最短路问题 教学ppt
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最短路问题__迪杰斯特拉算法ppt课件
j
)}
min{
T
(v4
),
T
(v5
),
T
(v6
)}
T
(v4
)
T
(v5
)
5,
所以有， p(v4 ) 5, p(v5 ) 5
（6） T (v6 ) min[T (v6 ), P(v4 ) l46, P(v5 ) l56 ] min[, 5 4,5 2] 7
X={1,2,4}, p2=2
ppt课件
13
X={1,2,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
p6=3
8 8
min {d16,d23,d25,d47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3
X={1,2,4,6}, p6=3
ppt课件
P(v1) 0
T (vi ) (i 2,3,,6)
（2） T (v2 ) min[ T (v2 ), P(v1) l12 ] min[ , 0 3] 3
T (v3 ) min[ T (v3 ), P(v1 ) l13 ] min[ , 0 5] 5
最短路问题
ppt课件
1
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数最小的通路。（注意：在有向图 中，通路——开的初等链中所有的弧应 是首尾相连的。）
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
运筹学课件 最短路、最大流、邮路
第i年 价格 ai 使用寿命 费用 bi 1 11 0－1 b1 5 2 11 1－2 b2 6 3 12 2－3 b3 8 4 12 3－4 b4 11 5 13 4－5 b5 18
最短路径问题的应用
例 设备更新问题
把求总费用最小问题化为最短路径问题。用点 i (i=1,2,3,4,5)表示第 i 年买进一台新 设备。增设一点 6 表示第五年末。从i点到i+1,……, 6 各画一条弧，弧（i , j）表示在 第 i 年买进的设备一直使用到第 j 年年初（第 j －1年年末）。求1点到6点的最短路径。 路径的权数为购买和维修费用。 弧（i , j）的权数为第i年的购置费ai＋从第i年使用至第j-1年末的维修费之和。 从第i年使用至第j-1年末的维修费：b1+…+bj-i
1 1 2 3 4 5 2 16 3 22 16
（使用寿命为j-i年） 具体权数计算结果如下：
5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
如：（2－4）权数为：a2+b1+b2=11＋5＋6=22
4 30 22 17
通过一个网络的最短路径
例 设备更新问题 ：
2 16 30 22 41 4 23
最大流问题
两个重要结论： 1、任何一个可行流的流量都不会超过任一截集的容量。 2、若对于一个可行流f *，网络中有一个截集（ V1*，V1*）， 使v（ f *）=C(V1*，V1 *)，则f *必是最大流，而（ V1*， V1 *）必是所有截集中容量最小的一个，即最小截集。
定理：可行流f *是最大流，当且仅当不存在关于f *的增广链。 于是有如下结论：最大流量最小截量定理：任一个网络中，从vs 到vt的最大流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。
最短路径问题的应用
例 设备更新问题
把求总费用最小问题化为最短路径问题。用点 i (i=1,2,3,4,5)表示第 i 年买进一台新 设备。增设一点 6 表示第五年末。从i点到i+1,……, 6 各画一条弧，弧（i , j）表示在 第 i 年买进的设备一直使用到第 j 年年初（第 j －1年年末）。求1点到6点的最短路径。 路径的权数为购买和维修费用。 弧（i , j）的权数为第i年的购置费ai＋从第i年使用至第j-1年末的维修费之和。 从第i年使用至第j-1年末的维修费：b1+…+bj-i
1 1 2 3 4 5 2 16 3 22 16
（使用寿命为j-i年） 具体权数计算结果如下：
5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
如：（2－4）权数为：a2+b1+b2=11＋5＋6=22
4 30 22 17
通过一个网络的最短路径
例 设备更新问题 ：
2 16 30 22 41 4 23
最大流问题
两个重要结论： 1、任何一个可行流的流量都不会超过任一截集的容量。 2、若对于一个可行流f *，网络中有一个截集（ V1*，V1*）， 使v（ f *）=C(V1*，V1 *)，则f *必是最大流，而（ V1*， V1 *）必是所有截集中容量最小的一个，即最小截集。
定理：可行流f *是最大流，当且仅当不存在关于f *的增广链。 于是有如下结论：最大流量最小截量定理：任一个网络中，从vs 到vt的最大流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。
最短路问题实验PPT学习教案
（3） 设 v* 是使 l(v) 取最小值的 S 中的顶点，则令 S=S∪{ v* }， u v*
（4） 若 S φ，转 2，否则，停止. 用上述算法求出的 l(v) 就是 u0 到 v 的最短路的权，从 v 的父亲标记
z(v) 追溯到 u0 , 就得到 u0 到 v 的最短路的路线.
