跨上单车又风一样飘走了。（3）那一天，刘伟没有骑车出门。单车在墙角拧着脖子，父亲越看越来气，举起一把锄头，攒足力气砸了下去。单车散了架。“你──”刘伟正从外面回来，抄起一根扁担，横在父亲面前。母亲赶紧跑过去夺下了扁担。（4）父亲本来体弱，这回又气又恨，病倒了。（5）第二天，刘伟在埋头收拾衣服，母亲惊诧地问：“你要干啥？” “你别管。”刘伟头也不回，（? ），走了。（6）“有本事你就别回来！”病床上的父亲吼道。（7）刘伟走后，母亲每天晚上都会把刘伟的饭留在锅里。半夜，父亲起来喝水，总忍不住揭开锅盖看看。（8）刘伟真的有半个月没回家了。母亲急了，找男人吵。父亲便四处打听刘伟的下落。（9）母亲依然每天都给刘伟留饭。父亲依然每晚都揭开锅盖看一眼。（10）两个月后的一天中午，母亲在打盹，听到屋里有响声，睁开眼。儿子正打着赤膊一门心思地擦着一辆新单车。父亲斜着眼看他，他装着不知道。（11）母亲万分高兴，跑到厨房打了一大碗溏心鸡蛋。刘伟吃着鸡蛋，母亲在一边说：“这次你爸的病一直不见好，今天你把他驮到医院看一下啊！” （12）刘伟不作声，站在单车旁，低头摸着崭新的龙头。父亲不愿意，母亲硬把他推到单车边，架了上去。（13）刘伟在前面使劲蹬车。父亲紧紧地拽着座凳下的立杆。父子俩你不理我，我不理你。走了一程，父亲手一松，就从单车上掉下来了。（14）刘伟两条长腿支挺了车，不耐烦地说：“又怎么了？” （15） “我不走了。”父亲说，“你这辆车是哪里弄来的？借的？偷的？抢的？” （16） “关你什么事！” （17）“我是你爹！” （18）“起来！” （19）父亲没动。（20）“不起来拉倒！”刘伟按了一把车铃，“丁零零”跑了！（21）父亲爬起来，拍拍屁股，看见刘伟又把单车骑回来了。（22）“我说单车是给人家搬砖挣钱买的，你信不信？ ”刘伟的口气缓和了一些。（23）父亲看了看儿子，脸和胳膊都晒得黑黝黝的。“这还差不多。”他嘟哝了一句，就往单车上坐。儿子伸手拉了他一下：“我要冲了，你抓牢。” （24）父亲犹豫了一下，伸出手环住了儿子的腰。刘伟身体一震，顿了一下，脚下一用力，单车就飞跑起来，身后留下了一串清脆的车铃声。 19.根据拼音写汉字。（2分） xiàn? mù（? ） 20.填入第⑤段括号里的句子，符合语境的一项是（）（3分） A.顶着火辣辣的太阳? B.冒着冷丝丝的寒风 C.踩着金灿灿的落叶? D.迎着雾蒙蒙的细雨 21.小说以“单车”为线索，情节生动。请在括号里填写恰当的内容。（4分) 母亲购买旧车—（）— （） —父子骑车看病 22.第（9）段与第（7）段内容基本相同，简析作者这样写的用意。（5分） ?答：23.细读第（24）段，紧扣加点之处，说说结尾的妙处。（6分）答：代谢：?19．羡慕 ?20．A? 21．父亲生气砸车刘伟挣钱买车? 22．评分要点：内容概括? 说明用意（情感、结构）? 代谢示例：⑦⑨两段都写了母亲“留饭”和父亲“揭开锅盖看”的情节。这些重复动作蕴含着父母对儿子的牵挂，突出了对孩子的爱；也为后文父子矛盾的解决做了铺垫。 ?23．①“环住”体现了父亲对儿子的认可；②身体“一震”也是内心的震动，表明刘伟体会到了父亲的信任与关爱；③“车铃声”渲染了父子和好带来的愉悦。④结尾含蓄而巧妙地表现了主题：一个曾经叛逆的少年在父母的关爱和生活的磨练中获得了成长。（2017贵州黔东南）(一)阅读下文，回答14—17题。（12分）窑? 变余显斌 ?（1）鲁山花瓷是瓷中名品，百闻难得一见，因此，市场上算稀罕物，可是，他的店里，有时也做着鲁山花瓷的生意。 ?（2）他开一爿（pán）店，在一弯水边，上写铺名：名瓷之家。各种瓷器，琳琅满目。客人来寻，踏过石桥，转过一道竹林，沿一道逼仄的门进去，眼前一亮，面前柜上摆着罐、杯、壶、瓠(hù)等，有的天青色，有的白如银子。还有一种瓷，胎质厚实朴重，黑色质地上流淌着白斑蓝彩，泛着幽幽蓝光，让人眩晕。 ?（3）这，就是闻名的鲁山花瓷。 ?（4）买家只许看，选准了，他才拿出瓷器让对方细看。在他这买瓷的，尤其是鲁山花瓷的，一般都信任他。因为，他是鲁山花瓷的权威。一尊鲁山花瓷拿来，不要放大镜，他用手一摸，鼻子一嗅，嗯，宋代的，绝对宋代的，瞧这质地，这手感。一查，果然是宋代的。也因此，他的那家店，人来人往，生意很好。 ?（5）当然，有时买主一个电话，他也会乐呵呵地送货上门，仅限于本市。以他的说法，不为挣钱，只为交友，志同道合嘛。 ?（6）有人出三万元钱，想买他这个罐。那天，是个细雨天，天青色的烟雨无边无沿地下着。他用纸盒随手装了个小小的鲁山花瓷罐，提着，走了出去。 ?（7）由于路近，他没有打车，走过小巷，出了竹林。这时，一辆三轮车冲了出来，他躲闪不及，手一松，纸盒落地，“哐”的一声全碎了。 ?（8）三轮司机傻了眼，跳下来道：“没事吧，大哥？”他火了：“没事？瞧我这罐。”三轮司机说：“不就一个罐吗？多少钱！” ?（9）就在这时，买主打来电话，说三万元已备好，罐怎么还没送来？他将电话让司机听了。三轮司机顿时结结巴巴道： “三——三万元啊？”他眼一翻：“现在知道不是你家腌菜罐子了吧？”三轮司机呆了一会，一咬牙：“我赔!”他哼了一声：“民工吧，你有钱吗？算了算了，就当我募捐了，做了善事。”说着，他不想再纠缠下去，转身就走。 ?（10）回到家，他拿了另一件鲁山花瓷罐，四耳的，黑底白釉，装入一个纸盒子，去了买主那儿。三万元钱也就到了手里。 ?（11））这样的生意，他一天会做几起。所以，撞碎鲁山花瓷的事，他也就慢慢忘了。（12）一个冬日的早晨，他刚开门，一个人影戳在眼前。抬眼一望，不是别人，正是那个民工司机。司机吸溜着鼻子，显然站了一会儿了。看见开门，司机连忙把手上紧紧裹着的蛇皮袋层层打开，抖抖缩缩捏出几卷钱，一张张地数，整整三万，放在他手中。 ?（13）司机交了钱，嘘了口气，好像多大一个心事了了。他张张嘴，想说什么，可又没说出来。直看着那民工骑上三轮车，嘟嘟嘟地走了。一直消失在晨雾中，消失在他视线的尽头。 ?（14）他拿着钱仍呆呆地站在那儿，心中有股烈焰在燃烧，在蒸腾，在激流澎湃，以至于他虚汗淋漓。因为，只有他知道自己卖出去的鲁山花瓷里，有个别是赝品，是自己手制的。 ?（15）那天，民工撞碎的就是一尊赝品。他当时之所以没让赔，一则赝品不值钱。再则怕闹开了，被行家发现，看出其中的猫腻。 ?（16）鲁山花瓷，是高温下的一种美丽的窑变。 ?（17）他没想到，一个民工司机，竟让自己心中发生了剧烈的窑变，也如鲁山花瓷一样，放射着一片洁净的蓝色。当天，他找到民工退还了钱。以后，他的“名瓷之家”中，再也没有赝品了。（选自2017年5月《小小说月刊》，有删改） 14．下列对本文的理解和分析正确的两项是（）（? ）（3分） ? A．第（6）自然段画横线句子在文中的作用是为下文埋下伏笔。 ? B．联系标题“窑变”，可以看出，这篇小说重点刻画的人物是民工司机。 ? C．从第（17）自然段画线句可以看出，人要想成为如鲁山花瓷一样的瓷中极品，有时需要经历“窑变”。 ? D．第（9）自然段画横线句子“他不想再纠缠下去，转身就走”可以看出，“他”是一个同情农民工的人。 15．第（12）自然段划波浪线句子运用了什么描写方法？有何作用？（3分）答： ? 16．谈谈你对标题“窑变”含义的理解。（3分）答： ? 17．“人无完人，金无足赤”，在现实生活中，相信你也有过“窑变”的经历。请根据你对课文的理解，简要谈谈你的“窑变”过程。(3分) 答：代谢：14．（3分）A、C(C选项着眼于全文，2分；A选项着眼于局部，1分；B項重点刻画人物是“他”，他不想纠缠是因为这鲁山花瓷是赝品，不值钱，“他“怕被行家看出破绽。) 15．（3分）动作描写（1分），表现出民工司机非常珍惜他的血汗钱，每一张钱都来之不易，同时也表现了民工司机敢于担当、诚信朴实、善良的高贵品质 (2分）。 16．（3分）“窑变” 指瓷器土胚在窑中经过数次高温烧烤后，最终形成美丽魯山花瓷的过程（1分），在文中，“窑变”的深层含义是指“他”在民工司机敢于相当、讲诚信美德的影响下得到净化后发生变化的过程。（2分） 17．（3分）（代谢略。考生能联系“自身缺点受到某人、某事物、某种现象的影响，得到启发，受到警醒，发生质的变化”进行回答，语言通顺，意思表达清楚，即可得到满分3分）（2017山东东营）（三）（8 分） “我也知道。将军家里都是些名贵的、纯种的狗；这条狗呢，鬼才知道是什么玩意儿！毛色既不好，模样也不中看，完全是个下贱胚子。居然有人养这种狗！这人的脑子上哪儿去啦？要是这样的狗在彼得堡或者莫斯科让人碰见，你们猜猜看，结果会怎样？那儿的人可不管什么法律不法律，一眨眼的工夫就叫它断了气！你呢，赫留金，受了害，我们绝不能不管。得好好教训他们一下！是时候了。” ……“它的脸上又没写着……前几天我在将军家院子里看见过这样的一条狗。”

