高二数学导学案
高二数学导学案-等比数列
高二数学导学案 ——等比数列§§2.4等比数列（2）【自研课导学】预习课（预时40分钟）自读自研必修5课本第48到54页的所有内容，并在 31分钟内完成自研任务： 达成目标：1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 重点：等比数列的性质难点：灵活应用等比数列的性质【展示课导学】 一、复习引入复习1：等比数列的通项公式n a = = 公比q 满足的条件是复习2：等差数列有何性质？二、预习检测1.已知各项均为正的等比数列｛n a ｝中，()16lg 1383=a a a ，则的值为_______2.已知｛n a ｝是等比数列，且n a >0,252645342=++a a a a a a ,那么53a a +的值等于____________3.在等比数列中，若162,262==a a ，则=10a __________二、新课导学探究任务：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？3.2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？ 新知：等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =. 特别地，若q p a a a q p m =+=2,2则试试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a = .三、知识应用知识应用一：等比数性质的应用例1（B ）在等比数列{n a }中，已知51274-=a a ，且38124a a +=，公比为整数，求10a .变式练习：1.在等比数列{n a }中，已知5127=a a ，则=111098a a a a .2. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）.A. 三边之比为3：4：5B. 三边之比为1 3C.D.3. 在7和56之间插入a 、b ，使7、a 、b 、56成等比数列，若插入c 、d ，使7、c 、d 、56成等差数列，求a ＋b ＋c ＋d 的值..知识应用二：利用等比数列的巧妙设数例2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
高二数学：《直线的倾斜角与斜率》导学案
新修订高中阶段原创精品配套教材《直线的倾斜角与斜率》导学案教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改Tutorial Case of "Slope Angle and Slope of Straight Line"教师：风老师风顺第二中学编订：FoonShion教育《直线的倾斜角与斜率》导学案一、教学内容分析“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。
本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。
二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。
倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。
而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。
因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。
据此确定本课时的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。
理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。
二、教学目标分析1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。
2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。
3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。
三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。
事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。
圆的一般方程导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.4.2 圆的一般方程学习目标：1.探索并掌握圆的一般方程.2.能判断圆的一般方程并求圆心及半径.3.会利用待定系数法求圆的一般方程.重难点：重点：求圆的一般方程及其圆心半径难点：圆的一般方程的探究过程探索新知：活动一 探究圆的一般方程复习：圆的标准方程是什么？写出以C(1，-2)为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？思考1►►►将以上圆的标准方程展开后可得到什么式子？那么二元二次方程与圆有着怎样的关系呢？是否所有的二元二次方程表示的就是圆呢？(1) x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋8＝0；(2) x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0；(3) x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0.探究►►►形如022=++++C Ey Dx y x 的方程，它要表示圆，系数D 、E 、F 需要满足什么条件呢？方程022=++++C Ey Dx y x 配方得(1)当 时，方程表示一个点，该点的坐标为 .(2)当 时，方程不表示任何图形.(3)当 时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为 ，半径为 .上述方程称为圆的一般方程.思考2►►►圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？活动二巩固圆的一般方程，能由圆的一般方程确定圆心和半径例1 下列方程是否表示圆？若表示圆，写出其圆心的坐标和半径．（1）x2+2y2－6x+4y-1=0（2）x2+y2－12x+6y+50=0（3）x2+y2－3xy+5x+2y=0（4）2x2+2y2－12x+4y=0（5）x2+y2－2x+4y-4=0活动三能根据已知条件求圆的方程例2 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的一般方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．思考3►►►确定一个圆的一般方程需要几个独立条件？方法点拨：用待定系数法求圆的方程的步骤：(1) 设：根据题意，设圆的标准方程或一般方程；(2) 列：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3) 解：解方程组得到a，b，r或D，E，F的值；(4) 代：代入圆的标准方程或一般方程，即可得解；练习△ABC的三个顶点分别为A(0，0)，B(1,0)，C(0,-1)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．课堂小结这节课你学到了什么？有什么收获？。
高中数学高二理科选修2-3排列组合导学案
《排列（1）》导学案【学习目标】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导.【重点难点】1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导.【学法指导】（预习教材P14~ P18，找出疑惑之处）复习1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？【教学过程】（一）导入探究任务一：排列问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？新知1：排列的定义一般地，从n个元素中取出m（）个元素，按照一定的排成一排，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.试试：写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列. 反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？探究任务二：排列数及其排列数公式新知2 排列数的定义从个元素中取出（nm≤）个元素的的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合表示.试试：从4个不同元素a，b, c，d中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？问题：⑴从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？⑵从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？⑶从n个不同元素中取出m（nm≤）个元素的排列数是多少？新知3 排列数公式从n个不同元素中取出m（nm≤）个元素的排列数=mnA新知4 全排列从n个不同元素中取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为=nnA（二）深入学习例1计算：⑴410A;⑵218A; ⑶441010AA÷.变式：计算下列各式：⑴215A; ⑵66A⑶28382AA-; ⑷6688AA.例2若17161554mn A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．变式:乘积(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ．（,n N ∈）例3 求证： 11--=m n m n nA A变式 求证： 7766778878A A A A =+-小结：排列数m n A 可以用阶乘表示为mn A =※ 动手试试 n 2 3 4 5 6 7n ！练2. 从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？ .【当堂检测 】1. 计算：=+243545A A ;2.. 计算：=+++44342414A A A A ；3. 某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；4. 5人站成一排照相，共有 种不同的站法；5. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.1. 求证：11211--++=-n n n n n n A n A A2. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？3.一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？【反思 】1. 排列数的定义2. 排列数公式及其全排列公式《排列（2）》导学案【学习目标 】1熟练掌握排列数公式； 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【重点难点 】 1熟练掌握排列数公式； 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【学法指导 】 （预习教材P 5~ P 10，找出疑惑之处） 复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也复习2：排列数公式：mn A ＝ （,,m n N m n *∈≤）全排列数：nn A ＝ ＝ . 复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是【教学过程 】 （一）导入 探究任务一：排列数公式应用的条件 问题1：⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 新知：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.探究任务二：解决排列问题的基本方法问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等. （二）深入学习 例1 （1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？ （2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？ （3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？ （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？变式：：某小组6个人排队照相留念．(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？ (2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？ (3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ (4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？ (5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法.例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.（1）没有重复数字的四位偶数？（2）比1325大的没有重复数字四位数？变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，⑴能组成多少个没有重复数字的四位奇数？⑵能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？※动手试试练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？练2.在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？【当堂检测】1. 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的质量，要在土质相同的土地上进行试验，应该安排的试验区共有块.2. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中，不同的投寄方法有种.3. 用1，2，3，4，5，6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是.4. 现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有种不同的方法.5. 在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，则不同的排法有种.1.．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？2.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？【反思 】1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.《组合（1）》导学案【学习目标 】1. 正确理解组合与组合数的概念；2. 弄清组合与排列之间的关系；3. 会做组合数的简单运算；. 【重点难点 】1. 正确理解组合与组合数的概念；2. 弄清组合与排列之间的关系；3. 会做组合数的简单运算； 【学法指导】（预习教材P 21~ P 23，找出疑惑之处）复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 和 . 复习2：排列数的定义：从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号 表示复习3：排列数公式：mn A = （,,m n N m n *∈≤）【教学过程 】 （一）导入探究任务一：组合的概念问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？新知：一般地，从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.试试：试写出集合{}a,b,c,d,e 的所有含有2个元素的子集.反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；排列与组合有何关系？ 探究任务二．组合数的概念：从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示． 