加速度合成定理.ppt
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理论力学_点的合成运动_点的加速度合成定理_
8-4 点的加速度合成定理三种加速度(相对于三种运动,瞬时量)绝对加速度动点相对静系运动的加速度相对加速度动点相对动系运动的加速度牵连加速度牵连点的加速度8-4点的加速度合成定理a a r a e a动点--M 点定系--OXYZ动系--O ˊXˊYˊZˊ牵连点—动系O ˊXˊYˊZˊ上M 点M O r r r ''=+r x i y j z k '''''''=++为常矢量，，其中考虑到考虑到则M a O dr v r x i y j z k x i y j z k dt '''''''''''''==++++++eO O edv dv a a dt dt ''===r rr dv dv a dt dt==点的加速度合成定理—当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
2222222222o M a d r d r d x d y d z a i j k dt dt dt dt dt '''''''==+++a e r a a a =+上式中每一个矢量都有大小和方向两个要素，因此上式总共包含有12个要素，其中若仅有两个要素是未知的，则此矢量式可解。
由于加速度包括沿轨迹切线方向的切向加速度和沿主法线方向的法向加速度两个分量，所以在最一般的情况下练习1凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示。
设凸轮半v a径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为和。
求杆AB在图示位置时的加速度。
解：取动点和动系动点：顶杆AB上的A点动系：固结凸轮上的参考系绝对运动：铅垂方向直线运动相对运动：半圆周运动牵连运动：水平直线平移8该瞬时杆AB 的速度方向向上练习1—速度分析绝对速度：大小未知，方向沿杆AB 向上牵连速度：，方向水平向右相对速度：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线根据速度合成定理ϕϕsin sin e r vv v ==a v e v r v e v v =练习1—加速度分析绝对加速度：大小未知，方向沿直线AB 牵连加速度：，沿水平方向相对加速度法向分量：，沿着，指向半圆板圆心相对加速度切向分量：大小未知，垂直于，假设指向右下a a e a e a a OA OA O。
8-4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理
由图中几何关系可得：
ve va sin vr va cos
Q O1A l2 r2 2r 300
ve r / 2 vr 3r / 2
Q ve 1g2r 1 / 4
(2)求角加速度ε1
x
uuv ak
ω
uuv ae
uuvφ
uuv ar
v
aa uuv
aen
φ
ω1
1
10
作加速度图
aa 2r
ae r ve
相对加速度
uuv •• v •• uv •• uuv ar x 'i ' y ' j ' z ' k '
2
根据速度合成定理，有
uuv uv uuv
va ve vr
k' j' r'
将上式两边对时间t求导，可得
绝对速度 其中：
uuv aa
uuv d va dt
uv d ve dt
uuv d vr dt
ε
ωr
i'
ro'
k
o
ij
uv
uv
v
dve
dt
d dt
uv v
r
d
dt
v uv
r
dr dt
v v uv uuv
r va
v v uv uv uuv v v uv uv uv uuv uuv uv uuv
r
uuv d vr dt
d dt
•
x
'
ve
v i'
•
R
ak 21vr 2 2R
y
根据牵连运动为定轴转动时
ve va sin vr va cos
Q O1A l2 r2 2r 300
ve r / 2 vr 3r / 2
Q ve 1g2r 1 / 4
(2)求角加速度ε1
x
uuv ak
ω
uuv ae
uuvφ
uuv ar
v
aa uuv
aen
φ
ω1
1
10
作加速度图
aa 2r
ae r ve
相对加速度
uuv •• v •• uv •• uuv ar x 'i ' y ' j ' z ' k '
2
根据速度合成定理，有
uuv uv uuv
va ve vr
k' j' r'
将上式两边对时间t求导，可得
绝对速度 其中：
uuv aa
uuv d va dt
uv d ve dt
uuv d vr dt
ε
ωr
i'
ro'
k
o
ij
uv
uv
v
dve
dt
d dt
uv v
r
d
dt
v uv
r
dr dt
v v uv uuv
r va