第3页/共27页
l(ui )
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
u8
最后标记: l(v)
z (v)
02
17
u1 u1
u1
u6
3
6 9 12
u2
u5
u4
u5
u2
u5
u1
u4
u6
u8
u3
u7
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w=[ ];
function [l,z]=Dijkstra(W) n = size (W,1); for i = 1 :n l(i)=W(1,i); z(i)=1; end i=1; while i<=n for j =1 :n
对每个顶点，定义两个标记（ l(v) ， z(v) ），其中: l(v) ：表从顶点 u0 到 v 的一条路的权． z(v) ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线
算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终 l(v) 为从顶点
u0 到 v 的最短路的权． S：具有永久标号的顶点集
输入: G 的带权邻接矩阵 w(u, v)
第16页/共27页
一 、 可 化 为 最短路 问题的 多阶段 决策问 题
最短路的应用
二、 选 址 问 题 1、 中 心 问 题 2、 重 心 问 题
第17页/共27页
例：企业要制定一台重要设备 更新的五年计划，目标是使总 费用（购置费用和维修费用之 和）为最小。此设备在各年初 价格及使用期中所需维修数据 如下：
（4） 若 S φ，转 2，否则，停止. 用上述算法求出的 l(v) 就是 u0 到 v 的最短路的权，从 v 的父亲标记
z(v) 追溯到 u0 , 就得到 u0 到 v 的最短路的路线.
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l(ui )
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
u8
最后标记: l(v)
z (v)
02
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u1 u1
u1
u6
3
6 9 12
u2
u5
u4
u5
u2
u5
u1
u4
u6
u8
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w=[ ];
function [l,z]=Dijkstra(W) n = size (W,1); for i = 1 :n l(i)=W(1,i); z(i)=1; end i=1; while i<=n for j =1 :n
对每个顶点，定义两个标记（ l(v) ， z(v) ），其中: l(v) ：表从顶点 u0 到 v 的一条路的权． z(v) ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线
算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终 l(v) 为从顶点
u0 到 v 的最短路的权． S：具有永久标号的顶点集
输入: G 的带权邻接矩阵 w(u, v)
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一 、 可 化 为 最短路 问题的 多阶段 决策问 题
最短路的应用
二、 选 址 问 题 1、 中 心 问 题 2、 重 心 问 题
第17页/共27页
例：企业要制定一台重要设备 更新的五年计划，目标是使总 费用（购置费用和维修费用之 和）为最小。此设备在各年初 价格及使用期中所需维修数据 如下：
第三节 最短路问题PPT课件
定义: 给定一个赋权有向图，即给了一个有向图
G=（V，A，W） ，对每一个弧aij =(vi,vj)∈A ， 相应地有权w（aij ） =wij ∈V1 ，又给定 G中的 两个顶点vs ,vt 。设 P是G 中从vs 到 vt的一条路，
定义路 P的权是 P中所有弧的权之和，记为W(P)
。最短路问题就是要在所有从vs 到vt 的路中，求 一条权最小的路，即求一条从vs 到vt 的路P* ，
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
则resent= vk,
， 。 Sk Sk1 vk
Tk Tk1 vk
若k=n，则结束，否则转第二步。
6
例 用Dijkstra算法求前面例子中从v1到各点的最短路。
v2 1
6 2
v5
2
v9
6
3
v1
3 v3 6
3 4 10
1
2
v4
10
4
v6 2 v7
v8
7
图上标号法:
v2 v1,6 1
v5
v1, ∞ 2
转步骤二。
29
用逐次逼近算法求从V1到V6的最短路
v2
5
4
v1
-3
5
7
v3
v6 v4 6
2
v5
30
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
运筹学课件(第十讲)—最短路问题
如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一点，那么从vs沿P到vi路也是 从vs到vi的最短路。
Dijkstra法的适用条件
求出一点到图中任意点最短路
求解思路
从vs出发，逐步地向外探索最短路。执行过程中，与每个点记下一个数， 它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P(perpetual)标号），或者是 从vs到该点的最短路的权的上界（称为T(temporary)标号），方法的每一 步是去修改T标号，并且把某一个T标号点改为P标号点，从而使D中P标 号顶点多一个，这样最多经过p-1步就可以求出从vs到各点的最短路。
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
（3）各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即 流入的流量之和与流出的流量 之和的差为0，也就是说各中间点只 起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资．
Operation Research
网络最大流的基本概念（3）
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄 克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.
