6.几种离散型变量的分布及其应用
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从阳性率为π 的总体中随机抽取n个个体，则 (1)最多有k例阳性的概率 P(x≤k)=P(0) + P(1) +……+ P(k) (2)最少有k例阳性的概率 P(x≥k)=P(k) + P(k+1) +……+ P(n) =1- P(x≤k-1) X=0,1,2,…,k,…,n
3.二项分布的图形B(n,π)
数为nπ次，这一结果较为符合人们的直观想法。如
果，生男孩这一事件的概率是1/2，则100个新生儿
中可期望有nπ =100×1/2=50个是男孩。
当用率表示时，µ＝π
（二）二项分布的性质
二项分布的方差：
n (1 )
2
二项分布的标准差：
n (1 )
标准差表示x取值的离散度或变异的大小。
5 10
[n! 为的阶乘 ,n!= n*(n-1)……*2*1, 0!=1]
②牛顿二项展开式：
(a b) a 2ab b
2 2
2
(a b) a 3a b 3ab b
3 3 2 2
Biblioteka Baidu
3
(a b)
n
n
? ? ? ? .......... ...
0 n 0 n n n 1 1 n 1 n
事件
成功（A）——失败（非A）
这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试验。
Bernoulli试验序列 n次Bernoulli试验构成了Bernoulli试验序列。 其特点（如抛硬币）：
(1)每次试验结果，只能是两个互斥的结果之一(A或非A)。 (2)每次试验的条件不变。即每次试验中，结果A发生的概率不变， 均为 π 。
第六章 几种离散型变量的 分布及其应用
第六章
离散型变量的分布及其应用
二项分布
Poisson分布 负二项分布（自学）
第一节
第二节 第三节
第一节 二项分布（贝努利分布） （Bernoulli distribution）
为纪念17世纪法国数学
家雅各布· 伯努利(Jacob
Bernoulli)（荷兰人）(1654～
值可以一一列举出来。 如：出生人数、死亡人数、有效人数
随机变量
概率分布
连续型
离散型
连续型分布 (u、t、F、χ2)
离散型分布(二项分布、poisson)
本讲的内容
二项分布
概念、性质、应用
泊松分布 概念、性质、应用
复习中学数学概念
①组合（ Combination ） : 从个 n 元素中抽取 x 个元素 组成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为
各种可能发生的结果对应的概率相当于展开后的各项数 值，即：
[ (1 )]n n n n 1 (1 ) n (1 )
n 1
n !/[ x !( n x )!]
n x
(1 )
x n
(1 )
前例：π =3 0.2，13 π = 0.8 2 ，n 1 = 3 [0.2 0.8] (0.2) 3(0.2) (0.8) 3(0.2)1(0.8)2 (0.8)3
B(n,π) →N(nπ, nπ(1-π)) 样本率 → N(π,π(1-π)/ n) → N(p, p(1-p)/ n) 总体率的CI: p±1.96.Sp
p±1.96.sp
p 1.96
p(1 p) / n
例：在某地随机抽取329人，做HBsAg检验，得阳性率为8.81%， 求阳性率95%置信区间。 已知：p=8.81%，n=329，故：
1705)而命名，1713年出版
《猜度术》，给出《伯努利数》、
《伯努利大数定律》。
随机变量(random variable)：指取值不
能事先确定的观察结果，通常简称为变量。
连续型变量：在一定区间内变量取值为无限个，或数
值无法一一列举。 如：身高、体重、血清转氨酶测定结果
离散型变量：在一定区间内变量取值为有限个，或数
例：对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部－壶腹 部吻合术后，观察其受孕情况，发现有7人受孕， 请估计该吻合术妇女受孕率的95％可信区间。
未孕率的95％CI：
注意：X>n/2时应以n-X查表 此例：n=13， n- x=6 查表得95%CI为：19%～75%。
25%~81%
(二)正态近似法：
应用条件：当n较大、 np及n(1−p)均≥5
抓中三个黑球的概率： P(3)=0.5×0.5×0.5=0.12 5
抓中两黑一白的概率： P(2)=3×0.125=0.375
定理：在几个互不相容的事件 中，任一事件发生的概率等于 这几个事件的概率之和。
表 3-4 3 只小白鼠各种试验结果及其发生概率（π =0.2，n=3） 白鼠存亡组合方式 排列方式 每种组合的概率 每种排列的概率 生存数 死亡数 P( X ) Cnx X (1 ) n X 甲 乙 丙 （X） （n-X） 3 0 0.008 生 生 生 0.2×0.2×0.2=0.008 生 生 死 0.2×0.2×0.8=0.032 2 1 0.096 生 死 生 0.2×0.8×0.2=0.032 死 生 生 0.2×0.8×0.2=0.032 生 死 死 0.8×0.2×0.8=0.128 1 2 0384 死 生 死 0.8×0.2×0.8=0.128 死 死 生 0.8×0.8×0.2=0.128 0 3 0.512 死 死 死 0.8×0.8×0.8=0.512
s p p(1 p) / n 0.0881(1 0.0881) / 329 0.0156 1.56%
95%CI：8.81±1.96×1.56；即5.75%～11.87%。
（二） 样本率和总体率的比较 （1）直接计算概率法（当π偏离0.5较远时） 例1 某医院用甲药治疗某病 ，其治愈率为 70% ，今用乙药治疗该病 10 人，治愈 9 人，问乙药疗 效是否优于甲药？ 已知： π =0.7，1- π =0.3，假设两药疗效无 差别，则治愈与非治愈的概率应符合二项分布，即：
( a b) C a b C a b C a b C a b
n k 0 n 1 n 1 1 n k n k n 0
C a b
2 n
2 n 2
...