v v uv uv uuv v v uv uv uv uuv uuv uv uuv
r
uuv d vr dt
d dt
•
x
'
ve
v i'
•
R
ak 21vr 2 2R
y
根据牵连运动为定轴转动时
理论力学课件 加速度合成定理及其应用
a 30° e
A
120°
aan
arn
η
ae
=
aa
cos 60o + arn cos 30o
= 1579× 0.5 +1579 3/2
= 2740 cm/s2 = 27.4 m/s2
7-4 加速度合成定理及其应用
点的合成运动加速度分析的解题及分析步骤 1、正确的选择动点和动系，动系为转动有科氏加速度。
的速度和加速度。
解 ： 动 点 A(OA) ， 动 系 BCD(平移)。
ω = nπ = 4π rad/s
30
va
ve n
O
vr
B
A
ϕ
O1
D
vva = vve + vvr
ϕ
R
C
va = ω ⋅OA = 125.6 cm/s
ve = vr = va = 125.6 cm/s vBCD = ve = 125.6 cm/s
为R = 3e ， 以 匀 角 速 度 ω 绕 O 轴 转
动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的
B
端 点 A 始 终 与 凸 轮 接 触 ， 且 OAB 成 一 直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB
va
vr
的速度和加速度。
A
解：动点A点(AB) ，动系凸轮(定轴转 ve
动)
θ
vva = vve + vvr
的速度和加速度。
分析
动 点 A(OA) ， 动 系 BCD( 平
B
移)。 绝对运动：绕O圆周运动
n O
A
ϕ
O1
D
ϕ
相对运动：绕O1圆周运动
R C
点的加速度合成定理
静系取在地面上动系取在杆上则?1rlve??21?rlae???222rlve??2222?rlae??oo????1m2m1ev?1ea?2ev?2ea?重点要弄清楚牵连点的概念82点的速度合成定理rmrormmojkiyzxxyzomo????rrrxyz?????????rijkmm??rrddrxyzt?????????rvijk动系上与动点重合的点牵连点在定系中的矢径记为rm在图示瞬时有相对速度vr是动点相对于动参考系的速度因此ijk是常矢量
4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系；
6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
第十二页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度
与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
度 转动，圆盘半径为r，绕
轴以o角 速度 转动。求圆盘边
ve2
缘 和 点的M牵1 连速M 2度和加速 M 2
ae2 ve1
ae1
o
度。
o M1
解：静系取在地面上，动系取在
杆上，则
ve1 (l r) ae1 (l r) 2
ve2 l 2 r 2
重点要弄清楚牵 连点的概念
ae2 l 2 r 2 2
第七页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.2 点的速度合成定理
rM rO r r = xi yj zk
z M(M')
动系上与动点重合的点(牵连点)在定 系中的矢径记为rM' ，在图示瞬时有
rM rM
动点的相对速度vr为
vr
=
dr dt
=
xi
4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系；
6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
第十二页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度
与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
度 转动，圆盘半径为r，绕
轴以o角 速度 转动。求圆盘边
ve2
缘 和 点的M牵1 连速M 2度和加速 M 2
ae2 ve1
ae1
o
度。
o M1
解：静系取在地面上，动系取在
杆上，则
ve1 (l r) ae1 (l r) 2
ve2 l 2 r 2
重点要弄清楚牵 连点的概念
ae2 l 2 r 2 2
第七页，编辑于星期日：十三点 十分。
8.2 点的速度合成定理
rM rO r r = xi yj zk
z M(M')
动系上与动点重合的点(牵连点)在定 系中的矢径记为rM' ，在图示瞬时有
rM rM
动点的相对速度vr为
vr
=
dr dt
=
xi
点的加速度合成定理（精品）