Dijkstra法的适用条件
求出一点到图中任意点最短路
求解思路
从vs出发，逐步地向外探索最短路。执行过程中，与每个点记下一个数， 它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P(perpetual)标号），或者是 从vs到该点的最短路的权的上界（称为T(temporary)标号），方法的每一 步是去修改T标号，并且把某一个T标号点改为P标号点，从而使D中P标 号顶点多一个，这样最多经过p-1步就可以求出从vs到各点的最短路。
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
（3）各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即 流入的流量之和与流出的流量 之和的差为0，也就是说各中间点只 起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资．
Operation Research
网络最大流的基本概念（3）
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄 克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.
数学建模最短路问题课件ppt
b(1,j-1)=1; b(2,j-1)=j; b(3,j-1)=a(1,j); end
while size(T,2) < n-1 [min,i]=min(b(3,:)); %在候选边中找最短边。 T(:,size(T,2)+1)=b(:,i); e = e + b(3,i); v = b(2,i); ％v表示新涂的红点。 temp = find(sb == b(2,i)); sb(temp) = [ ]; b(:,i) = [ ]; for j =1:length(sb) %调整候选边 d = a(v,b(2,j)); if d<b(3,j) b(1,j) = v; b(3,j) = d; end end
权，并称图 G 为赋权图.
规定用记号 和 分别表示图的顶点数和边数.
常用术语： （１） 端点相同的边称为环． （２） 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边．
（３） 有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４） 边和它的端点称为互相关联的． （５） 既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６） 任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
通路Wv1v4 v1e4v4e5v2e1v1e4v4 道路 Tv1v4 v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v4 路径 Pv1v4 v1e1v2e5v4
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
定义３ （１）设 P(u, v) 是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
4
22 3 4 35
5
78 inf 1965
3
实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
while size(T,2) < n-1 [min,i]=min(b(3,:)); %在候选边中找最短边。 T(:,size(T,2)+1)=b(:,i); e = e + b(3,i); v = b(2,i); ％v表示新涂的红点。 temp = find(sb == b(2,i)); sb(temp) = [ ]; b(:,i) = [ ]; for j =1:length(sb) %调整候选边 d = a(v,b(2,j)); if d<b(3,j) b(1,j) = v; b(3,j) = d; end end
权，并称图 G 为赋权图.
规定用记号 和 分别表示图的顶点数和边数.
常用术语： （１） 端点相同的边称为环． （２） 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边．
（３） 有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边．
（４） 边和它的端点称为互相关联的． （５） 既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６） 任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
通路Wv1v4 v1e4v4e5v2e1v1e4v4 道路 Tv1v4 v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v4 路径 Pv1v4 v1e1v2e5v4
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
定义３ （１）设 P(u, v) 是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
4
22 3 4 35
5
78 inf 1965
3
实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
运筹学 PPT课件 第五章 图与网络分析-最短路
Dijkstra最短路算法的特点和适应范围
一种隐阶段的动态规划方法 每次迭代只有一个节点获得永久标记，若有两个或两个以上节点的 临时标记同时最小，可任选一个永久标记；总是从一个新的永久标 记开始新一轮的临时标记，是一种深探法 被框住的永久标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路，因此 要求 dij0，第 k 次迭代得到的永久标记，其最短路中最多有 k 条边，因此最多有
d
(0) 65
}
min{0 ,2 9,6 3, , 0, 1}
9 取自第3列
v1 v2 v3 v4 v5 v6
0 2 6
2
0
3
8
9
D(0) L 6 3 0 5 3
8
5
0
3
9 3 0 1
3
1
0
d (1) 16
mkin{d1(k0)
d
} (0)
k6
（第1行+第6列）
8
5
0
3
9 3 0 1
3
1
0
d (1) 15
mkin{d1(k0)
d
(0) k5
}
（第1行+第5列）
min{d1(10)
d (0) 15
,
d (0) 12
d (0) 25
,
d (0) 13
d (0) 35
,
d (0) 14
d
(0) 45
,
d (0) 15
d (0) 55
,
d (0) 16
min{d1(10)
d (0) 16
,
d (0) 12
d
(0) 26
,
d (0) 13
最短路算法上课ppt
优点
缺点
优点
优点
效率低，需要遍历所有点（特别是有时候不需要最优解）、运算中占用空间大
缺点
算法简明易懂、并且一定能得到最优解
优点
Dijkstra算法可能不是最优先使用的方法，因为算法的运算速度效率，往往要比精确度更加重要
实际运用
但似乎在实际运行时效果并不理想！ 这样利用Dijkstra算法设计一个属于我们自己的导航系统啦。
最佳优先搜索简介
这个算法的运算流程跟Dijkstra的流程类似，只不过它考察的是选取点到终点的距离，并且这个距离的权值是评估出来的，这也就是启发式的思想。举例说明，如果说目标的终点在北面，那么越靠近北面的点权值就越小，那么算法在搜索过程中，所加入点集的点就会倾向于北面，因此不用搜索全图东南西北，更多的是搜索北面的点，速度来说会优于Dijkstra算法很多。
01
A*算法能够解决有固定障碍物的路径规划问题，并且能很快地给出解，但是当障碍物是移动的时候，我们又应该如何对算法进行改从而给出解呢？
02
一个典型问题：AGV小车线路规划！
智能码头：AGV
AGV中文名：自动导引小车
是自动化码头水平运输系统中用于搬运集装箱的搬运设备。
其主要职责：就是在规定的时间窗口范围内完成堆场和岸桥之间实现集装箱的传送。
一
算法的描述上看去相当复杂，我们给出下面例子来具体说明整个算法的运行流程！
首先我们要有如下概念：
假设P：v→km是从顶点v到km的一条最短路径，那对这条路径上任意其他一点ki，都有 P上关于v→ ki的子路径为v到点ki的最短路径。
即最短路径的子路径仍然是最短路径，最短路算法本质上上基于这种思想展开的。
最短路问题及相关算法介绍
最短路径问题课件ppt
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