安徽高考数学集合知识点

安徽高考数学集合知识点数学是一门深奥而有趣的学科，其中的集合论更是让人爱不释手。

在安徽高考数学中，集合知识点占据着重要的地位。

接下来，我们将深入探讨安徽高考中的数学集合知识点，帮助你更好地备战高考。

一、集合的基本概念集合是数学中最基本的概念之一。

在集合中，元素是组成集合的个体，可以是数字、字母或其他对象。

集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。

例如，集合A={1, 2, 3}，其中包含了元素1，2和3。

二、集合的运算在集合中，有交集、并集、差集和补集等基本的运算。

1. 交集：两个集合中共有的元素组成的集合。

记作A ∩ B。

2. 并集：两个集合中所有的元素组成的集合。

记作A ∪ B。

3. 差集：从一个集合中剔除另一个集合中的元素所得到的集合。

记作A-B。

4. 补集：一个集合相对于全集的差集。

记作A'。

三、集合的性质1. 子集与真子集：如果一个集合A中的所有元素都属于集合B，则称集合A是B的子集，记作A⊆B。

当且仅当A是B的子集，同时A不等于B时，称A是B的真子集，记作A⊂B。

2. 相等集合：如果一个集合A是集合B的子集，同时集合B也是A的子集，则称集合A与集合B相等，记作A=B。

3. 空集与全集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。

包含所有可能元素的集合称为全集，通常用符号U表示。

四、集合的证明方法在数学证明中，经常需要运用到集合的证明方法，其中常见的有直接证明法、对证法和数学归纳法。

1. 直接证明法：在集合的证明中，通过直接列举出包含集合中所有元素的方法，来证明一个集合的性质。

2. 对证法：常用于证明集合的相等关系。

假设两个集合A和B 相等，然后通过对不等性的证明，得出结论。

3. 数学归纳法：常用于证明有关集合中，某一性质对于任意元素都成立的情况。

通过证明基础步骤和数学归纳法的假设步骤，得出结论。

五、集合与应用集合在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在调查问卷中，我们可以将每个问题的所有选项构成一个集合，通过对集合的运算和性质的研究，分析问卷调查结果。

(完整版)高考数学公式大全

１高考数学公式大全一、集合1.集合的运算符号：交集“ ”，并集“ "补集“C ”子集“⊆”2.非空集合的子集个数：n 2（n 是指该集合元素的个数）3。

空集的符号为∅ 二、函数1。

定义域（整式型：R x ∈;分式型：分母0≠；零次幂型：底数0≠；对数型：真数0>;根式型：被开方数0≥）2.偶函数：)()(x f x f -= 奇函数:0)()(=-+x f x f 在计算时：偶函数常用：)1()1(-=f f奇函数常用：0)0(=f 或0)1()1(=-+f f3.单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减单调减函数:与增函数相反4.指数函数计算：nm nmaa a +=⋅;nm n m aa a -=÷；nm n m aa ⋅=)(；m n mn a a =;10=a指数函数的性质：x a y =;当1>a 时，x a y =为增函数；当10<<a 时，x a y =为减函数指数函数必过定点)1,0(5。

对数函数计算：1log =aa ；0log 1=a;nm an a m a ⋅=+log log log ；nm ana m a log log log =-；ma m an nlog log =;m a mannlog 1log =对数的性质：xa y log = ;当10<<a 时,xa y log =为减函数.当1>a 时,xa y log =为增函数对数函数必过定点)0,1( 6.幂函数：a x y =7。