C ab
n k
Bernoulli试验 毒性试验：白鼠 临床试验：病人 临床化验：血清 死亡——生存 治愈——未愈 阳性——阴性
图D n=30,π =0.3
二项分布总体不同样本例数时的抽样分布
二、二项分布的应用
（一）总体率的区间估计 （二）样本率与总体率的比较 （三）两样本率的比较 （四）研究非遗传性疾病的家族集聚性
（一）总体率的估计
有点值估计和区间估计。 ( 一) 查表法：当 n较小，如n≤50时，特别是p 很接近于 0 或 1 时，可由Ｐ 817附表 6百分率的可信区间表直接查出。 例：某地调查 50 名儿童蛔虫感染情况，发现有 10 人大便中有蛔虫卵，问儿童蛔虫感染率的 95% 可信 区间是多少？ 此例：n=50，x=10 查表得95%CI为：10%～34%。
sp
p(1 p) n
二项分布的均数和标准差用绝对数表示：
x n x n 1 二项分布的均数和标准差用相对数表示：
p p
sp
1
n p 1 p n
（二）二项分布的性质
2.二项分布的累计概率 常用的有左侧累计和右侧累计2种方法。
二项分布(binomial distribution) ：指在只会产生
两种可能结果如“阳性”或“阴性”之一的n次独立
重复试验(Bernoulli试验)中，当每次试验的“阳性”
概率保持不变时，出现阳性的次数X＝0，1，2,…,n
的一种概率分布。
X~B(n,π)
定理：几个相互独立事件 同时发生的概率等于各独 立事件的概率之积。
P( X ) 1
x 0
n
n次Bernoulli试验中出现X次阳性的概率：
P( x) C (1 )
x n x
n x
n! x n x (1 ) x !(n x)!
X＝0,1,2,…,n
二项分布的概率公式
如果一个事件 A ，在 n 次独立试验中，每次试验都具 有概率π ，那么，这一事件A将在n次试验中出现x次 的概率为：
0.4
0.4
P(X)
P(X)
0.3
0.3 0.2 0.1
0.2
0.1
0
0 0 1
0
1
2
3
4
5 X
图A n=5,π =0.5
2
3
4
5 X
图B n=5, π =0.3
P(X)
0.4
P(X)
0.2
0.3 0.2 0.1 0 0 1
0.1
0
图C n=5,π =0.7
2
3
4
5 X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X
n n! C x x !(n x)!
x n
3 3! 3 2 1 C 3 2 2!(3 2)! 2 11
2 3
10 10! 10 9 8 7 6 5! C 252 5 5!(10 5)! 5! (5 4 3 2 1)
二项分布的图形，取决于两个方面，其一为事
件发生的概率π ，其二为样本含量n。
当π =1- π =1/2时，二项分布的图形是对称的；
当π <1/2时，二项分布的图形呈正偏态；
当π >1/2时，二项分布的图形呈负偏态；
当π与1- π不变时，即使π ≠1- π ，但随着n的增大，二
项分布的的偏态程度会逐渐降低而趋于对称。
[ (1 )]n [0.7 0.3]10
[0.7 0.3]10
0 1 2 3 C10 (0.7)0 (0.3)10 C10 (0.7)1 (0.3)9 C10 (0.7)2 (0.3)8 C10 (0.7) 3 (0.3) 7 4 5 6 7 C10 (0.7)4 (0.3)6 C10 (0.7)5 (0.3)5 C10 (0.7)6 (0.3)4 C10 (0.7)7 (0.3) 3 8 9 10 C10 (0.7)8 (0.3)2 C10 (0.7)9 (0.3)1 C10 (0.7)10 (0.3)0
P( x) C (1 )
x n x
n x
,( x 1, 2, 3......n)
n! C 式中： x !( n x )!