探究任务三 组合数公式 m n C ＝ ＝我们规定：=0nC （二）深入学习例1 甲、乙、丙、丁4个人，（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况； （2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？变式： 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛： （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合.例2 计算：（1）47C ； （2）710C变式：求证：11+⋅-+=m n m nC mn m C※ 动手试试 练1.计算：⑴ 26C ； ⑵ 38C ；⑶ 2637C C -； ⑷ 253823C C -.练2. 已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？【当堂检测 】1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．2. 设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =⊂，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有个. 3. 计算：310C = .4. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ：n = .5.写出从a,b,c,d,e 中每次取3个元素且包含字母a ，不包含字母b 的所有组合 1.计算：⑴ 215C ； ⑵ 2836C C ÷；2. 圆上有10个点：⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？ 、【反思 】1. 正确理解组合和组合数的概念2.组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或者：)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且《 组合（2）》导学案【学习目标 】1.2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题； 【重点难点 】1.2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题； 【学法指导 】（预习教材P 24~ P 25，找出疑惑之处）复习1：从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示.复习2： 组合数公式： m n C ＝ ＝【教学过程 】 （一）导入探究任务一：组合数的性质问题1：高二（6）班有42个同学⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？ ⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？ ⑶ 上面两个问题有何关系？新知1：组合数的性质1：mn n m n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn n m n C C -=试试：计算：1820C反思：⑴若y x =，一定有yn x n C C =？⑵若yn x n C C =，一定有y x =吗？问题2 从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类是不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素与1a 组成的，共有 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素组成的，共有 个．从中你能得到什么结论？新知2 组合数性质2 m n C 1+＝m n C +1-m n C（二）深入学习例1（1）计算：69584737C C C C +++；变式1：计算2222345100C C C C ++++例2 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C变式2：证明：111m m m n n n C C C ++++=小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式.例3解不等式()321010n n-C n -<∈+C N .练3 ：解不等式：46n nC C <※ 动手试试练1.若542216444x x C -C C C -=+，求x 的值练2. 解方程： （1）3213113-+=x x C C（2）333222101+-+-+=+x x x x x A C C【当堂检测 】1. 908910099C -C ＝2. 若231212n n-C C =，则n =3.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；4. 若7781n n n C C C +=+，则n = ；5. 化简：9981m m m C -C C ++= .1. 计算：⑴ 197200C ; ⑵ 21-+•n n n n C C2. 壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？3. 若128n n C C =，求21n C 的值【反思 】1. 组合数的性质1：mn n m n C C -=2. 组合数性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C《组合（3）》导学案 【学习目标 】 1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.【重点难点 】1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.【学法指导 】（预习教材P 27~ P 28，找出疑惑之处）复习1：⑴ 从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．，用符号 表示；从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示. ⑵ mn A ＝mn C ＝ ＝m n A 与mn C 关系公式是 复习2：组合数的性质1： ．组合数的性质2： ．【教学过程 】 （一）导入探究任务一：排列组合的应用问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问： ⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ ⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？ 反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？ （二）深入学习 例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.⑴ 有多少种不同的抽法？⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？变式：在200件产品中有2件次品，从中任取5件： ⑴ 其中恰有2件次品的抽法有多少种？⑵ 其中恰有1件次品的抽法有多少种？⑶ 其中没有次品的抽法有多少种？ ⑷ 其中至少有1件次品的抽法有多少种？小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步.例2 现有6本不同书，分别求下列分法种数：⑴分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；⑵分给3个人，一人3本，一人2本，一人1本；⑶平均分成三堆.变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例 3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用一种颜色，问共有几种不同的着色方法？变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法?※动手试试练1. 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？练2. 高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动, （1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?（2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种?（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种?（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种?【当堂检测】1. 凸五边形对角线有条；2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有个；3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是；4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是；5. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？1. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.⑴如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选法？⑵如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？⑶如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？⑷如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【反思】1. 正确区分排列组合问题2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.1111。
高二数学基本计数原理导学案
高二数学基本计数原理导学案班级姓名教学目标：1.通过实例，了解分类加法计数原理及其意义．2.通过实例，了解分步乘法计数原理及其意义．教学重点：能运用两个计数原理解决一些简单的实际问题．教学难点：掌握两个计数原理的区别与联系..教学过程（一）情景导学在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题.例如：(1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集?(2)由3个数字组成的密码锁，如图3-1-1所示，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁?(3)有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，如图3-1-2所示，则有多少种不同的站法?（二）归纳提升一、知识点1：分类加法计数原理完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2：分步乘法计数原理:完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．3．两个基本计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类办法中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的每一种方法都不能独立完成这件事)相同点两个基本计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整1．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有()A．32种B．9种C．12种D．20种2．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同选法共有________种．3．某演讲比赛候选人中有高一年级学生5名，高二年级学生4名，高三年级学生3名，从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有()A．60种B．45种C．30种D．12种4．将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有()A．12种B．9种C．8种D．6种（四）例题精析例1.在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子(如图3-1-3所示)，要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法?例2.用1，2，3，4，5可以排成多少个数字不重复的三位数?例3.某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种?（五）课堂练习1.张丽的书桌上有3本不同的语文课外读物和2本不同的数学课外读物，现在她想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，有多少种不同的取法?如果她想从语文课外读物和数学课外读物中各取一本随身携带，有多少种不同的取法?2.用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成多少种不同的银行卡密码?(每个银行卡密码均由六位数字组成，数字可以重复，不考虑其他因素。
直线与圆锥曲线(第5课时弦长问题)导学案高二上学期数学选择性
第3章 圆锥曲线与方程3.5 直线与圆锥曲线(第5课时 弦长问题)【学习目标】1．会求直线被椭圆所截的弦长；(重点)2．掌握有关椭圆的最值问题．(难点)【研讨·拓展】一、弦长问题问题 当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？【例1】已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．【变式11】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ．(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．二、与弦长有关的最值、范围问题【例2】在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且点P (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．【变式21】已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，下、上顶点分别为B 1，B 2．记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为E ．(1)求E 的方程；(2)过点M (m ,0)(m >0)作E 的切线l 交C 于A ，B 两点，求|AB |的最大值．【总结提炼】1．知识清单：(1)弦长问题；(2)与弦长有关的最值、范围问题．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况．【拓展强化】1．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F (c ,0)的弦中最短弦长是( )A ．2b 2aB ．2a 2bC ．2c 2aD ．2c 2b2．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A ．67B ．167C ．716D ．763．已知直线y ＝2x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，点F 是椭圆C 的左焦点，若|F A →|＋|FB →|＝22，|F A →＋FB→|＝2，则|AB |等于( ) A ．2 B ．423 C ．2103 D ．44．已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝15．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，PQ ⊥PF 1，且QF 1＝2PF 1，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为( )A ．2－ 3B ．2＋1C ．2－1D ．2＋36．已知椭圆两顶点A (－1,0)，B (1,0)，过焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，直线l 的方程为________________．7．椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过A (0,2)作直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△AOM 与△AON 的面积之比为5∶3，则直线l 的斜率为________．8．如图，某市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位：千米)．根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 最短时，OQ 的长为________千米．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆C 上，点P 是y 轴正半轴上的一点，过椭圆C 的右焦点F 和点P 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求||PM ＋||PN ||PF 的取值范围．。