函数的零点：①)(x f y =的零点指0)(=x f②)(x f y =在),(b a 内有零点;则0)()(<•b f a f三、三角函数①计算：1cos sin 22=+αα；θθθtan cos sin =２②正负符号判断：“一全正,二正弦，三切，四余弦” ③和差公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαββαsin sin cos cos )cos( a =± βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(•±=±④二倍角公式:αααcos sin 22sin •=;ααααα2222sin cos sin 211cos 22cos -=-=-= ααα2tan 1tan 2)2tan(-=； ⑤特殊角⑥诱导公式口诀“奇变偶不变；符号看象限.”⑦如何将三角函数化为)sin()(ϕ+=wx A x f ；利用三角函数相关的公式三看:一看平方：)2cos 1(21cos );2cos 1(21sin 22αααα+=-=二看乘积：ααα2sin 21cos sin =•三看加减：)sin(cos sin 22ϕααα±+=±b a b a 其中a b =ϕtan ； 41πϕ=⇒=a b633πϕ=⇒=a b33πϕ=⇒=a b３特别强调当a<0时：)sin(cos sin 22ϕααα±+-=+b a b a ⑧三角函数 )sin(ϕ+=wx A y 的性质:⑴单调增减区间:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k ↑ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k ↓⑵对称轴方程： 2ππ+=k x ；对称中心：)0,(πk⑶周期: wT π2=④max y 时，22;22min ππππ-=+=k x y k x 时：⑸值域：[]A A ,- ⑥记死：两条相邻对称轴之间距离为2T 两条相邻对称中心距离为2T9.由图像求)sin(ϕ+=wx A y ，三步:第一步：由图找到振幅A第二步：由图找到周期T ,然后由wT π2=求出w 具体值第三步：代“特殊点”利用特殊角求出ϕ的值10.)sin(ϕ+=wx A y −−−−−→−个单位向左右平移a []ϕ+±=)(sin a x w A y 11.wx A y sin =−−−→−如何变成)sin(ϕ+=wx A y 平移wϕ个单位四、正余弦定理①边与角之间的转化：用正弦定理R A a 2sin =；R B b 2sin =;R Cc2sin = A R a sin 2=， B R b sin 2=,C R c sin 2= （把边转化为角)R a A 2sin = ，R b B 2sin =，R cC 2sin = (把角转化成边）②余弦定理：夹边夹边对边夹边夹边•+=2-cos 222θ③面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ ④诱导公式：C B A sin )sin(=+ C B A cos )cos(-=+五、向量①),(11y x a =→),(22y x b =→则),(2121y y x x b a ++=+→→，),(2121y y x x b a --=-→→４θcos 2121⋅•=+⋅=•→→→→b a y y x x b a②2121y x a += 212122y x a a +== →b 向量同理 ③→→b 与a 的夹角公式：222221212121cos yx yx y y x x +++=θ④002121=+⇒⊥=•⇒⊥→→→→y y x x b a b a b a 或者 ⑤0//1221=-⇒→→→→y x y x b a b a 共线与或者 ⑥()2wb a wb a ±=±λλ⑦单位向量指“模”为1：a a 则1=为单位向量六、数列①后一项减去前一项的值为一个常数：d a a n n =--1 ②后一项除以前一项的值为一个常数：q a a n n=-1③等差数列通项公式：()d n a a n 11-+= 等比数列通项公式：11-=n n q a a ④等差数列求和公式：()()d n n nan a a s n n 21211-+=⨯+=等比数列求和公式：()qq a s nn --=111⑤111s a a s s n n n ==--且⑥等差数列中项公式：112-++=n n n a a a 等比数列中项公式:112-+•=n n n a a a ⑦求和公式：“分组求和 ”等比求和等差求和nn b b a a a a ++++++...b (21321)“裂项相消”⎪⎭⎫⎝⎛-•-=大小小大111n a“错位相减”：等比通项等差通项•七、统计以概率：①众数指“出现次数最多的那个数” 中位数指“从小排到大的中间那个数”②方差 []2212)(...)()(1x x x x x x ns n -++-+-=５标准方差:2s ③频率；总数频数概率==频率组距组距频率=⨯各组频率之和=1④极差:极差=-min max⑤学会认茎叶图⑥分层抽样：第一步求出各组的比例第二步用样本总数⨯比例=分组频数 ⑦回归方程当0>∧b 时，x 与y 正相关当0<∧b 时，x 与y 负相关⑧))()()(())((22d c b a d b c a bc ad d c b a k ++++-+++=；二联表总a bcd总八、命题①原命题：否命题（条件和结论都否定）；逆命题（条件和结论互换位置）;逆否命题(将逆命题进行否定）②“或"∨⇒ “且”∧⇒ “非”⌝⇒p一真全真 ↓ 一假全假 ↓ 真假互换 ↓③B A ⊆则A 是B 充分不必要６B A ⊇则A 是B 的必要不充分B A =则A 是B 的充要条件④全称量词：符号：∀ 存在量词:符号∃“ ∀”与 “ ∃" 相互否定，“所有” −−→←否定“存在 ” 九、导数①基本函数求导：1')(-•=m m nx m nx ；)0(1)(ln '>=x xx ；x x e e =')(（本身） 0'=c （常数求导=0）；x x cos )(sin '=；x x sin )(cos '-=②乘法求导：[])()()()()()('''x f x g x g x f x g x f ⋅+⋅=•；除法求导:)()()()()()()(2''x g x f x g x g x f x g x f -= ③复合求导:[][]→=)().()('''x g f x g x g f 这个公式记题型④斜率)(0'x f k = 切线方程：)(00x x k y y -=- ⑤在a x =处取极值⇒0)('=a f⑥求单调区间：令0)('>x f 求单调增区间。

