函数新定义问题

历年高考新定义函数问题

一、 利用函数性质解决函数新定义问题

1．（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ⎧⎪=⎨⎪⎩x x 为有理数为无理数

,则下列结论错误的是

（ ）

A ．()D x 的值域为{}0,1

B ．()D x 是偶函数

C ．()

D x 不是周期函数

D ．()D x 不是单调函数

1【答案】C

【解析】A,B.D 均正确,C 错误.

【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键.

2．（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:2

2,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a b

a b

≤>,

设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等

的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.

2【解析】由定义运算“*”可知

22

2

2112()0(21)(21)(1),21148

()=11(1)(21)(1),211()024

x x x x x x x f x x x x x x x x ⎧--≤⎪⎧-----≤-⎪⎪=⎨⎨------⎪⎩⎪--+⎪⎩，＞＞,画出该函数图象可知满

足条件的取值范围是

116

-（）.

二、 利用数形结合解决函数新定义问题

1.【2015高考天津，理8】已知函数()()2

2,2,2,2,

x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取

值范围是( )

（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭

【答案】D

【解析】由()()2

2,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0

(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0

()(2)42,

0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪

=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩

， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪

=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的

图象的4个公共点，由图象可知

7

24

b <<.

【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合

.

【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.

2.【2015高考四川，理15】已知函数x x f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）.对于不相等的实数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=

，2

121)

()(x x x g x g n --=.现有如下命题：

（1）对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；

（2）对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =； （4）对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=. 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）. 【答案】①④ 【解析】

设11221122(,()),(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x g x D x g x .

对（1），从2x y =的图象可看出，0AB m k =>恒成立，故正确.对（2），直线CD 的斜率可为负，即0n <，故不正确.

对（3），由m =n 得1212()()()()f x f x g x g x -=-，即1122()()()()f x g x f x g x -=-. 令2()()()2x h x f x g x x ax =-=--，则()2ln 22x h x x a '=--.

由()0h x '=得：2ln 22x x a =+，作出2ln 2,2x y y x a ==+的图象知，方程

2ln 22x x a =+不一定有解，所以()h x 不一定有极值点，即对于任意的a ，不一定存

在不相等的实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即不一定存在不相等的实数21,x x ，使得

n m =.故不正确.

对（4），由m =－n 得1221()()()()f x f x g x g x -=-，即

1122()()()()f x g x f x g x +=+.

令2()()()2x h x f x g x x ax =+=++，则()2ln 22x h x x a '=++.

由()0h x '=得：2ln 22x x a =--，作出2ln 2,2x y y x a ==--的图象知，方程

2ln 22x x a =--必一定有解，所以()h x 一定有极值点，即对于任意的a ，一定存在不

相等的实数21,x x ，使得12()()h x h x =，即一定存在不相等的实数21,x x ，使得m n =-.故正确. 所以（1）（4）

【考点定位】函数与不等式的综合应用.

【名师点睛】四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.

3．（2013年高考湖北卷（文8））x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数

()[]f x x x =-在R 上为

（ ）

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．增函数

D ．周期函数

【答案】D

【命题立意】本题考查函数的性质与判断。在12x ≤<时，()1f x x =-，在23x ≤<时，()2f x x =-，在34x ≤<时，()3f x x =-。在1n x n ≤<+时，()f x x n =- 。画出图象由图象可知函数没有奇偶性,在[n,n+1)上单调递增，是周期函数，周期是1.选D.