高中数学《简单随机抽样》导学案
数学（高二上）导学案
本节课是人教版《高中数学》必修三第二章“统计”中的“随机抽样”的第一课时：简单随机抽样．其主要内容是介绍简单随机抽样的概念以及如何实施简单随机抽样．数理统计学包括两类问题，一类是如何从总体中抽取样本，另一类是如何根据对样本的整理、计算和分析，对总体的情况作出一种推断．可见，抽样方法是数理统计学中的重要内容．简单随机抽样作为一种简单的抽样方法，又在其中处于一种非常重要的地位．因此它对于学习后面的其它较复杂的抽样方法奠定了基础,同时，对于加深对概率相关计算公式的理解作了很好的铺垫。
人教版高中数学高二 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 精品导学案
§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一．预习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．预习内容1．基本初等函数的导数公式表2.（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）三． 提出疑惑课内探究学案一． 学习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二． 学习过程（一）。
【复习回顾】复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =（二）。
【提出问题，展示目标】我们知道,函数*()()n y f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx-=，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
（三）、【合作探究】1．（1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）2y x =与2xy =（2）3x y =与3log y x =2.（1推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）sin y x x =⋅；（3）2(251)xy x x e =-+⋅；（4）4xx y =；【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．（四）．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：（1）分四组写出基本初等函数的导数公式表：（2）导数的运算法则：四．当堂检测1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2xy e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-2.求下列函数的导数（1）ln y x x = （2）ln xy x=课后练习与提高1．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =A18 B 14 C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n + D 14.曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为------------6.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式。
高二数学导学案等比数列
§2.4.1等比数列（第一课时）【学习目标】1、理解等比数列定义，会用定义判断等比数列。
2、掌握等比数列的通项公式。
3、掌握等比中项的定义并能解决相应问题。
【自学指导】一、复习回顾：(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示。
由定义可得等差数列的递推公式：。
(2)设等差数列{}n a的首项为1a，公差为d，则它的通项公式n a= （定义式）设等差数列{}n a的第m项为m a（m<n），公差为d，则它的通项公式为n a= .(3)等差数列的通项公式是如何得到的？二、探索新知⑴形成概念1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示。
由定义可得等比数列的递推公式：。
2.等比数列通项公式设等比数列{}n a的首项为1a，公比为q，则它的通项公式n a= （定义式）设等比数列{}n a的第m项为m a（m<n），公比为q，则它的通项公式为n a= .3. 等比中项的定义：如果在a与b 中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b 的，⑵深入探究①、根据等比数列的定义，你能得到等比数列的哪些特点？②、根据等比中项的定义，你又能得到等比数列的哪些特点？③、你是如何得到等比数列的通项公式的？等比数列的图像与指数函数的图像之间有何关系？三、典例引导，增强应用例1：判断下列数列哪些是等比数列，如果不是，请说明理由？① 1, 2, 4, 8, …，263② 2000 , 2000×1.1, 2000×1.12,…, 2000×1.19③ -1, -2, -4, -8,④－1, －1, －1, －1,…⑤1, 0, 1, 0,…例2：一个等比数列的第3项为12，第4项为18，求它的首项和公比以及通项公式.例3：已知数列{}n a {}b n 是项数相同的等比数列，那么数列{}n n a b 是等比数列吗？四、当堂检测1、下列各数列成等比数列的是（ ）①-1，-2，-4，-8； ②1，-3，3，-33； ③x,x,x,x; ④4321,1,1,1a a a a . A 、①②③ B 、①② C 、①②④ D 、①②③④2、a,,b c 成等比数列，那么关于x 的方程 02=++c bx ax （ ）A 、一定有两个不相等的实数根B 、一定有两个相等的实数根C 、一定没有实数根D 、以上三种情况均可出现3、1与1的等比中项为 .4、若2G ab =,则,,a G b 一定成等比数列吗？请举例说明？五、课堂小结1)等比数列的定义是什么？怎样判断一个数列是否是等比数列？2)等比数列得通项公式是？其中每个字母所代表的含义是什么？3)等比数列应注意哪些问题？。
022直线的一般式方程
022 直线的一般式方程一、学习目标1．掌握直线的一般式方程，理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线.2．理解并掌握含参数的直线的一般式方程，会进行直线方程的五种形式之间的转化．二、学习重难点重点：掌握直线的一般式方程难点：会进行直线方程的五种形式之间的转化三、学法指导及要求1. 认真研读课本16-18页，认真思考独立规范做答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，并做好记号；2. 把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆，区分各种方程形式的适用条件与互相转化。
四、学习过程1、复习回顾（引入）：（1）直线的点斜式方程为 ；（2）直线的斜截式方程为 ；（3）直线的两点式方程为 ；（4）直线的截距式式方程为 ；2、探究新知：问题1 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗?任意一条直线l ,在其上任取一点00(,)P x y ,当直线l 的斜率为k 时(此时直线的倾斜角090,其方程为 这是关于y x ,的二元一次方程.当直线l 的斜率不存在,即直线l 的倾斜角090时,直线的方程为上述方程可以认为是关于y x ,的二元一次方程,因为此时方程中y 的系数为0.结论：方程00()y y k x x 和00x x 都是二元一次方程,因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示.问题2 任意一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线吗?对于任意一个二元一次方程0Ax By C （A,B 不同时为0）如果能把它化为直线方程的某种形式,那么我们就可以断定它表示一条直线.1°当0B 时,方程0Ax By C 可变形为它表示过点(0,)C B,斜率为 的直线. 2°当B=0时,0A ,方程0Ax By C 可变形为它表示过点(,0)C A,且垂直于x 轴的直线. 结论：由上可知,关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,x y 的二元一次方程 (其中A,B 不同时为0)叫做直线的 方程,简称 (generalform).问题3 在方程0Ax By C 中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线:(1)平行于x 轴 ;(2)平行于y 轴 ;(3)与x 轴重合 ;(4)与y 轴重合 .（5）与两条坐标轴都相交 ;3、典型例题:例1 （1）已知直线经过点A （6，-4），斜率为43，求直线的点斜式和一般式方程. （2）把直线l 的一般式方程260x y 化为斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.例2 设m 为实数，若直线l 的一般式方程为260x my m ，根据下列条件分别确定m 的值。
高二数学(人教A版)《2.1曲线与方程》导学案
2.1曲线与方程一、学习目标：1. 使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。
2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法。
二、重点、难点：重点：理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。
难点：对求曲线方程的一般步骤的掌握。
三、考点分析：1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f （x ，y ）＝0的解；（2）以方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在曲线C 上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。
2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f （x ，y ）=0；（4）将方程f （x ，y ）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点。
（查漏除杂）.3. 求曲线方程的常用方法：知识点一 曲线与方程的概念的运用例1. 下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l ，为什么？（1）x －y =0（2）－=0 （3）x 2－y 2=0 （4）|x |－y =0例2. （1）判断点M 1（3，－4），M 2（－2，2）是否在方程x 2+y 2=25所表示的曲线上。
（2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x 2+y 2=25。
例3. 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=。
高二数学(人教A版)《3.3.2函数的极值与导数》导学案
3.3.2函数的极值与导数[自学目标]:1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义；2.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.[重点]: 极大、极小值的概念和判别方法。
[难点]: 严格套用求极值的步骤[教材助读]一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有________我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点，都有________，我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是：⑴如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是________⑵如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是________注意：导数为0的点不一定是极值点．[预习自测]1．函数y =f (x )的导数y /与函数值和极值之间的关系为( )A 、导数y /由负变正,则函数y 由减变为增,且有极大值B 、导数y /由负变正,则函数y 由增变为减,且有极大值C 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极小值D 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极大值2．求函数x e x y -=2的极值。
上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：极值点两侧导数正负符号有何规律?1．求()31443f x x x =-+的极值 填写下表并求极值探究二：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？2．求y =(x 2－1)3+1的极值[当堂检测]1．求下列函数的极值:（1）2()62f x x x =-- （2）3()27f x x x =-（3）3()612f x x x =+- （4）3()3f x x x =-2．已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1，(1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．[拓展提升]1．函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点为11x =，22x =，则a = ，b = ．★2．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求,a b 的值，并求出()f x 的单调区间．★★3.已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？。
高中数学《直线的两点式方程》导学案
要点二 直线的截距式方程
例2求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
解法一设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为 ＋ ＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴ ＋ ＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝ ，解得k＝1或k＝－1或k＝－ .
∴所求直线的方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
跟踪演练2求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
解由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y＝ x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为 ＋ ＝1，
将点(5,2)代入方程得 ＋ ＝1，解得a＝ ，
所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝ x，或x＋2y－9＝0.
要点三 直线的一般式方程
例3根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－ ，经过点A(8，－2)；
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上，所求l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二显然直x－4)，k≠0.
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝ .
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
跟踪演练1(2014·绍兴高一检测)已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
高二第一学期数学选择性必修二导学案(等差数列的概念第2课时)教师版
4.2.1 等差数列的概念（第二课时）【学习目标】（1）能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.（2）能运用等差数列的性质解决有关问题.【知识复习】【例题精讲】例1（课本例3）某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d 为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于进价的5%，设备将报废.请确定d 的取值范围.解：设使用n 年后,这台设备的价值为a n 万元, 由题意知,a n −a n−1=−d(n ≥2),即{a n }是一个公差为−d 的等差数列. 又a 1=220−d, ∴a n =a 1+(n −1)(−d)=220−nd. 由{a 10≥220×5%,a 11<220×5%. 即{220−10d ≥11,220−11d <11. 解得19<d ≤20.9, 所以,d 的取值范围为19<d ≤20.9.跟踪训练11、某体育场一角的看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位. 你能用a n 表示第n 排的座位数吗？第10排有多少个座位？例2（课本例4）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，公差d =8,在{a n }中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n }.（1）求数列{b n }的通项公式；（2） b 29是不是数列{a n }的项？若是，它是{a n }的第几项？若不是，说明理由.解：（1）设数列{b n }的公差为d′由题意知，b 1=a 1=2,b 5=a 2=2+8=10， 由b 5=10=b 1+4d ′=2+4d ′,解得d′=2所以b n=2+(n−1)×2=2n所以,数列{b n}的通项公式是b n=2n.（2）解法1：数列{a n}的各项依次是数列{b n}的第1,5,9,13，⋯项,这些下标构成一个首项为1,公差为4 的等差数列{c n},则c n=4n−3,令c n=4n−3=29,解得n=8所以,b29是数列{a n}的第8项.解法2:由(1)知,b29=2×29=58,令a n=2+8(n−1)=58,解得n=8所以,b29是数列{a n}的第8项.【思考】如果插入k(k∈N∗)个数，那么 {b n}的公差是多少？跟踪训练21、已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）依次取出数列中的所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？你能根据得到结论作出一个猜想吗？（性质1 ：在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列. 若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.）例3（课本例5）已知{a n}是公差为d的等差数列，正整数m,n,p,q满足m+n＝p+q，则a m+ a n＝a p+a q.特别地: 若m+n＝2p(m,n,p∈N*)，则有a m+a n＝2a p.（性质2）应用：【思考】下图是性质2的一种情况，你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？跟踪训练31、（1）画出数列a n={18, n=1a n−1−3, 1<n≤6的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率（2）已知等差数列{a n}的公差为d，求证：a m−a nm−n=d. 你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？2、在等差数列{a n}中，a n=m,a m=n，且n≠m，求a m+n.（性质3）你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？3、已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，公差分别是d1,d2，数列{c n}满足c n=a n+2b n. （1）数列{c n}是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.（2）若{a n}，{b n}的公差都等于2，a1=b1=1，求数列{c n}的通项公式.性 质 4：若 {a n }，{b n }分 别 是 公 差 为 d,d′的 等 差 数 列 , 则○1数 列 {c +a n }的 公 差 为 d ； ○2数 列 {c ·a n }的 公 差 为 cd ；○3数 列 {a n +a n+k }的 公 差 为 2d ； ○4数 列 {pa n +qa n }的 公 差 为 pd +qd ′ .例4 (1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数；(2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数．解：(1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1. ∴这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a -3d ，a -d ，a +d ，a +3d (公差为2d )，则2a ＝2，且(a -3d )(a +3d )＝-8，即a ＝1，a 2-9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝-1.又∵四个数成递增等差数列，所以d ＞0，∴d ＝1，故所求的四个数为-2,0,2,4.等 差 数 列 的 设 项 方 法 和 技 巧 :(1)当 已 知 条 件 中 出 现 与 首 项 、 公 差 有 关 的 内 容 时 ， 可 直 接 设 首 项 为 a 1，公 差 为 d ，利 用 已 知 条 件 建 立 方 程 ( 组 ) 求 出 a 1和 d ，即 可 确 定 此 等 差 数 列 的 通 项 公 式 .(2)当 已 知 数 列 有 3 项 时 ，可 设 为 a −d,a,a +d ，此 时 公 差 为 d .若 有 5 项、7项、…时，可 同 理 设 出.(3)当 已 知 数 列 有 4项 时 ，可 设 为 a −3d,a −d,a +d,a +3d ，此 时 公 差 为 2d . 若 有 6项、8项、…时，可 同 理 设 出.跟踪训练41.(1)已知三个数成等差数列,其和为15,首末两数的积为9,求此数列.(2)已知成等差数列四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求此数列.（1）1,5,9或9,5,1（2）2,5,8,11或11,8,5,2【课后作业】1、《把关题》P4-5页一、选择题1.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10答案 C 解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.2.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A.12B.8C.6D.4答案 B 解析 由等差数列性质得，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10) ＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.3.在等差数列{a n }中，a 2 018＝log 27，a 2 022＝log 217，则a 2 020＝( )A.0B.7C.1D.49答案 A 解析 a 2 020＝12(a 2 018＋a 2 022)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log 27＋log 217＝12log 2 1＝0. 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A ，B ，C ，D ，E 五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A ，B ，C 三人所得钱数之和与D ，E 二人所得钱数之和相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C 分得物品的钱数是( )A.25B.45C.65D.75答案 C 解析 设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝6＝5a 3，a 3＝65.5.等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A.10B.20C.40D.2＋log 25答案 B 解析 因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4＝220，所以原式＝log 2220＝20.二、填空题6.在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________.答案 4解析 ∵等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，∴a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，∴(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，∴2a 4·2a 6＝16，∴a 4a 6＝4.7.已知数列{a n }是等差数列.若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________.答案 18解析 设数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173.∵a 4＋…＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7，d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ，即13－7＝(k －9)×23，解得k ＝18.8.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 8＝5π4，那么cos(a 3＋a 5)＝________.答案 －32解析 在等差数列{a n }中，由a 1＋a 3＋a 8＝5π4，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝5π4，∴3a 1＋9d ＝5π4，即a 1＋3d ＝a 4＝5π12，∴a 3＋a 5＝2a 4＝5π6，则cos(a 3＋a 5)＝cos 5π6＝－32.三、解答题9.已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项公式为a n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5成等差数列，求p ，q 的值.解 由a 1＝3，得2p ＋q ＝3.①因为a 1，a 4，a 5成等差数列，所以2a 4＝a 1＋a 5. 又因为a 4＝24p ＋4q ，a 5＝25p ＋5q ，所以3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q .②由①②得p ＝q ＝1.故所求p ，q 的值都是1.10.对数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *).对于k ≥2，k ∈Z *，规定{Δk a n }为{a n }的k 阶差分数列，其中Δk a n ＝Δk －1a n ＋1－Δk －1a n ＝Δ(Δk －1a n ).(1)试写出一个等差数列的一阶差分数列的前5项；(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，试判断数列{Δa n }，{Δ2a n }是否为等差数列.解 (1)由题意，一个等差数列的一阶差分数列是一个各项均为其公差的常数列.故可得许多一阶差分数列，如1，1，1，1，1，…(答案不唯一，符合题意即可).(2)∵Δa n ＝a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，Δa n ＋1－Δa n ＝2，Δa 1＝a 2－a 1＝4.∴{Δa n }是首项为4，公差为2的等差数列. ∴Δa n ＝2n ＋2，∵Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n ＝2(n ＋1)＋2－(2n ＋2)＝2，∴{Δ2a n }是首项为2，公差为0的等差数列.11.