高考数学集合全部知识点

高考数学集合全部知识点数学是高考中非常重要的一门科目，而集合论又是数学中的一块基础知识。

掌握好集合的概念和相关知识点对于高中学生来说非常关键。

本文将系统地介绍高考数学中集合相关的全部知识点，希望能够对正在备战高考的同学有所帮助。

一、集合的概念与表示法集合是由一些确定的对象组成的整体。

常用的表示方法有列举法和描述法。

例如，集合A={1,2,3,4,5}可以用列举法表示；而集合B={x | x是正整数, 0<x<6}可以用描述法表示。

二、集合间的关系及运算1.子集与超集如果一个集合A的元素全都是集合B的元素，则称A是B 的子集。

记作A⊆B。

若A中恰有n个元素，则称A是n个元素的集合。

2.交集和并集两个集合A和B的交集是指由A和B的共同元素组成的集合，记作A∩B；而A和B的并集是指由A和B中所有元素组成的集合，记作A∪B。

3.补集和差集对于给定的全集U，集合A在U的补集是指A中不在U 中的元素组成的集合，记作A'；而A和B的差集是指由属于A但不属于B的元素组成的集合，记作A-B。

4.集合的运算规律（1）交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(A∪B)∪C=A∪(B∪C)（3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)（4）De Morgan定律：(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'三、集合的应用1.集合的分类集合可以根据其中的元素进行分类。

例如，我们可以将正整数集合分为偶数集合和奇数集合。

2.集合的运算应用集合的运算可以应用于实际问题的解决中。

例如，在调查一个班级的学生的兴趣爱好时，我们可以用集合的并集运算将各个学生的兴趣爱好整合到一起，用交集运算找出两个学生间共同喜欢的活动。

3.集合的概率应用研究集合的概率可帮助我们计算各项概率和事件的关系。

高考(高中)数学集合的运算 100道练习题有答案

高中（高考）数学集合的运算练习卷试卷排列：题目答案上下对照难度：中等以上版本：适合各地版本题型：填空题31多道，选择题32多道，解答题37多道，共100道有无答案：均有答案或解析价格：6元，算下来每题6分钱。

页数：79页1．已知命题:p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；:1q x =是方程20x +=的根，则下列命题为真命题的是A.p q ∧⌝B.p q ⌝∧C.p q ⌝∧⌝D.p q ∧ 【答案】A 【解析】试题分析：因为命题:p “对任意x R ∈，总有0x ≥”为真命题；命题q ：“1x =是方程20x +=的根”是假命题；所以q ⌝是真命题，所以p q ∧⌝为真命题,故选A. 考点：1、命题；2、充要条件.2．已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1a b ==时，()()2212a bi i i +=+=，反过来()22222a bi a b abi i +=-+=，则220,22a b ab -==，解得1,1a b ==或1,1a b =-=-，故1a b ==是()22a bi i +=的充分不必要条件，故选A考点：充要条件的判断,复数相等.3．已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C【解析】试题分析：当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为2214x y =<=,所以命题q 为假命题,则q ⌝为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选C. 考点：命题真假逻辑连接词不等式4．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.5．在ABC ∆中，角,,A B C 成等差数列是)sin sin cos C A A B =+成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】考点：三角函数6．在ABC ∆中，“A>B ”是“22sin sin A B >”的（）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在ABC ∆中，sin sin 0A B A B >⇔>> 考点：三角函数，充分必要条件7．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，命题q:“∃x ∈R 使x 2+2ax+2-a=0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.{}1a a ≥B.{}212a a a -或≤≤≤C.{}21a a -≤≤D.{}21a a a -=或≤ 【答案】D 【解析】试题分析：若∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0，则1≤a ；若∃x ∈R 使x 2+2ax+2-a=0，则0)2(4)2(2≥--a a ，解得2-≤a 或1≥a ，若命题“p且q ”是真命题，则实数a 满足⎩⎨⎧≥-≤≤121a a a 或，2-≤a 或1=a ，所以实数a 的取值范围是2|{-≤a a 或}1=a .考点：含有逻辑联结词的命题的真假判断，全称命题与特称命题..8．下列四个命题：①利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“013>-a ”发生的概率为31；②“0≠+y x ”是“1≠x 或1-≠y ”的充分不必要条件； ③命题“在ABC ∆中，若B A sin sin =，则ABC ∆为等腰三角形”的否命题为真命题；④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β。

