高二数学导学案

2.1几种常见函数的导数

一、复习

1．按定义求导数有哪几个步骤？

2．用导数的定义求下列各函数的导数：(1)y ＝x 5

；(2)y ＝c ． 二、几个常见函数的导数公式

1．(c)'＝ (c 为常数)， 2． (x n )'＝ ， 3．(sinx)'＝ ， 4． (cosx)'= ． 5．=')(x

a 6 ．=)'(ln x

7．=')(x

e 8．=')(log x a

三、例题讲解

例1 、求下列函数导数：

（1）5

-=x y ( 2）2

31x

y =

（3）y=x x , (4) y=2cos 2x sin 2

x

(5) 2

43

4log log x x y -= (6) x x

x y 21

22-+=

(7) )14sin 2(2sin

22--=x

x y (8) x x

x y ++

-=)11)(1(

例2 ①求函数x

e y =在e x =处的切线的方程；

②过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切线的方程.

例3求曲线x y sin =在点A )2

1

,6(

π的切线方程．

例4 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2

x y =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线的切线方程及切点坐标

课后练习

1、3x y =的导数是 （ ）

A ．3x

B ．x 3

1

C ．3231--x

D ．32

31-x 2、已知命题p :函数y =f (x )的导函数是常数函数；命题q :函数y =f (x )是一次函数，则命题p 是命题q 的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 3、曲线y=sinx ， x ∈⎪⎭⎫

⎝

⎛-

2,2ππ 的一条切线m 平行于直线x-y-3=0, 则m 的方程为（ ） A y=

2

π

x, B y=x C y=x+1 D,不存在 4、曲线x

e y =在点)e (2,2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）

A ．24

9e B ．22e C ．2

e D ．2e 2

5、)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+， ，)(N n ∈

则=')(2009

x f （ ） x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--

6、已知函数()sin ln f x x x =+，则()f x '= ．

7、求函数的导数：)3)(2)(1(+++=x x x y

8、物体的运动方程是122

3-+=t t s （位移单位：m ，时间单位：s ），当2=t 时，求物体的瞬时速度及加速度.

9、求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程. .

10、函数f(x)=lnx,若4f '

(x)+x ≥a 恒成立，求a 的取值范围。

基本初等函数的导数公式记忆： 第一类为幂函数，1

)'(-=a a ax

x )0(≠a （注意幂函数a 为任意实数）；

第二类为指数函数，()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且，当e a =时，x

e 的导数是)('x a 的一个特例；

第三类为对数函数，11

(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a

==>≠且，当e a =时，x ln 也是对数函数的一个

特例；

第四类为三角函数，可记住正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数的相反数，正切函数

的导数是余弦函数平方的倒数，余切函数的导数是正弦函数的平方的倒数的相反数。

利用公式求函数的导数，这就要求熟练掌握公式。特别注意x

a y =的导数与a

x y =的导数的区别，不要犯这样的错误：1

)(-='x x

xa

a 。

2.2导数的运算

基本初等函数的导数公式：

1、若()f x c =（c 为常数），则'

()f x = ； 2、若()()n

f x x n Q =∈，则'

()f x = ；

3、若()sin f x x =，则'

()f x = ；4、若()cos f x x =，则'

()f x = ；

5、若()x

f x e =，则'

()f x = ；6、若()x

f x a =，则'

()f x = ； 7、若()ln f x x =，则'()f x = ；8、若()log a f x x =则'

()f x = 。

法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 '')'(v u v u ±=±

证明：令)()()(x v x u x f y ±==，

)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆ v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，

∴ x v x u x y ∆∆±

∆∆=∆∆， x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim

即 )()()]()(['

''x v x u x v x u ±=±． 法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 '')'(uv v u uv +=

证明：令)()()(x v x u x f y ==，则=∆y )(x x u ∆+)(x x v ∆+-)()(x v x u

)(x x u ∆+=)(x x v ∆+-)(x u )(x x v ∆++)(x u )(x x v ∆+-)()(x v x u ，

=

∆∆x y x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u x

x v x x v ∆-∆+)

()( 因为)(x v 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，)()(x v x x v →∆+，从而 0

lim

→∆x =∆∆x y 0lim →∆x x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u 0lim →∆x x

x v x x v ∆-∆+)

()(

)(')()()('x v x u x v x u +=， 即 ='y '')'(uv v u uv +=． 说明：⑴'')'(v u uv ≠，'')'(v u uv +≠；

⑵∵ ''0'')'(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=

∴ 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．