第5章第2节 因素模型与APT

先考察的是单因素模型
2006年@贺莉萍
投资学第5章
一、套利组合及其构建
根据APT，投资者会尽力发掘构造套利 组合的可能，以便在不增加风险的情况 下增加自己的财富
什么是套利组合？
套利组合是同时满足下列三个条件的证券组合：
零投资：不需追加任何额外投资 — 自融资功能
无风险 正收益
风险套利
r
A
10 7 6
D

C
风险 补偿
rf 4%
0.5 1.0
四、APT的分析思路
首先，识别哪些因素对市场起广泛影响 然后估计出每个证券对每个因素的敏感度 接下来证实是否存在套利机会并求解出一 种可能的套利机会 最后，构建套利组合，获取收益
五、APT与CAPM的比较
为将纠正价格偏差，最终使市场趋于均衡（一 个不存在套利机会的价格水平）
套利行为是现代有效市场的一个决定因素
套利的基本形式
空间套利：在一个市场上低价买进在另一市场上
高价卖出
时间套利：同时买卖在不同时点交割的同种资产
工具套利（相关金融工具）：利用同一标的资产
的现货及各种衍生证券的价格差异套利
APT被认为是广义的CAPM，是CAPM的修正和补充， CAPM可看作是APT在某些更严格假设下的特例
APT与CAPM的不同
两种理论市百度文库均衡的得出不同
CAPM是典型的收益/风险占优所主导的市场均衡，认为：
当均衡价格被打破时，投资者将在一定程度上改变其组 合，这些有限的组合改变的加总将产生大量的买卖行为，
性，不同的研究使用了不同的宏观经济指标
每项因素都要计算相应的贝塔值，所以在对资产估值的
实际应用中，CAPM比APT使用得更广泛
练习一
考虑单因素APT模型。资产组合A的β值为
1.2，期望收益率为14%。资产组合B的β值
为0.7，期望收益率为9%。无风险收益率
为5%。
（1）是否存在套利机会？
ri
rh
h l
1
0
rl
单因素资产 定价线
bh bl
bi
套利行为将对证券价格产生影响，其预期收益率也将作出调整 投资者为获利必尽可能购入h，使其价格上升，预期收益率下降， 最终到达APT定价线 在均衡时，所有证券都落在套利定价线上
对APT的理解
两个充分分散化的投资组合Ａ和Ｂ，若 bA bB ，就必定有 E (rA ) E (rB ) ，否则要出现套利机 会
推动价格重回均衡
APT强调的是无套利均衡，当套利机会存在，每个投资
者都愿意尽可能多地持有头寸，因此，不需很多投资者 就会给价格带来压力，使价格恢复均衡。因此，由无套 利观点得出的价格的意义更大
二者各有优劣，侧重点不同
CAPM用β来解释风险大小，但没揭示风险来源；APT用多
个因素共同来解释证券价格的波动，获得了明确的结论
市场是完全竞争的、无摩擦的——套利的可实施性 当投资者具有在不增加风险的前提下提高回报率的
机会时，每个人都会利用这个机会，即个体是非满
足的——套利的主观性 投资者都一致认为任一证券i的回报率满足k因素模 型 市场上的证券的种类远远大于因子的数目k
三、什么是套利？
套利：指利用证券之间的错误定价来赚取无风险利润 的行为。
rp w(ri bi F ) (1 w)(r j b j F ) 1 0 [ w(ri r j ) r j 0 ] [ w(bi b j ) b j ]F
若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0
rp
bj bi b j
(ri rj ) rj 0 =0,
（2）如存在，如何套利？
练习二
考虑单因素APT模型。股票A和股票B的 期望收益率分别为12%和16%，无风险收 益率为5%。假设股票B的β值为1.1。如果 不存在套利机会，求股票A的β值？
练习三
考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益模型：
要素 通货膨胀 行业生产 石油价格 因子载荷 1.2 0.5 0.3 风险价格（％） 6 8 3
从上式可以求出无限多组解，在此假定W1等于0.1， 解出W2=0.075，W3=-0.175。
0.15W1 0.21 W2 0.12W3 0.00975
结论
APT基本思想：如投资者能找到套利机会，则所 有投资者都会利用它，买卖行为导致套利机会最
终消失，套利组合的预期收益等于0时，市场处
第五章 因素模型与 APT
第二节 套利及无套利法则
APT提出的背景
CAPM基于众多的假设，其中的一些假设与
现实不相吻合
检验CAPM时，难以得到真正的市场组合， 致使CAPM不易被检验 一些经验结果与CAPM相悖
一、APT的提出
Stephen Ross在1976年提出了一种新的资本资产均 衡理论即套利定价理论（APT)
练习四
若无风险利率为6％，使用APT确定该股票的均衡收益率。 该股票价格是低估还是高估了？解释原因。
练习五
考虑有两个因素的多因素APT模型。股票A的期望 收益率为12.2%，假设股票A对因素1的β值为1.2，
对因素2的β值为0.6。因素1的风险价格为4%，无
风险收益率为5%。如果不存在套利机会，求因素2
APT对证券收益率的解释力更强，但在理论的严密性上相
对不足
APT模型更具体地表现为寻找套利机会
APT的假定少于CAPM，APT不需要市场组合，使其更
容易检验、适用性更强。—— APT成为CAPM的一个
较好的替代理论
六、APT的局限性
APT在实际应用上仍存在一些没解决的问题