高考数学集合复习知识点

《高考数学集合复习知识点全攻略》引言：高考，是千军万马过独木桥的征程，而数学作为其中的重要科目，往往起着关键作用。

在高考数学中，集合是一个基础且重要的知识点，它贯穿于整个高中数学的学习。

掌握好集合的相关知识，不仅有助于我们在高考中取得优异成绩，更能为后续的数学学习奠定坚实的基础。

那么，让我们一同深入探索高考数学集合复习的知识点吧。

一、集合的概念1. 集合的定义集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，“所有小于 10 的正整数”就可以组成一个集合。

2. 集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。

例如，{1,2,3,4,5}。

（2）描述法：用集合中元素的共同特征来表示集合。

例如，{x|x 是小于 10 的正整数}。

二、集合的关系1. 子集如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么称集合 A 是集合 B 的子集，记作 A⊆B。

特别地，任何集合都是它自身的子集。

2. 真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，且存在元素属于集合 B 但不属于集合 A，那么称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A⊂B。

3. 相等如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，那么称集合 A 与集合B 相等，记作 A=B。

三、集合的运算1. 交集由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的交集，记作A∩B。

例如，设 A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。

2. 并集由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集，记作A∪B。

例如，对于上述集合 A 和 B，A∪B={1,2,3,4,5,6}。

3. 补集设全集为 U，集合 A 是 U 的子集，由 U 中所有不属于集合 A 的元素组成的集合，称为集合 A 在全集 U 中的补集，记作∁UA。

四、集合中元素的性质1. 确定性对于一个给定的集合，它的元素是确定的。

高三数学集合的运算试题答案及解析

高三数学集合的运算试题答案及解析1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解一元二次不等式，得或，∴或，∴.【考点】1.一元二次不等式；2.集合的交集.2. [2013·课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【答案】B【解析】∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A与B可用数轴表示为：由图象可以看出A∪B＝R，故选B.3.若集合且对中其它元素，总有则．【答案】【解析】本题实质求集合中所有点的横坐标的最小值.因为，所以当时当时因此.【考点】二次函数最值4.设全集为实数集R，,则图中阴影部分表示的集合是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴或，∴，∵，由图可知，阴影部分表示的是，∴，∴阴影部分为．【考点】一元二次不等式、集合的交集补集运算．A）∩B等于（）5.设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x||x﹣2|≤3}，则（∁UA．[﹣1，0） B．（0，5] C．[﹣1，0] D．[0，5]【答案】C【解析】由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，即A=（0，+∞），∵全集U=R，∴∁A=（﹣∞，0]，U由B中的不等式变形得：﹣3≤x﹣2≤3，即﹣1≤x≤5，∴B=[﹣1，5]，A）∩B=[﹣1，0]．则（∁U故选：C．6.设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（）A．16B．8C．7D．4【答案】C【解析】∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，∴集合A的真子集是：φ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共有7个，故选C．7.集合，则（）A．（1，2）B．C．D．【答案】C【解析】,，所以,选C.8.已知集合，集合，则_______．【答案】【解析】由题意，．【考点】集合的运算．9.设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T等于()A．{0}B．{0,2}C．{-2,0}D．{-2,0,2}【答案】A【解析】集合运算问题需先对集合进行化简,明确集合中所含具体元素,因S={0,-2},T={0,2},所以S∩T={0}.故选A.10.集合M={a,b},N={a+1,3},a,b为实数,若M∩N={2},则M∪N=()A．{0,1,2}B．{0,1,3}C．{0,2,3}D．{1,2,3}【答案】D【解析】因为M∩N={2},所以a+1=2,a=1,所以b=2,所以M={1,2},N={2,3},故M∪N={1,2,3}.(x-2x2)},则(M∩N)=()11.已知集合M={x|y=},N={x|y=log2A．(,)B．(-∞,)∪[,+∞)C．[0,]D．(-∞,0]∪[,+∞)【答案】B【解析】集合M,N都是函数的定义域,其中M=[,+∞),N=(0,),所以M∩N=[,),其在实数集中补集(M∩N)=(-∞,)∪[,+∞).12.设集合若，则的范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据题意，，而，在数轴上表示可得，必有，故选B．【考点】集合与集合之间关系．13.已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝________.【答案】[0，]【解析】M＝{y|y≥0}，N＝{y|x2＝2－y2}＝{y|－≤y≤}．∴M∩N＝[0，]14.若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝}，则M∩P＝()．A．{y|y>1}B．{ y|y≥1}C．{ y|y >0}D．{ y|y≥0}【答案】C【解析】∵M＝{ y|y >0}，P＝{ y|y≥0}，∴M∩P＝{ y|y >0}．15.已知集合，，则 .【答案】【解析】本题中集合的元素是曲线上的点，因此中的元素是两个曲线的交点，故我们解方程组，得或，所以．【考点】集合的运算．16.设全集,集合,,则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】因为全集,集合,,所以，所以=，选B.【考点】集合的运算17.设集合=（）A．{1，3}B．{2}C．{2，3}D．{3}【答案】A【解析】由已知得，∴．【考点】集合的运算.18.已知集合，，则．【答案】【解析】集合的元素都是函数的值域，这是我们在解与集合有关问题时，一定要弄清的东西，一个集合元素是什么？代表元是什么？而集合的交集就是由两个集合的公共元素所组成的集合．【考点】集合的交集．19.设集合，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，所以，所以，选B.【考点】集合的基本运算20.已知全集，集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.注意只取整数，所以.【考点】1、集合的运算；2、函数的定义域与值域；3、解不等式.21.已知全集，集合，则是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】，.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.集合的补集运算.22.设全集,，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得,则.【考点】集合的基本运算.23.设集合，，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】，，.【考点】1.分式不等式的解法；2.函数的定义域；3.集合的交集运算.24.已知集合，，若，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由，知，所以，若即，，满足，当时，由解得，且两等号不能同时取到，满足，综上.【考点】集合的包含关系.25.设全集，集合，，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以．【考点】主要考查集合的运算，考查学生对基本概念的理解，及学生的基本运算能力．26.集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】集合，集合，则．【考点】集合表示及运算．27.设集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】交集运算.28.已知全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜1} D．{x|1＜x＜2}【答案】A【解析】由可得，所以；由可得；所以，故选A.【考点】集合的基本运算.29.已知集合，集合，则 .【答案】或.【解析】，，.【考点】集合的交集运算30.已知集合, ,在集合中任意取一个元素,则的概率是___________.【答案】【解析】,,.【考点】几何概型.31.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知阴影部分表示的集合为，，，，,又,.故选A.【考点】1、文氏图，2、交集，补集以及集合的运算.32.集合若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，得，因此，即，所以.【考点】1.集合的运算；2.元素与集合的关系；3.对数运算.33.已知集合,则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，=，故选A。

