最新同济高数b下期末考试试卷(含答案)

2011学年高数B 第二学期期末考试试卷
一、单选题（共15分，每小题3分）
1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )
A ．(,)f x y 在P 连续
B ．(,)f x y 在P 可微
C ． 0
0lim (,)x x f x y →及 0
0lim (,)y y f x y →都存在 D ．
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →存在
2．若x
y
z ln =，则dz 等于（ ）．
ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y
B x
ln ln ln .ln x x
y y
C y
ydx dy x
+ ln ln ln ln .
x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2
2
2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则
(),,(=⎰⎰⎰Ω
dxdydz z y x f ）
． 21
2
cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π
θ
θθθ⎰
⎰
⎰ 21
2
cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π
θ
θθθ⎰
⎰
⎰
212
02cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π
θ
πθθθ-⎰⎰
⎰ 21
cos .(cos ,sin ,)x
D d rdr f r r z dz
πθθθ⎰⎰
⎰4．若
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．
A ． 条件收敛
B ． 绝对收敛
C ． 发散
D ． 敛散性不能确定
5．曲线22
2
x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩
在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）
二、填空题（共15分，每小题3分）
1．设220x y xyz +-=，则'
(1,1)x z = . 2．交 换ln 1
(,)e x
I dx f x y dy =
⎰⎰
的积分次序后，I =_____________________．
3．设2
2z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .
4. 已知0!
n x
n x e n ∞
==∑，则x
xe -= .
5. 函数3
3
2
2
33z x y x y =+--的极小值点是 .
三、解答题（共54分，每小题6--7分）
1. （本小题满分6分）设arctan
y z y x =, 求z x ∂∂,z y
∂∂. 2. （本小题满分6分）求椭球面2
2
2
239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方
程，并求切点处的法线方程.
3. （本小题满分7分）求函数2
2
z x y =+在点(1,2)处沿向量13
22
l i j =+方向的方向导数。

4. （本小题满分7分）将x
x f 1
)(=
展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。

5. （本小题满分7分）求由方程088222
2
2
=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极
值。

6. （本小题满分7分）计算二重积分
1,1,1,)(222
=-=--=+⎰⎰y y y x D d y x
D
由曲线σ及
2-=x 围成.
7. （本小题满分7分）利用格林公式计算
⎰
-L
x y x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆
时针方向）.
8. （本小题满分7分）计算
⎰⎰⎰
Ω
z y x xy d d d ，其中Ω是由柱面12
2=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.
四、综合题（共16分，每小题8分）
1．（本小题满分8分）设级数
1
1
,n n
n n u v
∞
∞
==∑∑都收敛，证明级数
21
()n
n n u
v ∞
=+∑收敛。

2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2
R 内具有一阶连续偏导数，且2f
x x
∂=∂， 证明曲线积分
2(,)L
xydx f x y dy +⎰
与路径无关．若对任意的t 恒有
(,1)
(1,) (0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+⎰
⎰
，求),(y x f 的表达式．
参考答案及评分标准
一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1. -1 ； 2. I =
10
(,)y
e
e dy
f x y dx ⎰⎰
； 3. →
→
→
-+-k j i 242 ； 4. 1
(1)!n n n x n +∞
=-∑ ； 5. (2,2)
三、解答题（共54分，每小题6--7分）
1．解：2
2
2
y
x y x z +-=∂∂; (3分) y z ∂∂=x y arctan +22y
x xy + ( 6分).
2. 解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =满足：
000
23232
x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：
112232x y z +-+==-或者112
232
x y z -+-==
- ( 6分)
3. 解：(1,2)(2,4)f ∇= ( 3分),
(1,2)
1f l
∂=+∂ ( 7分)
4. 解：)3(31
)(-+=
x x f =)
3
3(11
3
1-+⋅
x , ( 2分) 因为 ∑∞
=+=-0
11
)1(n n
n
x x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞
=-⋅-=-+⋅
)33(31)1()3
3(1131n n
n x x =∑∞
=+--0
1)3()31()1(n n
n n x ,其中1331<-<-x ，即60<<x .( 5分) 当0=x 时，级数为∑∞
=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞
=⋅-0
31)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n
n n x ，
)6,0(∈x ， ( 7分)
5. 解：由401284(2)0128z x x z y z y z y z y
∂⎧==⎪∂--⎪
⎨∂+⎪==⎪∂--⎩, 得到0=x 与02=+z y , ( 2分)
再代入08822222=+-+++z yz z y x ，得到0872
=-+z z 即8
1,7
z =-。

由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与16
(0,
)7。

( 4分) 由224128z x z y ∂=∂--，20z x y ∂=∂∂，224128z y z y
∂=
∂--，可知在驻点(0,2)-与16(0,)7有0H >。

( 5分) 在(0,2)-点，1z =，因此 224
015z x ∂=
>∂，所以(0,2)-为极小值点，极小值为1z =；( 6分) 在16(0,)7点，87z =-，因此 224015z x ∂=-
<∂，所以16(0,)7
为极大值点，极大值为8
7z =-， ( 7分)
6. 解：记⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--⎩⎨⎧≤≤-≤≤-1
101:1102:221y x y D y x D ，则21D D D -=.（2分） 故
σσσd y x d y x d y x D D D
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+2
1
)()()(222222 ( 4分) -=
-+=⎰⎰⎰⎰--320)(2
32
1
311
2
2
2π
πθdr r d dx y x dy 4
π
（7分）
7. 解：L 所围区域D ：2
2
2
a y x ≤+,由格林公式，可得
⎰
-L
x y x y xy d d 22=
y x y y x x xy D
d d ))()((22⎰⎰∂-∂-∂∂=⎰⎰+D y x y x d d )(22=4π2002
2πd a r r r d a ⎰⎰=⋅θ.(7分)
8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，⎪
⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,
10,2π
0,10:r z θΩ所以
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅=Ω
θθθr r r r z z y x xy d sin cos d d d d d 01
2π
01 ( 4分)
=⎰⎰
r r d d 2sin 213
10
2πθθ=8
1
4)42cos (1
42
π
=⋅-r θ. (7分)
四、综合题（共16分，每小题8分）
1．证明：因为lim 0,lim 0n n n n u v →∞
→∞
==，（2分）
故存在N ，当n N >时，2
2
2
()23n n n n n n n u v u v u v u +=++≤，因此21
()n
n n u
v ∞
=+∑收敛。

（8分）
2．证明：因为
2f x x
∂=∂，且22()
xy x y ∂=∂，故曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +⎰与路径无关．（4分）
因此设)(),(2
y g x y x f +=，从而
(,1)
11
22 (0,0)
2(,)0[()]()t t xydx f x y dy dx t g y dy t g y dy +=++=+⎰
⎰⎰⎰，
（5分）
(1,)
1 (0,0) 0
2(,)0[1()]()t t t
xydx f x y dy dx g y dy t g y dy +=++=+⎰
⎰⎰⎰，
（6分）
由此得 1
2
()t g y dy +
⎰
()t t g y dy =+⎰对任意t 成立，于是12)(-=t t g ，即
12)(),(22-+=+=y x y g x y x f ．
（8分）。