运筹学最短路邮递员问题PPT课件
从一点到任意点的最短路
• 木器厂有六个车间，办事员经常 要到各个车间了解生产进度。从 办公室到各车间的路线由图1给出。
找出点1（办公室）到其它各点 （车间）的最短路
11
27
2
2
1 5 3 5 55 7
3
1
4
3
1
6
7
5
12
2
权wij(dij)
2
距离、价格 2
15
3
点（vi）
边eij或记为（vi，vj） 13
3
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3
v6
2.5
最短路问题不仅可以求解交通图中两点之间的最短距离，实际 中很多问题也可变为最短路问题加以求解。例如设备更新问题，厂 区合理布局问题等。兹举一例：
例1（设备更新问题）某企业使用一台设备，在每年年底，企业 都要决策下年度是购买一台新设备呢？还是继续使用这台设备。若 购买新的，就要支付一笔购置费；如果使用旧设备，只要支付维修 费，而维修费随着设备的使用年限延长而增加。现根据以往统计资 料已经估算出设备在各年初的价格和不同使用年限的修理费用，分 别如表1、表2所示。
最短路问题(课堂PPT)
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0
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V2
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V1 4
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V7
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6
(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
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(2)找出同v1相邻的未标号的点有v2,v3,v4，求出从
v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
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(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
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(2)找出同v1相邻的未标号的点有v2,v3,v4，求出从
v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
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(5)找出所有与v1,v2,v3,v4相邻的未标记的点v5,v6，求出
63 最短路问题PPT课件
第六章 图与网络分析
6.1图与网络的基本知识 6.2 树 6.3最短路径问题 6.4网络最大流问题 6.5最小费用最大流问题
1
6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度最短? 3
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最短路问题
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
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最短路问题
最短路问题
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6.1图与网络的基本知识 6.2 树 6.3最短路径问题 6.4网络最大流问题 6.5最小费用最大流问题
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Shortest Path Problem
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
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最短路问题
最短路问题
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最短路问题__D算法 ppt
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例一、
用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。
v2 2
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v1
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v6
5 v3 4
2 v5
（4）T ( v 3 ) m T ( v 3 ) i ,P ( n v 2 ) l [ 2 ] 3 m 5 ,3 i1 ] n 4[
T ( v 4 ) m T ( v 4 ) , P i ( v 2 n ) l 2 ] [ 4 m , 3 i 2 ] n 5[ T ( v 5 ) m T ( v 5 ) i ,P ( n v 2 ) l 2 [ ] 5 m ,3 i 2 n ] 5 [
最短路问题
-
1
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数最小的通路。（注意：在有向图 中，通路——开的初等链中所有的弧应 是首尾相连的。）
（2）应用背景——管道铺设、线路安排、 厂区布局、设备更新等。
-
2
二、最短路算法
1． D氏标号法（Dijkstra）；边权非负 2. 列表法（福德法）；有负权，无负回路
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p4=1
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p5=6
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min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
X={1,2,4,5,6,7}, p5=6
-
最短路应用问题课件 15页PPT文档
按照最短路算法可得最短路 {v1, v2, v3, v5}，即计划 期内机器更新最优计划为第 1 年、第 3 年初各购进 一台新机器，4 年总的支付费用为 6.8万元。
选址问题。选址问题是指为一个或几个服
务设施在一定区域内选定它的位置，使某一指 标达到最优值。选址问题的数学模型依赖于设 施可能的区域和评判位置优劣的标准，有许多 不同类型的选址问题。比较简单的两类选址问 题是中心问题和重心问题。
某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初 的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。若生 产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管 费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损 失费C3=0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费 C1=1万元，试问工厂如何制定当年的生产策略，使工厂的 总损失最小？
S(vi)m 1ja{dxij}，i = 1, 2, …, v 有：S(v1) = 10，S(v2) = 7，S(v3) = 6，S(v4) = 8.5， S(v5) = 7，S(v6) = 7，S(v7) = 8.5。
(3) 求出顶点 vk，使 S(vk)m 1i{iSn(vi)}，则 vk 就是要求的建立消防站的地点。因为 S(v3) = 6 最小，故应将消防站设在 v3 处。此点称为图的 中心点。
25
20 10
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实验作业
生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出 问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致 产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产 品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见， 生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便 适时调整生产率，获取最大收益。