点的加速度合成定理点的合成运动中，加速度之间的关系比较复杂，因此，我们由简单到复杂，先分析动系作平移的情形。
即先研究牵连运动为平动时的加速度合成定理，然后再介绍牵连运动为转动时的加速度合成定理。
一．牵连运动为平移时点的加速度合成定理设O ´x ´y ´z ´为平移参考系，由于x ´、y ´、z ´各轴方向不变，可使与定坐标轴x 、y 、z 分别平行。
其中动点M 相对于动系的相对坐标为 x ´、y ´、z ´，由于 i ´、j ´、k ´ 为平移动坐标轴的单位常矢量，则点M 的相对速度和相对加速度为（１） （２）利用点的速度合成定理及牵连运动为平移而得到：两边对时间求导，并注意到因动系平移 ，故i ´、j ´、k ´ 为常矢量，于是得到其中e O O a a V==11/，所以有：r e a a a a += （３）这就是牵连运动为平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
例 题 １如下图所示，铰接四边形O 1A=O 2B=100mm ， O 1O 2=AB ，杆O 1A 以等角速度 ω=2rad/s 绕轴O 1转动。
AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
试求:当 ϕ=60º时，CD 杆的加速度。
k j i v ''+''+''=z y x rk j i a ''+''+''=z y x r k j i vv ''+''+''+='z y xO a k j i v a ''+''+''+='zy x O a解：1. 运动分析动点：CD 上的C 点； 动系：固连于AB 杆于是三种运动分别为：绝对运动：Ｃ点的上下直线运动； 相对运动：Ｃ点沿AB 直线运动；牵连运动：随AB 杆铅垂平面内曲线平移2.加速度分析：其中由于动系作平移，故动系AB 杆上各点的加速度相同，因此动系AB 杆上与动点套筒C 相重合点C1的加速度即牵连加速度，如下图所示，则:22!1/4.0s m A O a a a A c e =*===ω由平行四边形法则，得2/346.0sin s m a a a e a CD =*==ϕ二．牵连运动为转动时点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，加速度合成定理与牵连运动为平移时所得到的结果是不相同的。
点的合成运动(相对牵连绝对运动)(课堂PPT)
相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动;
牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线;
绝对速度va 的大小,方向待 求
由速度合成定理：va ve vr
作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为
vA va ve 2 vr 2 v平2 v2
tg 1
v v平
1
15
[例2] 曲柄摆杆机构
已知：OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1
1
28
选点M为动点，动系固结与圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动
ve R, ae 2 R
（方向如图）
相对运动为匀速圆周运动，
有vr
常数, ar
vr 2 R
（方向如图）
由速度合成定理可得出
va ve vr R vr 常数
即绝对运动也为匀速圆周运动，所以
aa
va 2 R
(R vr 2
R
)
R
2
vr 2 R
之间的关系。 一．证明
当t t+△t AB A'B' M M'
也可看成M M１ M´
MM ' 为绝对轨迹
MM ' 为绝对位移
M1M ' 为相对轨迹
M1M ' 为相对位移
MM' ＝ MM 1 ＋ M1M '
将上式两边同除以t 后，
取
t 0
时的极限，得
lim
t 0
MM t
lim
t0
MM1 t
lim
t0
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
1
19
动点、动系和静系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，
牵连运动为平动的加速度合成定理
THEORY MECHANICS
电子教案
第九章 点的合成运动
太原理工大学理学院 王晓君
9.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
如图，设 Oxyz为平动参考系，动点M相对
于动系的相对坐标为 x、 y 、z ，则动点M
的相对速度和加速度为
vr
ar
xi yj zk
xi yj zk
x
z
o
z
ar
ok
M
aa y
ae
x i j
y