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列.其中正确的为( )A.p 1，p 2B.p 3，p 4C.p 2，p 3D.p 1，p 4答案 D 解析 设等差数列首项a 1，d >0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，∴数列{a n }递增，p 1正确；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n ，当n <d －a 12d 时，不递增，p 2错误；a n n ＝d ＋a 1－d n ，当a 1－d >0时，不递增，p 3错误；[a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0，{a n ＋3nd }递增，p 4正确，故选D.12.(多选题)已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2 021是该数列的一项，则公差d 不可能是( )A.2B.3C.4D.5答案 BCD 解析 由2 021是该数列的一项，即2 021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5. 13. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解 设某单位需购买电视机n 台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }，a n ＝780＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋800，由a n ＝－20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n )元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n )n －600n ＝20n (10－n ).当n ＜10时，(800－20n )n ＞600n ，到乙商场购买花费较少；当n ＝10时，(800－20n )n ＝600n ，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n ≤18时，(800－20n )n ＜600n ，到甲商场购买花费较少；当n ＞18时，440n ＜600n ，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.14.已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b n }：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{c n }，则数列{c n }的通项公式c n ＝________；若数列{a n }和{b n }的项数均为100，则{c n }的项数是________.答案 12n －1 25解析 由于数列{a n }和{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c 1＝11，故c n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又a 100＝302，b 100＝399，由⎩⎨⎧11≤12n －1≤302，11≤12n －1≤399，解得1≤n ≤25.25，故{c n }的项数为25.。
高二数学(人教A版)《3.1.2导数的概念》导学案
§3.1.2导数的概念[自学目标]:1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数.[重点]: 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. [难点]: 导数的概念 [教材助读]:1. 一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是我们称它为函数()y f x =在0x x =处的 记作即： 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-[预习自测]1、一铅球沿斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =（s 的单位：m ，t 的单位：s ）则小球在t=5时的瞬时速度为2、一物体的运动方程是2()1s t t t =-+求物体在3s 末的瞬时速度.上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：导数的定义例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim探究二：导数的应用例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[当堂检测]1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[拓展提升]1、一物体的运动方程是23s t =则在2t =时刻的瞬时速度是（ ）A 、3B 、4C 、7D 、5 2、根据导数的定义求下列函数的导数 （1） 求函数23y x =+在1x =处的导数.(2)求函数1y x=在(0)x a a =≠处的导数.[课后作业]1. 一质点运动的方程为2t 35s -=，则在一段时间[]t 1,1△+内相应的平均速度为 A. 6t 3+△ B. 6t 3+-△ C. 6t 3-△ D. 6t 3--△2. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加△R ，则球的体积增加△y 约等于A.R R 343△πB. R R 42△πC. 2R 4πD. R R 4△π3. 已知函数1x y +=2的图象上一点（1，2）及邻近一点()y 2,x 1△△++，则xy△△等于A. 2B. 2xC. 2+△xD. 2+△2x4. 自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数A. 在区间[]10x ,x 上的平均变化率B. 在0x 处的变化率C. 在1x 处的变化量D. 在区间[]10x ,x 上的导数5.若函数()x f 在a x =处的导数为A ，求()()x2x a f x a f lim0x △△△△--+→。
高二数学《向量的加法》导学案
高二数学《向量的加法》导学案【学习目标】.掌握向量加法的定义.2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用他们进行向量计算.【学习重点】向量加法的概念和向量加法的两种作图方法【学习难点】向量加法的几何意义【学习过程】一、自学预习，思考并回答以下问题:（1）某人从A到B，再从B按原方向到c，则两次的位移和：427【导学案】2.1向量的加法+427【导学案】2.1向量的加法=（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到c，则两次的位移和：427【导学案】2.1向量的加法+427【导学案】2.1向量的加法=（3）某车从A到B，再从B改变方向到c，则两次的位移427【导学案】2.1向量的加法+427【导学案】2.1向量的加法=427【导学案】2.1向量的加法427【导学案】2.1向量的加法427【导学案】2.1向量的加法2、两个加法法则，如图已知非零向量427【导学案】2.1向量的加法和427【导学案】2.1向量的加法，做出427【导学案】2.1向量的加法）三角形法则：（2）平行四边形法则427【导学案】2.1向量的加法427【导学案】2.1向量的加法3.规定：对于零向量与任一向量427【导学案】2.1向量的加法，都有427【导学案】2.1向量的加法4.加法交换律和加法结合律（1）向量加法的交换律：（2）向量加法的结合律：+427【导学案】2.1向量的加法=二、合作探究（深化理解）探究一：梯形ABcD，AD//Bc,o为对角线交点，则427【导学案】2.1向量的加法+427【导学案】2.1向量的加法+427【导学案】2.1向量的加法=探究二：已知平行四边形ABcD中，427【导学案】2.1向量的加法，试用427【导学案】2.1向量的加法表示427【导学案】2.1向量的加法拓展:在四边形ABcD中，427【导学案】2.1向量的加法，则此四边形肯定为形427【导学案】2.1向量的加法探究三：在矩形ABcD中，427【导学案】2.1向量的加法，则向量427【导学案】2.1向量的加法的长度等于探究四：一艘船从427【导学案】2.1向量的加法点出发以427【导学案】2.1向量的加法427【导学案】2.1向量的加法的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为427【导学案】2.1向量的加法，求船实际航行速度的大小与方向（方向用与流速间的夹角表示）。
直线与圆大单元整体学习导学案 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
【学科大概念】本单元的学科大概念是解析几何，以直线与圆为例，从直线和圆的概念出发，逐步得到直线和圆的方程，利用直线和圆的方程表示直线和圆的位置关系，从而构成研究解析几何的逻辑体系.【课程大概念】基于直线和圆的学科大概念和学生的学习基础，融合社会生活实际和老师、学生已有的学习经验，以学生的学科素养生成为目的，用坐标法去研究几何的学习过程.整体感知整体感知设计思路:通过类比向量的坐标表示，探索出平面直角坐标系中的两点间的距离公式和中点坐标公式，体会到坐标法解决平面几何问题的简便性.经历对直线、圆两种几何图形的直观感知到坐标刻画的过程，能用代数方程表示直线与圆.活动任务（设计意图）具体实施步骤学时学习活动1回顾平面直角坐标系中的几何坐标表示回顾向量的坐标表示，利用坐标法解决几何问题学生：对比几何法，感受坐标法解决几何问题的便捷一、课前预习：45分钟1.回顾必修二平面向量的坐标表示，初中所学一次函数的图象与性质、圆的定义（学习活动1,2）2.通读教材一遍，结合目录，初步构建本单元的思维导图（学习活动3）二、课堂设计1.自主学习：10分钟对学程中出现的问题进行自主纠错，标记存在的疑问2.合作探究：10分钟（1）讨论交流：①坐标法解决几何问题的思路；②影响直线和圆图形的几何要素，及其代数方程；（2）小组展示：前黑板：活动3单元思维导图后黑板：活动1的2个几何问题、活动2作出直线与圆的图形及分析3.学生点评：15分钟（1）应用坐标法解决几何问题的思路；（2）对比三个一次函数的图象，分析坐标系中直线的特征、代数方程的表示（3）对比三个圆的大小和位置，说出决定的几何要素，由定义推导圆的标准方程；（4）以直线和圆的概念与方程为核心，梳理本单元的思维导图，其他同学补充完善；4.教师点拨提升：5分钟（1）对比几何法，坐标法在解决几何问题时的便捷性；（2）解析几何的实质就是在坐标系中，应用代数的方法来研究几何图形的性质，之后学习的重心要从直线与圆的方程出发来研究问题；5.整理落实：5分钟（1）完善坐标法解决几何问题的思路与步骤；（2）完善本单元的思维导图；1 学习活动2感知直线与圆的直观形象，用代数方程表示直线与圆动手作出直线和圆，分析直线与圆的几何要素，初步用方程表示直线与圆学生：体会几何图形与代数方程的统一学习活动3以直线和圆的概念与方程为主线，构建思维导图通读教材，初步构建思维导图的框架学生：初步了解本单元的核心内容和逻辑结构探究建构探究建构设计思路:理解直线的倾斜角和斜率的概念与关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式，探索并掌握直线方程的五种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）.从直线方程的斜截式与一般式两个方面判定两条直线的位置关系，推导并掌握点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离.根据圆的定义推导圆的标准方程与一般方程，从代数运算与几何图形两个角度判断直线与圆、圆与圆的位置关系.活动任务（设计意图）具体实施步骤学时学习活动1探究直线方程的五种形式用斜率、方向向量、法向量刻画直线，借助斜率推导并探索直线方程的五种形式.学生：掌握直线方程的五种形式，熟练选择合适的形式求直线方程一、课前预习：45分钟1.研读教材P71-77：回顾确定直线的要素，说出倾斜角与斜率的概念，以及二者的关系；理解直线方向向量与法向量的定义，能用坐标准确表示直线的方向向量与法向量（问题1,2）；2.研读教材P78-84：借助斜率公式推导直线方程的五种形式，并分析他们之间的关系与适用范围（问题3,4,5,6、归纳生成）；3.完成【学习评测】；二、课堂设计1.自主学习：5分钟对学程中出现的问题进行自主纠错，标记存在的疑问2.合作探究：15分钟（1）讨论交流：①直线的斜率、方向向量、法向量如何求解？②如何选择合适的形式来求解直线方程？（2）小组展示：前黑板：①【归纳】直线方程的表格；②问题6一般式中的斜率与截距；后黑板：【评测】1、2（1）（2）、2（3）（4）、33.