x n
称二项系数。
一、二项分布的适用条件和性质
（一）二项分布的适用条件：
即分别发生两种结果的概率之和恒等于1。
1. 各观察单位只能具有互相对立的一种结果，属于二项分类资料；
如n=5，π=5/6，1-π=1-5/6，则：
n (1 ) 5 5 6 1 6 0.8333
（二）二项分布的性质
二项分布的标准误 若以比值或百分数表示，则标准误为 :
p (1 )
n
σp被称为率的标准误（standard error of rate），用来反映随机抽样获得的样本率p与总体π之 间的抽样误差大小。 实际工作中常用p作为π 的估计值，得：
0.000006 0.000138 0.001447 0.009002 0.036757 0.102919 0.200121 0.266828 0.233474 0.121061 0.028248
(3)各次试验独立。即一次试验出现什么样的结果与前面已出现的
结果无关。
二项分布的概念
在生命科学研究中，经常会遇到一些事物，其结果可分 为两个彼此对立的类型，如一个病人的死亡与存活；动物的雌与 雄；微生物培养的阳性与阴性；某种药物治疗某种非传染性疾病 的疗效分为有效与无效等，这些都可以根据某种性状的出现与否 而分为非此即彼的对立事件。这种非此即彼事件构成的总体，就 称为二项总体（binomial population）。
2. 已知发生某一结果的概率为 π，其对立结果的概率则为1-π 。
实际工作中要求π是从大量观察中获得的比较稳定的数值；
3. n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结
果不会影响到其它观察单位的结果。
（二）二项分布的性质
1.二项分布的均数和标准差 二项分布的平均数：μ=nπ
意义：做n次独立试验，某事件平均出现的次
3.二项分布的图形B(n,π)
数为nπ次，这一结果较为符合人们的直观想法。如
果，生男孩这一事件的概率是1/2，则100个新生儿
中可期望有nπ =100×1/2=50个是男孩。
当用率表示时，µ＝π
（二）二项分布的性质
二项分布的方差：
n (1 )
2
二项分布的标准差：
n (1 )
标准差表示x取值的离散度或变异的大小。
5 10
[n! 为的阶乘 ,n!= n*(n-1)……*2*1, 0!=1]
②牛顿二项展开式：
(a b) a 2ab b
2 2
2
(a b) a 3a b 3ab b
3 3 2 2
Biblioteka Baidu
3
(a b)
n
n
? ? ? ? .......... ...
0 n 0 n n n 1 1 n 1 n
事件
成功（A）——失败（非A）
这类“成功─失败型”试验称为Bernoulli试验。
Bernoulli试验序列 n次Bernoulli试验构成了Bernoulli试验序列。 其特点（如抛硬币）：
(1)每次试验结果，只能是两个互斥的结果之一(A或非A)。 (2)每次试验的条件不变。即每次试验中，结果A发生的概率不变， 均为 π 。
第六章 几种离散型变量的 分布及其应用
第六章
离散型变量的分布及其应用
二项分布
Poisson分布 负二项分布（自学）
第一节
第二节 第三节
第一节 二项分布（贝努利分布） （Bernoulli distribution）
为纪念17世纪法国数学
家雅各布· 伯努利(Jacob
Bernoulli)（荷兰人）(1654～
值可以一一列举出来。 如：出生人数、死亡人数、有效人数
随机变量
概率分布
连续型
离散型
连续型分布 (u、t、F、χ2)
离散型分布(二项分布、poisson)
本讲的内容
二项分布
概念、性质、应用
泊松分布 概念、性质、应用
复习中学数学概念
①组合（ Combination ） : 从个 n 元素中抽取 x 个元素 组成一组（不考虑其顺序）的组合方式个数记为
各种可能发生的结果对应的概率相当于展开后的各项数 值，即：
[ (1 )]n n n n 1 (1 ) n (1 )
n 1
n !/[ x !( n x )!]
