交通流动力学模型

slow vehicles fast vehicles
t x 2 2 2 ) c2 a ( 1 t x ci 假定为与车道有关的常数。
若上述两式映射到一个以速度 c 移动的坐标系中，则 1 1 ) c 1 a( 2
t x 2 21 ) c 2 a (1 t x 其中 x x c t ， c 1 c1 c2 ， c 1 c1 c2 。 1 1
Laval 和 Daganzo 提出了一种离散的多车道 LWR 模型，即 1 k k k ik, q q j i, j i, j i , j 1 k k k k
t x 其中 qi , j 表示从 i 车道 j 路段进入 i 车道 j 1 路段的流量，
i , j i 1i , j 1 min1, Li 1i , j 1 Ti , j 1 x( Li 1i , j 1 Li 1i , j 1 ) i , j qi , j 1 min1, Ti , j 1 Ti , j 1 x( Li 1i , j 1 Li 1i , j 1 ) 这里 i , j 表示 i 车道 j 路段的接收能力，
LWR模型的求解问题
LWR模型的计算格式
LWR模型的优缺点
• 优点：能正确地描述交通激波的存在及其演化 过程 • 缺点：平均速度与密度关系总是处于平衡状态， 因此，这些模型对车辆上下匝道交通、“幽灵” 式交通堵塞、交通迟滞现象、车道数的改变、 交通时走时停以及车辆改道产生相变等非均衡 特性，这就要求采用平均速度的动力学方程来 代替均衡的速度-密度关系。
i 1 ( x, t T ) i ( x, t T ) A i 1 ( x, t T ) i ( x, t T ) A
max,
2D region
2 2
1
max,
(a)
(b)
max,1
max,2
1
max,1
2
max,2
SG模型
SG模型特点
• 姜模型可以很好地再现幽灵塞车、局部聚集、 走走停停等一系列非均衡流特性，但该模型很 容易出现撞车现象、不能再现小扰动传播速度 与密度之间的内在联系 • Zhang模型（二）和薛模型尽管可以再现小扰 动传播速度与密度之间的内在联系，但不能再 现走走停停现象。
四、混合交通流的宏观模型
多车道高阶模型
• 两车道交通流动力学模型
两车道跟车示意图
模型与计算格式
从一个区域转移到另一个区域，将会出现相变
两车道格子模型
现有格子模型的不足
改进的两车道格子模型
换道趋势与稳定性之间的关系
换道趋势与稳定性之间的关系
结论：适当的换道可以提高车流稳定性
多车道LWR模型
k qe ,k ( 1 , k 1 , k , k 1 , , K ) 0 t x
max,2
(a)
max,2
(b)
max,2(2010)
2
2
max,1
2010
= > <
max,2(2010)
1
max,1
1
max,2
(c)
overtaking from right allowed
2
2,c
density inversion
1
max,1

i 1i , j 1 i 1i , j 1 i i 1, j i i 1, j
i 1 i , j 1 表示从 i 1 车道 j 1 路段进入 i 车道 j 路段的实际流量，
Ti , j 1 表示 i 车道 j 1 路段进入 j 路段的期望流量， Li 1 i , j 1 表示 i 1 车道 j 1 路段进入 i 车道 j 路段的期望流量。
等速度模型（给定不同车种比例时，存在一临界密度。当
车流密度大于该密度时，不同车种的速度相等。）
Chanut-Buisson 模型假定临界密度正比于堵塞密度 max ，即 ( 2 ) Nlane c ( 1 , 2 ) max ( 1 , 2 ) 1 1L1 2 L2 其中 Li 是堵塞时 i-车辆的车头距， 是参数， N lane 是车道数。 当 1 2 c 时，两种车的平衡速度分别为 2 ue,1 u f ,1 (u f ,1 uc ) 1 c 1 2 ue, 2 u f , 2 (u f , 2 uc ) c 其中 uc 是对应于临界密度的临界速度。 当 1 2 c 时，两种车的平衡速度相等 Nlaneuc max ( 1 2 ) ue,1 ue, 2 L1 (1 ) ( max c )(1 2 L2 / L1 )
(a) Munjal-Pipes 模型对称换道规则下的稳态；(b) Munjal-Pipes 模型非对称换道规则下的稳 态；(c) 实际交通中非对称换道规则下的可能的稳态示意图。
Michalopoulos 模型
Michalopoulos 提出了可变的 ,并考虑了换道时间延迟 T 的换道流量，即 si i ,i 1[(i1 ( x, t T ) i ( x, t T )) ( (i 1) 0 i 0 )]
交通流动力学理论
目录
• • • • • • • • • • • • 概述 交通流的基本概念 宏观交通流 混合交通流的宏观模型 跟车模型 两车道跟车模型 换道分析 超车模型 主要结论 存在的问题 发展趋势 研究心得
一、概述
• 研究内容 • 研究历史 • 现代交通流研究的分类 • 相关知识结构
研究内容（一）
三种常见的交通状态
常见的静态交通流模型
• • • • • • • • Greenshield模型 Greensburg模型 Underwood模型 Drake模型 Newell模型 Pipe-Munjal模型 Edie模型 May模型
三、宏观交通流
• LWR模型
• 高阶模型
LWR模型
车辆流入=流出，具体推导见数学建模教材
• Traffic Science 1990-2009: The Prime Years
现代交通流研究的分类
• 传统交通流研究和现代交通流研究 • 微观交通流研究和宏观交通流研究 • 高速公路交通流研究和城市道路交通流研究 • 交通科学和交通工程
相关知识结构
• 数学：微分方程、概率统计、随机应用过 程等 • 物理：力学、统计物理学等 • 交通：交通工程、交通控制等 • 管理： • 计算机： • Etc.