由点的速度合成定理有： va ve vr
两边对时间求导，得：
动系平动时有： vr
va ve vr
xi yj
所以
aa
1 3
(ae
2arn
aan
)
3 (a v2 ) 3r
9.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
故OA杆的角加速度
OA
aa OA
3 (a v2 ) 3r r
THE END
谢 谢！
A
，
O1
由 va ve ，v将r 各矢量投影到投影轴上，得
va cos ve vr cos va sin vr sin
9.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
解得：
va
vr
ve
2 c os
v 2 c os30
v 3
3v 3
OA杆的角速度为
OA
va OA
3v 3r
动点的加速度合成矢量图如图。
电子教案
第九章 点的合成运动
太原理工大学理学院 王晓君
9.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
如图，设 Oxyz为平动参考系，动点M相对
于动系的相对坐标为 x、 y 、z ，则动点M
的相对速度和加速度为
vr
ar
xi yj zk
xi yj zk
x
z
o
z
ar
ok
M
aa y
ae
x i j
y
由点的速度合成定理有： va ve vr
两边对时间求导，得：
动系平动时有： vr
va ve vr
xi yj
所以
aa
1 3
(ae
2arn
aan
)
3 (a v2 ) 3r
9.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
故OA杆的角加速度
OA
aa OA
3 (a v2 ) 3r r
THE END
谢 谢！
A
，
O1
由 va ve ，v将r 各矢量投影到投影轴上，得
va cos ve vr cos va sin vr sin
9.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
解得：
va
vr
ve
2 c os
v 2 c os30
v 3
3v 3
OA杆的角速度为
OA
va OA
3v 3r
动点的加速度合成矢量图如图。
工程力学-加速度合成定理
10
例题
例 题6
§3 复合运动
解：1. 运动分析: 杆OA定轴转动，杆AB一般平面
O
运动，滑块B水平平动。
OA
2.动点动系选择: 动点----滑块B，
l
r
Bve
va
动系----固连于杆OA 动系的牵连运动—绕O轴定
A
3l
轴转动
vr
动点绝对运动轨迹--水平直线，
动点相对运动轨迹—以A为圆心，AB为半径的圆周
3.速度分析: va
方向 ✓
大小 ？
v由e 动点vB的r 速度合成由关于系vr 3lr 故得：
✓
✓
va vr tan lr ()
OB·OA? AB·r
OA
ve 2l
vr
2l cos
r
()
11
例题
例 题6
§3 复合运动
3. 加速度分析： 由动点加速度合成关系
aa
ae
aen
a0r
arn
牵连点为套筒上C点(动系定轴转动转轴)
a科
aeC' 0
C’ earCv' ac' vrc'
故动点C’的 加速度： aaC' arC' a科
26
牵连加速度 ae ----动系中与动点M重合的m点（牵
连点）相对于定系的绝对加速度 科氏加速度 ac ----为动点的相对速度与动系的牵连
角速度共同引起的附加加速度
动ac系及动 点在科科同氏氏一加加平速速面度度内的的作方大平向小面：运由a动vcr时的:2方e向vr随 e 的转
e vr
动方向旋转90º后得到
60º
OA，O1B杆为定轴转动，CD杆水平 平移，AB杆一般平面运动，套筒C复 合运动。
三加速度合成定理
例11
机构如图，销钉Ｍ能在ＤＢＥ杆的竖直槽内滑动，又能在ＯＡ
槽内滑动，现ＤＢＥ以匀速度v ＝２０cm／ｓ向右平动。ＯＡ杆 以匀角速度ω＝ 2 rad／ｓ转动。当θ＝４５°时，Ｍ点运动 到图示位置，Ｌ＝３０cm。试求此瞬时销钉Ｍ的速度和加速度。
解: 动点:Ｍ 动系:ＯＡ
动点:Ｍ 动系:DBE
vM
ve1
aA
(3b OA ) 2
(3bOA2 )2
0.676 v2 b
如动点选在OA杆上的M点（与点B重合）结果如何? A
y
va ve vr
aaτ
aan
ae
arτ
arn
ac
x
M B
O
300
b
v
求速度和加速度因轨
迹变化复杂，相对速 度和相对法向加速度 无法求解，导致其他 速度和加速度解不出, 因此动点选取时应选 该动点不变的点，如 直角端点为动点。
l
l
O2 D
2
l
r 2tan 3
l
r
r
l
2
tan
31
2
l
r
例9
曲柄绕O转动，并通过滑块M带动滑槽绕O’摆动，已 知:匀，试求:摆杆摆动到300时的角加速度a1 。
解： 动点：滑块M 动系：摆杆
va ve vr
y’ 0 rM