n x
(1 )
x n
(1 )
前例：π =3 0.2，13 π = 0.8 2 ，n 1 = 3 [0.2 0.8] (0.2) 3(0.2) (0.8) 3(0.2)1(0.8)2 (0.8)3
B(n,π) →N(nπ, nπ(1-π)) 样本率 → N(π,π(1-π)/ n) → N(p, p(1-p)/ n) 总体率的CI: p±1.96.Sp
p±1.96.sp
p 1.96
p(1 p) / n
例：在某地随机抽取329人，做HBsAg检验，得阳性率为8.81%， 求阳性率95%置信区间。 已知：p=8.81%，n=329，故：
1705)而命名，1713年出版
《猜度术》，给出《伯努利数》、
《伯努利大数定律》。
随机变量(random variable)：指取值不
能事先确定的观察结果，通常简称为变量。
连续型变量：在一定区间内变量取值为无限个，或数
值无法一一列举。 如：身高、体重、血清转氨酶测定结果
离散型变量：在一定区间内变量取值为有限个，或数
例：对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部－壶腹 部吻合术后，观察其受孕情况，发现有7人受孕， 请估计该吻合术妇女受孕率的95％可信区间。
未孕率的95％CI：
注意：X>n/2时应以n-X查表 此例：n=13， n- x=6 查表得95%CI为：19%～75%。
25%~81%
(二)正态近似法：
应用条件：当n较大、 np及n(1−p)均≥5
抓中三个黑球的概率： P(3)=0.5×0.5×0.5=0.12 5
抓中两黑一白的概率： P(2)=3×0.125=0.375
定理：在几个互不相容的事件 中，任一事件发生的概率等于 这几个事件的概率之和。
表 3-4 3 只小白鼠各种试验结果及其发生概率（π =0.2，n=3） 白鼠存亡组合方式 排列方式 每种组合的概率 每种排列的概率 生存数 死亡数 P( X ) Cnx X (1 ) n X 甲 乙 丙 （X） （n-X） 3 0 0.008 生 生 生 0.2×0.2×0.2=0.008 生 生 死 0.2×0.2×0.8=0.032 2 1 0.096 生 死 生 0.2×0.8×0.2=0.032 死 生 生 0.2×0.8×0.2=0.032 生 死 死 0.8×0.2×0.8=0.128 1 2 0384 死 生 死 0.8×0.2×0.8=0.128 死 死 生 0.8×0.8×0.2=0.128 0 3 0.512 死 死 死 0.8×0.8×0.8=0.512
s p p(1 p) / n 0.0881(1 0.0881) / 329 0.0156 1.56%
95%CI：8.81±1.96×1.56；即5.75%～11.87%。
（二） 样本率和总体率的比较 （1）直接计算概率法（当π偏离0.5较远时） 例1 某医院用甲药治疗某病 ，其治愈率为 70% ，今用乙药治疗该病 10 人，治愈 9 人，问乙药疗 效是否优于甲药？ 已知： π =0.7，1- π =0.3，假设两药疗效无 差别，则治愈与非治愈的概率应符合二项分布，即：
( a b) C a b C a b C a b C a b
n k 0 n 1 n 1 1 n k n k n 0
C a b
2 n
2 n 2
...
C ab
n k
Bernoulli试验 毒性试验：白鼠 临床试验：病人 临床化验：血清 死亡——生存 治愈——未愈 阳性——阴性
图D n=30,π =0.3
二项分布总体不同样本例数时的抽样分布
二、二项分布的应用
（一）总体率的区间估计 （二）样本率与总体率的比较 （三）两样本率的比较 （四）研究非遗传性疾病的家族集聚性
（一）总体率的估计
有点值估计和区间估计。 ( 一) 查表法：当 n较小，如n≤50时，特别是p 很接近于 0 或 1 时，可由Ｐ 817附表 6百分率的可信区间表直接查出。 例：某地调查 50 名儿童蛔虫感染情况，发现有 10 人大便中有蛔虫卵，问儿童蛔虫感染率的 95% 可信 区间是多少？ 此例：n=50，x=10 查表得95%CI为：10%～34%。
sp
p(1 p) n
二项分布的均数和标准差用绝对数表示：
x n x n 1 二项分布的均数和标准差用相对数表示：
p p
sp
1
n p 1 p n
（二）二项分布的性质
2.二项分布的累计概率 常用的有左侧累计和右侧累计2种方法。
二项分布(binomial distribution) ：指在只会产生
两种可能结果如“阳性”或“阴性”之一的n次独立
重复试验(Bernoulli试验)中，当每次试验的“阳性”
概率保持不变时，出现阳性的次数X＝0，1，2,…,n
的一种概率分布。
X~B(n,π)
定理：几个相互独立事件 同时发生的概率等于各独 立事件的概率之积。
P( X ) 1
x 0
n
n次Bernoulli试验中出现X次阳性的概率：
P( x) C (1 )
x n x
n x
n! x n x (1 ) x !(n x)!