学生点评：10分钟（1）直线方程的五种形式及其适用范围（表格、评测2（1）（2）、3）（2）如何在直线方程中找方向向量与法向量？（问题6、评测1、2（3）（4））4.教师点拨提升：10分钟（1）直线方程的五种形式可以相互转化、一题多解；（2）直线方向向量与法向量的概念与意义，引导学生能够从直线方程中准确找出方向向量与法向量，为之后的学习打下基础；5.整理落实：5分钟（1）理顺斜率、倾斜角、方向向量、法向量的关系；（2）灵活直线方程五种形式求直线方程的思路；1一、课前预习：45分钟1.研读教材P86-91：以斜截式与一般式两种形式，借助方程组解的个数来判定两直线的位置关系，得出判定条件；借助法向量推导两直线垂直的判定条件；（问题1学习活动2 探究两条直线的位置关系从斜截式和一般式两种形式探索两条直线的位置关系学生：将两直线位置关系的直观感受转化为代数条件，学会用代数方法判定两直线的位置关系1,2）2.完成【学习评测】二、课堂设计1.自主学习：10分钟对学程中出现的问题进行自主纠错，标记存在的疑问2.合作探究：15分钟（1）讨论交流：①以斜截式和一般式两种形式推得两直线位置关系的条件有何不同之处？②如何根据平行与垂直关系求解直线方程？（2）小组展示：前黑板：①【归纳】判定两直线位置关系的方法；②【评测】1（1）（3）、1（2）（4）后黑板：【评测】2、3、43.学生点评：10分钟（1）怎样选择方法判定两直线的位置关系？（问题1、2、【评测】1、2）（2）已知两直线的平行或垂直关系，怎样设方程求直线的方程？（【评测】3、4）4.教师点拨提升：5分钟（1）以斜截式判定两直线位置关系时，一定要注意斜率不存在的直线；（2）补充：利用交点个数来判定两条直线位置关系，为之后直线与圆位置关系的代数判定方法做铺垫；5.整理落实：5分钟（1）斜截式与一般式两种形式判定两直线位置关系的条件；（2）利用平行与垂直关系求直线方程的思路；学习活动3 探究点到直线的距离多种方法推导点到直线的距离公式学生：推导并掌握点到直线的距离公式，会求点到直线的距离一、课前预习：45分钟1.回顾两直线相交求交点的思路，先求出垂线段所在直线的方程，联立方程组求出交点，即垂足，在应用两点间距离公式求解垂线段长度（问题1）；2.研读教材P54例2：类比空间中点到直线的距离求解思路，借助直线的方向向量求解点到直线的距离.（问题2）3.研读教材P92-95：借助直线的法向量、两直线相交求解点到直线的距离，任选一种方法推导点到直线的距离公式，进一步得到两平行线间的距离公式（问题3）；4.完成【学习评测】；二、课堂设计1.自主学习：5分钟对学程中出现的问题进行自主纠错，标记存在的疑问1（1）讨论交流：①点到直线的距离公式的推导思路与过程；②两平行线间距如何转化为点到直线的距离？（2）小组展示：前黑板：问题1、问题2、问题2思考后黑板：【评测】1、2、33.学生点评：10分钟（1）点到直线的距离公式的推导思路（问题1、2、【评测】1、2）（2）两平行线间距如何转化为点到直线的距离？（问题3思考、【评测】3）4.教师点拨提升：10分钟（1）梳理点到直线距离公式的推导过程；（2）引导学生理解距离的实质是两点距离的最小值；5.整理落实：5分钟（1）牢记两点距、点线距、两平行线距的公式；（2）求解距离的思路；学习活动4 探究圆的标准方程与一般方程由定义推导圆的标准方程与一般方程，分析二者的关系学生：熟练掌握圆的标准方程与一般方程、选择合适的形式求圆的方程一、课前预习：45分钟1.研读教材P98-101：由圆的定义推导出圆的标准方程，分析其结构特征（问题1）；2.研读教材P102-104：展开标准方程得到圆的一般方程，找出与标准方程的联系，分析其结构特征及限制条件.（问题2）3.完成【学习评测】；二、课堂设计1.自主学习：10分钟对学程中出现的问题进行自主纠错，标记存在的疑问2.合作探究：15分钟（1）讨论交流：①圆的一般方程的限制条件，与标准方程的关系；②如何判定点与圆的位置关系？（2）小组展示：前黑板：问题2思考、【评测】1后黑板：【评测】2（1）、2（2）、33.学生点评：10分钟（1）圆的一般方程的限制条件，如何从一般方程中找出圆的圆心和半径（两种思路）？（问题2思考、【评测】1）（2）如何判定点与圆的位置关系？（【评测】3）4.教师点拨提升：5分钟（1）强调一般方程的限制条件，建议利用配方法将一般方程转化为标准方程找圆心和半径；（2）引导学生认识判定点与圆位置关系的方法，为之后学习几何法判定直线与圆的位置关系做铺垫；1（1）在一般方程中找圆心和半径的两类方法；（2）待定系数法求圆的方程的计算训练；（3）几何法判定点与圆位置关系的思路.学习活动5 探究直线与圆的位置关系从代数和几何两个方面判定直线与圆的位置关系学生：掌握两种方法判定直线与圆的位置关系，会去切线方程和弦长一、课前预习：45分钟1.研读教材P105-108：类比两直线位置关系的判定方法，应用代数法判断直线与圆的位置关系；类比点与圆位置关系的判定方法，应用几何法判断直线与圆的位置关系（问题1,2）；2.研读教材P108-109例2例3：梳理求切线方程和弦长的思路，完成【学习评测】；二、课堂设计1.自主学习：5分钟对学程中出现的问题进行自主纠错，标记存在的疑问2.合作探究：15分钟（1）讨论交流：①代数法和几何法判定直线与圆位置关系的思路；②直线与圆相切求切线方程、相交求弦长的思路；（2）小组展示：前黑板：问题1、2、【评测】1后黑板：问题2思考、【评测】2、3、43.学生点评：10分钟（1）代数法和几何法判定直线与圆位置关系的思路；（问题1、2、【评测】1）（2）直线与圆相切求切线方程、相交求弦长的思路；（教材P108例2、【评测】2、3、4）4.教师点拨提升：10分钟（1）直线与圆相切求切线方程时，要区分已知点在圆上和在圆外两种情况的求解思路；（2）作图分析问题2思考中三个问题，为之后应用迁移中的最值问题做铺垫；5.整理落实：5分钟（1）代数法和几何法判定直线与圆位置关系的思路；（2）直线与圆相切求切线方程、相交求弦长的思路；（3）问题2思考中三个问题.1学习活动6 探究圆与圆的位置关系从代数和几何两个方面判定圆与圆的位置关系学生：掌握判定圆与圆位置关系的两种方法，会求两圆相交公共弦的直线方程和弦长一、课前预习：45分钟1.借助生活中的实例，直观感受圆与圆不同位置关系的形象（问题1）；2.研读教材P111-114：类比直线与圆位置关系的判定方法，分别应用代数法和几何法判定圆与圆的位置关系（问题2、3）；3.完成【学习评测】；二、课堂设计1.自主学习：10分钟对学程中出现的问题进行自主纠错，标记存在的疑问2.合作探究：15分钟1（1）讨论交流：①代数法和几何法判定圆与圆位置关系的思路；②直线与圆相交求公共弦所在直线方程和弦长的思路；（2）小组展示：前黑板：问题2代数法、问题2几何法、【评测】1后黑板：问题3、【评测】2、33.学生点评：10分钟（1）代数法和几何法判定圆与圆位置关系的思路；（问题2代数法、问题2几何法、【评测】1）（2）圆与圆相交求公共弦直线方程和弦长的思路；（【评测】3）4.教师点拨提升：5分钟（1）代数法判定圆与圆位置关系时的处理过程，为之后学习直线与圆锥曲线位置关系的判定做铺垫；（2）解释两圆相交求公共弦所在方程思路的原理；5.整理落实：5分钟（1）代数法和几何法判定直线与圆位置关系的思路；（2）圆与圆相交求公共弦直线方程和弦长的思路；应用迁移应用迁移设计思路:回顾直线与圆的方程、位置关系的判定方法，结合几何图形分析问题，应用代数方法解决直线与圆的定点、最值等综合问题；引导学生从实际问题中抽象出直线与圆的模型，建立合适的坐标系求解直线与圆的方程，将几何问题转化为代数问题，应用坐标法求解平面几何问题，提升学生数学抽象、数学建模、数学运算的学科素养.活动任务（设计意图）具体实施步骤学时学习活动1探索直线与圆的综合问题结合几何图形分析定点、最值问题，并应用代数方法求解综合问题学生：掌握作图分析直线与圆综合问题中取得最值时的情况的方法，理解常见代数式表示的几何意义一、课前预习：45分钟1.回顾探究建构阶段各活动学习的核心内容，补充完善整体感知构建的思维导图，重点梳理直线与圆的方程的求解、位置关系的判定方法（10分钟）；2.限时完成活动1（35分钟）；二、课堂设计1.自主学习：10分钟对学程中出现的问题进行自主纠错，标记存在的疑问2.合作探究：25分钟（1）讨论交流：①直线过定点、点到直线距离的最值问题；②圆上动点最值问题的求解思路；③常见代数式表示的几何意义；（2）小组展示：前黑板：问题2、【评测】1、2后黑板：【评测】3、4（1）、4（2）、4（3）3.学生点评：25分钟（1）分析直线过定点问题、点到直线距离的最值问题；（【评测】1、2）（2）作图分析圆上的动点在哪个位置时取得最值；（【评测】3、4（1））（3）理解常见代数式表示的几何意义，求式子的最值；（【评测】4（1）（2））24.教师点拨提升：15分钟（1）从点斜式的形式分析直线过定点问题，直线围绕定点进行旋转；（2）作图分析动点在哪个位置取得最值时，一定要“化动为定”，从不变的量入手分析变化情况；（3）常见代数式表示的几何意义有两点间距（的平方）、直线斜率与截距，对式子进行变形后转化为熟悉的形式5.整理落实：15分钟（1）将直线方程整理成点斜式，解决直线过定点问题；（2）作图分析动点怎样运动才能取得最值的过程；（3）常见代数式表示的几何意义；学习活动2 探索直线与圆在实际生活中的应用从实际问题中抽象出直线与圆的模型，建立坐标系将几何问题转化为代数问题，通过代数运算解决几何问题学生：运用代数方法解决生活实际问题中有关直线与圆的几何问题一、课前预习：45分钟1.借助活动2情境设计的问题，感受并总结出生活实际问题的解决思路（15分钟）；2.限时完成活动2的【学习评测】（30分钟）；二、课堂设计1.自主学习：10分钟对学程中出现的问题进行自主纠错，标记存在的疑问2.合作探究：15分钟（1）讨论交流：①如何从实际问题中提取有效信息、抽象出直线与圆的模型？；②理解问题的意义将实际问题转化为数学几何问题，建立合适的坐标系解决几何问题；（2）小组展示：前黑板：问题1、2后黑板：【评测】1、23.学生点评：15分钟（1）情境问题转化为直线与圆位置关系的判定；（2）【评测】1转化为直线与圆相交求弦长；（3）【评测】2转化为直线与圆相切求切线；4.教师点拨提升：5分钟（1）学习解析几何的意义就在于将生活问题抽象出几何图形，建立合适的坐标系，应用代数的方法解决问题；（2）规范学生的求解思路和组织部洲；5.整理落实：5分钟（1）利用直线与圆方程解决实际问题的思路；（2）规范书写实际问题的解决步骤；1重构拓展重构拓展设计思路:结合前三个阶段所学内容和271BAY资源，重新梳理核心内容之间的逻辑关系，重构本单元的思维导图；针对直线与圆的方程的求解、位置关系的判定进行单元过关，纠错反思总结提升，进一步梳理直线与圆的研究路径，为之后学习圆锥曲线做铺垫.活动任务（设计意图）具体实施步骤学时重构思维导图从直线与圆的方程、位置关系两个方面重构本单元的思维导图一、课前预习：45分钟1.根据271BAY资源，结合前三个阶段构建的思维导图，重新梳理核心内容之间的逻辑关系，重构本单元的思维2单元过关限时训练、查缺补漏纠错反思、总结提升导图（20分钟）；2.限时训练，单元过关（）；二、课堂设计1.自主学习：分钟对单元过关中出现的问题自主纠错，标记存在的疑问；2.合作探究：分钟（1）讨论交流：（2）小组展示：前黑板：后黑板：3.学生点评：分钟4.教师点拨提升：分钟5.整理落实：分钟单元拓展参照教材P66本章导语，通过圆锥的截面初步了解椭圆、双曲线、抛物线的形状学生：回顾研究直线与圆的路径，预设研究圆锥曲线的研究过程与方法。
高二数学选修2-1第2章《空间向量与立体几何》_导学案
高二数学选修2-1第2章《空间向量与立体几何》_导学案南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案.试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求ab,ab..b2.点C在线段AB上，且AC5,CB2则ACAB,BCAB.反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A.+B.=B.+a；⑵加法结合律：(A.+b)+C.=A.+(B.+c)；⑶数乘分配律：λ(A.+b)=λA.+λb．典型例题例1已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：⑴AB⑵BCABAD；AA'；⑶ABAD1CC'⑷12(ABAD2AA')．变式：在上图中，用AB,AD,AA'表示AC',BD'和DB'.小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．2南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.1.2空间向量的数乘运算（一）CD3ab，求证:A,B,C三点共线.1.化简；2.3.几何中的问题．8687复习1：化简：⑴5（3a2b）+4（2b3a）；⑵6a3bcabc.复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量a,b，若b是非零向量，则a与平行的充要条件是二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的共线问题它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1.如果表示空间向量的互相或平行向量.2.