vasin 300 = ve
ve =vasin 300 = r/2 1 =ve /(2r)=/4
三、加速度合成定理
z
由速度合成定理 va vr ve
将上式两边对时间求导数，得
vr
M M
r y vo
z
o
aa
合成运动--加速度合成
va r0 vevar0
ve r 0 DB l
⑷ 牵连运动为平移，由加速度
合成定理
aa
ae ar
得
aaaenaet ar
大小 √ √ ？ ？ B 方向 √ √ √ √
y'
A
aenDC 0 30
ar
E
60
x'
aet O aa
aa r02
2）取套筒B为动点，动参考系与滑枕CD固连。相对运动是套筒 B沿滑杆的竖直直线运动，牵连运动是滑枕CD的水平平动，绝 对运动是套筒B绕O2的圆周运动。由速度合成定理 可得：
解：⑴ 取曲柄OA上的A点为动点，动系在丁字杆上
⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
va
ve
vr
D A
牵连运动：平移
O
⑶
由速度合成定理
va
ve
vr，
B
C
作速度平行四边形
E
va ve vr
va r
大小 √ ？ ？ 方向 √ √ √
vevasinrsin
在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。 OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上
⑵ 研究三种运动
x'
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动源自 veva
B
vr
牵连运动：转动
O
A
⑶
由速度合成定理
va
ac
21vr
2r3 2l
(r2 l2 )3
2
7.3、加速度合成定理
ak 0.4
10
大小: √ √ √ √ ? ? 方向: √ √ √ √ √ √ t n t x : 0 a a cos 30 a a e e cos 60 ar sin 30 ak cos30 n n t y : a 0 a sin 30 a a e e sin 60 ar cos30 ak sin 30 t 0.2 0.2 cos30 ae cos60 ar sin 30 0.4 cos30 t 0 . 4 0 . 2 sin 30 a e sin 60 ar cos30 0.4 sin 30 2 11 AB e 1.58(rad / s )
ar 0.377
aa 1.178 (实际方向与 图示假设方向相反)
16
习题4 AB杆的A端沿水平线向右作匀加速直线运 动; 运动过程中该杆始终与半圆凸轮相切;求图示 时刻AB杆的角加速度; r 0.1m 30 v 动系 :AB杆; 牵连点:动系中o点;
7.3 加速度合成定理
1 动点的加速度合成定理 动系: xa cya 定系: xoy 动点:质点M t时刻牵连点:m点 t+△t时刻牵连点:m2点
(m点与m2点是动系中两个不同的点) t时刻牵连点(m点)在t+△t时刻对应于m1点; m点
va ve vr t时刻动点的绝对速度： m2点 t+△t时刻动点的绝对速度：va 2 ve 2 vr 2
? √
√ √ √ √ ? √ :大小 :方向
a 119.72
n r
7
60 v 3m / s
解 动点:AB杆A端点;动系:凸轮车;
10
大小: √ √ √ √ ? ? 方向: √ √ √ √ √ √ t n t x : 0 a a cos 30 a a e e cos 60 ar sin 30 ak cos30 n n t y : a 0 a sin 30 a a e e sin 60 ar cos30 ak sin 30 t 0.2 0.2 cos30 ae cos60 ar sin 30 0.4 cos30 t 0 . 4 0 . 2 sin 30 a e sin 60 ar cos30 0.4 sin 30 2 11 AB e 1.58(rad / s )
ar 0.377
aa 1.178 (实际方向与 图示假设方向相反)
16
习题4 AB杆的A端沿水平线向右作匀加速直线运 动; 运动过程中该杆始终与半圆凸轮相切;求图示 时刻AB杆的角加速度; r 0.1m 30 v 动系 :AB杆; 牵连点:动系中o点;
7.3 加速度合成定理
1 动点的加速度合成定理 动系: xa cya 定系: xoy 动点:质点M t时刻牵连点:m点 t+△t时刻牵连点:m2点
(m点与m2点是动系中两个不同的点) t时刻牵连点(m点)在t+△t时刻对应于m1点; m点
va ve vr t时刻动点的绝对速度： m2点 t+△t时刻动点的绝对速度：va 2 ve 2 vr 2
? √
√ √ √ √ ? √ :大小 :方向
a 119.72
n r
7
60 v 3m / s
解 动点:AB杆A端点;动系:凸轮车;
加速度合成定理
va ve vr ? ?