• 多车道LWR模型
• 多车道高阶模型 • 多车种LWR模型 • 多车种高阶模型
多车道LWR模型
多车道LWR模型
• 密度差模型
• Laval-Daganzo模型
密度差模型（Munjal-Pipes模型）
si i1 si1i qi i1 qi1i
si si 1i si 1i
二、交通流的基本参数
• 流量：
• 速度：时间平均速度和空间平均速度 • 密度： • 车头间距和车头时距： • 占有率：空间占有率和时间占有率
车头时距统计分布模型
• • • • • • • 负指数分布 移位负指数分布 Erlang分布 移位Erlang分布 Gamma分布 对数正态分布 M3分布和其他组合型分布
density perturbation
lane 1
density perturbation
lane 1
lane 2
lane 2
lane 3
distance from on-ramp
distance from on-ramp
均匀道路上入匝道进入的车辆引起的密度扰动的演化情形示意图。左图为两车道道路，右图三车道道路， 参见 Munjal 和 Pipes 的论文。
Michalopoulous模型，Liu Guoqing模型）
吴正模型、冯苏苇模型
粘性模型（ Kü hne 模型和K-K模型）
粘性模型的特点
• 粘性项可顺滑Payne模型所包含的不连续性。 Kü hne研 究粘性模型波动解时发现其具有与开放边界水槽中水波 相似的性质，Payne模型的波动周期解不连续，粘性模 型存在连续周期行波解，这类似于交通实测中堆集的形 成， 他证明系统通过Hopf分岔可形成时走时停交通。 • 当密度>临界密度时交通流不稳定，但若扰动足够大， 则非线性不稳定的堆集就会出现在线性稳定性区域；如 果扰动较小，则在这个区域的堆集就不会出现，这个过 程是亚稳态区域不同亚稳态之间的相变。粘性模型成功 地解释“幽灵”阻塞现象。
i ,i1[(i1 ( x, t T ) i ( x, t T )) ( (i1) 0 i 0 )]
其中
i ,i 1
0 max i1 ( x, t T ) i ( x, t T ) A max A
高阶模型（密度梯度）
• 非粘性模型（Pipe模型、Payne模型、Ross 模型、交通流摩擦模型、Zhang模型、吴正 模型、冯苏苇模型） • 粘性模型（Kü hne模型、Kerner-Konhauser 模型）
Pipe模型、Payne模型、Ross模型、 Zhang模型
交通流摩擦模型（ Papageorgiou模型，
Holland-Woods模型(Transp. Res. B 31, 473(1997))
Holland 和 Woods 认为速度和密度之间成线性关系，即 s1 a( 2 1 ) B 令 i i i 0 ,当 i i 0 时，Holland-Woods 模型为 1 1 ) c1 1 a ( 2
[( i 1 i ) ( (i 1) 0 i 0 )] [( i 1 i ) ( (i 1) 0 i 0 )]
其中 是与换道作用强度相关的参数。 对于第 1 车道和第 N 车道， si 1i 和 si 1i 分别为零。
（May AD，Traffic flow fundamental, Prentice Hall, 1990）
研究内容ຫໍສະໝຸດ Baidu二）
研究历史
• Traffic Science 1935-1949: The Childhood Years
• Traffic Science 1950-1969: The Teenage Years • Traffic Science 1970-1989: The Young Adult Years
将上述两式相加和相减，分别可得 ˆ ˆ
c 0 t x ˆ ˆ (1 ) ˆ) ( ˆ c (1 )a t x 其中 ˆ 1 ˆ 1 2 ， 2 。
Laval-Daganzo模型(Transp. Res. B 40, 251(2006))
(c)
(d)
1
2
max,1
1
max,1
(a) Michalopoulos 等人的模型对称换道规则下的二维稳态区域； (b)实际交通中对称换道规则 下的可能的二维稳态区域示意图；(c) 非对称换道规则下，允许右车道超车时可能的二维稳 态示意图；(d) 非对称换道规则下，不允许右车道超车时可能的二维稳态示意图