选址问题。选址问题是指为一个或几个服
务设施在一定区域内选定它的位置，使某一指 标达到最优值。选址问题的数学模型依赖于设 施可能的区域和评判位置优劣的标准，有许多 不同类型的选址问题。比较简单的两类选址问 题是中心问题和重心问题。
某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初 的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。若生 产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管 费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损 失费C3=0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费 C1=1万元，试问工厂如何制定当年的生产策略，使工厂的 总损失最小？
S(vi)m 1ja{dxij}，i = 1, 2, …, v 有：S(v1) = 10，S(v2) = 7，S(v3) = 6，S(v4) = 8.5， S(v5) = 7，S(v6) = 7，S(v7) = 8.5。
(3) 求出顶点 vk，使 S(vk)m 1i{iSn(vi)}，则 vk 就是要求的建立消防站的地点。因为 S(v3) = 6 最小，故应将消防站设在 v3 处。此点称为图的 中心点。
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实验作业
生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出 问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致 产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产 品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见， 生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便 适时调整生产率，获取最大收益。
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此时，终点标号为［12,v5］,即v1—vn的最短距离为12，反向追踪 可求出最短路。
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［6,v2］
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［9,v5］
v1－v9的最短路为：v1-v3-v2-v5-v9,最短距离为12
•
Dijkstra算法的补充说明
① 标号过程中间结点的标号内容有明确的意义
② 同一问题可能存在多个最短路，但距离是唯一的
③ 当网络中出现负的权数时，算法失效。
2
v1
3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 3
v8
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最短路问题
最短路问题的研究在现实生活中有哪些应用？
• • • •
管道的铺设 线路的安排 厂区的布局 设备的更新
问题：求网络中起点到其它点的一条最短路线 引例：求网络中V1－V9的最短路
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2
• •
算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法 基本思想：从起点Vs开始，逐步给每个节点V标号［dj,vi］，其 中dj是起点Vs到vj的最短距离，vi为该最短路线上的前一节点。
算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法
Step1: 给起点v1标号［0，v1］
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v9 v7
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算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法
Step2: 把顶点v分成
VA:已标号点集 VB:未标号点集
1
v2
6 ［0,v1］ v1 1 3 2
[0,v1]
v1 2
1
[1,v1] v3 -3
v2
•
Dijkstra算法的补充说明
① 标号过程中间结点的标号内容有明确的意义
② 同一问题可能存在多个最短路，但距离是唯一的
③ 当网络中出现负的权数时，算法失效。
④ 前面的算法描述针对有向网络图，但对于无向的网络图，只需 将step 3中的（vi, vj）改为［vi, vj］，算法同样适用。
3
v3
2
v9
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［1,v1］
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Thank you
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2
算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法
Step 3: 考虑所以这样的边（vi, vj）其中vi∈VA，vj∈VB，挑选其中 与起点v1距离最短（min{di + cij}）的vj，对vj进行标号。
v2
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v9 v7
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2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3
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［1,v1］
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算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法
Step 4: 重复2，3步骤，直至终点vn标上［dn,vi］,着dn即为v1－vn 的最短距离，反向追踪可找出最短路。
v2
6 ［0,v1］ v1 1 3 2
1
v5
4 10
2
v86 3 6源自v54 102
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6 3 6
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2
v9 v7
4
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v6
2
算法：Dijkstra(狄克斯特拉) 标号法
Step 3: 考虑所有这样的边（vi, vj）其中vi∈VA，vj∈VB，挑选其中 与起点v1距离最短（min{di + cij}）的vj，对vj进行标号。
v2
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v9 v7
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2
［9,v5］
［5,v3］
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［6,v2］
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6 ［0,v1］
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3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3
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3 1
2 6 v［ 3 3,v1］ 2 ［1,v1］ 4 10 3