大小 r
方向 √ √ √
已知：OA 常数, OA r , OO1 l , OA水平, 求：1
ve va sin
r
2
vr va cos
l r rl
2
2
ve ve r 2 1 2 2 2 2 O1 A l r l r
√
大小
?
方向 √ √
已知： 0 常数, O, A, B共线, OA l , A A , CAO , 求：v AB , a AB
va ve tan l tan
3 加速度 a a a t a e r
vr
arn aC
ve
cos
l
例8-1 如图所示平面机构中，曲柄OA=r,以匀 角速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。
已知：BC=DE，且BD=CE=l。 OAC 30
求：图示位置时（BD与铅直方向成60度）， 杆BD的角速度和角加速度。
已知：OA 0 常数, OA r , BC DE , BD CE l , 求： BD , BD
2 e 2 c
第二章总结
• • • • 一、主要内容 基本概念 1、定系和动系 若存在两个有相对运动的坐标系，则可指定其 中一个为定系，另一个即为动系。 • 但工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系， 相对于定系运动着的坐标系为动系。 • 2、动点和牵连点 • 动点为研究的对象，牵连点是动点在动系上的 重合点，随动点的相对运动而变，是动系上的 点，不同瞬时，有不同的牵连点。
aa sin ae cos arn
1 v2 v2 aa [a cos ] actg 2 3 sin R sin R sin
点的加速度合成定理
2
rM rO'
O
r'
z'
k' j'
y'
drM y + x O xi i y j z k =r j z k dt = ve v r va =
i'
x'
O' y
d 2 rM aa = 2 = r O x i y j z k dt + xi yj zk y ) i k + 2( x j z y ) i k ae ar 2( x j z
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
aa ae a r ？
8.3 点的加速度合成定理
一、当牵连运动是定轴转动时，动系
i, j, k
(2) 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动；
(3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
(1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。 (2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。 由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点 的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的 运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的 是动参考系上与动点相重合的那一点 ( 牵连点 ) ，因此 定义：
rM rO'
O
r'
z'
k' j'
y'
drM y + x O xi i y j z k =r j z k dt = ve v r va =
i'
x'
O' y
d 2 rM aa = 2 = r O x i y j z k dt + xi yj zk y ) i k + 2( x j z y ) i k ae ar 2( x j z
8.3 点的加速度合成定理 va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度 与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
aa ae a r ？
8.3 点的加速度合成定理
一、当牵连运动是定轴转动时，动系
i, j, k
(2) 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动；
(3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
(1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。 (2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。 由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点 的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的 运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的 是动参考系上与动点相重合的那一点 ( 牵连点 ) ，因此 定义：
牵连运动为转动时_加速度合成定理
a a ae a r
3.定理的说明
特例
在瞬时t 在瞬时t’ 经过 t
va vr ve v a ' v r 'v e '
v a v a 'v a (v r 'v r ) (ve 've )
v a ve 've v r 'v r aa lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
C
O
MBC直线运动 牵连运动：OBC作定轴转动 绝对运动：M沿OA直线运动
O
M
vr C
va
ve
A
速度分析 大小 方向 解得: vr 加速度分析 大小 方向
v a v r ve
?
?