重难点01 集合的概念与运算—2023年高考数学(原卷版)

重难点01 集合概念与运算1．集合的有关概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A。

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

(4)五个特定的集合：集合非负整数集(或自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R 2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA⊂B或B⊃A 相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B 空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅⊂B且B≠∅3.集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集 A ∩ BA ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }集合的补集若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合基本运算的性质 (1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅。

(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A 。

(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A 。

(4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅。

2023年高考中仍将与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、指数、对数不等式解法结合重点考查集合的交集运算，也可能考查集合的并集、补集运算，依然放在前2题位置，难度为基础题.（建议用时：20分钟）一、单选题1.设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（）（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}2.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A =（）A. {}1,6B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,73.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合UAB =A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8 4.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A A ． [0,2] B ．(1,3) C ． [1,3) D ． (1,4)5.设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<,集合{|13}B x x =<<,则A BA ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<6.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,4 7.设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x B ，则B A = A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2 D.3(,3)28.已知集合A ={1,2,3,4,5}，B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x y -∈A }，则B 中所含元素的个数为A .3B .6C .8D .109.已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}UA B =,{1,2}B =,则UAB =A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅10.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 11.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（）A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<12.已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ． {}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或13.集合{}R 25A x x =∈-≤中的最小整数为_______.14.已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B ＝________，A ∩C ＝________。

高考必备数学公式大全

高考必备数学公式大全一、集合。

1. 集合的基本运算。

- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}- 并集：A∪ B ={xx∈ A或x∈ B}- 补集：∁_UA={xx∈ U且x∉ A}（U为全集）2. 集合元素个数公式。

- n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B)二、函数。

1. 函数的定义域。

- 分式函数y = (f(x))/(g(x))，定义域为g(x)≠0的x的取值范围。

- 偶次根式函数y=sqrt[n]{f(x)}（n为偶数），定义域为f(x)≥slant0的x的取值范围。

2. 函数的单调性。

- 设x_1,x_2∈[a,b]且x_1，对于函数y = f(x)- 若f(x_1)，则y = f(x)在[a,b]上是增函数，f^′(x)≥slant0（可导函数时）。

- 若f(x_1)>f(x_2)，则y = f(x)在[a,b]上是减函数，f^′(x)≤slant0（可导函数时）。

3. 函数的奇偶性。

- 对于函数y = f(x)，定义域关于原点对称。

- 若f(-x)=f(x)，则y = f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称。

- 若f(-x)= - f(x)，则y = f(x)是奇函数，其图象关于原点对称。

4. 一次函数y=kx + b（k≠0）- 斜率k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}，截距为b。

5. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)- 对称轴x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 当a>0时，函数开口向上，在x =-(b)/(2a)处取得最小值frac{4ac -b^2}{4a}；当a<0时，函数开口向下，在x =-(b)/(2a)处取得最大值frac{4ac -b^2}{4a}。

6. 指数函数y = a^x(a>0,a≠1)- 性质：当a > 1时，函数在R上单调递增；当0 < a < 1时，函数在R上单调递减。

高考数学冲刺集合的并集、交集与补集运算

高考数学冲刺集合的并集、交集与补集运算高考数学冲刺：集合的并集、交集与补集运算在高考数学中，集合的并集、交集与补集运算是一个重要的知识点。

对于即将参加高考的同学们来说，熟练掌握这些运算方法，不仅能够在考试中准确解题，还能为后续学习高等数学打下坚实的基础。

接下来，让我们一起深入探讨这一重要的数学概念。

一、集合的基本概念在了解并集、交集与补集运算之前，我们先来回顾一下集合的基本概念。

集合是由一些具有特定性质的元素所组成的整体。

我们通常用大写字母来表示集合，比如 A、B、C 等。

集合中的元素用小写字母表示，比如 a、b、c 等。

集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，比如集合 A ＝｛1, 2, 3}；描述法是通过描述元素所具有的性质来表示集合，比如集合 B ＝｛x ｜ x ＞ 0}，表示 B 是由所有大于 0 的实数组成的集合；图示法包括韦恩图（Venn Diagram），它能直观地展示集合之间的关系。

二、并集运算并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合。

用符号“∪”表示。

例如，集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛3, 4, 5}，那么 A∪B ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

并集运算的性质包括：1、交换律：A∪B ＝ B∪A2、结合律：（A∪B)∪C ＝ A∪（B∪C)在解题时，我们要注意对于两个集合的并集，相同的元素只算一次。

三、交集运算交集是指两个或多个集合中共同拥有的元素所组成的集合。

用符号“∩”表示。

继续以上面的集合 A 和 B 为例，A∩B ＝｛3}。

交集运算的性质有：1、交换律：A∩B ＝B∩A2、结合律：（A∩B)∩C ＝A∩（B∩C)需要注意的是，如果两个集合没有共同的元素，那么它们的交集为空集，用符号“∅”表示。

四、补集运算补集是指在一个给定的全集 U 中，集合 A 之外的所有元素组成的集合。

用符号“CUA”表示。

集合高考必考知识点总结

集合高考必考知识点总结高考是中国学生人生中最重要的考试之一，集合作为数学必考的重要知识点，在高考中占据着很大的比重。

本文将对高考数学中集合的必考知识点进行总结。

一、集合的基本概念集合是一个由确定的对象所构成的整体。

常用大写字母A、B、C 等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}，其中的元素1、2、3和4都属于集合A。

二、集合的运算1. 交集运算：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，表示A和B 共有的元素组成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

2. 并集运算：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，表示A和B 所有的元素组成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

3. 补集运算：集合A相对于集合B的补集，表示为A-B，表示A 中除去B中的所有元素所组成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。

4. 包含关系：集合A包含集合B的情况，即A⊇B，表示A中的所有元素都属于B。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3}，则A⊇B。

5. 空集与全集：空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示；全集是指讨论问题所涉及的全部元素组成的集合。

三、集合的性质1. 交换律：集合的交集和并集满足交换律。

即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。

2. 结合律：集合的交集和并集满足结合律。

即A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。

3. 分配律：集合的交集和并集满足分配律。

即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

四、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素一一列举出来。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}。

2. 描述法：根据元素的性质进行描述。

高考数学总复习第1讲集合的概念与运算

D．{1,2,3,4,6}
解：因为 A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．
ห้องสมุดไป่ตู้
答案：B
4．(2017·北京卷)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x＜
－2 或 x＞2}，则∁UA＝(
)
A．(－2,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
点评：(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验．
(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
【变式探究】
1．(1)若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，
则 a 等于( )
A．4
B．2
C．0
D．0 或 2
(2)已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值
为
.
解：(1)当 a＝0 时，方程化为 1＝0，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当 a≠0 时，由 Δ＝a2－4a＝0，解得 a＝4.
解：(2)因为 3∈A，所以 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3，若 m＋2＝3，解得 m＝1，此时 A＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以 m＝1，不符合题意；若 2m2＋m＝3，解得 m＝1(舍去)或 m＝－23. 检验知 m＝－32满足题意．故所求 m 的值为－32.
3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合
非空时，要考虑空集的可能性，如 A⊆B，则有 A＝∅或 A≠∅
两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．

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