中考数学压轴题之一元二次方程(中考题型整理,突破提升)附详细答案
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答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.
此时，售价为：60﹣6=54（元）， .
答：该店应按原售价的九折出售.
8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？
答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．
（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，
整理得：a2+75a﹣2500＝0，
解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），
∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．
答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【详解】
解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克
年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，
11月的进货价为： 元/千克
设每千克降价x元，则每千克的利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x千克
则 ，
解得 ，
因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.
（1）A超市11月排骨的进货价为年初排骨售价的 倍，按11月10日价格出售，平均一天能销售出100千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有1000元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？
（2）11月11日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在11月10日售价的基础上下调a%出售，A超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比11月10日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的 ，两种排骨销售的总金额比11月10日提高了 a%，求a的值．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴m的最小整数值为： ；
（2）由根与系数的关系得： ， ，
由 得：
∴ ，
解得： 或 ；
∵ ，
∴ .
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则 ， ．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.
10．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至11月10日，猪排骨价格不断走高，11月10日比年初价格上涨了75%．今年11月10日某市民于A超市购买5千克猪排骨花费350元．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【解析】
【详解】
分析：（1）求出根的判别式 ，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则 ，写出一组满足条件的 ， 的值即可.
详解：（1）解：由题意： ．
∵ ，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足 （ ）即可，例如：
（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．
试题解析：
（1） ，解得
（2）由 ，
由根与系数的关系可得：
代入得： ，
化简得： ，
得 .
由于 的取值范围为 ，
故不存在k使 ．
4．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a=35.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x元，则每千克的利润为10-x元，日销量为100+20x千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；
（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【答案】（1）平均每次降价率为Fra Baidu bibliotek0%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【解析】
【分析】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当k≤ 时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.
（2）若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求 的值.
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到 ， ，然后解关于m的一元二次方程，即可确定m的值．
【详解】
解：（1）∵ 有两个实数根，
∴该方程总有实数根；
（2）
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形的三边，
∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，
∴k＝ 或2．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.
9．已知：关于x的一元二次方程 .
（1）若此方程有两个实数根，求没 的最小整数值；
（2）根据题意可得
解得 , (舍去)
所以a=35.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令 ，解方程求出t后再求a的值.
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．解方程： ．
【答案】x= 或x=1
【解析】
【分析】
设 ，则原方程变形为y2-2y-3=0,解这个一元二次方程求y，再求x．
【详解】
解：设 ，则原方程变形为y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3,
∴ 或 ．
解得x= 或x=1．
经检验：x= 或x=1都是原方程的解．
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折.
【解析】
【详解】
解：（1）设每千克核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2240，
化简，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.
∴原方程的解是x= 或x=1．
【点睛】
考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
2．将m看作已知量，分别写出当0<x<m和x>m时， 与 之间的函数关系式；
3．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2．
考点：一元二次方程的应用．
6．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．
（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？
【答案】（1）详见解析；（2）k＝ 或2．
【解析】
【分析】
（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．
【详解】
（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣ ）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
【解析】
试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，
解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20
解：令 ， ，则原方程为 ，
解得： ．
点睛：考查一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根.
当 时，方程有两个相等的实数根.
当 时，方程没有实数根.
5．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．
【详解】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，
根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.
此时，售价为：60﹣6=54（元）， .
答：该店应按原售价的九折出售.
8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？
答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．
（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，
整理得：a2+75a﹣2500＝0，
解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），
∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．
答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【详解】
解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克
年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，
11月的进货价为： 元/千克
设每千克降价x元，则每千克的利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x千克
则 ，
解得 ，
因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.
（1）A超市11月排骨的进货价为年初排骨售价的 倍，按11月10日价格出售，平均一天能销售出100千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有1000元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？
（2）11月11日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在11月10日售价的基础上下调a%出售，A超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比11月10日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的 ，两种排骨销售的总金额比11月10日提高了 a%，求a的值．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴m的最小整数值为： ；
（2）由根与系数的关系得： ， ，
由 得：
∴ ，
解得： 或 ；
∵ ，
∴ .
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则 ， ．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.
10．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至11月10日，猪排骨价格不断走高，11月10日比年初价格上涨了75%．今年11月10日某市民于A超市购买5千克猪排骨花费350元．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【解析】
【详解】
分析：（1）求出根的判别式 ，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则 ，写出一组满足条件的 ， 的值即可.
详解：（1）解：由题意： ．
∵ ，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足 （ ）即可，例如：
（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．
试题解析：
（1） ，解得
（2）由 ，
由根与系数的关系可得：
代入得： ，
化简得： ，
得 .
由于 的取值范围为 ，
故不存在k使 ．
4．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a=35.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x元，则每千克的利润为10-x元，日销量为100+20x千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；
（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【答案】（1）平均每次降价率为Fra Baidu bibliotek0%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【解析】
【分析】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当k≤ 时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.
（2）若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求 的值.
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到 ， ，然后解关于m的一元二次方程，即可确定m的值．
【详解】
解：（1）∵ 有两个实数根，
∴该方程总有实数根；
（2）
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形的三边，
∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，
∴k＝ 或2．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.
9．已知：关于x的一元二次方程 .
（1）若此方程有两个实数根，求没 的最小整数值；
（2）根据题意可得
解得 , (舍去)
所以a=35.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令 ，解方程求出t后再求a的值.
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．解方程： ．
【答案】x= 或x=1
【解析】
【分析】
设 ，则原方程变形为y2-2y-3=0,解这个一元二次方程求y，再求x．
【详解】
解：设 ，则原方程变形为y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3,
∴ 或 ．
解得x= 或x=1．
经检验：x= 或x=1都是原方程的解．
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折.
【解析】
【详解】
解：（1）设每千克核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2240，
化简，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.
∴原方程的解是x= 或x=1．
【点睛】
考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
2．将m看作已知量，分别写出当0<x<m和x>m时， 与 之间的函数关系式；
3．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2．
考点：一元二次方程的应用．
6．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．
（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？
【答案】（1）详见解析；（2）k＝ 或2．
【解析】
【分析】
（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．
【详解】
（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣ ）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
【解析】
试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，
解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20
解：令 ， ，则原方程为 ，
解得： ．
点睛：考查一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根.
当 时，方程有两个相等的实数根.
当 时，方程没有实数根.
5．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．
【详解】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，
根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．