因子识别问题。实践中因素的选择常具有经验性和随意
例如，若
bA bB 1， E(rA ) 10%, E(rB ) 8%
卖空价值100万元的组合Ｂ，同时将这卖空所得的
100万元投资于Ａ，就能套取2万元的无风险利润
投资学第7章
对于有不同敏感系数的充分分散化的组合，其预期收益 率中风险溢价部分必正比于敏感系数，不然也将发生无
的风险价格？
练习六
假定F1和F2为两个独立的经济因素。无风险收益率为6%，
并且，所有的股票都有独立的公司特有（风险）因素，
其标准差为45%。下面是优化的资产组合。
资产组合
F1的β值
F2的β值
期望收益率
A
B
1.5
2.2
2.0
-0.2
31%
27%
在这个经济体系中，试进行期望收益- β关系的分析。
四、无套利法则和无套利均衡
一价法则和等值等价法则统称为无套利法则
“一价法则”
“等值等价法则”
两种具相同风险的资产不能以不同的期望收益率出售，否则会
出现套利机会
在一个均衡的资本市场中，所有资产将遵循“无 套利法则”
无套利均衡分析方法是现代金融学研究的基本方
法，是定价理论中最基本的原则之一
r i 0 r j 0 1 bi bj
ri 0 1bi
证券的预期收益率与它 的影响因素线性相关
三、APT的意义
ri 0 bij j
j 1 m
若bij＝0，则资产为无风险资产，则
0 rf ri rf bij j
j 1
例：如何构造套利组合？
基于三个约束条件，可以构造无数个满足套利条件 的潜在套利组合
实例：假定一个投资者持有3种证券，其预期收益
率分别为15%、21%和12%，敏感度依次为0.9、3.0.
和1.8。假定每一种证券的市值为100万元，总市值
为300万元。
W1 W2 W3 0 0.9W1 3W2 1.8W3 0 0.15W1 0.21 W2 0.12W3 0
于均衡状态。 此时各证券的期望收益处于什么 状态呢？
投资学第5章
二、套利定价模型（APT Model）
（一）APT结构形式为一个均衡状态下的因素模型
罗斯是基于以下两点来推导APT模型的
（1）在一个有效市场中，当市场处于均衡状态时，不存在 无风险套利机会 （2）对一个高度多元化的资产组合来说，只有几个共同因 素需要补偿。证券i的收益率与这些共同因素的关系为：
“无风险套利”行为的特点
1、不承担风险：风险因素相抵消或近似无风险 2、瞬时性：当市场存在错误定价时，市场上的少 数理性投资者（不管其风险厌恶程度和财富水平如何） 都愿意持有一个无限的头寸，产生巨大的市场力量， 将价格推至均衡
套利的意义
套利是从纠正价格或收益率的异常中获利，在
一个高度竞争的、流动性强的市场中，套利行
（a）短期国库券可提供6%的收益率，如市场认为该股 票是公平定价的，求出该股票的期望收益率。
（b）假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市场 预测值，而实际值在第二列给出。在这种情况下，计算 该股票修正后的期望收益率。 要素 预期变化率(%) 实际变化率（％）
通货膨胀
行业生产 石油价格
5
3 2
4
6 0
无套利原则说明证券之间的价格可从技术角度予以
确定——金融工程的基本思路
APT逻辑核心：根据无套利均衡原则，在因素模
型下，具有相同因素敏感性的资产（组合）应提
供相同的期望收益率。否则，套利机会便产生， 投资者的套利行为将使套利机会消失，均衡价格 得以形成
第三节 单因素和 多因素APT模型
罗斯在提出APT时，首
m
若 bij≠0，则期望回报 ri 随着 bij 的增加而增加
在单因子条件下，有ri rf 1bi , i 1,..., n
APT告诉我们的是：对于组合中的任意不同证券 （单个证券）来说：
λ1
代表的是因素1的风险价格
结论：当不同证券关于特定因素的风险价格 相等时，则证券之间不存在套利机会
该模型由一个多因素收益生成函数导出，其理论基础为
一价定律
该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响因素，而
不象CAPM那样基于一个风险因子，这与许多经验结果 相吻合。而套利活动则保证了市场均衡的实现
APT对CAPM中的投资者风险厌恶等假设条件作了放松，
从而较CAPM具有更强的现实解释能力
二、APT的基本假设
有效的套利组合是有吸引力的,不需要额外资金、 无额外风险、收益为正
用数学表示就是：
w 0
i 1 i
n
为得到无风险证券组合，须消除因
子风险和非因子风险。满足下面三
个条件： （1）所包括的证券种类尽量多；
（2）组合中每个ωi足够小；
（3）对每个因子而言，所安排的 ωi使得组合的因子敏感度为零。
ri 0 bi11 bi 2 2 ... bik k
（二）套利定价模型推导
假设构造一个套利组合：以无风险利率借入1元钱，投资
在两种资产上，构造一个自融资组合。假设无风险利率
为 ，两个资产是i和j，在因素模型的假定下，套利组合 的收益为（忽略残差）：
ri r i bi F ei
两者的本质相同，都是证券的均衡收益率决定模型，研究对 象相同——风险资产的定价，应用的核心都是寻找价格被误 定的证券 在一定条件约束下，APT导出的风险收益关系与CAPM的结
论完全一样
存在一种经济环境，此时APT和CAPM的假设都成立，且收益率通
过单一因素（市场收益率）形成时， APT与CAPM是一致的