空间向量共线：定理：对空间任意两个向量a,b（b0），a//b要条件是存在唯一实数，使得推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是试试：已知ABa5b,BC2a8b,3反思：充分理解两个向量a,b共线向量的充要条件中的b0，注意零向量与任何向量共线.典型例题例OP1已知直线AB，点O是直线AB外一点，若某OAyOB，且某+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若OP12OAtOB，那么t＝例2已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，点M是棱AA'设的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA'=2:1,CACD,=CAa，CBb,CC'c，试用向量a,b,c表示向量',CM,CG.变式1：已知长方体ABCDA'B'C'D'，M是对角线AC'中点，化简下列表达式：⑴AA'CB;⑵AB'B'C'C'D'⑶12AD112AB2A'A4南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足111关系式OPOAOBOC,则点P与A,B,C共面236吗？5反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OP某OAyOBzOC,且点P与A,B,C共面，则某yz.例典型例题①1下列等式中，使OMM,A,B,C四点共面的个数是（）OAOBOC;②OM1115OAOBOC;③MAMB3MC20;④OMOAOBOC0.A.1B.2C.3D.4变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量OP15OA73OBOCR,则P,A,B,C四点共面的条件是例2如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使OEOAOFOBOGOHOCODk,求证：E,F,G,H四点共面.6南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.1.3．空间向量的数量积（1）1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．9092复习1：什么是平面向量a与b的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求AB.二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题空间线段的长度问题？新知：1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量空间一点O，作OAa,baO,Bb，则AOB量a与b的夹角，记作.试试：⑴范围a,:b=0时,a与a,bb;a,b=π时,a与b⑵a,bb,a成立吗？⑶a,b，则称a与b互相垂直，记作.2)向量的数量积：已知向量a,bab，则叫做a,b的数量积，，即ab规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴两个向量的数量积是数量还是向量？⑵0a⑶你能说出ab0还是0）的几何意义吗？73)空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e，则ae|a|coa,e．（2）abab．（3）aa＝4)空间向量数量积运算律：（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（3）a(bc（交换律）)abac．（分配律反思：⑴（ab)ca(bc)吗？举例说明.⑵若abac，则bc吗？举例说明.⑶若ab0，则a0或b0吗？为什么？典型例题例1用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln.求证：l．例2如图，在空间四边形ABCD中，AB2，BC3，BDCD3，ABD30，ABC60，求AB与CD,8南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1.标表示；2.掌握空间向量的坐标运算的规律；⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；92-96⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；复习1：平面向量基本定理：⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；对平面上的任意一个向量P，a,b是平面上两⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3.向量，总是存在实数对某,y，使得向量P可以用a,b试试：a1.设，则向量的坐标为.a2ij3k示，表达式为，其中a,b(3,1,1)(1,0,2)2.若A，B，则AB＝.做.若ab，则称向量P正交分解.3.已知a＝(2,3,5)，b＝(3,1,4)，求a＋b，a－b，复习2：平面向量的坐标表示：8a，a·b平面直角坐标系中，分别取某轴和y轴上的向量i,j作为基底，对平面上任意向量a数某，y，使得a某iyj，，则称有序对某,y为向量a的，即a＝.二、新课导学学习探究向的单位向量，则存在有序实数组{某,y,z}，使得，则称有序实数组{某,y,z}为向量a的a某iyjzk坐标，记着p⑸设A(某1,y1,z1)，B(某2,y2,z2)，则AB＝.⑹向量的直角坐标运算：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则典型例题探究任务一：空间向量的正交分解从向量a,b,c问题：对空间的任意向量a例1已知向量a,b,c是空间的一个基底，中选哪一个向量，一定可以与向量pab,qab何位置关系？构成空间的另一个基底？新知：⑴空间向量的正交分解：空间的任意向量a分解为不共面的三个向量1a1、2a2、3a3a1a12a23a3.如果a1,a2,a3两两分解就是空间向量的正交分解.变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？(2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c，对空间任一向量p，存在有序实数组{某,y,z}a,b,c.把的一个基底，p某aybzc量.反思：空间任意一个向量的基底有个.⑶单位正交分解：相，长度都为，则这个基底叫做，通常用｛i,j,k｝表示.⑷空间向量的坐标表示小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的O-某yz和向量a，且设i、j、k为某轴、y轴、z方法是：这三个向量一定不共面.910南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案114.线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点A(某1,y1,z1)，B(某2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标为.典型例题例1.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1,F1分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体ABCD1A1B1C中1D，BDAB1E11F1113，求BE1与DF1所成角的余弦值．例2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EFDA1.12南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-某yz和向量a，且设i、j、k为某轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{某,y,z}，使得，则称有序实数组{某,y,z}为向量a的a某iyjzk坐标，记着p10.设A(某1,y1,z1)，B(某2,y2,z2)，则AB＝.11.向量的直角坐标运算：设a＝(a,a,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则12⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝动手试试1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝某a＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）A．0B.1C.2D.32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、是（）D1C、AC11A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（）62636465A.B.C.D.77774．若a、b均为非零向量，则ab|a||b|是a与b共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．56.a3i2jk,bij2k,则5a3b（）A．－15B．－5C．－3D．－11314南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.2立体几何中的向量方法（1）1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2.行、垂直、夹角等立体几何问题．102104，找出疑惑之处）复习1：可以确定一条直线；个平面的方法有哪些？复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？复习3：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，a·b＝二、新课导学学习探究探究任务一：向量表示空间的点、直线、平面问题位置？新知：⑴点：在空间中，我们取一定点O间中任意一点P的位置就可以用向量把向量OP来表示，OP称为点P的位置向量.⑵直线：①直线的方向向量向量.②对于直线l上的任一点P,存在实数t，APtAB，此方程称为直线的向量参数方程.⑶平面：①空间中平面的位置可以由确定.对于平面上的任一点P,a,b是平面不共线向量，则存在有序实数对(某,y),OP某a使y.b②空间中平面的方向向量表示空间中平面的位置.⑷平面的法向量：如果表示向量n线垂直于平面，则称这个向量n垂直于平面,n⊥，那么向量n叫做平面的法向量.15试试：.1.如果a,b都是平面的法向量，则a,b的关系.2.向量n是平面的法向量，向量a是与平面平行或在平面内，则n与a的关系是.反思：1.一个平面的法向量是唯一的吗？2.平面的法向量可以是零向量吗？⑸向量表示平行、垂直关系：设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,向量分别为u,的法v①l∥m，则a∥ba②l∥akb③∥uu∥au0vukv.典型例题例1已知两点A1,2,3,B2,1,3,求直线AB与坐标平面YOZ的交点.变式：已知三点A1,2,3,B2,1,2,P1,1,2,点Q在OP上运动（O为坐标原点）,求当QAQB取得最小值时,点Q的坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可. 16南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.2立体几何中的向量方法（2）1.立体几何问题；2.中的角度的计算方法.105复习1：已知107，找出疑惑之处.ab1，a1,b2，且m2ab求m.复习2：角的范围是什么？二、新课导学学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知a求出线段长度.试试：在长方体ABCD'A'B'C中'D，已AB1,BC2,'CC,求1AC'的长.反思用已知条件中的向量表示.典型例题例1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？17变式1：上题中平行六面体的对角线BD1的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC,BD分别为a,b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB4,AC6,BD8,求CD的长.18南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.2立体几何中的向量方法（3）1.进一步熟练求平面法向量的方法；2.异面直线间距离的计算方法；3.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.,B0,1,1,C1,1,2ABC的一个法向量.复习2：离？二、新课导学学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图A,空间一点P到平面知平面的距离为d,的一个法向量为n,且AP与n不共线,AP与n表示d分析:过P作PO⊥于O连结d=|OAPO,则|=|PA|∵PO⊥,coAPO.n,∴PO∥n.