ve OM 10 cm
ve cos
B
s
20 cm s
v
地球北半 球上水流的科 a c 氏加速度
7. 应用
图示曲杆OBC绕O轴转动,使套在其上的小环M沿固定直杆 OA 滑 动 。 已 知 : OB=10cm,OB 与 BC 垂 直 , 曲 杆 的 角 速 度 0.5 rad s 。求当 60 0 时,小环M的加速度。 解：
一、选取动点、动系 动点：小环M 动系：曲杆OBC
ve 've ve 'v M 1 v M 1 ve lim0 lim0 lim0 t t t t t t
其中
a e lim0 t
v M1 v e t
第一项 大小：
ve ' ' AM ' , vM 1 ' AM1
ve ve
理论力学 加速度合成定理
）
上式即为牵连运动为平动时点的加速度合成定理 即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度 与相对加速度的矢量和。
∴一般式可写为：
[例1] 已知：凸轮半径
求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。
解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。
绝对速度 va = ? , 方向AB ； 绝对加速度 aa=?, 方向AB，待求。
科氏加速度 : ac 2wvr 2w2r / cos ,
ac aa art
ae
arn
由牵连运动为转动时的加速度合成定理
ac aa art
向 n 轴投影：
aacos aecos arn ac
ae
arn
aAB aa (w2rcos w2r2sec2 / 2w2rsec ) / cos
方向：按右手法则确定。
[例3] 已知：凸轮机构以匀 w 绕O轴转动， 图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。
求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。
解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮 ; 绝对运动: 直线;
va
vr
ve
绝对速度: va=? 待求, 方向//AB; 相对运动: 曲线;
相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动: 定轴转动;
常数有?rv相对运动为匀速圆周运动由速度合成定理可得出常数?????rreavrvvv?选点m为动点动系固结与圆盘上则m点的牵连运动为匀速转动erv??即绝对运动也为匀速圆周运动所以2arrr2r22ra2vrvrvrva?????????方向指向圆心o点earara2e??rva2rr?可见当牵连运动为转动时动点的绝对加速度等于牵连加速度和相对加速度ea并不的矢量和
求：小车的速度与加速度．
牵连运动为转动时 加速度合成定理共19页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
牵连运动为转动时 加速度 合成定理
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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2rl
l2
r2
例8-5 如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度 ω绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运
动，且O、A、B 共线。凸轮上与点A接触的点为A`，
图示瞬时凸轮上点A`曲率半径为ρA ，点A`的法线与
OA夹角为θ，OA=l。
求：该瞬时AB的速度及加速度。
已知： 常数,O, A, B共线,OA l, A A, CAO ,
aa ae ar aC
点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加 速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科 氏加速度的矢量和。
其中科氏加速度 aC 2e vr 大小 aC 2evr sin
方向垂直与e和vr，
指向按右手法则确定。
例8-4 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一 端A与滑块与铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固 定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆
3 加速度 aa aet aen ar
大小 r02 ? lB2D ? 方向 √ √ √ √
沿y轴投影
aa sin 30 aet cos 30 aen sin 30
aet
aa
aen sin cos 30
30
302r(l r)
3l
BD
aet BD
302r(l r)
3l 2
例8-2 凸轮在水平面上向
中一个为定系，另一个即为动系。 • 但工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系，
相对于定系运动着的坐标系为动系。 • 2、动点和牵连点 • 动点为研究的对象，牵连点是动点在动系上的
重合点，随动点的相对运动而变，是动系上的 点，不同瞬时，有不同的牵连点。
• 3、三种运动的关系 • 动点相对于定系的运动为绝对运动； • 动点相对于动系的运动为相对运动； • 动系相对于定系的运动为牵连运动。
va ve tan l tan
varn aC
大 ? 2l ? vr2 A 21vr
方向 √ √ √ √ √
沿 轴投影
aa cos ae cos arn aC
aa
2l1
l
A cos3
2
cos2
例8-6 圆盘半径R=50mm，以匀角速度ω1绕 水平轴CD转动。同时框架和CD轴一起以匀角速
A
?
21vr
方向 √ √ √ √ √
已知：OA 常数,OA r,OO1 l,OA水平,求：1
沿 x轴投影
aax aet aC
aet aC aax 21vr 2r cos
1
aet O1 A
1 l2 r2
2 2r3l
l2
r2
3 2
rl l2 r2 2 l2 r2
求：vAB , aAB
1 动点（AB杆上），动系 :凸轮O
绝对运动 :直线运动（AB） 相对运动 :曲线运动（凸轮外边缘） 牵连运动 :定轴转动（O轴）
2 速度
va ve vr
大小 ? l ?