X＝0,1,2,…,n
二项分布的概率公式
如果一个事件 A ，在 n 次独立试验中，每次试验都具 有概率π ，那么，这一事件A将在n次试验中出现x次 的概率为：
0.4
0.4
P(X)
P(X)
0.3
0.3 0.2 0.1
0.2
0.1
0
0 0 1
0
1
2
3
4
5 X
图A n=5,π =0.5
2
3
4
5 X
图B n=5, π =0.3
P(X)
0.4
P(X)
0.2
0.3 0.2 0.1 0 0 1
0.1
0
图C n=5,π =0.7
2
3
4
5 X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X
n n! C x x !(n x)!
x n
3 3! 3 2 1 C 3 2 2!(3 2)! 2 11
2 3
10 10! 10 9 8 7 6 5! C 252 5 5!(10 5)! 5! (5 4 3 2 1)
二项分布的图形，取决于两个方面，其一为事
件发生的概率π ，其二为样本含量n。
当π =1- π =1/2时，二项分布的图形是对称的；
当π <1/2时，二项分布的图形呈正偏态；
当π >1/2时，二项分布的图形呈负偏态；
当π与1- π不变时，即使π ≠1- π ，但随着n的增大，二
项分布的的偏态程度会逐渐降低而趋于对称。
[ (1 )]n [0.7 0.3]10
[0.7 0.3]10
0 1 2 3 C10 (0.7)0 (0.3)10 C10 (0.7)1 (0.3)9 C10 (0.7)2 (0.3)8 C10 (0.7) 3 (0.3) 7 4 5 6 7 C10 (0.7)4 (0.3)6 C10 (0.7)5 (0.3)5 C10 (0.7)6 (0.3)4 C10 (0.7)7 (0.3) 3 8 9 10 C10 (0.7)8 (0.3)2 C10 (0.7)9 (0.3)1 C10 (0.7)10 (0.3)0
P( x) C (1 )
x n x
n x
,( x 1, 2, 3......n)
n! C 式中： x !( n x )!
x n
称二项系数。
一、二项分布的适用条件和性质
（一）二项分布的适用条件：
即分别发生两种结果的概率之和恒等于1。
1. 各观察单位只能具有互相对立的一种结果，属于二项分类资料；
如n=5，π=5/6，1-π=1-5/6，则：
n (1 ) 5 5 6 1 6 0.8333
（二）二项分布的性质
二项分布的标准误 若以比值或百分数表示，则标准误为 :
p (1 )
n
σp被称为率的标准误（standard error of rate），用来反映随机抽样获得的样本率p与总体π之 间的抽样误差大小。 实际工作中常用p作为π 的估计值，得：
0.000006 0.000138 0.001447 0.009002 0.036757 0.102919 0.200121 0.266828 0.233474 0.121061 0.028248
(3)各次试验独立。即一次试验出现什么样的结果与前面已出现的
结果无关。
二项分布的概念
在生命科学研究中，经常会遇到一些事物，其结果可分 为两个彼此对立的类型，如一个病人的死亡与存活；动物的雌与 雄；微生物培养的阳性与阴性；某种药物治疗某种非传染性疾病 的疗效分为有效与无效等，这些都可以根据某种性状的出现与否 而分为非此即彼的对立事件。这种非此即彼事件构成的总体，就 称为二项总体（binomial population）。
2. 已知发生某一结果的概率为 π，其对立结果的概率则为1-π 。
实际工作中要求π是从大量观察中获得的比较稳定的数值；
3. n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结
果不会影响到其它观察单位的结果。
（二）二项分布的性质
1.二项分布的均数和标准差 二项分布的平均数：μ=nπ
意义：做n次独立试验，某事件平均出现的次