∴co∠APO=|co∴D.=|PA||coPA,n|=|PAPA,n|||n|||coPA,n||PAn|n|=|n|新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A,空间一点P到平面的距离为d,平面个法向量为n，则D.=|PA|n|n|19试试：在棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'中，求点C'到平面A'BCD'的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.典型例题例1已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.变式：如图,ABCD是矩形,PD平面ABC,DPDDCa,AD,M、N分别是AD、PB的中点,求点A到平面MNC的距离.PNCAB小结：求点到平面的距离的步骤：⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵求平面的一个法向量的坐标；⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷代入公式求出距离.20南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§第2章空间向量（复习）1.掌握空间向量的运算及其坐标运算；2.具.115－116复习1：如图，空间四边形OABC中OAa,OBb,OC且OM=2MA,为BC中点，则c.点M在OA上，MN复习2：平行六面体ABCDA'BADb,'C'D'中，ABaAA'c，点P,M,N分别是CA',CD',C'D'的中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'4:1,a,用基底b,c表示下列向量：⑴AP;⑵AM;⑶AN;⑷AQ.主要知识点：1.空间向量的运算及其坐标运算：空间向量是平面向量的推广,有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成“三维的”了.2.立体几何问题的解决──向量是很好的工具①平行与垂直的判断②角与距离的计算21典型例题例1如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是F60，且F12F3200kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90,CB1,CA21,点M6是CC1的中点，求证：AMBA1.变式：正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使MNAB.。
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2.1几种常见函数的导数一、复习1．按定义求导数有哪几个步骤？2．用导数的定义求下列各函数的导数：(1)y ＝x 5；(2)y ＝c ． 二、几个常见函数的导数公式1．(c)'＝ (c 为常数)， 2． (x n )'＝ ， 3．(sinx)'＝ ， 4． (cosx)'= ． 5．=')(xa 6 ．=)'(ln x7．=')(xe 8．=')(log x a三、例题讲解例1 、求下列函数导数：（1）5-=x y ( 2）231xy =（3）y=x x , (4) y=2cos 2x sin 2x(5) 2434log log x x y -= (6) x xx y 2122-+=(7) )14sin 2(2sin22--=xx y (8) x xx y ++-=)11)(1(例2 ①求函数xe y =在e x =处的切线的方程；②过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切线的方程.例3求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程．例4 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2x y =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线的切线方程及切点坐标课后练习1、3x y =的导数是 （ ）A ．3xB ．x 31C ．3231--xD ．3231-x 2、已知命题p :函数y =f (x )的导函数是常数函数；命题q :函数y =f (x )是一次函数，则命题p 是命题q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3、曲线y=sinx ， x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ 的一条切线m 平行于直线x-y-3=0, 则m 的方程为（ ） A y=2πx, B y=x C y=x+1 D,不存在 4、曲线xe y =在点)e (2,2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A ．249e B ．22e C ．2e D ．2e 25、)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+， ，)(N n ∈则=')(2009x f （ ） x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--6、已知函数()sin ln f x x x =+，则()f x '= ．7、求函数的导数：)3)(2)(1(+++=x x x y8、物体的运动方程是1223-+=t t s （位移单位：m ，时间单位：s ），当2=t 时，求物体的瞬时速度及加速度.9、求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程. .10、函数f(x)=lnx,若4f '(x)+x ≥a 恒成立，求a 的取值范围。
基本初等函数的导数公式记忆： 第一类为幂函数，1)'(-=a a axx )0(≠a （注意幂函数a 为任意实数）；第二类为指数函数，()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且，当e a =时，xe 的导数是)('x a 的一个特例；第三类为对数函数，11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且，当e a =时，x ln 也是对数函数的一个特例；第四类为三角函数，可记住正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数的相反数，正切函数的导数是余弦函数平方的倒数，余切函数的导数是正弦函数的平方的倒数的相反数。
利用公式求函数的导数，这就要求熟练掌握公式。
特别注意xa y =的导数与ax y =的导数的区别，不要犯这样的错误：1)(-='x xxaa 。
2.2导数的运算基本初等函数的导数公式：1、若()f x c =（c 为常数），则'()f x = ； 2、若()()nf x x n Q =∈，则'()f x = ；3、若()sin f x x =，则'()f x = ；4、若()cos f x x =，则'()f x = ；5、若()xf x e =，则'()f x = ；6、若()xf x a =，则'()f x = ； 7、若()ln f x x =，则'()f x = ；8、若()log a f x x =则'()f x = 。
法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 '')'(v u v u ±=±证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆ v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴ x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆， x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 '')'(uv v u uv +=证明：令)()()(x v x u x f y ==，则=∆y )(x x u ∆+)(x x v ∆+-)()(x v x u)(x x u ∆+=)(x x v ∆+-)(x u )(x x v ∆++)(x u )(x x v ∆+-)()(x v x u ，=∆∆x y x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u xx v x x v ∆-∆+)()( 因为)(x v 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，)()(x v x x v →∆+，从而 0lim→∆x =∆∆x y 0lim →∆x x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u 0lim →∆x xx v x x v ∆-∆+)()()(')()()('x v x u x v x u +=， 即 ='y '')'(uv v u uv +=． 说明：⑴'')'(v u uv ≠，'')'(v u uv +≠；⑵∵ ''0'')'(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=∴ 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．⑶两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导． 1、'[()()]f x g x ±= ；2、[()f x ·'()]g x = ； 3、'()[]()f xg x = （()0g x ≠）。
4、若c 为常数，则'[()]cf x = 。
例题讲解： 例1求下列导数（1）y=x 3+sinx （2） y=x 4－x 2－x+3 （3）453223-+-=x x x y（4）2(23)(32)y x x =+- （5） y=3x 2+xcosx （6） y=5x 10sinx －2x cosx －9，（7）y ＝xx --+1111； （8）y ＝sin x · ln x ； （9）y ＝cos x ·a x ；（10）y ＝x x4； （11）y ＝x x ln 1ln 1+-． （12）y ＝1x x x 2+-注：如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简． 例2求函数的导数① y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x ② y ＝xx xx sin cos cos sin +-例3 已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4（1）求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？例4 日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为：5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%课堂练习1. 函数()22)(x x f π=的导数是（ ）A .x x f π4)(=' B. x x f 24)(π=' C. x x f 28)(π=' D. x x f π16)(=' 2．函数y=（x+1）2（x －1）在x=1处的导数等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g′(x ),则f (x )与g (x )满足 ( )A ． f (x )=g (x )B ．.f (x )－g (x )为常数函数C ． f (x )=g (x )=0D ． .f (x )+g (x )为常数函数 4.求导数y ′（1）y =3x 2+x cos x （2）y =xx sin 2 (3)y=2x 3+3x 2－5x +4(4)y =sin x －x +1 (5) y =xx cos 12- (6)y =(1+x 2)cos x(7)y =232xx + (8)y =tan x (9)y =x cos 11- 5.求y =332++x x 在点x =3处的导数.6. 函数2()138f x x =-+，且0()4f x '=，则求0x7.求曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程。
8. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线方程.3.1 利用导数研究函数的单调性一新知探究探究1 画出函数342+-=x x y 的图像，观察函数的单调性和函数的导数正负有什么关系？问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.探究2 观察函数图像探讨函数单调性与其导数正负的关系。