方向 √ √ √
已知：0 常数,O, A, B共线,OA l, A A, CAO ,
求：vAB , aAB
• 本章的主要任务是建立这三种运动之间的定量 关系，从而用来解决工程实际某些运动分析问 题。
• 定理 • 1、速度合成定理 • 2、加速度合成定理
• 二、基本要求
• 1、掌握运动合成与分解的基本概念和方 法，准确理解本章阐述的若干概念。
• 2、明确动点和动系的选择原则，能在具 体问题中恰当选择动点和动系，并正确 的分析三种运动。
方向 ? R22 R12 0
√√ √ √
已知：1 5rad s ,2 3rad s , R 50mm,求：a1, a2。
点1的牵连加速度与相对加速度在同一直
线上，于是得 aa ae ar 1700 mm s2
点２的牵连加速度 ae 0 , 相对加速度大小为 ar R12 1250 mm s2 ,
科氏加速度大小为 aC 2evr sin 90 1500 mm s2 ,
各方向如图，于是得
aa ae2 ac2 R 12 22 1953mm s2 arc tan aC 5012
ar
第二章总结
• 一、主要内容 • 基本概念 • 1、定系和动系 • 若存在两个有相对运动的坐标系，则可指定其
解：1 动点：滑块A，动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点） 相对运动：直线运动（BC） 牵连运动：平动
2 速度
大小 方向
va ve vr
r 0 ? ?
√ √√
vr ve va r0
BD
ve BD
r0
l
已知：OA 0 常数,OA r, BC DE, BD CE l, 求：BD, BD
第八章 点的合成运动
§８-３牵连运动为平移时点的加速度合成定理
aa ae ar
当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对 加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度 的矢量和。
解题步骤
• 1、恰当选择动点及动系 • 2、分析三种运动 • 3、画加速度矢量图 • 4、解加速度矢量图（通常采取投影法，
vr
ve
s in
v
s in
arn
1 R
v2
sin 2
将加速度矢量式投影到 法线上得，
aa sin ae cos arn
aa
1
sin
[a cos
v2 R sin 2
]
actg
v2
R sin3
当 90 时，aa 0 说明假设的 aa 的指向恰是其真 实指向。
§８-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理
r ? ?
方向 √ √ √
已知：OA 常数,OA r,OO1 l,OA水平,求：1
ve va sin vr va cos
r 2
l2 r2
rl
l2 r2
1
ve O1 A
ve l2 r2
r 2
l2 r2
3 加速度
aan aet aen ar ac
大小 2r
?
2 1
O1
右运动，凸轮半径为R，
图示瞬时的速度和加速
度分别为 v和 a。
求：杆AB在图示位置时
的加速度。
• 解：选取A为动点，凸轮为 动系（牵连运动为平动）， 由加速度合成定理可得
aa ae ar ae art arn
• 加速度矢量图如图所示，在
式中 ae
a，a
t r
大小未知，
arn
vr2 R
• 相对速度可由速度合成定理求出，
适当选择投影轴，使该方向未知量只出 现一个）
例8-1 如图所示平面机构中，曲柄OA=r,以匀 角速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。
已知：BC=DE，且BD=CE=l。OAC 30 求：图示位置时（BD与铅直方向成60度）， 杆BD的角速度和角加速度。
已知：OA 0 常数,OA r, BC DE, BD CE l, 求：BD, BD
• 3、熟练掌握速度合成定理和牵连运动为 平动时的加速度合成定理及其应用。
思考题
• 课后习题8-4、8-5、8-10
O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离
OO1=l。 求摇杆O1B在下图所示位置时的角加速度。
已知：OA 常数,OA r,OO1 l,OA水平,求：1
解：1 动点：滑块A，动系：O1B杆 绝对运动：圆周运动
相对运动：直线运动（O1B）
牵连运动：定轴转动（O1轴）
2 速度
大小
va ve vr
度ω2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动，如图所 示。如ω1=5rad/s, ω2=3rad/s。
求：圆盘上1和2两点的绝对加速度。
已知：1 5rad s ,2 3rad s , R 50mm,求：a1, a2。
解：1 动点： 圆盘上点1，动系：框架CAD 绝对运动：未知 相对运动：圆周运动（O点） 牵连运动：定轴转动（AB轴） 2 速度（略） 3 加速度 大小 aa ae ar aC